江苏省南京师范大学苏州实验学校2023-2024学年高三下学期一模考试数学试卷

这是一份江苏省南京师范大学苏州实验学校2023-2024学年高三下学期一模考试数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合A＝{x|2x2﹣x﹣1≤0}，B＝{x|x＞0}，则A∩B＝（ ）
A．B．C．[0，1]D．（0，1]
2．（5分）已知样本空间Ω＝{a，b，c，d}含有等可能的样本点，且A＝{a，b}，B＝{b，c}，则＝（ ）
A．B．C．D．1
3．（5分）已知l，m是两条不同的直线，α为平面，m⊂α，下列说法中正确的是（ ）
A．若l∩α＝A，且l与α不垂直，则l与m一定不垂直
B．若l与α不平行，则l与m一定是异面直线
C．若l∩α＝A，且A∉m，则l与m可能平行
D．若l∥α，则l与m可能垂直
4．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣1，S7＝5a4+10，则S4＝（ ）
A．6B．7C．8D．10
5．（5分）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数．人体的血氧饱和度正常范围是95%～100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：S（t）＝S0eKt描述血氧饱和度S（t）随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中S0为初始血氧饱和度，K为参数．已知S0＝60%，给氧1小时后，血氧饱和度为80%．若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ）
（精确到0.1，参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10）
A．0.3B．0.5C．0.7D．0.9
6．（5分）在△ABC中，“tanAtanB＜1”是“△ABC为钝角三角形”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）已知函数f（x）＝2sinx﹣2csx，则（ ）
A． B．f（x）不是周期函数
C．f（x）在区间上存在极值D．f（x）在区间（0，π）内有且只有一个零点
8．（5分）过双曲线的右支上一点P，分别向和作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（ ）
A．28B．29C．30D．32
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
（多选）9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．若事件A和事件B互斥，P（AB）＝P（A）P（B）
B．数据4，7，5，6，10，2，12，8的第70百分位数为8
C．若随机变量ξ服从N（17，σ2），P（17＜ξ≤18）＝0.4，则P（ξ＞18）＝0.1
D．已知y关于x的回归直线方程为．，则样本点（2，﹣3）的残差为﹣1.9
（多选）10．（6分）函数f（x）＝2sinωxcsωx+2cs2ωx﹣1（0＜ω＜1）的图象如图所示，则（ ）
A．f（x） 的最小正周期为2π B．是奇函数
C．的图象关于直线时称
D．若y＝f（tx）（t＞0）在[0，π]上有且仅有两个零点，则
（多选）11．（6分）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′（x），且f（x）﹣f（﹣x）＝2x，g（x）+g（2﹣x）＝0，则（ ）
A．g（0）＝1 B．的图象关于点（0，1）对称
C．f（x）+f（2﹣x）＝0 D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知i是虚数单位，若复数z满足（2+i）z＝i，则＝ ．
13．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的直径为6，且AB⊥BC，BC＝2，则该棱柱体积的最大值为 ．
14．（5分）某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）．如图，已知锐角△ABC外接圆的半径为2，且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P．若AB＝3，则sin∠PAC＝ ；若AC：AB：BC＝6：5：4，则PA+PB+PC的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且an，Sn，为等差数列．
（1）求a1及{an}的通项公式；
（2）记集合的元素个数为bk，求数列bk的前50项和．
16．（15分）已知椭圆中，点A，C分别是E的左、上顶点，，且E的焦距为．
（1）求E的方程和离心率；
（2）过点（1，0）且斜率不为零的直线交椭圆于R，S两点，设直线RS，CR，CS的斜率分别为k，k1，k2，若k1+k2＝﹣3，求k的值．
17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥CD，AD＝2BC＝2，CD＝．
（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）点M为棱PC的中点，求BM与平面PCD所成角的正弦值．
18．（17分）随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会成为改变人类社会发展的重要力量．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语舷错误，则软件正确应答的概率为80%；若出现语法错误，则软件正确应答的概率为30%．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%．
（1）求一个问题能被软件正确应答的概率；
（2）在某次测试中，输入了n（n≥6）个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的个数为X，X＝k（k＝0，1，⋯，n）的概率记为P（X＝k），则n为何值时，P（X＝6）的值最大？
19．（17分）已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：；
（3）若函数有三个不同的零点，求m的取值范围．
2024年江苏省苏州市南京师大苏州实验学校高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|2x2﹣x﹣1≤0}，B＝{x|x＞0}，则A∩B＝（ ）
A．B．C．[0，1]D．（0，1]
【分析】先求出集合A，再结合集合的交集运算求解．
【解答】解：集合A＝{x|2x2﹣x﹣1≤0}＝{x|﹣}，
又因为B＝{x|x＞0}，
所以A∩B＝{x|0＜x≤1}．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题．
2．（5分）已知样本空间Ω＝{a，b，c，d}含有等可能的样本点，且A＝{a，b}，B＝{b，c}，则＝（ ）
A．B．C．D．1
【分析】根据题意，分别求得P（A），P（B），P（AB），结合独立事件的定义，可判定事件A与B相互独立，再结合对立事件的概念关系可运算得解．
【解答】解：根据题意，样本空间Ω＝{a，b，c，d}且A＝{a，b}，B＝{b，c}，
则，，，
∴P（AB）＝P（A）P（B），
所以事件A与B相互独立，则A与也相互独立，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查概率的应用，涉及相互独立事件的概率计算，属于基础题．
3．（5分）已知l，m是两条不同的直线，α为平面，m⊂α，下列说法中正确的是（ ）
A．若l∩α＝A，且l与α不垂直，则l与m一定不垂直
B．若l与α不平行，则l与m一定是异面直线
C．若l∩α＝A，且A∉m，则l与m可能平行
D．若l∥α，则l与m可能垂直
【分析】结合点线面之间的关系逐项判断即可得．
【解答】解：对于A，在平面α内，存在无数条直线和l垂直，故A错误；
对于B，当l⊂α时，l与m不是异面直线，故B错误；
对于C，若l∩α＝A，且A∉m，l与m为异面直线，故C错误；
对于D，若l∥α，在α内存在直线与l垂直，故其可能与m垂直，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查空间中线面之间的关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．
4．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣1，S7＝5a4+10，则S4＝（ ）
A．6B．7C．8D．10
【分析】根据题意，由等差数列的前n项和公式即可得到a4＝5，再由等差数列的求和公式即可得到结果．
【解答】解：因为数列{an}为等差数列，则，
又S7＝5a4+10，则7a4＝5a4+10，即a4＝5，
则．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
5．（5分）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数．人体的血氧饱和度正常范围是95%～100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：S（t）＝S0eKt描述血氧饱和度S（t）随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中S0为初始血氧饱和度，K为参数．已知S0＝60%，给氧1小时后，血氧饱和度为80%．若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ）
（精确到0.1，参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10）
A．0.3B．0.5C．0.7D．0.9
【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数．
【解答】解：设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要t﹣1小时，
由题意可得60eK＝80，60eKt＝90，两边同时取自然对数并整理，
得，，
则，则给氧时间至少还需要0.5小时．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
6．（5分）在△ABC中，“tanAtanB＜1”是“△ABC为钝角三角形”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】解法一：对角分类讨论，利用正切和差公式及其三角函数的单调性即可判断出结论．
解法二：tanAtanB＜1⇔1﹣＞0⇔csAcsBcsC＜0⇔△ABC为钝角三角形，即可判断出结论．
【解答】解：解法一：（1）若C为钝角，则A，B为锐角，∴tanC＝﹣tan（A+B）＝﹣＜0，解得tanAtanB＜1．
若A或B为钝角，则tanAtanB＜1成立．
（2）若tanAtanB＜1成立，假设A或B为钝角，则△ABC为钝角三角形．
假设A，都B为锐角，tanC＝﹣tan（A+B）＝﹣＜0，解得C为钝角，则△ABC为钝角三角形．
综上可得：在△ABC中，“tanAtanB＜1”是“△ABC为钝角三角形”的充要条件．
解法二：tanAtanB＜1⇔1﹣＞0⇔＞0⇔csAcsBcsC＜0⇔△ABC为钝角三角形．
∴在△ABC中，“tanAtanB＜1”是“△ABC为钝角三角形”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题考查了分类讨论、正切和差公式及其三角函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．（5分）已知函数f（x）＝2sinx﹣2csx，则（ ）
A．
B．f（x）不是周期函数
C．f（x）在区间上存在极值
D．f（x）在区间（0，π）内有且只有一个零点
【分析】对于A：由f（x+）+f（﹣x）＝0，即可判断A是否正确；
对于B：利用函数周期性的定义，即可判断B是否正确；
对于C：利用导数的正负判断函数的单调性，即可判断C是否正确；
对于D：利用零点的定义，将问题转化为求解方程的根的个数，即可判断D是否正确．
【解答】解：对于A：因为函数f（x）＝2sinx﹣2csx，
所以f（x+）+f（﹣x）＝﹣+2sin（﹣x）﹣2cs（﹣x）＝2csx﹣2﹣sinx+2﹣sinx﹣2csx＝0，
所以f（x）关于点（，0）对称，
所以f（+x）＝﹣f（﹣x），故A错误；
对于B：因为f（x+2π）＝2sin（x+2π）﹣2cs（x+2π）＝2sinx﹣2csx＝f（x），
所以2π为函数f（x）的一个周期，故B错误；
对于C：因为f（x）＝2sinx﹣2csx，
所以f′（x）＝2sinxcsx•ln2+2csxsinx•ln2，
当0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）在（0，）上单调递增，故C错误；
对于D：令f（x）＝2sinx﹣2csx＝0，即2sinx＝2csx，即sinx＝csx，
因为x∈（0，π），则tanx＝1，
所以x＝，
所以方程在（0，π）上只有一个根，
所以函数f（x）在（0，π）内有且只有一个零点，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
8．（5分）过双曲线的右支上一点P，分别向和作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（ ）
A．28B．29C．30D．32
【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．
【解答】解：圆C1：（x+4）2+y2＝3的圆心为（﹣4，0），半径为；
圆C2：（x﹣4）2+y2＝1的圆心为（4，0），半径为r2＝1，
设双曲线的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），
连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得
＝＝
＝（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣2
＝2a（|PF1|+|PF2|﹣2＝4（|PF1|+|PF2|）﹣2≥4•2c﹣2＝4•8﹣2＝30．
当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值30．
∴＝的最小值为30．
故选：C．
【点评】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力，属于中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
（多选）9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．若事件A和事件B互斥，P（AB）＝P（A）P（B）
B．数据4，7，5，6，10，2，12，8的第70百分位数为8
C．若随机变量ξ服从N（17，σ2），P（17＜ξ≤18）＝0.4，则P（ξ＞18）＝0.1
D．已知y关于x的回归直线方程为．，则样本点（2，﹣3）的残差为﹣1.9
【分析】根据题意，由互斥事件的定义分析A，由百分位数的计算公式分析B，由正态分布的性质分析C，由残差的计算公式分析D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若事件A和事件B互斥，P（AB）＝0，A错误；
对于B，数据从小到大排列为：2、4、5、6、7、8、10、12，
而8×0.7＝5.6，则该组数据第70百分位数为第六个数据，即8，C正确；
对于C，若随机变量ξ服从N（17，σ2），则P（X＞17）＝0.5，
若P（17＜ξ≤18）＝0.4，则P（ξ＞18）＝0.1，C正确；
对于D，已知y关于x的回归直线方程为．，
则样本点（2，﹣3）的残差为e＝（﹣3）﹣（0.3﹣0.7×2）＝﹣1.9，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查命题真假的判断，涉及互斥事件、正态分布和残差的计算，属于基础题．
（多选）10．（6分）函数f（x）＝2sinωxcsωx+2cs2ωx﹣1（0＜ω＜1）的图象如图所示，则（ ）
A．f（x） 的最小正周期为2π
B．是奇函数
C．的图象关于直线时称
D．若y＝f（tx）（t＞0）在[0，π]上有且仅有两个零点，则
【分析】先利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：＝sin2ωx+cs2ωx＝，
由图知：x＝时，函数有最大值，
∴，
则，k∈Z，
∵0＜ω＜1，故，
对于A：，，故A正确；
对于B：，
∴y＝cs2x为偶函数，
∴ 为偶函数，故B错误；
对于C：＝＝
＝＝，
令，
则x＝，k∈Z，
当k＝0时，y＝f（x+）csx的图象关于直线对称，故C正确；
对于D：∵x∈[0，π]，∴tx∈[0，tπ]，，
∴，即，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
（多选）11．（6分）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′（x），且f（x）﹣f（﹣x）＝2x，g（x）+g（2﹣x）＝0，则（ ）
A．g（0）＝1
B．的图象关于点（0，1）对称
C．f（x）+f（2﹣x）＝0
D．
【分析】对于A，对条件f（x）﹣f（﹣x）＝2x，求导可得；对于B，对条件f（x）﹣f（﹣x）＝2x，两边同时除以x可得；对于C，反证法，假设C正确，求导，结合条件g（x）+g（2﹣x）＝0，可得g（0）＝0与g（0）＝1矛盾，可判断C；对于D，求出g（1）＝0，g（2）＝﹣1，所以有g（n+2）﹣g（n）＝﹣2，g（2）﹣g（1）＝﹣1，n∈N*，得出数列{g（n）}是以0为首项，﹣1为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可判断．
【解答】解：因为f（x）﹣f（﹣x）＝2x，
所以f'（x）+f'（﹣x）＝2，
即g（x）+g（﹣x）＝2，
令x＝0，得g（0）＝1，故A正确；
f（x）﹣f（﹣x）＝2x，
当x≠0时，+＝2，
所以y＝的图象关于点（0，1）对称，故B正确；
对于C，假设f（x）+f（2﹣x）＝0成立，
求导得f'（x）﹣f'（2﹣x）＝0，
即g（x）﹣g（2﹣x）＝0，又g（x）+g（2﹣x）＝0，
所以g（x）＝0，所以g（0）＝0与g（0）＝1矛盾，故C错误；
对于D，因为g（x）+g（﹣x）＝2，g（x）+g（2﹣x）＝0，
所以g（2﹣x）﹣g（﹣x）＝﹣2，g（1）＝0，g（2）＝﹣1，
所以有g（n+2）﹣g（n）＝﹣2，且g（2）﹣g（1）＝﹣1，n∈N*，
所以数列{g（n）}是以0为首项，﹣1为公差的等差数列，
所以g（n）＝1﹣n，
所以＝，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查函数的性质，属难题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知i是虚数单位，若复数z满足（2+i）z＝i，则＝ ．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：（2+i）z＝i，
则z＝，
故＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
13．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的直径为6，且AB⊥BC，BC＝2，则该棱柱体积的最大值为 16 ．
【分析】将直三棱柱ABC﹣A1B1C1外补全成长方体，从而可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的直径即为该长方体的体对角线，从而可得a2+h2＝32，再根据重要不等式，即可求解．
【解答】解：如图，将直三棱柱ABC﹣A1B1C1外补全成长方体ABCD﹣A1B1C1D1，
则直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的直径即为该长方体的体对角线，
设AB＝a，BB1＝h，
则62＝a2+22+h2，
∴a2+h2＝32，
∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为＝ah≤＝16，
当且仅当a＝h＝4时，等号成立，
∴该棱柱体积的最大值为16．
故答案为：16．
【点评】本题考查体积的最值问题，三棱柱的外接球问题，分割补形法的应用，重要不等式的应用，属中档题．
14．（5分）某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）．如图，已知锐角△ABC外接圆的半径为2，且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P．若AB＝3，则sin∠PAC＝ ；若AC：AB：BC＝6：5：4，则PA+PB+PC的值为 ．
【分析】设外接圆半径为R，则R＝2，由正弦定理得到，即可求；设∠CAB＝θ，∠CBA＝α，∠ACB＝β，则，根据正弦定理和余弦定理，得到．
【解答】解：设外接圆半径为R，则R＝2，
由正弦定理，可知，
即，
又由题意可知，，
所以，所以；
设∠CAB＝θ，∠CBA＝α，∠ACB＝β，则，
易知，
由题意可得∠APC＝π﹣∠ABC，所以，
同理可得，
所以．
故答案为：；．
【点评】本题考查了三角形中的几何计算，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且an，Sn，为等差数列．
（1）求a1及{an}的通项公式；
（2）记集合的元素个数为bk，求数列bk的前50项和．
【分析】（1）根据等差中项可得，结合Sn与an之间的关系分析可知数列{an}为等差数列，再利用等差数列通项公式运算求解；
（2）根据题意可得，结合基本不等式可得，结合等差数列求和公式运算求解．
【解答】解：（1）因为成等差，则，且an＞0，
当n＝1时，可得，解得a1＝1或a1＝0（舍去）；
当n≥2时，可得，
两式相减得，整理得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）＝an+an﹣1，
且an+an﹣1＞0，则an﹣an﹣1＝1，
可知数列{an}是以首项为1，公差为1的等差数列，所以an＝1+n﹣1＝n；
（2）因为，由（1）可得，即，
因为，当且仅当，即n＝2时，等号成立，
可知b1＝0，b2＝1，
当k≥3时，因为，
所以bk＝2k﹣1，
综上所述：，
所以数列bk的前50项和为．
【点评】本题考查了数列的递推式和等差数列的求和公式，属于中档题．
16．（15分）已知椭圆中，点A，C分别是E的左、上顶点，，且E的焦距为．
（1）求E的方程和离心率；
（2）过点（1，0）且斜率不为零的直线交椭圆于R，S两点，设直线RS，CR，CS的斜率分别为k，k1，k2，若k1+k2＝﹣3，求k的值．
【分析】（1）由|AC|的值，可得a，b的关系，再由焦距可得c的值，又可得a，b的关系，两式联立，可得a，b的值，即求出椭圆的方程；
（2）设直线RS的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出直线CR，CS的斜率之和，由题意整理可得参数的值，进而求出直线RS的斜率的大小．
【解答】解：（1）由题意可得A（﹣a，0），C（0，b），
可得|AC|＝＝，2c＝2，可得c＝，
可得a2﹣b2＝3，a2+b2＝5，
解得a2＝4，b2＝1，
所以离心率e＝＝；
所以椭圆的方程为：+y2＝1；离心率e＝；
（2）由（1）可得C（0，1），
由题意设直线RS的方程为x＝my+1，则k＝，
设R（x1，y1），S（x2，y2），
联立，整理可得：（4+m2）y2+2my﹣3＝0，
显然Δ＞0，且y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，
直线CR，CS的斜率k1＝，k2＝，
则k1+k2＝+＝＝
＝＝，
因为k1+k2＝﹣3，即﹣3＝，解得m＝，
所以直线RS的斜率k＝＝3．
即k的值为3．
【点评】本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥CD，AD＝2BC＝2，CD＝．
（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）点M为棱PC的中点，求BM与平面PCD所成角的正弦值．
【分析】（1）取AD的中点K，由题意可得PK的值，可证得PK⊥BK，PK⊥AD，可证得PK⊥平面ABCD，进而可证得结论；
（2）由（1）可得BK⊥AD，建立空间直角坐标系，分别写出点的坐标，可求出直线BM与平面PCD所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：如图，取AD的中点K，连接PK，BK，
因为△PAD为正三角形，AD＝2，
所以，
因为AD＝2BC＝2，K为AD中点，所以DK＝BC，
又因为底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，
所以四边形BKDC为平行四边形
，
由因为PB＝，因为PK2+BK2＝PB2，
所以PK⊥BK，
又因为PK⊥AD，BK∩AD＝K，BK，AD⊂平面ABCD，
所以PK⊥平面ABCD，
因为PK⊂平面PAD，
所以平面PAD⊥平面ABCD；
（2）解：由（1）易知PK⊥平面ABCD，BK⊥AD，
如图，以K为坐标原点KA，KB，KP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，
则，
设平面PCD的法向量为，
由，得，令，则y＝0，z＝﹣1，
所以，
因为•＝×（﹣）+0×（﹣）+（﹣1）×＝﹣，||＝＝2，||＝＝，
所以cs＜，＞＝＝＝﹣，
设BM与平面PCD所成的角为θ，θ∈[0，]，
所以sinθ＝|cs＜，＞|＝，
即BM与平面PCD所成角的正弦值为．
【点评】本题考查面面垂直的证法及直线与平面所成的角的正弦值的求法，属于中档题．
18．（17分）随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会成为改变人类社会发展的重要力量．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语舷错误，则软件正确应答的概率为80%；若出现语法错误，则软件正确应答的概率为30%．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%．
（1）求一个问题能被软件正确应答的概率；
（2）在某次测试中，输入了n（n≥6）个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的个数为X，X＝k（k＝0，1，⋯，n）的概率记为P（X＝k），则n为何值时，P（X＝6）的值最大？
【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解；
（2）由题意可知：，且，结合数列单调性分析求解．
【解答】解：（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“回答正确”为事件B，
由题意可知：，
则，
所以；
（2）由（1）可知，则，
所以，
令，则，
当，解得n＜7，可知当n≤6，可得an+1＞an，
当，解得n＞7，可知当n≥8，可得an+1＜an，
当，解得n＝7，可得a8＝a7，
所以当n＝7或n＝8时，an最大，即n为7或8时，P（X＝6）的值最大．
【点评】本题考查了全概率公式的应用，服从二项分布的随机变量概率的最值问题，属于中档题．
19．（17分）已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：；
（3）若函数有三个不同的零点，求m的取值范围．
【分析】（1）求出f（x）的定义域，对f（x）求导，利用导数与单调性的关系求解即可；
（2）由（1）可得x∈（1，+∞）时，，从而可得，令，利用放缩法可得，利用裂项求和法即可得证；
（3）对g（x）化简可得，只有一个零点x＝1，令，由f（1）＝0，则g（x）有三个不同的零点等价于函数f（t）有三个不同的零点，分0＜m≤1和m＞1两种情况讨论，结合零点存在性定理即可求解．
【解答】解：（1）函数f（x）定义域为（0，+∞），
因为，
设k（x）＝﹣x2+2mx﹣1，则Δ＝4（m2﹣1），
①当0＜m≤1时，Δ≤0，f'（x）≤0恒成立，且至多一点处为0；
②当m＞1时，Δ＞0，k（x）有两个零点，，
所以当0＜x＜x1时，k（x）＜0，即f'（x）＜0；当x1＜x＜x2时，k（x）＞0，即f'（x）＞0；
当x＞x2时，k（x）＜0，即f'（x）＜0．
综上所述：当0＜m≤1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当m＞1时，f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增；
（2）证明：由（1）知当m＝1时，x∈（1，+∞）时，，
所以，令，
则
＝，
＜﹣+
＝，
所以；
（3）），
因为lnx与x﹣1同号，所以只有一个零点x＝1，
令，由f（1）＝0，则g（x）有三个不同的零点等价于函数f（t）有三个不同的零点，
由（1）知：当0＜m≤1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意；
当m＞1时，因为f（1）＝0，且x1x2＝1，所以x1＜1＜x2，所以f（x1）＜f（1）＝0＜f（x2），
由（2）知，x＞1时，，
所以，即，
所以，
所以由零点存在性定理知，f（t）在区间上有唯一的一个零点t0，
因为，
因为f（t0）＝0，所以，
所以m＞1时，f（t）存在三个不同的零点，1，t0，
故实数m的取值范围是（1，+∞）．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．
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