人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.7 三角函数的应用同步练习题

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A.5x-π3,π3 B.5x-π3,4 C.5x-π3,-π3 D.4,π3
解析:C 相位是5x-π3,当x＝0时的相位为初相即-π3.
2.音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图①),各种音叉因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时,在一定时间内,音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝11 000sin ωt(ω＞0).图②是该函数在一个周期内的图象,根据图中数据可确定ω的值为( )
A.200 B.400 C.200π D.400π
解析:D 由图象可得,T＝4×1800＝1200,即2πω＝1200,则ω＝400π.
3.在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球,它们做上下自由振动.已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定:s1＝5sin（2t＋π6）,s2＝5cs（2t-π3）.则在时间t＝2π3时,s1与s2的大小关系是( )
A.s1＞s2 B.s1＜s2 C.s1＝s2 D.不能确定
解析:C 当t＝2π3时,s1＝5sin（2×2π3＋π6）＝-5,s2＝5cs（2×2π3-π3）＝-5,∴s1＝s2.
4.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针位置P(x,y).若初始位置为P0（32,12）,当秒针从P0(注:此时t＝0)开始走时,点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为( )
A.y＝sin（π30t＋π6）,t∈[0,＋∞)
B.y＝sin（-π60t-π6）,t∈[0,＋∞)
C.y＝sin（-π30t＋π6）,t∈[0,＋∞)
D.y＝sin（-π30t-π3）,t∈[0,＋∞)
解析:C 由题意可得函数的初相为π6,排除B、D,又T＝60且秒针按顺时针旋转,即T＝2π｜ω｜＝60,所以｜ω｜＝π30,即ω＝-π30.
5.在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源,假如不计其他因素,在t秒内,它们引发的水面波动分别由函数y1＝sin t,y2＝sint＋2π3和y3＝sin（t＋4π3）描述,如果两个振动波同时启动,则水面波动由两个函数的和表达,在某一时刻使这三个振动源同时开始工作,那么,原本平静的水面将呈现的状态是( )
A.仍保持平静 B.不断波动 C.周期性保持平静 D.周期性保持波动
解析:A 因为sin t＋sint＋2π3＋sint＋4π3＝sin t＋sin t·cs 2π3＋cs t·sin 2π3＋sin t·cs 4π3＋cs t·sin 4π3＝sin t-12sin t＋32cs t-12sin t-32cs t＝sin t-sin t＝0,即三个振动源同时开始工作时,水面仍保持平静,故选A.
6.(多选)如图所示是一质点做简谐运动的图象,则下列结论正确的是( )
A.该质点的运动周期为0.8 s
B.该质点的振幅为5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大
D.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
解析:ABD 由题图可知,T2＝0.7-0.3＝0.4,所以T＝0.8 s;最小值为-5,所以振幅为5 cm;在0.1 s和0.5 s时,质点到达运动的端点,所以速度为0.
7.某人的血压满足函数式f(t)＝24sin 160πt＋110,其中f(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),则此人每分钟心跳的次数为 .
解析:因为f(t)＝24sin 160πt＋110,所以T＝2πω＝2π160π＝180,f＝1T＝80,所以此人每分钟心跳的次数为80.
答案:80
8.一根长l cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cs（glt＋π3）,其中g是重力加速度,当小球摆动的周期是1 s时,线长l＝ cm.
解析:由已知得2πgl＝1,所以gl＝2π,gl＝4π2,l＝g4π2.
答案:g4π2
9.如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系.
若该港口的水深y(m)和时刻t(0≤t≤24)的关系可用函数y＝Asin ωt＋h(其中A＞0,ω＞0,h＞0)近似描述,则该港口在11:00的水深为 m.
解析:由题意得函数y＝Asin ωt＋h(其中A＞0,ω＞0,h＞0)的周期为T＝12,h＋A=7,h-A=3,解得A=2,h=5,∴ω＝2π12＝π6,∴y＝2sin π6t＋5,∴该港口在11:00的水深为y＝2sin 116π＋5＝4(m).
答案:4
10.平潭国际“花式风筝冲浪”集训队,在平潭龙凤头海滨浴场进行集训,海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(米)是随着一天的时间t(0≤t≤24,单位:小时)呈周期性变化,某天各时刻t的水深数据的近似值如下表:
(1)根据表中近似数据画出散点图.观察散点图,从①y＝Asin(ωt＋φ);②y＝Acs(ωt＋φ)＋b;③y＝-Asin ωt＋b(A＞0,ω＞0,-π＜φ＜0)中选择一个合适的函数模型,并求出该拟合模型的函数解析式;
(2)为保证队员安全,规定在一天中5~18时且水深不低于1.05米的时候进行训练,根据(1)中选择的函数解析式,试问:这一天可以安排什么时间段组织训练,才能确保集训队员的安全?
解:(1)根据表中近似数据画出散点图,如图所示.
依题意,选②y＝Acs(ωt＋φ)＋b作为函数模型,
∴A＝2.4-0.62＝910,b＝2.4+0.62＝32,T＝12,
∴ω＝2πT＝π6,
∴y＝910csπ6t＋φ＋32,
又∵函数图象过点(3,2.4),
即2.4＝910csπ6×3+φ＋32,
∴csπ2＋φ＝1,∴sin φ＝-1,
又∵-π＜φ＜0,∴φ＝-π2,
∴y＝910csπ6t-π2＋32＝910sin π6t＋32.
(2)由(1)知,y＝910sin π6t＋32,
令y≥1.05,即910sin π6t＋32≥1.05,
∴sin π6t≥-12,
∴2kπ-π6≤π6t≤2kπ＋7π6(k∈Z),
∴12k-1≤t≤12k＋7(k∈Z),
又∵5≤t≤18,
∴5≤t≤7或11≤t≤18,
∴这一天安排早上5点至7点以及11点至18点组织训练,才能确保集训队员的安全.
时刻t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
水深(m)
5.0
7.0
5.0
3.0
5.0
7.0
5.0
3.0
5.0
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
2.4
1.5
0.6
1.4
2.4
1.6
0.6
1.5