数学-2024年中考终极押题猜想专题训练学案（全国通用）（含解析）

这是一份数学-2024年中考终极押题猜想专题训练学案（全国通用）（含解析），共207页。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc165202043" 押题猜想一 选填题之几何图形综合问题 PAGEREF _Tc165202043 \h 2
\l "_Tc165202044" PAGEREF _Tc165202044 \h 2
\l "_Tc165202045" 押题猜想二 选填题之函数综合问题 PAGEREF _Tc165202045 \h 5
\l "_Tc165202046" PAGEREF _Tc165202046 \h 5
\l "_Tc165202047" 押题猜想三 选填题之规律探索问题 PAGEREF _Tc165202047 \h 7
\l "_Tc165202048" PAGEREF _Tc165202048 \h 7
\l "_Tc165202049" 押题猜想四 选填题之新定义问题 PAGEREF _Tc165202049 \h 9
\l "_Tc165202050" PAGEREF _Tc165202050 \h 9
\l "_Tc165202051" 押题猜想五 解答题之函数与实际问题综合问题 PAGEREF _Tc165202051 \h 12
\l "_Tc165202052" PAGEREF _Tc165202052 \h 12
\l "_Tc165202053" 押题猜想六 解答题之一次函数与反比例函数综合问题 PAGEREF _Tc165202053 \h 16
\l "_Tc165202054" PAGEREF _Tc165202054 \h 16
\l "_Tc165202055" 押题猜想七 解答题之用三角函数解决实际问题 PAGEREF _Tc165202055 \h 20
\l "_Tc165202056" PAGEREF _Tc165202056 \h 20
\l "_Tc165202057" 押题猜想八 解答题之几何图形的证明与计算问题 PAGEREF _Tc165202057 \h 24
\l "_Tc165202058" PAGEREF _Tc165202058 \h 24
\l "_Tc165202059" 押题猜想九 解答题之阅读理解问题 PAGEREF _Tc165202059 \h 26
\l "_Tc165202060" PAGEREF _Tc165202060 \h 26
\l "_Tc165202061" 押题猜想十 解答题压轴之几何综合 PAGEREF _Tc165202061 \h 34
\l "_Tc165202062" PAGEREF _Tc165202062 \h 34
\l "_Tc165202063" 押题猜想十一 解答题压轴之二次函数综合 PAGEREF _Tc165202063 \h 39
\l "_Tc165202064" PAGEREF _Tc165202064 \h 39
押题猜想一 选填题之几何图形综合问题
1．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD=12 ，线段PQ在边BA上运动，PQ=12 ，有下列结论： ①CP与QD一定不相等； ②△AQD与△BCP可能相似； ③ 四边形PCDQ面积的最大值为 31316 ； ④ 四边形PCDQ周长的最小值为3+372 ．其中，正确结论的序号为（ ）
A．② ④B．② ③C．① ② ③D．② ③ ④
2．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，分别以A，B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN恰好经过点D，与边AB交于点E，连接CE，以下四个结论中：①∠ABC=120°；②4S△BCE=S△CDE；③2BE=AD；④如果CE=27，那么DE=23．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023·山东聊城·二模）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，且点A在△BCF内部．给出以下结论：
①四边形ADFE是平行四边形；
②当∠BAC=130°时，四边形ADFE是矩形；
③当AB=AC时，四边形ADFE是菱形；
④当AB=AC，且∠BAC=150°时，四边形ADFE是正方形．
其中正确结论有 （填上所有正确结论的序号）．

押题解读
几何图形选填压轴题含特殊三角形、特殊平行四边形、圆等综合问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容，该题型难度较高，以等腰三角形、直角三角形等为基础的多解题，特殊四边形与圆为载体的几何求解问题是高频考点、必考点，所以必须提高对几何图形性质的理解和掌握，但是每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M，N分别在边AD，BC上．沿着直线MN折叠矩形ABCD，点A，B分别落在点E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M作MH⊥BC于点H，连接BF．已知下列判断：
①MN⊥BF；②△MHN∽△BCF；③MNBF=34；④60）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，交y=nx（x>0）的图象于点E，连接OE．若AE=3CE，四边形OBAE的面积为7，则m，n的值正确的是（ ）
A．m=6，n=4B．m=4，n=1
C．m=12，n=3D．m=8，n=2
2．（2024·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中有一反比例函数y=−6x过第一象限内的点P分别作x轴，y轴的垂线，与y轴，x轴分别交于A、B两点，与双曲线分别交于C、D两点．则以下结论中，正确结论的序号是（ ）
①存在无数个点P使S△AOC=S△BOD
②存在无数个点P使S△POA=S△POB
③存在无数个点P使四边形OAPB的面积=S△ACD
A．①②B．①③C．②③D．①②③
3．（2023·江苏无锡·模拟预测）二次函数y=x2+2m−1x+2mm≠12，有下列结论：
①该函数图象过定点−1,2；
②当m=1时，函数图象与x轴无交点；
③函数图象的对称轴不可能在y轴的右侧；
④当10的图象交于点A2,6和点B6,n，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
(1)求反比例函数的表达式及n的值．
(2)将△OCD沿直线AB翻折，点O落在第一象限内的点E处，EC与反比例函数的图象交于点F．
①求点F的坐标．
②在x轴上是否存在点P，使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
押题解读
反比例函数与一次函数的综合题是中考常考的内容，但是此类问题牵扯到的知识点比较多，如求它们的函数解析式，或是通过两者的图像相交，需要考生结合两个函数解析式转化成一元二次方程，从而求得交点坐标等。掌握反比例函数和一次函数的图像和性质，也是解决反比例函数与一次函数综合题的关键，所以反比例函数和一次函数的图像和性质必须熟记.
1．（2024·广东中山·一模）如图，一次函数y=12x+2的图象与反比例函数y=kx(k≠0，x>0)的图象相交于点A2,a，与x轴交于C点，与y轴交于B点．
(1)由图像可知，当x 时，12x+2>kx；
(2)求出a，k的值；
(3)若Mm,0为x轴上的一动点，当△AMB的面积为72时，求m的值；
(4)在x轴上是否存在点D，使得∠BOA=∠OAD，若存在，请直接写出点D坐标，若不存在，请说明理由．
2．（2024·江苏连云港·一模）一次函数y=−x+5与反比例函数y=kx的图像在第一象限交于A,B两点，其中A(1,a)．
(1)求反比例函数表达式；
(2)结合图像，直接写出−x+5≤kx时，x的取值范围；
(3)若把一次函数y=−x+5的图像向下平移b个单位，使之与反比例函数y=kx的图像只有一个交点，请直接写出b的值．
3．（2024·江苏苏州·一模）如图，一次函数y=12x−1的图像与y轴相交于B点，与反比例函数y=kxk≠0,x>0图像相交于点Am,2．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点C在点A的左侧，过点C作y轴平行线，交反比例函数的图像于点D，连接BD．设点C的横坐标为a，求当a为何值时，△BCD的面积最大，这个最大值是多少？
4．（2024·四川广安·模拟预测）如图，一次函数y=x+1与反比例函数y=kx的图象相交于Am,2，B两点，分别连接OA，OB．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)求不等式x+1>kx的解集；
(3)在平面内是否存在一点P，使得以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
押题猜想七 解答题之用三角函数解决实际问题
1．（2022·辽宁鞍山·中考真题（改））北京时间2024年4月25日20时59分，神舟十八号载人飞船发射成功．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即GF=8m）．小亮同学想知道条幅的底端F到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
2．（2024·山西朔州·二模）如图1是某城建部门利用折臂升降机正在路边检修路灯的实物图片，图2是某时刻折臂升降机工作时的平面示意图，上折臂顶端恰好接触路灯杆，点A，B，C，D，E，F，M，N都在同一竖直平面内．路灯杆AB和折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面MN，且它们之间的水平距离BC=3m，折臂底座CD=2m，上折臂EF=8m，上折臂EF与下折臂DE的夹角∠FED=88°，下折臂DE与折臂底座的夹角∠CDE=135°，求上折臂顶端F到地面的距离BF．（结果精确到0.1m，参考数据：sin43°≈0.68，cs43°≈0.73，2≈1.41）
3．（2024·上海嘉定·二模）某东西方向的海岸线上有A、B两个码头，这两个码头相距60千米（AB=60），有一艘船C在这两个码头附近航行．

(1)当船C航行了某一刻时，由码头A测得船C在北偏东55°，由码头B测得船C在北偏西35°，如图，求码头A与C船的距离（AC的长），其结果保留3位有效数字；
（参考数据∶sin35°≈0.5736，cs35°≈0.8192，tan35°≈0.7002，ct35°≈1.428）
(2)当船C继续航行了一段时间时，由码头A测得船C在北偏东30°，由码头B测得船C在北偏西15°，船C到海岸线AB的距离是CH（即CH⊥AB），如图，求CH的长，其结果保留根号．
押题解读
初中三角函数应用题几乎全国的中考数学考试都要考到，而三角函数的应用是非常重要的几何工具，既有省略相似的繁琐证明过程，也能够通过自身的知识点特征进行应用的适用。在运用三角函数的知识解决实际问题时，要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、 角)之间的关系，:若不是直角三角形，应尝试添加辅助线，构造出直角三角形进行解答，这样才能更好地运用解直角三角形的方法求解， 其中仰角、俯角的应用问题，方向角的应用问题， 坡度、坡角的应用问题要熟练掌握其解题思路，把握解题关键 .
1．（2024·山东济南·模拟预测）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为55°，房屋的顶层横梁EF=12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cs35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，cs55°≈0.6，tan55°≈1.4)
(1)求屋顶到横梁的距离AG；
(2)求房屋的高AB．
2．（23-24九年级上·浙江湖州·模拟）为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座AB高为2cm，∠ABC=150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）
(1)求支点C离桌面l的高度；（计算结果保留根号）
(2)小吉通过查阅资料，当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94,cs70°≈0.34,tan70°≈2.75）
3．（2024·浙江·一模）如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB=6米，O为AB的中点，支架OD垂直地面EF．
(1)当水桶在井里时，∠AOD=120°，求此时支点O到小竹竿AC的距离（结果精确到0.1m）；
(2)如图2，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至A1B1的位置，小竹竿AC至A1C1的位置，此时∠A1OD=143°，求点A上升的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：3≈1.73，sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
4．（2024·山东临沂·二模）消防安全事关经济发展和社会和谐稳定，是惠及民生、确保民安的一项重要基础性工作，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧而示意图，点D，B，O在同一直线上，DO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，A，C在同一水平线上，其中BD可伸缩，套管OB的长度不变，
在某种工作状态下测得液压杆AB=3m，∠BAC=53°，∠DOC=37°．

(1)求BO的长．
(2)消防人员在云梯末端点D高空作业时，将BD伸长到最大长度6m，云梯DO绕着点O按顺时针方向旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了3.2m，求云梯OD大约旋转了多少度．
（参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin53°≈45，tan53°≈43，sin67°≈0.92，cs67°≈0.39）
押题猜想八 解答题之几何图形的证明与计算问题
1．（2024·江苏南京·一模）如图，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，CD=DE．经过A，B，C三点的⊙O交BD于点F，且CD是⊙O的切线．
(1)连接AF，求证：AF=AB；
(2)求证：AB2=AE⋅AC
(3)若AE=2，EC=6，BE=4，，则⊙O的半径为 ．
2．（2024·江苏南京·一模）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，AE=CF，连接BE，DF．
(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；
(2)已知AB=4，AD=8，∠BAD=120°，当AE的长为 时，四边形EBFD是菱形．
3．（2024·陕西榆林·二模）【问题提出】
（1）如图1，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，且DE∥BC，若BD=2AD，BC=15，则DE的长为_______；
【问题探究】
（2）如图2，在△ABC和△CDE中，点B、C、D在同一条直线上，AB=CD，∠B=∠D=∠ACE=60°，判断AC与CE的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3，五边形ABCDE是某植物园的平面图，C、D分别是植物园的入口和出口（可看作点），AC和AD是进出植物园的两条主路，该植物园为举行春季花展，现要在出入口C、D之间进行花墙装饰工作．已知∠B=∠BAE=∠E=90°，∠CAD=45°，AB=60m，AE=120m，AC=305m，求装饰的花墙CD的长度．（结果保留根号）
押题解读
几何图形的证明与计算问题是中考命题的热点，其中全等/相似三角形是解决诸多几何综合问题的关键知识，其次熟记几何图形的性质与判定也应该牢记.
1．（2024·云南·模拟预测）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，作DE⊥AC于点E．

(1)求证：DE与⊙O相切；
(2)若BD=2 5，AE=1，求⊙O的半径．
2．（2024·云南昭通·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，连接AE，CF，过点E作EH⊥CF于点H，过点F作FG⊥AE于点G．
(1)请你添加一个条件：______，使四边形EGFH为矩形，并给出证明．
(2)在（1）的条件下，若AE=5，tan∠DAE=2，EG=2GF，求AG的长．
3．（2024·江西南昌·一模）【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值． 我们知道：如图①，如果BCAC=ACAB，则点C为线段AB的黄金分割点．
(1)【问题发现】如图①，点C为线段AB的黄金分割点，请直接写出AC:AB的值为 ；
(2)【尺规作黄金分割点】如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，在BA上截取BD=BC，在AC上截取AE=AD，求AEAC的值；
(3)【问题解决】如图③，用边长为4的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABDE得折痕MN，连接EN；再次折叠正方形ABDE使EA与EN重合，点A对应点H，得折痕CE，试说明：点C是线段AB的黄金分割点．
押题猜想九 解答题之阅读理解问题
1．（2024·山西朔州·二模）阅读与思考
下面是小宇同学收集的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务.
任务：
(1)上面小论文中的“依据”是________．
(2)如图2，已知点P是等边三角形ABC的边BC上的一点，若∠APC=102°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的度数为________°．
(3)如图3，在四边形ABCD中，∠ADC=30°，∠ABC=60°，AB=BC．求证：BD2=AD2+CD2．
2．（2023·山东青岛·三模）【阅读与思考】如图1，在正方形中ABCD中，E，F，G分别是BC，CD，AD上的点，GE⊥BF于点O，那么GE=BF.证明过程如下：
∵GE⊥BF于点O，
∴∠GOB=90°，
过点A作AH∥GE交BC于点H，交BF于点M，
∴∠AMB=∠GOB=90°，
∴∠ABM+∠BAM=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AG∥HE，AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∴∠ABM+∠FBC=∠ABC=90°，
∴∠BAM=∠FBC，
∴△ABH≌△BCF（依据），
∴AH=BF，
∵AH∥GE,AG∥HE
∴四边形AHEG为平行四边形，
∴AH=GE，
∴GE=BF．
【材料探究】：上述证明过程的“依据”是______ ；
【问题解决】：如图2，在5×6的正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点M.则∠AMC为______ °；
【拓展延伸】：如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N.求∠DMC的度数．
3．（2024·江苏扬州·一模）阅读感悟：
已知方程x2+2x−1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x．所以x=y2．
把x=y2代入已知方程，得y22+2⋅y2−1=0．
化简，得y2+4y−4=0，
故所求方程为y2+4y−4=0．
这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”．
请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式．
解决问题：
(1)已知方程x2−x−3=0，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______；
(2)方程ax2+bx+c=0 a≠0，c≠0，b2−4ac≥0的两个根与方程______的两个根互为倒数．
(3)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根分别为1和−12，求关于y的一元二次方程cy−20242+by−4=2020b−ac≠0的两个实数根．
4．（2024·江苏宿迁·一模）材料一；《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到 一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索题 发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题．
材料二：分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种解题策略，在数学中的应用相当多，它能使许多看似非常复杂的问题简单化．因此在用分类讨论解决数学问题时要遵循一定的规则，注意合理的分类，对全体对象的分类必须做到不重复、不遗漏，每次分类必须保持在同一标准．
请阅读上述材料，完成题目：
如图，抛物线y=−23x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为−1,0，与y轴交于点C0,2，直线CD:y=−x+2与x轴交于点D．动点M在抛物线上运动，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，交直线CD于点N．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
(3)点E是抛物线对称轴与x轴的交点，点F是x轴上一动点，点M在运动过程中，若以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．
押题解读
中考数学中阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频 “亮相”，应引起我们特别的重视，这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力，属于新颖数学题，但其难度并不大的题型，通过题目所提供的方法与探究的思路来总结出一些结论，然后按照此结论进行实际的应用，则是考察同学们数学知识和思想方法的运用能力，也就是利用自己掌握的基础数学知识新学习计算的方法。解决这类问题的关键是要认真仔细地阅读所给的材料，边读边勾画出重要的信息，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题。所以这类题型并不是像其他题型一样定点考察个别明确的知识点，而是通过材料的阅读。分析匹配到相对应的基础知识内容，结合题目当中所给的方法来进行解题。
1．（2024·山西晋城·二模）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成下列任务．
任务：
(1)对于函数y=x+2xx>0，当x等于___________时，函数y有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________；
(2)对于函数y=−5x+1−x(x>−1)，当x等于___________时，函数y有最___________值，这个最值是___________；
(3)某植物园利用一面足够长的围墙和木栏围成一个矩形花圃，中间用一排木栏隔开，如图所示，总共用了100米的木栏，当AB长为多少时，矩形花圃ABCD的面积最大?最大面积是多少?请你利用材料中的结论或所学知识求解该问题．
2．（2023·吉林白城·模拟预测）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：
如图①，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC上．
求证：以DE、CD、BD为边的三角形是钝角三角形．
【探究发现】小明通过探究发现：连接CE，根据已知条件，可以证明BD=CE，∠DCE=120°，从而得出△DCE为钝角三角形，故以DE、CD、BD为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．
【拓展迁移】如图②，四边形ABCD和四边形AEGF都是正方形，点E在BD上．
①猜想：以DE、EF、BE为边的三角形的形状是________；
②当BE2+ED2=23时，直接写出正方形AEGF的面积．
3．（2024·山西大同·一模）中考新考法：跨物理并联电路，请阅读下列材料，完成相应的任务：
任务：
(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：____________；
依据2：____________；
(2)如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知R1=3千欧，R2=6千欧，请在图③中（1个单位长度代表1千欧）画出表示该电路图中总阻值R的线段长；
(3)受以上作图法的启发，小明提出了已知R1和R，求R2的一种作图方法，如图④，作△ABC，使∠C=90°,AC=BC=R1，过点B作BC的垂线，并在垂线上截取BD=R，使点D与点A在直线BC的同一侧，作射线AD，交CB的延长线于点E，则BE即为R2．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由．
4．（2023·山西忻州·模拟预测）阅读与思考
如图是小强同学的数学课堂笔记本，请仔细阅读，并完成相应的任务．
平面直角坐标系与直角三角形
x年×月ⅹ日星期三
原理：根据直角三角形的定义，性质，判定，以直角三角形顶点分三种情况进行分类讨论
口诀：“两线一圆”
作图：举例如下：已知A3，0、B0，4，在直线x=1上求点C，使得△ABC为直角三角形．以下分三种情况讨论：
情况一：当A为直角顶点时，过点A作AB的垂线l交直线x=1于点C，则交点即为所求点C．如图①，有C1一个点；
情况二：当B为直角顶点时，过点B作AB的垂线l交直线x=1于点C，则交点即为所求点C．如图②，有C2一个点；
情况三：当C为直角顶点时，以AB为直径作圆，则该圆与直线x=1的交点即为所求点C．如图③，有C3，C4两个点；
方法：一、几何法：构造“K型”或“一线三垂直”相似；
二、代数法：两点间的距离公式，列方程，解方程，检验根；
三、解析法：求垂线解析式，联立方程组求交点．
任务：
(1)上面课堂笔记中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）；
A．数形结合 B．统计思想 C．分类讨论 D．转化思想
(2)选择一种课堂笔记本中记载的方法，求出“情况一”中C1的坐标．
(3)直接写出“情况二”中C2的坐标 ；
(4)请你写出在“情况三”中，确定C3、C4的坐标位置及求坐标过程中，所依据的数学定理或原理（写出一个即可）．
押题猜想十 解答题压轴之几何综合
1．（2024·河南信阳·一模）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
如图①-②，D为等腰Rt△ABC的斜边AB所在直线上的一个动点，连接CD，把CD绕着点C 逆时针旋转90°到CE的位置．同学们通过观察，发现了以下结论∶①AD=BE；②AD⊥BE；③如图②，若AC=BC=2，四边形 BECD的面积为 ，④BE、BD、CD的数量关系是 ；

(2)类比迁移
如图④-⑥，D为等腰Rt△ABC的直角边BC所在直线上的一个动点，连接AD，把AD绕着点 D 逆时针旋转90°到DE的位置，连接BE．请你类比问题（1）中的结论，选用图④、图⑤、图⑥中的任意一个图形完成下列问题：
①求 CDBE的值；
②试探究BE、BC、DE的数量关系，并证明你的结论；

(3)拓展应用
若AC=BC=2，当点D在直线BC上运动至CD=3时，请直接写出EC的长和以A、B、D、E 为顶点的四边形的面积．
2．（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，在边长为m的正方形ABCD中，点E，F分别为CD，AB边上的点，将正方形ABCD沿EF翻折，点B的对应点为H，点C恰好落在AD边的点G处．
(1)【问题解决】
如图①，连接CG，则CG与折痕EF的位置关系是______，CG与EF的数量关系是______；
(2)【问题探究】
如图②，连接CH，在翻折过程中，GC平分∠DGH，试探究△CGH的面积是否为定值，若为定值，请求出△CGH的面积；若不是定值，请说明理由；
(3)【拓展延伸】若m=3，求出CH+CG的最小值．
3．（2023·吉林四平·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，连接BD．点P从点A出发，沿折线AB−BD−DC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．当点P不与矩形ABCD的顶点重合时，以AP为对角线作正方形AEPF（点F在直线AP的右侧）．设正方形AEPF的面积为S（平方单位），点P的运动时间为t（秒)．
(1)当点P在线段BD上时，用含t的代数式表示PB的长；
(2)当AP⊥BD时，求t的值；
(3)求S与t之间的函数关系式．
4．（2023·广西钦州·一模）教材变形：如图1，点E，F是正方形ABCD边上的点，连接BE，CF交于点G，CE=DF，判断BE与CF的位置关系，并证明你的结论；
探索发现：如图2，在正方形ABCD的边BC上取点H，连接AG，GH，使CE=CH，求证∠BAG=∠CHG；
迁移拓展：如图3，点E，F是菱形ABCD边AB，AD上的点，连接DE，点G在DE上，连接AG，FG，CG，∠AGD=∠BAD，AF=AE，DF=GF，CD=10，CG=6，求DF及cs∠ADC的值．
押题解读
几何综合题以几何知识为主体的综合题，主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系，以及特定图形的判定和性质。几何综合题是中考必考题型。试题一般以全等或相似为中心，常常是三角形、四边形、圆、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用。而且几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查学生分析问题，探究问题，综合应用数学知识解决实际问题的能力.
1．（2023·贵州遵义·三模）（1）【问题发现】如图①，在△OAB中，若将△OAB绕点O逆时针旋转120°得到△OA'B'，连接BB'；求∠OBB'= ；
（2）【问题探究】如图②，已知△ABC是边长为43的等边三角形，以BC为边向外作等边三角形BCD，P为△ABC内一点，将线段CP绕点C逆时针旋转60°，点P的对应点为点Q．
①求证：△DCQ≌△BCP；
②求PA+PB+PC的最小值；
（3）【实际应用】如图③，在矩形ABCD中，AB=600，AD=800，P是矩形内一动点S△PAD=2S△PBC，Q为△ADP内任意一点，是否存在点P和点Q，使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在求其值；若不存在，请说明理由．
2．（2024·江苏苏州·一模）【问题初探】如图1，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB=DC，∠DAE是四边形ABCD的一个外角．求证：∠DAE=∠DAC．
【拓展研究】如图2，已知⊙O内接△ABC，AC>BC，点M是ACB的中点，过点M作MD⊥AC，垂足为点D．求证：BC＋CD=AD．
【解决问题】如图3，已知等腰三角形ABC内接于⊙O，AB=AC，D为AB上一点，连接DB、DC，tan∠ACD=512，△BDC的周长为242+4，BC=4，求AC的长．
3．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC．
(1)当AC=BC=6时，
①将一个直角的顶点D放至AB的中点处（如图①)，两条直角边分别交AC、BC于点E、F，请说明△DEF为等腰直角三角形；
②将直角顶点D放至AC边的某处（如图②)，与另两边的交点分别为点E、F，若△DEF为等腰直角三角形，且面积为4，求CD的长．
(2)若等腰Rt△DEF 三个顶点分别在等腰Rt△ABC 的三边上，等腰Rt△DEF的直角边长为1时，求等腰Rt△ABC的直角边长的最大值．
4．（2023·江西赣州·一模）在学习《2.1圆》时，小明遇到了这样一个问题：如图1（1）、1（2），△ABC和△DBC中，∠A=∠D=90°．试证明A、B、C、D四点在同一圆上．
小明想到了如下证法：在图1（1）、1（2）中取BC中点M，连接AM,DM，则有AM=BM=CM及DM=BM=CM，即AM=BM=CM=DM，所以A、B、C、D四点在以M为圆心，MB为半径得圆上，根据以上探究问题得出的结论，解决下列问题：
(1)如图2，在△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点H，若∠BAC=64°，则∠EDF= °．
(2)如图3，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，G为CD的中点，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F（E、F不重合），若∠EGF=60°，求证：CD=12AB．
押题猜想十一 解答题压轴之二次函数综合
1．（2024·甘肃陇南·一模）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B2,0两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C0,8．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)若D为抛物线的顶点，求△ACD的面积；
(3)若P是平面直角坐标系内一点，是否存在以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
2．（2024·山东滨州·一模）如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C,AB=4．抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线y=x−1交于点D，与x轴交于点E．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+12PA的最小值．
3．（2023·山东济南·一模）抛物线y=ax2+bx+3过点A−1,0，点B3,0，顶点为C，与y轴相交于点D，点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m10）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，交y=nx（x>0）的图象于点E，连接OE．若AE=3CE，四边形OBAE的面积为7，则m，n的值正确的是（ ）
A．m=6，n=4B．m=4，n=1
C．m=12，n=3D．m=8，n=2
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，根据AE=3CE，得到AC=4CE，进而得到m=4n，根据四边形OBAE的面积等于m−n2=7，进行求解即可．
【详解】解：由图可知：m>0,n>0，
∵AB⊥x轴，AC⊥y轴，点A在y=mx（x>0）的图象上，点E在y=nx（x>0）的图象上，
∴S四边形OBAC=m,S△OCE=n2，
∵AE=3CE，
∴AC=4CE，
∴m=4n，
∵四边形OBAE的面积等于S四边形OBAC−S△OCE=m−n2=72n=7，
∴n=2，
∴m=8；
故选D．
2．（2024·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中有一反比例函数y=−6x过第一象限内的点P分别作x轴，y轴的垂线，与y轴，x轴分别交于A、B两点，与双曲线分别交于C、D两点．则以下结论中，正确结论的序号是（ ）
①存在无数个点P使S△AOC=S△BOD
②存在无数个点P使S△POA=S△POB
③存在无数个点P使四边形OAPB的面积=S△ACD
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合，解题的关键是掌握反比例函数图象和性质，三角形的面积，依次判断，即可．
【详解】设点Pa,b，
∴点C−6b,b，点Da,−6a
∵S△AOC=12×AC×AO=12×−6=3，S△BOD=12×BD×OB=12×−6=3，
∴S△AOC=S△BOD，
∴①正确；
∵S△POA=12×AP×AO=12×a×b，S△POB=12×OB×PB=12×a×b，
∴S△POA=S△POB；
∴②正确；
∵四边形OAPB的面积为：AP×OA=ab，S△ACD=12×6b×b+6a=3+18ab
令ab=m，
当S△OAPB=S△ACD时，m=3+18m，
解得：m1=6，m2=−3（舍去），
∴ab=6，
∴点P在函数y=6x时，满足题意，
∴此时P点有无数个，
∴③正确，
∴正确的为：①②③．
故选：D．
3．（2023·江苏无锡·模拟预测）二次函数y=x2+2m−1x+2mm≠12，有下列结论：
①该函数图象过定点−1,2；
②当m=1时，函数图象与x轴无交点；
③函数图象的对称轴不可能在y轴的右侧；
④当1−174，
故答案为：t>−174．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0，
∴方程有两个不相等实根，即抛物线y=x2−2x−3上存在两个点是点P1的“倍增点”；
故③正确，符合题意；
④设点Bm,n，
∵点B是点P1的“倍增点”，
∴2m+1=n，
∵Bm,n，P11,0，
∴P1B2=m−12+n2
=m−12+2m+12
=5m2+6m+5
=5m+352+165，
∵5>0，
∴P1B2的最小值为165，
∴P1B的最小值是165=455，
故④正确，符合题意；
综上：正确的有①③④，共3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解．
3．（2024·重庆·模拟预测）在数的学习过程中，我们通过对其中一些具有某种特性的数进行研究探索，发现了数字的美和数学的灵动性．现在我们继续探索一类数．
定义：一个各位数字均不为0的四位自然数t，若t的百位、十位数字之和的2倍比千位、个位数字之和大1，则我们称这个四位数t是“四·二一数”
例如：当t=6413时，∵2×（4+1）−（6+3）=1，∴6413是“四·二一数”；
已知t=4abc（1≤a≤9、1≤b≤9、1≤c≤9且均为正整数）是“四·二一数”，满足4a与bc的差能被7整除，则所有满足条件的t的最大值为 ．．
【答案】4517
【分析】本题考查新定义问题，理解题干中“四·二一数”的定义是解题的关键．根据“四二一数”的定义可得2a+2b−c=5，依次列举即可求解．
【详解】解：根据题意可得2a+b−4−c=1，即2a+2b−c=5，
当a=1，b=2，c=1时，4a与bc的差为20，不符合题意；
当a=2，b=1，c=1时，4a与bc的差为31，不符合题意；
当a=1，b=6，c=9时，4a与bc的差为−28，符合题意；
当a=2，b=3，c=5时，4a与bc的差为7，符合题意；
当a=3，b=2，c=5时，4a与bc的差为18，不符合题意；
当a=3，b=3，c=7时，4a与bc的差为6，不符合题意；
当a=3，b=4，c=9时，4a与bc的差为−6，不符合题意；
当a=4，b=3，c=9时，4a与bc的差为5，不符合题意；
当a=5，b=1，c=7时，4a与bc的差为28，符合题意；
当a=2，b=2，c=3时，4a与bc的差为19，不符合题意；
综上，t=4169或4235或4517
则所有满足条件的t的最大值为4517．
故答案为：4517
4．（2023·河北沧州·三模）定义：若数p可以表示成p=x2+y2−xy（x，y均为正整数）的形式，则称p为“希尔伯特”数．
例如：39=72+52−7×5，147=132+112−13×11，…所以39，147是“希尔伯特”数．
（1）有理数1 “希尔伯特”数（填“是”或“不是”）；
（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，又称它们为“H希尔伯特”数．
①设连续两个奇数中较小的数是2n−1（n为正整数），用含n的代数式表示“H希尔伯特”数为 ；
②已知两个“H希尔伯特”数的差是48，则这两个“H希尔伯特”数中较大的是 ．
【答案】 是 4n2+3/3+4n2 67
【分析】（1）根据“希尔伯特”数的定义即可判断；
（2）①由题意可得：这个“H希尔伯特”数是2n−12+2n+12−2n−12n+1，展开化简即得答案；
②由①可设这两个“H希尔伯特”数为4m2+3,4n2+3m0的图像上，点M，N在函数y=1x的图像上，
∴点P的纵坐标为4a，
∵PM∥x轴，PN∥y轴，
∴点M的纵坐标为4a，点N的横坐标为a，
∴点M的横坐标为a4，点N的纵坐标为1a，
∴点P的坐标为a,4a，点M的坐标为a4,4a，点N的坐标为a,1a，
故答案为：a,4a；a4,4a；a,1a；
（2）∵Pa,4a，
∴Ma4,4a，Na,1a，
∴PM=a−a4=34a，PN=4a−1a=3a，
∴S△PMN=12PM⋅PN=12×34a×3a=98，
∴△PMN的面积不发生变化，△PMN的面积为98；
（3）GM=HF．
理由：如图，延长PM交y轴于点G，延长PN交x轴于点H，
∵PM∥x轴，
∴∠PMN=∠HFN，∠MPN=∠FHN，∠EMG=∠NFH，
∴△PMN∽△HFN，
∴PMFH=PNHN，即34aFH=3a1a，
∴FH=14a，
∵PM∥x轴，Ma4,4a，
∴GM=14a，
∴GM=HF，
∵PN∥y轴，
∴∠MEG=∠FNH，
在△EMG和△NFH中，
∠EMG=∠NFH∠MEG=∠FNHGM=HF，
∴△EMG≌△NFHAAS，
∴EM=FN．
【点睛】本题为反比例函数的综合应用，考查了函数图像上点的坐标特征，平行线的性质，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识．（1）中求得PA点坐标是解题的关键，在（2）中用a表示出PM、PN的长是解题的关键，在（3）构造全等三角形是解题的关键．
3．（2024·山东济南·模拟预测）如图1，直线AB与反比例函数y=kxx>0的图象交于点A2,6和点B6,n，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
(1)求反比例函数的表达式及n的值．
(2)将△OCD沿直线AB翻折，点O落在第一象限内的点E处，EC与反比例函数的图象交于点F．
①求点F的坐标．
②在x轴上是否存在点P，使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数的表达式为y=12x，n=2
(2)①F8,32②存在，P的坐标为6,0或2,0
【分析】（1）把A2,6代入得到反比例函数的表达式y=kxx>0中求k，确定反比例函数的表达式，把B6,n代入反比例函数可得到结论；
（2）①设直线AB的解析式为：y=kx+b，解方程组得到直线AB的解析式，求得点C、D ，得到△COD是等腰直角三角形，推出四边形OCED是正方形，得到E坐标，把x=8代入反比例函数中即可得到结论；
②设点P（m，0），根据勾股定理得到DP2+PF2=DF2即m2+64+(8−m)2+322=64+8−322，可求得m，即可确定P点坐标．
【详解】（1）解：∵y=kxx>0的图象过点A2,6，
∴6=k2，
∴k=12，
∴反比例函数的表达式为y=12x，
∵点B6,n在反比例函数y=12x的图象上，
∴n=126=2．
（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b，
则2k+b=66k+b=2，解得k=−1b=8，
∴直线AB的解析式为y=−x+8．
当y=0时，x=8；当x=0时，y=8，
∴点C8,0，点D0,8．
∴OC=OD=8，
∴△COD是等腰直角三角形，
∴∠ODC=∠OCD=45°，
∵将△OCD沿直线AB翻折，
∴四边形OCED是正方形，
∴DE=CE=8，
∴E8,8，
把x=8代入y=12x，得y=32，
∴F8,32；
②存在，理由如下；
设点Pm,0，
则DP2=m2+64，PF2=(8−m)2+322，DF2=64+8−322，
∵△DPF是以DF为斜边的直角三角形，
∴DP2+PF2=DF2，
即m2+64+(8−m)2+322=64+8−322，
解得m=6或m=2．
故在x轴上存在点P，使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形，
此时点P的坐标为6,0或2,0．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
押题解读
反比例函数与一次函数的综合题是中考常考的内容，但是此类问题牵扯到的知识点比较多，如求它们的函数解析式，或是通过两者的图像相交，需要考生结合两个函数解析式转化成一元二次方程，从而求得交点坐标等。掌握反比例函数和一次函数的图像和性质，也是解决反比例函数与一次函数综合题的关键，所以反比例函数和一次函数的图像和性质必须熟记.
1．（2024·广东中山·一模）如图，一次函数y=12x+2的图象与反比例函数y=kx(k≠0，x>0)的图象相交于点A2,a，与x轴交于C点，与y轴交于B点．
(1)由图像可知，当x 时，12x+2>kx；
(2)求出a，k的值；
(3)若Mm,0为x轴上的一动点，当△AMB的面积为72时，求m的值；
(4)在x轴上是否存在点D，使得∠BOA=∠OAD，若存在，请直接写出点D坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)>2；
(2)a=3，k=6；
(3)m=3或11；
(4)D的坐标为(2,0)或(−265,0)．
【分析】（1）根据图象求解即可；
（2）将点A(2,a)代入y=12x+2，即可求出a的值，从而得到A(2,3)．再将A(2,3)代入y=kx，即可求出k的值；
（3）根据一次函数解析式可求出C(−4,0)，B(0,2)．结合M(m,0)为x正轴上的一动点，可求出CM=m+4．最后根据S△AMB=S△ACM−S△BCM，结合三角形面积公式，即可列出关于m的等式，解出m的值即可．
（4）过A作AD⊥x轴于D，作OA的垂直平分线交y轴于E，交OA于F，连接AE，并延长AE交x轴于D'，分两种情况，利用一次函数的解析式解答即可．
【详解】（1）根据图像可以看出12x+2>kx表示一次函数在双曲线上方部分，
∴当x>2时，12x+2>kx；
（2）由题意可知点A(2,a)在一次函数y=12x+2的图象上，
∴a=12×2+2=3，
∴A(2,3)．
∵一次函数y=12x+2的图象与反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象相交于点A，
∴3=k2，
∴k=6；
（3）对于y=12x+2，令y=0，则0=12x+2，
解得：x=−4，
∴C(−4,0)．
令x=0，则y=2，
∴B(0,2)．
∵M(m,0)为x轴的一动点，
∴CM=m−(−4)=m+4，
∴S△ACM=12CM⋅yA=12(m+4)×3=32(m+4)，
S△BCM=12CM⋅yB=12(m+4)×2=(m+4)，
∵S△AMB=S△ACM−S△BCM，S△AMB=72，
∴ 32(m+4)−(m+4)=72，
解得：m=3或−11．
（4）过A作AD⊥x轴于D，
∴AD∥y轴，
∴∠AOB=∠OAD，
∵A(2,a)，k=6，
∴y=6x，
把x=2，代入a=62=3，
∴D(2,0)，
作OA的垂直平分线交y轴于E，交OA于F，连接AE，并延长AE交x轴于D'，
∴△EOA是等腰三角形，
∴∠AOB=∠OAD'，
∵A(2,3)，
∴OA=22+32=13，
∵tan∠AOB=23=EFOF=EF132，
∴EF=133，
∴OE=EF2+OF2=(133)2+(132)2=136，
设直线AE的解析式为：y=mx+n，
把A(2,3)，E(0,136)代入解析式可得：2m+n=3n=136，
解得：m=512n=136，
∴直线AE的解析式为：y=512x+136，
把y=0代入y=512x+136，
解得：x=−265，
∴D'(−265,0)，
综上所述，D的坐标为(2,0)或(−265,0)．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，一次函数与坐标轴的交点问题等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
2．（2024·江苏连云港·一模）一次函数y=−x+5与反比例函数y=kx的图像在第一象限交于A,B两点，其中A(1,a)．
(1)求反比例函数表达式；
(2)结合图像，直接写出−x+5≤kx时，x的取值范围；
(3)若把一次函数y=−x+5的图像向下平移b个单位，使之与反比例函数y=kx的图像只有一个交点，请直接写出b的值．
【答案】(1)y=4x
(2)0kx的解集为−2BC，点M是ACB的中点，过点M作MD⊥AC，垂足为点D．求证：BC＋CD=AD．
【解决问题】如图3，已知等腰三角形ABC内接于⊙O，AB=AC，D为AB上一点，连接DB、DC，tan∠ACD=512，△BDC的周长为242+4，BC=4，求AC的长．
【答案】[问题初探]见解析；[拓展研究]见解析；[解决问题]132
【分析】[问题初探]根据已知得出DB=DC，进而可得∠DCB=∠DAC，根据圆内接四边形对角互补，进而得出∠EAD=∠DCB，等量代换即可得证；
[拓展研究] 在AD上取点C'，使得AC'=BC，证明△MAC'≌△MBCSAS，得出MC'=MC，根据等腰三角形的性质得出C'D=CD，进而即可得证；
[解决问题] 过点A作AH⊥CD于点H，得出A为BDC的中点，根据（2）的结论可得CH=122，进而根据tan∠ACD=512，可得AH=52，进而勾股定理，即可求解．
【详解】[问题初探]证明：∵DB=DC，
∴DB=DC
∴∠DCB=∠DAC
∴∠EAD+∠DAB=180°,∠DCB+∠DAB=180°,
∴∠EAD=∠DCB
∴∠EAD=∠DAC；
[拓展研究] 证明：在AD上取点C'，使得AC'=BC，连接AM、CM、C'M、BM，
∵M是ACB的中点，
∴AM=BM，则AM=BM
∵MC=MC
∴∠MAC'=∠MBC
又MA=MB,AC'=BC
∴△MAC'≌△MBCSAS
∴MC'=MC
∵MD⊥AC
∴C'D=CD
∴AD=AC'+C'D=CD+BC，
[解决问题]过点A作AH⊥CD于点H，
∵AB=AC
∴A为BDC的中点，
由（2）可得CH=DH+DB
∵△BDC的周长为242+4，BC=4，
∴2CH+BC=242+4，
∴CH=122，
∵tan∠ACD=512，
∴AH=52，
∴AC=AH2+HC2=132．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键．
3．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC．
(1)当AC=BC=6时，
①将一个直角的顶点D放至AB的中点处（如图①)，两条直角边分别交AC、BC于点E、F，请说明△DEF为等腰直角三角形；
②将直角顶点D放至AC边的某处（如图②)，与另两边的交点分别为点E、F，若△DEF为等腰直角三角形，且面积为4，求CD的长．
(2)若等腰Rt△DEF 三个顶点分别在等腰Rt△ABC 的三边上，等腰Rt△DEF的直角边长为1时，求等腰Rt△ABC的直角边长的最大值．
【答案】(1)①见详解；②CD=2或145
(2)AC的最大值为5
【分析】（1）①由“AAS”可证△DEG≌△DHF，可得DE=DF，即可求解；
②由“AAS”可证△FND≌△DCE，可得NF=DC，由勾股定理可求解；
（2）分点D在AB上和点D在AC或BC的上，由直角三角形的性质和勾股定理可求解．
【详解】（1）（1）①证明：过点D作DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，连接CD，
∵△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，点D是AB的中点，
∴CD⊥AB，CD=AD=BD，∠ACD=∠BCD，
∵DG⊥AC，DH⊥BC，
∴DG=DH，
∵∠ACB=∠EDF=90°，
∴∠DEC+∠DFC=180°，
∵∠DEC+∠DEG=180°，
∴∠DEG=∠DFC，
又∵∠DGC=∠DHC=90°，
∴△DEG≌△DHF(AAS)，
∴DE=DF，
∴△DEF是等腰直角三角形；
②如图，过点F作FN⊥AC于N，
∵△DEF为等腰直角三角形，
∴DE=DF，∠FDE=90°，
∴∠ADF+∠CDE=90°=∠CDE+∠CED，
∴∠ADF=∠CED，
又∵∠FND=∠C=90°，
∴△FND≌△DCE(AAS)，
∴NF=DC，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵FN⊥AC，
∴∠A=∠AFN=45°，
∴△AFN是等腰直角三角形，
∴AN=NF，
设AN=NF=CD=x，则ND=6−2x，
∵△DEF为等腰直角三角形的面积为4，
∴ 12×DE2=4，
∴DF2=8，
∵DN2+NF2=DF2，
∴(6−2x)2+x2=8，
∴x=2或145，
∴CD=2或145；
（2）解：设等腰Rt△DEF的直角顶点为D，
若D在AB上，如图3，
取EF的中点Q，连接CQ，ZQ，
则CQ=12EF，DQ=12EF，
∵△DEF是直角边长为1的等腰直角三角形(∠EDF=90°)，
∴EF=2，
∴CQ=DQ=22，
∴CQ+DQ=2，
∴当C、Q、D共线是CD最长，则CD=2，
∴在等腰Rt△ABC(∠C=90°)中，当CD⊥AB时，AC的长最大，AC最大为2:
若D在直角边上，如图4，过点E分别作GE⊥CA于点E，EH⊥CB于H，
设GE=a=CD，DG=b，AC=BC=s，
则2a+b=sa2+b2=1，
∴a2+(s−2a)2=1，
∴5a2−4sa+s2−1=0，
∴ Δa=20−4s2≥0，
解得s≤5，
当s取最大值时，a=255，b=55，
∴AC的最大值为5，
综上，AC的最大值为5．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
4．（2023·江西赣州·一模）在学习《2.1圆》时，小明遇到了这样一个问题：如图1（1）、1（2），△ABC和△DBC中，∠A=∠D=90°．试证明A、B、C、D四点在同一圆上．
小明想到了如下证法：在图1（1）、1（2）中取BC中点M，连接AM,DM，则有AM=BM=CM及DM=BM=CM，即AM=BM=CM=DM，所以A、B、C、D四点在以M为圆心，MB为半径得圆上，根据以上探究问题得出的结论，解决下列问题：
(1)如图2，在△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点H，若∠BAC=64°，则∠EDF= °．
(2)如图3，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，G为CD的中点，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F（E、F不重合），若∠EGF=60°，求证：CD=12AB．
【答案】(1)52；
(2)详见解析
【分析】（1）由AD、BE、CF是△ABC的高，可知点E、H、D、B四点共圆，点E、H、D、C四点共圆，然后在每一个圆中运用圆周角定理进行角的转换即可求解；
（2）连接OC,OG,OD，根据垂径定理可知OG⊥CD，结合CE⊥AB，DF⊥AB，可知C、E、O、G四点共圆，D、G、O、F四点共圆，然后在每一个圆中运用圆周角定理进行角的转换即可求解，最后证明△COD是等边三角形即可；
【详解】（1）设AD与BE交于点H，
∵ AD、BE、CF是△ABC的高，
∴∠BFH=∠BDH=90°，∠HEC=∠HDC=90°，
∴点E、H、D、B四点共圆，点E、H、D、C四点共圆，
∴∠FBH=∠FDH，∠EDH=∠ECH,
∵∠FBH+∠BAC=90°, ∠ECH+∠BAC=90°,
∴∠FBH=∠ECH=90°−∠BAC，
∵∠BAC=64°,
∴∠FBH=∠ECH=90∘−64°=26°,
∴∠EDF=∠FDH+∠HDE=∠FBH+∠ECH=26°+26°=52°，
故答案为：52；
（2）证明：如图3，连接OC,OG,OD，
∵OC=OD,G为CD的中点，
∴OG⊥CD,
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠OEC=∠OGC=90°, ∠OFD=∠OGD=90°，
∴C、E、O、G四点共圆，D、G、O、F四点共圆，
∴∠ODE=∠OCE,∠OGF=∠ODF，
∴∠OCE+∠ODF=∠OGE+∠OGF=∠EGF=60°，
∴∠COD=180°−∠COE−∠DOF=180∘−(90∘−∠OCE)−(90∘−∠ODF)=∠OCE+∠ODF=60°，
∵OC=OD,
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=12AB；
【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质以及与三角形有关的角的计算；结合题意证明四点共圆并运用圆的相关知识解决问题是解题的关键．
押题猜想十一 解答题压轴之二次函数综合
1．（2024·甘肃陇南·一模）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B2,0两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C0,8．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)若D为抛物线的顶点，求△ACD的面积；
(3)若P是平面直角坐标系内一点，是否存在以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为y=−x2−2x+8；
(2)6；
(3)点P的坐标为6,8或−6,8或−2,−8．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先根据抛物线的解析式求得顶点坐标，设直线AC的解析式为y=kx+8，待定系数法求出解析式，得到DE，根据△ACD的面积为12DExC−xA求解即可；
（3）根据题意分三种情况讨论，①当AB∥CP1，AB=CP1时，②当AB∥CP2，AB=CP2时，③当BC∥AP3，BC=AP3时，作P3M⊥AB于点M，结合平行四边形的性质即可求解．
【详解】（1）解：由题知，抛物线y=−x2+bx+c过点B2,0，C0,8，
∴ −22+2b+c=0c=8，解得b=−2c=8，
∴该抛物线的解析式为y=−x2−2x+8；
（2）解：∵ y=−x2−2x+8=−x+12+9，D为抛物线的顶点，
∴ D−1,9，
设直线AC的解析式为y=kx+8，
∵抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B2,0两点（点A在点B的左侧），
又抛物线对称轴为x=−1，
∴A−4,0，
将A−4,0代入y=kx+8中，有−4k+8=0，解得k=2，
∴直线AC的解析式为y=2x+8，
作DE∥y轴，交AC于点E，连接AD，CD，

有E−1,6，
∴DE=9−6=3，
∴ △ACD的面积为：12DExC−xA=12×3×0+4=6；
（3）解：存在，

①当AB∥CP1，AB=CP1时，
∵AB=6，
∴ P1的坐标为6,8；
②当AB∥CP2，AB=CP2时，
∵AB=6，
∴ P2的坐标为−6,8；
③当BC∥AP3，BC=AP3时，作P3M⊥AB于点M，
有∠P3AM=∠CBO，∠P3MA=∠BOC=90°，
∴ △P3AM≌△CBOAAS，
∴ AM=OB=2，P3M=OC=8，
∴OM=OA−AM=2，
∴ P3的坐标为−2,−8；
综上所述，点P的坐标为6,8或−6,8或−2,−8．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求一次函数、二次函数解析式，平行四边形的性质，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用．
2．（2024·山东滨州·一模）如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C,AB=4．抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线y=x−1交于点D，与x轴交于点E．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+12PA的最小值．
【答案】(1)y=x2−6x+5
(2)存在，(4,−3)或(0,5)或(5,0)
(3)41
【分析】（1）根据题意，可求出点A,B的坐标，再运用待定系数法即可求解；
（2）根据直角三角形的性质，分类讨论：①当∠DAM=90°时；②当∠ADM=90°时；分别求出直线的解析式，再联立二次函数为二元一次方程组求解即可；
（3）如图，在AB上取点F，使BF=1，连接CF，可证△PBF∽△ABP，得PF=12PA，当点C、P、F三点共线时，PC+12PA的值最小，运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线y=x−1交于点D，
∴把x=3代入直线y=x−1得，y=2，
∴D3,2，
令y=0，则x=1，
∴A1,0，
∵AB=4，
∴B5,0，
∴将A(1,0),B(5,0)代入y=ax2+bx+5，
得a+b+5=025a+5b+5=0，
解得a=1b=−6，
∴抛物线的解析式为y=x2−6x+5；
（2）解：存在点M，理由如下：
∵直线AD的解析式为y=x−1，抛物线对称轴x=3与x轴交于点E，
∴当x=3时，y=x−1=2，
∴D3,2，
①当∠DAM=90°时，设直线AM交对称轴于点F，对称轴与x轴交于点K，
∵A1,0，D3,2，二次函数对称轴为x=3，
∴AK=3−1=2，DK=2，DK⊥x轴，
∴△ADK是等腰直角三角形，∠KAD=∠KDA=45°，
∵∠DAM=90°，
∴∠MAK=45°，且∠FKA=90°，
∴△DAK≌△FAKASA，
∴KD=KF=2，
∴点F坐标为(3,−2)，
设直线AM的解析式为y=k1x+b1，将点A、F坐标代入，
得k1+b1=03k1+b1=−2，
解得k1=−1b1=1，
∴直线AM的解析式为y=−x+1，
解方程组y=−x+1y=x2−6x+5，
得x=1y=0或x=4y=−3，
∴点M的坐标为(4,−3)；
②当∠ADM=90°时，根据点A,B关于抛物线对称轴对称，则直线DM经过点B坐标为(5,0)，
设直线DM的解析式为y=k2x+b2，将点D、B坐标代入，
得5k2+b2=03k2+b2=2，
解得k2=−1b2=5，
∴直线DM的解析式为y=−x+5，
解方程组y=−x+5y=x2−6x+5，
解得x=0y=5或x=5y=0，
∴点M的坐标为(0,5)或(5,0)；
综上，点M的坐标为(4,−3)或(0,5)或(5,0)；
（3）解：已知B5,0，以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，
如图，在AB上取点F，使BF=1，连接CF，
∵PB=2，
∴BFPB=12，
∵PBAB=24=12，
∴BFPB=PBAB，
又∵∠PBF=∠ABP，
∴△PBF∽△ABP，
∴PFPA=BFPB=12，即PF=12PA，
∴PC+12PA=PC+PF≥CF,
∴当点C、P、F三点共线时，PC+12PA的值最小，即为线段CF的长，
∵OC=5,OF=OB−1=5−1=4,
∴CF=OC2+OF2=52+42=41，
∴PC+12PA的最小值为41．
【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与特殊三角形，圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，特殊三角形的性质，最短路径的计算方法是解题的关键．
3．（2023·山东济南·一模）抛物线y=ax2+bx+3过点A−1,0，点B3,0，顶点为C，与y轴相交于点D，点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m1