数学：内蒙古自治区赤峰市2022-2023学年高二下学期期末联考试题（解析版）

这是一份数学：内蒙古自治区赤峰市2022-2023学年高二下学期期末联考试题（解析版），共17页。试卷主要包含了 已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。
考试范围：必修2第3—4章全部内容，必修3，选修2-1，2-2，2-3，4-4，4-5
本试卷共23题，共150分，共8页，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴条形码区域内.
2. 选择题答案必须使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫来黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚.
3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数z满足，则z的虚部是（ ）
A. －1B. 1C. D. i
【答案】A
【解析】因为，
所以则z的虚部是－1，故B，C，D错误.
故选：A.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】命题“”的否定是“”.
故选：A.
3. 直线，若的倾斜角为30°，则的斜率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，∴.
故选：B.
4. 5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：
若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
A. 由题中数据可知，变量与正相关，且相关系数
B. 线性回归方程中
C. 残差的最大值与最小值之和为0
D. 可以预测时该商场手机销量约为1.72（千只）
【答案】B
【解析】从数据看y随x的增加而增加，故变量与正相关，由于各增量并不相等，故相关系数，故A正确；
由已知数据易得代入中得到，故B错误；
，
，，，，，
，，，，，
残差的最大值与最小值之和为0，故正确；
时该商场手机销量约为，故D正确.
故选：B
5. 直线和直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则实数的值是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】直线和直线与两坐标轴围成的四边
形有外接圆,
这四条直线围成一个矩形，故即：
解得：或.
故选：A.
6. 已知的二项展开式中，第项与第项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，且第项与第项的二项式系数相等，
所以，解得，取，所以所有项的系数之和为：.
故选：C
7. 2023年4月5日是我国的传统节日“清明节”.这天，王华的妈妈煮了五个青团子，其中两个肉馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个青团子，若已知王华拿到的两个青团子为同一种馅，则这两个青团子都为肉馅的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设事件A为“王华拿到的两个青团子为同一种馅”，事件AB为“两个青团子都为肉馅”，则事件A包含的基本事件的个数为，事件AB包含的基本事件的个数为，所以,故选：A
8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为过点且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点，
所以，
因为，所以，所以，
设，则，所以，得，
所以，，
因为，所以，
所以，
所以，所以，
所以离心率，
故选：C

9. 过圆内一点作一弦交圆于、两点，过点、分别作圆的切线、，两切线交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设点坐标为，
根据圆的直径式方程知，以为直径的圆的方程为，
两圆方程作差可得公共弦的方程为，
而在直线上，，
故点的轨迹方程为，
故选：C．
10. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接，，，.则在阳马中，鳖臑的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为底面，所以，由底面为长方形，有，而，所以平面，同理平面，故四面体和都是鳖臑.而平面，所以.又因为，点是的中点，所以.而，所以平面.而平面，所以.又，，所以平面.由平面，平面，可知四面体､和的四个面都是直角三角形，即四面体､和都是鳖臑.综上有个鳖臑.
故选：B.
11. 已知椭圆E：的离心率的取值范围是，其左右焦点分别是，，若P为椭圆上位于y轴右侧的一点，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】由题意，点P是椭圆上位于y轴右侧的一点，可得，
设，则，
由椭圆的定义可知，因此，
又因为是右焦点，所以，即，整理得，
所以，解得，
即.
故选：D.

12. 已知，，，其中为自然对数的底数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，设，所以，
令，所以，所以，
所以在定义域内单调递增，又，
所以当时，，所以在单调递增，
又，所以，，即，故C错误；
设，，
则，
所以在上单调递减，又，所以当时，，
所以，即，所以，故D错误；
设，令，
则，
当，，则单调递增，又，所以当，，
所以，即，故B错误，，A正确.
故选：A.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.
13. 已知随机变量，且，则______.
【答案】
【解析】因为，所以正态曲线的对称轴为，
因为，所以，
所以.
故答案为：
14. 在新冠肺炎防控期间，从国外归来的人，必须进行必要的隔离与核酸检测，甲、乙、丙3人从1国外某高风险地区归来，3人核酸检测是阳性的概率分别为，，，且各自检测是否为阳性相互独立，则这3人中恰好有2人核酸检测是阳性的概率是__________.
【答案】
【解析】设甲、乙丙3人核酸检测是阳性的事件分别为A，B，C，则，，，这3人中恰好有2人核酸检测是阳性的概率.
故答案为：
15. 如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为__________

【答案】
【解析】由条件，知，,
所以
，所以,故答案为：
16. 如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点，.过椭圆上一点作圆锥的母线，分别与两个球相切于点.由球和圆的几何性质可知,.已知两球半径分为别和，椭圆的离心率为，则两球的球心距离为_______________.
【答案】
【解析】作出圆锥的轴截面如图所示，
圆锥面与两球相切于两点，则，，
过作，垂足为，连接，，设与交于点，
设两球的球心距离为，
在中，，，；
，，
，，解得：，，
；
由已知条件，知：，即轴截面中，
又，，解得：，
即两球的球心距离为.
故答案为：.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 在中，设，，求证：的面积.
解：因为，，
所以
，
于是.
18. 新冠肺炎疫情期间，各地均响应“停课不停学，停课不停教”的号召开展网课学习．为检验网课学习效果，某机构对名学生进行了网上调查，发现有些学生上网课时有家长在旁督促，而有些没有网课结束后进行考试，根据考试结果将这名学生分成“成绩上升”和“成绩没有上 升”两类，对应的人数如下表所示：
（1）完成以上列联表，并通过计算（结果精确到）说明，是否有的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联
（2）从有家长督促的名学生中按成绩是否上升，采用分层抽样的方法抽出人，再从人中 随机抽取 3人做进一步调查，记抽到名成绩上升的学生得分，抽到名成绩没有上升的学生得分，抽到名生的总得分用表示，求的分布列和数学期望．
附：
解：（1）
有的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联．
（2）从有家长督促的名学生中按成绩是否上升，采用分层抽样的方法抽出人，其中成绩上升的有人，成绩没有上升的有人，再从人中随机抽取人，随机变量所有可能的取值为
，
，
的分布列如下：
19. 如图1，直角梯形中，，，，为的中点，现将沿着折叠，使，得到如图2所示的几何体，其中为的中点，为上一点，与交于点，连接.

（1）求证：平面；
（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角.
解：（1）在直角梯形中，，，，为的中点，由翻折的性质可得，翻折后，，
又，，
，则，故，，两两互相垂直，
以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，如图示：
则，，，，
，，
，即，
又平面，平面，
平面．
（2）设点到平面的距离为，
则，解得，
点为的中点，
在空间直角坐标系中，，，.
，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，
故平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，
所以，
令平面与平面的夹角，由图可知，，
则，即．
20. 在平面直角坐标系中，一个动点P到定点的距离比它到的距离大1.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若直线l过定点，斜率为k，当k为何值时，直线l与轨迹C：没有公共点；只有一个公共点；有两个公共点；有三个公共点.
解：（1）由已知得，令，
则
整理得，.
（2）由题意，直线l的方程为.
联立方程组（*）
（i）当时，直线l：与有唯一公共点，与无公共点，此时共有一个公共点.
（ii）当时，判别式为
①由，.
故或时，方程（*）只有一个解，即直线与抛物线只有一个公共点，与各有一个交点为，，故分别有两个公共点.
②当直线过时，直线方程为，与交于，，与无交点，故直线与轨迹共有两个公共点
③由.
故当且，时，方程（*）有两个解，即直线与抛物线有两个公共点，
与有一个公共点，故直线与轨迹有三个公共点
④由，或.
故当，或时，方程（*）无实数解，即直线与抛物线没有公共点，与有一个公共点
综上，当时，直线轨迹有三个公共点；
当时，直线轨迹有两个公共点；
当时，直线轨迹有一个公共点.
21. 已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）令，若有两个不相等的实数根.
（i）求a的取值范围；
（ii）求证：.
解：（1）的定义域为，
当时，，
设，则，
由得：，
当时，；当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴的最大值为，
∴，即在上恒成立，
∴在上单调递减；
（2）（i）由得：，
设，则，
由得：，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
∴有极大值也是最大值，
当时，，当时，，
要使有两个不同的实数根，则，
即，即实数a的取值范围为；
（ii）由（i）不妨设，
由，得，
则，
要证，即证，等价于，
而，等价于证明，
即证，
令，
要证，即证，
令，
则，
所以函数在上单调递增，
所以，即，
所以.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是.
（1）求曲线的普通方程，并说明它表示何种曲线；
（2）若直线与曲线有公共点，求的取值范围.
解：（1）由（为参数），得，
因为，所以曲线的普通方程为.
故曲线表示圆的（右上的）.
（2）由，得，
当直线与圆相切时，，则，
当直线经过点时，.
结合曲线的形状可知，若直线与曲线有公共点，则的取值范围是.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数.
（1）解不等式；
（2）已知的最小值为，正实数，满足，求的最小值.
解：（1）由题知，原不等式等价于
或或，
解得不等式的解集为
（2），
当且仅当时，，
，
，
当且仅当，即时，.
时间
1
2
3
4
5
销售量（千只）
0.5
0.8
1.0
1.2
1.5
成绩上升
成绩没有上升
合计
有家长督促的学生
500
800
没有家长督促的学生
500
没有家长督促的学生
2000
成绩上升
成绩没有上升
合计
有家长督促的学生
500
300
800
没有家长督促的学生
700
500
1200
没有家长督促的学生
1200
800
2000
-3
-1
1
8