辽宁省营口市协作校2022-2023学年八年级下学期第三次质检数学试卷（含答案与解析）

这是一份辽宁省营口市协作校2022-2023学年八年级下学期第三次质检数学试卷（含答案与解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列对于二次根式的计算正确的是（ ）
A．B．2＝2C．2＝2D．2＝
3．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2且x≠0B．x≠0C．x≥﹣2D．x≥﹣2且x≠0
4．若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较小的内角是（ ）
A．90°B．60°C．120°D．45°
5．如图，长方形OABC的边OA长为2，AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A．2.5B．C．D．3
6．如图，正方形ABCD的面积是（ ）
A．5B．25C．7D．1
7．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝7，∠ABC的平分线交AD于点E，则ED等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．直线y＝3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是（ ）
A．y＝3x+3B．y＝3x﹣2C．y＝3x+2D．y＝3x﹣1
9．如图，直线y1＝k1x+a与y2＝k2x+b的交点坐标为（4，8），则使y1＜y2的x的取值范围为（ ）
A．x＞4B．x＞8C．x＜4D．x＜8
10．在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE⊥PD的延长线于点E，连接AE、BE、FA⊥AE交DP于点F，连接BF，FC．下列结论：①△ABE≌△ADF；②FB＝AB；③CF⊥DP；④FC＝EF，其中正确的是（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④
二、填空题。（每题3分，共18分）
11．计算：3+2的结果是 ．
12．如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象，则方程组的解为 ．
13．如图，在正方形ABCD中，AB＝9，点E在CD边上，且DE＝2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是 ．
14．如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN于点D，主梁上两根拉索AB、AC长分别为13米、20米，主梁AD的高度为12米，则固定点B、C之间的距离为 米．
15．若点A（2，a）、B（﹣1，b）在直线y＝﹣x+1上，则a、b的大小关系是a b．（填“＞”、“＝”或“＜”）
16．已知一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图所示，则下列结论：
①k＜0；
②a＞0；
③b＜0；
④关于x的方程kx+b＝x+a的解为x＝3；
⑤x＞3时，y1＜y2．
其中正确的结论是 ．（只填序号）
三、解答题。
17．（12分）计算：
（1）；
（2）．
18．（10分）先化简，再求值．÷（1﹣），其中x＝．
19．（8分）已知一次函数的图象过点（1，﹣1），（﹣1，2）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）求当x＝2时的函数值．
20．（10分）已知，直线y＝2x+3与直线y＝﹣2x﹣1．
（1）求两直线与y轴交点A，B的坐标；
（2）求两直线交点C的坐标；
（3）求△ABC的面积．
21．（10分）如图，▱ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．
22．（12分）已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF＝DC，连接CF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
23．（12分）某市的A县和B县春季育苗，急需化肥分别为90t和60t，该市的C县和D县分别储存化肥100t和50t，全部调配给A县和B县．已知从C县运化肥到A县的运费为35元/t，从C县运化肥到B县的运费为30元/t，从D县运化肥到A县的运费为40元/t，从D县运化肥到B县的运费为45元/t．
（1）设C县运到A县的化肥为xt，求总运费W（单位：元）关于x（单位：t）的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案．
24．（14分）在边长为1的正方形ABCD中，点E是射线BC上一动点，AE与BD相交于点M，AE或其延长线与DC或其延长线相交于点F，G是EF的中点，连接CG．
（1）如图1，当点E在BC边上时．求证：①△ABM≌△CBM；②CG⊥CM．
（2）如图2，当点E在BC的延长线上时，（1）中的结论②是否成立？请写出结论，不用证明．
（3）试问当点E运动到什么位置时，△MCE是等腰三角形？请说明理由．
25．（14分）在坐标平面中，直线y＝x+5分别交x轴、y轴于A、B，直线y＝﹣2x+20分别交x轴、y轴于C、D，直线AB、CD相交于E，
（1）求点E的坐标；
（2）点P为线段AE上的一点，过点P作x轴的平行线分别交直线CB、CD于F、G，设P点的横坐标为m，线段PF的长度为d，求d与m的函数关系式（直接写出自变量m的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当直线EF把△BCD的面积分成2：3两部分时，求m的值．
参考答案与试题解析
一、选择题。（每题3分，共30分）
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用最简二次根式的定义：被开方数不含分母，分母中不含根号，且被开方数不含能开的尽方的因数，判断即可．
【解答】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意；
B、＝，不是最简二次根式，故此选项不合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．
2．下列对于二次根式的计算正确的是（ ）
A．B．2＝2C．2＝2D．2＝
【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
【解答】解：A、+＝2，所以A选项错误；
B、原式＝，所以B选项错误；
C、原式＝2，所以C选项正确；
D、原式＝6，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
3．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2且x≠0B．x≠0C．x≥﹣2D．x≥﹣2且x≠0
【分析】根据分式、二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：，
∴x≥﹣2且x≠0，
故选：D．
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
4．若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较小的内角是（ ）
A．90°B．60°C．120°D．45°
【分析】根据平行四边形的性质得出AB∥CD，推出∠B+∠C＝180°，根据∠B：∠C＝1：2，求出∠B即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B：∠C＝1：2，
∴∠B＝×180°＝60°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质和平行四边形的性质的应用，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．
5．如图，长方形OABC的边OA长为2，AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A．2.5B．C．D．3
【分析】本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系（勾股定理）解答即可．
【解答】解：由勾股定理可知，
∵OB＝＝，
∴这个点表示的实数是．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的运用和如何在数轴上表示一个无理数的方法，解决本题的关键是根据勾股定理求出OB的长．
6．如图，正方形ABCD的面积是（ ）
A．5B．25C．7D．1
【分析】根据勾股定理以及正方形的面积公式即可求出答案．
【解答】解：设正方形的边长为c，
由勾股定理可知：c2＝32+42，
∴c2＝25，
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．
7．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝7，∠ABC的平分线交AD于点E，则ED等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】由四边形ABCD为平行四边形，得到AD与BC平行，AD＝BC，利用两直线平行得到一对内错角相等，由BE为角平分线得到一对角相等，等量代换得到∠ABE＝∠AEB，利用等角对等边得到AB＝AE＝4，由AD﹣AE求出ED的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝7，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AB＝AE＝4，
∴ED＝AD﹣AE＝BC﹣AE＝7﹣4＝3．
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解本题的关键．
8．直线y＝3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是（ ）
A．y＝3x+3B．y＝3x﹣2C．y＝3x+2D．y＝3x﹣1
【分析】直接利用一次函数平移规律进而得出答案．
【解答】解：直线y＝3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是：y＝3x+1﹣2＝3x﹣1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
9．如图，直线y1＝k1x+a与y2＝k2x+b的交点坐标为（4，8），则使y1＜y2的x的取值范围为（ ）
A．x＞4B．x＞8C．x＜4D．x＜8
【分析】根据当x＜4时，直线y1的图象在y2图象的下方即可得出答案．
【解答】解：∵当x＜4时，直线y1的图象在y2图象的下方，y1＜y2，
∴使y1＜y2的x的取值范围是x＜4．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，考查数形结合的思想，掌握当x＜4时，直线y1的图象在y2图象的下方是解题的关键．
10．在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE⊥PD的延长线于点E，连接AE、BE、FA⊥AE交DP于点F，连接BF，FC．下列结论：①△ABE≌△ADF；②FB＝AB；③CF⊥DP；④FC＝EF，其中正确的是（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④
【分析】根据已知和正方形的性质推出∠EAB＝∠DAF，∠EBA＝∠ADP，AB＝AD，证△ABE≌△ADF即可；取EF的中点M，连接AM，推出AM＝MF＝EM＝DF，证∠AMB＝∠FMB，BM＝BM，AM＝MF，推出△ABM≌△FBM即可；求出∠FDC＝∠EBF，推出△BEF≌△DFC即可．
【解答】解：∵正方形ABCD，BE⊥ED，EA⊥FA，
∴AB＝AD＝CD＝BC，∠BAD＝∠EAF＝90°＝∠BEF，
∵∠APD＝∠EPB，
∴∠EAB＝∠DAF，∠EBA＝∠ADP，
∵AB＝AD，
∴△ABE≌△ADF，∴①正确；
∴AE＝AF，BE＝DF，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，
取EF的中点M，连接AM，
∴AM⊥EF，AM＝EM＝FM，
∴BE∥AM，
∵AP＝BP，
∴AM＝BE＝DF，
∴∠EMB＝∠EBM＝45°，
∴∠AMB＝90°+45°＝135°＝∠FMB，
∵BM＝BM，AM＝MF，
∴△ABM≌△FBM，
∴AB＝BF，∴②正确；
∴∠BAM＝∠BFM，
∵∠BEF＝90°，AM⊥EF，
∴∠BAM+∠APM＝90°，∠EBF+∠EFB＝90°，
∴∠APF＝∠EBF，
∵AB∥CD，
∴∠APD＝∠FDC，
∴∠EBF＝∠FDC，
∵BE＝DF，BF＝CD，
∴△BEF≌△DFC，
∴CF＝EF，∠DFC＝∠FEB＝90°，
∴③正确；④正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查对正方形的性质，等腰直角三角形，直角三角形斜边上的中线性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
二、填空题。（每题3分，共18分）
11．计算：3+2的结果是 5 ．
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：3+2＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．
12．如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象，则方程组的解为 ．
【分析】一次函数图象的交点就是两函数组成的方程组的解．
【解答】解：∵函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点（﹣2，﹣1），
∴方程组的解是．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程（组）与一次函数的关系．
13．如图，在正方形ABCD中，AB＝9，点E在CD边上，且DE＝2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是 3． ．
【分析】连接BP，BE，则BP＝DP，PE+PD＝PE+PB≥BE，即PE+PD的最小值是BE长度．
【解答】解：连接BP，BE，则BP＝DP，
∴PE+PD＝PE+PB≥BE，
即PE+PD的最小值是BE长度，
∵AB＝9，DE＝2CE，
∴CE＝＝＝3，
∴BE＝＝＝3，
∴PE+PD的最小值是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查轴对称最短问题以及矩形的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
14．如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN于点D，主梁上两根拉索AB、AC长分别为13米、20米，主梁AD的高度为12米，则固定点B、C之间的距离为 21 米．
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB、AC长分别为13米、20米，AD的高度为12米，
∴BD＝（米），DC＝（米）
∴BC＝BD+DC＝5+16＝21（米），
故答案为：21．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15．若点A（2，a）、B（﹣1，b）在直线y＝﹣x+1上，则a、b的大小关系是a ＜ b．（填“＞”、“＝”或“＜”）
【分析】由k＝﹣1＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合2＞﹣1，即可得出a＜b．
【解答】解：∵k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小．
又∵2＞﹣1，
∴a＜b．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
16．已知一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图所示，则下列结论：
①k＜0；
②a＞0；
③b＜0；
④关于x的方程kx+b＝x+a的解为x＝3；
⑤x＞3时，y1＜y2．
其中正确的结论是 ①④⑤ ．（只填序号）
【分析】根据y1＝kx+b和y2＝x+a的图象可知：k＜0，a＜0，所以当x＞3时，相应的x的值，y1图象均低于y2的图象．
【解答】解：∵一次函数y1＝kx+b的图象经过一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
故①正确，③错误；
∵一次函数y2＝x+a的图象经过一、三、四象限，
∴a＜0，故②错误；
∵一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的交点的横坐标为3，
∴关于x的方程kx+b＝x+a的解为x＝3，故④正确；
由图象可知，当x＞3时，y1＜y2，故⑤正确；
故正确的结论是①④⑤．
故答案为①④⑤．
【点评】本题考查一次函数的图象，考查学生的分析能力和读图能力，一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
三、解答题。
17．（12分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用乘法公式以及零指数幂的性质、二次根式的除法运算法则分别化简，进而合并得出答案；
（2）直接利用乘法公式以及二次根式的乘法运算法则分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣（6+4+2）+1
＝4﹣8﹣4+1
＝﹣7；
（2）原式＝（7+4）（7﹣4）﹣（4﹣3）+
＝49﹣48﹣1+
＝．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算以及零指数幂的性质，正确运用乘法公式化简是解题关键．
18．（10分）先化简，再求值．÷（1﹣），其中x＝．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷＝﹣•＝﹣x﹣1，
当x＝时，原式＝﹣﹣1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（8分）已知一次函数的图象过点（1，﹣1），（﹣1，2）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）求当x＝2时的函数值．
【分析】（1）已知函数经过点（1，﹣1）、（﹣1，2），根据待定系数法就可以求出函数解析式，
（2）将x＝2代入（1）中函数解析式，计算可得．
【解答】解：（1）设这个函数解析式为：y＝kx+b，
将（1，﹣1），（﹣1，2）代入，
得：，
解得：，
故这个函数解析式为：y＝﹣x+；
（2）在函数y＝﹣x+中，
当x＝2时，y＝﹣×2+＝﹣．
【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式以及函数值得求法，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
20．（10分）已知，直线y＝2x+3与直线y＝﹣2x﹣1．
（1）求两直线与y轴交点A，B的坐标；
（2）求两直线交点C的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）构建方程组确定交点坐标即可；
（3）过点C作CD⊥AB交y轴于点D，根据S△ABC＝AB•CD计算即可；
【解答】解：（1）在y＝2x+3中，当x＝0时，y＝3，即A（0，3）；
在y＝﹣2x﹣1中，当x＝0时，y＝﹣1，即B（0，﹣1）；
（2）依题意，得，
解得；
∴点C的坐标为（﹣1，1）；
（3）过点C作CD⊥AB交y轴于点D；
∴CD＝1；
∵AB＝3﹣（﹣1）＝4；
∴S△ABC＝AB•CD＝×4×1＝2．
【点评】本题考查两条直线平行或相交问题、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．
21．（10分）如图，▱ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．
【分析】本题中，在连接BD交AC于O，则可知OB＝OD，OA＝OC，又AE＝CF，所以OE＝OF，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．
【解答】证明：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO
∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣CF．
即EO＝FO．
∴四边形BEDF为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，要求对平行四边形的所有判定都要掌握．
22．（12分）已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF＝DC，连接CF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）可证△AFE≌△DBE，得出AF＝BD，进而根据AF＝DC，得出D是BC中点的结论；
（证法2：可根据AF平行且相等于DC，得出四边形ADCF是平行四边形，从而证得DE是△BCF的中位线，由此得出D是BC中点）
（2）若AB＝AC，则△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知AD⊥BC；而AF与DC平行且相等，故四边形ADCF是平行四边形，又AD⊥BC，则四边形ADCF是矩形．
【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE．
∵AF∥BC，
∴∠FAE＝∠BDE，∠AFE＝∠DBE．
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）．
∴AF＝BD．
∵AF＝DC，
∴BD＝DC．
即：D是BC的中点．
（2）解：四边形ADCF是矩形；
证明：∵AF＝DC，AF∥DC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC即∠ADC＝90°．
∴平行四边形ADCF是矩形．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用．
23．（12分）某市的A县和B县春季育苗，急需化肥分别为90t和60t，该市的C县和D县分别储存化肥100t和50t，全部调配给A县和B县．已知从C县运化肥到A县的运费为35元/t，从C县运化肥到B县的运费为30元/t，从D县运化肥到A县的运费为40元/t，从D县运化肥到B县的运费为45元/t．
（1）设C县运到A县的化肥为xt，求总运费W（单位：元）关于x（单位：t）的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案．
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以写出总运费W（单位：元）关于x（单位：t）的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；
（2）根据（1）中的函数关系式和一次函数的性质，可以求得最低总运费和此时的运送方案．
【解答】解：（1）设C县运到A县的化肥为xt，则C县运到B县的化肥为（100﹣x）t，D县运到A县的化肥为（90﹣x）t，D县运到B县的化肥为60﹣（100﹣x）＝（x﹣40）t，
由题意可得：W＝35x+40（90﹣x）+30（100﹣x）+45（x﹣40）＝10x+4800，
∵，
解得40≤x≤90，
即总运费W（单位：元）关于x（单位：t）的函数解析式是W＝10x+4800（40≤x≤90）；
（2）由（1）知：W＝10x+4800，
∴W随x的增大而增大，
∵40≤x≤90，
∴当x＝40时，W取得最小值，此时W＝4900，100﹣x＝60，90﹣x＝50，x﹣40＝0，
答：最低总运费为4900元，此时的运送方案是：C县的100t化肥40t运往A县，60t运往B县，D县的50t化肥全部运往A县．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．
24．（14分）在边长为1的正方形ABCD中，点E是射线BC上一动点，AE与BD相交于点M，AE或其延长线与DC或其延长线相交于点F，G是EF的中点，连接CG．
（1）如图1，当点E在BC边上时．求证：①△ABM≌△CBM；②CG⊥CM．
（2）如图2，当点E在BC的延长线上时，（1）中的结论②是否成立？请写出结论，不用证明．
（3）试问当点E运动到什么位置时，△MCE是等腰三角形？请说明理由．
【分析】（1）①由正方形的性质得出AB＝BC，∠ABM＝∠CBM，由SAS证明△ABM≌△CBM即可．
②由全等三角形的性质得出∠BAM＝∠BCM，由直角三角形斜边上的中线性质得出GC＝GF，证出∠GCF＝∠F，由平行线的性质得出∠BAM＝∠F，因此∠BCM＝∠GCF，得出∠BCM+∠GCE＝∠GCF+∠GCE＝90°，即可得出结论；
（2）同（1），即可得出结论；
（3）①当点E在BC边上时，由∠MEC＞90°，要使△MCE是等腰三角形，必须EM＝EC，得出∠EMC＝∠ECM，由三角形的外角性质得出∠AEB＝2∠BCM＝2∠BAE，由直角三角形的性质得出∠BAE＝30°，得出BE＝AB＝；
②当点E在BC的延长线上时，同①知BE＝；即可得出结论．
【解答】（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠CBM，
在△ABM和△CBM中，，
∴△ABM≌△CBM（SAS）．
②∵△ABM≌△CBM
∴∠BAM＝∠BCM，
又∵∠ECF＝90°，G是EF的中点，∴GC＝EF＝GF，
∴∠GCF＝∠GFC，
又∵AB∥DF，
∴∠BAM＝∠GFC，
∴∠BCM＝∠GCF，
∴∠BCM+∠GCE＝∠GCF+∠GCE＝90°，
∴GC⊥CM；
（2）解：成立；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠CBM，
在△ABM和△CBM中，，
∴△ABM≌△CBM（SAS）
∴∠BAM＝∠BCM，
又∵∠ECF＝90°，G是EF的中点，
∴GC＝GF，
∴∠GCF＝∠GFC，
又∵AB∥DF，
∴∠BAM＝∠GFC，
∴∠BCM＝∠GCF，
∴∠GCF+∠MCF＝∠BCM+MCFE＝90°，
∴GC⊥CM；
（3）解：分两种情况：①当点E在BC边上时，
∵∠MEC＞90°，要使△MCE是等腰三角形，必须EM＝EC，
∴∠EMC＝∠ECM，
∴∠AEB＝2∠BCM＝2∠BAE，
∴2∠BAE+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝AB＝；
②当点E在BC的延长线上时，同①知BE＝．
综上①②，当BE＝或BE＝时，△MCE是等腰三角形．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．
25．（14分）在坐标平面中，直线y＝x+5分别交x轴、y轴于A、B，直线y＝﹣2x+20分别交x轴、y轴于C、D，直线AB、CD相交于E，
（1）求点E的坐标；
（2）点P为线段AE上的一点，过点P作x轴的平行线分别交直线CB、CD于F、G，设P点的横坐标为m，线段PF的长度为d，求d与m的函数关系式（直接写出自变量m的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当直线EF把△BCD的面积分成2：3两部分时，求m的值．
【分析】（1）联立两直线解析式，解二元一次方程组即可求出点E的坐标；
（2）先求出点B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后分①当点P在线段AB上时，根据点P、F、G的纵坐标相同表示出点P、F的坐标，然后根据PF的长度等于点F的横坐标减去点P的横坐标，计算即可得解；②当点P在线段EB上时，根据点P、F、G的纵坐标相同表示出点P、F的坐标，然后根据PF的长度等于点P的横坐标减去点F的横坐标，计算即可得解；
（3）先求出点D的坐标，再求出点G的坐标，然后表示出FG，然后求出△BCD的面积，再分①点P在AB上时，根据△EFC的面积占2份列式求解即可得到m的值；②点P在EB上时，设EF与y轴的交点为M，根据△DME的面积占2份列式求出DM的长，从而求出点M的坐标，然后求出直线EM的解析式，再与直线BC的解析式联立求解即可得到F的坐标，然后根据与点P的纵坐标相等计算即可求出m的值．
【解答】解：（1）联立，
解得．
所以，点E（5，10）；
（2）由题意可知B（0，5），C（10，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
①当点P在线段AB上时（如图1），
∵P、F、G三点具有相同的纵坐标，
∴P（m，m+5），F（﹣2m，m+5），
∴d＝﹣2m﹣m＝﹣3m （﹣5≤m＜0），
②当点P在线段EB上时（如图2），
∵P、F、G三点具有相同的纵坐标，
∴P（m，m+5），F（﹣2m，m+5），
∴d＝m﹣（﹣2m）＝3m（0＜m≤5）；
（3）D（0，20），G（，m+5），FG＝﹣（﹣2m）＝，
S△DBC＝DB×OC＝×15×10＝75，
①如图1，当S△EFC：S△DBC＝2：5时，S△EFC＝30，
∴S△EFC＝××10＝30，
∴m＝﹣1，
②如图2，EF交y轴于点M，当S△DME：S△DBC＝2：5时，S△DME＝30，
∴DM＝12∴M（0，8），
可求直线EM的解析式为y＝x+8，
∵，
∴，
∴F（﹣，），
∴m+5＝，
∴m＝，
∴当直线EF把△BCD的面积分成2：3两部分时，m的值为﹣1或．
【点评】本题考查了一次函数综合题，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，联立两直线解析式求交点坐标，三角形的面积，难点在于要根据动点P的位置分情况讨论．