广东省揭阳市2024届高三下学期二模考试数学试卷(含答案)

这是一份广东省揭阳市2024届高三下学期二模考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数z在复平面内对应的点为，且，则( )
A.B.
C.D.
2．已知函数在上不单调，则a的取值范围为( )
A.B.
C.D.
3．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
4．把函数的图象向左平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为( )
A.B.
C.D.
5．已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，下列命题为真命题的是( )
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
6．如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数.隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可.例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得.那么曲线在点处的切线方程为( )
A.B.
C.D.
7．如图，正四棱台容器的高为12cm，，，容器中水的高度为6cm.现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了3cm，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为( )
A.B.C.D.
8．已知变量x与y具有线性相关关系，在研究变量x与y之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据，，…，，，，利用此样本数据求得的线性回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的线性回归方程为，且，则( )
A.8B.12C.16D.20
二、多项选择题
9．若集合M和N关系的Venn图如图所示，则M，N可能是( )
A.，
B.，
C.，
D.，
10．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O为的重心，，，则( )
A.B.
C.的面积的最大值为D.a的最小值为
11．已知定义在R上的函数满足.若的图象关于点对称，且，则( )
A.的图象关于点对称
B.函数的图象关于直线对称
C.函数的周期为2
D.
三、填空题
12．智慧农机是指配备先进的信息技术，传感器､自动化和机器学习等技术，对农业机械进行数字化和智能化改造的农业装备，例如：自动育秧机和自动插秧机.正值春耕备耕时节，某智慧农场计划新购2台自动育秧机和3台自动插秧机，现有6台不同的自动育秧机和5台不同的自动插秧机可供选择，则共有__________种不同的选择方案.
13．已知，分别是双曲线的左､右焦点，M是E的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为N，O为坐标原点，则__________.
四、双空题
14．已知，则__________，__________.
五、解答题
15．在等差数列中，，且等差数列的公差为4.
（1）求；
（2）若，数列的前n项和为，证明：.
16．为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组：，，，，，，.整理得到如下频率分布直方图.
（1）求a的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）从成绩在，内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人，记这3人中成绩在内的村民人数为X，求X的分布列与期望.
17．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为菱形，，，E是的中点.
（1）证明：平面平面.
（2）求二面角的余弦值.
18．设抛物线的焦点为F，已知点F到圆上一点的距离的最大值为6.
（1）求抛物线C的方程.
（2）设O是坐标原点，点，A，B是抛物线C上异于点P的两点，直线，与y轴分别相交于M，N两点（异于点O），且O是线段的中点，试判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.
19．已知函数.
（1）当时，证明：是增函数.
（2）若恒成立，求a的取值范围.
（3）证明：（，）.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意得，所以，则.
故选：B.
2．答案：C
解析：函数的图象对称轴为，依题意，，得，
所以a的取值范围为.
故选：C.
3．答案：D
解析：设该椭圆的长轴长为，短轴长为，由题意得，则，
故选：D
4．答案：C
解析：由题意得的最小正周期为，
则所求函数为.
故选：C.
5．答案：B
解析：如图，当时，与可相交也可平行，故A错；
当时，由平行性质可知，必有，故B对；
如图，当时，或，故C错；当时，l，m可相交、平行，故D错.
故选：B.
6．答案：B
解析：由给定定义得，对左右两侧同时求导，
可得，将点代入，得，
解得，故切线斜率为，得到切线方程为，
化简得方程为，故B正确.
故选：B.
7．答案：A
解析：正四棱台容器的高为12cm，，，
正四棱台容器内水的高度为6cm，由梯形中位线的性质可知水面正方形的边长为，
其体积为；
放入铁球后，水位高为9cm，沿作个纵截面，从分别向底面引垂线，如图，
其中是底面边长10cm，是容器的高为12cm，是水的高为9cm，
由截面图中比例线段的性质，可得，此时水面边长为4cm，
此时水的体积为，
放入的57个球的体积为，
设小铁球的半径为r，则，解得.
故选：A.
8．答案：C
解析：设没剔除两对数据前的x，y的平均数分别为，，
剔除两对数据后的x，y的平均数分别为，，
因为，所以，则，
因为两对数据为和，所以，
所以，
所以，解得.
故选：C.
9．答案：ACD
解析：根据Venn图可知，
对于A，显然，故A正确；
对于B，，，则，故B错误；
对于C，，，则，故C正确；
对于D，，或，，
则，故D正确.
故选：ACD.
10．答案：BC
解析：O是的重心，延长交于点D，则D是中点，
，A错；
由得，所以，
又，即
所以，所以，当且仅当时等号成立，B正确；
，当且仅当时等号成立，，
，C正确；
由得，
所以，
，当且仅当时等号成立，所以a的最小值是，D错.
故选：BC.
11．答案：ABD
解析：对A，因为的图象关于点对称，则的图象关于点对称，
故的图象关于点对称，故A正确；
对B，，
，
又，故.
即，故的图象关于直线对称，故B正确；
对C，由A，，且，
又因为，故，
即，故，即.
由B，，故，故的周期为4，故C错误；
对D，由，的图象关于点对称，且定义域为R，则，，
又，代入可得，则，
又，故，，，，又的周期为4，.
则
.
即，
则，故D正确.
故选：ABD.
12．答案：150
解析：第一步从6台不同的自动育秧机选2台，第二步从5台不同的自动插秧机选3台，由乘法原理可得选择方案数为，
故答案为：150.
13．答案：2
解析：双曲线的实半轴长为，
延长交直线于点H，由题意有，，
又O是中点，所以，
故答案为：2.
14．答案：0或21或
解析：依题意，，即或，所以或2；
所以或.
故答案为：0或2；1或.
15．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）设的公差为d，则，，
又，所以，
所以，.
（2）由（1）得，
所以.
16．答案：（1）；
（2）分布列见详解；
解析：（1）由图可知，，
解得，
该村村民成绩的平均数约为
.
（2）从成绩在，内的村民中用分层抽样的方法选取6人，
其中成绩在的村民有人，
成绩在的村民有4人，
从中任选3人，X的取值可能为1，2，3，
，，，
则X的分布列为
故.
17．答案：（1）证明见解析.
（2）
解析：（1）取中点O，连接，，如图，
因为四边形是菱形且，所以和都是正三角形，又E是中点，
所以，，，从而有，
又，所以是矩形.
又，所以，所以，即是等腰直角三角形，
所以，，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
分别以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，
，，，，，
设平面的一个法向量是，则
，取得，
设平面的一个法向量是，则
，取得，
，所以，
所以平面平面.
（2）设平面的一个法向量是，
则，取得，
设二面角的大小为，由图知为锐角，
所以.
18．答案：（1）
（2）过定点，定点坐标为
解析：（1）点F到圆E上点的最大距离为，即，得，
故抛物线C的方程为.
（2）设，，则方程为，方程为，
联立与抛物线C的方程可得，即，
因此A点纵坐标为，代入抛物线方程可得A点横坐标为，
则A点坐标为，同理可得B点坐标为，
因此直线的斜率为，
代入B点坐标可以得到方程为，
整理可以得到，因此经过定点.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）当时，，定义域为，
则.
令，则在上恒成立，
则在上单调递增，
则，故在上恒成立，是增函数.
（2）当时，等价于，
令，则，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以.
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
则，所以，即，故a的取值范围为.
（3）证明：由（2）可知，当时，有，则，
所以，…，，
故.
X
1
2
3
P