专题1-1相交线与平行线（考题猜想，说明两条直线平行的六种题型）（人教版）（原卷版+解析版）

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专题1-1相交线与平行线（考题猜想，说明两条直线平行的六种题型）题型1：利用平行线的定义进行说明平行线的定义及平面内两直线的位置关系的判定常以选择题的形式出现，且以纯文字形式给出,侧重考查对平行线的定义及平面内两直线的位置关系的掌握情况,这类题很容易忽视前提条件或由于表述相似而造成误判.【例题1】（23-24七年级下·陕西西安·期中）下列说法正确的有（    ）个①同位角相等；②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；③在同一平面内，如果，，则；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是钝角三角形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】本题考查了平行线的有关概念和公理，三角形的判断，根据平行线的定义和平行公理及推论判断即可，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：①两直线平行，同位角相等，故说法错误，不符合题意；②在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故说法错误，不符合题意；③在同一平面内，如果，，则；说法正确，符合题意；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法错误，不符合题意；⑤若一个三角形的三个内角度数的比为，这三个角分别是是锐角三角形，故说法错误，不符合题意；综上，符合题意有只有个，故选：A．【变式1】（22-23七年级下·山东聊城·期中）下列说法：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④同位角相等，两直线平行．正确的个数有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质以及平行公理等知识，正确把握相关定理是解题关键．分别根据平行线的判定以及平行线定义和平行公理分析得出即可．【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原命题正确；②过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，故原命题错误；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误；④同位角相等，两直线平行，故原命题正确．故选：B．【变式2】（23-24七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）下列说法正确的是（   ）A．不相交的两条直线是平行线B．在同一平面内，不相交的两条射线叫做平行线C．在同一平面内，两条直线不相交就重合D．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线【答案】D【分析】本题考查了两条直线的位置关系、平行线的意义，熟练掌握相交线与平行线是解题关键．根据两条直线的位置关系、平行线的定义逐项判断即可得．【详解】解：A、在同一平面内，两条直线不相交就平行，则此项错误，不符合题意；B、在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，则此项错误，不符合题意；C、在同一平面内，两条线段不相交，也有可能不重合，则此项错误，不符合题意；D、在同一平面内，没有公共点的两条直线相互平行，则此项正确，符合题意；故选：D．【变式3】（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）下列说法：（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（3）不相交的两条直线是平行线；（4）连接两点间的线段叫做两点间的距离，其中错误的个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本题主要考查了平行公理，垂线的定义，两点之间的距离的定义，两直线的位置关系等等，熟知相关知识是解题的关键．【详解】解；（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误；（2）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误；（3）同一平面内，不相交的两条直线是平行线，原说法错误；（4）连接两点间的线段的长度叫做两点间的距离，原说法错误；∴说法错误的有4个，故选：D．题型2：转化角度关系进行说明【例题2】（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，下列条件中：①；②；③；④；则一定能判定的条件有 （填写所有正确的序号）．【答案】①③④【分析】根据平行线的判定方法：同旁内角互补，两直线平行可得能判定；根据内错角相等，两直线平行可得能判定；根据同位角相等，两直线平行可得能判定．此题主要考查了平行线的判定，关键是熟练掌握平行线的判定定理．【详解】解：，；，；，；，，故答案为：．【变式1】（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，．(1)若是的角平分线，，求的度数；(2)若，求证：．【答案】(1)(2)见解析【分析】本题考查了角平分线，平行线的判定与性质．熟练掌握角平分线，平行线的判定与性质是解题的关键．（1）由题意知，，由，可得，然后作答即可．（2）由，可得，则，进而可证．【详解】（1）解：∵是的角平分线，，∴，又∵，∴．（2）证明：∵，∴，又∵，∴，∴．【变式2】（23-24七年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在台球运动中（每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等），如果母球P击中桌边点A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边点B，然后又反弹击中球C．(1)若，求的度数．(2)母球P经过的路线与一定平行吗？请说明理由．【答案】(1)(2)与一定平行，理由见解析【分析】本题考查了平行线的判定，平角的性质，正确掌握相关性质是解题的关键．（1）先得出，再根据平角定义，得，代入数值进行计算，即可作答．（2）与（1）同理，得，，再结合，进行角的等量代换，即可作答．【详解】（1）解：∵每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等，∴，，∵，∴．（2）解：与一定平行．理由：因为，，所以．同理可得．因为，所以，所以．【变式3】（22-23七年级下·陕西渭南·期中）【问题提出】如图，在三角形中，D是上一点交于点E，F是线段延长线上的一点，连接，且。(1)如图1，试说明；【问题探究】(2)如图2，连接，若：①求的度数；②点G是延长线上的一点，若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)①；②【分析】（1）根据可得，再由已知条件推出，即可证明；（2）①如图，过点作，可得，继而证明，可得，根据求解即可；②根据题意，则．根据，列一元一次方程解方程求解即可得，根据求解即可．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：①如图，过点作，∴．∵，∴，∴，∴．②∵，，∴． ∵，∴设，则．∵，∴，．∵，∴，解得，∴． ∵，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，根据平行线的性求角度，一元一次方程的应用，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．题型3：借助平行公理推论进行说明平行公理的推论没有“在同一平面内"这个限制条件,说明不在同一平面内，这个推论也成立.如图,三棱柱的三条侧棱 AD,BE,CF 就不在同一平面内，但它们互相平行。【例题3】（23-24七年级下·四川广元·阶段练习）下列命题中，真命题的个数是（    ）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②同位角相等；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④图形平移的方向一定是水平的；⑤若，，则．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】本题考查命题与定理，掌握平行线、垂线、平移等相关性质是解题的关键．根据平行线的判断和性质，平行公理，平移性质进行判断即可．【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误，是假命题；②两直线平行，同位角相等，故原说法错误，是假命题；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故原说法错误，是假命题；④图形可以向任何方向平移；故原说法错误，是假命题；⑤若，，则，正确，是真命题；综上分析可知，真命题有1个，故选：D．【变式1】（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）下列说法正确的是（    ）A．同位角相等B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行D．两直线平行，同旁内角有可能相等【答案】D【分析】本题考查了平行公理及推论，平行线的性质等．根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得答案．【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，原说法错误，本选项不合题意；B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误，本选项不合题意；C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，本选项不合题意；D、两直线平行，同旁内角有可能相等，说法正确，本选项符合题意．故选：D．【变式2】（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在直线外任取一点，过点画直线的平行线，可画出的平行线有（    ）  A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条【答案】B【分析】本题考查的是平行公理．根据“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”解答．【详解】解：过直线外一点画直线的平行线，只能画一条，故选：B．【变式3】（23-24七年级下·吉林白城·阶段练习）在同一平面内，如果，，则a c．【答案】/平行【分析】本题考查了平行公理及平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解决本题的关键．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行即可解答．【详解】解：，，，故答案为：．题型4：利用两直线平行的判定方法直接说明平行线的判定方法要记简称,理解原话.三种判定方法都有一个大前提:两条直线被第三条直线所截.如果没有这个大前提,就不会出现“三线八角”,也就谈不上利用它们判定两直线平行了.(2)除了上述的三个基本判定方法外,还有平行线的定义和平行公理的推论也可以判定两条直线平行.应用平行线的三种基本判定方法时，要弄清所给条件或通过推理得到的条件符合三种判定方法中的哪一种,防止步骤正确而依据标注错误,或误用判定方法,如误认为“同位角或内错角互补,两直线平行”或“同旁内角相等,两直线平行”.【例题4】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，下列条件中，不能判定的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，逐一进行判断即可．【详解】解：A、，内错角相等，两直线平行，可以得到，不能判定，符合题意；B、，内错角相等，两直线平行，能判定，不符合题意；C、，同旁内角互补，两直线平行，能判定，不符合题意；D、，内错角相等，两直线平行，能判定，不符合题意；故选A．【变式1】（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）如图，点在的延长线上，在下列四个条件中，能判定的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．根据平行线的判定定理对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、∵，∴，不能证明出，故本选项不符合题意，B、∵，∴，不能证明出，故本选项不符合题意，C、∵，∴，不能证明出，故本选项不符合题意，D、，，故本选项符合题意．故选：D．【变式2】（22-23七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，下列条件中，能判定的是（    ）  A． B．C． D．【答案】D【分析】此题考查了平行线的判定．利用平行线的判定方法判断即可得到结果．【详解】解：由，，，可推出；由，，可推出，观察四个选项，选项D符合题意，故选：D．【变式3】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知点E在上，平分，平分．(1)试说明：；(2)若，，则与平行吗？为什么？【答案】(1)见解析(2)，理由见解析【分析】本题考查有关角平分线的计算，垂直的判定及平行线的判定：（1）平分，平分得到，，结合得到（2）根据，，结合，得到，，即可得到答案；【详解】（1）解：∵平分，平分，∴，，∵，∴，∴；（2）解：，理由如下：由(1)得，，∵，，∴，，∴，，∴．题型5：利用平行线判定方法的推论进行说明【例题5】（21-22七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，下列能判定的条件有（    ）①；②；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，逐一进行判断即可．【详解】解：∵，∴；故①符合题意；∵，∴，不能判定；故②不符合题意；∵，∴；故③符合题意；∵，∴；故④符合题意；故选：C．【变式1】（23-24七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在中，，垂足为，点在上，，垂足为，．(1)试说明的理由；(2)如果∠，且，求的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（）由垂线的性质可得，即得到，进而得到，即可得到；（）利用直角三角形的性质得到，即可得，再根据平行线的性质即可得到的度数；本题考查了垂线的性质，平行线的性质和判定，直角三角形的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．【详解】（1）证明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【变式2】（22-23七年级下·四川成都·阶段练习）如图所示，直线，相交于点O，平分，平分，，垂足为H，与平行吗？说明理由．【答案】，理由见解析【分析】本题考查了角平分线，平行线的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由平分，平分，可得，，由可得，即，由可得．【详解】解：，理由如下：∵平分，平分，∴，，∵， ∴，即，∵ ，∴，∴∴．【变式3】（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）如图，在直线上有C，D两点，过点C作，过点D作，已知，求证：．【答案】见解析【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，先证明，根据同位角相等，两直线平行，说明即可．【详解】证明：，，又，，即，．题型6：添加辅助线转化角度进行说明【例题6】（22-23八年级上·浙江·开学考试）如图，直线MN分别与直线AB和CD交于点E，F，且满足∠1+∠2＝180°．(1)试判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由．(2)作∠AEF的平分线EG交CD于点G，过点G作GH⊥EG交MN于点H．若∠DGH＝40°，求∠1的度数．【答案】(1)，理由见解析(2)∠1＝80°【分析】（1）利用邻补角的定义及已知得出∠1＝∠CFE，即可判定；（2）由GH⊥EG，可得∠EGF＝50°，再由平行线的性质和角平分线的性质可得∠1的度数．【详解】（1）解：，理由如下：∵∠2+∠CFE＝180°，∠1+∠2＝180°，∴∠1＝∠CFE，∴；（2）∵GH⊥EG，∠DGH＝40°，∴∠EGF＝50°，∵，∴∠AEG＝∠EGF＝50°，∵EG平分∠AEF，∴∠AEF＝2∠AEG＝ 100°．∴∠1＝80°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质．熟记平行线的判定与性质及注意“数形结合”数学思想的运用是解题的基础．【变式1】（22-23七年级下·辽宁大连·阶段练习）已知：如图，直线，直线分别与交于两点，点是直线上一点，点是上一点，连接．(1)点分别在射线上，当时，①试判断与的位置关系，并说明理由；②若射线平分，求的度数．(2)点分别在射线，直线上时，请你在备用图中画出满足条件的图形，写出此时与的关系，并说明理由．【答案】(1)①，见解析；②(2)，见解析【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，角平分线的定义；（1）①根据平行线的性质可得，进而根据得出，即可得证；②根据图形可得，根据角平分线的定义，可得，根据即可求解；（2）根据题意画出图形，进而根据得出，；即．【详解】（1）解：①，理由如下：，，，，即，；②由已知，和，可知，射线平分，，．答：的度数是；（2）当在射线上时，如图：，，，，；，【变式2】（22-23七年级下·四川凉山·期末）直线交于M、N，P点是直线上一个动点  (1)如图a，P点在线段上时，若，试判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)如图b，P点在射线上时，若时，证明、与的关系．【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析【分析】（1）过点P作，得到，进而推出，得到，由此得到结论；（2）过点P作，得到，推出，由此得到结论．【详解】（1）解：，理由如下：过点P作  ∴∵∴∴∴∵∴；（2）证明：，理由如下：过点P作，  ∵∴∴∵∴．【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，正确掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式3】（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）如图，中，点E在边上，，，垂足分别是D、F，．(1)与平行吗？为什么？(2)若，，求的度数．【答案】(1)平行，理由见解析(2)【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．（1）先判断出，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得；（2）过点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质即可得．【详解】（1）解：与平行，理由如下：∵，，，，∵，，．（2）解：如图，过点作，∵，，，，由（1）已证：，，．∵，，，，由（1）已证：，，．