专题24 勾股定理中的蚂蚁爬行模型（解析版）

这是一份专题24 勾股定理中的蚂蚁爬行模型（解析版），共28页。

【模型】如图，已知在一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体中，已知蚂蚁沿着长方体的表面爬行，求蚂蚁从点到点C的最短路径。
【证明】
将上图正方体展开如图24-1，可知点到点C的最短路径为图24-1中的线段的长度。根据勾股定理可得：
【模型变式1】
如图24-2，已知在一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体中，已知蚂蚁沿着长方体的表面爬行，求蚂蚁从点到点C的最短路径。
【证明】
将图24-2中的正方体展开如图24-4，可知点到点C的最短路径为图24-1中的线段的长度。根据勾股定理可得：。
【模型变式2】
如图24-3，已知在一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体中，已知蚂蚁沿着长方体的表面爬行，求蚂蚁从点到点C的最短路径。
【证明】
将图24-3中的正方体展开如图24-5，可知点到点C的最短路径为图24-1中的线段的长度。根据勾股定理可得：。
【例1】如图，长方形的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，蚂蚁如果要沿着长方形的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（ ）
A．35B．C．25D．
【答案】C
【分析】先把长方体展开，然后根据最短路径及勾股定理可求解．
【解析】解：把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图所示：
由题意得：
BD=20，AD=BC+10=15，∠BDA=90°，
在中，，
②把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图所示：
长方体的宽为10，高为20，点B到点C的距离是5，
BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
；
③把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图所示：
长方体的宽为10，高为20，点B到点C的距离是5，
AC=CD+AD=20+10=30，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
蚂蚁沿着长方形的表面从点A爬到点B的最短路径为25；
故选C．
【例2】如图，在圆柱的截面ABCD中，AB＝，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离为_____．
【答案】10
【分析】先把圆柱的侧面展开，连接AS，利用勾股定理即可得出AS的长．
【解析】如图所示，将其展开，
∵在圆柱的截面ABCD中：，，
∴，，
将其展开可得如下的矩形，
在中，
∴．
故答案为：10．
【例3】如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为4cm，4cm，6cm
(1)一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，请你帮蚂蚁设计一条最短的路线，蚂蚁要爬行的最短路线是多少？
(2)若将一根木棒放进盒子里并能盖上盖子，则能放入该盒子里的木棒的最大长度是多少cm ? (结果可保留根号)
【答案】（1）10cm；（2）cm.
【分析】（1）将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案；
（2）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可．
【解析】（1）如图1所示：
AB==10（cm），
如图2所示：
AB=（cm）．
故蚂蚁爬行的最短路线为A-P-B（P为CD的中点），
最短路程是10cm．
（2）由题意得：给长方体盒子加上盖子能放入木棒的最大长度是：
（cm）．
一、单选题
1．如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，若AB＝3cm，BC＝5cm，BF＝6cm，则最短的爬行距离是（ ）
A．10B．14C．D．
【答案】A
【分析】把长方体展开，根据两点之间线段最短得出最短路线AG，根据勾股定理，即可求出AG长度；
【解析】把长方体展开有三种情况：
当蜘蛛从A 出发到EF上再到G时，如下图所示
，
，
，
在中，；
当蜘蛛从A 出发到BF上再到G时，如下图所示
，，
，
，
，
在中，，
当蜘蛛从A 出发到EH上再到G时，如下图所示
， ，
∴AF=9cm，
在中，，
．
故选：A．
2．如图，圆柱形玻璃板，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是（ ）
A．15cmB．16cmC．17cmD．18cm
【答案】A
【分析】在侧面展开图中，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP＋PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可．
【解析】解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP＋PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE＝A′E，A′P＝AP，
∴AP＋PC＝A′P＋PC＝A′C，
∵CQ＝×18cm＝9cm，A′Q＝12cm−4cm＋4cm＝12cm，
在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝ ＝15cm，
故选：A．
3．如图所示，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝6，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱侧面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）
A．3B．6C．9D．6
【答案】A
【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
【解析】解： 把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD为底面半圆弧长，AD＝3π，
所以AC=，
故选：A．
4．如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别是，A和B是这个台阶相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到B处去吃食物，则这只蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【解析】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，

则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，
解得x=25．
故选：A．
5．图，长方体的长为8，宽为10，高为6，点B离点C的距离为2，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【解析】要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图
∵长方体的宽为10，高为6，点B离点C的距离是2，
∴BD=CD+BC=10+2=12，AD=6，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB=；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
∵长方体的宽为10，高为6，点B离点C的距离是2，
∴BD=CD+BC=6+2=85，AD=10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB=；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：
∵长方体的宽为10，高为6，点B离点C的距离是2，
∴AC=CD+AD=6+10=16，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
∴AB=；
∵，
∴蚂蚁爬行的最短距离是，
故选：A．
6．如图，在长方体透明容器（无盖）内的点处有一滴糖浆，容器外点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为，宽为，高为，点距底部，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】沿着上面的棱将A点翻折至处，分三种情况讨论，利用化曲为直的思想和勾股定理求解即可．
【解析】解：沿着上面的棱将A点翻折至处，则新长方体的长、宽、高依次为，，，
若蚂蚁的行走路线为后壁和下壁，则最短路径为：，
若蚂蚁的行走路线为左壁和下壁，则最短路径为：，
若蚂蚁的行走路线为左壁和前壁，则最短路径为：，
∵，
∴最短路径为：．
故选：B．
二、填空题
7．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是_____．
【答案】25
【分析】根据长方体的侧面展开图计算后比较即可．
【解析】按照正面和右侧进行展开，如图所示：
根据题意，得BE=AD=20，AE=BC+CD=15，
所以AB==25；
按照上面和右侧进行展开，如图所示：
根据题意，得AD=10，BD=BC+CD=25，
所以AB=
故最小值为25；
故答案为：25．
8．如图，一只蚂蚁沿长方体的表面从顶点A爬到另一顶点M，已知AB＝AD＝2，BF＝3．这只蚂蚁爬行的最短距离_____．
【答案】5
【分析】把这个长方体表面分别沿CB、ND、DC展开，将点A和点M放在同一平面内，在同一平面内A、M两点间线段最短，根据勾股定理计算，找出最短距离即可．
【解析】解：如图1，将长方体沿CB展开，

当蚂蚁经图中长方体右侧表面爬到M点，则，
如图2，将长方体沿ND展开，

当蚂蚁经图中长方体左侧面爬到M点，则，
如图3，将长方体沿DC展开，
当蚂蚁经图中长方体上侧面爬到M点，则，
比较以上三种情况，一只蚂蚁从顶点A爬到顶点M，那么这只蚂蚁爬行的最短距离是5．
故答案为：5．
9．如图，圆柱形容器外壁距离下底面3cm的A处有一只蚂蚁，它想吃到正对面外壁距离上底面3cm的B处的米粒，若圆柱的高为12cm，底面周长为24 cm．则蚂蚁爬行的最短距离为_______．
【答案】
【分析】将圆柱形容器侧面展开，根据两点之间线段最短可知AB的长度即为所求.
【解析】如图，将圆柱形容器侧面展开，连接AB，则AB即为最短距离.
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
AC = cm，
BC= 12-3-3= 6cm，
(cm)，
即蚂蚁从外壁A到达外壁B处的最短距离为cm.
故答案为：6cm.
10．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm．
【答案】15
【分析】过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出，，根据勾股定理求出即可．
【解析】解：沿过的圆柱的高剪开，得出矩形，
过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，
则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
，，
，
，，
在△中，由勾股定理得：，
故答案为：15．
11．如图一只蚂蚁从长为4cm，宽为3cm，高为2cm的长方体纸箱A点沿纸箱爬到B点，那么它爬行的最短路线的长是_________cm
【答案】
【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可．
【解析】解：当如图1所示时，
（cm），当如图2所示时，
（cm），
当如图3所示时，
（cm），∵，
∴它所行走的最短路径的长是cm．
故答案为：．
12．在底面周长为，高为的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从至按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为_________．
【答案】
【分析】把立体图形展开成平面图形，依题意，从A到C缠绕了一圈半，则AB=1.5×6=9cm，BC=3cm，根据两点之间线段最短求出AC长即可解决问题．
【解析】解：把圆柱体展开成平面图形，如图所示：
依题意，从A到C缠绕了一圈半，则AB=1.5×6=9cm，BC=3cm，
由勾股定理得= ，
即丝带的最短长度为，
故答案为：．
三、解答题
13．如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深为，在水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且；一小虫想从鱼缸外的点沿壁爬进鱼缸内处吃鱼饵，求小动物爬行的最短距离．（鱼缸厚度忽略不计）
【答案】100cm
【分析】本题我们首先需要将立体图形转化为几何图形，然后利用勾股定理进行求解.
【解析】解：如图所示作点关于的对称点，连接交与点，小虫沿着的路线爬行时路程最短．
在直角△中，，，
．
最短路线长为．
14．(1)如图1，长方体的长、宽、高分别为，，，如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要______；
(2)如图2，长方体的棱长分别为，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？
【答案】(1)
(2)昆虫乙至少需要秒钟才能捕捉到昆虫甲
【分析】（1）将长方体展开，连接，结合题意，利用勾股定理求解即可；
（2）由题意得最短路径相等，设昆虫甲从顶点沿棱向顶点爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，根据勾股定理，列出方程求解即可．
【解析】（1）解：如图，将长方体展开，连接，
∵长方体的长、宽、高分别为，，，
∴这根细线最短的长为：m；
故答案为：
（2）解：设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，
如图，在中，
∵长方体的棱长分别为，，
∴cm，cm，cm，cm，
∴，
解得：．
答：昆虫乙至少需要秒钟才能捕捉到昆虫甲．
15．如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm．
(1)在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？
(2)若此长方体盒子有盖，则能放入木棒的最大长度是多少？
【答案】(1)25cm；(2)cm
【分析】(1)把盒子展开，通过两点之间线段最短，画出草图，根据勾股定理可求得，根据盒子展开的方式不同，分类讨论；
(2)连接DP、PD，放入木棒的最大长度即为长方体的顶角的连线的最长长度，此时计算出DB或AP的长度即为可能放入木棒的最大长度．
【解析】（1）长方体的各边长度如图所示，
第一种展开方式，如图，
展开：
由图可知：
此时的最短路径为CD，在Rt△ACD中，，
C为AB中点，即AC=15，
即，
此时最短路径为CD=25cm，
第二种展开方式，如图，
展开：
由图可知：
此时的最短路径为CD，在Rt△ACD中，，
C为AB中点，即AC=15，
即，
此时最短路径为CD=25cm；
第三种展开方式，如图，
展开：
由图可知：
此时的最短路径为CD，在Rt△ACD中，，
C为AB中点，即AC=15，
即，
此时最短路径为CD=cm，
∵＞25，
∴最短路径的长度为25cm；
答：最短路径为25cm．
（2）连接DB、PD，如图：
则有，
（cm），
故放入木棒的最大长度是cm．
16．如图①，长方体长AB为8 cm，宽BC为6 cm，高BF为4 cm．在该长体的表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
(1)蚂蚁从点A爬行到点G，且经过棱EF上一点，画出其最短路径的平面图，并标出它的长．
(2)设该长方体上底面对角线EG、FH相交于点O（如图②），则OE＝OF＝OG＝OH＝5 cm．
①蚂蚁从点B爬行到点O的最短路径的长为 cm；
②当点P在BC边上，设BP长为a cm，求蚂蚁从点P爬行到点O的最短路的长（用含a的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2)①；②（cm）．
【分析】（1）根据题意画出图形，利用勾股定理求出AG即可；
（2）①画出平面图形，过点O作OK⊥BG于K，根据等腰三角形的性质可得KG＝KF＝cm，然后利用勾股定理求出OK和BO即可；
②画出平面图形，过点O作OM⊥BC于M，则OM⊥FG，垂足为N，利用勾股定理求出ON，可得OM＝4＋4＝8cm，根据BP＝a cm可得PM＝cm或P′M＝cm，分别求出OP和OP′可得答案．
【解析】（1）解：最短路径为AG，如图，∵AB＝8cm，BF＝4cm，FG＝BC＝6cm，∴BG＝10cm，∴其最短路径AG＝cm；
（2）①平面图如图，过点O作OK⊥BG于K，∵OE＝OF＝OG＝OH＝5cm，∴KG＝KF＝cm，∴OK＝cm，BK＝BF＋FK＝7cm，∴点B爬行到点O的最短路径BO＝cm，故答案为：；
②平面图如图，过点O作OM⊥BC于M，则OM⊥FG，垂足为N，∵OE＝OF＝OG＝OH＝5cm，FG＝BC＝6cm，∴FN＝GN＝cm，且BM＝CM＝3cm，∴ON＝cm，∵FG∥BC，BF＝4cm，NM⊥BC，由平行线间的距离处处相等可得NM＝4cm，∴OM＝4＋4＝8cm，∵BP＝a cm，∴PM＝cm或P′M＝cm，∴OP＝（cm），OP′＝（cm），∴蚂蚁从点P爬行到点O的最短路的长为（cm）．
17．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．
(1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
(2)如图①，求该长度最短的金属丝的长．
(3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？
【答案】(1)A；(2)；(3)
【分析】（1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题；
（2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可；
（3）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍．
【解析】（1）解：因圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点．
故选：A；
（2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度．
圆柱底面的周长，圆柱的高，
该长度最短的金属丝的长为．
（3）解：若将金属丝从点B绕四圈到达点A，
则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍：
．
18．在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．我们将从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．
（1）在图1中画出边长为的正方形，使它的顶点在网格的格点上．
（2）在图2中有一只电子小马从格点出发，经过跳马变换到达与其相对的格点，则最少需要跳马变换的次数是 次．
（3）如图3，在的正方形网格中，一只电子小马从格点经过若干次跳马变换到达与其相对的格点，则它跳过的最短路程为 ．
【答案】（1）作图见解析；（2）4；（3）14
【解析】解：（1）如图1，
（2）如图2，最少需要跳马变换的次数是4次.
（3）如图3, ,
两次变换相当于向右移动3格,向上移动3格,
又∵ ,
(不是整数)，
按A-C-F的方向连续变换10次后,相当于向右移动了10÷2×3=15格,向上移动了10÷2×3=15格, 此时S位于如图所示的5×5的正方形网格的点G处,再按如图所示的方式变换4次即可到达点T处,

从该正方形的顶点S经过跳马变换到达与其相对的顶点T,最少需要跳马变换的次数是14次,
∴它跳过的最短路程为 .
19．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，为了吃到蜂蜜，蚂蚁从外壁A处沿着最短路径到达内壁B处．
（1）右图是杯子的侧面展开图，请在杯沿CD上确定一点P,使蚂蚁沿A-P-B路线爬行，距离最短．
（2）结合右图，求出蚂蚁爬行的最短路径长．
【答案】（1）作图见解析；（2）20cm.
【解析】（1）作出点A关于CD的对称点A1，连接A1B，交CD于点P，P为所求的点；
（2）过点B作BE⊥AC于点E，利用轴对称的性质和勾股定理可求得线段A1B的长，就是蚂蚁爬行的最短路径长.
试题解析：
【解析】（1）如图，作点A关于CD的对称点A1，连接A1B交CD于点P，点P为所求点；
(2)过点B作BE垂直AC于E，
∵点A1、A关于CD对称，
∴A1C=AC=2cm，PA1=PA，
∴PA+PB=PA1+PB=A1B，
∵在Rt△A1EB中，A1B=（cm），
∴蚂蚁爬行的最短距离是20cm.
20．现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．
(1) 求线段BG的长；
(2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计)
【答案】（1）BG＝5 dm；（2）答案见解析过程．
【分析】（1）直接根据勾股定理可得出BG的长；
（2）将正方体展开，联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考查特殊点等方法，化曲为直．
【解析】解：（1）如图，连接BG．
在直角△BCG中，由勾股定理得到：BG＝＝＝5（dm），
即线段BG的长度为5dm；

（2）①把ADEH展开，如图此时总路程为＝
②把ABEF展开，如图
此时的总路程为＝＝
③如图所示，把BCFGF展开，
此时的总路程为＝
由于＜，所以第三种方案路程更短，最短路程为．