人教版八年级下学期期末考试压轴卷（解析版）

这是一份人教版八年级下学期期末考试压轴卷（解析版），共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．中，、、的对边分别为、、，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，钓鱼竿的长为m，露在水面上的鱼线长为m．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为m，则的长为（ ）
A．mB．mC．mD． m
5．4月23日是世界读书日．习总书记说“希望孩子们养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长，”读书正当时，莫负好时光，某校积极开展全员阅读活动．小明为了解本组同学4月份的课外阅读量，对本组同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如下图）．下列说法中，正确的是（ ）
A．小明这组共有名同学B．本组同学4月份的课外阅读量的中位数是
C．本组同学月份的课外阅读量的众数是4D．本组同学4月份的课外阅读量的平均数是
6．如图，梯形上底的长为，下底长为，高为，梯形的面积为，则下列说法不正确的是（ ）
A．梯形面积与下底长之间的关系式为
B．当时，，此时它表示三角形面积
C．当每增加时，增加
D．当从变到时，的值从变化到
7．已知四边形是菱形，相交于点O，下列结论正确的是（ ）
A．B．菱形的面积等于
C．平分D．若，则四边形是正方形
8．如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立坐标系，并设入水与前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则关于与的关系，正确的是（ ）
A．，B．，C．D．
9．对于任意的正数m，n，定义运算※：，计算的结果为（ ）
A．B．C．4D．32
10．如图①，在矩形中，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，那么下列说法不正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．y的最大值是10D．矩形的周长是18
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．比较大小： （填“，或”）．
12．如图，正方形A的面积为 ．

13．已知有一组正整数，，，，，如果这组数据的中位数和平均数相等，那么的值是 ．
14．如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点M、N；②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线，交边于点Q，若，则平行四边形周长为 ．

15．小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中对角线的长为 ．
16．已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是y轴上一动点，是以为腰的等腰三角形，则满足条件的点C的坐标为 ．
三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分.
17．计算下列各题：
(1) (2)
18．已知：一次函数，是常数，的图象过，两点．
(1)求该函数的表达式；
(2)试判断点是否在直线上？并说明理由．
19．如图，菱形的对角线相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，求和的长．
20．如图，A村和B村相距1500米，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路l旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．C处与B村的距离为1200米，C处与A村相距900米．

(1)判断爆破点C与A、B两村围成的三角形形状，并求爆破点C到公路l的距离；
(2)已知爆破点C周围750米之外为安全范围，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
21．某中学为全面普及和强化急救知识和技能，特邀某医疗培训团在全校开展了系列急救培训活动，并于结束后在七、八年级开展了一次急救知识竞赛．竞赛成绩分为、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分．学校分别从七、八年级各抽取名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
(1)根据以上信息可以求出： ， ，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；
(2)依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由；
(3)若该校七年级有人、八年级有人参加本次知识竞赛，且规定分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少？
22．年月日是第个世界读书日，某书店在世界读书日前夕购进，两类图书．已知购进本类图书和本类图书共需元；购进本类图书和本类图书共需元．
(1)分别求，两类图书每本的进价．
(2)该书店计划用元全部购进，两类图书，设购进类图书本，类图书本．
①求关于的关系式；
②进货时，类图书的购进数量不少于．已知类图书每本的售价为元，类图书每本的售价为元若书店全部售完可获利元，求关于的关系式，并说明如何进货才能使获得的利润最大，最大利润为多少元？
]
23．如图1，四边形中，，，，E、F分别为、上一点，G为延长线上一点，，的延长线交于M，交的延长线于点N，，．

(1)①求证；
②试判断四边形的形状，并加以证明；
(2)如图2，过点M作，，，求的长．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
24．在正方形中，点为射线上一点，连接，过点作交射线于点，以为邻边作矩形，连接．
(1)如图，当点在线段上时．
求证：矩形是正方形；
求证：；
(2)如图，当点在线段的延长线上时，正方形的边长为，，请直接写出的长．
25．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点，分别在轴和轴上，为坐标原点，，为上一点，且，为长方形边上一动点（不与点，重合），作关于直线的对称点．
(1)当在轴上时，点的坐标为__________；
(2)当时，请求出直线的表达式；
(3)当为以为直角边的直角三角形时，请直接写出点的坐标．
人教版八年级下学期期末考试压轴卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
根据平行四边形的对角相等、邻角互补以及图形可知与是对角，即可求出和的度数；再根据与是邻角，即可求得.
【详解】解：如图：
∵四边形为平行四边形，
∴.
∵，
∴，
∴.
故选D．
2．中，、、的对边分别为、、，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，根据三角形内角和定理即可判断A、C；如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此可判断B、D．
【详解】解：A、∵，，
∴，，，
∴不是直角三角形，符合题意；
B、∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，不符合题意；
C、∵，且，
∴，
∴是直角三角形，不符合题意；
D、∵，
∴设，，，且，
∴是直角三角形，不符合题意；
故选：A．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的运算，利用二次根式的性质，合并同类二次根式法则，二次根式的除法法则逐项判断即可．
【详解】解：A．，原计算正确，符合题意；
B．与不是同类二次根式，不可以合并，不符合题意；
C．3与不是同类二次根式，不可以合并，不符合题意；
D．，原计算错误，不符合题意；
故选：A．
4．如图，钓鱼竿的长为m，露在水面上的鱼线长为m．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为m，则的长为（ ）
A．mB．mC．mD． m
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是利用数形结合的思想并掌握勾股定理．
根据勾股定理进行计算即可得．
【详解】解∶ 在中，m，m，
根据勾股定理得， m
在中，m，m，
根据勾股定理得， m，
∴ m，
故选∶A．
5．4月23日是世界读书日．习总书记说“希望孩子们养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长，”读书正当时，莫负好时光，某校积极开展全员阅读活动．小明为了解本组同学4月份的课外阅读量，对本组同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如下图）．下列说法中，正确的是（ ）
A．小明这组共有名同学B．本组同学4月份的课外阅读量的中位数是
C．本组同学月份的课外阅读量的众数是4D．本组同学4月份的课外阅读量的平均数是
【答案】D
【分析】本题考查折线统计图、中位数、众数、平均数，分别根据折线统计图和中位数、众数、平均数的定义求解即可．
【详解】解：A、随机选取了（名）同学，故该选项错误，不符合题意；
B、将数据从小到大排列，位于第8个位置的数为3，则中位数为3本，故该选项错误，不符合题意；
C、课外阅读量为3的出现次数最多，则众数为3，故该选项错误，不符合题意；
D、该组数据的平均数为（本），故该选项正确，符合题意，
故选：D．
6．如图，梯形上底的长为，下底长为，高为，梯形的面积为，则下列说法不正确的是（ ）
A．梯形面积与下底长之间的关系式为
B．当时，，此时它表示三角形面积
C．当每增加时，增加
D．当从变到时，的值从变化到
【答案】D
【分析】本题考查了变量间的关系，正确理解题意是解题的关键．根据梯形面积公式得出与之间的关系；结合关系式逐项分析即可得解．
【详解】解∶A．∵梯形上底的长是，下底的长是，高是，
∴梯形的面积与下底长之间的关系式为：，该项正确，不符合题意；
．当时，，此时它表示三角形面积，该选项正确，不符合题意；
．∵，
∴当每增加时，增加，故该选项正确，不符合题意；
．当时，，
当时，，
当从变到时，的值从变化到，故该选项错误，符合题意；
故选∶．
7．已知四边形是菱形，相交于点O，下列结论正确的是（ ）
A．B．菱形的面积等于
C．平分D．若，则四边形是正方形
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的性质，熟记相关结论是解题关键．
【详解】解：如图所示：
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴
不一定成立，故A错误；
菱形的面积，
故B错误；
∵菱形的对角线平分一组对角，
∴平分，故C正确；
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴显然成立，
故D错误；
故选：C．
8．如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立坐标系，并设入水与前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则关于与的关系，正确的是（ ）
A．，B．，C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是取横坐标相同的点，利用纵坐标的大小关系得到比例系数的关系．利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解．
【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为，的两个点和，
则，，
，
，
当取横坐标为正数时，同理可得，
，，
，
故选：C
9．对于任意的正数m，n，定义运算※：，计算的结果为（ ）
A．B．C．4D．32
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．根据定义的新运算列出算式，然后利用二次根式的乘法和减法法则进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
，
故选：C．
10．如图①，在矩形中，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，那么下列说法不正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．y的最大值是10D．矩形的周长是18
【答案】B
【分析】此题主要考查的是动点问题的函数图象，根据图②求出矩形的长和宽是解题的关键．根据图②可知：，，然后根据三角形的周长和面积公式求解即可．
【详解】解：由图象可知，四边形的边长，，，
A、当时，点在线段上，，此选项正确，不符合题意；
B、当时，点在线段或上，或，此选项答案不全，符合题意；
C、的最大值是10，此选项正确，不符合题意；
D、矩形的周长是，此选项正确，不符合题意；
故选：B
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．比较大小： （填“，或”）．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据即可得到．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12．如图，正方形A的面积为 ．

【答案】100
【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．根据勾股定理即可解答．
【详解】解：根据题意可得：，
根据勾股定理可得：，
故答案为：100．

13．已知有一组正整数，，，，，如果这组数据的中位数和平均数相等，那么的值是 ．
【答案】或
【分析】此题考查了中位数和平均数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，关键是根据中位数和平均数相等列出方程．根据这组数据的中位数和平均数相等，分和两种情况列方程求解即可．
【详解】
∵这组数据的中位数和平均数相等，
∴当时，，
解得：．
当时，，
解得：．
故答案为或．
14．如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点M、N；②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线，交边于点Q，若，则平行四边形周长为 ．

【答案】20
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义证明，求出，即可求解．
【详解】解：由题意可得，平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：20．
【点睛】本题考查作图−角平分线、平行四边形的性质、角平分线的定义，熟练掌握角平分线的作法是解题的关键．
15．小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中对角线的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查正方形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定及勾股定理，得出是等边三角形是解题关键．根据正方形的性质，利用勾股定理可求出，根据菱形的性质，结合得出是等边三角形，即可得出答案．
【详解】解：在正方形中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在菱形中，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：
16．已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是y轴上一动点，是以为腰的等腰三角形，则满足条件的点C的坐标为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及等腰三角形的性质，分为腰及为腰两种情况，求出点C的坐标．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，在中，利用勾股定理，可求出的长，分为腰及为腰两种情况考虑，当为腰时，利用等腰三角形的三线合一，可得出的长，进而可得出点C的坐标；当为腰时，利用等腰三角形的性质，可得出的长，结合点B的坐标，即可得出点C的坐标，综上所述，即可得出结论．
【详解】解：如图：
当时，
∴点B的坐标为，
∴；
当时，
解得：，
∴点A的坐标为，
∴．
在中，，，，
当为腰时，，
∴点C的坐标为；
当为腰时，，
又∵点B的坐标为，
∴点C的坐标为或．
综上所述，满足条件的点C的坐标为或或．
故答案为：或或．
三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分.
17．计算下列各题：
(1) (2)
【答案】(1)；
(2)；
【分析】（1）本题考查二次根式的混合运算，先化简为最简二次根式，再合并即可得到答案；
（2）本题考查二次根式的混合运算及完全平方公式的运用，根据完全平方及乘法法则展开并化到最简即可得到答案；
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．已知：一次函数，是常数，的图象过，两点．
(1)求该函数的表达式；
(2)试判断点是否在直线上？并说明理由．
【答案】(1)该函数的表达式为
(2)点在直线上，理由见详解．
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征．
（1）把，分别代入，用待定系数法即可求出该函数的表达式；
（2）通过计算自变量为所对应的函数值可判断点是否在直线上．
【详解】（1）解：把，分别代入
得∶，
解得，
该函数的表达式为；
（2）点在直线上．
理由如下：
当时，，
点在直线上．
19．如图，菱形的对角线相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，求和的长．
【答案】(1)见解析；
(2)5，1．
【分析】（1）先根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，再证明，从而证得结论；
（2）根据菱形的性质先求出，利用中位线定理求出，根据矩形的性质得出，再利用勾股定理求出即可求出．
【详解】（1）证明：∵点 O 为菱形对角线的交点，
∴，
∵点 E 为边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
又，
∴，
∴四边形为矩形；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，点E为中点，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形为矩形是解题的关键．
20．如图，A村和B村相距1500米，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路l旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．C处与B村的距离为1200米，C处与A村相距900米．

(1)判断爆破点C与A、B两村围成的三角形形状，并求爆破点C到公路l的距离；
(2)已知爆破点C周围750米之外为安全范围，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．
【答案】(1)爆破点C与A、B两村围成的三角形是直角三角形，爆破点处到公路的距离为720米；
(2)公路有危险而需要封锁，420米．
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的应用．
（1）根据勾股定理逆定理判定是直角三角形，利用三角形的面积公式即可求得米；
（2）根据720米米可以判断有危险，根据勾股定理求出，进而求出．
【详解】（1）解： 在中，米，米，米，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
如图，过C作于D．
∵，
∴
（米）．
答：爆破点C与A、B两村围成的三角形是直角三角形；爆破点处到公路的距离为720米；
（2）解：公路有危险而需要封锁．
理由如下：如图，以点C为圆心，750米为半径画弧，交于点E，F，连接，，

由于720米米，故有危险，
因此段公路需要封锁．
∴米，
∴
（米），
故米，
则需要封锁的路段长度为420米．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
21．某中学为全面普及和强化急救知识和技能，特邀某医疗培训团在全校开展了系列急救培训活动，并于结束后在七、八年级开展了一次急救知识竞赛．竞赛成绩分为、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分．学校分别从七、八年级各抽取名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
(1)根据以上信息可以求出： ， ，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；
(2)依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由；
(3)若该校七年级有人、八年级有人参加本次知识竞赛，且规定分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少？
【答案】(1)，，见解析
(2)七年级更好，理由见解析
(3)估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有人
【分析】本题考查了统计图，众数，中位数，平均数，方差，样本估计总体，熟练掌握统计图，三数的计算公式是解题关键．
（1）首先根据题意求出七年级组的人数，然后根据众数和中位数的概念求解，最后完成统计图的补充即可．
（2）根据平均数，中位数和方差的意义求解即可；
（3）用总人数乘以优秀率即可得到人数．
【详解】（1）由七年级竞赛成绩统计图可得，
七年级组的人数为：（人），
∴七年级组的人数最多，
∴七年级的众数为；
由八年级竞赛成绩统计图可得，
将名学生的竞赛成绩从大到小排列，第个数据在组，第个数据在组，
∴中位数，
补充统计图如下：
（2）七年级更好，
理由：七，八年级的平均分相同，七年级中位数大于八年级中位数，说明七年级一半以上人不低于分，七年级方差小于八年级方差，说明七年级的波动较小，
所以七年级成绩更好．
（3）解：（人），
答：估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有人．
22．年月日是第个世界读书日，某书店在世界读书日前夕购进，两类图书．已知购进本类图书和本类图书共需元；购进本类图书和本类图书共需元．
(1)分别求，两类图书每本的进价．
(2)该书店计划用元全部购进，两类图书，设购进类图书本，类图书本．
①求关于的关系式；
②进货时，类图书的购进数量不少于．已知类图书每本的售价为元，类图书每本的售价为元若书店全部售完可获利元，求关于的关系式，并说明如何进货才能使获得的利润最大，最大利润为多少元？
【答案】(1)A类图书35元/本，B类图书40元/本．
(2)①；②，当购进A类图书本，B类图书本可获得最大利润元．
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用；
（1）设A类图书每本a元，B类图书每本b元，根据题意建立二元一次方程组求解．
（2）①根据用4000元全部购进两类图书可求出函数关系式．
②先求与x的函数关系式，再根据函数性质求最值．
【详解】（1）设A类图书每本a元，B类图书每本b元，由题意得：
，
∴．
答：A类图书35元/本，B类图书40元/本．
（2）①∵用4000元全部购进两类图书，
∴，
∴，
②由题意得：
．
∵，
∴．
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，（元）．
（本）．
∴当购进A类图书本，B类图书本可获得最大利润元．
23．如图1，四边形中，，，，E、F分别为、上一点，G为延长线上一点，，的延长线交于M，交的延长线于点N，，．

(1)①求证；
②试判断四边形的形状，并加以证明；
(2)如图2，过点M作，，，求的长．
【答案】(1)①证明见解析；②平行四边形，证明见解析
(2)
【分析】（1）①由平行线的性质可得，结合已知即可证明；
②在取一点H，使，连接交于点K，可证是等腰直角三角形，，证明，得到，证明，，可得，，是等腰直角三角形，，得到，，即可证明；
（2）过点M作，设，由勾股定理可得，求得，，，证明，得到，，，由勾股定理可得，求解即可．
【详解】（1）①证明：∵，
∴，
∵，
∴；
②四边形是平行四边形，
证明如下：
如图，在上取一点H，使，连接交于点K，

∵，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）如图，过点M作，设，

∵
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴
解得，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，正确作辅助线是解题的关键．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
24．在正方形中，点为射线上一点，连接，过点作交射线于点，以为邻边作矩形，连接．
(1)如图，当点在线段上时．
求证：矩形是正方形；
求证：；
(2)如图，当点在线段的延长线上时，正方形的边长为，，请直接写出的长．
【答案】(1)①证明见解析，②证明见解析；
(2)．
【分析】（）过点作于，于，证明得到，根据正方形的判定定理证明即可；
根据三角形全等的判定定理证明，得到，根据线段和差证明结论即可；
（）证明，由全等三角形的性质得出，，证出，由勾股定理可求出答案．
【详解】（1）证明：作于于，
∵在正方形中，是对角线，
∴，
∵，
∴，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形矩形，，
∴四边形是正方形，
证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
（2）同（）理，四边形是正方形，

∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，）
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
．
【点睛】此题考查了正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点，分别在轴和轴上，为坐标原点，，为上一点，且，为长方形边上一动点（不与点，重合），作关于直线的对称点．
(1)当在轴上时，点的坐标为__________；
(2)当时，请求出直线的表达式；
(3)当为以为直角边的直角三角形时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或或．
【分析】（1）依题意可得点与点重合，，即可求解；
（2）当在轴上方时和当在轴下方时，进而待定系数法求解析式即可求解；
（3）分三种情况讨论；当与重合时，点在轴的正半轴，当时，点在的延长线上，当平分时，点在轴的负半轴，如图所示，过点作于点，根据角平分线的性质，等面积法，即可求解．
【详解】（1）解：∵，四边形是长方形，
∴，
∵关于直线的对称点．在轴上，则点与点重合，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：当在轴上方时，如图所示，过点作轴于点，连接，
∵，四边形是长方形，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∵关于直线的对称点，
∴，
∵，则，
又∵
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的表达式：，
当在轴下方时，如图所示，设交于，过作轴, 交轴于，交延长线于，
∵，
又，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
设，
∴，,
∴, ，
∴ ，，
∴
设直线解析式为，
，
解得：，
∴直线的表达式为：，
综上可知，直线的表达式或；
（3）解：依题意，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平分，
∴当与重合时，点在轴的正半轴，此时；
当时，点在的延长线上，此时，
当平分时，点在轴的负半轴，如图所示，过点作于点，
设，则，
∴，
即，
解得：，
∴，
综上所述，或或．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，坐标与图形，待定系数法求一次函数解析式，角平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．年级
平均分
中位数
众数
方差
七年级
八年级
年级
平均分
中位数
众数
方差
七年级
八年级