2024年福建省莆田市荔城区莆田中山中学中考一模数学试题

这是一份2024年福建省莆田市荔城区莆田中山中学中考一模数学试题，共12页。试卷主要包含了0000084米，则数据0，5B．年收入的众数为5，如图，在中平分，按以下步骤作图等内容，欢迎下载使用。

2023-2024学年莆田中山中学九年级数学中考模拟试卷
选择题（共10小题）
1.如图，数轴上点表示的数的相反数是
A．3B．C．2D．-3
2“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为( )
A．B．C．D．
3．某几何体的展开图如图所示，该几何体是（ ）
A．三棱柱B．圆锥
C．四棱柱D．圆柱
4．下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）．
A． B．
C． D．
6.．函数中，自变量的取值范围在数轴上表示正确的是
A．B．
C． D．
7．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）
A．55°B．65°C．60°D．75°
8．是线段上一点（），则满足，则称点是线段的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉长度为，为的黄金分割点（），求叶柄的长度．设，则符合题意的方程是（ ）
A．B．C．D．
9．近年来，福建走特色路、打特色牌，振兴乡村，发展特色小镇旅游经济，实现乡村居民创收．亮亮调查了家乡小镇10家餐饮企业的年收入情况，并绘制成下表（数据已取整）．根据图表信息，下列描述正确的是（ ）
A．年收入的中位数为4.5B．年收入的众数为5
C．年收入的平均数为4.4D．年收入的方差为6.4
10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处、点B恰好为OE的中点．DE与BC交于点F．若y＝（k≠0）图象经过点C．且S△BEF＝1，则k的值为（ ）
A．18B．20C．24D．28
二．填空题（共6小题）
11．分解因式：2X2 -2= ______
12.一个扇形的半径为4，圆心角是120°，该扇形的弧长是______。
13.如图，平移得到，交于点，交于点，两个三角形重叠部分的面积为的一半，则的值为 .
14.两个人做游戏：每个人都从﹣1，0，1这三个数中随机选择一个写在纸上，则两人所写的两个数相等的概率为 ．
15.如图，在中平分，按以下步骤作图：第一步分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接分别交于点E、F；第三步，连接，若，，，则的长是_______.
16.已知二次函数为常数，, 点，是该函数图象上一点，当时，，求的取值范围_______.
三、解答题 （共9小题，共86分）
17．（8分）．计算：
18．（8分）如图，矩形，点E在边上，点F在的延长线上，且．求证：．
解方程组：
20.(8分)先化简，再求值：(－1)÷，其中m＝＋1
21.（8分）如图，为的直径，点C平分弧，点D为弧上一点，与相交于点F，过C作射线与射线相交于点E，且．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．
22.（10分）某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐．为了解员工手机流量使用情况
（1）从该企业的员工中随机抽取1人，求该员工手机月平均使用流量不超过900M的概率．
（2）据了解，某网络运营商推出两款流量套餮，详情如下
流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费．如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包(包含200M的流量)需要10元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，将会被清零．该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费用．若以人均所需费用为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？
23.（10分）根据以下素材，探索完成任务一：
24（12分）：在中，，，点在边上，，将线段绕点顺时针旋转至，记旋转角为，连接，，以为斜边在其一侧制作等腰直角三角形．连接．
（1）如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系；
（2）当时，
①如图2，（1）中线段与线段的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，当，，三点共线时，连接，判断四边形的形状，并说明理由．
25（14分）已知抛物线y=ax2+bx过点（-1,1）和（1,1）
求抛物线的解析式
点A,B为抛物线上两点(点A在B的右侧）
①若直线AB的解析式为y=-x+1,求证OA⊥OB
②若A、B位于不同象限，直线AB交X轴正半轴于点C，过点B做AB的垂线交抛物线与点的横坐标为点m，当直线CD（不与y轴平行）与抛物线有唯一公共点，求m的最小值。
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2023-2024学年九年级数学中考模拟试卷答案
1．A
【分析】根据图示，数轴上点表示的数是，据此求出它的相反数即可．
【解答】解：根据图示，数轴上点表示的数是，
数轴上点表示的数的相反数是：．
2．B
【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
【详解】解：0.0000084=．
故选：B
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键．
3．A
【分析】侧面为三个长方形，底面为三角形，故原几何体为三棱柱．
【详解】观察图形可知，这个几何体是三棱柱．
故选：A．
【点睛】本题考查的是三棱柱的展开图，考法较新颖，需要对三棱柱有充分的理解．
4．C
【分析】分别根据算术平方根、合并同类项、幂的乘方、负整数指数幂的运算法则逐项计算即可作出选择．
【详解】解：A、，故该选项计算错误，不符合题意；
B、和不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意；
C、，故该选项计算正确，符合题意；
D、，故该选项计算错误，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根、合并同类项、幂的乘方、负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解答的关键．
5．D
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D. 是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
6．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解，然后在数轴上表示即可．
【解答】解：由题意得，，
解得．
在数轴上表示如下：
故选：．
【点评】本题考查了函数自变量的范围及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【点睛】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
7．B
【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接CD，
∵∠A＝50°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC＝∠BDC＝65°，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质等知识．正确理解题意是解题的关键．
8．A
【分析】根据黄金分割的特点即可求解．
【详解】∵AB=10，BP=x，
∴AP=10-x，
∵P点是黄金分割点，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了根据黄金分割点列一元二次方程的知识，依据得到是解答本题关键．
9．C
【分析】本题主要考查方差、平均数、众数和中位数，根据众数、中位数、平均数及方差的定义逐一计算即可．
【详解】解：这组数据排列为3、4、4、4、4、4、5、5、5、6，
所以这组数据的众数为4，中位数为，
平均数为，
方差为，
故选：C．
10．C
【分析】连接OC，BD，根据折叠的性质得到OA＝OE，得到OE＝2OB，求得OA＝2OB，设OB＝BE＝x，则OA＝2x，根据平行四边形的性质得到CD＝AB＝3x，根据相似三角形的性质得到 ，即，求得S△BDF＝3，S△CDF＝9，即可求得S△CDO＝S△BDC＝12，于是得到结论．
【详解】解：如图，连接OC，BD，
∵将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，
∴OA＝OE，
∵点B恰好为OE的中点，
∴OE＝2OB，
∴OA＝2OB，
设OB＝BE＝x，则OA＝2x，
∴AB＝3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3x，
∵CDAB，
∴△CDF∽△BEF，
∴，即，
∵S△BEF＝1，
∴S△BDF＝3，S△CDF＝9，
∴S△BCD＝S△BDF+S△CDF＝3+9=12，
∴S△CDO＝S△BDC＝12，
∴｜k｜＝2S△CDO＝24，
∵反比例函数图像在第一象限，
∴k＞0，
∴k＝24．
故选择：C．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，折叠的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
11：2（x+1）(x-1)
12: 由l= 可得
13．
【分析】根据平移得到，，即可得到，结合面积比等于相似比平方即可得到答案；
【详解】解：∵平移得到，
∴，，
∴，
∴，
∵的面积为的一半，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【点睛】本题考查平移的性质及相似三角形面积比等于相似比平方，解题的关键是根据平移得到相似．
14．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果，找出其中两数相等的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中两数相等的结果数为3，
∴两人所写的两个数相等的概率．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
B
由作法得EF垂直平分AD
∴AE=DE AF=DF EF⊥AD
∵AD平分∠BAC
∴AE=AF=DE=DF ∴四边形AEDF为菱形
∴ED//AC ∴△BED∽△BAC
∴ = ∵BD=6 CD=3 CF=2 ∴=
解得：ED=4 ∴AE=4
16．
【分析】对称轴为，抛物线与轴的交点为，由，得出对称轴，依题意得出，当时，，列出不等式，即可求解．
【详解】
∵二次函数，
∴对称轴为，抛物线与轴的交点为，
∵，
∴对称轴，
∵点是该函数图象上一点，当时，，
∴当时，，即，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
17．2-
【分析】本题考查了实数的运算，利用负整数指数幂、零指数幂、绝对值的意义，二次根式的性质，特殊角的三角函数化简计算即可．
【详解】解：原式=2+-2
=2-
18．见解析
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，由矩形的性质可得，，根据，得到由即可得出结论．
【详解】证明：四边形是矩形，
，
，
，
即，
在和中，
，
．
19．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】
②﹣①得：3x=9，
解得：x=3，
把x=3代入①得：y=﹣2，
则方程组的解为.
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
20．．
【分析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用因式分解法解方程，从中找到使分式有意义的m的值代入计算可得．
【详解】
（2）(－1)÷
＝(－)
＝，
当m＝＋1时，原式＝．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值与二次根式的化简，特殊角的三角函数值，负指数幂和零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据圆周角定理和切线的判定定理以及等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）利用已知条件和勾股定理可以得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
为的直径，
，
，
，
，
而，
，
，
与相切于点；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故的长为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
22．(1)，（2）订购A套餐更经济．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据平均数的计算公式先分别求出A套餐人均所需费用和B套餐人均所需费用，再进行比较，即可得出答案．
【详解】解：(1)由题意得，样本容量为35+25+22+8+8+2=100，
样本中月平均使用流量不超过900M的频数为：100-2-8＝90，
则该员工手机月平均使用流量不超过900M的概率是；
(2)A套餐人均所需费用为：=28（元），
B套餐人均所需费用为：（元），
∵28＜30.2，
∴该企业订购A套餐更经济．
【点睛】本题考查了概率的知识和频数（率）分布直方图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比,解题关键是准确从图表中获得信息，综合运用所学知识解决问题．
23．（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意．
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据题意可直接代值求解；
（3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解；
（4）根据（3）可进行求解．
【详解】解：（1）由题意得：，，
∴，
∴；
（2）由题意得：，，
∴，
∴；
（3）由（1）（2）可得：，
解得：；
（4）由任务一可知：，，
∴，
∴．
24．（1）；（2）①成立，理由见解析；②平行四边形，理由见解析；
【分析】（1）如图1，证明，由平行线分线段成比例可得，由的余弦值可得；
（2）①根据两边成比例，夹角相等，证明，即可得；
②如图3，过作，连接, 交于点，根据已知条件证明，根据平行线分线段成比例可得，根据锐角三角函数以及①的结论可得,
根据三角形内角和以及可得，进而可得，即可证明四边形是平行四边形．
【详解】（1）如图1，
，，
，
是以为斜边等腰直角三角形，
,，
，
，
，
，
，
即；
（2）①仍然成立，理由如下：
如图2，
，，
，
是以为斜边等腰直角三角形，
,，
，
，
即，
，
，
，
，
，
即；
②四边形是平行四边形，理由如下：
如图3，过作，连接, 交于点，
，，
，
，
，
，
是以为斜边等腰直角三角形，
，
，，三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由①可知，
，
是以为斜边等腰直角三角形，
,，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，平行四边形的判定，熟练掌握平行线分线段成比例以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
解（1）将点（-1,1）（1，1）代入y=ax2+bx得
a+b=1
∴抛物线的解析式：y  x2
b=1
y=x2 x=-2 x=
(2)联立 y=-x+1 解得 y=4 或 y=
∴A(,) B( -2,4 )
∴OA2 = OB2=20 AB2 =(-2-)2 +(4-)2 =20
∴OA 2  OB 2  AB 2
∴OA⊥OB；
②依题意，得： A(m, m2 ) ，不妨设 B(n, n2 ) ， D (t, t2 )
如图，点A、D 作x 轴的平行线，
与过点B 作y 轴的平行线分别交于点M、N 两点，
∵AB⊥BD，∴△AMB∽△BND，
∴= ∴ (t  n)( m n)  1
设直线AB 的解析式为 y  kx  b ，将 A(m, m2 ) ， B(n, n2 ) 代入上式，得：
m2 = km+b k=m+n
解得

n2 = kn+b b=-mn
∴ y  (m n) x  mn ，
令y=0，则 x= ∴c (,0) y=kt（x-t）+t2
设直线CD为y=kt（x-t）+t2 联立 y=x2
得x2-kt x+ktt-t2 =0
∵直线CD与抛物线有唯一公共点，
∴  kt2 -4(ktt  t2)=0 ∴ k t 2t ，
∴直线CD： y  2tx  t2 ，令y=0,
则x= ∴= 解得t=
∵A在第一象限，则点B 在第二象限，∴n<0，
将t=代入(t  n)( m n)  1 ，得：
m=(-n-)=(-)2 +
∵(-)2 ≥0
∴m ≥
即m的最小值是
套餐名称
月套餐费(单位：元)
月套餐流量(单位：M)
A
20
700
B
30
1000
自制杆秤
背景素材
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杠杆。
如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：（m0+m）•l＝M•（a+y）．其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．

设计简易杆秤要求：设定m0＝10，M＝50，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
问题解决
任务一
确定l和a的值
（1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程．
（2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程．
（3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．
任务二
确定刻线的位置
（4）根据任务一，求y关于m的函数解析式．