2024年湖南长沙开福区周南中学高三二模数学试卷

这是一份2024年湖南长沙开福区周南中学高三二模数学试卷，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2024年湖南长沙开福区周南中学高三二模数学试卷
一、单选题
1.已知集合
A.
，则
（
）
B.
B.
C.
D.
D.
2.关于 的方程
A.
在复数范围内的两个根
C.
、
，则（
）
3.已知向量
A. 2
、
、
中， 是单位向量，
B.
与 的夹角为
，
，则
（
）
，
C.
D. -1
4.在空间中，已知
、
、
为不同的直线，
为不同的平面，则下列判断正确的是（
）
、
、
A. 若
C. 若
，
，则
B. 若
D. 若
，
，
，则
，则
，
，
，则
5.已知
（
，
，直线
与曲线
相切，则
的最小值是
）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
6.
的展开式中 的系数为（
B. 210
）
A. 180
C. 240
D. 250
7.已知等差数列
的公差为 ，前 项和为
，则 “
” 是 “
” 的
（
）
A. 充分不必要条件
B. 充分必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条
件

8.已知 、 分别为双曲线
的左、右顶点，过双曲线 的左焦点 作直线
的斜率之比
交双曲线于
、
两点(点
A.
异于
)，则直线
B.
（
）
、
、
、
C.
D.
二、多选题
9.下列结论正确的是（
A. 若随机变量
）
，且
，则
B. 若随机变量
C. 若样本数据
据的中心点
满足
，则
线性相关，则用最小二乘法估计得到的经验回归直线 经过该组数
D. 根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到
，可判断 与 有关
. 依据
的独立性检验
10.过抛物线
若
的焦点 的直线 交抛物线 于
，则下列说法正确的是（
两点
，
）
A.
B. 抛物线 的准线方程为
C. 过 两点作抛物线的切线，两切线交于点
D. 若过点 且与直线 垂直的直线 交抛物线于
为定值
、
，则点
在以
为直径的圆上
两点，则
11.已知函数
满足:
的定义域和值域均为
，对于任意非零实数
上单调递减，
，函数
，
、
，
，且
在
，则下列结 论
正确的是（
A.
）
B.
C.
为奇函数
D.
在定义域内单调
递减
三、填空题

12.已知数列
13.已知
的通项公式为:
，其前 项和为
，则
，若
成等比数列， 则 k=
14.若平面直角坐标系内
两点满足: （1）点
的一个“姊妹点对”，且点对
，则 的“姊妹点对”有
都在
的图象上; （2）点
关于原点对称，则称点对
是函数
与
记为一个“姊妹点对”. 已知函数
个.
四、解答题
15.已知在
(1)求A；
中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(2)若
外接圆的直径为
，求
的取值范围．
16.某高新技术企业新研发出了一种产品， 该产品由三个电子元件构成， 这三个电子元件在 生产过程中的次品
率分别为 ，组装过程中不会造成电子元件的损坏，若有 一个电子元件是次品， 则该产品为次品. 现
安排质检员对这批产品一一检查， 确保无任 何一件次品流入市场.
(1)若质检员检测出一件次品， 求该产品仅有一个电子元件是次品的概率;
(2)现有两种方案， 方案一: 安排三个质检员先行检测这三个元件， 次品不进入组装生 产线; 方案二: 安排一个
质检员检测成品， 一旦发现次品， 则取出重新更换次品的 电子元件， 更换电子元件的费用为 20 元/个. 已知
每个质检员每月的工资约为 3000 元，该企业每月生产该产品
方案.
件
，请从企业获益的角度选择最优
17.如图，在四棱锥
中，底面
分别为
是边长为 的菱形，
的中点.
是等边三角形，
，点
，
和

(1)求证: 平面
(2)求平面
平面
与平面
；
夹角的余弦值.
18.已知椭圆 的对称中心为坐标原点，焦点在 轴上， 的离心率为 ，且过点
的焦点 为顶点，动点 在 的右支上且异于顶点.
， 等轴双曲
，
线
以
、
(1)求
与
的方程;
(2)设直线
、
的斜率分别为
、
，直线
与
相交于点
、
，直线
与
相交于点
. 是否存在常数 使得
，若存在求出 的值，若
、
，
，
不存在，请说明理由.
19.微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量
和函数提供了重要的方法和手段．对于函数 在区间 上的图像连续不断，从几何上
看，定积分 便是由直线 所围成的区域（称为曲边梯形
和曲线
）的面
积，根据微积分基本定理可得
即
，因为曲边梯形
的面积小于梯形
的面积，
，代入数据，进一步可以推导出不等式：
．
曲边梯形
梯形
(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：
；
(2)已知函数
，其中
．
①证明：对任意两个不相等的正数
，曲线
在
和
处的切线均不重合；
②当
时，若不等式
恒成立，求实数 的取值范围．