数学：山东省青岛市胶州市2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版）

这是一份数学：山东省青岛市胶州市2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷
一、选择题
1. 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是应对气候变化、推动绿色发展的战略举措．2023年，中国新能源汽车产销量占全球比重超过，交出亮眼成绩单；下列新能源汽车标志是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，故选：B．
2. 若，则下列式子不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A．∵，
∴，故本选项不符合题意；
B．∵，
∴，故本选项不符合题意；
C．当时，，故本选项符合题意；
D．∵，，
∴，故本选项不符合题意．
故选：C．
3. 在平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别为，，将线段平移后得到线段，若点的坐标为，点的坐标为，则a的值为（ ）
A. B. 1C. 2D. 0
【答案】D
【解析】∵平移后得到点的坐标为，
∴平移方式为向右平移2个单位，向下平移2个单位，
∴．
故选：D．
4. 如图，直线经过点，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由图象可得：当时，，
故选：A．
5. 如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵平分，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
6. 房梁的一部分如图所示，其中，，，点D是AB的中点，且，垂足为E，则AE的长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，，，
∴，，
∴，
∵点是的中点，且，
∴，，
∴，
∴，
故选：．
7. 关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由关于x的不等式组的解集为，得
，
故选：D．
8. 如图，将绕点A按顺时针方向旋转后得到，点P是y轴上任意一点，当的值最小时，则点P的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由图可知，
将绕点A按顺时针方向旋转后得到，则，
点A关于y轴对称的点，则：，
∴当三点共线时，的值最小，
连接交y轴于点P，
则点P即为所求的点，
设直线的解析式为：，
则，
解得，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴，
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题
9. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为__________．
【答案】
【解析】∵等腰三角形底角相等，
∴180°-50°×2=80°，
∴顶角为80°．
故答案80°．
10. 一个关于x的不等式的解集如图所示，则这个不等式的解集为______．
【答案】
【解析】∵3处是实心圆点，且折线向左，
∴这个不等式的解集为．
故答案为：．
11. 如图，线段与相交于点O，且，分别将和平移到，的位置，若，则的长为______．
【答案】a
【解析】∵将和平移到，的位置，
∴，
∴，
∵，∴，
∴是等边三角形，
∴，故答案为：a．
12. 风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000多年历史．如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为______．
【答案】2000
【解析】∵，，
∴点在线段的中垂线上，
∴，
设交于点，则：，
∴制作这个风筝需要的布料至少为；
故答案为：2000．
13. 如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为_____．
【答案】
【解析】由旋转性质可知：，，
∴，
∵，∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 已知关于x的方程的根是负数，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】，
解得，，
由题意知，，
解得，，
故答案为：．
15. 国际航班免费托运行李箱的尺寸通常限制为长、宽、高三边之和不超过厘米．某厂家生产符合免费托运的行李箱，已知行李箱的高为厘米，长与宽的比为，则行李箱的宽的最大值为______厘米．
【答案】
【解析】设长为厘米，宽为厘米，
依题意得，，
解得，，
∴，
故答案为：．
16. 如图，直线，的平分线与的平分线交于点P，与交于点M，若，，则的面积为______．

【答案】
【解析】∵平分，∴，
∵，
∴，
∴，∴，
∵平分，∴，
由勾股定理得，，
∴，
故答案为：．
三、作图题
17. 已知：如图，∠MON及边ON上一点A．
求作：在内部的点P，使得，且点P到两边的距离相等．
解：如图所示，点P即为所求．
四、解答题
18. （1）解不等式：
（2）解不等式：；
（3）解不等式组：，并写出它的最小负整数解．
解：（1）
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：；
（3）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
∴它最小负整数解为．
19. 是否存在实数x，使得，且？请说明理由．
解：不存在实数x，使得两个不等式都成立，理由如下：
解不等式得，
解不等式得，
∴不存在实数x，使得两个不等式都成立．
20. 为深入践行绿色发展理念，引导师生尊重自然、爱护自然，在第46个植树节来临之际，某校组织师生积极开展了“植此青绿，共树未来”主题植树活动，学校决定用不超过1800元的费用购买甲、乙两种树苗共60棵，已知甲种树苗每棵36元，乙种树苗每棵25元，则学校最多可以购买多少棵甲种树苗？
解：设学校购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗棵
由题意得：，
解得，
∵x为正整数，
∴的最大值为，
答：学校最多可以购买27棵甲种树苗．
21. 如图，在中，，，为上一点，交于点，且，连接，．请判断的形状，并说明理由．
解：是直角三角形．
理由如下：
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是直角三角形．
22. 如图，在中，，，，动点D从点A出发以1的速度向点C运动；动点E同时从点C出发以2的速度向点B运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接DE，设运动时间为t秒．
（1）当时，求的面积；
（2）当t为何值时，为直角三角形？
（1）解：当时，，
∴，
如图，作于，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴的面积为；
（2）解：由题意知，，，
∴，
当为直角三角形时，分，两种情况求解；
①当时，，
∴，即，解得，；
②当时，，
∴，即，解得，；
综上所述，当的值为或3时，为直角三角形．
23. 如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，．

（1）求证：是等边三角形；
（2）与有怎样的数量关系？请说明理由．
（1）证明：垂直平分，
，
，，
，
为等边三角形；
（2）解：，理由如下：
∵垂直平分，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴在直角中，
∴
24. 2024年是中国农历甲辰龙年，某购物中心有A，B两种龙年吉祥物出售．B种每个售价比A种多2元；购买20个A种龙年吉祥物和30个B种龙年吉祥物共需花费360元．
（1）A，B两种吉祥物每件售价各是多少？
（2）某爱心团队计划购买A种吉祥物送给特教学校的学生们作为新年礼物，且购买数量超过50个，购物中心给出两种优惠方案：
方案一：每个均按原售价的8折优惠；
方案二：前30个按原售价付款，超过30个的部分每个按原售价的5折优惠．
爱心团队选择哪种方案购买更合算？
（3）若购买A，B两种龙年吉祥物共60个，且购买A种的数量不多于B种的3倍，购买多少个A种龙年吉祥物花费最少？最少花费是多少？
（1）解：设种吉祥物每件售价元，则种吉祥物每件售价元．
根据题意，得，
解得，
（元，
种吉祥物每件售价6元，种吉祥物每件售价8元；
（2）解：设购买数量为个，按方案一购买需要元，按方案二购买需要元．
根据题意，，．
，
，
，
，
爱心团队选择方案二购买更合算；
（3）解：设购买种吉祥物个，则购买种吉祥物个．
根据题意，得，
解得．
设购买，两种龙年吉祥物共花费元，则，
，随的增大而减小，
，当时，取最小值，，
购买45个种龙年吉祥物花费最少，最少花费是390元．
25. 【定义新知】
给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”．
例如：不等式P：是Q：的子集．
同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”．
例如：不等式组M：是不等式组N：的子集．
【新知应用】
（1）请写出不等式的一个子集 ；
（2）若不等式组A：，不等式组B：，则其中不等式组 是不等式组M：的“子集”（填：A或B）；
（3）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是 ；
（4）若a，b，c，d为互不相等的整数，，，下列三个不等式组D：，E：，F：，满足：D是E的“子集”且E是F的“子集”，则的值为 ；
（5）已知不等式组G：有解，且不等式组H：是不等式组G的“子集”，且m，n为正整数，则的最大值为 ．
（1）解：∵的任意一个解都是不等式的一个解，
∴不等式的一个子集为：．（答案不唯一）．
故答案为：．（答案不唯一）．
（2）解：解不等式组A得：；
解不等式组B得：；
解不等式组M得：．
∵不等式组A的任意一个解，都是不等式组M的一个解，
∴不等式组A是不等式组M：的“子集”．
故答案为：A．
（3）解：∵不等式组的解集为：，关于x的不等式组是不等式组的“子集”，
∴关于x的不等式组的解集为．且．
∴．
故答案为：．
（4）解：∵E：，F：，E是F的“子集”，a，b，c，d为互不相等的整数，
∴．
∴．
∵D是E的“子集”，D：，
∴．
∴．
∴．
故答案为：120．
（5）解：∵不等式组G：有解，
∴解集为：．
∵不等式组H：是不等式组G的“子集”，
∴．
解得：．
∵m，n为正整数，求的最大值，
∴m最大为2，n最小为10．
∴的最大值为．
故答案为：．