安徽省宿州市省、市示范高中2023-2024学年高二下学期期中教学质量检测数学试卷(含答案)

这是一份安徽省宿州市省、市示范高中2023-2024学年高二下学期期中教学质量检测数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．曲线在点处的切线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是( )
A.B.C.D.
3．已知数列为等比数列，则“公比”是“为递增数列”的( )
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分也非必要条件
4．( )
A.B.C.D.
5．已知等比数列中，，等差数列中，，则数列的前9项和等于( )
A.B.C.D.
6．已知圆C：，直线l：，则直线l与圆C的位置关系为( )
A.相交B.相切C.相离D.不确定
7．作为泗县地方传统美食之一，传承百余年的“刘圩大饼”，其制作技艺已被列入宿州市非物质文化遗产，深受广大群众的喜爱，远近闻名，是泗县饮食文化的一张亮丽名片.用一个传统的饼铛烙饼，每次饼铛上最多只能同时放两张大饼，烙熟一张大饼需要8分钟的时间，其中每烙熟一面需要4分钟.那么要烙熟5张大饼，至少需要( )
A.16分钟B.20分钟C.24分钟D.40分钟
8．已知，，（e为自然对数的底数），则实数a，b，c的大小关系为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．在平面直角坐标系中，曲线C上任意点P与两个定点和点连线的斜率之积等于2，则关于曲线C的结论正确的有( )
A.曲线C为双曲线
B.曲线C是中心对称图形
C.曲线C上所有的点都在圆外
D.曲线C是轴对称图形
10．已知随机变量X服从正态分布，定义函数为X取值不超过x的概率，即，则下列说法正确的有( )
A.B.
C.在上是减函数D.
11．已知数列满足，，则( )
A.可以是3B.可以是等比数列
C.的最小值为0D.可以是周期数列
三、填空题
12．已知随机变量，，则_______.
13．已知是的导函数，且，则_______.
14．2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果.古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线.用垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支（把圆锥面换成相应的二次锥面时，则可得到双曲线）.现用一个垂直于母线的平面去截一个等边圆锥（轴截面为等边三角形），则所得的圆锥曲线的离心率为_______.
四、解答题
15．过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，已知.
（1）求抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，求面积.
16．已知数列为等差数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求证：.
17．如图，圆台上底面圆的半径为，下底面圆的半径为2，为圆台下底面的一条直径，圆上点C满足，是圆台上底面的一条半径，点P，C在平面的同侧，且.
（1）证明：平面平面；
（2）若圆台的高为2，求直线与平面所成角的正弦值.
18．某校高二年级数学竞赛选拔赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高二某班派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是、，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是、，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响.
（1）若该班获得决赛资格的同学个数为X，求X的分布列和数学期望；
（2）已知甲和乙都获得了决赛资格.决赛的规则如下：将问题放入A，B两个纸箱中，A箱中有3道选择题和3道填空题，B箱中有4道选择题和4道填空题.决赛中要求每位参赛同学在A，B两个纸箱中随机抽取两题作答.甲先从A箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入B箱中，然后乙再从B箱中抽取题目.
①求乙从B箱中抽取的第一题是选择题的概率；
②已知乙从B箱中抽取的第一题是选择题，求甲从A箱中抽出的是2道选择题的概率.
19．已知函数.
（1）若函数在点处的切线与直线平行，求函数的极值；
（2）若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：由可得，则，即曲线在点处的切线的斜率为-1.
故曲线在点处的切线的倾斜角为.
故选：D
2．答案：D
解析：由题意可知，每个班都有5种选法，则由分步计数原理可得共有种方法.
故选：D
3．答案：D
解析：等比数列为递增数列的充要条件是或
故“公比”是“为递增数列”的既非充分也非必要条件
故选：D
4．答案：B
解析：.
故选：B.
5．答案：B
解析：在等比数列中，满足，
由等比数列的性质可得，即，所以，
又由，所以
所以数列的前9项和，
故选B.
6．答案：A
解析：由直线，可得，所以直线l过定点，又，所以点在圆C内部，所以直线l与圆C相交.
故选：A.
7．答案：B
解析：根据题意，烙熟一张大饼需要两面烙熟，这5张大饼的两面分别记作，，，，，
每次饼铛上最多只能同时放两张大饼，每烙熟一面需要4分钟.可将上面5张大饼的10个面分成5组烙熟，
比如,,,,，则至少需要20分钟
故选：B.
8．答案：A
解析：令，则，
故当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
而，，
因，，故，
因为函数在上为增函数，
而，，且，
所以，所以，
所以.
故选：A.
9．答案：BCD
解析：设点，根据题意可得，即，且，
化简得，曲线C是双曲线除去顶点，，如图所示，故A错误；
对于B，曲线C关于原点中心对称，故B正确；
对于C，曲线C上所有点均在圆外，故C正确；
对于D，曲线C关于x，y轴对称，故D正确.
故选：BCD.
10．答案：AB
解析：因，所以，故A正确；
若，则，
所以，故B正确；
当x增大时也增大，所以在上是增函数，故C错误；
因为，，
当时，，则，
又，所以不成立，故D错误.
故选：AB
11．答案：AD
解析：对于选项A，注意到数列满足条件，此时，故A正确；
对于选项B，假设是等比数列，设公比为q，则，从而.故，这意味着，从而与n无关，故，但这又意味着，矛盾，所以不是等比数列，故B错误；
对于选项C，因为，所以或，
而，归纳即知的每一项都是整数，且相邻两项的奇偶性相反，
所以是五个奇数和五个偶数之和，从而一定是奇数，不可能为零.这表明，故C错误；
对于选项D，由于数列，满足条件，而此时显然有，
故可以是周期数列，故D正确.
故选：AD.
12．答案：
解析：由，故，则，
则.
故答案为：.
13．答案：-6
解析：，
故.
故答案为：-6.
14．答案：
解析：如图是等边三角形，设棱长为12，不妨过点A作垂直于母线的平面，得到截面曲线为椭圆，截面过的中点M，则椭圆长轴长，取线段的中点，连接并延长交于点Q，过Q作交底面圆于点E，F，连接，分别交椭圆于点G，H，则椭圆短轴长，且，取中点N，连接，则，，，因此，即，显然Q，N是线段的两个3等分点，即，，由相交弦定理得，解得，于是，，所以椭圆的离心率.
故答案为：
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）设方程为，，
由并化简得，
则，
，故
所以抛物线方程为.
（2）由（1）知方程为，
则原点O到的距离
所以.
16．答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1）设数列的公差为d，
由题意可得：，解得，
故；
（2）由，故，
.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）取中点O，连接、、，
，则
且，且，
且，
四边形为平行四边形，，又面
面，面，面面.
（2）以O为原点，，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，
，，，
设面的法向量，则，
令，得，所以，
所以，
即与面所成角的正弦值为.
18．答案：（1）分布列见解析，；
（2）①；②
解析：（1）甲获得决赛资格的概率，
乙获得决赛资格的概率.
由题意得，
；
；
.
X的分布列为：
.
（2）设事件“甲取到i道选择题”，；事件“乙取到第一题是选择题”.
，，.
，，.
①由全概率公式可得：.
②由条件概率公式和乘法公式可得：.
19．答案：（1）极小值为-2，极大值为；
（2）
解析：（1）由题意得函数的定义域为，，
则，解得：，
，
令，解得：或，
当或时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
则当时，函数取得极小值，为，
当时，函数取得极大值，为.
（2）由得，
不等式可变形为，
即，因，且，
所以函数在上单调递减，
令，，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则，
因为当时，，所以函数在上单调递减，
所以，所以，
即实数m的取值范围为.
X
0
1
2
P