附4 全等三角形的性质与判定压轴题八种模型全攻略

这是一份附4 全等三角形的性质与判定压轴题八种模型全攻略，共35页。试卷主要包含了全等三角形的概念，全等三角形的性质，用SAS证明三角形全等，用AAS证明三角形全等，用SSS证明三角形全等，用ASA证明三角形全等，用HL证明三角形全等等内容，欢迎下载使用。
考点一 全等三角形的概念 考点二 利用全等图形求正方形网格中角度之和
考点三 全等三角形的性质 考点四 用SSS证明三角形全等
考点五 用SAS证明三角形全等 考点六 用ASA证明三角形全等
考点七 用AAS证明三角形全等 考点八 用HL证明三角形全等
典型例题

考点一 全等三角形的概念
例题：（2021·福建·福州三牧中学八年级期中）有下面的说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的说法有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
先分别验证①②③④的正确性，并数出正确的个数，即可得到答案.
【详解】
①全等三角形的形状相同，根据图形全等的定义，正确；
②全等三角形的对应边相等，根据全等三角形的性质，正确；
③全等三角形的对应角相等，根据全等三角形的性质，正确；
④全等三角形的周长、面积分别相等，正确；
故四个命题都正确，
故D为答案.
【点睛】
本题主要考查了全等的定义、全等三角形图形的性质，即全等三角形对应边相等、对应角相等、面积周长均相等.
【变式训练】
1．（2022·上海·七年级专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．
说理过程如下：
把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于 ＝ ，所以可以使点B与点B′重合．又因为 ＝ ，所以射线 能落在射线 上，这时因为 ＝ ，所以点 与 重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
【答案】AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'
【解析】
【分析】
直接利用已知结合全等的定义得出答案．
【详解】
解：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于AB＝A'B'，所以可以使点B与点B′重合．又因为∠A＝∠A′，所以射线AC能落在射线A'C'上，这时因为AC＝A'C'，所以点C 与C'重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
故答案为：AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是仔细读题，理解填空．
考点二 利用全等图形求正方形网格中角度之和
例题：（2021·全国·八年级专题练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
【答案】B
【解析】
【分析】
首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2．
【详解】
∵在△ABC和△DBE中
，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴∠3=∠ACB，
∵∠ACB+∠1=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠2=45°
∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°，
故选B．
【点睛】
此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．
【变式训练】
1．（2022·山东·济南市槐荫区教育教学研究中心二模）如图，在的正方形网格中，求______度．
【答案】45
【解析】
【分析】
连接，根据正方形网格的特征即可求解．
【详解】
解：如图所示，连接

∵图中是的正方形网格
∴，，
∴
∴，
∵
∴，即
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：45．
【点睛】
本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征．
2．（2020·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．
【答案】135
【解析】
【分析】
首先利用全等三角形的判定和性质求出的值，即可得出答案；
【详解】
如图所示，
在△ACB和△DCE中，
，
∴，
∴，
∴；
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键．
考点三 全等三角形的性质
例题：（2021·重庆大足·八年级期末）如图，和全等，且，对应．若，，，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
全等三角形对应边相等，对应角相等，根据题中信息得出对应关系即可．
【详解】
∵和全等，，对应
∴
∴AB=DF=4
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的概念及性质，应注意①对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系②可以进一步推广到全等三角形对应边上的高相等，对应角的平分线相等，对应边上的中线相等，周长及面积相等③全等三角形有传递性．
【变式训练】
1．（2022·云南昆明·三模）如图，，若，则的度数是（ ）
A．80°B．70°C．65°D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
由根据全等三角形的性质可得，再利用三角形内角和进行求解即可．
【详解】
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．（2022·上海·七年级专题练习）如图所示，D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，求
(1)DE的长；
(2)∠BAC的度数．
【答案】(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据垂直的定义得到∠D＝90°，求得∠DBA+∠BAD＝90°，根据全等三角形的性质得到∠DBA＝∠CAE等量代换即可得到结论．
(1)
解：∵△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，
∴AE＝BD＝4cm，
∴DE＝AD+AE＝6cm．
(2)
∵BD⊥DE，
∴∠D＝90°，
∴∠DBA+∠BAD＝90°，
∵△ABD≌△CAE，
∴∠DBA＝∠CAE
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠BAC＝90°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
考点四 用SSS证明三角形全等
例题：（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如图，，点E在BC上，且，．
(1)求证：；
(2)判断AC和BD的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）运用SSS证明即可；
（2）由（1）得，根据内错角相等，两直线平行可得结论．
(1)
在和中，
，
∴(SSS)；
(2)
AC和BD的位置关系是，理由如下：
∵
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2021·河南省实验中学七年级期中）如图，在线段BC上有两点E，F，在线段CB的异侧有两点A，D，且满足，，，连接AF；
(1)与相等吗？请说明理由．
(2)若，，AF平分时，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由“SSS”可证△AEB≌△DFC，可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠AEB＝∠DFC＝20°，可求∠EAB＝120°，由角平分线的性质可求解．
(1)
解：，
理由如下：
∵
∴
在和中
∴
∴
(2)
解：∵
∴
∴
∵平分
∴
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
2．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．
(1)若，，求四边形AECF的面积；
(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)48
(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AC，证明△ACE ≌△ACF，则S△ACE＝S△ACF，根据三角形面积公式求得S△ACF与S△ACE，根据S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；
（2）由△ACE ≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
(1)
解：连接AC，如图，
在△ACE 和△ACF中
∴△ACE ≌△ACF（SSS）．
∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CB＝6．
∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．
∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．
(2)
∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
证明：∵△ACE ≌△ACF，
∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．
∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，
∴∠DFC＝∠BEC．
∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，
∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC
＝∠DAB＋∠ECF．
∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
考点五 用SAS证明三角形全等
例题：（2022·福建省福州第十九中学模拟预测）如图，点O是线段AB的中点，且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据线段中点的定义得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论.
【详解】
证明：∵点O是线段AB的中点，
∴，
∵，
∴，
在△AOD与△OBC中，
，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·云南普洱·二模）如图，和分别在线段的两侧，点，在线段上，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
利用，得到，再用，，得到≌（SAS），然后用三角形全等的性质得到结论即可．
【详解】
证明：，
，
在和中
，
≌（SAS），
．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定，平行线的性质，找到三角形全等的条件是解答本题的关键．
2．（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，点B、C、E、F共线，AB=DC，∠B=∠C，BF=CE．
求证：△ABE≌△DCF．

【答案】证明见解析；
【解析】
【分析】
根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；即可证明；
【详解】
证明：∵点B、C、E、F共线，BF=CE，
∴BF+EF=CE+EF，
∴BE=CF，
△ABE和△DCF中：BA=CD，∠ABE=∠DCF，BE=CF，
∴△ABE≌△DCF（SAS）；
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定；掌握（SAS）的判定条件是解题关键．
考点六 用ASA证明三角形全等
例题：（2022·上海·七年级专题练习）已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB＝CD，求证：BC＝DE．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等．
【详解】
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE（已知）
∴∠ACE＝∠B＝∠D＝90°（垂直的意义）
∵∠BCA+∠DCE+∠ACE＝180°（平角的意义）
∠ACE＝90°（已证）
∴∠BCA+∠DCE＝90°（等式性质）
∵∠BCA+∠A+∠B＝180°（三角形内角和等于180°）
∠B＝90°（已证）
∴∠BCA+∠A＝90°（等式性质）
∴∠DCE＝∠A （同角的余角相等）
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA）
∴BC＝DE（全等三角形对应边相等）
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·广西百色·二模）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于点O，OA＝OD．
(1)AB＝DC；
(2)△ABC≌△DCB．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）证明△ABO≌△DCO（ASA），即可得到结论；
（2）由△ABO≌△DCO，得到OB＝OC，又OA＝OD，得到BD＝AC，又由∠A＝∠D，即可证得结论．
(1)
证明：在△ABO与△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（ASA）
∴AB＝DC；
(2)
证明：∵△ABO≌△DCO，
∴OB＝OC，
∵OA＝OD，
∴OB＋OD＝OC＋OA，
∴BD＝AC，
在△ABC与△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS）．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握并灵活选择全等三角形的判定方法是解题的关键．
2．（2022·贵州遵义·八年级期末）如图，已知，，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用平行线的性质得，利用“角边角”即可证明；
（2）由邻补角的定义求出，进而得到，再利用两直线平行同旁内角互补求出．
由两直线平行得
(1)
证明：，
，
在和中，
，
．
(2)
解：，，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查平行线的性质、邻补角的定义、全等三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．
考点七 用AAS证明三角形全等
例题：（2022·上海·七年级专题练习）如图，已知BE与CD相交于点O，且BO＝CO，∠ADC＝∠AEB，那么△BDO与△CEO全等吗？为什么？
【答案】△BDO≌△CEO（AAS）；原因见解析
【解析】
【分析】
根据AAS证明△BDO与△CEO全等即可．
【详解】
解：△BDO与△CEO全等；
∵∠BDO＝180°﹣∠ADC，∠CEO＝180°﹣∠AEB，
又∵∠ADC＝∠AEB，
∴∠BDO＝∠CEO，
∵在△BDO与△CEO中，，
∴△BDO≌△CEO（AAS）．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【变式训练】
1．（2022·福建省福州第一中学模拟预测）如图，已知A，F，E，C在同一直线上，∥，∠ABE=∠CDF，AF=CE．求证：AB=CD．
【答案】见详解
【解析】
【分析】
根据全等三角形证明△ABE≌△CDF，再根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】
证明：∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
∵AF=CE，
∴AF+EF=CE+EF，
即AE=FC，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AB=CD．
【点睛】
此题主要考查了三角形全等的判定及性质，一般证明线段相等先大致判断两个线段所在三角形是否全等，然后再看证明全等的条件有哪些．
2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF//AB，DF交AC于E点，DE＝EF．
(1)求证：△ADE≌△CFE；
(2)若AB＝5，CF＝4，求BD的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)BD＝1
【解析】
【分析】
（1）利用角角边定理判定即可；
（2）利用全等三角形对应边相等可得AD的长，用AB﹣AD即可得出结论．
(1)
证明：∵CF∥AB，
∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF．
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
(2)
∵△ADE≌△CFE，
∴AD＝CF＝4．
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
考点八 用HL证明三角形全等
例题：（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，且BF=CE．
(1)求证AE=DF；
(2)判定AB和CD的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）只需要利用HL证明Rt△ABE≌Rt△DCF即可证明结论；
（2）根据Rt△ABE≌Rt△DCF即可得到∠B=∠C，即可证明．
(1)
解：∵BF=CE，
∴BF-EF=CE-EF，即BE=CF，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
又∵AB=DC，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
∴AE=DF；
(2)
解：，理由如下：
∵Rt△ABE≌Rt△DCF，
∴∠B=∠C，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，AD，BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．
(1)求证：△ACB≌△BDA；
(2)若∠CAB=54°，求∠CAO的度数．
【答案】(1)见解析
(2)18°
【解析】
【分析】
（1）根据HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD；
（2）先求出∠ABC的度数，即可利用全等三角形的性质求出∠BAD的度数，由此即可得到答案．
(1)
证明：∵∠D=∠C=90°，
∴△ABC和△BAD都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；
(2)
解：在Rt△ABC中，∠CAB=54°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=36°，
∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠ABC=∠BAD=36°，
∴∠CAO=∠CAB-∠BAD=54°-36°=18°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
2．（2022·江西·永丰县恩江中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BC=AB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAB=30°，求∠ACF的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）由AB=CB，∠ABC=90°，即可求得∠CAB与∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案．
(1)
∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=∠ABE=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
(2)
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°。
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=15°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°
【点睛】
此题考查了直角三角形全等的判定与性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
课后训练
一、选择题
1．（2022·吉林省实验中学八年级阶段练习）下列结论中正确的有（ ）
①全等三角形对应边相等；②全等三角形对应角相等；③全等三角形对应中线、对应高线、对应角平分线相等；④全等三角形周长相等；⑤全等三角形面积相等．
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】A
【分析】根据全等三角形的性质依次判断即可得出结果．
【详解】解：①全等三角形对应边相等，正确，符合题意；
②全等三角形对应角相等，正确，符合题意；
③全等三角形对应中线、对应高线、对应角平分线相等，正确，符合题意；
④全等三角形周长相等，正确，符合题意；
⑤全等三角形面积相等，正确，符合题意．
所以正确的有5个，
故选：A．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，深刻理解全等三角形的性质是解题关键．
2．（2021·四川·东坡区实验中学八年级期中）如图，△ABC≌△DEF，若∠A=132°，∠FED=15°，则∠C等于（ ）
A．13°B．23°C．33°D．43°
【答案】C
【分析】根据△ABC≌△DEF，∠FED=15°，得∠CBA=15°，再根据三角形内角和即可得答案．
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，∠FED=15°，
∴∠CBA=∠FED=15°，
∵∠A=132°，
∴∠C=180°-132°=15°=33°，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握三角形全等的性质．
3．（2021·湖北·公安县教学研究中心八年级阶段练习）如图，点B，F，C，E共线，∠A＝∠D，AB＝DE，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BF＝ECB．∠B＝∠EC．AC＝DFD．ACFD
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【详解】解：∵∠A＝∠D，AB＝DE，
∴当添加BF＝EC时，可得BC=EF不能判断△ABC≌△DEF
当添加∠B＝∠E时，根据“ASA”可判断△ABC≌△DEF；
当条件AC＝DF时，根据“SAS”可判断△ABC≌△DEF；
当添加ACDF时，则∠ACB＝∠DFE，根据“AAS”可判断△ABC≌△DEF．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．
4．（2021·湖北·公安县教学研究中心八年级阶段练习）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．AB=5，BC=4，AC=10B．∠A=45°，∠C=60°，BC=8
C．∠A=80°，AB=6，BC=7D．∠C=90°，AB=9
【答案】B
【分析】要满足唯一画出△ABC，就要求选项给出的条件符合三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的图形不一样，也就是三角形不唯一，而各选项中只有C选项符合ASA，是满足题目要求的，于是答案可得．
【详解】解：A、因为AB+BC＜AC，所以这三边不能构成三角形；
B、已知两角可得到第三个角的度数，已知一边，则可以根据ASA来画一个三角形；
C、因为∠A不是已知两边的夹角，无法确定其他角的度数与边的长度；
D、只有一个角和一个边无法根据此作出一个三角形．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定及三角形的作图方法等知识点；能画出唯一三角形的条件一定要满足三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的三角形不确定，当然不唯一．
5．（2022·陕西·西安市东元中学七年级阶段练习）如图，在锐角△ABC 中，∠BAC=60°，BE，CD 为△ABC 的角平分线．BE，CD 交于点 F，FG 平分 ∠BFC，有下列四个结论：①∠BFC = 120°；②BD = BG；③△BDF≌△CEF；④BC= BD + CE．其中正确的结论有（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】C
【分析】根据∠BFC=180°-（∠EBC+∠DCB）可对①进行判断；根据“ASA”证明△BCF≌△BGF，可对②进行判断；根据三角形全等的判定方法中必须有边的参与可对③进行判断；由②可得BD=BG，同理可得CE=CG，可对④进行判断．
【详解】解：∵∠A=60°，BE、CD为三角形ABC的角平分线，
∴∠EBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB=×（180°-∠A）=60°，
∴∠BFC=180°-（∠EBC+∠DCB）=120°，故①正确；
由①得，∠DFB=60°，∠BFC=120°，
∵FG平分∠BFC，
∴∠BFG=∠BFC=60°，
在△BDF和△BGF中，
，
∴△BDF≌△BGF（ASA），
∴BD=BG，故②正确；
在△BDF和△CEF中，
∠BFD=∠CFE=60°，但没有相等的边，
∴△BDF和△CEF不一定全等，故③错误；
由②可得BD=BG，
同理可得△CEF≌△CGF，
∴CE=CG，
∴BC=BG+CG=BD+CE，故④正确．
∴正确的结论是①②④，共3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·全国·八年级课时练习）如图，△ABC≌△DCB，若∠A＝75°，∠ACB＝45°，则∠BCD等于____．
【答案】60°##60度
【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC，再根据全等三角形对应角相等得到∠BCD=∠ABC，从而得解．
【详解】解：∵∠A=75°，∠ACB=45°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-75°-45°=60°，
∵△ABC≌△DCB，
∴∠BCD=∠ABC=60°．
故答案为60°．
【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图确定出对应角是解题的关键．
7．（2022·山东泰安·七年级期末）如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△ACB≌△DBC，你补充的条件是______（填出一个即可）．
【答案】(答案不唯一)
【分析】本题要判定△ACB≌△DBC，已知∠A＝∠D，，则可以添加从而利用AAS判定其全等．
【详解】解：添加，
∵，∠A＝∠D，
∴△ACB≌△DBC．（AAS）
故答案是：(答案不唯一)．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校八年级）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是__________．
【答案】
【分析】由“SSS”可证△ABC≌△ADC，可得∠BAC=∠DAC，可证AE就是∠PRQ的平分线，即可求解．
【详解】解：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
∴AE就是∠PRQ的平分线，
故答案为：SSS．
【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键．
9．（2022·广西·都安瑶族自治县民族实验初级中学九年级阶段练习）如图所示，在等边△ABC中，AB＝6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE．则∠DAE＝___度．
【答案】60
【分析】根据△ABC是等边三角形，得到∠BAC=60°，AC=AB=6，根据D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转得到△ACE，得到△ACE≌△ABD，推出∠CAE=∠BAD，推出∠DAE=∠CAE+∠CAD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°．
【详解】∵等边△ABC中，∠BAC=60°，AC=AB=6，且D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，
∴△ACE≌△ABD，
∴∠CAE=∠BAD，
∴∠DAE=∠CAE+∠CAD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°．
故答案为：60．
【点睛】本题主要考查了等边三角形，旋转，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形的边角性质，旋转图形全等性．
10．（2021·四川·东坡区实验中学八年级期中）如图，在∆ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC =8cm，点P从A点出发，沿A→C路径向终点C运动；点Q从点B出发，沿B→C→A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动．其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过点P和Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，则点P运动时间为_____时，∆PEC与∆QFC全等．
【答案】1s或3.5s
【分析】推出CP=CQ，①P在AC上，Q在BC上，推出方程6-t=8-3t，②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，得到方程6-t=3t-8，Q在AC上，求出即可得出答案．
【详解】解：设运动时间为t秒时，△PEC≌△QFC，
∵△PEC≌△QFC，
∴斜边CP=CQ，
有2种情况：
①P在AC上，Q在BC上，
CP=6-t，CQ=8-3t，
∴6-t=8-3t，
∴t=1；
②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，
∴CP=6-t=3t-8，
∴t=3.5；
答：点P运动1s或3.5s时，△PEC与△QFC全等．
故答案为：1s或3.5s．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点，能根据题意得出方程是解此题的关键．
三、解答题
11．（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学八年级）已知：如图，B、D分别是AC、AE的中点，且AB=AD．求证：△ADC≌△ABE．
【答案】见解析
【分析】利用中点的性质，得到，再根据∠A是公共角，即可证明△ADC≌△ABE．
【详解】证明：∵B是的中点，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查利用SAS证明三角形全等，利用公共角是对应角这一隐含条件进行证明是解题的关键．
12．（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学七年级阶段练习）已知：如图，A、F、C、D四点在一直线上，AF＝CD，，且AB＝DE．求证：
(1)△ABC≌△DEF；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据AF＝CD，可得AC＝DF．再由，可得∠A＝∠D．可利用SAS证得△ABC≌△DEF；
（2）根据全等三角形的性质可得∠ACB＝∠DFE，即可．
（1）
证明：∵AF＝CD，
∴AF+FC＝CD+FC即AC＝DF．
∵，
∴∠A＝∠D．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
（2）
证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE．
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，证得△ABC≌△DEF是解题的关键．
13．（2021·四川·东坡区实验中学八年级期中） 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．
(1)求证：AE＝CD；
(2)若AC＝12cm，求BD的长
【答案】(1)见解析
(2)BD=6cm．
【分析】（1）利用角角边证明△DBC≌△ECA即可；
（2）由（1）得BD=EC=BC=AC，且AC=12，即可求出BD的长．
（1）
证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．
∴∠D=∠AEC．
又∵∠DBC=∠ECA=90°，
且BC=CA，
在△DBC和△ECA中，
∵，
∴△DBC≌△ECA（AAS）．
∴AE=CD；
（2）
解：∵△CDB≌△AEC，
∴BD=CE，
∵AE是BC边上的中线，
∴BD=EC=BC=AC，且AC=12cm．
∴BD=6cm．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
14．（2022·吉林省实验中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AC上，点E在BC的延长线上，CE=CD，BD的延长线交AE于点F．
(1)求证：△ACE≌△BCD；
(2)求证：BF⊥AE；
(3)若BD=8，DF=2，直接写出△ABE的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)△ABE的面积为40
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理判断△ACE≌△BCD即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可；
（3）根据全等三角形的面积公式即可得到结论．
（1）
证明：∵∠ACB=90°，E是BC延长线上一点，
∴∠ACE=∠ACB=90°，
在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）
证明：∵△ACE≌△BCD，
∴∠FBE=∠CAE，
∵∠CAE+∠E=90°，
∴∠FBE+∠E=90°，
∴∠BFE=180°-（∠FBE+∠E）=180°-90°=90°，
∴BF⊥AE；
（3）
解：∵BD=8，DF=2，
∴BF=10，
∵△ACE≌△BCD，
∴AE=BD=8，
∴△ABE的面积=AE•BF=×8×10=40．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键是证明△ACE≌△BCD．
15．（2021·广东·沙田第一中学七年级期末）如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，B，C，D三点共线，AD与BE相交于点O，AD与CE交与点F，AC与BE交于点G．
(1)找出图中一对全等三角形，并说明理由．
(2)求∠BOD度数．
(3)连接GF，判断△CGF形状，并说明理由．
【答案】(1)△BCE≌△ACD，理由见解析
(2)∠BOD=120°
(3)△GFC是等边三角形，理由见解析
【分析】（1）通过观察图形，根据等边三角形的性质就可以证明△BCE≌△ACD；
（2）由（1）△BCE≌△ACD可以得出∠ADC=∠BEC，而有∠AOB=∠EBC+∠ADB，就有∠AOB=∠EBC+∠BEC=∠DCE=60°，从而可以求出∠BOD的值；
（3）通过证明△BGC≌△AFC就可以得出CG=CF，由∠ACE=60°，就可以得出△CGF是等边三角形．
（1）
解：△BCE≌△ACD，
理由：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=∠BAC=60°，
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
∵∠BCE=∠ACD．
在△BCE和△ACD中，，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；
（2）
解：∵△BCE≌△ACD，
∴∠ADC=∠BEC．
∵∠AOB=∠EBC+∠ADC，
∴∠AOB=∠EBC+∠BEC=∠DCE=60°．
∵∠AOB+∠BOD=180°，
∴∠BOD=120°；
（3）
证明：∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBE=∠CAD．
∵∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠ACE=60°，
∴∠ACE=∠BCA．
在△BGC和△AFC中，，
∴△BGC≌△AFC（ASA），
∴GC=FC．
∵∠GCF=60°，
∴△GFC是等边三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是解答的关键．
16．（2022·黑龙江大庆·八年级期末）如图△ABC为等边三角形，直线aAB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E．
(1)若D恰好在BC的中点上(如图1)
①求证CD=CE；
②求证：△ADE是等边三角形；
(2)若D为直线BC上任一点(如图2）其他条件不变，“△ADE是等边三角形”的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)成立，理由见解析
【分析】（1）①利用等边三角形的性质得到BD=CD， AD⊥BC，进一步求出∠EDC=30°，然后根据三角形内角和定理推出∠DOC=90°，再根据三角形的外角性质可求出∠DEC=30°，从而得出∠EDC=∠DEC，再根据“等角对等边”即可证明结论；
②由SAS证明△ABD≌△ACE得出AD=AE，然后根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判断出△ADE是等边三角形的结论；
（1）在AC上取点F，使CF=CD，连结DF，先证得△ADF≌△EDC得出AD=ED，再运用已证的结论“∠ADE=60°”和根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可证明出△ADE是等边三角形的结论．
（1）
①证明：∵aAB，且△ABC为等边三角形，
∴∠ACE=∠BAC=∠ABD=60°，AB=AC，
∵D是BC中点，即BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠ADE=60°，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-60°=30°，
∴∠DOC=180°-∠EDC-∠ACB=90°，
∴∠DEC=∠DOC-∠ACE=90°-60°=30°，
∴∠EDC=∠DEC，
∴CD=CE；
②∵BD=CD，CD=CE，
∴BD=CE，
在△ABD和△ACE中，
∵，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE，
又∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形；
（2）
解：“△ADE是等边三角形”的结论仍然成立．证明如下：
在AC上取点F，使CF=CD，连结DF，如图2所示：
，
∵∠ACB=60°，
∴△DCF是等边三角形，
∴DF=CD，
∵∠ADF+∠FDE=∠EDC+∠FDE=60°，
∴∠ADF=∠EDC，
∵∠DAF+∠ADE=∠DEC+∠ACE，∠ACE=∠ADE=60°，
∴∠DAF=∠DEC，
∴△ADF≌△EDC（AAS），
∴AD=ED，
又∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形．
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质、平行线的性质．解题关键是注意熟练掌握及熟练等边三角形的判定定理与性质定理、全等三角形的判定与性质．