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新人教版高中数学必修第二册 期末学业水平检测（含答案）
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这是一份新人教版高中数学必修第二册 期末学业水平检测（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=(1-i)+m(1+i)是纯虚数,则实数m=( )
A.-2B.-1C.0D.1
2.幸福感指数是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取6位小区居民,他们的幸福感指数分别为5,6,7,8,9,5,则这组数据的第80百分位数是( )
A.7B.7.5C.8D.9
3.已知α为平面,a,b为两条不同的直线,则下列结论正确的是( )
A.若a∥α,b∥α,则a∥b
B.若a⊥α,a∥b,则b⊥α
C.若a⊥α,a⊥b,则b∥α
D.若a∥α,a⊥b,则b⊥α
4.已知在平行四边形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,如果AB=a,AD=b,那么MN=( )
A.12a-12bB.-12a+12b
C.a+12bD.-12a-12b
5.已知圆锥的表面积为3π,且它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的体积为( )
A.33πB.3πC.23πD.2π
6.庆祝中华人民共和国成立70周年的阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最,编组之新、要素之全彰显强军成就,装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”,见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注,还得到了无数外国人的关注.某单位有6位外国人,其中关注此次大阅兵的有5位,若从这6位外国人中任意选取2位进行一次采访,则被采访者都关注了此次大阅兵的概率为( )
A.13B.25C.23D.35
7.如图,有四座城市A、B、C、D,其中B在A的正东方向,且与A相距120 km,D在A的北偏东30°方向,且与A相距60 km,C在B的北偏东30°方向,且与B相距6013 km.一架飞机从城市D出发,以360 km/h的速度向城市C飞行,飞行了15 min后,接到命令改变航向,飞向城市B,此时飞机距离城市B的距离为( )
A.120 kmB.606 km
C.605 kmD.603 km
8.如图,在平面直角坐标系xOy中,原点O为正八边形P1P2P3P4P5P6P7P8的中心,P1P8⊥x轴,若坐标轴上的点M(异于原点)满足2OM+OPi+OPj=0(其中1≤i≤8,1≤j≤8,且i,j∈N*),则满足以上条件的点M的个数为( )
A.2B.4C.6D.8
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9.已知复数z满足(1-i)z=2i,则下列关于复数z的结论正确的是( )
A.|z|=2
B.复数z的共轭复数z=-1-i
C.复平面内表示复数z的点位于第二象限
D.复数z是方程x2+2x+2=0的一个根
10.某市教体局对全市高一年级学生的身高进行抽样调查,随机抽取了100名学生,他们的身高都处在A,B,C,D,E五个层次内,根据抽样结果得到如下统计图,则下列结论正确的是( )
A.样本中女生人数多于男生人数
B.样本中B层次人数最多
C.样本中E层次的男生人数为6
D.样本中D层次的男生人数多于女生人数
11.已知事件A,B,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则下列结论正确的是( )
A.如果B⊆A,那么P(A∪B)=0.2,P(AB)=0.5
B.如果A与B互斥,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0
C.如果A与B相互独立,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0
D.如果A与B相互独立,那么P(AB)=0.4,P(AB)=0.4
12.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,则下列命题中正确的是( )
A.若点M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,则MN∥BC'
B.点C到平面ABC'D'的距离为2
C.直线BC与平面ABC'D'所成的角等于π4
D.三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球的表面积为3π
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且bcs C+ccs B=asin A,则A= .
14.已知数据x1,x2,x3,…,xm的平均数为10,方差为2,则数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,…,2xm-1的平均数为 ,方差为 .
15.已知|a|=3,|b|=2,(a+2b)·(a-3b)=-18,则a与b的夹角为 .
16.如图,在三棱锥V-ABC中,AB=22,VA=VB,AC=BC,VC=1,且AV⊥BV,AC⊥BC,则二面角V-AB-C的余弦值是 .
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知向量a=(1,2),b=(4,-3).
(1)若向量c∥a,且|c|=25,求c的坐标;
(2)若向量b+ka与b-ka互相垂直,求实数k的值.
18.(12分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且a=7,c=1,A=2π3.
(1)求b及△ABC的面积S;
(2)若D为BC边上一点,且 ,求∠ADB的正弦值.
从①AD=1,②∠CAD=π6这两个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并解答.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
19.(12分)在四面体A-BCD中,E,F,M分别是AB,BC,CD的中点,且BD=AC=2,EM=1.
(1)求证:EF∥平面ACD;
(2)求异面直线AC与BD所成的角.
20.(12分)溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视,为了普及安全教育,某市组织了一次学生安全知识竞赛,规定每队3人,每人回答一个问题,答对得1分,答错得0分.在竞赛中,甲、乙两个中学代表队狭路相逢,假设甲队每人回答问题正确的概率均为23,乙队每人回答问题正确的概率分别为12,23,34,且每人回答问题正确与否相互之间没有影响.
(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率;
(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.
21.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,点D为线段AC的中点,点E为线段PC上一点.
(1)求证:平面BDE⊥平面PAC;
(2)当PA∥平面BDE时,求三棱锥P-BDE的体积.
22.(12分)2020年开始,山东推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用“3+3”模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,满分各150分,另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每科满分100分.2020年初受疫情影响,全国各地推迟开学,开展线上教学.为了了解高一学生的选科意向,某学校对学生所选科目进行检测,下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩,以20为组距分成7组:[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300],画出频率分布直方图如图所示.
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)(i)求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数;
(ii)估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)为了进一步了解选科情况,在物理、化学、生物三科总分成绩在[220,240)和[260,280)的两组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取7名学生,再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查,求抽取的这2名学生来自不同组的概率.
答案全解全析
1.B 复数z=(1-i)+m(1+i)=(m+1)+(m-1)i,
因为z是纯虚数,所以m+1=0,m-1≠0,解得m=-1.
2.C 将6个数据按照从小到大的顺序排列为5,5,6,7,8,9,因为6×80%=4.8,所以第5个数据即为这组数据的第80百分位数,故选C.
3.B 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面,因此B选项正确,易知A、C、D错误.
4.B MN=AN-AM=AD+DN-(AB+BM)=AD+12AB-AB-12AD=-12AB+12AD=-12a+12b.
5.A 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,依题意有2πr=12·2πl,所以l=2r,又圆锥的表面积为3π,所以πr2+πrl=3π,解得r=1,因此圆锥的高h=l2-r2=3,于是体积V=13πr2h=13π×12×3=33π.
6.C 这6位外国人分别记为a,A,B,C,D,E,其中a未关注此次大阅兵,A,B,CD,E关注了此次大阅兵,
则样本点有(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(a,E),(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共15个,
其中被采访者都关注了此次大阅兵的样本点有10个,故所求概率为1015=23.故选C.
7.D 取AB的中点E,连接DE,BD.设飞机飞行了15 min后到达F点,连接BF,如图所示,则BF即为所求.
因为E为AB的中点,且AB=120 km,
所以AE=EB=60 km,
又∠DAE=60°,AD=60 km,
所以三角形DAE为等边三角形,
所以DE=60 km,∠ADE=60°,
在等腰三角形EDB中,∠DEB=120°,
所以∠EDB=∠EBD=30°,
所以∠ADB=90°,
所以BD2=AB2-AD2=1202-602=10 800,
所以BD=603 km,
因为∠CBE=90°+30°=120°,∠EBD=30°,所以∠CBD=90°,
所以CD=BD2+BC2=10 800+(6013)2=240 km,
所以cs∠BDC=BDCD=603240=34,
因为DF=360×14=90 km,
所以在三角形BDF中,
BF2=BD2+DF2-2×BD×DF×cs∠BDF
=(603)2+902-2×603×90×34=10 800,
所以BF=603 km,
即此时飞机距离城市B的距离为603 km.
8.D 取线段PiPj的中点Qk,因为2OM+OPi+OPj=0,所以OPi+OPj=-2OM,即2OQk=-2OM,所以OQk=-OM,于是Qk,O,M共线,因为点M在坐标轴上,所以Qk也在坐标轴上,于是满足条件的(i,j)的情况有(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(2,3),(1,4),(5,8),(6,7),即满足条件的点M有8个.
9.ABCD 由(1-i)z=2i得z=2i1−i=-1+i,于是|z|=2,其共轭复数z=-1-i,复数z在复平面内对应的点是(-1,1),位于第二象限.因为(-1+i)2+2(-1+i)+2=0,所以复数z是方程x2+2x+2=0的一个根,故选项A、B、C、D均正确.
10.ABC 样本中女生人数为9+24+15+9+3=60,则男生人数为40,故A选项正确;样本中B层次人数为24+40×30%=36,并且B层次占女生和男生的比例均最大,故B层次人数最多,B选项正确;E层次中的男生人数为40×(1-10%-30%-25%-20%)=6,故C选项正确;D层次中,男生人数为40×20%=8,女生人数为9,故D选项错误.
11.BD 由于B⊆A,所以A∪B=A,AB=B,于是P(A∪B)=P(A)=0.5,P(AB)=P(A∩B)=P(B)=0.2,故A选项错误;由于A与B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.2=0.7,AB为不可能事件,因此P(AB)=0,故B选项正确;如果A与B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)=0.1,故C选项错误;P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.8=0.4,P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.8=0.4,故D选项正确.
12.ACD 因为M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,所以MN∥AD',又因为AD'∥BC',所以MN∥BC',故A选项正确;连接B'C,易证B'C⊥平面ABC'D',因此点C到平面ABC'D'的距离为12B'C=22,故B选项错误;直线BC与平面ABC'D'所成的角为∠CBC'=π4,故C选项正确;三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球即正方体的外接球,其半径R=32,因此其表面积为4π×322=3π,故D选项正确.
13.答案 90°
解析 由正弦定理可得sin Bcs C+sin Ccs B=sin2A,即sin(B+C)=sin 2A,所以sin A=sin2A,易知sin A≠0,所以sin A=1,故A=90°.
14.答案 19;8
解析 依题意可得2x1-1,2x2-1,…,2xm-1的平均数为2×10-1=19,方差为22×2=8.
15.答案 π3
解析 设a,b的夹角为θ,依题意有|a|2-a·b-6|b|2=-18,所以32-3×2×cs θ-6×22=-18,解得cs θ=12,由于θ∈[0,π],故θ=π3.
16.答案 34
解析 取AB的中点D,连接VD,CD,由于VA=VB,AC=BC,所以VD⊥AB,CD⊥AB,于是∠VDC就是二面角V-AB-C的平面角.因为AV⊥BV,AC⊥BC,AB=22,所以VD=2,DC=2,又VC=1,所以cs∠VDC=2+2−12×2×2=34.
17.解析 (1)解法一:因为向量c∥a,所以设c=λa,(1分)
则c2=(λa)2,
即(25)2=λ2a2,(2分)
所以20=5λ2,解得λ=±2.(4分)
所以c=2a=(2,4)或c=-2a=(-2,-4).(5分)
解法二:设向量c=(x,y).(1分)
因为c∥a,且a=(1,2),所以2x=y,(2分)
因为|c|=25,所以x2+y2=25,(3分)
由2x=y,x2+y2=25,解得x=2,y=4,或x=−2,y=−4.(4分)
所以c=(2,4)或c=(-2,-4).(5分)
(2)因为向量b+ka与b-ka互相垂直,所以(b+ka)·(b-ka)=0,(6分)
即b2-k2a2=0.(7分)
因为a=(1,2),b=(4,-3),所以a2=5,b2=25,(8分)
所以25-5k2=0,解得k=±5.(10分)
18.解析 (1)由余弦定理得,(7)2=b2+12-2bcs 2π3,(2分)
整理得b2+b-6=0,解得b=2或b=-3(舍去).(5分)
所以△ABC的面积S=12bcsin A=12×2×1×32=32.(6分)
(2)选择条件①.
在△ABC中,由正弦定理bsinB=asinA,得2sinB=732,(8分)
所以sin B=217.(9分)
因为AD=AB=1,所以∠ADB=∠B.(10分)
所以sin∠ADB=sin B,所以sin∠ADB=217.(12分)
选择条件②.
在△ABC中,由余弦定理的推论,得cs B=(7)2+12-222×7×1=277.(8分)
因为A=2π3,所以∠BAD=2π3-π6=π2,(9分)
所以sin∠ADB=cs B,即sin∠ADB=277.(12分)
19.解析 (1)证明:因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC.(2分)
因为EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,所以EF∥平面ACD.(4分)
(2)易得EF∥AC,FM∥BD,(5分)
所以∠EFM为异面直线AC与BD所成的角(或其补角).(7分)
在△EFM中,EF=FM=EM=1,所以△EFM为等边三角形,(10分)
所以∠EFM=60°,即异面直线AC与BD所成的角为60°.(12分)
20.解析 (1)记“甲队总得分为3分”为事件A,“甲队总得分为1分”为事件B.
甲队得3分,即三人都答对,其概率P(A)=23×23×23=827.(2分)
甲队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,
其概率P(B)=23×1−23×1−23+1−23×23×1−23+1−23×1−23×23=29.(5分)
所以甲队总得分为3分的概率为827,甲队总得分为1分的概率为29.(6分)
(2)记“甲队总得分为2分”为事件C,“乙队总得分为1分”为事件D.
甲队得2分,即三人中有两人答对,剩余一人答错,
则P(C)=23×23×1−23+23×1−23×23+1−23×23×23=49.(8分)
乙队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,
则P(D)=12×1−23×1−34+1−12×23×1−34+1−12×1−23×34=14.(11分)
由题意得,事件C与事件D相互独立.
所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P(C)P(D)=49×14=19.(12分)
21.解析 (1)证明:因为PA⊥底面ABC,且BD⊂底面ABC,
所以PA⊥BD.(1分)
因为AB=BC,且点D为线段AC的中点,所以BD⊥AC.(2分)
又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.(3分)
又BD⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.(4分)
(2)因为PA∥平面BDE,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面BDE=ED,所以ED∥PA.(5分)
因为点D为AC的中点,所以点E为PC的中点.(6分)
解法一:由题意知P到平面BDE的距离与A到平面BDE的距离相等.(7分)
所以VP-BDE=VA-BDE=VE-ABD=12VE-ABC=14VP-ABC=14×13×12×2×2×2=13.
所以三棱锥P-BDE的体积为13.(12分)
解法二:由题意知点P到平面BDE的距离与点A到平面BDE的距离相等.(7分)
所以VP-BDE=VA-BDE.(8分)
由题意得AC=22,AD=2,BD=2,DE=1,(9分)
由(1)知,AD⊥BD,AD⊥DE,且BD∩DE=D,所以AD⊥平面BDE,(10分)
所以VA-BDE=13AD·S△BDE=13×12×2×1×2=13.
所以三棱锥P-BDE的体积为13.(12分)
解法三:由题意得AC=22,AD=2,BD=2,DE=1,(8分)
由(1)知,BD⊥平面PDE,
且S△PDE=12DE·AD=12×1×2=22.(10分)
所以VP-BDE=VB-PDE=13BD·S△PDE=13×2×22=13.
所以三棱锥P-BDE的体积为13.(12分)
22.解析 (1)由题图得,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+0.007 5+a+0.002 5)×20=1,(1分)解得a=0.005.(2分)
(2)(i)因为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,
(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5)×20=0.7>0.5,
所以三科总分成绩的中位数在[220,240)内,(3分)
设中位数为x,则(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(x-220)=0.5,解得x=224,即中位数为224.(5分)
(ii)三科总分成绩的平均数为170×0.04+190×0.19+210×0.22+230×0.25+250×0.15+270×0.1+290×0.05=225.6.(7分)
(3)三科总分成绩在[220,240),[260,280)两组内的学生分别有25人,10人,故抽样比为725+10=15.(8分)
所以从三科总分成绩为[220,240)和[260,280)的两组中抽取的学生人数分别为25×15=5,10×15=2.(9分)
记事件A=“抽取的这2名学生来自不同组”.三科总分成绩在[220,240)内的5人分别记为a1,a2,a3,a4,a5,在[260,280)内的2人分别记为b1,b2.
现在这7人中抽取2人,则试验的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2)},共21个样本点.(10分)
其中A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2)},共10个样本点.(11分)
所以P(A)=1021,即抽取的这2名学生来自不同组的概率为1021.(12分)
1.已知复数z=(1-i)+m(1+i)是纯虚数,则实数m=( )
A.-2B.-1C.0D.1
2.幸福感指数是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取6位小区居民,他们的幸福感指数分别为5,6,7,8,9,5,则这组数据的第80百分位数是( )
A.7B.7.5C.8D.9
3.已知α为平面,a,b为两条不同的直线,则下列结论正确的是( )
A.若a∥α,b∥α,则a∥b
B.若a⊥α,a∥b,则b⊥α
C.若a⊥α,a⊥b,则b∥α
D.若a∥α,a⊥b,则b⊥α
4.已知在平行四边形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,如果AB=a,AD=b,那么MN=( )
A.12a-12bB.-12a+12b
C.a+12bD.-12a-12b
5.已知圆锥的表面积为3π,且它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的体积为( )
A.33πB.3πC.23πD.2π
6.庆祝中华人民共和国成立70周年的阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最,编组之新、要素之全彰显强军成就,装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”,见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注,还得到了无数外国人的关注.某单位有6位外国人,其中关注此次大阅兵的有5位,若从这6位外国人中任意选取2位进行一次采访,则被采访者都关注了此次大阅兵的概率为( )
A.13B.25C.23D.35
7.如图,有四座城市A、B、C、D,其中B在A的正东方向,且与A相距120 km,D在A的北偏东30°方向,且与A相距60 km,C在B的北偏东30°方向,且与B相距6013 km.一架飞机从城市D出发,以360 km/h的速度向城市C飞行,飞行了15 min后,接到命令改变航向,飞向城市B,此时飞机距离城市B的距离为( )
A.120 kmB.606 km
C.605 kmD.603 km
8.如图,在平面直角坐标系xOy中,原点O为正八边形P1P2P3P4P5P6P7P8的中心,P1P8⊥x轴,若坐标轴上的点M(异于原点)满足2OM+OPi+OPj=0(其中1≤i≤8,1≤j≤8,且i,j∈N*),则满足以上条件的点M的个数为( )
A.2B.4C.6D.8
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9.已知复数z满足(1-i)z=2i,则下列关于复数z的结论正确的是( )
A.|z|=2
B.复数z的共轭复数z=-1-i
C.复平面内表示复数z的点位于第二象限
D.复数z是方程x2+2x+2=0的一个根
10.某市教体局对全市高一年级学生的身高进行抽样调查,随机抽取了100名学生,他们的身高都处在A,B,C,D,E五个层次内,根据抽样结果得到如下统计图,则下列结论正确的是( )
A.样本中女生人数多于男生人数
B.样本中B层次人数最多
C.样本中E层次的男生人数为6
D.样本中D层次的男生人数多于女生人数
11.已知事件A,B,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则下列结论正确的是( )
A.如果B⊆A,那么P(A∪B)=0.2,P(AB)=0.5
B.如果A与B互斥,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0
C.如果A与B相互独立,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0
D.如果A与B相互独立,那么P(AB)=0.4,P(AB)=0.4
12.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,则下列命题中正确的是( )
A.若点M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,则MN∥BC'
B.点C到平面ABC'D'的距离为2
C.直线BC与平面ABC'D'所成的角等于π4
D.三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球的表面积为3π
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且bcs C+ccs B=asin A,则A= .
14.已知数据x1,x2,x3,…,xm的平均数为10,方差为2,则数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,…,2xm-1的平均数为 ,方差为 .
15.已知|a|=3,|b|=2,(a+2b)·(a-3b)=-18,则a与b的夹角为 .
16.如图,在三棱锥V-ABC中,AB=22,VA=VB,AC=BC,VC=1,且AV⊥BV,AC⊥BC,则二面角V-AB-C的余弦值是 .
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知向量a=(1,2),b=(4,-3).
(1)若向量c∥a,且|c|=25,求c的坐标;
(2)若向量b+ka与b-ka互相垂直,求实数k的值.
18.(12分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且a=7,c=1,A=2π3.
(1)求b及△ABC的面积S;
(2)若D为BC边上一点,且 ,求∠ADB的正弦值.
从①AD=1,②∠CAD=π6这两个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并解答.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
19.(12分)在四面体A-BCD中,E,F,M分别是AB,BC,CD的中点,且BD=AC=2,EM=1.
(1)求证:EF∥平面ACD;
(2)求异面直线AC与BD所成的角.
20.(12分)溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视,为了普及安全教育,某市组织了一次学生安全知识竞赛,规定每队3人,每人回答一个问题,答对得1分,答错得0分.在竞赛中,甲、乙两个中学代表队狭路相逢,假设甲队每人回答问题正确的概率均为23,乙队每人回答问题正确的概率分别为12,23,34,且每人回答问题正确与否相互之间没有影响.
(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率;
(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.
21.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,点D为线段AC的中点,点E为线段PC上一点.
(1)求证:平面BDE⊥平面PAC;
(2)当PA∥平面BDE时,求三棱锥P-BDE的体积.
22.(12分)2020年开始,山东推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用“3+3”模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,满分各150分,另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每科满分100分.2020年初受疫情影响,全国各地推迟开学,开展线上教学.为了了解高一学生的选科意向,某学校对学生所选科目进行检测,下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩,以20为组距分成7组:[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300],画出频率分布直方图如图所示.
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)(i)求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数;
(ii)估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)为了进一步了解选科情况,在物理、化学、生物三科总分成绩在[220,240)和[260,280)的两组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取7名学生,再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查,求抽取的这2名学生来自不同组的概率.
答案全解全析
1.B 复数z=(1-i)+m(1+i)=(m+1)+(m-1)i,
因为z是纯虚数,所以m+1=0,m-1≠0,解得m=-1.
2.C 将6个数据按照从小到大的顺序排列为5,5,6,7,8,9,因为6×80%=4.8,所以第5个数据即为这组数据的第80百分位数,故选C.
3.B 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面,因此B选项正确,易知A、C、D错误.
4.B MN=AN-AM=AD+DN-(AB+BM)=AD+12AB-AB-12AD=-12AB+12AD=-12a+12b.
5.A 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,依题意有2πr=12·2πl,所以l=2r,又圆锥的表面积为3π,所以πr2+πrl=3π,解得r=1,因此圆锥的高h=l2-r2=3,于是体积V=13πr2h=13π×12×3=33π.
6.C 这6位外国人分别记为a,A,B,C,D,E,其中a未关注此次大阅兵,A,B,CD,E关注了此次大阅兵,
则样本点有(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(a,E),(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共15个,
其中被采访者都关注了此次大阅兵的样本点有10个,故所求概率为1015=23.故选C.
7.D 取AB的中点E,连接DE,BD.设飞机飞行了15 min后到达F点,连接BF,如图所示,则BF即为所求.
因为E为AB的中点,且AB=120 km,
所以AE=EB=60 km,
又∠DAE=60°,AD=60 km,
所以三角形DAE为等边三角形,
所以DE=60 km,∠ADE=60°,
在等腰三角形EDB中,∠DEB=120°,
所以∠EDB=∠EBD=30°,
所以∠ADB=90°,
所以BD2=AB2-AD2=1202-602=10 800,
所以BD=603 km,
因为∠CBE=90°+30°=120°,∠EBD=30°,所以∠CBD=90°,
所以CD=BD2+BC2=10 800+(6013)2=240 km,
所以cs∠BDC=BDCD=603240=34,
因为DF=360×14=90 km,
所以在三角形BDF中,
BF2=BD2+DF2-2×BD×DF×cs∠BDF
=(603)2+902-2×603×90×34=10 800,
所以BF=603 km,
即此时飞机距离城市B的距离为603 km.
8.D 取线段PiPj的中点Qk,因为2OM+OPi+OPj=0,所以OPi+OPj=-2OM,即2OQk=-2OM,所以OQk=-OM,于是Qk,O,M共线,因为点M在坐标轴上,所以Qk也在坐标轴上,于是满足条件的(i,j)的情况有(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(2,3),(1,4),(5,8),(6,7),即满足条件的点M有8个.
9.ABCD 由(1-i)z=2i得z=2i1−i=-1+i,于是|z|=2,其共轭复数z=-1-i,复数z在复平面内对应的点是(-1,1),位于第二象限.因为(-1+i)2+2(-1+i)+2=0,所以复数z是方程x2+2x+2=0的一个根,故选项A、B、C、D均正确.
10.ABC 样本中女生人数为9+24+15+9+3=60,则男生人数为40,故A选项正确;样本中B层次人数为24+40×30%=36,并且B层次占女生和男生的比例均最大,故B层次人数最多,B选项正确;E层次中的男生人数为40×(1-10%-30%-25%-20%)=6,故C选项正确;D层次中,男生人数为40×20%=8,女生人数为9,故D选项错误.
11.BD 由于B⊆A,所以A∪B=A,AB=B,于是P(A∪B)=P(A)=0.5,P(AB)=P(A∩B)=P(B)=0.2,故A选项错误;由于A与B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.2=0.7,AB为不可能事件,因此P(AB)=0,故B选项正确;如果A与B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)=0.1,故C选项错误;P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.8=0.4,P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.8=0.4,故D选项正确.
12.ACD 因为M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,所以MN∥AD',又因为AD'∥BC',所以MN∥BC',故A选项正确;连接B'C,易证B'C⊥平面ABC'D',因此点C到平面ABC'D'的距离为12B'C=22,故B选项错误;直线BC与平面ABC'D'所成的角为∠CBC'=π4,故C选项正确;三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球即正方体的外接球,其半径R=32,因此其表面积为4π×322=3π,故D选项正确.
13.答案 90°
解析 由正弦定理可得sin Bcs C+sin Ccs B=sin2A,即sin(B+C)=sin 2A,所以sin A=sin2A,易知sin A≠0,所以sin A=1,故A=90°.
14.答案 19;8
解析 依题意可得2x1-1,2x2-1,…,2xm-1的平均数为2×10-1=19,方差为22×2=8.
15.答案 π3
解析 设a,b的夹角为θ,依题意有|a|2-a·b-6|b|2=-18,所以32-3×2×cs θ-6×22=-18,解得cs θ=12,由于θ∈[0,π],故θ=π3.
16.答案 34
解析 取AB的中点D,连接VD,CD,由于VA=VB,AC=BC,所以VD⊥AB,CD⊥AB,于是∠VDC就是二面角V-AB-C的平面角.因为AV⊥BV,AC⊥BC,AB=22,所以VD=2,DC=2,又VC=1,所以cs∠VDC=2+2−12×2×2=34.
17.解析 (1)解法一:因为向量c∥a,所以设c=λa,(1分)
则c2=(λa)2,
即(25)2=λ2a2,(2分)
所以20=5λ2,解得λ=±2.(4分)
所以c=2a=(2,4)或c=-2a=(-2,-4).(5分)
解法二:设向量c=(x,y).(1分)
因为c∥a,且a=(1,2),所以2x=y,(2分)
因为|c|=25,所以x2+y2=25,(3分)
由2x=y,x2+y2=25,解得x=2,y=4,或x=−2,y=−4.(4分)
所以c=(2,4)或c=(-2,-4).(5分)
(2)因为向量b+ka与b-ka互相垂直,所以(b+ka)·(b-ka)=0,(6分)
即b2-k2a2=0.(7分)
因为a=(1,2),b=(4,-3),所以a2=5,b2=25,(8分)
所以25-5k2=0,解得k=±5.(10分)
18.解析 (1)由余弦定理得,(7)2=b2+12-2bcs 2π3,(2分)
整理得b2+b-6=0,解得b=2或b=-3(舍去).(5分)
所以△ABC的面积S=12bcsin A=12×2×1×32=32.(6分)
(2)选择条件①.
在△ABC中,由正弦定理bsinB=asinA,得2sinB=732,(8分)
所以sin B=217.(9分)
因为AD=AB=1,所以∠ADB=∠B.(10分)
所以sin∠ADB=sin B,所以sin∠ADB=217.(12分)
选择条件②.
在△ABC中,由余弦定理的推论,得cs B=(7)2+12-222×7×1=277.(8分)
因为A=2π3,所以∠BAD=2π3-π6=π2,(9分)
所以sin∠ADB=cs B,即sin∠ADB=277.(12分)
19.解析 (1)证明:因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC.(2分)
因为EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,所以EF∥平面ACD.(4分)
(2)易得EF∥AC,FM∥BD,(5分)
所以∠EFM为异面直线AC与BD所成的角(或其补角).(7分)
在△EFM中,EF=FM=EM=1,所以△EFM为等边三角形,(10分)
所以∠EFM=60°,即异面直线AC与BD所成的角为60°.(12分)
20.解析 (1)记“甲队总得分为3分”为事件A,“甲队总得分为1分”为事件B.
甲队得3分,即三人都答对,其概率P(A)=23×23×23=827.(2分)
甲队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,
其概率P(B)=23×1−23×1−23+1−23×23×1−23+1−23×1−23×23=29.(5分)
所以甲队总得分为3分的概率为827,甲队总得分为1分的概率为29.(6分)
(2)记“甲队总得分为2分”为事件C,“乙队总得分为1分”为事件D.
甲队得2分,即三人中有两人答对,剩余一人答错,
则P(C)=23×23×1−23+23×1−23×23+1−23×23×23=49.(8分)
乙队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,
则P(D)=12×1−23×1−34+1−12×23×1−34+1−12×1−23×34=14.(11分)
由题意得,事件C与事件D相互独立.
所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P(C)P(D)=49×14=19.(12分)
21.解析 (1)证明:因为PA⊥底面ABC,且BD⊂底面ABC,
所以PA⊥BD.(1分)
因为AB=BC,且点D为线段AC的中点,所以BD⊥AC.(2分)
又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.(3分)
又BD⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.(4分)
(2)因为PA∥平面BDE,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面BDE=ED,所以ED∥PA.(5分)
因为点D为AC的中点,所以点E为PC的中点.(6分)
解法一:由题意知P到平面BDE的距离与A到平面BDE的距离相等.(7分)
所以VP-BDE=VA-BDE=VE-ABD=12VE-ABC=14VP-ABC=14×13×12×2×2×2=13.
所以三棱锥P-BDE的体积为13.(12分)
解法二:由题意知点P到平面BDE的距离与点A到平面BDE的距离相等.(7分)
所以VP-BDE=VA-BDE.(8分)
由题意得AC=22,AD=2,BD=2,DE=1,(9分)
由(1)知,AD⊥BD,AD⊥DE,且BD∩DE=D,所以AD⊥平面BDE,(10分)
所以VA-BDE=13AD·S△BDE=13×12×2×1×2=13.
所以三棱锥P-BDE的体积为13.(12分)
解法三:由题意得AC=22,AD=2,BD=2,DE=1,(8分)
由(1)知,BD⊥平面PDE,
且S△PDE=12DE·AD=12×1×2=22.(10分)
所以VP-BDE=VB-PDE=13BD·S△PDE=13×2×22=13.
所以三棱锥P-BDE的体积为13.(12分)
22.解析 (1)由题图得,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+0.007 5+a+0.002 5)×20=1,(1分)解得a=0.005.(2分)
(2)(i)因为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,
(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5)×20=0.7>0.5,
所以三科总分成绩的中位数在[220,240)内,(3分)
设中位数为x,则(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(x-220)=0.5,解得x=224,即中位数为224.(5分)
(ii)三科总分成绩的平均数为170×0.04+190×0.19+210×0.22+230×0.25+250×0.15+270×0.1+290×0.05=225.6.(7分)
(3)三科总分成绩在[220,240),[260,280)两组内的学生分别有25人,10人,故抽样比为725+10=15.(8分)
所以从三科总分成绩为[220,240)和[260,280)的两组中抽取的学生人数分别为25×15=5,10×15=2.(9分)
记事件A=“抽取的这2名学生来自不同组”.三科总分成绩在[220,240)内的5人分别记为a1,a2,a3,a4,a5,在[260,280)内的2人分别记为b1,b2.
现在这7人中抽取2人,则试验的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2)},共21个样本点.(10分)
其中A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2)},共10个样本点.(11分)
所以P(A)=1021,即抽取的这2名学生来自不同组的概率为1021.(12分)
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