湖北省黄冈中学2024届高三下学期第二次模拟考试数学试卷(含答案)

这是一份湖北省黄冈中学2024届高三下学期第二次模拟考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为( )
A.B.C.D.
2．已知复数z满足，i为虚数单位，则( )
A.B.C.D.
3．某班元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为( )
A.42B.48C.96D.124
4．已知角，角的顶点均为坐标原点，始边均与x轴的非负半轴重合，终边分别过，，则( )
A.-2或B.2或C.D.-2
5．已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为( )
A.9B.3C.D.10
6．已知函数的定义域为R，，若函数为奇函数，为偶函数，且，则( )
A.-1B.0C.1D.2
7．过双曲线的右焦点F作渐近线的垂线l，垂足为A，交另一条渐近线于点B，且点F在点A、B之间，若，则双曲线C的渐近线方程为( )
A.B.
C.D.
8．已知a，b，c，d分别满足下列关系：，，，，则a，b，c，d的大小关系为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.已知随机变量服从二项分布：，设，则的方差
B.数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为7
C.若样本数据，，…，的平均数为3，则，，…，的平均数为10
D.用简单随机抽样的方法从51个样本中抽取2个样本，则每个样本被抽到的概率都是
10．如图，在棱长为2的正方体中，P为棱的中点，点Q满足，则下列说法中正确的是( )
A.平面
B.若平面，则动点Q的轨迹是一条线段
C.若，则四面体的体积为定值
D.若M为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为
11．如图，圆，圆，动圆P与圆外切于点M，与圆内切于点N，记圆心P的轨迹为曲线C，则( )
A.C的方程为
B.的最小值为
C.
D.曲线C在点P处的切线与线段垂直
三、填空题
12．的展开式中常数项为__________.
13．已知等差数列的前n项和为，是等比数列，若，，且，则的最小值为__________.
14．已知函数与函数的图象有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值范围为__________.
四、解答题
15．已知向量，，.，，图象上相邻的最高点与最低点之间的距离.
（1）求的值及的单调递增区间；
（2）设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，求的值域.
16．如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆O的内接正三角形，且边长为，点E在母线上，且，.
（1）求证：平面；
（2）若点M为线段上的动点.当直线与平面所成角的正弦值最大时，求平面与平面所成角的大小.
17．某校高三年级拟派出甲､乙､丙三人去参加校运动会跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为p和，其中
（1）甲､乙､丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
（2）若甲､乙､丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求p的值；
（3）在（2）的条件下，设进入决赛的人数为，求的分布列.
18．已知双曲线的左､右焦点分别为，，焦距为4，虚半轴长为1.如图，直线l与双曲线的右支交于两点A、B，其中A点在第一象限.P与A关于原点对称，连接与，其中l垂直于的平分线m，垂足为D.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）求证：直线m与直线的斜率之积为定值；
（3）求的最小值.
19．第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率.（其中，分别表示在点A处的一阶､二阶导数）
（1）已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的曲率是多少？
（2）若函数，不等式对于恒成立，求的取值范围；
（3）若动点A的切线沿曲线运动至点处的切线，点B的切线与x轴的交点为.若，，是数列的前n项和，证明.
参考答案
1．答案：B
解析：因为，，由韦恩图可知，阴影部分表示，所以.故选：B.
2．答案：A
解析：因为，所以，所以.故选：B.
3．答案：A
解析：.故选：A.
4．答案：D
解析：记O为坐标原点，因为，，所以，所以点，，均在以原点O为圆心为半径的圆上.连接，取的中点M，连接，则，不妨设，，则，所以.故选：D.
5．答案：C
解析：根据条件得：，，，的最大值为.故选C.
6．答案：B
解析：为奇函数，，为偶函数，，即，即，为周期函数，且一个周期为4.，，，，，，，，故选B.
7．答案：B
解析：设渐近线的倾斜角为，则，又F到渐近线的距离为，又，，，，，，解得，双曲线C的渐近线方程为.故选：B.
8．答案：B
解析：因为，，，，，，所以即，，所以，故有.故选：B.
9．答案：ACD
解析：对于A，易知，而，所以，A正确；对于B，共有7个数据，而，故第60百分位数为9，B错误；对于C，若样本数据，，…，的平均数为2，则，，…，的平均数为，C正确；对于D，由古典概型可知：从51个体中抽取2个个体，每个个体被抽到的概率都是，D正确.故选：ACD.
10．答案：BC
解析：若平面，则，又，则平面，显然不成立，A选项错误；取，中点E，F，连接，，，易知，，则平面平面，而平面，则点Q在平面内，而点Q在平面内，故点Q的轨迹为线段，B选项正确；，，，因为，，，所以，，所以Q，E，F三点共线，所以点Q在上，而，所以平面，所以点Q到平面的距离为定值，因为的面积为定值，所以四面体的体积为定值，C选项正确，对于D：由题意可知：平面，，平面，则，，又因为，，，平面，所以平面，平面，则，故和均为直角三角形.所以与的交点O即为三棱锥的外接球的球心，半径，此外接球的体积.故D不正确.故选：BC.
11．答案：BCD
解析：对于A：设动圆P的半径为r，由条件得，，则，且P，M，N不重合，故点P的轨迹为以，为焦点的椭圆（去掉P，M，N重合的点），则曲线C的方程为，A错误；对于B：由图可知与互补，当P点为椭圆短轴端点时，最大，此时，所以，则的最大值为，所以的最小值为，B正确；对于C：，当且仅当时等号成立，C正确；对于D：设点，，，，，则过点的椭圆的切线方程为，切线斜率为，又，，所以，，则，，得，，解得，，所以，又，因为，所以，所以，所以，所以，即曲线C在点P处的切线与线段垂直，D正确.故选：BCD.
12．答案：60
解析：根据二项式的展开式：；当时，常数项为60.
13．答案：5
解析：，，，且，，，故.，所以，，所以最小值为5.
14．答案：
解析：令，，令，则，令，则.令在上单调递增；在上单调递减；又，，则有且只有两根，分别为0，1.则函数图像与x轴有且仅有两个不同的交点，等价于方程组有且只有一组实数根.令，则，当时，，则此时在上递增，又，，，.即，则有且只有一组实数根.当时，方程组有且只有一组实数根，等价于函数图象与直线，图象有两个交点，临界情况为两条直线与图象相切.当与相切，设对应切点为，因，，则相应切线方程
为；当与相切，设对应切点为，则相应切线方程为，则.综上，.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）
由条件图象上的相邻的最高点与最低点之间的距离为.
则，解得：，则：，解得：.
.令，
解得：，由，知故的单调递增区间为.
（2）由余弦定理：，，，
又，故，又，故.
由，，所以的值域为.
16．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）如图，设交于点F，连接，由圆锥的性质可知底面，因为平面，所以，又因为是底面圆的内接正三角形，由，可得，
，解得，又，，所以，即，，
又因为，所以，所以，即，
又，，平面，直线，平面，平面，所以直线平面.
（2）因为，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；
易知，以点F为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
设，可得，
设直线与平面所成的角为，
则，
即，
令，，
则
，
当且仅当时，等号成立，所以当时，有最大值4，
即当时，的最大值为1，此时点，所以，易知即为平面与平面所成的角，又，，
故当直线与平面所成角的正弦值最大时，平面与平面所成角为.
17．答案：（1）甲进入决赛的可能性最大
（2）
（3）见解析
解析：（1）甲进入决赛的概率为，乙进入决赛的概率为，丙进入决赛的概率为，而，故，所以，甲进入决赛的可能性最大.
（2）甲､乙､丙三人中恰有两人进入决赛的概率为
，整理可得，因为，解得.
（3）由题意可知，甲､乙､丙进入决赛的概率分别为、、，由题意可知，随机变量的可能取值有0、1、2、3，
，，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
18．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）3
解析：（1）因为双曲线C的虚半轴长为1，所以，，故，
所以，则双曲线C的标准方程为.
（2）证明：不妨设，因为点A与点P关于原点对称，
所以，易知直线m的斜率存在，不妨设直线m的斜率为k，
记，因为直线m为的平分线，所以，
因为A，P两点均在双曲线上，所以，
此时，则，
同理得，
因为，，又，
所以，
整理得，则，
故直线与直线m的斜率之积为定值.
（3）由（2）知，因为，，所以，
联立，又，解得，，
所以，，，，
不妨设直线m的方程为，因为点P在直线m上，
解得，所以直线m的方程为，，
易知，
因为直线的斜率为，不妨设直线的方程为，
因为点A在直线上，解得，
所以直线的方程为，，，
联立，消去x并整理得，
由韦达定理得，，
因为，所以，
此时，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故当时，取得最小值，最小值为3.
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则，即抛物线方程为，即，则，，又抛物线在点处的曲率，则，即在该抛物线上处的曲率为.
（2），在R上为奇函数，又在R上为减函数.不等式对于恒成立，等价于对于恒成立.又因为两个函数都是偶函数，记，，则曲线恒在曲线上方.，，又因为，所以在处三角函数的曲率不大于曲线的曲率.即又因为，，，，所以，解得：，因此，的取值范围为.
（3）由题可得.所以曲线在点处的切线方程是：.即.令，得.即.显然，.由，知，同理，故.从而，设，即.所以，数列成等比数列.故.即.
从而所以，，当时，显然.当时，，.综上，.
0
1
2
3
P