2024年广西高二竞赛数学试卷（全国中学生奥林匹克竞赛选拔）

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2024年广西高二竞赛数学试卷（全国中学生奥林匹克竞赛选拔）
一、新添加的题型
设函数
．若
．
且
，则
，
的取值范围是
．
已知椭圆
的焦点为
，M为椭圆上一点，
，
．则
椭圆的离心率为
若正实数 ， 满足
，则 的最大值为
．
方程
的正整数解为
．
设 ， ， ， 均是正整数，且
．
．则
正三棱锥
中，
．
，
．设D是直线BC上一点，面APD与直线BC的夹角为45°，则线段
PD的长度是
已知四次多项式
的四个根中有两个根的乘积是-253，则实数
．
设数列
满足
，
，其中 等于 的个位数，则
．
如图所示，
，
，
，
，
．证明：P为线段AB的中点．

设A为数集
的 元子集，且A中的任意两个数既不互素又不存在整除关系．求 的最大值．
用
表示不超过 的最大整数．设数列
满足：
，
﹒求
的个位数．
图G是指一个有序二元组（V，E），其中V称为顶点集，E称为边集．一个图G中的两点x，y的距离是指从x到y
的最短路径的边数，记作
．一个图G的直径是指G中任意两点的距离的最大值，记作
．记 是模 的剩余类，定义 上的加法和
乘法，均是模 的加法和乘法，例如在
，即
中
，
；
，
．在 中，设
．若存在
使得
，则称
．
是
的一个
零因子．记 的所有零因子的集合为
．例如
的零因子图，
．下图
记为
是
，它是以
为顶点集，两个不同的顶点
，都有
，
之间有一条边相连当且仅当
．
的例子．证明：对一切的整数