湖北省宜昌市夷陵中学等校2023-2024学年高二下学期5月联合测评数学试题

这是一份湖北省宜昌市夷陵中学等校2023-2024学年高二下学期5月联合测评数学试题，共6页。
考试时间：分钟 满分：分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(共8题；共40分)
1. 设全集 ， 集合 ， ， 则（ ）
2. 已知为虚数单位，复数 ， 为的共轭复数，则（ ）
3. 在各项均为正数的等比数列中， ， ， 成等差数列，若 ， 则（ ）
4. 从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中也任取2个数字，能组成无重复数字的四位数的个数为（ ）
5. 已知 ， 分别为双曲线：的上、下两个焦点，点恰为抛物线：的焦点，记点为两曲线的一个公共点，且 ， 则双曲线的离心率为（ ）
6. 湖北武汉的黄鹤楼是中国古代四大名楼之一，因唐代诗人崔颢的《黄鹤楼》而名扬天下，小张同学打算利用镜面反射法测量黄鹤楼的高度.如图所示，小张将平面镜置于黄鹤楼前的水平地面上，他后退至从镜中正好能看到楼顶的位置，测量出人与镜子的距离.沿直线将镜子向后移距离 ， 再次从镜中观测楼顶，并测量出此时人与镜子的距离.若小张的眼睛距离地面的高度为 ， 则黄鹤楼的高度可表示为（ ）
7. 已知球与某圆台的上、下底面及侧面均相切，若球与圆台的表面积之比为 ， 则球与圆台的体积之比为（ ）
8. 正数 ， 满足“”的充要条件是（ ）
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.(共3题；共18分)
9. 某不透明的盒子里装有若干个形状、大小、材质完全相同的红色和黑色的小球，现从盒子里随机抽取小球，每次抽取一个，用随机变量表示事件“抽到的小球为红色”发生的次数，下列说法正确的有（ ）
10. 如图，在棱长为1的正方体中， ， 分别是 ， 的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
11. 已知函数与的定义域均为 ， ， ， 且 ， 为偶函数，则下列选项正确的是（ ）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.(共3题；共15分)
12. 的展开式中的常数项为____________________.（请用数字作答）
13. 已知直线： ， 点 ， ， 点在直线上的射影为 ， 则线段长度的取值范围为____________________.
14. 已知函数 ， 其中表示 ， 中的最大值，若函数有3个零点，则实数的取值范围是____________________.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(共5题；共77分)
15. 数列的前项和 ， 数列满足 ， .
（1） 求 ， ；
（2） 记 ， 求数列的前项和.
16. 如图，在三棱锥中， ， ， ， ， .
（1） 求证：平面；
（2） 求二面角的余弦值.
17. 每年6月中旬到7月中旬，长江中下游区域内会出现一段连续阴雨天气，俗称“梅雨期”.依据某地河流“梅雨期”的水文观测点的历史统计数据，所绘制的频率分布直方图如图甲所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图乙所示.
（1） 以频率作为概率，试求河流在“梅雨期”水位的第80百分位数并估计该地在今年“梅雨期”发生1级灾害的概率；
（2） 该地河流域某企业，在今年“梅雨期”，若没受1，2级灾害影响，利润为1000万元；若受1级灾害影响，则亏损200万元；若受2级灾害影响则亏损2000万元.
现此企业有如下三种应对方案：
试问，若仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？并说明理由.
18. 如图，已知椭圆的左、右顶点分别为 ， ， 其离心率为 ， 椭圆上的点到焦点的最短距离为1.过平面上一点作椭圆的切线 ， ， 当直线与的斜率都存在时，它们的斜率之积是 ， 当其中一条切线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率为0，记点的轨迹为曲线.直线 ， 分别交椭圆于点 ， .
（1） 求椭圆的标准方程；
（2） 求曲线的方程；
（3） 求面积的最大值.
19. 如图，对于曲线 ， 若存在圆满足如下条件：
①圆与曲线有公共点 ， 且圆心在曲线凹的一侧；
②圆与曲线在点处有相同的切线；
③曲线的导函数在处的导数（即曲线在点的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）；
则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径.
（1） 求抛物线在原点的曲率圆的方程；
（2） （i）求证：平面曲线在点的曲率半径为（其中表示的导函数）；
（ii）若圆为函数的一个曲率圆，求圆半径的最小值；
（3） 若曲线在 ， 处有相同的曲率半径，求证：. A .
B .
C .
D .
A .
B . 5
C .
D . 4
A . 14
B . 28
C . 42
D . 56
A . 240
B . 216
C . 180
D . 108
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A . 若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里不放回地抽取小球，则第一次抽到红色小球且第二次抽到黑色小球的概率为
B . 若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里有放回地抽取6次小球，则且
C . 若盒子里有个小球，其中红色小球有个，从盒子里不放回地随机抽取6个小球，且有红色球的数学期望为2，则盒子里黑色小球的个数是红色小球个数的2倍
D . 若 ， ， ， ， 则
A . 存在点 ， 使得
B . 平面时，截正方体的截面积为
C . 三棱锥的外接球的表面积为
D . 点到平面的距离最大值为
A . 函数的图象关于对称
B .
C .
D .
方案
防控等级
费用（单位：万元）
方案一
无措施
0
方案二
防控1级灾害
80
方案三
防控2级灾害
200