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重庆市荣昌中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题
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这是一份重庆市荣昌中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题，共5页。
考试时间：分钟 满分：分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域．）(共8题；共40分)
1. （2015新课标全国Ⅰ文科）已知点 ， 向量 ， 则向量
2. 按斜二测画法得到 ， 如图所示，其中 ， ， 那么的形状是（ ）
3. 已知 ， ， ， 则与的夹角为（ ）
4. 在中，若 ，则该三角形的形状一定是（ ）
5. 在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则异面直线与夹角的余弦值为（ ）
6. 如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（ ）
7. 如图，正方体的棱长为1，动点在线段上， ， 分别是 ， 的中点，则下列结论中错误的是
8. 在中， ， ， ， 为线段上的动点，且 ， 则的最小值为（ ）
二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）(共3题；共18分)
9. （多选）下列命题中的真命题是（ ）
10. 已知复数 ， 其中i为虚数单位，则下列结论正确的有（ ）
11. 在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫 ， 于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥（其中为顶点，为底面圆心），母线的长为 ， 是母线的靠近点的三等分点．从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，灯光带的最小长度为 ． 下面说法正确的是（ ）
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）(共3题；共15分)
12. 若一个球的体积为 ， 则它的表面积为____________________．
13. 平面向量 ， ， ， 且与的夹角等于与的夹角，则____________________．
14. 正三棱柱中，所有棱长均为2，点E ， F分别为棱 ， 的中点，则直线EF与直线BC所成角的余弦值为____________________；若过点A ， E ， F作一截面，则截面的周长为____________________.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(共5题；共77分)
15. 回答下列问题
（1） 已知复数是方程的根（是虚数单位，），求 ．
（2） 已知复数 ， 设复数 ， （是的共轭复数），且复数所对应的点在第三象限，求实数的取值范围．
16. 在中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ， D是AC边上的点，.
（1） 求的大小；
（2） 若 ， ， 求BC的长.
17. 如图：在正方体中 ， 为的中点.
（1） 求三棱锥体积；
（2） 求证：平面；
（3） 若为的中点，求证：平面平面.
18. 如图：某公园改建一个三角形池塘， ， （百米），（百米），现准备养一批观赏鱼供游客观赏．
（1） 若在 内部取一点P ， 建造APC连廊供游客观赏，如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且 ， 求连廊的长（单位为百米）；
（2） 若分别在AB ， BC ， CA上取点D ， E ， F ， 并建行连廊，使得 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏．如图②，当为正三角形时，求的面积的最小值．
19. 三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：.若 ， 则称为空间向量与的叉乘，其中 ， ， 为单位正交基底.以为坐标原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，已知是空间直角坐标系中异于的不同两点.
（1） ①若 ， 求；
②证明：.
（2） 记的面积为 ， 证明：；
（3） 问：的几何意义表示以为底面､为高的三棱锥体积的多少倍？ A .
B .
C .
D .
A . 等边三角形
B . 直角三角形
C . 腰和底边不相等的等腰三角形
D . 三边互不相等的三角形
A .
B .
C .
D .
A . 等腰三角形
B . 等腰直角三角形
C . 等腰三角形或直角三角形
D . 等边三角形
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B . 当E为中点时，BE⊥FM
C . 三棱锥的体积为定值
D . 存在点 ， 使得平面平面
A .
B .
C .
D .
A . 若直线不在平面内，则
B . 若直线上有无数个点不在平面内，则
C . 若 ， 则直线与平面内任何一条直线都没有公共点
D . 平行于同一平面两直线可以相交
A . 复数z的共轭复数的模为1
B . 复数z在复平面内对应的点在第四象限
C . 复数z是方程的解
D . 复数满足 ， 则的最大值为2
A . 圆锥的侧面积为
B . 过点的平面截此圆锥所得截面面积最大值为
C . 圆锥的外接球的表面积为
D . 棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动
考试时间：分钟 满分：分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域．）(共8题；共40分)
1. （2015新课标全国Ⅰ文科）已知点 ， 向量 ， 则向量
2. 按斜二测画法得到 ， 如图所示，其中 ， ， 那么的形状是（ ）
3. 已知 ， ， ， 则与的夹角为（ ）
4. 在中，若 ，则该三角形的形状一定是（ ）
5. 在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则异面直线与夹角的余弦值为（ ）
6. 如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（ ）
7. 如图，正方体的棱长为1，动点在线段上， ， 分别是 ， 的中点，则下列结论中错误的是
8. 在中， ， ， ， 为线段上的动点，且 ， 则的最小值为（ ）
二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）(共3题；共18分)
9. （多选）下列命题中的真命题是（ ）
10. 已知复数 ， 其中i为虚数单位，则下列结论正确的有（ ）
11. 在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫 ， 于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥（其中为顶点，为底面圆心），母线的长为 ， 是母线的靠近点的三等分点．从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，灯光带的最小长度为 ． 下面说法正确的是（ ）
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）(共3题；共15分)
12. 若一个球的体积为 ， 则它的表面积为____________________．
13. 平面向量 ， ， ， 且与的夹角等于与的夹角，则____________________．
14. 正三棱柱中，所有棱长均为2，点E ， F分别为棱 ， 的中点，则直线EF与直线BC所成角的余弦值为____________________；若过点A ， E ， F作一截面，则截面的周长为____________________.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(共5题；共77分)
15. 回答下列问题
（1） 已知复数是方程的根（是虚数单位，），求 ．
（2） 已知复数 ， 设复数 ， （是的共轭复数），且复数所对应的点在第三象限，求实数的取值范围．
16. 在中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ， D是AC边上的点，.
（1） 求的大小；
（2） 若 ， ， 求BC的长.
17. 如图：在正方体中 ， 为的中点.
（1） 求三棱锥体积；
（2） 求证：平面；
（3） 若为的中点，求证：平面平面.
18. 如图：某公园改建一个三角形池塘， ， （百米），（百米），现准备养一批观赏鱼供游客观赏．
（1） 若在 内部取一点P ， 建造APC连廊供游客观赏，如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且 ， 求连廊的长（单位为百米）；
（2） 若分别在AB ， BC ， CA上取点D ， E ， F ， 并建行连廊，使得 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏．如图②，当为正三角形时，求的面积的最小值．
19. 三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：.若 ， 则称为空间向量与的叉乘，其中 ， ， 为单位正交基底.以为坐标原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，已知是空间直角坐标系中异于的不同两点.
（1） ①若 ， 求；
②证明：.
（2） 记的面积为 ， 证明：；
（3） 问：的几何意义表示以为底面､为高的三棱锥体积的多少倍？ A .
B .
C .
D .
A . 等边三角形
B . 直角三角形
C . 腰和底边不相等的等腰三角形
D . 三边互不相等的三角形
A .
B .
C .
D .
A . 等腰三角形
B . 等腰直角三角形
C . 等腰三角形或直角三角形
D . 等边三角形
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B . 当E为中点时，BE⊥FM
C . 三棱锥的体积为定值
D . 存在点 ， 使得平面平面
A .
B .
C .
D .
A . 若直线不在平面内，则
B . 若直线上有无数个点不在平面内，则
C . 若 ， 则直线与平面内任何一条直线都没有公共点
D . 平行于同一平面两直线可以相交
A . 复数z的共轭复数的模为1
B . 复数z在复平面内对应的点在第四象限
C . 复数z是方程的解
D . 复数满足 ， 则的最大值为2
A . 圆锥的侧面积为
B . 过点的平面截此圆锥所得截面面积最大值为
C . 圆锥的外接球的表面积为
D . 棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动
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