2024年山东省枣庄市滕州市党山中学中考数学模拟试卷（二）（含解析）

这是一份2024年山东省枣庄市滕州市党山中学中考数学模拟试卷（二）（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若二次根式 2−x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
2.已知关于x的方程x2+(2m−1)x+m2=0的两实数根为x1，x2，若(x1−1)(x2−1)=3，则m的值为( )
A. −3B. −1C. −3或1D. −1或3
3.如图二次函数y=ax2+bx+c的图象，与x轴交于(−2,0)、(4,0)点，下列说法中：①ac<0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=−2，x2=4；③当x>1时，y随x的增大而增大.正确的说法有( )
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
4.已知 9×9×⋯×9m个9= 3+3+⋯+3n个3，若m=2024，则n=( )
A. 4047B. 4048C. 34048D. 34047
5.唐代李皋发明了“桨轮船”，他设计的桨轮船在船的舷侧或尾部装有带有桨叶的桨轮，通过人力踩动桨轮轴来推动船体前进.这种船的桨轮下半部浸入水中，上半部露出水面，因其推进方式类似车轮，故又被称为“明轮船”或“轮船”.如图，该桨轮船的轮子被水面截得线段AB为8m，轮子的吃水深度为2m，则该桨轮船轮子半径为( )
A. 4mB. 5mC. 6mD. 7m
6.如图，P是矩形ABCD的一边BA延长线上一点，M是AD上一动点，连接PM与矩形ABCD的边交于点N，连接BM，BN，若AB=6，AD=2AP=4，△BMN的面积为S，设DM=x，则下列图象能反映S与x之间函数关系的是( )
A. B. C. D.
7.在矩形ABCD中，AB 22c.其中判断正确的是( )
A. ①②都正确B. ①②都错误C. ①正确，②错误D. ①错误，②正确
8.如图在平面直角坐标系中，点A、点B在反比例函数y=kx(x>0)的图象上过点A作AC⊥y轴于点C，点B作BD⊥x轴于点D，若OD=2OC=10，且△OAB的面积为20，则k的值是( )
A. 6 2B. 10 5C. −10 5D. 2 29
9.如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，点B和点B′是对应顶点，点C和点C′是对应顶点，若CC′/​/AB，则∠BAB′的度数为( )
A. 30°B. 35°C. 40°D. 50°
10.矩形纸片ABCD中，E为BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接CF.若AB=4，BC=6，则CF的长是( )
A. 3B. 175C. 72D. 185
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若实数a，b满足(a+5)2+ b−12=0，则 a2+b2的值是______．
12.如图1，动点P从A点出发，沿着矩形ABCD的边，按照路线A→B→C→D→A匀速运动一周到A点停止，速度为1cm/s.AP的长y(cm)与运动时间t(s)的关系图象如图2，则矩形对角线AC的长为______．
13.如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AD上，将菱形沿CE折叠，点A、B分别落在A′，B′处，A′B′⊥CD，垂足为F.若AB=1cm，∠ABC=60°，则AE= ______cm．
14.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=12，AD=10，AD15.反比例函数y=kx的图象经过A，C两点，△AOB为等腰三角形，CB⊥x轴且△ABC的面积为2，则k的值为______．
16.如果关于x的分式方程ax+1−3=1−xx+1有负整数解，且关于x的不等式组2(a−x)≥−x−43x+42三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)计算：(1+38)0−|−2|+ 9−(12)−1．
(2)解方程：3xx−1−21−x=−1．
18.(本小题8分)
某校准备组织开展四项项目式综合实践活动：“A.家庭预算，B.城市交通与规划，C.购物决策，D.饮食健康”.为了解学生最喜爱哪项活动，随机抽取部分学生进行问卷调查(每位学生只能选择一项)，将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息回答下列问题：

(1)本次一共调查了______名学生，在扇形统计图中，m的值是______；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校共有2000名学生，估计最喜爱B和C项目的学生一共有多少名？
(4)现有最喜爱A，B，C，D活动项目的学生各一人，学校要从这四人中随机选取两人交流活动体会，请用列表或画树状图的方法求出恰好选取最喜爱C和D项目的两位学生的概率．
19.(本小题8分)
某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目式学习活动，如表是活动的设计方案.请你参与该项目式学习活动，并完成下列问题：
(1)该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是______．
A.三角形具有稳定性
B.两点确定一条直线
C.两点之间线段最短
(2)在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变，若其他因素忽略不计，测得CD=30cm，∠C′AC=12°，∠C′AD=45°，请计算此时水桶下降的高度CC′(参考数据：sin12°≈0.2，cs12°≈1.0，tan12°≈0.2)．
20.(本小题8分)
某商店准备购进甲、乙种洗手液，已知甲种洗手液的进价比乙种的进价每瓶多4元，用1000元购进甲种洗衣液和用800元购进乙种洗手液的数量相同．
(1)甲、乙两种洗手液每瓶进价各是多少元？
(2)该商店计划用不超过1450元的资金购进甲、乙两种洗手液共80瓶，甲、乙两种洗手液的每瓶售价分别为28元和20元.若这两种洗手液全部售出，则该商店应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=−32x+b与反比例函数y=kx(k≠0)交于A(m,6)，B(4,−3)两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)直接写出不等式−32x+b>kx的解集；
(3)点P在x轴上，求|PA−PB|的最大值．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=12∠CAB．
(1)求证：直线BF是⊙O的切线；
(2)若AB=10，sin∠CBF= 55，求BC和BF的长．
23.(本小题8分)
综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+4与x轴交于点A(−4,0)，与y轴交于点C，抛物线y=−x2+bx+c经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B．

(1)求k的值及抛物线的解析式．
(2)如图①，若点D为直线AC上方抛物线上一动点，当∠ACD=2∠BAC时，求D点的坐标；
(3)如图②，若F是线段OA的上一个动点，过点F作直线EF垂直于x轴交直线AC和抛物线分别于点G、E，连接CE.设点F的横坐标为m．
①当m为何值时，线段EG有最大值，并写出最大值为多少；
②是否存在以C，G，E为顶点的三角形与△AFG相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
24.(本小题8分)
【问题提出】
(1)如图①，在正方形ABCD中，点E在DC边上，连接BE，AF⊥BE，垂足为点G，交BC于点F.请判断AF与BE的数量关系，并说明理由．
【类比探究】
(2)如图②，在矩形ABCD中，ABBC=34，点E在DC边上，连接BE，AF⊥BE，垂足为点G，交BC于点F.求AFBE的值．
【拓展应用】
(3)如图③，在(2)的条件下，平移线段AF，使它经过BE的中点H，交AD于点M，交BC于点N，连接NE，若MN=3 5，sin∠ENC=45，则BC的长为______．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题可知，
2−x≥0，
解得x≤2．
故选：C．
根据被开方数不小于零的条件进行解题即可．
本题考查二次根式有意义的条件和在数轴上表示不等式的解集，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：依题意得：(x1−1)(x2−1)=x1x2−x1−x2+1=3，
即：x1x2−(x1+x2)=2，
∴m2+2m−1=2，
解得：m=−3或m=1，
当m=1时，原方程为：x2+x+1=0，
∴Δ=12−4×1×1=−3<0，则不符合题意；
当m=−3时，原方程为：x2−7x+9=0，
∴Δ=(−7)2−4×1×9=13>0，则符合题意；
综上所述，m的值为−3，
故选A．
先根据一元二次方程根与系数的关系求得m=−3或m=1，再将m=−3或m=1代入原方程中利用根的判别式即可求解．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：由函数图象可知，
a>0，c<0，
所以ac<0．
故①正确．
因为抛物线与x轴的交点横坐标为−2和4，
所以关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=−2，x2=4．
故②正确．
由函数图象可知，
当x>1时，y随x的增大而增大．
故③正确．
故选：D．
根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，由函数图象与x轴交点的横坐标，可得出方程ax2+bx+c=0的根，由函数图象可得出当x>1时，y随x的变化情况．
本题考查二次函数的图象与性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵ 9×9×⋯×9m个9= 3+3+⋯+3n个3，
∴9m=3n，
∵m=2024，
∴34048=3n，
∴n=4047．
故选：D．
先根据有理数的乘方和相同加数的加法将已知式变形，再根据幂的乘方，同底数幂的乘法即可解答．
本题主要考查有理数的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】B
【解析】解：如图，连接PA，过点P作PE⊥AB于点E，交⊙P于点F．
设PA=PF=r m．
∵PE⊥AB，
∴AE=EB=12AB=4(m)，
在Rt△PAE中，PA2=PE2+AE2，
∴r2=(r−2)2+42，
∴r=5，
故选：B．
如图，连接PA，过点P作PE⊥AB于点E，交⊙P于点F.利用垂径定理，勾股定理求解．
本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
6.【答案】B
【解析】解：当点N与点C重合时，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AM/​/BC，
∴AMBC=PAPB，
∴AM4=22+6，
∴AM=1．
∴DM=DA−AM=3．
①当0≤x≤3时，点N在CD上，
过点N作NE⊥AB于点E，如图，
则NE=AD=4，
∵DM=x，
∴AM=AD−DM=4−x，
∵S△BMN=S△NPB−S△MPB
=12×PB⋅NE−12×PB⋅MA
=12×8×4−12×8×(4−x)
∴S△BMN=4x(0≤x≤3)，
∴此时对应的函数图像是一条以(0,0)和(3,12)为端点的线段；
②当3∵四边形ABCD是矩形，
∴AM/​/BC，
∴AMBN=PAPB=14，
∴BN=4AM=4(4−x)．
∵S△BMN=S△NPB−S△MPB
=12×PB⋅BN−12×PB⋅MA
=12×8×4(4−x)−12×8×(4−x)
∴S△MBN=48−12x(3此时对应的函数的图象为一条以(3,12)和(4,0)为端点的线段，
综上，下列图象能反映S与x之间函数关系的是B，
故选：B．
利用分类讨论的方法分点N在CD上和点N在BC上两种情形解答，分别求得S与x的函数关系式，利用对应的函数图像即可得出结论．
本题主要考查了动点问题的函数的图象，利用分类讨论的方法求得不同条件下的函数解析式是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，CD=AB=a，AD=BC，
在△BEF与△CFD中，
∠B=∠CBE=CF∠BEF=∠DFC，
∴△BEF≌△CFD(ASA)，
∴BF=CD=a，EF=DF，
∴BC=AD=BF+CF=a+b，
∵∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠CFD=90°，
∴△EFD是等腰直角三角形，
在Rt△ADE中，
∵AE2+AD2=DE2，
∴(a+b)2+(a−b)2=c2故①正确；
∵EF=DF= 22DE= 22c，BE+BF=a+b，BE+BF>EF，
∴a+b> 22c.故②正确；
故选：A．
根据矩形的性质得到∠B=∠C=90°，CD=AB=a，AD=BC根据全等三角形的性质得到BF=CD=a，EF=DF，求得BC=AD=BF+CF=a+b，推出△EFD是等腰直角三角形，根据勾股定理得到(a+b)2+(a−b)2=c2故①正确；根据三角形的三边关系得到a+b> 22c.故②正确；
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的三边关系，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键，
8.【答案】B
【解析】解：延长CA，DB交于点E．
∵OD=2OC=10，点A、点B在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴C(0,5)，D(10,0)，E(10,5)，A(k5,5)，B(10,k10).
∴AE=10−k5，BE=5−k10，
∵△OAB的面积为20，△AOC的面积为k2，△BOD的面积为k2，
∴k2+k2+20+12(10−k5)×(5−k10)=50，
∴k2=500，
∴k=±10 5．
∵函数图象在第一象限，k>0，负数舍去，
∴k=10 5．
故选：B．
延长CA，DB交于点E，已知OD=2OC=10，表示出各点坐标，根据△OAB的面积为20，列出方程，求出k．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，图象点的坐标特征．关键是找到面积的等量关系．
9.【答案】C
【解析】解：∵CC′/​/AB，
∴∠C′CA=∠CAB=70°，
∵△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，
∴AC=AC′，∠C′AC=∠BAB′，
∴∠C′CA=∠CC′A=70°，
∴∠C′AC=180°−∠C′CA−∠CC′A=40°，
∴∠BAB′=40°；
故选：C．
由CC′/​/AB，可得∠C′CA=∠CAB=70°，根据△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，有AC=AC′，∠C′AC=∠BAB′，故∠C′CA=∠CC′A=70°，可得∠C′AC=180°−∠C′CA−∠CC′A=40°，从而∠BAB′=40°．
本题考查旋转的性质及应用，涉及三角形内角和定理的应用，解题的关键是掌握旋转前后，对应角相等，对应边相等．
10.【答案】D
【解析】【分析】
连接BF，交AE于O点，根据翻折的性质知BE=EF，∠AEB=∠AEF，AE垂直平分BF，再说明AE/​/CF，利用等积法求出BO的长，再利用勾股定理可得答案．
本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，利用等积法求出BO的长是解题的关键．
【解答】
解：连接BF，交AE于O点，
∵将△ABE沿AE折叠得到△AFE，
∴BE=EF，∠AEB=∠AEF，AE垂直平分BF，
∵点E为BC的中点，
∴BE=CE=EF=3，
∴∠EFC=∠ECF，
∵∠BEF=∠ECF+∠EFC，
∴∠AEB=∠ECF，
∴AE//CF，
∴∠BFC=∠BOE=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，AE= AB2+BE2= 42+32=5，
∴BO=AB×BEAE=3×45=125，
∴BF=2BO=245，
在Rt△BCF中，由勾股定理得，
CF= BC2−BF2= 62−(245)2=185，
故选：D．
11.【答案】13
【解析】解：∵实数a，b满足(a+5)2+ b−12=0，
∴(a+5)2=0, b−12=0，
∴a=−5，b=12，
∴ a2+b2= 25+144= 169=13，
故答案为：13．
先根据算术平方根的性质得出a，b的值，再代入 a2+b2进行计算即可作答．
本题考查了算术平方根的非负性，以及求一个数的算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
12.【答案】5cm
【解析】解：根据题意，结合函数图象，可知：
当0≤x<4时，点P在AB上运动；
当x=4时，点P运动到点B，即AB=1×4=4(cm)；
由图知，点P在AB，CD上运动时间均为4s，则在BC上运动了3s，
即由A到C运动了7s；
当4≤x<7时，点P在BC上运动；
当x=7时，点P运动到点C，即CB=1×(7−4)=3(cm)．
在矩形ABCD中，AB=4，CB=3，则AC= AB2+CB2= 42+32=5(cm)，
故答案为：5cm．
当0≤x<4、4≤x<7两段，分别求得矩形的边长再用勾股定理即可得解．
本题考查了矩形的性质，动点问题的函数图象，利用了数形结合的思想，解答本题的关键是读懂题意，从图象的变化与动点运动位置的改变确定动点的所需关系量．
13.【答案】(2− 3)
【解析】解：过A作AQ⊥AB所在直线于点Q，
∵四边形ABCD是菱形，AB=1cm，∠ABC=60°，
∵AB=BC=1，∠D=∠B=60°，∠BAC=∠EAM=180°−60°=120°，
∵菱形沿CE折叠，点A、B分别落在A、B处，
∴∠B=∠D=∠B=60°，AB=BC=BC=AB=1，
∵AB⊥CD，
∴∠CFB′=∠DFA′=90°，
∴∠FCB′=∠DMF=90°−60°=30°，
∴CF=B′Csin∠B′=1× 32= 32，B′F=B′Ccs∠B′=1×12=12，
∴DF=CD−CF=1− 32，
∴MF=DFtan∠DMF=1− 32 33= 3−32，
∴AM=1−( 3−32)−12=2− 3，
∴∠AMQ=∠DMF=30°，
∴∠A′EM=180°−120°−30°=30°，
∴∠A′ME=∠A′EM，
∴A′E=A′M=2− 3，
∴AE=A′E=2− 3，
故答案为：2− 3．
根据菱形的性质得到AB=BC=1，结合折叠得到AB=BC=BC=AB=1，∠B′=∠B=60°，根据三角函数得到CF，DF，结合角度关系得到∠DMF=∠B′CF=30°，求出DM，再根据三角函数即可得到答案．
本题考查菱形性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
14.【答案】8
【解析】解：设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接BO，如下图，
设BO与⊙O的交点为点F′，
∵∠ABC=∠BAD=90°，
∴∠DAF+∠BAE=90°，
∵∠ADF=∠BAE，
∴∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠AFD=180°−(∠DAF+∠ADF)=90°，
∴点F在以AD为直径的半圆上运动，
∴当点F运动到BO与⊙O的交点F′时，线段BF有最小值，
∵AD=10，AB=12，
∴OA=OD=12AD=5，
∴OB= OA2+AB2= 52+122=13，
∴BF的最小值为BF′=OB−OF′=13−5=8．
故答案为：8．
设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接BO，设BO与⊙O的交点为点F′，证明∠AFD=90°，可知点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到BO与⊙O的交点F′时，线段BF有最小值，据此求解即可．
本题主要考查了圆周角定理的推论、勾股定理、三角形内角和定理等知识，根据题意分析得到点F的运动轨迹是解题的关键．
15.【答案】8
【解析】解：由图可知：k>0，
延长BC，过点A作AD⊥BC于点D，过点A作AE⊥OB于点E，
设A(a,ka)，B(b,0)，则C(b,kb)，D(b,ka)，E(a,0)，
∵△AOB为等腰三角形，
∴AO=AB，
∵AE⊥OB，
∴OE=BE，
∴a=b−a，即b=2a，
∵S△ABC=12BC⋅AD=2，
∴12⋅kb⋅(b−a)=2，
∴k=8，
故答案为：8．
延长BC，过点A作AD⊥BC于点D，过点A作AE⊥OB于点E，设A(a,ka)，B(b,0)，证明△AOB为等腰三角形，可得b=2a，再用三角形ABC的面积可求k．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定和性质，掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键．
16.【答案】−3，−2，−1，0，1，3
【解析】解：分式方程去分母得：a−3x−3=1−x，
解得：x=a−42，
由分式方程有负整数解，得到a−42<0且a−42≠−1，即a<4，且a≠2，
不等式组整理得：x≤2a+4x<−2，
由解集为x<−2，得到2a+4≥−2，即a≥−3，
∴整数a=−3，−2，−1，0，1，3，
故答案为：−3，−2，−1，0，1，3
分式方程去分母转化为整式方程，表示出整数方程的解，由解为负整数，求出a的范围，不等式组整理后，根据解集确定出a的范围，进而求出整数a的值即可．
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17.【答案】解：(1)(1+38)0−|−2|+ 9−(12)−1
=1−2+3−2
=0；
(2)3xx−1−21−x=−1，
方程两边都乘以(x−1)，得3x+2=−(x−1)，
解得：x=−14，
检验：当x=−14时，x−1≠0，
∴原分式方程的解为x=−14．
【解析】(1)先算零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值和二次根式，最后算加减即可；
(2)根据去分母，去括号，合并同类项，化系数为1，即可求解．
本题考查了实数的混合运算，解分式方程，掌握实数的混合运算法则和分式方程的解法是关键．
18.【答案】200 20%
【解析】解：(1)本次一共调查了20÷10%=200(名)学生．
m=40÷200×100%=20%．
故答案为：200；20%．
(2)C项目的人数为200×25%=50(人)．
补全条形统计图如图所示．
(3)2000×(45%+25%)=1400(名)．
∴估计最喜爱B和C项目的学生一共约1400名．
(4)最喜爱A，B，C，D活动项目的学生各一人，分别记为甲、乙、丙、丁，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选取最喜爱C和D项目的两位学生的结果有：丙丁，丁丙，共2种，
∴恰好选取最喜爱C和D项目的两位学生的概率为212=16．
(1)用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得本次一共调查的学生人数；用条形统计图中D的人数除以本次一共调查的学生人数再乘以100%可得m．
(2)求出C项目的人数，补全条形统计图即可．
(3)根据用样本估计总体，用2000乘以扇形统计图中B，C的百分比之和，即可得出答案．
(4)画树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好选取最喜爱C和D项目的两位学生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
19.【答案】A
【解析】解：(1)该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是三角形具有稳定性，
故答案为：A；
(2)设AC′=x cm，
由题意得：DC′⊥AB，
在Rt△ACC′中，∠C′AC=12°，
∴CC′=AC′⋅tan12°≈0.2x(cm)，
在Rt△AC′D中，∠C′AD=45°，
∴C′D=AC′⋅tan45°=x(cm)，
∵CD=30cm，
∴C′D−CC′=30cm，
∴x−0.2x=30，
解得：x=37.5，
∴CC′=0.2x=7.5(cm)，
∴此时水桶下降的高度CC′约为7.5cm．
(1)根据三角形具有稳定性，即可解答；
(2)设AC′=x cm，根据题意可得：DC′⊥AB，然后分别在Rt△ACC′和Rt△AC′D中，利用锐角三角函数的定义求出CC′和C′D的长，最后列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，线段的性质，三角形的稳定性，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设乙种洗手液的每瓶进价为x元，则甲种洗手液每瓶进价为(x+4)元，
根据题意，得，
解得x=16，
经检验，x=16是原方程的解且符合题意，
答：甲种洗手液每瓶进价为20元，乙种洗手液的每瓶进价为16元；
(2)设购进甲洗手液m瓶，乙种洗手液(80−m)瓶，利润为W元，
则20m+16(80−m)≤1450，
∴m≤42.5，且m为整数，
W=(28−20)m+(20−16)(80−m)=4m+320，
W为关于m的一次函数，k=4>0，
∴W随m的增大而增大，
∴当m=42时，W有最大值488，
∴购进甲种洗手液42瓶，乙种洗手液38瓶，能获得最大利润为488元．
【解析】(1)设乙种洗手液的每瓶进价为x元，则甲种洗手液每瓶进价为(x+4)元，根据题意建立方程求出其解即可；
(2)根据利润=售价−进价可以得出关于利润的方程，然后根据一次函数的性质即可得到结论．
本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)∵点B(4,−3)在反比例函数y=kx和一次函数y=−32x+b的图象上，
∴−3=k4
−3=−32×4+b，
解得k=−12，b=3．
∴反比例函数的表达式为y=−12x，
一次函数的表达式为：y=−32x+3；
(2)根据图象和交点坐标可知不等式−32x+b>kx的解集为：x<−2或者0(3)如图作点B关于x轴的对称点B′；作AB′延长线交x轴于点P，

由对称性可知PB=PB′；，PA−PB=PA−PB′=AB′；
∴|PA−PB|的值最大为AB′；
∵点B′是点B关于x轴的对称点，B(4,−3)
∴B′(4.3)，
将A(m,6)坐标代入反比例函数解析式的m=−2，
∴A(−2,6)，
∴AB′= (4+2)2+(6−3)2=3 5．
【解析】(1)待定系数法求出两个函数解析式即可；
(2)根据函数图象和交点坐标，直接写出不等式的解集即可；
(3)作点B关于x轴的对称点B′；作AB′延长线交x轴于点P，所以|PA−PB|的值最大为AB′，代入数据计算即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键．
22.【答案】(1)证明：连接AE．

∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°(直径所对的圆周角是直角)，
∴∠BAE+∠ABE=90°(直角三角形的两个锐角互余)；
又∵AB=AC，AE⊥BC，
∴AE平分∠BAC，即∠BAE=∠CAE；
∵∠CAB=2∠CBF，
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠BAE+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°，即AB⊥BF，
∵OB是半径，
∴BF为⊙O的切线；
(2)解：由(1)知：BE=CE，∠CBF=∠BAE，∠BEA=90°，
∵sin∠CBF= 55，
∴sin∠BAE= 55，
∴BEAB= 55，
过点C作CG⊥BF于点G．
∵AB=10，
∴BE=2 5，
∴BC=4 5，
∵sin∠CBG=sin∠BAE=BEAB=1 5，
∴CG=BC×1 5=4，
∴BG= BC2−CG2= (4 5)2−42=8，
∵CG⊥BF，AB⊥BF，
∴CG//AB，
∴△FCG∽△FAB，
∴FGBF=CGAB，
即BF−8BF=410，
∴BF=403．
【解析】(1)连接AE.欲证BF是⊙O的切线，只需证明AB⊥BF即可；
(2)根据AB=10，sin∠CBF= 55，求得BE=2 5，进而求得BC=2BE=4 5，过点C作CG⊥BF于点G，则AB//CG.解直角三角形求得CG，然后由三角形相似知FGAF=CGAB=BF−8BF=410，从而求得BF的值．
本题属于圆的综合题，主要考查了切线的判定与性质、勾股定理、平行线截线段成比例、直角所对的圆周角是直角、解直角三角形等知识点，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理及勾股定理．
23.【答案】解：(1)∵直线y=kx+4与x轴交于点A(−4,0)，
∴−4k+4=0，
∴k=1，
∴直线AC的表达式为y=x+4；
当x=0时，y=4，
∴点C的坐标为(0,4)，
将点A的坐标为(−4,0)，点C的坐标为(0,4)，代入y=−x2+bx+c，
得：−16−4b+c=0c=4，
解得：b=−3c=4，
∴抛物线的解析式为y=−x2−3x+4；
(2)如图，过点C作CM/​/x轴交抛物线于点M，过点D作CM的垂线，垂足为N，

∵CM//x轴，
∴∠ACM=∠BAC，
∵∠ACD=2∠BAC，
∴∠ACD=2∠ACM，
∴∠ACM=∠DCM，
∵OA=OC=4，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∴∠DCM=∠CDN=45°，
∴DN=CN，
设CN=DN=n，
∴D的坐标为(−n,n+4)，
将点D的坐标代入解析式可得，−n2+3n+4=n+4，
解得n=2或n=0(舍去)
∴D的坐标为(−2,6)；
(3)①由(1)可知，直线AC的解析式为：y=x+4；
∵点F的横坐标为m，
∴点G的坐标为(m,m+4)，点E的坐标为(m,−m2−3m+4)，
设线段EG的长度为W，
则W=−m2−3m+4−(m+4)
=−m2−4m
=−(m+2)2+4，
∴当m=−2时，线段EG有最大值为4；
②存在，理由如下：
由图形可知∠CGE=∠AGF，
∴若△CEG与△AFG相似，则需要分两种情况，
当∠ECG=∠AFG=90°时，由(2)可知，E(−2,6)，此时m=−2；
当∠CEG=∠AFG=90°时，过点C作CM/​/x轴交抛物线于点E，

令y=−x2−3x+4=4，
解得x=0(舍)或x=−3，
综上，当m的值为−2或−3时，以C，G，E为顶点的三角形与△AFG相似．
【解析】(1)将点A的坐标直接代入直线解析式可得出k的值；再求出点C的坐标，将A，C的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论；
(2)由(1)可得OA=OC=4，则∠OAC=∠ACO=45°，所以∠ACD=2∠BAC=90°，过点C作CM/​/x轴交抛物线于点M，过点D作CM的垂线，垂足为N，则CN=DN，设CN=n，可表达点D的坐标，代入抛物线的解析式即可得出结论；
(3)①由点A，C坐标可得出直线AC的解析式，由此可表达点E，G的坐标，进而表达EG的长度，结合二次函数的性质可得出结论；
②根据题意需要分两种情况，当∠ECG=∠AFG=90°时，当∠CEG=∠AFG=90°时，分别求出m的值即可．
本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数关系式；(2)作出辅助线，构造全等；(3)分两种情况讨论，画出图形．
24.【答案】8
【解析】解：(1)AF=BE，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC，
∵AF⊥BE，
∴∠BAG+∠ABG=90°，∠ABG+∠CBE=90°，
∴∠BAG=∠CBE，
在△ABF和△BCE中，
∠BAF=∠CBEAB=BC∠ABF=∠BCE，
∴△ABF≌△BCE(ASA)，
∴AF=BE；
(2)∵AF⊥BE，
∴∠BAF+∠ABE=90°．
在矩形ABCD中，∠ABC=∠C=90°，
∴∠CBE+∠ABE=90°，
∴∠BAF=∠CBE，
∴△ABF∽△BCE，
∴ABBC=AFBE，
∵ABBC=34，
∴AFBE=34；
(3)由平移的性质可得MN/​/AF，MN=AF，
∴MN⊥BE，MNBE=34，
∴MN=3 5，
∴BE=4 5，
∵点H为BE的中点，
∴MN垂直平分BE，
∴BN=NE，
∵sin∠ENC=CENE=45，
∴可设BN=EN=5x，CE=4x，
∴CN= NE2−CE2=3x，
∴BC=BN+CN=8x，
在Rt△EBC中，由勾股定理得BE2=BC2+CE2，
∴(4 5)2=(4x)2+(8x)2，
解得x=1或x=−1(舍去)，
∴BC=8x=8．
故答案为：8．
(1)证明△ABF≌△BCE(ASA)，得出AF=BE；
(2)证明△ABF∽△BCE，得出ABBC=AFBE，则可得出答案；
(3)由平移的性质可得MN/​/AF，MN=AF，由勾股定理可得出答案．
本题是相似形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平移的性质、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．项目主题
桥梁模型的承重试验
活动目标
经历项目化学习的全过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题
驱动问题
当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度
方案设计
工具
状态一
(空水桶)
状态二
(水桶内加一定量的水)
示意图
说明：C为AB的中点