湖北省沙市中学2024届高三下学期模拟考试数学试卷(含答案)

这是一份湖北省沙市中学2024届高三下学期模拟考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．若，则( )
A.B.C.D.
3．已知，，若，则( )
A.1B.C.D.
4．若，则( )
A.100B.110C.120D.130
5．已知等差数列的前n项和为，且，，则( )
A.14B.16C.18D.20
6．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且，则该圆台的体积为( )
A.B.C.D.
7．已知直线与圆相交于M，N两点.则的最小值为( )
A.B.C.4D.6
8．已知可导函数的定义域为R，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知复数z，下列说法正确的是( )
A.若，则z为实数B.若，则
C.若，则的最大值为2D.若，则z为纯虚数
10．已知函数的图象在y轴上的截距为，是该函数的最小正零点，则( )
A.
B.恒成立
C.在上单调递减
D.将的图象向右平移个单位，得到的图象关于y轴对称
11．如图，已知抛物线的焦点为F，抛物线C的准线与x轴交于点D，过点F的直线l（直线l的倾斜角为锐角）与抛物线C相交于A，B两点（A在x轴的上方，B在x轴的下方），过点A作抛物线C的准线的垂线，垂足为M，直线l与抛物线C的准线相交于点N，则( )
A.当直线l的斜率为1时，B.若，则直线l的斜率为2
C.存在直线l使得D.若，则直线l的倾斜角为
三、填空题
12．2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）.已知在某次新结构数学试题的考试中，小明同学三个多选题中第一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，则小明同学多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）的中位数为______.
13．在直三棱柱中，，，过作该直三棱柱外接球的截面，所得截面的面积的最小值为______.
四、双空题
14．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则______；若，则面积的最大值为______.
五、解答题
15．已如曲线在处的切线与直线垂直.
（1）求a的值；
（2）若恒成立，求b的取值范围.
16．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，点M在上，点N为的中点，且平面.
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
17．某校为了丰富课余活动，同时训练学生的逻辑思维能力，在高中三个年级举办中国象棋盲棋比赛，经过各年级初赛，高一、高二、高三分别有3人，4人，5人进入决赛，决赛采取单循环方式，即每名队员与其他队员都要进行1场比赛（每场比赛都采取5局3胜制，初赛、决赛的赛制相同，记分方式相同），最后根据积分选出冠军，积分规则如下：比赛中以或取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以取胜的队员积2分，失败的队员积1分.
（1）从进入决赛的12人中随机抽取2人进行表演赛，这2人恰好来自不同年级的概率是多少？
（2）初赛时，高三甲、乙两同学对局，设每局比赛甲取胜的概率均为，记甲以取胜的概率为，当最大时，甲处于最佳竞技状态.在决赛阶段甲、乙对局，而且甲的竞技状态最好，求甲所得积分X的分布列及期望.
18．已知椭圆C：，设过点的直线l交椭圆C于M，N两点，交直线于点P，点E为直线上不同于点A的任意一点.
（1）若，求b的取值范围；
（2）若，记直线，，的斜率分别为，，，问是否存在，，的某种排列，，（其中，使得，，成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由.
19．已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为，即；前n项的最小值记为，即，令（），并将数列称为的“生成数列”.
（1）若，求其生成数列的前n项和；
（2）设数列的“生成数列”为，求证：；
（3）若是等差数列，证明：存在正整数，当时，，，，…是等差数列.
参考答案
1．答案：D
解析：，，则.
故选：D.
2．答案：B
解析：由，得，
.
故选：B.
3．答案：A
解析：因为，，，
所以，解得.
故选：A.
4．答案：C
解析：在中，，，
所以.
故选：C.
5．答案：D
解析：设数列的公差为d，
由，，
得，解得，
所以.
故选：D.
6．答案：D
解析：设圆台上下底面的半径分别为，，由题意可知，解得，
，解得：，作出圆台的轴截面，如图所示：
图中，，，
过点D向作垂线，垂足为T，则，
所以圆台的高，
则上底面面积，，由圆台的体积计算公式可得：
，
故选：D.
7．答案：C
解析：由圆的方程，可知圆心，半径，
直线过定点，
因为，则定点在圆内，
则点和圆心连线的长度为，
当圆心到直线距离最大时，弦长最小，此时，
由圆的弦长公式可得，
故选：C.
8．答案：D
解析：因为为奇函数，则，
即，两边求导得，
则，可知关于直线对称，
又因为为奇函数，则，
即，可知关于点对称，
令，可得，即，
由可得，
由，可得，即，
可得，即，
令，可得；
令，可得；
且，可知8为的周期，
可知，，，
所以.
故选：D.
9．答案：AC
解析：设，则，
若，即，即，则z为实数，故A正确；
若，即，
化简可得，即，即，
当时，，，此时不一定满足，
当时，，，此时不一定满足，故B错误；
若，即，
所以，即z表示以为圆心，以1为半径的圆上的点，
且表示圆上的点到原点的距离，所以的最大值为2，故C正确；
若，即，
，即，
化简可得，则且，
此时z可能为实数也可能为纯虚数，故D错误；
故选：AC.
10．答案：AC
解析：函数的图象在y轴上的截距为，
所以，因为，所以.故A正确；
又因为是该函数的最小正零点，
所以，所以，
解得，所以，，
所以，故B错误；
当时，，故C正确；
将的图象向右平移个单位，得到，
是非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，故D错误.
故选：AC.
11．答案：AD
解析：易知，可设，设，，
与抛物线方程联立得，
则，，
对于A项，当直线l的斜率为1时，此时，
由抛物线定义可知，故A正确；
易知是直角三角形，若，
则，
又，所以为等边三角形，即，此时，故B错误；
由上可知，
即，故C错误；
若，
又知，，所以，
则，即直线l的倾斜角为，故D正确.
故选：AD.
12．答案：11
解析：由题意得小明同学第一题得6分；
第二题选了2个选项，可能得分情况有3种，分别是得0分、4分和6分；
第二题选了1个选项，可能得分情况有3种，分别是得0分、2分和3分；
由于相同总分只记录一次，因此小明的总分情况有：6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、15分共8种情况，
所以中位数为，
故答案为：11.
13．答案：
解析：由直三棱柱可知，平面，
又，所以，，两两垂直，
设直三棱柱外接球的半径为R，
通过构造长方体可知该三棱柱的外接球与以，，为边长的长方体外接球相同；
过作该直三棱柱外接球的截面，当为所截圆的直径时截面面积最小，
因为，
则所求截面面积最小值为.
故答案为：.
14．答案：；
解析：因为，由正弦定理得，
因为，，则有，
所以，得，即，故；
因，，故，可得，，
由，解得，得，
由余弦定理得，，所以，
由，当且仅当时等号成立，可得，
，即面积的最大值为.
故答案为：；.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由于的斜率为，所以，
又，故，解得.
（2）由（1）知，所以，
故当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故当时，取最小值，
要使恒成立，故，解得，
故b的取值范围为.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：连接交与点O，连接，可得平面与平面的交线为，
因为平面，平面，所以，
又因为O为的中点，所以点M为的中点，
取的中点E，连接，，可得且，
又因为N为的中点，可得且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，且平面，所以平面.
（2）取的中点S，连结，，
因为，可得，且，
又因为，且，
所以，所以，
又因为，且，平面，所以平面，
以S为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，，，，，
因为M为的中点，N为的中点，可得，，
则，，，，
设是平面的法向量，则，
取，可得，，所以，
设是平面的法向量，则，
取，可得，，所以；
设平面与平面的夹角为，则，
即平面与平面的夹角的余弦值为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可知这2人恰好来自不同年级的概率是.
（2）由题意可知，
所以，
显然时，，即单调递减；
时，，即单调递增；
则时，取得最大值，
由题意可知X的可能取值为3，2，1，0，
则，
，
，
，
则其分布列为：
所以.
18．答案：（1）
（2），，或，，成等差数列，证明见解析
解析：（1）设点，其中，且，
则，
由，得，
，，，，
只需，又，故,
所以b的取值范围是.
（2），，或，，成等差数列，证明如下：
若，则，设点，.
①若直线l斜率为0，则点，不妨令点，，
则，，此时，，的任意排列，，均不成等比数列，
，，或，，成等差数列.
②直线l斜率不为0，设直线，，，
则点，
由得，，
故，，
因为，，，
所以
，
所以，，或，，成等差数列，
综合上述，，，或，，成等差数列.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1）因为关于n单调递增，
所以，
，
于是，
的前n项和.
（2）由题意可知，，
所以，
因此，即是单调递增数列，且，
由“生成数列”的定义可得.
（3）若是等差数列，证明：存在正整数，当时，，，，…是等差数列.
当是一个常数列，则其公差d必等于0，，
则，因此是常数列，也即为等差数列；
当是一个非常数的等差数列，则其公差d必大于0，，
所以要么，要么，
又因为是由正整数组成的数列，所以不可能一直递减，
记，则当时，有，
于是当时，，
故当时，，…，
因此存在正整数，当时，，，，…是等差数列.
综上，命题得证.
X
0
1
2
3
P