山东省德州市第一中学2024届高三下学期三模数学试题（Word版附解析）

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这是一份山东省德州市第一中学2024届高三下学期三模数学试题（Word版附解析），共10页。试卷主要包含了已知复数z满足，已知双曲线，已知甲组数据为等内容，欢迎下载使用。

一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={x|x²-4≤0}, B={x|2x+a≤0}, 且A∩B={x|-2≤x≤1}, 则a=( )
A.-4 B.-2 C.2 D.4
2.已知复数z满足：z-i(2+z)=0, 则z= ( )
A. -1-i B. -1+i C. 1+i D. 1-i
3.已知向量ā=(3,4),b=(1,0),c=ā+tb,若((a,c)=(b,c),则实数t=( )
A. -6 B. -5 C. 5 D. 6
4. 设 a=lg49,b=lg25,c=31−lg34, 则a,b,c的大小关系为( )
A. b>a>c B. b>c>a C. a>b>c D. c>b>a
5.已知双曲线 :x2a2−y2b2=1a0,b>0),直线y=-2x是双曲线C的一条渐近线，则该双曲线的离心率为( )
A.54 B.53 c. 5 D. 5
6.若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( )
A. [-1,1]U[3,+∞). B. [-3,-1]U[0,1]
C.−10∪1+∞ D. [-1,0]∪[1,3]
7. 已知 3sinα+csα=−85, 则 cs2α+π3 的值为( )
A.−725 B. 725 C.−2425 D.2425
8.过抛物线 y²=2x上的一点P作圆(C: x−4²+y²=1的切线, 切点为A, B, 则|AB|·|PC|可能的取值是 ( )
A. 1 B. 4 c. 6 D. 5二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知 fx−Asinωx+lA0,ω>0,0<<π2)的部分图象如图所示，则( )
A. f(0)=1 B. f(x)在区间 4π311π6单调递减
c. f(x)在区间 π35π6的值域为 −13
D. f(x)在区间 π22π有3个极值点
10. 已知甲组数据为: 1, 1, 3,3, 5, 7, 9, 乙组数据为: 1, 3, 5, 7, 9,则下列说法正确的是( )
A.这两组数据的第80百分位数相等 B.这两组数据的极差相等
C.这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，仅仅乙组数据的均值不变
D.甲组数据比乙组数据分散
11.已知正方体 ABCD−A₁B₁C₁D₁的棱长为1，空间中一动点P满足 BP=λBC+μBBλμ∈R, M,N,Q分别为AA₁，AB，AD的中点，则下列选项正确的是( )
A. 存在点P, 使得A₁P∥平面MNQ
B. 设AC₁与平面MNQ交于点K,则 AKC1K=15
C. 若∠PAC=30°, 则点P的轨迹为抛物线
D.三棱锥P-QMN的外接球半径最小值为 5−74
三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在 2x2+1x)0的展开式中，x°的系数是 .
13. 在△ABC中, c=3,a+b=7,csC=23,则△ABC的面积为 .
14. 已知函数 fx=x³+ax²+bx+e恰有两个零点x₁，x₂和一个极大值点 x₁(x₁f(x₀)的解集为(5,+∞), 则f(x)的极大值为 .四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15(本题13分) 设Sₙ为数列{an}的前n项和, 已知 a₁=1,S₁=10,且 Sn为等差数列.
(1) 求{an}的通项公式: (2)若 bc=ann/1aea+2,n为任意常数,求{bₙ}的前2n项和T₂ₙ.
16.(本题15分)已知椭圆的焦点分别是 F130,F2−30,点M在椭圆上，且 |ME₁|+|MF₂|=4.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线 y=kx+2与椭圆交于A,B两点, 且OA⊥OB, 求实数k的值和△OAB的面积.
17(本题15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形, 点M为PC中点, ∠ABC=∠BAD=π2,BC=2AD=4,AB=AP=2,平面PAB⊥平面PBC.
(1) 证明: DM//平面PAB
(2) 求证:平面PAD⊥平面PAB;
(3)若 PD与平面PBC所成的角为30°，求平面PDC与平面ABD所成角的正弦值.
218.(本题17分)向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.以人工智能的应用为例，人工智能中的文生视频模型 Sra(以下简称Sra)，能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频.为调查 Sra 的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了120名视频从业人员进行调查，结果如下表所示.
(1)根据所给数据完成右表，依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为Sra 的应用与视频从业人员的减少有关?Sra的应用情况
视频从业人员
合计
减少
未减少
应用
70

75
没有应用

15

合计
100

120
(2)某公司视频部现有员工100人，公司拟开展 Sra培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为 23,12,13,每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sra.
(i)求员工经过培训能应用Sra的概率.
(ii)已知开展Sra培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展Sra培训后，能应用Sra的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；Sra培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后开展Sra 培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门?附: χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d, 其中n=a+b+c+d.
19.(本题17分)设函数 fx=bc²+acsx,a₁b∈R.曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x+2.
(1)求a, b的值; (2)求证:方程f(x)=2仅有一个实根;
(3) 对任意x∈(0,+∞), 有f(x)>ksinx+2, 求正数k的取值范围.α
0.010
0.005
0.001
x。
6.635
7.879
10.828
数学答案
一、选择题: BACAD DAD 二.多选题: 9 AD 10 BC 11. ABD
三. 填空题: 12. 160 13. 2 5 14. 4, 4.
四、解答题：本题共5 小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (1) 设等差数列 Snn的公差为d，因为( a₁=S₁=1,所以 S44−S11=3d,即 104−1=3d,d=12,所以 Snn=1+12n−1,即 Sn=nn+l2, .3
当n≥2时, an=Sn−Sn−1=nn+12−nn−12=n, .5
当n=1时, a₁=1,满足上式，所以 aₙ=n .6
(2) 由(1) 知 bn=n,n≥nn+2,为偶数，奇数，
则 T2n=b1+b3+b5+⋯+b2n−1+b2+b4+b6+⋯+b2a
奇数项和： b1+b3+b5+⋯+b2n−1=1+3+⋯+2n−1=n1+2n−12=n .8
偶数项 b2+b4+b6+⋯+b2n=12×4+14×6+16×8+⋯+12n×2n+2
=1212−14+14−16+⋯+12n−12n+2=14−14n+4=n2+14−14n+4.
所以数列{bn}的前2n项和为 T2n=n2+14−14n+4
16.(1)设椭圆的标准方程为 x2a2+y2b2=1ab>0).由题意可知 c=32a=4a2=b2+c2,解得 a=2,b=1,c=3,所以椭圆的标准方程为 x24+y2=1,45
3
6
3
(2) 设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂), 联立方程 y=kx+2x24+y2=1,
消去y，得 1+4k2x2+82kx+4=0, .6
Δ=128k²−164k²+1=64k²−16>0,则 k>149 k<−14 7
则 x1+x2=−82k1+4k2,x1x2=41+4k2,
从而 y1y2=kx1+2kx2+2=k2x1x2+2kx1+x2+2=2−4k21+4k2, .9
因为 OA⟂OB,OA⋅OB=0,即 x₁x₂+y₁y₂=0, .10
所以 41+4k2+2−4k21+4k2=6−4k21+4k2=0,
解得 k=62或 −62,
经验证知△>0，所以k的值为 62或 −62 .12
若 k=62,则AB方程 6x−2y+22=0, 原点O到直线AB 的距离 d=2210=25
x1+x2=−837,x1x2=47
所以 SxOAB=12AB⋅d=12×1027×25=2107 14
若 k=−62,由对称性可知 SN2|=2107
所以三角形OAB的面积为 2107 1517. (1) 取 PB中点N, 连结MN, AN
因为点M、N 分别为PC和PB 的中点,所以MN∥AD且 MN=12BC1
又底面ABCD是直角梯形，且 ∠ABC=∠BAD=π2,∴BCAD
且AD=2,BC=4,则 AD=12BC
所以MN∥AD,MN=AD, 即四边形ADMN 是平行四边形.. .3
所以DM ∥AN
因为DM⊄平面PAB,AN⊂平面PAB ,所以DM∥平面PAB.. 4
(2) 证明: 取PB的中点N, 连接AM, ∵AB=AP,∴AN⊥PB,
又平面PAB⊥平面PBC, 平面PAB∩平面PBC=PB, AN⊂PAB平面,
故AN⊥平面PBC, 而BC⊂平面PBC, 故AN⊥BC, .6
又底面ABCD是直角梯形，且 ∠ABC=∠BAD=π2,∴BCAD,则AN⊥AD,
而AD⊥AB,AN∩AB=A,AN,AB⊂平面PAB, 故AD⊥平面PAB,
AD⊂平面PAD, 故平面PAD⊥平面PAB; 8
(3)由(1)(2) 可知DM∥AN, AN⊥平面PBC, 所以DM⊥平面PBC则∠DPC为PD与平面PBC所成的角, 即∠DPC=30°,由于AD⊥平面PAB, AP⊂平面PAB, 故AD⊥AP, AD=2,AB=AP=2,故 PD=AD2+AP2=6,在Rt△PDM 中, PM=PD⋅cs30=6×32=322,则 PC=2PM=32,
在Rt△PBC中, PB=PC2−BC2−2,∴APAB为等边三角形， .10
取AB中点O, CD的中点为Q, 连接OP,OQ, 则OP⊥AB,OQ⊥AB,
以点O为坐标原点，OA，OQ，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则 p0062,C−2240,D2220,CD=2−20,PC=−224−62,
设平面PDC的一个法向量为 n₁=x₁y₁z₁, 则
L 2x1−2y1=0−22xi+4yi−62z1=0,取y₁=1,则 n1=216,13
平面ABD的一个法向量为 n₂=0.01, 14
则 csn1n=n1⋅n2|n||n2=63,故平面PDC与平面ABD所成角的正弦值为 1−632=33⋯⋯⋯.15
18.【详解】(1) 依题意, 2×2列联表如下:
2
零假设H₀：Sra 的应用与视频从业人员的减少无关，
由列联表中数据得， χ2=120×70×15−30×52100×20×75×45=725=14.4>10.828=x000, 5
根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H₀不成立，即认为Sra的应用与视频从业人员的减少有关，此推断犯错误的概率不大于 0.001. 6
2Sra 的应用的情况
视频从业人员
合计
减少
未减少
应用
70
5
75
没有应用
30
15
45
合计
100
20
120
(2)(i) 设4₁="员工第i轮获得优秀"(i=1,2,3), 且A₁相互独立.
设B=“员工经过培训能应用Sra”，则 PB=PAA2A3+P4A2A3+HAA2A3+HA+4
=23×12×13+13×12×13+23×12×13+23×12×23=12,
故员工经过培训能应用Sra的概率是¹/₂. 10
(ii) 设视频部调x人至其他部门，x∈N，X为培训后视频部能应用Sra的人数，
则 X∼B100−x12, 因此 EX=100−x2, 13
调整后视频部的年利润为 100−x2×10+1−12100−x×6−100−x=700−7(万元), .15
令700-7x≥100×6, 解得 x≤1007≈143,又x∈N,所以. x=14.
因此，视频部最多可以调14人到其他部门. 17
19.(1) 解: 因为 fx=be²+acsx,所以. f0=bx⁰+a=a+b,又点(0,f(0))在切线y=x+2上, 所以f(0)=2, 所以a+b=2,又 f'x=bc²−asinx, 即f'(0)=b=1, 所以a=b=1.. 4
(3) 证明: 欲证方程f(x)=2仅有一个实根, 只需证明e'+csx-2=( c⁴+csx−2=0仅有一个零点，令 gx=e²+csx−2, 且 g0=e⁰+cs0−2=0 .5则 g'x=e⁴−sinx,
讨论: 当x>0时, e²>1且sin<1, 即: g'x=e²−sinx>0
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,g(x)>g(0)=0,即此时无零点;………………………7当x=0时, g(0)=0, 即此时有一个零点:
当x<0时, gx=eˣ+csx−2 所以, 当x<0时, g(x)<0, 即此时无零点.. ..9综上可得， gx=c²+csx−2仅有一个零点，得证.
(3)当x∈(0,+∞)时, c²+csx>ksinx+2,即 c³+csx−ksinx−2>0恒成立，
令 Fx=c⁴+csx−ksinx−2,
则 F'x=e²−sinx−kcsx,
由(Ⅱ) 可知, x∈(0,+∞)时( c²−sinx>1,所以 F'x=c³−sinx−kcsx>1−kcsx,,…11
讨论: 当0即1-k≤1-kcsx≤1+k, 所以 f'x>1−kcsx≥l−k≥0, 即当00,
所以 Fx=e²+csx−ksinx=2在x∈(0,+∞)时单调递增,
所以F(x)>F(0)=0恒成立, 即满足条件( c⁴+csx−ksinx−2>0,………14
当k>1时, 由 F'x=e²−sinx−kcsx可知 F'0=1−k<0,
又 F'π=c²+k>0,所以存在 x₀∈0π,使得 F'x₀=0,
所以, 当x∈(0,x₀)时, F'(x)<0, F(x)单调递减,
当 x∈x₀+∞时, F'(x)>0, F(x)单调递增,
所以 Fx₁0恒成立,………………………………………16………………………………… 17综上可知，正数k的取值范围是0