人教版高中数学选择性必修第三册6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)B组能力提高训练（含解析）

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1．（2021·吉林扶余市第一中学高二）若准备用1个字符给一本书编号，其中可用字符为字母，，，也可用数字字符1，2，3，4，5，则不同的编号有（ ）
A．2种B．5种C．8种D．15种
2．（2021·全国高二课时练）设M、N是两个非空集合，定义M⊗N={（a，b）|a∈M，b∈N}，若P={0，1，2 }，Q={1，2}，则P⊗Q中元素的个数是（ ）
A．4B．9C．6D．3
3．（2021·陕西西安市高二期末）将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务，不同的分配方案有（ ）
A．12种B．9种C．8种D．6种
4.（2021·全国高二课时练）若一位三位数的自然数各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定义为“单重数”.例如：232，114等，则不超过200的“单重数”中，从小到大排列第22个“单重数”是（ ）
A．166B．171C．181D．188
5．（多选题）（2021·全国高二课时练）有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是（ ）
A. 每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
B. 每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
C. 每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种
D. 每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种
6. （多选题）（2021·辽宁本溪市·高二月考）几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；(4)丁在下落的过程中依次撞击到树枝，，；(5)戊在下落的过程中依次撞击到树枝，，，下列结论正确的是（ ）
A．最高处的树枝为､当中的一个
B．最低处的树枝一定是
C．这九棵树枝从高到低不同的顺序共有33种
D．这九棵树枝从高到低不同的顺序共有32种
二、填空题
7．（2021·全国高二课时练）某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为_____________.
8．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343 ，12521等.两位数的回文数有11 ，22 ，3，……，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是_____________.
9．（2020·福建漳州高二月考）高三年段有四个老师分别为，这四位老师要去监考四个班级，每个老师只能监考一个班级，一个班级只能有一个监考老师.现要求老师不能监考班，老师不能监考班，老师不能监考班，老师不能监考班，则不同的监考方式有____种.
10．（2021·全国高二课时练习）工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________．
三、解答题
11．已知集合，若a，b，c∈M，则：
（1）可以表示多少个不同的二次函数？
（2）可以表示多少个图象开口向上的二次函数？
12．现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人,高三年级9人.
(1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？
(2)每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？
(3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？
人教版高中数学选择性必修第三册
6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)B组能力提高训练（解析版）
一、选择题
1．（2021·吉林扶余市第一中学高二）若准备用1个字符给一本书编号，其中可用字符为字母，，，也可用数字字符1，2，3，4，5，则不同的编号有（ ）
A．2种B．5种C．8种D．15种
【答案】C
【详解】由题意这本书的编号可能是字母，，，有3种,可能是数字：1，2，3，4，5，有效种，共有3+5=8种．故选：C．
2．（2021·全国高二课时练）设M、N是两个非空集合，定义M⊗N={（a，b）|a∈M，b∈N}，若P={0，1，2 }，Q={1，2}，则P⊗Q中元素的个数是（ ）
A．4B．9C．6D．3
【答案】C
【详解】因为P={0，1，2}，Q={1，2}，所以a有3种选法，b有2种取法，
根据乘法原理，可得P⊗Q中元素的个数是：3×2=6（个）．故选C．
3．（2021·陕西西安市高二期末）将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务，不同的分配方案有（ ）
A．12种B．9种C．8种D．6种
【答案】C
【详解】每名防控新冠疫情志愿者都有两种不同的分配方法，根据分步计数原理可知，不同的分配方案总数为种.故选：C
4.（2021·全国高二课时练）若一位三位数的自然数各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定义为“单重数”.例如：232，114等，则不超过200的“单重数”中，从小到大排列第22个“单重数”是（ ）
A．166B．171C．181D．188
【答案】B
【详解】由题意可得：不超过200的数，
两个数字一样同为0时，有100，200有2个，
两个数字一样同为1时，有110，101，112，121，113，131，一直到191，119，共18个，
两个数字一样同为2时，有122，有1个
同理，两个数字一样同为3，4，5，6，7，8，9时各1个，
综上，不超过200的“单重数”共有，
其中最大的是200，较小的依次为199，191，188，181，177，171，
故第22个“单重数”为171，故选：B.
5．（多选题）（2021·全国高二课时练）有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是（ ）
A. 每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
B. 每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
C. 每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种
D. 每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种
【答案】AC
【详解】对于A选项， 第1个同学有3种报法，第2个同学有3种报法，后面的2个同学也有3种报法，根据分步计数原理共有种结果，A正确，B错误；对于C选项，每个社团限报一个人，则第1个社团有4种选择，第2个社团有3种选择，第3个社团有2种选择，根据分步计数原理共有种结果，C正确，D错误.
6. （多选题）（2021·辽宁本溪市·高二月考）几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；(4)丁在下落的过程中依次撞击到树枝，，；(5)戊在下落的过程中依次撞击到树枝，，，下列结论正确的是（ ）
A．最高处的树枝为､当中的一个
B．最低处的树枝一定是
C．这九棵树枝从高到低不同的顺序共有33种
D．这九棵树枝从高到低不同的顺序共有32种
【答案】AC
【详解】解：由题判断出部分树枝由高到低的顺序为，还剩下，，，且树枝比高，树枝在树枝，之间，树枝比低，故选项正确；
先看树枝，有4种可能，若在，之间，
则有3种可能：①在，之间，有5种可能；
②在，之间，有4种可能；
③在，之间，有3种可能，
此时树枝的高低顺序有（种）。
若不在，之间，则有3种可能，有2中可能，
若在，之间，则有3种可能，
若在，之间，则有三种可能，
此时树枝的高低顺序有（种）可能，
故这九根树枝从高到低不同的顺序共有种，故选项正确.故选：AC.
二、填空题
7．（2021·全国高二课时练）某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为_____________.
【答案】54
【详解】甲有三个培训可选，甲乙不参加同一项，所以乙有二个培训可选，丙、丁各有三个培训可选，根据乘法计数原理，不同的报名方法种数为.
8．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343 ，12521等.两位数的回文数有11 ，22 ，3，……，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是_____________.
【答案】40
【详解】由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为，，，.如果末（首）位为，中间一位数有种可能，同理可得，如果末（首）位为或或，
中间一位数均有种可能，所以有个.
9．（2020·福建漳州高二月考）高三年段有四个老师分别为，这四位老师要去监考四个班级，每个老师只能监考一个班级，一个班级只能有一个监考老师.现要求老师不能监考班，老师不能监考班，老师不能监考班，老师不能监考班，则不同的监考方式有____种.
【答案】9
【解析】当老师监考班时，剩下的三位老师有3种情况，同理当老师监考班时，也有3种，当老师监考班时，也有3种，共9种，
10．（2021·全国高二课时练习）工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________．
【答案】60
【解析】根据题意，第一个可以从6个钉里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的，若第一个选1号钉的时候，第二个可以选3,4,5号钉，依次选下去，可以得到共有10种方法，所以总共有种方法，故答案是60.
三、解答题
11．已知集合，若a，b，c∈M，则：
（1）可以表示多少个不同的二次函数？
（2）可以表示多少个图象开口向上的二次函数？
【解析】（1）根据，表示二次函数，由此可判断a的取值情况，再分别判断b，c的取值情况，然后利用分步乘法计数原理求解.
（2）根据二次函数的性质，开口向上，则，由此可判断a的取值情况，再分别判断b，c的取值情况，然后利用分步乘法计数原理求解.
详解：
（1）因为a不能取0，所以有5种取法，b有6种取法，c有6种取法，
所以可以表示个不同的二次函数.
（2）的图象开口向上时，a不能取小于等于0的数，所以有2种取法，b有6种取法，c有6种取法，
所以可以表示个图象开口向上的二次函数
12．现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人,高三年级9人.
(1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？
(2)每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？
(3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？
【解析】（1）根据题意，选其中一人为负责人，有3种情况，
若选出的是高一学生，有13种情况，
若选出的是高二学生，有12种情况，
若选出的是高三学生，有9种情况，
由分类计数原理可得，共有12+13+9＝34种选法．
（2）根据题意，从高一学生中选出1人，有13种情况；
从高二学生中选出1人，有12种情况；
从高三学生中选出1人，有9种情况；
由分步计数原理，可得共有12×13×9＝1404种选法．
（3）根据题意，分三种情况讨论：
若选出的是高一、高二学生，有12×13＝156种情况，
若选出的是高一、高三学生，有13×9＝117种情况，
若选出的是高二、高三学生，有12×9＝108种情况，
由分类计数原理可得，共有156+117+108＝381种选法．