2024年山东省济宁市汶上县中考四模数学试题

这是一份2024年山东省济宁市汶上县中考四模数学试题，共27页。试卷主要包含了下列式子运算正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．在实数，，3.1415，中，无理数是（ ）
A．B．C．3.1415D．
2．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
3．下列式子运算正确的是（ ）
A．3a2+2a2＝5a4 B．3a2﹣2a2＝1C．3a2•2a2＝6a4 D．（2a2）3＝6a6
4．我们知道，一些较大的数适合用科学记数法表示，小于1的正数也可以用科学记数法表示．则0.000 025 7用科学记数法表示为（ ）
A．2.57×105B．25.7×10﹣4C．2.57×10﹣5D．2.57×10﹣6
5．一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有（ ）
A．9人B．10人C．12人D．15人
6．如图，AB为⊙O的直径，∠BED＝20°，则∠ACD的度数为（ ）
A．80°B．75°C．70°D．65°
7．已知网格中小正方形的边长都是1，如图中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．π﹣2C．+1D．π﹣1
8．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，任意长为半径画弧，交AB，AD于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于FG的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线AH交BC于点E，连接DE．若AB＝4，BC＝7，DE＝，则AE的长为（ ）
A．5B．C．D．
9．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝﹣1，直线l∥x轴，且交抛物线于点P（x1，y1），Q（x2，y2），下列结论错误的是（ ）
A．b2＞﹣8a
B．若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bm
C．3a﹣2＞0
D．当y＞﹣2时，x1•x2＜0
10．如图1，菱形纸片ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，如图2，翻折∠ABC，∠ADC，使两个角的顶点重合于对角线BD上一点P，EF，GH分别是折痕．设AE＝x（0＜x＜2），给出下列判断：
①当x＝1时，DP的长为；
②EF+GH的值随x的变化而变化；
③六边形AEFCHG面积的最大值是；
④六边形AEFCHG周长的值不变．
其中正确的是（ ）
A．①②B．①④C．②③④D．①③④
二．填空题（共5小题）
11．因式分解：ax2+ay2+2axy＝ ．
12．函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
13．若关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x+4m＝0的两根的和与积相等，则m的值为 ．
14．如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中三个顶点在正坐标轴上，顶点D在反比例函数的图象上，若S△ABC＝4，则k＝ ．
15．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当AB取最大值时，点A的坐标为 ．
三．解答题（共7小题）
16．先化简，再求值：，其中x是整数且满足不等式组．
17．为迎接第29个世界读书日，营造爱读书、读好书、善读书的浓厚学习氛围，某校组织开展“书香校园阅读周”系列活动，拟举办5类主题活动．A：阅读分享会；B：征文比赛；C；名家进校园；D：知识竞赛；E：经典诵读表演．为了解同学们参与这5类活动的意向，现采用简单随机抽样的方法抽取部分学生进行调查（每名学生仅选一项），并将调查结果绘制成如图．请根据图表提供的信息，解答下列问题．
（1）本次调查的学生共有 名，扇形统计图中“A”所对应的圆心角的度数等于 ；
（2）请把这幅频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）
（3）该校共有2800名学生，请你估计该校想参加“E：经典诵读表演”活动的学生人数．
（4）德育处从该校九年级答题成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中随机抽取2名学生参加全市正文比赛，请用树状图或列表法求出必有甲同学参加的概率．
18．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象相交于点A（1，2），B（a，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点C，x轴上是否存在一点P，使S△APC＝4？若存在，请求出点P坐标；若不存在，说明理由．
19．如图△ABC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，点E为弧BD的中点，连结CE交AB于点F，且AF＝AC．
（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为4，sinA＝，求CE的长．
20．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．
（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；
（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元．
①求出y与x之间的函数解析式；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？
21．贾老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，小刚所在小组的任务为测量公园古树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部．于是，小刚和小亮制订了测量方案进行实地测量，完成如下的测量报告：
请你根据以上测量报告，求古树AB的高度．
22．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为M（2，﹣2），与x轴的交点为A和B（其中点A与原点重合），将抛物线y＝ax2+bx+c绕点B逆时针方向旋转90°，点M1，A1为点M，A旋转后的对应点．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式；
（2）求证：点A，M，A1在同一条直线上；
（3）若点P是原抛物线上的一动点，点Q是旋转后的图形的对称轴上一点，E为线段AM的中点，是否存在点P，使得以P，Q，E，B为顶点的四边形是平行四边形；若存在请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
2024年06月03日郑慧敏的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在实数，，3.1415，中，无理数是（ ）
A．B．C．3.1415D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A.是无理数，故本选项符合题意；
B.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.31415是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．
3．下列式子运算正确的是（ ）
A．3a2+2a2＝5a4B．3a2﹣2a2＝1
C．3a2•2a2＝6a4D．（2a2）3＝6a6
【分析】直接利用合并同类项法则以及单项式乘单项式、积的乘方运算法则分别计算，进而得出答案．
【解答】解：A．3a2+2a2＝5a2，故此选项不合题意；
B．3a2﹣2a2＝a2，故此选项不合题意；
C．3a2•2a2＝6a4，故此选项符合题意；
D．（2a2）3＝8a6，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及单项式乘单项式、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．我们知道，一些较大的数适合用科学记数法表示，小于1的正数也可以用科学记数法表示．则0.000 025 7用科学记数法表示为（ ）
A．2.57×105B．25.7×10﹣4C．2.57×10﹣5D．2.57×10﹣6
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 025 7＝2.57×10﹣5．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5．一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有（ ）
A．9人B．10人C．12人D．15人
【分析】设这个小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，根据全组共送贺卡90张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设这个小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，
依题意得：x（x﹣1）＝90，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．如图，AB为⊙O的直径，∠BED＝20°，则∠ACD的度数为（ ）
A．80°B．75°C．70°D．65°
【分析】连接BC，证明∠ACB＝90°，∠DCB＝20°，可得结论．
【解答】解：连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠DCB＝∠DEB＝20°，
∴∠ACD＝90°﹣∠DCB＝70°，
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊角解决问题．
7．已知网格中小正方形的边长都是1，如图中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．π﹣2C．+1D．π﹣1
【分析】连接AB，阴影部分面积＝S扇形AOB﹣S△ABO，依此计算即可求解．
【解答】解：连接AB，阴影部分面积＝S扇形AOB﹣S△ABO＝﹣×2×2＝π﹣2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了扇形的面积公式，应用与设计作图，关键是需要同学们熟练掌握基础知识．
8．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，任意长为半径画弧，交AB，AD于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于FG的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线AH交BC于点E，连接DE．若AB＝4，BC＝7，DE＝，则AE的长为（ ）
A．5B．C．D．
【分析】利用作法得AE平分∠BAD，根据“等角对等边”得出AB＝BE，由已知条件及勾股定理的逆定理证明△DBE是直角三角形，所以根据平行四边形的性质得到∠ADE是直角，再由勾股定理即可求得AE的长度．
【解答】解：由作法得AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠DAE＝∠BEA，∠ADE＝∠CED，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，
∵，
∴CE＝3，
∵，
∴CE2+DE2＝CD2，
∴△CDE是直角三角形，即∠CED＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了基本作图﹣作已知角的平分线，一般是结合几何图形的性质．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，．也考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理及逆定理．
9．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝﹣1，直线l∥x轴，且交抛物线于点P（x1，y1），Q（x2，y2），下列结论错误的是（ ）
A．b2＞﹣8a
B．若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bm
C．3a﹣2＞0
D．当y＞﹣2时，x1•x2＜0
【分析】根据函数图象可知a＞0，由此可判断出A；根据抛物线的对称轴可得出b＝2a，也可得出函数的最小值，在x＝﹣1处取到，由此可判断B；令x＝0，则y＝﹣2，即抛物线与y轴交于点（0，﹣2），根据函数图象可直接判断D；C没有直接条件判断．
【解答】解：根据函数图象可知a＞0，根据抛物线的对称轴公式可得x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴b2＞0，﹣8a＜0，
∴b2＞﹣8a．故A正确，不符合题意；
∵函数的最小值在x＝﹣1处取到，
∴若实数m≠﹣1，则a﹣b﹣2＜am2+bm﹣2，即若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bm．故B正确，不符合题意；
∵l∥x轴，
∴y1＝y2，
令x＝0，则y＝﹣2，即抛物线与y轴交于点（0，﹣2），
∴当y1＝y2＞﹣2时，x1＜0，x2＞0．
∴当y1＝y2＞﹣2时，x1•x2＜0．故D正确，不符合题意；
∵a＞0，
∴3a＞0，没有条件可以证明3a＞2．故C错误，符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数图象的性质，数形结合思想等知识，掌握二次函数图象的性质是解题关键．
10．如图1，菱形纸片ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，如图2，翻折∠ABC，∠ADC，使两个角的顶点重合于对角线BD上一点P，EF，GH分别是折痕．设AE＝x（0＜x＜2），给出下列判断：
①当x＝1时，DP的长为；
②EF+GH的值随x的变化而变化；
③六边形AEFCHG面积的最大值是；
④六边形AEFCHG周长的值不变．
其中正确的是（ ）
A．①②B．①④C．②③④D．①③④
【分析】先确定出△ABC是等边三角形，进而判断出△BEF是等边三角形，当x＝1时，求出BP＝BD，即可判断出①正确，再用x表示出EF，BP，DP，GH，然后取x赋予的值，即可求出EF+GH的值，判断出②错误，利用菱形的面积减去两个三角形的面积判断出③错误，利用周长的计算方法即可判定出④正确．
【解答】解：∵菱形ABCD的边长为2，
∴AB＝BC＝2，
∵∠ABC＝60°，
∴AC＝AB＝2，BD＝2，
由折叠知，△BEF是等边三角形，
当x＝1时，则AE＝1，
∴BE＝AB﹣AE＝1，
由折叠知，BP＝2×＝＝BD，
故①正确；
如图，设EF与BD交于M，GH于BD交于N，
∵AE＝x，
∴BE＝AB﹣AE＝2﹣x，
∵△BEF是等边三角形，
∴EF＝BE＝2﹣x，
∴BM＝EM＝×EF＝（2﹣x），
∴BP＝2BM＝（2﹣x），
∴DP＝BD﹣BP＝2﹣（2﹣x）＝x，
∴DN＝DP＝x，
∴GH＝2GN＝2×x＝x，
∴EF+GH＝2，所以②错误；
当0＜x＜2时，
∵AE＝x，
∴BE＝2﹣x，
∴EF＝2﹣x，
∴BP＝（2﹣x），
∴DP＝x，
∴GH＝2×＝x＝DG＝DH，
∴六边形AEFCHG面积＝S菱形ABCD﹣S△BEF﹣S△DGH
＝×2×2﹣（2﹣x）2﹣x2
＝2﹣（x﹣1）2﹣
＝﹣（x﹣1）2+，
∴当x＝1时，六边形AEFCHG面积最大为，所以③正确，
六边形AEFCHG周长＝AE+EF+FC+CH+HG+AG
＝x+2﹣x+x+2﹣x+x+2﹣x＝6是定值，
所以④正确，即：正确的有①③④，
故选：D．
【点评】此题是四边形的综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积公式，菱形的面积公式，解本题的关键是用x表示出相关的线段，是一道基础题目．
二．填空题（共5小题）
11．因式分解：ax2+ay2+2axy＝ a（x+y）2 ．
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：ax2+ay2+2axy
＝a（x2+y2+2xy）
＝a（x+y）2．
故答案为：a（x+y）2．
【点评】本题考查的是因式分解，熟知利用提公因式法以及完全平方公式进行因式分解是解题的关键．
12．函数y＝的自变量x的取值范围是 x＞0 ．
【分析】根据二次根式被开方数是非负数、分式的分母不为0列出不等式，得到答案．
【解答】解：由题意得，x＞0，
故答案为：x＞0．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式被开方数是非负数、分式的分母不为0是解题的关键．
13．若关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x+4m＝0的两根的和与积相等，则m的值为 ﹣1 ．
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2＝m﹣3，x1x2＝4m，根据关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x+4m＝0的两根的和与积相等，可得m﹣3＝4m，求出m的值，再检验判别式即可确定m的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x+4m＝0的两根的和与积相等，
∴x1+x2＝m﹣3，x1x2＝4m，
∴m﹣3＝4m，
解得m＝﹣1，
∵Δ＝[﹣（m﹣3）]2﹣4•4m＝32＞0，
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
14．如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中三个顶点在正坐标轴上，顶点D在反比例函数的图象上，若S△ABC＝4，则k＝ 24 ．
【分析】先根据三角形面积求出小正方形的边长，利用两次相似求出点D的坐标即可求出k值．
【解答】解：∵S△ABC＝4，
∴，
∴BC2＝4，
∴小正方形边长为2，
∴AB＝4，BC＝AF＝1，DF＝6，AC＝2，
如图，作DE⊥x轴，垂足为点E，
∵∠BAF＝90，
∴∠OAF＝∠BCA，
∴△ABC∽△FOA，
∴，即，
∴AO＝，OF＝，
同理△AOF∽△FED，
，即，
∴EF＝，DE＝，
∴OE＝OF+EF＝+＝2．
D（2，），
∵点D在反比例函数图象上，
∴k＝2×＝24．
故答案为：24．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形性质是解答本题的关键．
15．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当AB取最大值时，点A的坐标为 （﹣14，0） ．
【分析】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，连接OM，并延长交⊙M于点P'，当点P位于P'位置时，OP'取得最大值，据此求解可得．
【解答】解：连接PO，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵点A、点B关于原点O对称，
∴AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，
连接OM，并延长交⊙M于点P'，当点P位于P'位置时，OP'取得最大值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝6、MQ＝8，
∴OM＝10，
又∵MP'＝r＝4，
∴OP'＝MO+MP'＝10+4＝14，
∴AB＝2OP'＝2×14＝28；
∴A点坐标为（﹣14，0），
故答案为：（﹣14，0）．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，得出AB取得最大值时点P的位置是解答本题的关键．
三．解答题（共7小题）
16．先化简，再求值：，其中x是整数且满足不等式组．
【分析】先化简分式，再解一元一次不等式组，根据题意并结合分式有意义的条件确定能x＝﹣3，由此可求解．
【解答】解：
＝（+）×
＝×
＝，
解不等式组，
由①得x≤﹣1，
由②得x≥﹣3，
∴﹣3≤x≤﹣1，
∵x是整数，
∴x＝﹣1，﹣2，﹣3，
∵x+1≠0，x+2≠0，
∴x＝﹣3，
当x＝﹣3时，原式＝﹣．
【点评】本题考查分式的化简求值，一元一次不等式组的解法，熟练掌握分式化简求值的方法，分式有意义的条件，一元一次不等式组的解法是解题的关键．
17．为迎接第29个世界读书日，营造爱读书、读好书、善读书的浓厚学习氛围，某校组织开展“书香校园阅读周”系列活动，拟举办5类主题活动．A：阅读分享会；B：征文比赛；C；名家进校园；D：知识竞赛；E：经典诵读表演．为了解同学们参与这5类活动的意向，现采用简单随机抽样的方法抽取部分学生进行调查（每名学生仅选一项），并将调查结果绘制成如图．请根据图表提供的信息，解答下列问题．
（1）本次调查的学生共有 200 名，扇形统计图中“A”所对应的圆心角的度数等于 43.2° ；
（2）请把这幅频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）
（3）该校共有2800名学生，请你估计该校想参加“E：经典诵读表演”活动的学生人数．
（4）德育处从该校九年级答题成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中随机抽取2名学生参加全市正文比赛，请用树状图或列表法求出必有甲同学参加的概率．
【分析】（1）先由B活动人数及其所占百分比求出总人数，再根据各活动人数之和等于总人数求出D人数，从而补全图形；
（2）用360°乘以A活动人数所占比例即可；
（3）总人数乘以样本中E活动人数所占比例即可；
（4）根据画树状图法求概率即可求解．
【解答】解：（1）被调查的总人数为20÷10%＝200（人），
扇形统计图中“A”所对应的圆心角的度数等于360°×24÷200＝43.2°，
故答案为：200，43.2°；
（2）D活动人数为200﹣（24+20+70+46）＝40（人），
补全图形如下：
（3）（人），
答：估计该校想参加“E：经典诵读表演”活动的学生约有644人．
（4）画树状图如图所示，
共有12种等可能结果，其中必有甲同学参加的有6种，
∴必有甲同学参加的概率为．
【点评】本题考查的是频数分布直方图，正确掌握样本估计总体，画树状图法求概率是解题关键．
18．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象相交于点A（1，2），B（a，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点C，x轴上是否存在一点P，使S△APC＝4？若存在，请求出点P坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）把点A（1，2）代入y＝得到反比例函数的解析式为y＝；把点A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b得到一次函数的解析式为：y＝x+1；
（2）当y＝0时，得到C（﹣1，0），设P（x，0），根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）把点A（1，2）代入y＝得，2＝，
∴m＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
把B（a，﹣1）代入y＝得，a＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣1），
把点A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b得，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y＝x+1；
（2）当y＝0时，0＝x+1，
解得：x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
设P（x，0），
∴S△APC＝，
∴x＝3或x＝﹣5，
∴P（3，0）或（﹣5，0）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．
19．如图△ABC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，点E为弧BD的中点，连结CE交AB于点F，且AF＝AC．
（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为4，sinA＝，求CE的长．
【分析】（1）连接OE，交BD于点G，利用垂径定理，等腰三角形的性质定理和直角三角形的两个锐角互余和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）连接BE，利用直角三角形的边角关系和勾股定理求得线段AC，BF的长，利用相似三角形的判定定理与性质定理得到CE＝2BE，利用勾股定理列出方程即可求解．
【解答】（1）证明：连接OE，交BD于点G，如图，
∵点E为弧BD的中点，
∴OE⊥BD，
∴∠EGF＝90°．
∴∠E+∠EFG＝90°，
∵∠EFG＝∠AFC，
∴∠E+∠AFC＝90°．
∵AF＝AC，
∴∠AFC＝∠ACF，
∴∠ACF+∠E＝90°．
∵OE＝OC，
∴∠E＝∠OCE，
∴∠OCE+∠ACF＝90°，
即∠OCA＝90°，
∴OC⊥AC，
∵OC为⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为4，
∴BC＝8．
∵sinA＝，
∴AB＝10，
∴AC＝＝6．
∴AF＝AC＝6，
∴BF＝AB﹣AF＝4．
连接BE，如图，
∵点E为弧BD的中点，
∴，
∴∠EBF＝∠BCE．
∵∠E＝∠E，
∴△BEF∽△CEB．
∴＝，
∴EC＝2BE．
设BE＝x，则EC＝2x，
∵BC为直径，
∴∠BEC＝90°，
∴BE2+CE2＝BC2，
∴x2+（2x）2＝82，
解得：x＝±（负数不合题意，舍去），
∴EC＝2x＝．
【点评】本题主要看出来了圆的切线的判定，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，添加恰当的辅助线是解题的关键．
20．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．
（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；
（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元．
①求出y与x之间的函数解析式；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，根据用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解；
（2）①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式；
②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案．
【解答】解：（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，由题意得：
＝，
解得x＝26，
经检验，x＝26是原方程的解，且符合题意，
∴x+9＝26+9＝35，
答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对．
（2）①y＝（50+x﹣35）（98﹣2x）＝﹣2x2+68x+1470，
答：y与x之间的函数解析式为：y＝﹣2x2+68x+1470．
②∵a＝﹣2＜0，
∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x＝﹣＝17，
物价部门规定其销售单价不高于每对65元，
∴x+50≤65，
∴x≤15，
∵x＜17时，y随x的增大而增大，
∴当x＝15时，y最大＝2040．
15+50＝65．
答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．
【点评】本题属于分式方程和二次函数的应用题综合．由于前后步骤有联系，第一问解对，后面才能做对．本题还需要根据问题的实际意义来确定销售单价的取值，本题中等难度．
21．贾老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，小刚所在小组的任务为测量公园古树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部．于是，小刚和小亮制订了测量方案进行实地测量，完成如下的测量报告：
请你根据以上测量报告，求古树AB的高度．
【分析】根据垂直定义可得∠EDC＝∠ABC＝∠ABF＝90°，然后设BF＝x米，则CB＝（33﹣x）米，在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再根据题意可得：∠ACB＝∠DCE，从而证明△EDC∽△ABC，进而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：∵ED⊥DF，AB⊥DF，
∴∠EDC＝∠ABC＝∠ABF＝90°，
设BF＝x米，
∵CF＝33米，
∴CB＝CF﹣BF＝（33﹣x）米，
在Rt△ABF中，∠AFB＝53°，
∴AB＝BF•tan53°≈x（米），
由题意得：∠ACB＝∠DCE，
∴△EDC∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝9，
经检验：x＝9是原方程的根，
∴AB＝x＝12（米），
∴古树AB的高度约为12米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为M（2，﹣2），与x轴的交点为A和B（其中点A与原点重合），将抛物线y＝ax2+bx+c绕点B逆时针方向旋转90°，点M1，A1为点M，A旋转后的对应点．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式；
（2）求证：点A，M，A1在同一条直线上；
（3）若点P是原抛物线上的一动点，点Q是旋转后的图形的对称轴上一点，E为线段AM的中点，是否存在点P，使得以P，Q，E，B为顶点的四边形是平行四边形；若存在请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）求出直线AM的表达式为：y＝﹣x，则x＝4时，y＝﹣x＝﹣4，即可求解；
（3）当BE为对角线时，由中点坐标公式得：m2﹣2m﹣2＝﹣1，即可求解；当BQ、BP为对角线时，同理可解．
【解答】（1）解：由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2﹣2，
将点O的坐标代入上式得：0＝a（0﹣2）2﹣2，
解得：a＝，
则抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2＝x2﹣2x；
（2）证明：由点A、M的坐标得，直线AM的表达式为：y＝﹣x，
由题意得，点A1（4，﹣4），
则x＝4时，y＝﹣x＝﹣4，
即点A1在直线AM上，
故点A，M，A1在同一条直线上；
（3）解：存在，理由：
E为线段AM的中点，则点E（1，﹣1），
设点P（m，m2﹣2m），点Q（t，﹣2），
当BE为对角线时，
由中点坐标公式得：m2﹣2m﹣2＝﹣1，
解得：m＝2±，
即点P的坐标为：（2±，﹣1）；
当BQ、BP为对角线时，
同理可得：m2﹣2m﹣1＝﹣2或m2﹣2m＝﹣2﹣1，
解得：m＝2±，
则点P的坐标为：（2，1），
综上，点P的坐标为：（2±，﹣1）或（2，1）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，旋转变换，平行四边形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用和方程思想的应用．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/3 10:16:58；用户：郑慧敏；邮箱：13953774518；学号：48952362课题
测量古树的高度
测量工具
平面镜、测倾器和皮尺
测量示意图及说明

说明：①D、C、B、F四点共线，DE、AB均垂直于DF
②平面镜大小忽略
③测倾器高度忽略
测量数据
小刚眼睛与地面高度DE＝1.5米，小刚到平面镜的距离CD＝3米，
平面镜到测倾器的距离为CF＝33米，∠AFB＝53°
参考数据
sin53°≈，cs53，tan53
课题
测量古树的高度
测量工具
平面镜、测倾器和皮尺
测量示意图及说明

说明：①D、C、B、F四点共线，DE、AB均垂直于DF
②平面镜大小忽略
③测倾器高度忽略
测量数据
小刚眼睛与地面高度DE＝1.5米，小刚到平面镜的距离CD＝3米，
平面镜到测倾器的距离为CF＝33米，∠AFB＝53°
参考数据
sin53°≈，cs53，tan53