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人教A版高中数学必修第二册第8章8-1第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征学案
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8.1 基本立体图形第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征观察下列几何体，它们有什么特点？知识点1 空间几何体的定义及分类1．空间几何体：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2．空间几何体的分类 1.观察下列图片，这些都是我们日常熟知的一些物体：(1)哪些物体围成它们的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形？(2)哪些物体围成它们的面中既有平面图形，又有曲面图形？(3)哪些物体围成它们的面都是曲面图形？[提示] (1)②④；(2)①③⑤；(3)⑥． 2.多面体与旋转体的主要区别是什么？[提示] 多面体是由多个多边形围成的几何体，旋转体是由平面图形绕轴旋转而形成的几何体．知识点2 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 3.棱柱是如何分类的？[提示] ①按底面多边形边数分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……．②按侧棱与底面的关系分：直棱柱：侧棱垂直于底面；斜棱柱：侧棱不垂直于底面．③特别地，底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱．④底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体． 4.棱锥是如何分类的？[提示] ①按底面多边形边数分：三棱锥、四棱锥、五棱锥……．②三棱锥又叫四面体．③底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥． 5.棱台是如何分类的？[提示] ①由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫三棱台、四棱台、五棱台……．②由正棱锥截得的棱台叫正棱台．1．下列实物不能近似看成多面体的是( )A．钻石 B．骰子C．足球 D．金字塔C [钻石、骰子、金字塔的表面都可以近似看成平面多边形，所以它们都能近似看成多面体．足球的表面不是平面多边形，故不能近似看成多面体．]2．四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )A．四条侧棱、四个顶点 B．八条侧棱、四个顶点C．四条侧棱、八个顶点 D．六条侧棱、八个顶点C [四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得)．]3．在三棱锥A-BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4D [每个三角形都可以作为底面．]4．棱台不具备的特点是( )A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点C [由于棱锥的侧棱不一定相等，所以棱台的侧棱都相等的说法是错误的．] 类型1 棱柱的结构特征【例1】 (1)下列命题中，正确的是( )A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，但底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形(2)如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1．①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？若是，请指出它们的底面．(1)D [由棱柱的定义可知，只有D正确，分别构造图形如下：图①中平面ABCD与平面A1B1C1D1平行，但四边形ABCD与A1B1C1D1不全等，故A错；图②中正六棱柱的相对侧面ABB1A1与EDD1E1平行，但不是底面，B错；图③中直四棱柱底面ABCD是平行四边形，C错，故选D．](2)[解] ①长方体是四棱柱．因为它有两个平行的平面ABCD与平面A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义．②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分，有两个平行的平面BB1M与平面CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M-CC1N.同理，另一部分也是棱柱，可以用符号表示为四棱柱ABMA1-DCND1． 棱柱结构的辨析方法(1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是是否符合棱柱的定义．①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是平行四边形．②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．[跟进训练]1．(多选)下列关于棱柱的说法正确的是( )A．所有棱柱的两个底面都平行B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余每相邻面的公共边互相平行C．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形D．棱柱至少有五个面ABD [对于A，B，D，显然是正确的；对于C，显然不正确，例如长方体．] 类型2 棱锥、棱台的结构特征【例2】 (1)(多选)下列关于棱锥、棱台的说法，正确的是( )A．棱台的侧面一定不会是平行四边形B．棱锥的侧面只能是三角形C．由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥(2)判断如图所示的几何体是不是棱台，为什么？(1)ABC [A正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；B正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；C正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；D错误，如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．](2)[解] ①②③都不是棱台．因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台，虽然②是由棱锥所截得的，但截面和底面不平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台． 判断棱锥、棱台形状的2个方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法[跟进训练]2．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台．(仅填相应序号)①③④ ⑥ ⑤ [结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．] 类型3 多面体的平面展开图 多面体的展开与折叠【例3】 (1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)( )A BC D(2)如图是三个几何体的平面展开图，它们各是什么几何体？(1)A [由选项验证可知选A．](2)[解] 图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点．把平面展开图还原为原几何体，如图所示．所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台． 多面体平面展开图的应用【例4】 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线长．[思路导引] 将长方体的侧面展开 化空间为平面 求AC1的最短长度即可．[解] 沿长方体的一条棱剪开，有三种剪法：①如图①，以A1B1为轴展开，AC1＝42+5+32＝80＝45.②如图②，以BC为轴展开，AC1＝32+5+42＝90＝310．③如图③，以BB1为轴展开，AC1＝4+32+52＝74．相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为74． 多面体的展开与折叠(1)由多面体画平面展开图，一般要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．[跟进训练]3．画出如图所示的几何体的平面展开图．[解] 平面展开图如图所示．1．下列命题正确的是( )A．四棱柱是平行六面体B．直平行六面体是长方体C．长方体的六个面都是矩形D．底面是矩形的四棱柱是长方体C [底面是平行四边形的四棱柱才是平行六面体，选项A错误；底面是矩形的直平行六面体才是长方体，选项B错误；底面是矩形的直四棱柱才是长方体，选项D错误；选项C显然正确．]2．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为( )A．四棱柱 B．四棱锥C．三棱柱 D．三棱锥D [根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．]3．(多选)下列说法错误的是( )A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B．多面体至少有3个面C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形ABC [选项A错误，反例如图①；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项B错误；选项C错误，反例如图②，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．]4．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则在正方体表面上，从顶点A到顶点C1的最短距离为________．25 [将侧面ABB1A1与上底面A1B1C1D1展开在同一平面上，连接AC1，则线段AC1的长即为所求．如图，AC1＝25．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．棱柱、棱锥、棱台各有什么结构特征？[提示] (1)棱柱：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③每相邻两个四边形的公共边互相平行．(2)棱锥：①有一个面是多边形；②其余的各面是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台：①所截几何体为棱锥；②截面与底面平行．2．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体一定是棱锥吗？[提示] 不一定．因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”．3．结合本节所学的棱柱分类，你能分析一下常见的几种四棱柱之间的转化关系吗？[提示] 四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱与底面垂直 直平行六面体 底面为矩形 长方体 底面为正方形 正四棱柱 棱长相等 正方体．课时分层作业(二十一) 棱柱、棱锥、棱台的结构特征一、选择题1．(多选)观察如下所示的四个几何体，其中判断正确的是( )A．①是棱柱 B．②不是棱锥C．③不是棱锥 D．④是棱台ACD [结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥．]2．在下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是( )A B C DC [动手将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以折叠围成正方体即可．]3．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定A [如图．因为有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形，因此是棱柱．]4．(2022·湖北丹江口一中月考)一个多面体的所有棱长都相等，那么这个多面体一定不可能是( )A．三棱锥 B．五面体C．六棱锥 D．六面体C [一个多面体的所有棱长都相等，三棱锥是正四面体时，满足题意，选项A可能；正四棱锥的每条棱可以都相等，即每个侧面都是等边三角形，底面是正方形，即五面体的所有棱长可以都相等，选项B可能；如果六棱锥的棱长都相等，则该棱锥为正六棱锥，如图：六棱锥P-ABCDEF，O为底面中心，则OA＝AB＝PA，由于PO⊥底面ABCDEF，OA⊂底面ABCDEF，故PO⊥OA，则PA>OA，与OA＝AB＝PA矛盾，则正六棱锥的底面边长与棱长不可能相等，所以C不可能；六面体是正方体时，满足题意，所以D有可能．故选C．]5．(多选)(2022·山东临沂二十四中月考)下列命题中不正确的是( )A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱B．底面是正多边形的直棱柱一定是正棱柱C．正三棱锥就是正四面体D．侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱AC [对于A，如图：几何体满足有两个面平行，其余各面都是平行四边形但不是棱柱，对于B，由正棱柱的定义知：底面是正多边形的直棱柱一定是正棱柱，故正确；对于C，在正三棱锥中，当侧棱与底面正三角形的边长不相等时，不是正四面体，故错误；对于D，由直棱柱的定义知：侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，故正确．故选AC．]二、填空题6．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm．12 [该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每条侧棱长为12 cm．]7．在正方体上任意选择4个顶点，则由这四个顶点围成的几何体可以是________．[答案] 正三棱锥(或正四面体)(答案不唯一)8．(2022·江西南城二中月考)如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是________．路 [由图①可知，“国”和“兴”相对，“梦”和“中”相对，“复”和“路”相对；由图②可得，第1、2、3、4、5格对应面的字分别是“兴”、“梦”、“路”、“国”、“复”，所以到第5格时，小正方体朝上面的字是“路”．]三、解答题9．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P．问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a，则每个面的面积为多少？[解] (1)如图，折起后的几何体是三棱锥．(2)S△PEF＝12a2，S△DPF＝S△DPE＝12×2a×a＝a2，S△DEF＝S正方形ABCD－S△DPF－S△DPE－S△PEF＝2a×2a－a2－a2－12a2＝32a2．10．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( )A．四边形 B．三角形C．三角形或四边形 D．不可能为四边形C [按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．① ②]11．(多选)(2022·哈尔滨九中期中)如图，我们常见的足球是由若干个正五边形和正六边形皮革缝合而成．如果我们把足球抽象成一个多面体，它有60个顶点，每个顶点发出的棱有3条，设其顶点数V，面数F与棱数E，满足V＋F－E＝2，据此判断，关于这个多面体的说法正确的是( )A．共有20个六边形B．共有10个五边形C．共有90条棱D．共有32个面ACD [由题意，设共有m个正五边形，n个正六边形， 5m+6n3＋m+n－5m+6n2＝2，解得m＝12.B错误；∵顶点数：V＝5m+6n3＝60，解得n＝20，∴A正确；面数：F＝m＋n＝32，∴D正确；棱数：E＝5m+6n2＝90，C正确．故选ACD．]12．如图所示都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是( )A．①② B．②③ C．③④ D．①④B [在图②③中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图②③完全一样，而图①④则不同．]13．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有________条．10 [在上底面选一个顶点，同时在下底面选一个顶点，且这两个顶点不在同一侧面上，这样上底面每个顶点对应两条对角线，所以共有10条．]14．如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值．[解] 将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值．∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，∴∠AVA1＝90°．又VA＝VA1＝4，∴AA1＝42．∴△AEF周长的最小值为42．15．经过三棱柱的三个顶点作截面，可以将三棱柱分割成几个三棱锥？试在如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中设计出分割方案．(请设计尽可能多的方案)[解] 一个三棱柱可以分割成3个三棱锥，有如下六种方案： 学习任务1．通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征．(直观想象、数学抽象)2．理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系．(数学抽象)3．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单物体的结构和有关计算．(逻辑推理)类别定义图示多面体一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点旋转体一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴定义相关概念棱柱一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱四棱柱ABCD-A′B′C′D′棱锥一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥四棱锥S-ABCD棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台四棱台ABCD-A′B′C′D′棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点
8.1 基本立体图形第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征观察下列几何体，它们有什么特点？知识点1 空间几何体的定义及分类1．空间几何体：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2．空间几何体的分类 1.观察下列图片，这些都是我们日常熟知的一些物体：(1)哪些物体围成它们的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形？(2)哪些物体围成它们的面中既有平面图形，又有曲面图形？(3)哪些物体围成它们的面都是曲面图形？[提示] (1)②④；(2)①③⑤；(3)⑥． 2.多面体与旋转体的主要区别是什么？[提示] 多面体是由多个多边形围成的几何体，旋转体是由平面图形绕轴旋转而形成的几何体．知识点2 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 3.棱柱是如何分类的？[提示] ①按底面多边形边数分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……．②按侧棱与底面的关系分：直棱柱：侧棱垂直于底面；斜棱柱：侧棱不垂直于底面．③特别地，底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱．④底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体． 4.棱锥是如何分类的？[提示] ①按底面多边形边数分：三棱锥、四棱锥、五棱锥……．②三棱锥又叫四面体．③底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥． 5.棱台是如何分类的？[提示] ①由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫三棱台、四棱台、五棱台……．②由正棱锥截得的棱台叫正棱台．1．下列实物不能近似看成多面体的是( )A．钻石 B．骰子C．足球 D．金字塔C [钻石、骰子、金字塔的表面都可以近似看成平面多边形，所以它们都能近似看成多面体．足球的表面不是平面多边形，故不能近似看成多面体．]2．四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )A．四条侧棱、四个顶点 B．八条侧棱、四个顶点C．四条侧棱、八个顶点 D．六条侧棱、八个顶点C [四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得)．]3．在三棱锥A-BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4D [每个三角形都可以作为底面．]4．棱台不具备的特点是( )A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点C [由于棱锥的侧棱不一定相等，所以棱台的侧棱都相等的说法是错误的．] 类型1 棱柱的结构特征【例1】 (1)下列命题中，正确的是( )A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，但底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形(2)如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1．①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？若是，请指出它们的底面．(1)D [由棱柱的定义可知，只有D正确，分别构造图形如下：图①中平面ABCD与平面A1B1C1D1平行，但四边形ABCD与A1B1C1D1不全等，故A错；图②中正六棱柱的相对侧面ABB1A1与EDD1E1平行，但不是底面，B错；图③中直四棱柱底面ABCD是平行四边形，C错，故选D．](2)[解] ①长方体是四棱柱．因为它有两个平行的平面ABCD与平面A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义．②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分，有两个平行的平面BB1M与平面CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M-CC1N.同理，另一部分也是棱柱，可以用符号表示为四棱柱ABMA1-DCND1． 棱柱结构的辨析方法(1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是是否符合棱柱的定义．①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是平行四边形．②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．[跟进训练]1．(多选)下列关于棱柱的说法正确的是( )A．所有棱柱的两个底面都平行B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余每相邻面的公共边互相平行C．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形D．棱柱至少有五个面ABD [对于A，B，D，显然是正确的；对于C，显然不正确，例如长方体．] 类型2 棱锥、棱台的结构特征【例2】 (1)(多选)下列关于棱锥、棱台的说法，正确的是( )A．棱台的侧面一定不会是平行四边形B．棱锥的侧面只能是三角形C．由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥(2)判断如图所示的几何体是不是棱台，为什么？(1)ABC [A正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；B正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；C正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；D错误，如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．](2)[解] ①②③都不是棱台．因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台，虽然②是由棱锥所截得的，但截面和底面不平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台． 判断棱锥、棱台形状的2个方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法[跟进训练]2．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台．(仅填相应序号)①③④ ⑥ ⑤ [结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．] 类型3 多面体的平面展开图 多面体的展开与折叠【例3】 (1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)( )A BC D(2)如图是三个几何体的平面展开图，它们各是什么几何体？(1)A [由选项验证可知选A．](2)[解] 图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点．把平面展开图还原为原几何体，如图所示．所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台． 多面体平面展开图的应用【例4】 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线长．[思路导引] 将长方体的侧面展开 化空间为平面 求AC1的最短长度即可．[解] 沿长方体的一条棱剪开，有三种剪法：①如图①，以A1B1为轴展开，AC1＝42+5+32＝80＝45.②如图②，以BC为轴展开，AC1＝32+5+42＝90＝310．③如图③，以BB1为轴展开，AC1＝4+32+52＝74．相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为74． 多面体的展开与折叠(1)由多面体画平面展开图，一般要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．[跟进训练]3．画出如图所示的几何体的平面展开图．[解] 平面展开图如图所示．1．下列命题正确的是( )A．四棱柱是平行六面体B．直平行六面体是长方体C．长方体的六个面都是矩形D．底面是矩形的四棱柱是长方体C [底面是平行四边形的四棱柱才是平行六面体，选项A错误；底面是矩形的直平行六面体才是长方体，选项B错误；底面是矩形的直四棱柱才是长方体，选项D错误；选项C显然正确．]2．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为( )A．四棱柱 B．四棱锥C．三棱柱 D．三棱锥D [根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．]3．(多选)下列说法错误的是( )A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B．多面体至少有3个面C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形ABC [选项A错误，反例如图①；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项B错误；选项C错误，反例如图②，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．]4．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则在正方体表面上，从顶点A到顶点C1的最短距离为________．25 [将侧面ABB1A1与上底面A1B1C1D1展开在同一平面上，连接AC1，则线段AC1的长即为所求．如图，AC1＝25．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．棱柱、棱锥、棱台各有什么结构特征？[提示] (1)棱柱：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③每相邻两个四边形的公共边互相平行．(2)棱锥：①有一个面是多边形；②其余的各面是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台：①所截几何体为棱锥；②截面与底面平行．2．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体一定是棱锥吗？[提示] 不一定．因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”．3．结合本节所学的棱柱分类，你能分析一下常见的几种四棱柱之间的转化关系吗？[提示] 四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱与底面垂直 直平行六面体 底面为矩形 长方体 底面为正方形 正四棱柱 棱长相等 正方体．课时分层作业(二十一) 棱柱、棱锥、棱台的结构特征一、选择题1．(多选)观察如下所示的四个几何体，其中判断正确的是( )A．①是棱柱 B．②不是棱锥C．③不是棱锥 D．④是棱台ACD [结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥．]2．在下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是( )A B C DC [动手将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以折叠围成正方体即可．]3．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定A [如图．因为有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形，因此是棱柱．]4．(2022·湖北丹江口一中月考)一个多面体的所有棱长都相等，那么这个多面体一定不可能是( )A．三棱锥 B．五面体C．六棱锥 D．六面体C [一个多面体的所有棱长都相等，三棱锥是正四面体时，满足题意，选项A可能；正四棱锥的每条棱可以都相等，即每个侧面都是等边三角形，底面是正方形，即五面体的所有棱长可以都相等，选项B可能；如果六棱锥的棱长都相等，则该棱锥为正六棱锥，如图：六棱锥P-ABCDEF，O为底面中心，则OA＝AB＝PA，由于PO⊥底面ABCDEF，OA⊂底面ABCDEF，故PO⊥OA，则PA>OA，与OA＝AB＝PA矛盾，则正六棱锥的底面边长与棱长不可能相等，所以C不可能；六面体是正方体时，满足题意，所以D有可能．故选C．]5．(多选)(2022·山东临沂二十四中月考)下列命题中不正确的是( )A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱B．底面是正多边形的直棱柱一定是正棱柱C．正三棱锥就是正四面体D．侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱AC [对于A，如图：几何体满足有两个面平行，其余各面都是平行四边形但不是棱柱，对于B，由正棱柱的定义知：底面是正多边形的直棱柱一定是正棱柱，故正确；对于C，在正三棱锥中，当侧棱与底面正三角形的边长不相等时，不是正四面体，故错误；对于D，由直棱柱的定义知：侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，故正确．故选AC．]二、填空题6．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm．12 [该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每条侧棱长为12 cm．]7．在正方体上任意选择4个顶点，则由这四个顶点围成的几何体可以是________．[答案] 正三棱锥(或正四面体)(答案不唯一)8．(2022·江西南城二中月考)如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是________．路 [由图①可知，“国”和“兴”相对，“梦”和“中”相对，“复”和“路”相对；由图②可得，第1、2、3、4、5格对应面的字分别是“兴”、“梦”、“路”、“国”、“复”，所以到第5格时，小正方体朝上面的字是“路”．]三、解答题9．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P．问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a，则每个面的面积为多少？[解] (1)如图，折起后的几何体是三棱锥．(2)S△PEF＝12a2，S△DPF＝S△DPE＝12×2a×a＝a2，S△DEF＝S正方形ABCD－S△DPF－S△DPE－S△PEF＝2a×2a－a2－a2－12a2＝32a2．10．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( )A．四边形 B．三角形C．三角形或四边形 D．不可能为四边形C [按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．① ②]11．(多选)(2022·哈尔滨九中期中)如图，我们常见的足球是由若干个正五边形和正六边形皮革缝合而成．如果我们把足球抽象成一个多面体，它有60个顶点，每个顶点发出的棱有3条，设其顶点数V，面数F与棱数E，满足V＋F－E＝2，据此判断，关于这个多面体的说法正确的是( )A．共有20个六边形B．共有10个五边形C．共有90条棱D．共有32个面ACD [由题意，设共有m个正五边形，n个正六边形， 5m+6n3＋m+n－5m+6n2＝2，解得m＝12.B错误；∵顶点数：V＝5m+6n3＝60，解得n＝20，∴A正确；面数：F＝m＋n＝32，∴D正确；棱数：E＝5m+6n2＝90，C正确．故选ACD．]12．如图所示都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是( )A．①② B．②③ C．③④ D．①④B [在图②③中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图②③完全一样，而图①④则不同．]13．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有________条．10 [在上底面选一个顶点，同时在下底面选一个顶点，且这两个顶点不在同一侧面上，这样上底面每个顶点对应两条对角线，所以共有10条．]14．如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值．[解] 将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值．∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，∴∠AVA1＝90°．又VA＝VA1＝4，∴AA1＝42．∴△AEF周长的最小值为42．15．经过三棱柱的三个顶点作截面，可以将三棱柱分割成几个三棱锥？试在如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中设计出分割方案．(请设计尽可能多的方案)[解] 一个三棱柱可以分割成3个三棱锥，有如下六种方案： 学习任务1．通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征．(直观想象、数学抽象)2．理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系．(数学抽象)3．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单物体的结构和有关计算．(逻辑推理)类别定义图示多面体一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点旋转体一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴定义相关概念棱柱一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱四棱柱ABCD-A′B′C′D′棱锥一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥四棱锥S-ABCD棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台四棱台ABCD-A′B′C′D′棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点
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