2024年江西省九江市瑞昌市中考数学模拟试卷（含解析）

这是一份2024年江西省九江市瑞昌市中考数学模拟试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−2024的倒数是( )
A. −2024B. 2024C. −12024D. 12024
2.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史.下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.若分式xx−1有意义，则x的取值范围是( )
A. x=0B. x≠0C. x≠1D. x≠0且x≠1
4.计算(−8xy3)⋅14xy2的结果是( )
A. 2x2y5B. −2x2y5C. −2x2y6D. 2x2y6
5.一定滑轮的起重装置如图，滑轮半径为6cm，当重物上升4π cm时，滑轮的一条半径OA按逆时针方向旋转的度数为(假设绳索与滑轮之间没有滑动)( )
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
6.如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA−PE=y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.如果体重减少3kg记作−3kg，那么体重增加5kg，应记作______kg．
8.在百度中搜索“龘龘”，能搜到与之相关的结果个数约为226000，这个数用科学记数法表示为______．
9.《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.甲、乙各走了多少步？”若设甲乙两人相遇的时间为t，则可列方程是______．
10.如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P.若∠ABE=150°，∠CDF=160°，则∠EPF的度数是______．
11.大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”.如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为8cm，那么PB的长度是______cm．
12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=2 3，∠ABC=60°，E为BC的中点，F为线段OD上一动点，当△AEF为等腰三角形时，DF的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
13.解不等式组2x≥5x−34x+23>x，并写出它的所有整数解．
四、解答题：本题共11小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题3分)
计算：−(−1)2− 2sin45°+(π−2024)0．
15.(本小题3分)
如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E、D分别是BC、AC上的点，且∠AED=45°，求证：△ABE∽△ECD．
16.(本小题6分)
先化简(2x−2−2xx2−4)÷2x−4x2−4x+4，再从−2，0，2中选择一个合适的值代入求值．
17.(本小题6分)
甲、乙两名教师积极参加某社区的志愿服务活动.根据社区工作的实际需要，志愿者被随机分配到环保志愿服务队、治安志愿服务队、敬老扶弱志愿服务队、科普宣传志愿服务队．
(1)甲被分配到环保志愿服务队的概率为______；
(2)请用画树状图或列表的方法，求出甲、乙两名教师被分配到同一支志愿服务队的概率．
18.(本小题6分)
图1、图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点都在格点上.请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．

(1)在图1中画出两个以AB为斜边的Rt△ABC和Rt△ABC′，且点C，C′均在格点上；
(2)在图2中画出一个以AB为对角线的菱形ADBE，且D，E均在格点上．
19.(本小题8分)
为了解九年级甲、乙两个班级学生寒假期间每天体育锻炼的情况，体育老师从九年级甲、乙两班各随机抽取30名学生进行了“寒假期间平均每日体育锻炼时长(单位：分)”的调查，并对收集到的数据进行了整理、描述和分析.下面给出部分信息：
a.甲班学生平均每日体育锻炼时长条形统计图．

(平均每日体育锻炼时长用x表示，共分为四个组别：A.x<30；B.30≤x<40；C.40≤x<50；D.x≥50)
b.甲班抽取的30名学生的平均每日体育锻炼时长在C组中的全部数据：
40，40，40，45，45，45，45，48，48，48，48，48．
乙班抽取的30名学生的平均每日体育锻炼时长在A，C两个组的全部数据：
25，28，28，40，40，40，42，42，43，43，44，45，45，45，45，45，45，45．
c.甲、乙两班抽取的学生的平均每日体育锻炼时长的统计量如下．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：a= ______，m= ______，并补全条形统计图；(2)若该校九年级共有600名学生，请你估计寒假期间平均每日体育锻炼时长低于40分钟的学生人数；
(3)根据以上信息，请你对甲、乙两班寒假期间的体育锻炼情况作出评价，并说明理由．
20.(本小题8分)
为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为BC，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°．

(1)求点A到墙面BC的距离；
(2)当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，量得影长CD为1.8米，求遮阳篷靠墙端离地高BC的长.(结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cs16°≈0.96，tan16°≈0.29)
21.(本小题8分)
如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx(k>0)的图象相交于点A(6,−3−2n)，点B(n,−3)，与y轴交于点C．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)点D是点C关于x轴的对称点，连接AD、BD，求△ABD的面积．
22.(本小题9分)
如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE交BE的延长线于点D，连接CE．
(1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若CD= 3,BC=2 3，求AC的长(结果保留π)．
23.(本小题9分)
根据以下材料，探究完成任务：
问题解决．
24.(本小题12分)
【课本再现】
(1)如图1，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上一点，且AC=EC，则∠DAE的度数为______．
【变式探究】
(2)如图2，将(1)中的△ABE沿AE折叠，得到△AB′E，延长CD交B′E于点F，若AB=2，求B′F的长．
【延伸拓展】
(3)如图3，当(2)中的点E在射线BC上运动时，连接B′B，B′B与AE交于点P.探究：当EC的长为多少时，D，P两点间的距离最短？请求出最短距离．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵−2024=−12024，
故选：C．
根据题意利用倒数定义即可得出本题答案．
本题考查倒数定义，解题的关键是掌握倒数的定义．
2.【答案】A
【解析】解：B，C，D选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：A．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】C
【解析】解：由题意，得
x−1≠0，
解得x≠1，
故选：C．
先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：(−8xy3)⋅(14xy2)
=(−8×14)⋅(x⋅x)⋅(y3⋅y2)
=−2x2y5，
故选：B．
根据单项式乘单项式的运算法则计算即可．
本题考查的是单项式乘单项式，单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
5.【答案】D
【解析】解：设定滑轮逆时针旋转的角度是n°，
由旋转的性质得：重物上升的高度就是点A运动的圆弧长，
∴nπ×6180=4π，
解得：n=120，
故选：D．
重物上升的高度就是点A运动的圆弧长，运用圆弧长公式即可解决问题．
本题考查了旋转的性质、弧长的计算，由旋转的性质得出重物上升的高度为点A运动的圆弧长是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：由函数图象知：当x=0，即P在B点时，BA−BE=1．
利用两点之间线段最短，得到PA−PE≤AE．
∴y的最大值为AE，
∴AE=5．
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2=AE2=25，
设BE的长度为t，
则AB=t+1，
∴(t+1)2+t2=25，
即t2+t−12=0，
∴(t−3)(t+4)=0，
解得t=3或t=−4，
由于t>0，
∴t=3．
∴BE=3，
∵点E为BC的中点，
∴BC=6．
故选：A．
当x=0，即P在B点时，BA−BE=1；利用两点之间线段最短，得到PA−PE≤AE，得y的最大值为AE=5；在Rt△ABE中，由勾股定理求出BE的长，再根据BC=2BE求出BC的长．
本题考查了动点问题的函数图象，根据勾股定理求出BE的长是解题的关键．
7.【答案】+5
【解析】解：如果体重减少3kg记作−3kg，那么体重增加5kg，应记作+5kg，
故答案为：+5．
负数是表示两个具有相反意义的量，如果体重减少用负数表示，那么体重增加就用正数表示，据此求解即可．
本题主要考查了正负数的实际应用，属于基础题．
8.【答案】2.26×105
【解析】解：226000=2.26×105．
故答案为：2.26×105．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
9.【答案】102+(3t)2=(7t−10)2
【解析】解：依照题意，画出图形，如图所示．
根据题意得：102+(3t)2=(7t−10)2．
故答案为：102+(3t)2=(7t−10)2．
依照题意，画出图形，利用勾股定理，即可列出关于t的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10.【答案】50°
【解析】解：∵∠ABE=150°，
∴∠ABP=30°，
∵∠CDF=160°，
∴∠CDP=20°，
∵AB//MN//CD，
∴∠BPN=∠ABP=30°，∠NPD=∠CDP=20°，
∴∠EPF=∠EPN+∠NPF=50°．
由平角得∠ABP=30°，∠CDP=20°，由平行线性质得∠BPN=∠ABP=30°，∠NPD=∠CDP=20°，故∠EPF=∠EPN+∠NPF=50°．
本题考查了平行线的性质，会利用平行线性质是解题关键．
11.【答案】(12−4 5)
【解析】解：∵P为AB的黄金分割点(AP>PB)，设AP=x，
∴x2=8(8−x)，
解得：x1=4 5−4，x2=−4 5−4(不符合题意舍去)，
∴BP=8−4 5+4=12−4 5，
故答案为：(12−4 5).
根据黄金分割比例直接求解即可得到答案．
本题主要考查黄金分割，解题的关键是熟练掌握黄金分割点的比例关系较长线段的平方等于较短边乘以整条线段．
12.【答案】3或3− 6或92− 332
【解析】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠ADC=60°，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，
∴△ABC，△ADC都是等边三角形，
∵BE=EC= 3，
∴AE⊥CB，
∴OE=OA=OC，AE= 3BE=3，
∴当点F1与O重合时．△AEF1是等腰三角形，此时DF=OB=AE=3．
当AE=AF2=3时，
∴OF2= AF22−OA2= 32−( 3)2= 6，
∴DF2=OD−OF2=3− 6．
当AE=EF3=3时，过点E作EJ⊥OB于点J．
∵BE= 3，∠EBJ=30°，
∴EJ=12BE= 32，
∴BJ= 3EJ=32，
∴OJ=3−32=32，
∵JF3= EF32−EJ2= 32−( 32)2= 332，
∴OF3= 332−32，
∴DF3=3−( 332−32)=92− 332．
综上所述，DF的长为3或3− 6或92− 332．
分三种情形：AF=EF，AE=AF，AE=EF，画出图形分别求解即可．
本题考查菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
13.【答案】解：2x≥5x−3①4x+23>x②
由①得：x≤1；
由②得：x>−2；
∴−2∴该不等式组所有的整数解为：−1，0，1．
【解析】本题考查解不等式组及求不等式组的整数解，解题的关键是掌握解不等式组的一般方法．先解出各不等式，再找出其公共解集，得到x的范围，最后在求出的x范围内取整数即可．
14.【答案】解：原式=−1− 2× 22+1
=−1−1+1
=−1．
【解析】利用有理数的乘方法则，特殊锐角三角函数值，零指数幂计算即可．
本题考查实数的运算，熟练相关运算法则是解题的关键．
15.【答案】证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠AEC=∠B+∠BAE，
即∠AED+∠CED=∠B+∠BAE，
∵∠AED=45°，
∴∠BAE=∠CED，
∴△ABE∽△ECD．
【解析】由∠BAC=90°，AB=AC得到∠B=∠C=45°，再根据三角形外角性质得∠AED+∠CED=∠B+∠BAE，加上∠AED=45°，则∠BAE=∠CED，于是可根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到结论．
本题考查了三角形相似的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．
16.【答案】解：(2x−2−2xx2−4)÷2x−4x2−4x+4
=2(x+2)−2x(x+2)(x−2)÷2(x−2)(x−2)2
=2(x+2)−2x(x+2)(x−2)⋅(x−2)22(x−2)
=2x+2，
∵x≠2，−2，
∴x=0，
∴原式=20+2=22=1．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可．
本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
17.【答案】14
【解析】解：(1)甲被分配到环保志愿服务队的概率为：14，
故答案为：14；
(2)用A，B，C，D表示环保志愿服务队、治安志愿服务队、敬老扶弱志愿服务队、科普宣传志愿服务队，画树状图如下：
共有16种等可能出现的结果，其中甲、乙两名教师被分配到同一支志愿服务队的结果有4种，
则甲、乙两名教师被分配到同一支志愿服务队的概率是416=14．
(1)直接利用概率公式计算即可；
(2)通过画树状图求得所有情况数，再从中选出甲、乙两名教师被分配到同一支志愿服务队有多少种情况，最后根据概率公式求解即可．
本题考查利用树状图法求概率，通过画树状图法求得所有的情况数和满足条件的情况数是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图1，A点向右2个格点为C，连接AC、BC，B点向左2个格点为C′，连接AC′、BC′，

∴∠ACB=60°+30°=90°，∠AC′B=60°+30°=90°，
∴Rt△ABC，Rt△ABC′，即为所作；
(2)如图2，A点向右2个格点，向上1个格点为E，连接AE、BE，B点向左2个格点，向下 1个格点为D，连接AD、BD，
∴AB=AE=BE=AD=BD，即四边形ADBE是以AB为对角线的菱形ADBE，
∴菱形ADBE即为所求．
【解析】(1)如图1，A点向右2个格点为C，连接AC、BC，B点向左2个格点为C′，连接AC′、BC′，则∠ACB=90°，∠AC′B=90°，进而可得Rt△ABC，Rt△ABC′，即为所作；
(2)如图2，A点向右3个格点，向上1个格点为E，连接AE、BE，B点向左3个格点，向下 1个格点为D，连接AD、BD，此时AB=AE=BE=AD=BD，进而可得四边形ADBE即为菱形ADBE．
本题考查了等边三角形的性质，菱形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，菱形的性质是解题的关键．
19.【答案】45 20
【解析】解：(1)甲班A组有3人，B组有6人，C组有12人，所以D组有30−3−6−12=9(人)，甲班数据最中间的两个数在C组，且都是45，所以中位数是a=45+452=45；
乙班级最中间的两个数都是43，可知B，D组都有6个数据，则630=20%，
所以m=20．
故答案为：45，20；
补全的条形统计图如解图所示．
(2)甲班A，B两组有9人，乙班A，B两组也有9人，
∴600×9+930+30=180(名)．
答：估计寒假期间平均每日体育锻炼时长低于40分钟的学生为180名．
(3)甲班学生寒假期间体育锻炼情况较好．
理由：甲班抽取的学生寒假期间平均每日体育锻炼时长的平均数、中位数、众数、优秀率均大于乙班．
(1)先求出甲班D组的人数，可求出中位数a，并补全条形统计图，再确定乙班D组的人数，可求出m；
(2)求出甲乙两班A，B两组人数和占样本总人数的百分比，再乘以总人数；
(3)根据各数的大小比较即可．
本题主要考查了条形统计图，中位数，样本估计总体，能够从题干中正确提取出信息是解题的关键．
20.【答案】解：(1)过点A作AF⊥BC，垂足为F，

在Rt△ABF中，AB=5米，∠BAF=16°，
∴AF=AB⋅cs16°≈5×0.96=4.8(米)，
∴点A到墙面BC的距离约为4.8米；
(2)过点A作AG⊥CE，垂足为G，

由题意得：AG=CF，AF=CG=4.8米，
∵CD=1.8米，
∴DG=CG−CD=4.8−1.8=3(米)，
在Rt△ADG中，∠ADG=45°，
∴AG=DG⋅tan45°=3(米)，
∴CF=AG=3米，
在Rt△ABF中，AB=5米，∠BAF=16°，
∴BF=AB⋅sin16°≈5×0.28=1.4(米)，
∴BC=BF+CF=1.4+3=4.4(米)，
∴遮阳篷靠墙端离地高BC的长为4.4米．
【解析】(1)过点A作AF⊥BC，垂足为F，在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答；
(2)过点A作AG⊥CE，垂足为G，根据题意可得：AG=CF，AF=CG=4.8米，从而可得DG=3米，然后在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，从而求出CF的长，再在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵点A(6,−3−2n)，点B(n,−3)是y=kx(k≠0)的图象与直线y=ax+b的交点，
∴6(−3−2n)=−3n，
解得n=−2，
∴A(6,1)，B(−2,−3)，k=6，
∴反比例函数的解析式为y=6x，
将点A(6,1)，B(−2,−3)代入一次函数y=ax+b中，
得6a+b=1−2a+b=−3，
解得a=12b=−2，
∴一次函数的解析式为y=12x−2；
(2)对于直线y=12x−2，
令x=0，得y=−2，
∴点C的坐标为(0,−2)，
∵点D是点C关于x轴的对称点，
∴点D(0,2)，
∴CD=2−(−2)=4，
∴S△ABD=12CD⋅(xA−xB)=12×4×[6−(−2)]=16．
【解析】(1)由点A(6,−3−2n)，点B(n,−3)是y=kx(k≠0)的图象与直线y=ax+b的交点，则6(−3−2n)=−3n，解得n=−2，得到A(6,1)，B(−2,−3)，k=6，得到反比例函数解析式，再用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
(2)先令一次函数中x=0，求出点C坐标，再求出点D(0,2)，得到CD=2−(−2)=4，即可得到答案；
此题是反比例函数和一次函数综合题，考查了待定系数法、关于坐标轴对称等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
22.【答案】解：(1)结论：CD是⊙O的切线．
理由：连接OC．
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC=∠CBE，
∴∠OCB=∠CBE，
∴OC/​/BD，
∵CD⊥BD，
∴CD⊥OC，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)在Rt△BCD中，∵CD= 3,BC=2 3，
∴sin∠CBD=CDBC= 32 3=12，
∴∠CBD=30°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠CBD=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，
连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB=BCCOS30∘=4，
∴AO=2，
∴AC=60⋅π×2180=2π3．
【解析】(1)结论：CD是⊙O的切线，证明OC⊥CD即可；
(2)根据三角函数的定义和弧长公式即可得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，圆周角定理，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)以点O为坐标原点，OM方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，

此时O(0,0)，M(2,0)，顶点坐标为(1,0.1)，
设抛物线解析式为y=a(x−1)2+0.1，
将(0,0)代入解析式得：a+0.1=0，
解得a=−0.1，
∴抛物线解析式为y=−0.1(x−1)2+0.1=−0.1x2+0.2x；
(2)∵OP≤2.4，
∴当OP=2.4时，灌溉的圆形区域面积最大，
当OP=2.4时，即将抛物线y=−0.1x2+0.2x向上平移2.4个单位，得新抛物线解析式y=−0.1x2+0.2x+2.4，
令y=0，则−0.1x2+0.2x+2.4=0，
解得x1=6，x2=−4(舍去)，
∴以点O为圆心，6为半径的圆形浇灌区域的面积为36π，
∴最大浇灌圆形区域面积为36πm2；
(3)连接AC，如图所示：

∵AB=6m，BC=8m，
∴AC= 62+82=10(m)，
∴OA=5m，
∴要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，灌溉半径至少为5m，
设OP=h，此时抛物线解析式为y=−0.1x2+0.2x+h，
将(5,0)代入解析式得：−0.1×25+0.2×5+h=0，
解得h=1.5，
∴OP至少调节到1.5m．
【解析】(1)以点O为坐标原点，OM方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，然后用待定系数法求函数解析式；
(2)根据题意知，当OP取最大值2.4时，灌溉区域面积最大，先求出OP=2.4时的抛物线解析式，再令y=0，解方程求出x的值，再根据圆的面积公式求出面积；
(3)连接矩形对角线，由勾股定理求出AC，再求出圆的半径为5，然后设OP=h，写出抛物线解析式，再把(5,0)代入解析式求出h即可．
本题主要考查二次函数的应用，关键是建立适当坐标系，求出二次函数解析式．
24.【答案】22.5°
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AD/​/BE，∠DAC=∠BAC=45°，
∴∠DAE=∠AEC，
∵AC=EC，
∴∠EAC=∠AEC，
∴∠DAE=∠EAC=12∠DAC=22.5°，
故答案为：22.5°；
(2)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=2，
∴AC= AB2+BC2=2 2，
∴CE=AC=2 2，
∴BE=BC+CE=2+2 2，
由折叠的性质得到B′E=BE=2+2 2，∠CEB′=2∠AEC，
由(1)知∠DAE=∠EAC=22.5°，
∴∠CEB′=2∠CEA=45°，
∴CF=CE=2 2，
∴EF= CE2+CF2=4，
∴B′F=B′E−EF=2+2 2−4=2 2−2；
(3)由折叠知B′B⊥AE，
∴∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，
设AB的中点为Q，连接DQ，则当点P在DQ上时，D，P两点间的距离最短，设AE交CD于点G，如图，
∴DQ= AD2+AQ2= 5,PQ=12AB=1，
∴DP= 5−1，
∵AQ=PQ，AB/​/CD，
∴∠1=∠2，∠1=∠4，
又∵∠2=∠3，∠3=∠4，
∴DG=DP= 5−1，
∴GC=2−( 5−1)=3− 5，
∵AD/​/BE，
∴△ADG∽△ECG，
∴ADEC=DGCG，即2EC= 5−13− 5，
∴EC= 5−1，
故当EC的长为 5−1时，D，P两点间的距离最短，最短距离为 5−1．
(1)根据正方形的性质，得到AD/​/BE，∠DAC=∠BAC=45°，推出∠DAE=∠AEC，由AC=EC，得到∠EAC=∠AEC，推出∠DAE=∠EAC=12∠DAC即可得出结果；
(2)根据正方形的性质，得到AB=BC=2，求出AC=CE=2 2，进而得到BE=2+2 2，由折叠的性质得到B′E=BE=2+2 2，∠CEB′=2∠AEC，再根据(1)中∠DAE=∠EAC=22.5°，得到∠CEB′=45°，进而得到CF=CE=2 2，利用勾股定理求出EF=4，由B′F=B′E−EF即可求解；
(3)由折叠的性质，得到∠APB=90°，即点P在以AB为直径的圆上运动，设AB的中点为Q，连接DQ，则当点P在DQ上时，D，P两点间的距离最短，设AE交CD于点G，如图，求出DQ= 5,PQ=1，进而得到DG=DP= 5−1，GC=3− 5，证明△ADG∽△ECG，得到ADEC=DGCG，即可求出EC= 5−1，即可得出结论．
本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，点到圆上的最短距离，三角形相似的判定与性质，灵活运用点到圆上的最短距离，折叠的性质是解题的关键．平均数
中位数
众数
优秀率(x≥50)
甲班
44.1
a
48
30%
乙班
44.0
43
45
m%
智能浇灌系统使用方案
材料
如图1是一款智能浇灌系统，水管OP垂直于地面并可以随意调节高度(OP最大高度不超过2.4m)，浇灌花木时，喷头P处会向四周喷射水流形成固定形状的抛物线，水流落地点M与点O的距离即为最大浇灌距离，各方向水流落地点形成一个以点O为圆心，OM为半径的圆形浇灌区域.当喷头P位于地面与点O重合时，某一方向的水流上边缘形成了如图2的抛物线，经测量，OM=2m，水流最高时距离地面0.1m.如图3，农科院将该智能浇灌系统应用于一个长8m，宽6m的矩形试验田中，水管放置在矩形中心O处．
任务1
确定水流形状
在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究浇灌最大区域
当调节水管OP的高度时，浇灌的圆形区域面积会发生变化，请你求出最大浇灌圆形区域面积.(结果保留π)
任务3
解决具体问题
若要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，则水管OP至少需要调节到什么高度？