2024年内蒙古呼伦贝尔市牙克石市中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年内蒙古呼伦贝尔市牙克石市中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数中，是无理数的是( )
A. 17B. πC. −1D. 0
2.中国“二十四节气“已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春“、“谷雨“、“白露“、“大雪”，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
A. a2+a3=a5B. a2⋅a3=a6C. (a2)3=a6D. (ab)2=ab2
4.如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为．( )
A. 130°B. 140°C. 150°D. 160°
6.下列说法错误的是( )
A. 成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件
B. 一元二次方程x2+x+3=0没有实数根
C. 任意多边形的外角和等于360°
D. 三角形三条高线一定交于三角形内部一点
7.△ABC的三边长a，b，c满足(a−b)2+ 2a−b−3+|c−3 2|=0，则△ABC是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等腰直角三角形
8.已知点M(m,y1)，N(−1,y2)在直线y=−x+1上，且y1>y2，则m的取值范围是( )
A. m<−1B. m>−1C. m<1D. m>1
9.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为2 6，点B在x轴的正半轴上，且∠AOC=60°，将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到四边形OA′B′C′(点A′与点C重合)，则点B′的坐标是( )
A. (3 6,3 2)
B. (3 2,3 6)
C. (3 2,6 2)
D. (6 2,3 6)
10.如图，已知△ABC．
(1)以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N．
(2)分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P．
(3)作射线AP交BC于点D．
(4)分别以A，D为圆心，以大于12AD的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．
(5)作直线GH，交AC，AB分别于点E，F．
依据以上作图，若AF=2，CE=3，BD=32，则CD的长是( )
A. 910B. 1C. 94D. 4
11.抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
则下列说法错误的是( )
A. 抛物线的对称轴为直线x=1
B. 当x>1时，y随x的增大而减小
C. 当x=4时，y=−21.5
D. 方程ax2+bx+c=0的负数解x1满足−112.如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发沿A→D→C方向运动到点C停止，动点Q从点C出发沿C→A方向运动到点A停止，若点P，Q同时出发，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，设运动时间为x s，AP−CQ=y cm，y与x的函数关系图象如图2所示，则AC的长为( )
A. 8B. 9C. 10D. 14
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13.2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统(BDS)星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为______．
14.分解因式：2x3−8x2y+8xy2= ______．
15.一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是______．
16.如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了72°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了______cm．
17.如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的边OB在x轴正半轴上，∠ABO=90°，AB=2OB，将Rt△AOB向右平移到Rt△CDE位置，反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A，交边CD于点F，若CF=2DF，OD=8，则k的值是______．
三、解答题：本题共9小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算： 27+(12)−1−3tan60°−| 3−2|．
19.(本小题6分)
先化简，再求值：a+bab÷(ab−ba)，其中a= 2+1，b= 2−1．
20.(本小题6分)
把算珠放在计数器的3根插棒上可以构成一个数，例如：如图摆放的算珠表示数210．
(1)若将一颗算珠任意摆放在这3根插棒上，则构成的数是三位数的概率是______；
(2)现将两颗算珠任意摆放在这3根插棒上，先放一颗算珠，再放另一颗，请用列表或画树状图的方法，求构成的数是三位数的概率．
21.(本小题6分)
如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形EFGH.设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
22.(本小题7分)
如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成.如图②是该款设备放置在水平桌面上的示意图.已知支撑臂AB⊥l，AB=18cm，BC=40cm，CD=44cm，固定∠ABC=148°，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高拍摄效果．
(1)问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？
(2)已知摄像头点D到桌面l的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为多少？(参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60 )
23.(本小题7分)
为了推动阳光体育运动的开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批轮滑鞋供学生使用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：

(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为______，图①中m的值为______，请补全条形统计图．
(2)求本次调查样本中数据的众数和中位数；
(3)若学校计划购买200双轮滑鞋，建议购买35号轮滑鞋多少双？
24.(本小题8分)
如图所示，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，且AC=AB=4，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E，连接AP、AF.求证：
(1)AF//BE；
(2)求CE的长．
25.(本小题10分)
为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地.现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一
信息二
(1)求x的值；
(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于15000m2.该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？
26.(本小题13分)
综合与实践．
【问题发现】
(1)如图1，在正方形ABCD中，E为对角线AC上的动点，过点B作BE的垂线，过点C作AC的垂线，两条垂线交于点F，连接EF，求证：BE=BF．
【类比探究】
(2)如图2，在矩形ABCD中，E为对角线AC上的动点，过点B作BE的垂线，过点C作AC的垂线，两条垂线交于点F，且∠ACB=60°，连接EF，求CFAE的值．
【拓展延伸】
(3)如图3，在(2)的条件下，将E改为直线AC上的动点，其余条件不变，取线段EF的中点M，连接BM，CM.若AB=2 3，则当△CBM是直角三角形时，请求出CF的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A．17是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B.π是无理数，故本选项符合题意；
C.−1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D.0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据无理数的定义解答即可．
本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：D．
根据中心对称图形的概念和各图的特点求解．
本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】C
【解析】解：(A)a2与a3不是同类项，故A错误；
(B)原式=a5，故B错误；
(D)原式=a2b2，故D错误；
故选：C．
根据整式的运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
4.【答案】C
【解析】解：根据几何体的展开图可知：
这个几何体是：．
故选：C．
根据几何体的表面展开图可以判断这个几何体是三棱柱．
本题考查了几何体的展开图，多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
5.【答案】D
【解析】解：如图所示，过∠2顶点作直线l/​/支撑平台，直线l将∠2分成两个角∠4和∠5，
∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l/​/支撑平台，
∴直线l/​/支撑平台/​/工作篮底部，
∴∠1=∠4=30°、∠5+∠3=180°，
∵∠4+∠5=∠2=50°，
∴∠5=50°−∠4=20°，
∴∠3=180°−∠5=160°，
故选：D．
过∠2顶点作直线l/​/支撑平台，直线l将∠(2分)成两个角即∠4、∠5，根据平行线的性质即可求解．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件，原说法正确，不符合题意；
B、Δ=12−4×3=−11<0，则一元二次方程x2+x+3=0没有实数根，原说法正确，不符合题意；
C、任意多边形的外角和等于360°，原说法正确，不符合题意；
D、三角形三条高线不一定交于三角形内部一点，例如直角三角形三条高交于直角顶点，原说法错误，符合题意；
故选：D．
根据随机事件的定义、根的判别式、三角形的角平分线、中线和高的知识点进行解题即可．
本题主要考查了多边形外角和定理，三角形高的辨析，不可能事件的定义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：由题意得a−b=02a−b−3=0c−3 2=0，
解得a=3b=3c=3 2，
∵a2+b2=c2，且a=b，
∴△ABC为等腰直角三角形，
故选：D．
由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由 a2+b2=c2的关系，可推导得到△ABC为直角三角形．
本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理．
8.【答案】A
【解析】解：对于直线y=−x+1来说，
∵k=−1<0，
∴y随x的增大而减小．
∵y1>y2，
∴m<−1．
故选：A．
对于一次函数y=kx+b(k≠0)来说，当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小．
此题考查了利用一次函数的性质比较自变量的大小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．根据直线y=−x+1中，k=−1<0得到y随x的增大而减小，由y1>y2即可得到m的取值范围．
9.【答案】B
【解析】解：如图，过B′作B′D⊥y轴于D，连接OB′，
∵将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到四边形OA′B′C′，∠AOC=60°，菱形OABC的边长为2 6，
∴OC′=C′B′=2 6，∠C′OC=∠COA=60°，B′C′//OC，
∴∠DC′B′=∠C′OC=60°，
∴∠DB′C′=30°，
∴C′D=12C′B′= 6，DB′= 32B′C′=3 2，
∴OD=OC′+C′D=3 6，
∴B′的坐标是(3 2,3 6)，
故选：B．
如图，过B′作B′D⊥y轴于D，连接OB′，根据旋转的性质得到OC′=C′B′=2 6，∠C′OC=∠COA=60°，B′C′//OC，根据平行线的性质得到∠DC′B′=∠C′OC=60°，求得∠DB′C′=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，坐标与图形变化−旋转，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，
∴∠EAD=∠FAD，EA=ED，FA=FD，
∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠FAD=∠EDA，
∴DE/​/AF，
同理可得AE/​/DF，
∴四边形AEDF为平行四边形，
而EA=ED，
∴四边形AEDF为菱形，
∴AE=AF=2，
∵DE//AB，
∴CDDB=CEEA，即CD32=32，
∴CD=94．
故选：C．
利用作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，所以∠EAD=∠FAD，EA=ED，FA=FD，再证明四边形AEDF为菱形得到AE=AF=2，然后利用平行线分线段成比例定理计算CD的长．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线分线段成比例定理．
11.【答案】A
【解析】解：∵抛物线经过点(−1,−1.5)和(2,−1.5)，
∴抛物线的对称轴为直线x=12，所以A选项的说法错误；
由表中数据得，当x>1时，y随x的增大而减小，所以B选项的说法正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=12，
∴x=4和x=−3对应的函数值相等，
即当x=4时，y=−21.5，所以C选项的说法正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=12，
∴x=1和x=0对应的函数值相等，
即当x=0时，y=2.5，
∵当x=−1时，y=−1.5，
∴抛物线与x的一个交点在(−1,0)和(0,0)之间，
∴方程ax2+bx+c=0的负数解x1满足−1故选：A．
利用抛物线的对称性，由抛物线经过点(−1,−1.5)和(2,−1.5)得到抛物线的对称轴为直线x=12，则可对A选项进行判断；利用表中数据可对B选项进行判断；利用抛物线的对称性得到x=4和x=−3对应的函数值相等，则可对C选项进行判断；利用抛物线对称性得到x=1和x=0对应的函数值相等，即当x=0时，y=2.5，则可判断抛物线与x的一个交点在(−1,0)和(0,0)之间，则可对D选项进行判断．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
12.【答案】C
【解析】解：根据题意，结合函数图象，可知：
当0≤x<4时，点P在AD上运动；
当x=4时，点P运动到点D，即AD=2×4=8；
当4当x=7时，点P运动到点C，即CD=2×7−8=6．
在矩形ABCD中，AD=8，CD=6，则AC=10，
故选：C．
当0≤x<4、x=4、4本题考查了矩形的性质，动点问题的函数现象，利用了数形结合的思想，解答本题的关键是读懂题意，从图象的变化与动点运动位置的改变确定动点的所需关系量．
13.【答案】2.15×107
【解析】解：21500000=2.15×107．
故答案为：2.15×107．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14.【答案】2x(x−2y)2
【解析】解：2x3−8x2y+8xy2，
=2x(x2−4xy+4y2)，
=2x(x−2y)2
先提取公因式2x，然后再运用完全平方式分解因式即可．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，熟记完全平方公式结构是解题的关键，要注意分解因式要彻底．
15.【答案】14
【解析】解：由图可知：黑色方砖在整个地板中所占的比值=14，
∴小球最终停留在黑色区域的概率=14，
故答案为：14．
求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
此题考查了几何概率问题，其中概率=相应的面积与总面积之比．
16.【答案】4π
【解析】解：重物上升的高度为：72π×10180=4π(cm)，
故答案为：4π．
利用弧长公式计算即可．
本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
17.【答案】18
【解析】解：设OB=a，
∴AB=2OB=2a，
在Rt△ABO中，∠ABO=90°，
∴点A坐标为(a,2a)，
过点F作FH⊥DE于点H，
则∠DHF=90°，
根据平移的性质，可得∠AED=∠ABO=90°，CE=AB=2a，DE=OB=a，
∴∠FHD=∠AED，
∵∠FDH=∠ADE，
∴△FDH∽△ADE，
∴DF：DC=FH：CE=DH：DE，
∵CF=2DF，
∴DF：DC=1：3，
∴FH：CE=DH：DE=1：3，
∴FH=23a，DH=13a，
∵OD=8，
∴点F坐标为(8+13a,23a)，
∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A，交边CD于点F，
∴2a2=23a(8+13a)，
解得a=0(舍去)或a=3，
∴点A坐标为(3,6)，
∴k=3×6=18，
故答案为：18．
设OB=a，过点F作FH⊥DE于点H，根据平移的性质，可得∠AED=∠ABO=90°，CE=AB=2a，DE=OB=a，可证△FDH∽△ADE，根据相似三角形的性质可得DF：DC=FH：CE=DH：DE，表示出FH和DH的长，进一步可得点F的坐标，根据反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A，交边CD于点F，列方程求出a的值，可得点A坐标，进一步可得k的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，平移的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
18.【答案】解：原式=3 3+2−3× 3−(2− 3)
=3 3+2−3 3−2+ 3
= 3．
【解析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质和负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
本题考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
19.【答案】解：原式=a+bab÷a2−b2ab
=a+bab⋅ab(a+b)(a−b)
=1a−b；
把a= 2+1，b= 2−1代入得：
原式=1 2+1−( 2−1)=12．
【解析】把分式的除法转化为乘法，然后约分即可化简题目中的式子，再将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20.【答案】13
【解析】解：(1)若将一颗算珠任意摆放在这3根插棒上，则构成的数是三位数的概率是13，
故答案为：13；
(2)画树状图如下：
共有9个等可能的结果，构成的数是三位数的结果有5个，
∴构成的数是三位数的概率为59．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有9个等可能的结果，构成的数是三位数的结果有5个，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
21.【答案】解：(1)∵在正方形纸片ABCD上剪去4个全等的直角三角形，
在△AEH中，AE=x，AH=BE=AB−AE=4−x，∠A=90°，
∴y=S正方形ABCD−4S△AEH
=42−4×12x(4−x)
=2x2−8x+16；
(2)正方形EFGH的面积为：y=2x2−8x+16=2(x−2)2+8(0∴当x=2时，y有最小值8，即四边形EFGH的面积最小为8．
【解析】(1)根据AE=x，得出AH=BE=AB−AE=4−x，用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可得出答案；
(2)通过配方求二次函数的最大值，求出结果即可．
本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据正方形的面积和三角形的面积公式，求出函数解析式．
22.【答案】解：(1)过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，

则FN=AB=18cm，BN=AF，DM=EF，DE=MF，∠ABN=90°，DM//l，
∵∠ABC=148°，
∴∠CBN=∠ABC−∠ABN=148°−90°=58°，
在Rt△CBN中，BC=40cm，
∴CN=30⋅sin58°≈40×0.85=34(cm)，
∴CF=CN+NF=34+18=52，
∴悬臂端点C到桌面l的距离约为52cm．
(2)过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，
则FN=AB=18cm，BN=AF，DM=EF，DE=MF，∠ABN=90°，DM//l，
∵摄像头点D到桌面l的距离为30cm，
∴MF=30cm，
∴CM=CF−MF=52−30=22cm，
在Rt△CDM中，CD=44cm，CM=22cm，
∴sin∠CDM=CMCD=12，
∴∠CDM=30°，∠DCM=60°，
在Rt△CBN中，∠CBN=58°，
∴∠BCN=32°，
∴∠BCD=∠DCM−∠BCN=60°−32°=28°．
【解析】(1)过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，根据题意可得FN=AB=18cm，BN=AF，DM=EF，DE=MF，∠ABN=90°，DM/​/BN，从而求出∠CBN=58°，进而求出∠CDM=∠CGM−∠DCB=30°，然后先在Rt△CBN中，利用锐角三角函数的定义求出BN，CN的长，进行计算即可解答．
(2)过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，则FN=AB=18cm，BN=AF，DM=EF，DE=MF，∠ABN=90°，DM//l，求得CM，再算出∠CDM=30°，∠DCM=60°，得出∠BCD=∠DCM−∠BCN=60°−32°=28°．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】40 15
【解析】解：(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为：6÷35%=40(人)，
+12+10+8+4=40−6−12−10−4=8(人)，
图①中m的值为：100−30−25−20−10=15．
如图所示：
故答案为：40；15；
(2)∵在这组样本数据中，35出现了12次，出现次数最多，
∴这组样本数据的众数为35号；
∵将这组样本数据从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都为36，
∴中位数为36；
(3)200×30%=60(双)．
答：建议购买35号轮滑鞋60双．
(1)根据条形统计图和扇形统计图求出总人数，再求出购买37号轮滑鞋多少双；由扇形统计图以及单位1，求出m的值；再补全条形统计图；
(2)找出出现次数最多的即为众数，将数据按照从小到大顺序排列，求出中位数即可；
(3)用计划购买的总鞋数乘35号轮滑鞋所占的百分比即可．
此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
24.【答案】证明：(1)∵∠B、∠F同对劣弧AP，
∴∠B=∠F，
∵BO=PO，
∴∠B=∠BPO，
∴∠F=∠BPF，
∴AF/​/BE．
(2)∵AC切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BPA=90°，
∴∠EAP=90°−∠BEA，∠B=90°−∠BEA，
∴∠EAP=∠B=∠BPO=∠CPE，∠C=∠C．
∴△PCE∽△ACP
∴PCPE=ACAP，
∵∠EAP=∠B，∠EPA=∠APB=90°，
∴△EAP∽△ABP．
∴AEPE=ABAP，
又AC=AB，
∴AEPE=ACAP，
于是有PCPE=AEPE．
∴CP=AE，
设CE=x，则CP=AE=4−x，
由CECP=CPCA得x4−x=4−x4，即x2+4x−16=0，
解得：x=−2 5−2(舍)或x=2 5−2，
故CE的长为2 5−2．
【解析】(1)由∠B、∠F同对劣弧AP，可知两角的关系，又因BO=PO，△BOP是等腰三角形，求出∠F=∠BPF，得出结论；
(2)AC切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，证明∠EAP=∠B=∠BPO=∠CPE，∠C=∠C，证△PCE∽△ACP得PCPE=ACAP，再证△EAP∽△ABP得AEPE=ABAP=ACAP，从而得出CP=AE，设CE=x，则CP=AE=4−x，由CECP=CPCA得关于x的方程，解之即可得．
本题主要考查切线的性质，相似三角形的判定和圆周角定理，通过证两组三角形相似得出CP=AE是解题的关键．
25.【答案】解：(1)根据题意得：1800x+300=1200x，
解得：x=600，
经检验，x=600是所列方程的解，且符合题意．
答：x的值为600；
(2)设甲工程队施工m天，则乙工程队单独施工(22−m)天，
根据题意得：(600+300)m+600(22−m)≥15000，
解得：m≥6，
设该段时间内体育中心需要支付w元施工费用，则w=3600m+2200(22−m)，
即w=1400m+48400，
∵1400>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=6时，w取得最小值，最小值=1400×6+48400=56800．
答：该段时间内体育中心至少需要支付56800元施工费用．
【解析】(1)利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出x的值；
(2)设甲工程队施工m天，则乙工程队单独施工(22−m)天，根据22天完成的施工面积不少于15000m2，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设该段时间内体育中心需要支付w元施工费用，利用总费用=3600×甲工程队施工时间+2200×乙工程队施工时间，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
26.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，∠ABC=90°，AB=BC，
∵BE⊥BF，CF⊥AC，
∴∠EBF=∠ECF=90°=∠ABC，
∴∠ABE=∠CBF，∠BCF=45°=∠BAC，
∴△ABE≌△CBF(ASA)，
∴BE=BF；
(2)解：∵BE⊥BF，CF⊥AC，
∴∠EBF=∠ECF=90°，
∴点C，点E，点B，点F四点共圆，
∴∠ACB=∠EFB=60°，
∴∠BAE=∠BEF=30°，
∴AB= 3BC，BE= 3BF，
∴ABBC=EBBF= 3
∵∠EBF=∠ABC，
∴∠ABE=∠CBF，
∴△ABE∽△CBF，
∴CFAE=BCAB= 33；
(3)解：由(2)知：CFAE=BCAB= 33，
∵AB=2 3，
∴CB=2，
∵△ABE∽△CBF，
∴∠ABE=∠CBF，
∴∠EBF=∠EBC+∠CBF=∠EBC+∠ABE=∠ABC=90°，
∵M为EF的中点，
∴BM=12EF，
由(2)知∠ACF=90°，
∴CM=12EF，
∴BM=CM，
又∵△CBM是直角三角形，
∴CM= 22BC= 2，
∴EF=2CM=2 2，
设CF=x，则AE= 3x，
∵∠CAB=30°，BC=2，
∴AC=2BC=4，
∴CE=AC−AE=4− 3x，
∵∠ECF=90°，
∴CE2+CF2=EF2，
∴x2+(4− 3x)2=8，
∴x= 3−1或x= 3+1(不合题意，舍去)，
当∠MBC=90°或∠MCB=90°时，点M不存在，
当E在AC延长线上时，设CF=x，则AE= 3x，

∵∠CAB=30°，BC=2，
∴AC=2BC=4，
∴CE=AE−AC= 3x−4，
∵∠ECF=90°，
∴CE2+CF2=EF2，
∴x2+( 3x−4)2=8，
∴x= 3−1(不合题意，舍去)或x= 3+1，
当点E在CA的延长线上时，
∵点M是EF的中点，
∴CM=BM=EM=EM，
∴△BCM是等腰三角形，
∵点M在AC的上方，
∴△BMC不可能是直角三角形，
∴点E不在CA的延长线上．

综上所述，CF的长为 3−1或 3+1．
【解析】(1)由“ASA”可证△ABE≌△CBF，可得BE=BF；
(2)通过证明△ABE∽△CBF，可得CFAE=BCAB= 33；
(3)求出EF=2CM=2 2，设CF=x，则AE= 3x，分两种情况解答，由勾股定理可求出答案．
本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．x
…
−3
−2
−1
1
2
3
…
y
…
−21.5
−9.5
−1.5
2.5
−1.5
−9.5
…
工程队
每天施工面积(单位：m2)
每天施工费用(单位：元)
甲
x+300
3600
乙
x
2200
甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等．