数学七年级下册第六章 实数6.3 实数精品综合训练题

这是一份数学七年级下册第六章 实数6.3 实数精品综合训练题，共12页。试卷主要包含了高度抽象性，严密逻辑性，广泛应用性等内容，欢迎下载使用。

1．高度抽象性：数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。
2．严密逻辑性： 数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。
3．广泛应用性：数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。
第六章 实数
6.4 《实数》章末复习（基础巩固）
【要点梳理】
要点一：平方根和立方根
要点二：实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
（4）实数和数轴上点是一一对应的.
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算：
数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较：
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
【典型例题】
类型一、有关方根的问题
例1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ，其中错误的有（ ）
A.2个 B.3 个 C.4 个 D.5个
【答案】B；
【解析】①负数有立方根；②0的算术平方根是0；⑤立方根是本身的数有0，±1.
【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键.
举一反三：
【变式】下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C；
例2、若，则±＝
若，，则
【答案】±1.01；7.16；
【解析】102.01的小数点向左移动2位变成1.0201，它的平方根的小数点向左移动1位，变成1.01，注意符号；0.3670的小数点向右移动3位变成367，它的立方根的小数点向右移动1位，变成7.16
【总结升华】一个数的小数点向左移动2位，它的平方根的小数点向左移动1位；一个数的小数点向右移动3位，它的立方根的小数点向右移动1位.
类型二、与实数有关的问题
例3、把下列各数填入相应的集合：
－1、、π、－3.14、、、、．
（1）有理数集合｛ ｝；
（2）无理数集合｛ ｝；
（3）正实数集合｛ ｝；
（4）负实数集合｛ ｝．
【思路点拨】首先把能化简的数都化简，然后对照概念填到对应的括号里.
【答案与解析】
（1）有理数集合｛－1、－3.14、、 ｝；
（2）无理数集合｛ 、π、、 ｝；
（3）正实数集合｛ 、π、、、 ｝；
（4）负实数集合｛ －1、－3.14、 ｝．
【总结升华】有理数是有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数.总结常见的无理数形式.
举一反三：
【变式】在实数0、π、、、﹣中，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B；
例4、计算（1）
（2）
（3）
【思路点拨】先逐个化简后，再按照计算法则进行计算.
【答案与解析】
解：（1）＝
（2）＝
（3）＝.
【总结升华】根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平方的方法去求一个数的立方根、平方根.
举一反三：
【变式】计算(1)
(2)
【答案】
解：(1)


(2)

.
例5、已知：（a+6）2+=0，则2b2﹣4b﹣a的值为 ．
【答案】12．
【解析】
解：∵（a+6）2+=0，
∴a+6=0，b2﹣2b﹣3=0，
解得，a=﹣6，b2﹣2b=3，
可得2b2﹣4b=6，
则2b2﹣4b﹣a=6﹣（﹣6）=12，
故答案为：12．
【总结升华】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．
举一反三：
【变式1】实数、在数轴上所对应的点的位置如图所示：
化简＋∣－∣＝ .
【答案】
解：∵＜0＜,
∴－＜0
∴＋∣－∣＝－－(－)＝－2.
【变式2】实数在数轴上的位置如图所示，则的大小关系是： ；
【答案】；
类型三、实数综合应用
例6、现有一面积为150平方米的正方形鱼池，为了增加养鱼量，欲把鱼池的边长增加6米，那么扩建鱼池的面积为多少（最后结果保留4个有效数字）？
【答案与解析】
解：因为原正方形鱼池的面积为150平方米，根据面积公式，
它的边长为 （米）．
由题意可得扩建后的正方形鱼池的边长为（12.247＋6）米，
所以扩建后鱼池的面积为≈333.0（平方米）．
答：扩建后的鱼池的面积约为333.0（平方米）．
【总结升华】要求扩建后的鱼池的面积，应先求出其边长，而原鱼池的面积为150平方米，由此可得原鱼池的边长，再加上增加的6米，故新鱼池面积可求．
举一反三：
【变式】一个底为正方形的水池的容积是486，池深1.5，求这个水池的底边长．
【答案】
解：设水池的底边长为，由题意得
答：这个水池的底边长为18.
【巩固练习】
一.选择题
1. 下列说法正确的是（ ）
A．数轴上任一点表示唯一的有理数
B．数轴上任一点表示唯一的无理数
C．两个无理数之和一定是无理数
D．数轴上任意两点之间都有无数个点
2. 的算术平方根是（ ）
A．2 B．±2 C． D．±
3．已知、是实数，下列命题结论正确的是（ ）
A．若＞，则＞B．若＞｜｜，则＞
C．若｜｜＞，则＞D．若＞，则＞
4. ，则的值是（ ）
A. B. C. D.
5. 若式子有意义,则的取值范围是 ( ).
A. B. C. D. 以上答案都不对.
6. 下列说法中错误的是（ ）
A.中的可以是正数、负数或零. B.中的不可能是负数.
C. 数的平方根有两个. D.数的立方根有一个.
7. 数轴上A，B两点表示实数，，则下列选择正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 估算的值在 （ ）
A. 5和6之间 B.6和7之间 C.7和8之间 D.8和9之间
二.填空题
9. 若的整数部分是，则其小数部分用表示为 ．
10．当 时，有意义.
11. .
12. 若是225的算术平方根，则的立方根是 .
13. 的平方根是 .
14.﹣64的立方根与的平方根之和是 ．
15. 比较大小： ， ，
16. 数轴上离原点距离是的点表示的数是 .
三.解答题
17. 一个正数的平方根是与，则是多少？
18. 已知x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根．
19. 已知：表示、两个实数的点在数轴上的位置如图所示，请你化简
20. 阅读题：阅读下面的文字，解答问题.
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用－1表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗?
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.
请解答：已知：10＋＝，其中是整数，且,求的相反数.
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】D；
【解析】数轴上任一点都表示唯一的实数.
2. 【答案】C
3. 【答案】B；
【解析】B答案表明，故＞.
4. 【答案】B；
【解析】.
5. 【答案】A；
6. 【答案】C；
【解析】数不确定正负，负数没有平方根.
7. 【答案】C；
8. 【答案】B；
【解析】，.
二.填空题
9. 【答案】；
10.【答案】为任意实数 ；
【解析】任何实数都有立方根.
11.【答案】；
【解析】.
12.【答案】3；
【解析】－12＝15, ＝27,.
13.【答案】 ；
【解析】 ＝7，7的平方根是.
14.【答案】﹣2或﹣6．
【解析】∵﹣64的立方根是﹣4，=4，
∵4的平方根是±2，
∵﹣4+2=﹣2，﹣4+（﹣2）=﹣6，
∴﹣64的立方根与的平方根之和是﹣2或﹣6．
15.【答案】＞；＜；＞；
16.【答案】；
【解析】数轴上离原点距离是的点有两个，分别在原点的左右两边.
三.解答题
17.【解析】
解：∵一个正数的平方根是与，
∴与互为相反数，
即＋＝0，解得.
18.【解析】
解：∵x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，
∴x﹣2=22，2x+y+7=27，
解得x=6，y=8，
∴x2+y2=62+82=100，
∴x2+y2的平方根是±10．
19.【解析】
解：∵＜＜0
∴
20.【解析】
解：∵11＜10＋＜12
∴＝11，＝10＋－11＝
∴.
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
性质
一个正数有两个平方根，且互为相反数；
零的平方根为零；
负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
重要结论