数学：北京市海淀区2024届高三下学期查漏补缺试题（解析版）

这是一份数学：北京市海淀区2024届高三下学期查漏补缺试题（解析版），共22页。试卷主要包含了可根据学生实际选用或改编；，提供的答案仅供参考；等内容，欢迎下载使用。
说明：1.可根据学生实际选用或改编；
2.本练习题目目的是提醒学生4次统练未关注到的点，或重点知识，或变式的形式，学生不必全做；
3.提供的答案仅供参考；
4.老师们使用时，重点引导学生学会破题，提升学生思维的灵活性；
5.部分题目选用自学校的练习题或高考题，再此表示感谢.
预祝同学们取得好成绩！
1. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边.已知，若___________.在横线上选择下面一个序号作为条件，求的面积及c边上的高h.
①；②；③.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】条件选择见解析；，.
【解析】
【分析】依题意可得，再利用余弦定理可得，再根据所选条件求出，即可求出三角形面积，再根据等面积法求出高；
【详解】解：由，所以，由余弦定理，可得，
又，所以；
若选①，，由，解得，
故，
又，解得.
若选②，，由，解得，
故，
又，解得.
若选③，，由，即
解得，
故，
又，解得.
2. 在中，，.求：
（1）的值；
（2）和面积值．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用辅助角公式将题设化成，根据内角范围求出角即得；
（2）由正弦定理求得，结合条件确定依次求出角和边、.
【小问1详解】
由可得，即.
又则
故或解得或.
因，则不是最大角，故得，
所以
【小问2详解】
由正弦定理，可得. 则
因为，由余弦定理，，
则故
则
3. 若△同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解决下列问题：
（1）求边的值；
（2）求△的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：；
条件④：.
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）首先分析出①和④两个条件不能同时满足，然后分选择条件①②③和条件②③④讨论即可，当选择①②③时，利用三角恒等变换得，再利用正弦定理即可得到值；当选择②③④时，利用余弦定理即可求出答案；
（2）在（1）的选择情况下，利用三角形面积公式即可得到答案.
【小问1详解】
因为，由正弦定理得，
又因为，所以，所以.
由于，所以，又因为，所以.
当时，，
而时，的取值最多两个.
当时，或，
此时，或.
当时，因为，所以，即不可能为钝角.
由条件④知，，为钝角，
所以条件①和条件④不能同时满足.
因此有两种情况的解答：
选择条件①②③
因为不可能为钝角，
又因为，所以.
因为，且，
所以
所以，即，
又因为，所以，.
在△中，由正弦定理，
所以，
又因为，所以.所以，
选择条件②③④
由条件④知，，为钝角，
又因为，所以，所以.
又因为，所以.
由余弦定理得，得，
整理得，解得或（舍）.
【小问2详解】
选择条件①②③，
由（1）知，
又因为，所以，.
,
所以△的面积为.
选择条件②③④
结合第（1）问，此时，
所以,
所以△的面积为.
4. 在四边形中，，．
（1）连接，从下列三个等式中再选择两个作为条件，剩余的一个作为结论，要求构成一个真命题，并给出证明；
①；②；③
备选：连接，从上述三个等式中再选择两个作为条件，剩余的一个作为结论，构成一个命题，判断该命题的真假并给出证明；
（2）在（1）中真命题的条件下，求的周长的最大值；
（3）在（1）中真命题的条件下，连接，求的面积的最大值．
【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）若①②为条件，利用正弦定理可求得，得到或；当时，可求得，，知③不成立，则①②③为假命题；
若②③为条件，由正弦定理可求得，进一步可求得或，当时，可求得，知①不成立，则②③①为假命题；
若①③为条件，由正弦定理可求得，由此得到，知，从而证得②整理，则①③②为真命题；
（2）由（1）知：为直角三角形；在中利用余弦定理，结合基本不等式可求得的最大值，由此得到周长的最大值；
（3）设，，在中，根据正弦定理可利用表示出，将代入三角形面积公式，整理得到，由的范围可确定的最大值，由此确定三角形面积的最大值.
【详解】（1）①②③为假命题，证明如下：
在中，，，
由正弦定理知：，
，或．
当时，，，
又，，，此时，
成立．
当时，，，
又，，此时，．
综上：①②③为假命题．
②③①为假命题，证明如下：
，，由正弦定理得：，
，．
，．
，或．
当时，，此时，．
当时，，此时，．
综上：②③①假命题．
①③②为真命题，证明如下：
由正弦定理得：，
，
，，，
，证毕．
（2）由（1）知：为直角三角形，且，，，
在中，由余弦定理：得：，
整理得：，
，的最大值为，当且仅当时取等号．
的周长最大值为．
（3）在（1）中真命题的条件下，，，．
设，；，．
在中，，即，
可得，
的面积
，．
当，即时，的面积取得最大值．
【点睛】方法点睛：求解三角形周长、面积的最值问题通常有两种方法：
①利用正弦定理边化角，将周长和面积表示为与三角函数值域有关的问题的求解，利用三角恒等变换和三角函数的知识来进行求解；
②利用余弦定理构造方程，结合基本不等式求得基本范围；将所求式子化为符合基本不等式的形式或配凑成函数的形式来进行求解；应用此方法时，需注意基本不等式等号成立的条件.
5. 如图，矩形，，平面，，，，，平面与棱交于点. 再从条件①、条件②、条件③，这三个条件中选择一个作为已知.
（1）求证：；
（2）求直线与平面夹角的正弦值；
（3）求的值.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先证明平面平面，得平面，再证即可；
（2）依题建系，分别就① ，② ，③，写出相关点的坐标，求得平面的法向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得；
（3）设，求得，分别利用①，②，③求得，结合列方程组，求出即得
【小问1详解】
因为，平面，平面，故平面，
由矩形可得，平面，平面,故平面,
又 ，且平面，平面，故平面平面，
又因平面，故平面，
因平面，平面平面
所以，即；
【小问2详解】
若选择条件①，因为平面，平面,，.
又有，如图，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，故可取.
设直线与平面夹角为，则
，
即直线与平面夹角的正弦值；
若选择条件②，因为平面，平面,，.
又有，如图，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，故可取.
设直线与平面夹角为，则
，
即直线与平面夹角的正弦值；
若选择条件③，因为平面，平面,，.
又有，如图，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，故可取.
设直线与平面夹角为，则
，
即直线与平面夹角的正弦值.
【小问3详解】
由（2）建系，且可知无论选择①，②，③哪个条件，都有.
设，，则，
由（1）知，所以
故存在实数，使得,即，解得,符合题意.
故得.
6. 在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病.为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：
（1）求样本中患病者的人数和图中，的值；
（2）在该指标检测值为4的样本中随机选取2人，求这2人中有患病者的概率；
（3）某研究机构提出，可以选取常数（），若一名从业者该项身体指标检测值大于，则判断其患有这种职业病；若检测值小于，则判断其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病.写出使得判断错误的概率最小的的值及相应的概率（只需写出结论）.
【答案】（1）样本患病人数为人，，；
（2）；
（3），误判概率为.
【解析】
【分析】（1）根据等比例原则求患者人数，由频率和为1，列方程求a、b的值；
（2）分别求出样本中指标检测值为4的未患病者、患病者人数，应用对立事件概率求法求概率；
（3）判断且对应的误判率，即可得结果.
【小问1详解】
由题设，患病者与未患病者的比例为，故患者人数为人；
由直方图知：，可得，
，可得.
小问2详解】
由题意，指标检测值为4的未患病者有人，
指标检测值为4的患病者有人；
所以指标检测值为4的样本中随机选取2人，这2人中有患病者的概率的概率.
【小问3详解】
若为未患病者，为患病者，为体指标检测值为者，
所以100名样本中，，，
当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为0、54，误判率为；
当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为0、33，误判率为；
当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为4、18，误判率为；
当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为12、9，误判率为；
当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为3、24，误判率为；
综上，当时误判概率最小为.
7. 为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区的小学学校联合开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了30名学生，将他们的比赛成绩（单位：分）用茎叶图记录如图：
（1）求这组数据的中位数；
（2）从选出的15名女生中随机抽取2人，记其中测试成绩在90分以上的人数为，求 的分布列和数学期望；
（3）为便于普及冬奥知识，现从每所小学参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机选取个人作为冬奥宣传志愿者，要求每所学校的志愿者中至少有1人的“冰雪答题王”的测试成绩在80分以上的概率大于0.99．根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值.（只需写出结论）
【答案】（1）80.5
（2）分布列见解析，
（3）7.
【解析】
【分析】（1）将数据从小到大排序，根据中位数定义计算即得；
（2）列出的可能取值并计算相应的概率值，写出分布列表，计算均值即得；
（3）设事件，利用对立事件的概率公式算出，依题建立不等关系，解之取整即得.
【小问1详解】
将30个数据从小到大排序：58，60，66，68，69，70，75，75，76，76，76，78，
78，78，79，82，84，86，86，86，87，88，90，92，92，95，96，98，98，98.
则中位数是；
【小问2详解】
选出的15名女生中90分以上的有3人，则的可能取值有.

故的分布列为:
的数学期望；
【小问3详解】
的最小值为7.
根据图表中数据，30人中有15人的成绩在80分以上，由频率估计概率，随机抽取1人，
该人成绩在80分以上的概率为.
设每所学校的志愿者中至少有1人的“冰雪答题王”的测试成绩在80分以上为事件.
则其中无一人达到测试成绩在80分以上的概率为，
依题意，，解之得，故的最小值为7.
8. 已知函数．
（1）证明：不论取何值，曲线均存在一条固定的切线，并求出该切线方程；
（2）若为函数的极小值点，求的取值范围；
（3）曲线是否存在两个不同的点关于轴对称，若存在，请给出这两个点的坐标及此时的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；；（2）；（3）不存在；答案见解析．
【解析】
【分析】（1）求出导数，求出与无关的导数值，得切点及斜率，从而得切线方程；
（2）在导函数中，令，由导数得出时，，递增，，然后按，，分类讨论，确定0是极小值点，得结论．
（3）设，由（2）可知函数在上单调递增，用反证法证明即可．
【详解】（1），
易得，均与无关，
所以不论取何值，曲线都存在固定切线为．
（2），
设，则，
当时，即函数在上单调递增，且．
①当时，函数在上单调递增，无极值，不符；
②当时，由函数得性质可知：
存在，当时，，
函数单调递减，与为函数的极小值点矛盾，不符；
③当时，由函数得性质可知：
存在，当时，，单调递减，
又因为当时，，单调递增，
所以为函数的极小值点，符合．
综上有．
（3）不存在，理由如下：
设，由（2）可知函数在上单调递增，
假设曲线存在两个不同的点关于轴对称，
设其坐标分别为，，其中．
由得：，
与在上单调递增矛盾，
所以曲线不存在两个不同的点关于轴对称．
【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，导数与极值．解题关键掌握导数与单调性的关系，极值的定义．是函数的极小值点除必须有外还必须在左侧，右侧．
9. 已知焦点在轴上，中心在原点，离心率为的椭圆经过点，动点（不与定点重合）均在椭圆上，且直线与的斜率之和为1，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证直线经过定点；
（3）求的面积的最大值
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）由点在椭圆上可建立的关系，结合离心率，即可求出的值，从而求出椭圆方程；（2）设直线为，与椭圆联立，由韦达定理可建立的关系，因为斜率和为1，代入坐标和韦达定理，可解出的关系，从而求出直线所过定点；（3）由（2）所解关系，代入的取值，求出弦长和原点到直线的距离，可求出三角形的面积，结合不等式即可求出面积的最大值.
【详解】（1）设椭圆（）的离心率为，
可知，又因为，所以．
由定点在椭圆上可得，故，．
所以椭圆的方程为．
（2）当直线与轴垂直时，设（），则．
由题意得：，即．所以直线的方程为．
当直线不与轴垂直时，可设直线为，，，
将代入得．
所以，．
由直线与的斜率之和为1可得①，
将和代入①，
并整理得②，
将，代入②，
并整理得，
分解因式可得，
因为直线：不经过点，所以，故．
所以直线的方程为，经过定点．
综上所述，直线经过定点．
（3）由（2）可得：，．
．
因为坐标原点到直线的距离为，
所以的面积（）．
令，则，且，
当且仅当，即时，的面积取得最大值．
【点睛】思路点睛：（1）直线与椭圆的位置关系，经常采用直线和椭圆联立，设而不求，代入韦达定理解题；（2）直线过定点问题，，若，则可写为，即直线过定点；（3）求三角形的面积：以弦长为底，以顶点到直线的距离为高，用底高的方法计算.
10. 已知点A，B在椭圆上，点A在第一象限，O为坐标原点，且.
（1）若，直线的方程为，求直线的斜率；
（2）若是等腰三角形(点O，A，B按顺时针排列)，求的最大值.
【答案】（1）；（2）最大值
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求出点坐标即可得结果；
（2）法1：设，因为是等腰直角三角形得两坐标点关系，分别代入椭圆方程得一元二次方程有解，故判别式大于或等于零，化简求得不等式，即可求得最大值；法2：设直线的斜率为，因为是等腰直角三角形且，所以直线的斜率为或，故用 两直线分别联立椭圆方程解得坐标，由列方程求得关系即可求结果.
【详解】（1）由，，得椭圆方程为.
由得或
因为点A在第一象限，所以.
又，
所以直线的方程为，即.

由得或所以，
所以直线的斜率为.
（2）法1：设直线的斜率为，则直线的斜率为.
因为是等腰直角三角形(点O，A，B按顺时针排列)，
所以设.
又，所以，
得.
所以，即.
又由，得，所以.
因为点，在椭圆上，
所以所以.
整理得.
所以，即.
因为，
所以，即，
所以，
当时，取最大值.
法2：设直线的斜率为，倾斜角为.
因为是等腰直角三角形(点O，A，B按顺时针排列)，且，
所以直线的斜率为或.
所以.
设，，.
由得.
由得.
又，所以，得，
.
整理得，
所以，即，
所以.
因为，
所以，即，
所以，
当时，取最大值.
未患病者
6
21
15
9
6
3
患病者
0
0
4
8
12
16
0
1
2