广东省高州市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份广东省高州市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（Word版附解析），共10页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，已知复数满足，则等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5．本卷主要考查内容：必修第二册第六章～第八章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（ ）
A．B．C．D．
2．如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，那么（ ）
A．B．C．D．
3．如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．已知水平放置的的直观图如图所示，，，则边上的中线的实际长度为（ ）
A．4B．C．D．5
5．如图，有一古塔，在点测得塔底位于北偏东方向上的点处，在点测得塔顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得塔底位于西偏北方向上（在同一水平面），则塔的高度约为（ ）
A．B．C．D．
6．若圆台的高是，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面所成角的大小为，则这个圆台的侧面积是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，点在所在平面外，点是点在平面上的射影，且点在的内部．若，，两两垂直，那么点是的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
8．已知是边长为4的等边三角形，为圆的直径，若点为圆上一动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数满足，则（ ）
A．的实部是3B．C．D．
10．在下列情况的三角形中，有两个解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
11．《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”．如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”．在鳖臑中，，，其外接球的表面积为，当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是（ ）
A．
B．此鳖臑的体积的最大值为
C．直线与平面所成角的余弦值为
D．三棱锥的内切球的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在复平面内，复数对应的点为，则________．
13．已知向量，满足，，，则，的夹角的大小为________．
14．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，若为的面积，则的最大值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分13分）
设是实数，复数，（i是虚数单位）．
（1）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围；
（2）求的最小值．
16．（本小题满分15分）
在中，角，，的对边分别为，，，且的面积为．
（1）求角的大小；
（2）若是的一条中线，求线段的长．
17．（本小题满分15分）
如图（1），在直角梯形中，，，，是的中点，，分别为，的中点，将沿折起得到四棱锥，如图（2）．
（1）在图（2）中，求证：；
（2）在图（2）中，为线段上任意一点，若平面，请确定点的位置．
图（1）图（2）
18．（本小题满分17分）
已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）当时，求的取值范围．
19．（本小题满分17分）
如图，在三棱柱中，侧面为矩形．
（1）设为中点，点在线段上，且，求证：平面；
（2）若二面角的大小为，且，求直线和平面所成角的正弦值．
2024年高一第二学期期中测试卷·数学参考答案、提示及评分细则
1．B ．故选B．
2．A 如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为，，所以．故选A．
3．C 根据平面基底的定义知，向量，为不共线非零向量，即不存在实数，使得，
对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基底；
对于B中，向量和，假设存在实数，使得，可得此时方程组无解，所以和可以作为基底；
对于C中，向量和，假设存在实数，使得，可得解得，所以和不可以作为基底；
对于D中，向量和，假设存在实数，使得，可得此时方程组无解，所以和可以作为基底．故选C．
4．D 的实际图形应是直角三角形，两条直角边长分别是8和6，斜边上的中线长度为5．故选D．
5．B 如图，根据题意，平面，，，，．
在中，因为，所以，
解得．在中，．故选B．
6．A 由题意，可作该圆台的轴截面，如图所示：
则圆台的高，
上底面半径，下底面半径，即，
母线，即，
在中，，，，
易知在正方形中，，则，即，
综上，，，，，圆台的侧面积．故选A．
7．C 连接，，，
，，、平面，，平面，
平面，．
由题意，平面，平面，，
又，平面，平面，
平面，，
同理可证，，点是的垂心．故选C．
8．D 如图所示，
，
由图象可知，与夹角的范围为，
所以，
所以，．故选D．
9．ABC ，据此可判断：
A项，的实部为3，故A项正确；
B项，，故，故B项正确；
C项，，故C项正确；
D项，，故D项错误，故选ABC．
10．AD 对于A，，，所以有两解，故正确；
对于B，，所以有一解，故B错误；
对于C，，，，．只有一解，故C错误；
对于D，，，有两解，故D正确．故选AD．
11．BC 由题可知，的中点即为的外接球的球心，设外接球的半径为，则，得，因为，所以，鳖臑的体积，当且仅当时，，故A项错误，B项正确；
因为三棱柱为直三棱柱，故平面，所以直线与平面所成的角即为，；故C项正确；
设鳖臑的内切球半径为，
由等体积法，
得，所以，故D项错误．故选BC．
12． 因为复数对应的点为，所以，所以，则．
13． ，，，，，
，，．
14． 由题设及正弦定理边角关系得，
即，而，故，
又，则，故，
而，
所以，当且仅当时等号成立，故的最大值为．
15．解：（1），
则解得；
（2），则，，
，
当时，的最小值为．
16．解：（1）因为，又，
所以，
所以，又，所以；
（2）因为为的中点，所以，
所以，
所以．
17．（1）证明：在中，，分别是，的中点，，
，，，平面，
平面，平面，
平面，；
（2）解：为的中点，为的中点，
，又，，
平面，平面，
平面，
平面，，平面，，
平面平面，
平面，平面，
平面平面，，
，为的中点．
18．解：（1）由正弦定理及余弦定理，化简，可得，
，为锐角，；
（2）由正弦定理，得，
，，
，
由可得，，
．．
19．（1）证明：连接交于，连接，
因为侧面为矩形，
所以，又为中点，所以，
又因为，所以．
所以，又平面平面，所以平面；
（2）解：在平面中，过点作射线，
因为底面为矩形，所以，
所以为二面角的平面角，且．
又，所以平面，
在平面中，过点作，垂足为，
因为平面平面，所以，
又平面平面，所以平面，
于是为点到平面的距离，且，
设直线和平面所成的角为，
则，
所以直线和平面所成角的正弦值是．