福建省莆田华侨中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份福建省莆田华侨中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．若,则( )
A.-2B.0C.D.
3．如图所示，在中，点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点，则( )
A.B.C.D.
4．已知复数z满足（i为虚数单位）,则z对应的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
5．已知点,向量,,点P是直线上一点,满足,则点P的坐标是( )
A..B.
C.或D.或
6．在的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,则( )
A.B.C.D.
7．已知向量,满足,则在方向上的投影向量为( )
A.B.C.D.
8．如图,AB为半圆的直径,点C为的中点,点M为线段AB上的一点（含端点A,B）,若,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法中错误的是( ).
A.若，，，则
B.若且，则
C.若，非零向量且，则
D.若，则有且只有一个实数，使得
10．已知复数,,下列命题正确的是( )
A.B.若,则
C.D.若,则为实数
11．在中,a,b,c分别为,,的对边,下列叙述正确的是( )
A.若,,,则有两解
B.若,则为等腰三角形
C.若为锐角三角形,则
D.若,则为锐角三角形
三、填空题
12．已知复数z满足(其中i为虚数单位),则复数z的虚部为________.
13．已知向量,满足,,,的夹角为150°,则与的夹角为___________.
14．已知的外接圆O的半径为,的长为7,周长的最大值为___________.
四、解答题
15．设A,B,C,D为平面内的四点,且,,.
（1）若,求D点的坐标;
（2）设向量,,若向量与平行,求实数k的值.
16．在锐角中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中,,．
（1）求c的值．
（2）求的值．
17．已知中,,,点D在边上且满足,交CE于点F.
（1）求;
（2）若点E为边中点,求
18．如图所示,公路一侧有一块空地,其中,,．市政府拟在中间开挖一个人工湖,其中M,N都在边上（M,N不与A,B重合,M在A,N之间）,且．
（1）若M在距离A点处,求的长度;
（2）为节省投入资金,人工湖的面积尽可能小,设,试确定的值,使的面积最小,并求出最小面积．
19．已知O为坐标原点,对于函数,称向量为函数的相伴特征向量,同时称函数为向量的相伴函数.
（1）设函数,试求的相伴特征向量;
（2）记向量的相伴函数为,求当且,的值;
（3）已知,,为的相伴特征向量,,请问在的图象上是否存在一点P,使得.若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：由,解得,
所以,所以.
故选：B.
2．答案：D
解析：因为,所以,,
所以,,
故选：D.
3．答案：B
解析：.故选B.
4．答案：B
解析：设,
由得,
即,,
即z对应的点为,在第二象限,
故选：B.
5．答案：C
解析：依题意,若,则,而,,
因此,则点P的坐标是;
若,则,则点P的坐标是,
所以点P的坐标是或.
故选：C.
6．答案：D
解析：在中,由及正弦定理,得,
而,因此,又,
所以.
故选：D.
7．答案：A
解析：由,得,解得,
因此,
所以在方向上投影向量为.
故选：A.
8．答案：D
解析：因为点C为的中点,,所以,,
所以
,
因为点M为线段AB上的一点,所以,所以,
所以的取值范围是,
故选：D.
9．答案：ABD
解析：A选项，当，中至少有一个时，与可能不平行，故A错误；
B选项，由且，可得或，故B错误；
C选项，，根据数量积规则，则两边平方化简可得，
，故C正确；
D选项，根据向量共线基本定理可知当，都为非零向量时成立，
为零向量时也成立，若时，不存在，但（零向量与所有的向量共线），故D错误；
故选：ABD.
10．答案：AC
解析：对于A,设,,
则
,故A正确;
对于B,当,时,,,故B错误;
对于C,设,,a,,,,故C正确;
对于D,设,,a,,,,
当或时,,故D错误.
故选：AC.
11．答案：AC
解析：若,,,则由正弦定理,
可得,所以或,
此时有两解,A正确;
若,则由正弦定理可得,所以,
即,所以有或,
即或,B不正确;
若为锐角三角形,则,,
因为在为减函数,所以,C正确;
若,则由正弦定理可得,
设,,,其中;
则c为最大边,,
为钝角三角形,D不正确.
故选：AC.
12．答案：
解析：因为,
所以,
则,
所以复数z的虚部为.
故答案为:.
13．答案：
解析：因为,,与的夹角为150°.所以,
所以,得,
又,设与的夹角为,
所以,又因为,所以.
故答案为：.
14．答案：21
解析：由的外接圆O的半径为且,得,
而,则或,由余弦定理得,
当时,
,当且仅当时取等号,
因此当时,,的周长最大值为21;
当时,
,当且仅当时取等号,
因此当时,,周长最大值为,
而,所以的周长最大值为21.
故答案为：21.
15．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）设,因为,于是,
整理得,
即有,解得,
所以.
（2）因,,
所以,,
因为向量与平行,因此,解得,
所以实数k的值为.
16．答案：（1）3
（2）.
解析：（1）为锐角三角形,,
,
由余弦定理得：,解得：.
故c的值为3.
（2）由正弦定理得：,即：,解得：.
故的值为.
17．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）依题意,,则,即,
因此
.
（2）由点E为边中点,得,
则,
又
,
所以.
18．答案：（1）
（2）时面积最小,最小值为
解析：（1）在中,其中,,
,
在中,,
则.
（2）,,
在中,,,
在中,,,
,
因为,所以时面积最小,最小值为
19．答案：（1）
（2）
（3）见解析
解析：（1）
的相伴特征向量.
（2）向量的相伴函数为,,
.,,.
.
（3）由为的相伴特征向量知:.
所以.
设,,,
,,又,
,.,
,,.
又,当且仅当时,和同时等于,
这时式成立.在图像上存在点,使得