2024年山东省济宁市北湖区九年级下学期三模数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2024年山东省济宁市北湖区九年级下学期三模数学试题（原卷版+解析版），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题共30分）
一、单选题（每小题3分，共30分，下列各题只有一个正确选项）
1. 家用冰箱冷冻室的温度需控制在到之间，则可将冷冻室的温度设为（ ）
A. B. C. D.
2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 赵爽弦图B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线D. 斐波那契螺旋线
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，利用工具测量角，则大小为（ ）
A. B. C. D.
5. 三峡工程在4月1日至4月10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升到135米，高峡平湖实现人间，假设水库水位匀速上升，那么下列图像中能正确反映这10天水位I（米）随时间t（天）变化的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 若，则代数式的值为（ ）
A. 7B. C. D. 5
7. 运动会米赛跑，5位运动员成绩如下表所示，其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（ ）
A. ，B. ，C. ， D. ，
8. 用一个圆心角为，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（ ）
A. 6B. 4C. 3D. 2
9. 如图，在中，，．分别以点A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若，则的周长为（ ）
A. 8B. 6C. 4D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为；…；按此规律，则为（ ）

A. B. C. D.
第II卷（非选择题共70分）
二、填空题（每空题3分，共15分．只要求填写最后结果）
11. 如图，已知传送带与地面所成斜面坡度为，如果它把物体送到离地面3米高的地方，那么物体在传送带上所经过的路程为__________米（结果保留根号）．
12. 某商场将一件商品在进价基础上加价标价，再打八折出售，售价为120元，则这件商品的进价为__________元．
13. 如图，按照程序计算，若输出y的值是1，则输入x的值是________．
14. 如图，点E在正方形的对角线上，于点F，连接并延长，交边于点M，交边的延长线于点G，若，，则_________ ．
15. 如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧上移动，连接．的最小值是___________．

三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16. 先化简，再求值：，其中，．
17. 为了倡导“节约用水，从我做起”，济宁市政府决定对直属机关300户家庭用水情况进行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年月平均用水量（单位：吨），将调查结果制成了如下尚不完整的统计表：
请根据统计表中提供的信息解答下列问题：
（1）填空：__________；__________．
（2）根据样本数据估计，直属机关300户家庭中月平均用水量小于5吨的约有多少户？
（3）市政府决定从用水最为节约的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、乙两户的概率．
18. 已知矩形纸片．进行如下操作：
第①步：将纸片沿折叠，使点D与边上的点F重合，展开纸片，连结，，，与相交于点O（如图1）．
第2步：将纸片继续沿折叠，点C对应点G恰好落在上，展开纸片，连接，与交于点H（如图2）．
（1）猜想和的数量关系，并证明你的结论；
（2）已知，，求的值．
19. 五一假期为旅游旺季，越来越多的人选择在假期外出旅游，为方便更多的游客在园区内休息，太白湖景区决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知弧形椅与条形椅的单价之比为，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张．
（1）求弧形椅和条形椅的单价分别是多少元；
（2）已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进200张休闲椅，并保证至少增加800个座位．请通过计算说明，怎样安排购买方案，才能使购买费用最低．
20. 如图，点E为正方形的边上的一点，是的外接圆，与交于点F，G是上一点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）①连接，求证：四边形是矩形；
②若，，求的半径．
21. 综合与实践：
函数复习课后，数学兴趣小组的同学们对函数的图象与性质进行探究，过程如下．请完成探究过程：
（1）初步感知：函数的自变量取值范围是__________；
（2）作出图象
①列表：
填空：表中__________，__________；
②描点，连线：在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，可画出该函数的图象如下所示；
（3）研究性质
小明观察图象，发现这个图象为双曲线，结合反比例函数的知识，小明将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来．已知反比例函数是中心对称图形，对称中心为，结合小明的分析，可知函数的对称中心为__________；
（4）拓展应用
已知当时，关于的方程有实数解，请直接写出k的取值范围是__________．
22. 如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧）．已知A点坐标为．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间（不与A，C重合），连接．当点P运动到什么位置时，的面积最大？求出此时点P的坐标．
（3）过点B作线段的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴l与有怎样的位置关系，并给出证明；
2023-2024学年度第二学期学业水平第三次模拟考试
九年级数学试卷
第I卷（选择题共30分）
一、单选题（每小题3分，共30分，下列各题只有一个正确选项）
1. 家用冰箱冷冻室的温度需控制在到之间，则可将冷冻室的温度设为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数大小的比较，根据进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴在到之间的是，
故选：C．
2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 赵爽弦图B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线D. 斐波那契螺旋线
【答案】C
【解析】
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】A．不轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选C．
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由合并同类项可判断A，由同底数幂的乘法可判断B，由积的乘方运算可判断C，由幂的乘方运算可判断D，从而可得答案．
【详解】解：， 故A不符合题意；
， 故B不符合题意；
， 故C符合题意；
， 故D不符合题意；
故选：C
本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方运算，幂的乘方运算，掌握以上基础运算是解本题的关键．
4. 如图，利用工具测量角，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了对顶角相等．熟练掌握对顶角相等是解题的关键．
由题意知，量角器量得的角度为，然后根据对顶角相等可求．
【详解】解：由题意知，量角器量得的角度为，
由对顶角相等可知，，
故选：B．
5. 三峡工程在4月1日至4月10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升到135米，高峡平湖实现人间，假设水库水位匀速上升，那么下列图像中能正确反映这10天水位I（米）随时间t（天）变化的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，由于是水位匀速上升， 而且由106米升至 135 米， 根据水位变化规律，逐一排除．本题应首先看清横轴和纵轴表示的量， 然后根据实际情况采用排除法求解 ．
【详解】解：水库水位由 106 米开始上升 ．
应排除A、D
水库水位匀速上升，不可能是；
B中的直线是匀速变化的， 符合题意 ．
故选：B．
6. 若，则代数式的值为（ ）
A. 7B. C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查代数式求值，二次根式的混合运算，完全正确平方公式．能够灵活运用完全平方公式是解答本题的关键．
将代数式化简为，然后再代入求解即可．
【详解】解：∵
∴．
故选：D．
7. 运动会米赛跑，5位运动员成绩如下表所示，其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（ ）
A. ，B. ，C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了算术平均数，中位数．熟练掌握算术平均数，中位数是解题的关键．
由题意知，C的成绩为，计算求解，然后根据中位数的定义求解即可．
【详解】解：由题意知，C的成绩为，
由题意知，将各成绩从小到大依次排序为，，，，，，
∴中位数为第3个数即，
故选：A．
8. 用一个圆心角为，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（ ）
A. 6B. 4C. 3D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查求圆锥的底面直径，熟记公式的灵活应用是解题的关键．先利用弧长公式求出扇形的弧长即圆锥的底面周长，再根据圆的周长公式求出直径即可．
【详解】解：扇形的弧长：，
则圆锥的底面直径：．
故选：B．
9. 如图，在中，，．分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若，则的周长为（ ）
A. 8B. 6C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用基本作图方法得出DE垂直平分AB，AF＝AH，再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出AF＋FC＝BF＋FC＝AH＋CH＝BC，即可得出答案．
详解】解：由基本作图方法得出：DE垂直平分AB，
则AF＝BF，
可得AF＝AH，AC⊥FH，
∴FC＝CH，
∴AF＋FC＝BF＋FC＝AH＋CH＝BC＝4，
∴△AFH的周长为：AF＋FC＋CH＋AH＝2BC＝8．
故本题选择A．
此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确得出AF＋FC＝BF＋FC＝AH＋CH＝BC是解题关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为；…；按此规律，则为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，余弦，扇形面积．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
由题意知，，，……均为等腰直角三角形，则，，，……，由，，，，……，可推导一般性规律为，然后求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，，……均为等腰直角三角形，
∴，，，……
∴，，，，……
∴可推导一般性规律为，
∴，
故选：A．
第II卷（非选择题共70分）
二、填空题（每空题3分，共15分．只要求填写最后结果）
11. 如图，已知传送带与地面所成斜面坡度为，如果它把物体送到离地面3米高的地方，那么物体在传送带上所经过的路程为__________米（结果保留根号）．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了坡度坡角问题，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义．
根据坡度的定义得到，再由勾股定理即可求得答案．
【详解】解：由题意得：斜坡的坡度：，米，，
∵，
，
中，（米），
故物体在传送带上所经过的路程为米．
故答案为：．
12. 某商场将一件商品在进价的基础上加价标价，再打八折出售，售价为120元，则这件商品的进价为__________元．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这件商品的进价为x元，根据题意得，解方程即可求出商品的进价．
【详解】解：设这件商品的进价为x元，
根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
13. 如图，按照程序计算，若输出y的值是1，则输入x的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程以及解分式方程，根据输出y的值是1，代入上一步程序，得出或，然后分别解出x， 根据程序分析得出正确的值即可．
【详解】解：∵输出y的值是1，
∴上一步计算为：或，
当时，解得：，或，
∵，，
∴不符合程序判断条件，
当时，解得：，（经检验，是原方程的解）
∵，
∴符合程序判断条件．
故答案为：．
14. 如图，点E在正方形的对角线上，于点F，连接并延长，交边于点M，交边的延长线于点G，若，，则_________ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据相似三角形的性质得出，进而在，勾股定理即可求解即可．
【详解】解：∵是正方形，，
∴，而，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵M为中点，
∴
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：．
故答案为：．
15. 如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧上移动，连接．的最小值是___________．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查圆与三角形综合题，相似三角形的判定与性质及最小值问题，勾股定理，在x轴正半轴取点E，使，连接，首先证明出，得到，然后利用得到的最小值为的长度，然后利用勾股定理求解即可．正确理解当点A，P，E三点在同一条直线上时，有最小值，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
【详解】如图所示，在x轴正半轴取点E，使，连接，

∵半径为3，点，
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴当点A，P，E三点在同一条直线上时，的最小值为的长度，
∵
∴
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】此题考查了整式的化简求值和二次根式的混合运算，利用平方差公式和单项式乘以多项式的法则展开，再合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入，进行二次根式的混合运算即可．
【详解】解：
当，时，
原式
17. 为了倡导“节约用水，从我做起”，济宁市政府决定对直属机关300户家庭用水情况进行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），将调查结果制成了如下尚不完整的统计表：
请根据统计表中提供的信息解答下列问题：
（1）填空：__________；__________．
（2）根据样本数据估计，直属机关300户家庭中月平均用水量小于5吨的约有多少户？
（3）市政府决定从用水最为节约的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、乙两户的概率．
【答案】（1）20，0.18；
（2）户；
（3）
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，样本估计总体，频数和频率等知识，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）求出抽查的户数，即可解决问题；
（2）用300乘以月平均用水量小于5吨的家庭的频率即可求解；
（3）画树状图，共有12种等可能结果，列举出来，恰好选到甲、乙两户的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：抽查的户数为： (户)，
∴，，
故答案为：20，0.18；
【小问2详解】
解：(户)，
答：直属机关300户家庭中月平均用水量小于5吨的约有户；
【小问3详解】
解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好选到甲、乙两户的结果有2种，
∴恰好选到甲、乙两户的概率为．
18. 已知矩形纸片．进行如下操作：
第①步：将纸片沿折叠，使点D与边上的点F重合，展开纸片，连结，，，与相交于点O（如图1）．
第2步：将纸片继续沿折叠，点C的对应点G恰好落在上，展开纸片，连接，与交于点H（如图2）．
（1）猜想和的数量关系，并证明你的结论；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1），见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由折叠的性质可知，，，则，证明，进而结论得证；
（2）由矩形，可得，由题意知，，由折叠的性质可知，，由勾股定理得，，根据，求解作答即可．
【小问1详解】
解：，理由如下；
由折叠的性质可知，，，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵矩形，
∴，
由题意知，，
由折叠的性质可知，，
由勾股定理得，，
∴
本题考查了矩形与折叠，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正切等知识．熟练掌握矩形与折叠，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正切是解题的关键．
19. 五一假期为旅游旺季，越来越多的人选择在假期外出旅游，为方便更多的游客在园区内休息，太白湖景区决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知弧形椅与条形椅的单价之比为，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张．
（1）求弧形椅和条形椅的单价分别是多少元；
（2）已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进200张休闲椅，并保证至少增加800个座位．请通过计算说明，怎样安排购买方案，才能使购买费用最低．
【答案】（1）弧形椅的单价为160元，条形椅的单价为120元；
（2）购进弧形椅100张，条形椅100张时，最节省费用，最低费用为28000元．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点，理解题意，找准等量关系，是解此题的关键．
（1）设弧形椅的单价是元，则条形椅的单价是，根据“用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张”，列出分式方程，解方程即可得到答案；
（2）设购进弧形椅张，则购进条形椅张，根据“保证至少增加800个座位”列出不等式，解不等式即可得到的取值范围，设购买休闲椅所花的费用为元，求出关于的表达式，根据一次函数的性质进行计算即可得到答案．
【小问1详解】
解：设弧形椅的单价是元，则条形椅的单价是，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
弧形椅的单价为160元，条形椅的单价为120元；
【小问2详解】
解：设购进弧形椅张，则购进条形椅张，
根据题意得：，
解得：，
设购买休闲椅所花的费用为元，
则，
，
随着的增大而增大，
当时，有最小值，，
购进弧形椅100张，条形椅100张时，最节省费用，最低费用为28000元．
20. 如图，点E为正方形的边上的一点，是的外接圆，与交于点F，G是上一点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）①连接，求证：四边形是矩形；
②若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】本题主要考查了圆与四边形的综合，矩形的判定和性质、正方形的性质、相似三角形的判定和性质，切线的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．
（1）连接，根据正方形的性质得出，则，根据，推出，进而得出，即可求证；
（2）①连接，由为直径得到，又由，即可证明四边形为矩形；
②设，则，，证明，根据，求出x的值，最后根据勾股定理即可求出．
【小问1详解】
证明：连接，

∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
①证明：连接，

∵为直径，
∴，
∵，
∴四边形为矩形；
②设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
经检验，是分式方程的解且符合题意，
即，
根据勾股定理可得：
∴半径的长为．
21. 综合与实践：
函数复习课后，数学兴趣小组的同学们对函数的图象与性质进行探究，过程如下．请完成探究过程：
（1）初步感知：函数的自变量取值范围是__________；
（2）作出图象
①列表：
填空：表中__________，__________；
②描点，连线：在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，可画出该函数的图象如下所示；
（3）研究性质
小明观察图象，发现这个图象为双曲线，结合反比例函数的知识，小明将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来．已知反比例函数是中心对称图形，对称中心为，结合小明的分析，可知函数的对称中心为__________；
（4）拓展应用
已知当时，关于的方程有实数解，请直接写出k的取值范围是__________．
【答案】（1）
（2）5，
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，反比例函数的图象与性质，反比例函数与一次函数综合等知识．熟练掌握分式有意义的条件，反比例函数的图象与性质，反比例函数与一次函数综合是解题的关键．
（1）由题意知，，求解作答即可；
（2）将，分别代入求解即可；
（3）由图象与反比例函数的性质可知，函数的对称中心为，然后作答即可；
（4）由题意知，当过时，，可求；当时，，当过时，，可求，然后作答即可．
【小问1详解】
解：由题意知，，
解得，，
故答案为：；
【小问2详解】
解：将代入得，，
将，代入得，，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
故答案为：5，；
【小问3详解】
解：由图象与反比例函数的性质可知，函数的对称中心为，
故答案为：；
【小问4详解】
解：由题意知，当过时，，
解得，；
当时，，
当过时，，
解得，；
∴当时，关于的方程有实数解， k的取值范围是，
故答案为：．
22. 如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧）．已知A点坐标为．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间（不与A，C重合），连接．当点P运动到什么位置时，的面积最大？求出此时点P的坐标．
（3）过点B作线段的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴l与有怎样的位置关系，并给出证明；
【答案】（1）
（2）
（3）相交，证明见解析
【解析】
【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；
（2）过P作y轴的平行线，交于Q；易求得直线的解析式，可设出P点的坐标，进而可表示出P、Q的纵坐标，也就得出了的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得出关于的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出的最大面积及对应的P点坐标．
（3）根据抛物线的解析式，易知道对称轴的方程及B、C的坐标，证明，
求出的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可；
【小问1详解】
设抛物线为
∵抛物线经过点，
∴
∴抛物线为
小问2详解】
如图，过点P作平行于y轴的直线交于点Q；
当时，，解得，
∴点B的坐标为，点C的坐标为，
设直线的解析式为
则
解得
∴的解析式为
设P点的坐标为
则Q点的坐标为
∴
∵
∴当时，的面积最大为；，
此时，P点的坐标为．
【小问3详解】
相交．
证明：设以点C为圆心的圆与直线BD相切与点,连接，则，
∵抛物线对称轴为直线，点B的坐标为，点C的坐标为，
∴
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴即的半径为
∵
∴抛物线的对称轴与相交．
此题是二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，相似三角形的判定与性质、勾股定理、切线的性质等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
运动员
A
B
C
D
E
平均成绩
中位数
时间（秒）
月平均用水量（吨）
3
4
5
6
7
频数（户数）
4
a
9
10
7
频率
0.08
0.40
b
0.20
0.14
x
…
0
1
2
3
…
y
…
2
3
4
m
6
0
…
运动员
A
B
C
D
E
平均成绩
中位数
时间（秒）
月平均用水量（吨）
3
4
5
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7
频数（户数）
4
a
9
10
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频率
0.08
0.40
b
0.20
0.14
x
…
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1
2
3
…
y
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