人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换优质学案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换优质学案设计，文件包含552《简单的三角恒等变换》导学案教师版docx、552《简单的三角恒等变换》导学案学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共7页， 欢迎下载使用。

1.能用二倍角公式推导出半角公式,体会其中的三角恒等变换的基本思想（重点）
2.灵活运用和差的正弦、余弦公式进行相关计算及化简、证明（难点）
二．自主预习（基础部分和要点部分：预习内容和预习题）
学生阅读课本，预习简单的三角恒等变换
三．课堂导学
问题 由cs 30°的值能否求出sin 15°和cs 15°的值?
知识点一 半角公式
1.cs 15°＝( )
A.1+cs30°2 B.1-cs30°2 C.±1+cs30°2 D.±1-cs30°2
解析:A 因为15°角是第一象限角,所以cs 15°＞0,由半角的余弦公式可知cs 15°＝1+cs30°2.
2.已知cs α＝35,α∈3π2,2π,则sinα2＝( )
A.55 B.-55 C.45 D.255
解析:A 由题知α2∈3π4,π,∴sinα2＞0,sinα2＝1-csα2＝55.
3.已知cs θ＝-14,-180°＜θ＜-90°,则cs θ2＝( )
A.-64 B.64 C.-38 D.38
解析:B 由-180°＜θ＜-90°可知-90°＜θ2＜-45°,故cs θ2＝1+csθ2＝64.
四．典例分析、举一反三
题型一 应用公式求值
【例1】已知sin α＝-45,π＜α＜3π2,求sinα2,csα2,tanα2的值.
解 ∵π＜α＜3π2,sin α＝-45,
∴cs α＝-35,且π2＜α2＜3π4,
∴sin α2＝ 1-csα2＝255,
cs α2＝ -1+csα2＝-55,
tanα2＝sinα2csα2＝-2.
练1-1. 已知sin θ＝45,5π2＜θ＜3π,求csθ2和tanθ2.
解:因为sin θ＝45,且5π2＜θ＜3π,
所以cs θ＝-1-sin2θ＝-35.
由cs θ＝2cs2θ2-1,得cs2θ2＝1+csθ2＝15.
因为5π4＜θ2＜3π2,
所以csθ2＝-1+csθ2＝-55.
tanθ2＝sinθ1+csθ＝2.
题型二 化简
【例2】 化简:cs32π-α-tanα2·(1+csα)1-csα(0＜α＜π).
解 ∵tanα2＝sinα1+csα,∴(1＋cs α)tanα2＝sin α.
又cs3π2-α＝-sin α,1-cs α＝2sin2α2,
∴原式＝-sinα-sinα2sin2α2＝-2sinα2sinα2
＝-22sinα2csα2sinα2.
∵0＜α＜π,∴0＜α2＜π2,∴sinα2＞0.
∴原式＝-22csα2.
【例3】化简:(1)1+sin20°＋1-sin20°;
(2)1+sin3α-2sin245°-α2csα-1+2cs23α2.
解:(1)1+sin20°＋1-sin20°
＝(sin10°+cs10°)2＋(sin10°-cs10°)2
＝｜sin 10°＋cs 10°｜＋｜sin 10°-cs 10°｜
＝sin 10°＋cs 10°＋cs 10°-sin 10°
＝2cs 10°.
(2)原式＝sin3α+cs(90°-α)csα+cs3α＝sin3α+sinαcsα+cs3α＝2sin2αcsα2cs2αcsα＝tan 2α.
五、课堂小结
六、当堂检测
1.已知sin 2α＝13,则cs2α-π4＝( )
A.-13 B.-23 C.13 D.23
解析:D cs2α-π4＝1+cs2α-π22＝1+sin2α2＝23.
2.化简2+cs2-sin21＝( )
A.-cs 1 B.cs 1 C.3cs 1 D.-3cs 1
解析:C 原式＝2+2cs21-1-(1-cs21)＝3cs21,因为0＜1＜π2,故原式＝3cs 1.
3.(多选)已知sin α＝-45,180°＜α＜270°,则下列选项正确的是( )
A.sin 2α＝-2425 B.sinα2＝255 C.csα2＝-55 D.tanα2＝-2
解析:BCD 因为sin α＝-45,180°＜α＜270°,所以cs α＝-35,所以sin 2α＝2sin αcs α＝2×（-45）×（-35）＝2425,故A错误.因为90°＜α2＜135°,所以sinα2＝1-csα2＝1-（-35）2＝255,csα2＝-1+csα2＝-1-352＝-55,tanα2＝sinα2csα2＝-2,故B、C、D均正确.
4.已知cs θ＝-725,θ∈(π,2π),则sin θ2＋cs θ2＝ .
解析:因为θ∈(π,2π),所以θ2∈π2,π,所以sin θ2＝1-csθ2＝45,cs θ2＝-1+csθ2＝-35,所以sin θ2＋cs θ2＝15.
答案:15
5.化简:2tan（π4-θ）sin2（π4＋θ）12-cs2θ.
解:原式＝2tan（π4-θ）cs2（π4-θ）12-1+cs2θ2
＝2·sin（π4-θ）cs（π4-θ）cs2（π4-θ）-cs2θ2
＝2sin（π4-θ）cs（π4-θ）-cs2θ2
＝sin（π2-2θ）-cs2θ2＝cs2θ-cs2θ2＝-2.
七．课后作业
八、问题日清（学生填写，老师辅导解答）
1. 2.
学生签字 老师签字