2024荆州中学高三下学期5月第四次适应性考试数学试卷含答案

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数学参考答案
12. 13.-8 14.
1.【详解】由周期公式得.故选：B
2.【详解】由题意得，，，，所以．故选：D．
3.【详解】由题意知，又且，故，即的取值范围为.故选D.
4.【详解】令，得，令，得，
两式相减，．
因为，
其中被3整除，所以被3除的余数为1，
从而能被3整除．故选D.
5.【详解】延长、交于点，取的中点，连接，
易知为等腰直角三角形，则，，
所以，，，，
故为等腰直角三角形，且，则，
因为、分别为、的中点，则，且，
所以，，故.故选：B.
6.【详解】由题意可知圆的圆心坐标为，半径为1.
因为直线与圆有公共点，所以直线与圆相切或相交，
所以圆心到直线的距离，解得.
其必要不充分条件是把的取值范围扩大，
所以选项中只有是的必要不充分条件.故选：A
7．【详解】解：用一元线性回归模型得到经验回归模型，根据对应的残差图，残差的均值不可能成立，且残差图中的点分布在一条拋物线形状的弯曲带状区域上，说明残差与坐标轴变量有二次关系，不满足一元线性回归模型，故选D.
8.【详解】依题意，的定义域是大于1的正整数集，A错误；
由，得在其定义域上不单调，
而，，则有最小值1，
由经过有限次角谷运算均无法得到1，记，得无最大值，B错误；
对任意正整数，，而，因此，C正确；
由，知不正确，D错误.故选：C
9.【详解】复数的实部为，虚部为，
复数在复平面内对应的点的坐标为，
对于A：若为纯虚数，则，解得，故A错误；
对于B：若为实数，则，解得，则，故B正确；
对于C：若在复平面内对应的点在直线上，
所以，解得或，故C错误；
对于D：令，即，不等式组无解，
所以在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D正确.
10.【详解】A选项，连接，由对称性可知，⊥平面，
且相交于点，为和的中点，
又，故四边形为菱形，故，
又平面，平面，
所以平面，A正确；
对于B，将△EBC和△FBC展开至同一平面，
由余弦定理得：，，B正确；
C选项，，其中到平面的距离为，
设菱形的面积为，则，，
若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值，C错误.
对于D，易得以O为球心，1为半径的球与各条棱均切于中点处，
故每个侧面的交线即侧面正三角形的内切圆，以2为边长的正三角形的高为，
可得内切圆半径，，D正确．故选ABD
11.【详解】由，
令，，有，可得,故A正确；
令，则，则，
，令，则，
所以，则，
，
所以，则周期为6，C正确．
由于为偶函数且周期为6，故，关于轴对称，B错误，
函数是偶函数且周期为6，，，故D正确.
12.【详解】因为双曲线C：经过点，
所以，渐近线方程为.
13.【详解】实数成等差数列，则，
成等比数列，则.
由于等比数列奇数项同号，所以，所以.则.故答案为.
14.【详解】由，得，即，由于，
所以，
所以，所以，
所以，
因为，所以，
因为满足条件的与存在且唯一，所以唯一，
所以，所以，经检验符合题意，所以，
则，解得，
所以.
15.【详解】（1），则，又，
所以曲线在点处的切线方程为；分
（2）因为，所以，要证明，只需要证明，即证，
令，则，分
当时，，此时在上单调递增；
当时，，此时在上单调递减，分
故在取极大值也是最大值，故，
所以恒成立，即原不等式成立，
所以函数的图象位于直线的下方；分
16.【详解】（1）过点P作PE∥AD交BD于点E，过点Q作QF∥AD交CD于点F，则PE∥QF，因为是的中点，是的中点，所以，因为，由平行线分线段成比例定理得：，所以PE=QF，所以四边形PEFQ为平行四边形，所以PQ∥EF，又平面BCD，平面BCD，所以平面；
分
（2）因为所以又所以
因为，所以,同理,又因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面
作交延长线于点则平面且
如图，以为轴，为轴，轴建立空间直角坐标系分
,
设面的一个法向量为
则所以分
设直线与平面所成角为
所以直线与平面取成线面角的正弦值为分
17.【详解】（1）的可能取值为2,3,4，
,,
所以的分布列如下表所示：
所以分
(2)因为这人的合计得分为分，则其中只有1人计划既参观三峡大坝又游览三峡人家，所以，，则
由两式相减得，
所以分
(3)在随机抽取的若干人的合计得分为分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为分或分，记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，与是对立事件．
因为，，所以，
即．
因为，则数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以
所以随着抽取人数的无限增加，趋近于常数分
18.【详解】（1）设垂线段中点坐标为，抛物线上点坐标为，代入抛物线方程，则，即分
（2）①如图，是上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点，
设，分
则抛物线上过点的切线方程为，
将切线方程与抛物线方程联立，得：
联立，消去，整理得，
所以，从而有，
所以抛物线上过点的切线方程为，分
同理可得抛物线上过点的切线方程分别为，
两两联立，可以求得交点的纵坐标分别为
，分
则，
同理可得，即，分
当时，，故，即，因此分
②易知，则直线的方程为，
化简得即
且，
点到直线的距离为
，
则三角形的面积．分
由（2）①知切线的方程为
可知，
点到直线的距离为
，
则外切三角形的面积．
故．因此三角形与外切三角形的面积之比为定值2．分
19.【详解】（1）均是周期数列，理由如下：
因为，
所以数列是周期数列，其周期为1.
因为，
所以.则，所以
所以数列是周期数列，其周期为分
（2）由（1）可知，是周期为的数列.
计算数列为：
故，分
当时，，故；
当时，，故；
当时，，故
当时，，故
当时，，故
当时，，故
综上所述：存在，且分
（3）解：假设存在非零常数，使得是周期为T的数列，
所以，即
所以，，即
所以，，即，
所以数列是周期为的周期数列，分
因为，即，
因为，
所以，，分
所以数列是周期为，
所以，即，显然方程无解，
所以，不存在非零常数，使得是周期数列分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
D
D
D
B
A
D
C
BD
ABD
ACD
2
3
4