2024年西藏日喀则市定结县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年西藏日喀则市定结县中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−2023的倒数是( )
A. 2023B. −12023C. −2023D. 12023
2.某市政府在2022年着力稳定宏观经济大盘，全市经济发展取得新成效，全年生产总值实现2502.7亿元.数据2502.7亿用科学记数法表示为( )
A. 2502.7×108B. 2.5027×1011C. 2.5027×1010D. 2.5027×103
3.下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，∠1=45°，∠2=120°，则∠3+∠4=( )
A. 165°B. 155°C. 105°D. 90°
5.下列计算正确的是( )
A. a+a2=a3B. a2⋅a3=a6C. (2a3b)3=6a3b3D. a6÷a4=a2
6.下列命题中，是真命题的是( )
A. 平行四边形是轴对称图形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D. 在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形
7.关于x的一元二次方程x2−2x+m−2=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A. m<32B. m>3C. m≤3D. m<3
8.如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB=30°，BC=2 3，则OC=( )
A. 1
B. 2
C. 2 3
D. 4
9.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2 2，以点A为圆心，AC为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部分的面积是( )
A. π−2
B. 2π−2
C. 2π−4
D. 4π−4
10.如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上.小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家.小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示.下列结论错误的是( )
A. 小亮从家到羽毛球馆用了7分钟B. 小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米
C. 报亭到小亮家的距离是400米D. 小亮打羽毛球的时间是37分钟
11.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)关于直线x=1对称.下列五个结论：
①abc>0；②2a+b=0；③4a+2b+c>0；④am2+bm>a+b；⑤3a+c>0.其中正确的有( )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
12.用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是( )
A. 39B. 44C. 49D. 54
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.函数y=2 x−1的自变量x的取值范围是______．
14.定义一种新运算：对于两个非零实数a、b，a※b=xa+yb.若2※(−2)=1，则(−3)※3的值是______．
15.不等式组5x+2>3(x−1)12x−1≤7−32x的所有整数解的和是______．
16.如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，APPC的值是______．
17.如图，小珍同学用半径为8cm，圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是______cm2．
18.在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3、A4…在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3…在直线y= 33x(x≥0)上，若点A1的坐标为(2,0)，且△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，则点B2013的纵坐标为______．
三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题5分)
计算：−12024+(− 22)0−2cs60°+| 5−3|．
20.(本小题5分)
先化简，再求值；(a+2−5a−2)÷3−a2a−4，其中a为满足021.(本小题5分)
如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，且AF=CE，∠BAC=∠DCA.求证：四边形ABCD是平行四边形．
22.(本小题7分)
习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气.”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
(1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
(2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
23.(本小题7分)
在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达100%，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况(每位同学只能参加其中一项)：A.剪纸社团，B.泥塑社团，C.陶笛社团，D.书法社团，E.合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图．

(1)该班共有学生______人，并把条形统计图补充完整；
(2)扇形统计图中，m= ______，n= ______，参加剪纸社团对应的扇形圆心角为______度；
(3)小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率．
24.(本小题8分)
一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是多少海里？
25.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B(0,2)，与反比例函数y=mx在第四象限内的图象交于点C(6,a)．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当kx+b>mx时，请直接写出x的取值范围是多少．
26.(本小题9分)
如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点F，点P是CD延长线上一点，DE⊥AP，垂足为点E，∠EAD=∠FAD．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)若PA=4，PD=2，求⊙O的半径和DE的长．
27.(本小题12分)
如图1，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K(1,3)的直线(直线KD除外)与抛物线交于G、H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N.试探究EM⋅EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了倒数，倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．熟练掌握倒数定义是解题的关键．
根据倒数定义解答即可．
【解答】
解：−2023的倒数是−12023．
2.【答案】B
【解析】解：2502.7亿=250270000000=2.5027×1011．
故选：B．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：图形既是中心对称图形又是轴对称图形，
故选：B．
根据中心对称图形和轴对称图形的概念得出结论即可．
本题主要考查中心对称图形和轴对称图形的知识，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵在水中平行的光线，在空气中也是平行的，∠1=45°，∠2=120°，
∴∠3=∠1=45°，∠4=180°−∠2=60°，
∴∠3+∠4=105°．
故选：C．
由平行线的性质可得∠3=∠1=45°，∠4=60°，从而可求解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
5.【答案】D
【解析】解：A、不是同类项，故不能合并，故A不符合题意．
B、原式=a5，故B不符合题意．
C、原式=8a9b3，故C不符合题意．
D、原式=a2，故D符合题意．
故选：D．
直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法运算以及积的乘方运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、平行四边形不一定是轴对称图形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题，符合题意；
D、在△ABC中，当∠A：∠B：∠C=3：4：5时，△ABC不是直角三角形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：C．
根据轴对称图形的概念、菱形的判定、线段垂直平分线的性质、直角三角形的概念判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7.【答案】D
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m−2=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−2)2−4×1×(m−2)=12−4m>0，
解得：m<3．
故选：D．
根据方程的系数结合根的判别式Δ>0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：连接OB，设OA交BC于E，如图：
∵∠ADB=30°，
∴∠AOB=60°，
∵OA⊥BC，BC=2 3，
∴BE=12BC= 3，
在Rt△BOE中，sin∠AOB=BEOB，
∴sin60°= 3OB，
∴OB=2，
∴OC=2；
故选：B．
连接OB，设OA交BC于E，由∠ADB=30°，得∠AOB=60°，根据OA⊥BC，BC=2 3，得BE=12BC= 3，故sin60°= 3OB，从而OC=OB=2．
本题考查垂径定理，圆周角定理及勾股定理的应用，解题的关键是掌握含30°角的直角三角形三边关系．
9.【答案】C
【解析】解：在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2 2，
∴∠A=∠B=45°，
∴阴影部分的面积S=S扇形CAE+S扇形CBF−S△ABC
=45π×(2 2)2360×2−12×2 2×2 2
=2π−4．
故选：C．
根据已知求出∠A、∠B的度数，根据扇形和三角形的面积即可求出答案．
本题考查了等腰直角三角形、扇形的面积和三角形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：A、由图象得：小亮从家到羽毛球馆用了7分钟，故A选项不符合题意；
B、由图象可知：小亮从羽毛球馆到报亭的平均速度为：(1.0−0.4)÷(45−37)=0.075(千米/分)=75(米/分)，故B选项不符合题意；
C、由图象知报亭到小亮家的距离是0.4千米，即400米，故C选项不符合题意；
D、由图象知小亮打羽毛球的时间是37−7=30(分钟)，故D选项符合题意；
故选：D．
根据图象逐个分析即可．
本题考查了函数图象，观察图象，从图象中获取信息是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)关于直线x=1对称，
∴−b2a=1，
∵a>0，
∴b=−2a<0，
∵c<0，
∴abc>0，
故①正确；
∴b=−2a，
∴2a+b=0，
故②正确；
∵x=0时，y<0，对称轴为直线x=1，
∴x=2时，y<0，
∴4a+2b+c<0，
故③错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，
故④错误；
∵x=−1时，y>0，
∴a−b+c>0，
∴b=−2a，
∴3a+c>0．
故⑤正确．
故选：B．
由抛物线开口方向以及与y轴的交点可知a>0，c<0，根据对称轴为直线x=1得出b=−2a<0，即可判断①；由对称轴为直线x=1得出2a+b=0，即可判断②；由抛物线的对称性即可判断③；根据函数的最值即可判断④，由x=−1时，y>0，得出a−b+c>0，由b=−2a得出3a+c>0即可判断⑤．
本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：由图可得，图案①有：4+5=9根小木棒，
图案②有：4+5×2=14根小木棒，
图案③有：4+5×3=19根小木棒，
…，
∴第n个图案有：(4+5n)根小木棒，
∴第⑧个图案有：4+5×8=44根小木棒，
故选：B．
根据图形可以写出前几个图案需要的小木棒的数量，即可发现小木棒数量的变化规律，从而可以解答本题．
本题考查图形的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13.【答案】x≥0且x≠1
【解析】解：由题意得，x≥0且 x−1≠0，
解得x≥0且x≠1．
故答案为：x≥0且x≠1．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
14.【答案】−23
【解析】解：∵2※(−2)=1，
∴x2+y−2=1，
∴x−y=2．
∴(−3)※3=x−3+y3
=−13(x−y)
=−13×2
=−23．
故答案为：−23．
利用新定义的规定列式求得(x−y)的值，再利用新定义和整体代入的方法运算即可．
本题主要考查了实数的运算，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．
15.【答案】7
【解析】解：5x+2>3(x−1)①12x−1≤7−32x②，
解不等式①得：x>−52，
解不等式②得x≤4，
∴不等式组的解集为−52由x为整数，可取−2，−1，0，1，2，3，4，
则所有整数解的和为7，
故答案为：7．
求出不等式组的解集，确定出整数解，求出之和即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
16.【答案】27
【解析】解：作点E关于AC的对称点E′，连接FE′交AC于点P′，连接PE′，
∴PE=PE′，
∴PE+PF=PE′+PF≥E′F，
故当PE+PF取得最小值时，点P位于点P′处，
∴当PE+PF取得最小值时，求APPC的值，只要求出AP′P′C的值即可．
∵正方形ABCD是关于AC所在直线轴对称，
∴点E关于AC所在直线对称的对称点E′在AD上，且AE′=AE，
过点F作FG⊥AB交AC于点G，
则∠GFA=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠B=90°，∠CAB=∠ACB=45°，
∴FG//BC//AD，∠AGF=∠ACB=45°，
∴GF=AF，
∵E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，
∴AE′=AE=EF=FB，
∴GC=13AC，AE′GF=AEAF=12，
∴AG=23AC，AP′P′G=AE′GF=12，
∴AP′=13AG=13×23AC=29AC，
∴P′C=AC−AP′=AC−29AC=79AC，
∴AP′P′C=29AC79AC=27，
故答案为：27．
找出点E关于AC的对称点E′，连接FE′与AC的交点P′即为PE+PF取得最小值时，点P的位置，再设法求出AP′P′C的值即可．
本题考查轴对称−最短路线问题，熟悉运用将军饮马模型，以及转化思想是解题的关键．
17.【答案】16π9
【解析】解：如图，由题意得弧AC的长为2π×2=4π(cm)，
设弧AC所对的圆心角为n°，则
即nπ×8180=4π，
解得n=90，
∴粘贴部分所对应的圆心角为100°−90°=10°，
∴圆锥上粘贴部分的面积是10π×82360=16π9(cm2)，
故答案为：16π9．
求出弧长为4πcm，半径为8cm的扇形所对应的圆心角度数，进而求出粘贴部分的圆心角度数，利用扇形面积的计算方法进行计算即可．
本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积以及弧长的计算方法是正确解答的前提．
18.【答案】22013× 3
【解析】解：过点B3作x的轴垂线，垂足为M，
在Rt△OMB3中，
tan∠B3OM=B3MOM=yB3xB3，
∵点B3在直线y= 33x(x≥0)上，
∴yB3xB3= 33，
∴tan∠B3OM= 33，
∴∠B3OM=30°．
∵△A1A2B1是等边三角形，
∴∠B1A1A2=60°，
∴∠OB1A1=∠B1OA1=30°，
又∵点A1的坐标为(2,0)，
∴OA1=A1B1=2．
∴△A1A2B1的边长为2，
∴点B1的纵坐标为 3．
同理可得，
点B2的纵坐标为2 3=2× 3，
点B3的纵坐标为4 3=22× 3，
…，
依次类推，点Bn(n为正整数)的纵坐标可表示为2n−1 3，
当n=2013时，
2n−1 3=22012× 3，
即点B2013的纵坐标为22012× 3．
故答案为：22012× 3．
根据题意，依次求出点Bn的纵坐标，发现规律即可解决问题．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标变化规律，能根据题意得出点Bn(n为正整数)的纵坐标可表示为2n−1 3是解题的关键．
19.【答案】解：原式=−1+1−2×12+3− 5
=−1+3− 5
=2− 5．
【解析】先计算有理数的乘方、零指数幂、特殊角的余弦值、化简绝对值，再计算乘法与加减法即可得．
本题考查了零指数幂、特殊角的余弦值、实数的混合运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．
20.【答案】解：原式=(a+2−5a−2)÷3−a2a−4
=(a+2)(a−2)−5a−2×2(a−2)3−a
=a2−9a−2×2(a−2)3−a
=2(a+3)(a−3)3−a
=−2a−6
∵a为满足0∴a≠2，a≠3，
∴取a=1，原式=−2×1−6=−8．
【解析】利用分式的混合运算的法则化简后，将a=1代入运算即可．
本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键．
21.【答案】证明：∵AF=CE，
∴AF−EF=CE−EF．
∴AE=CF．
∵∠BAC=∠DCA，
∴AB/​/CD．
在△ABE与△CDF中，
∠BAE=∠DCFAE=CF∠AEB=∠CFD．
∴△ABE≌△CDF(ASA)．
∴AB=CD．
又AB/​/CD
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】结合已知条件推知AB/​/CD；然后由全等三角形的判定定理ASA证得△ABE≌△CDF，则其对应边相等：AB=CD；最后根据“对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得结论．
本题主要考查了平行四边形的判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
22.【答案】解：(1)设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得：2x+y=1003x+2y=165，
解得：x=35y=30．
答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元；
(2)设该校购买甲种书m本，则购买乙种书(100−m)本，
根据题意得：35m+30(100−m)≤3200，
解得：m≤40，
∴m的最大值为40．
答：该校最多可以购买甲种书40本．
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
(1)设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据“购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元”，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设该校购买甲种书m本，则购买乙种书(100−m)本，利用总价=单价×数量，结合总价不超过3200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
23.【答案】(1)50，
把条形统计图补充完整如下：
(2)20，10，144；
(3)把小鹏和小兵分别记为a、b，其他3位同学分别记为c、d、e，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好是小鹏和小兵参加比赛的结果有2种，
∴恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率为220=110．
【解析】解：(1)该班共有学生人数为：5÷10%=50(人)，
则D的人数为：50−20−10−5−10=5(人)，
故答案为：50。
把条形统计图补充完整如下：
(2)∵m%=10÷50×100%=20%，n%=5÷50×100%=10%，
∴m=20，n=10，
参加剪纸社团对应的扇形圆心角为：360°×2050=144°，
故答案为：20，10，144；
(3)见答案．
(1)由C的人数除以所占百分比得出该班共有学生人数，即可解决问题；
(2)由(1)的结果分别列式计算即可；
(3)画树状图，其中恰好是小鹏和小兵参加比赛的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是树状图法以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24.【答案】解：过点C作CH⊥AB于H.如图，

∵∠DAC=60°，∠CBE=45°，
∴∠CAH=90°−∠CAD=30°，∠CBH=90°−∠CBE=45°，
∴∠BCH=90°−45°=45°=∠CBH，
∴BH=CH，
在Rt△ACH中，∠CAH=30°，AH=AB+BH=12+CH，tan30°=CHAH，=CHAH，
∴CH= 33(12+CH)，
解得CH=6( 3+1)．
答：渔船与灯塔C的最短距离是6( 3+1)海里．
【解析】过点C作CH⊥AB于H.利用特殊角的三角函数值列出方程，解方程即可．
本题考查了解解直角三角形方位角问题，熟知特殊角度的三角函数值是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵点A(4,0)点B(0,2)，
∴直线AB解析式为y=−12x+2，
∵点C(6,a)在直线AB上，
∴a=−12×6+2=−1，
∴C(6,−1)，
∵点C(6,−1)在反比例函数y=mx的图象上，
∴m=−6，
∴反比例函数解析式为：y=−6x；
(2)联立方程组y=−12x+2y=−6x，
解得x1=6，x2=−2，
当kx+b>mx时，自变量x的取值范围为：0【解析】(1)根据点AB的坐标求出直线AB解析式，代入点C的横坐标求出a值即可得到k值；
(2)联立方程组得到两个交点的横坐标，根据两个函数图象和性质直接写出不等式kx+b>mx的解集即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，两个函数的交点满足两个函数解析式．
26.【答案】(1)证明：连接OA，如图：

∵AB⊥CD，
∴∠AFD=90°，
∴∠FAD+∠ADF=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADF，
∴∠FAD+∠OAD=90°，
∵∠EAD=∠FAD，
∴∠EAD+∠OAD=90°，即∠OAE=90°，
∴OA⊥AE，
∵OA是⊙O半径，
∴AE是⊙O的切线；
(2)解：连接AC，AO，如图：

∵CD为⊙O直径，
∴∠CAD=90°，
∴∠C+∠ADC=90°，
∵∠FAD+∠ADC=90°，
∴∠C=∠FAD，
∵∠EAD=∠FAD，
∴∠C=∠EAD，
∵∠P=∠P，
∴△ADP∽△CAP，
∴APCP=PDAP，
∵PA=4，PD=2，
∴4CP=24，
解得CP=8，
∴CD=CP−PD=8−2=6，
∴⊙O的半径为3；
∴OA=3=OD，
∴OP=OD+PD=5，
∵∠OAP=90°=∠DEP，∠P=∠P，
∴△OAP∽△DEP，
∴DEOA=PDOP，即DE3=25，
∴DE=65，
∴⊙O的半径为3，DE的长为65．
【解析】(1)连接OA，由AB⊥CD，得∠FAD+∠ADF=90°，故∠FAD+∠OAD=90°，根据∠EAD=∠FAD，得∠EAD+∠OAD=90°，即∠OAE=90°，OA⊥AE，从而可得AE是⊙O的切线；
(2)连接AC，AO，证明△ADP∽△CAP，可得4CP=24，CP=8，故CD=CP−PD=6，⊙O的半径为3；再证△OAP∽△DEP，得DE3=25，从而DE=65．
本题考查圆的性质及应用，涉及切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定等知识，解题的关键是掌握圆的相关性质．
27.【答案】解：(1)由题意得，抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−3)=a(x2−2x−3)，
即−3a=3，−2a=b，
解得a=−1，b=2，
则抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3；
(2)设点P的坐标为：(m,−m2+2m+3)，点Q(x,0)，
当BC或BP为对角线时，由中点坐标公式得：3=−m2+2m+3，
解得：m=0(舍去)或2，
则点P(2,3)；
当BQ为对角线时，同理可得：0=−m2+2m+3+3，
解得：m=1± 7，
则点P的坐标为：(2,3)，(1+ 7,−3)或(1− 7,−3)；
(3)是定值，理由：
直线GH过点(1,3)，故设直线GH的表达式为：y=k(x−1)+3，
设点G、H的坐标分别为：(m,−m2+2m+3)，点H(n,−n2+2n+3)，
联立y=k(x−1)+3和y=−x2+2x+3并整理得：x2+(k−2)x−k=0，
则m+n=2−k，mn=−k，
由点G、D的坐标得，直线GD的表达式为：y=−(m−1)(x−1)+4，
令y=0，则x=1+4m−1，即点M(1+4m−1,0)，
则EM=1−1−4m−1=−4m−1，
同理可得，EN=4n−1，
则EM⋅EN=−4m−1×4n−1=−16(m−1)(n−1)=−16mn−(m+n)+1=−16−k+k−2+1=16．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)当BC或BP为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当BQ为对角线时，同理可解；
(3)求出直线GD的表达式为：y=−(m−1)(x−1)+4，得到M(1+4m−1,0)，同理可得，EN=4n−1，即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、根和系数的关系等，有一定的综合性，难度适中．