宁夏吴忠中学2024年高考数学五模文科数学试卷

这是一份宁夏吴忠中学2024年高考数学五模文科数学试卷，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={0,1}，B={1,a−2,a−1}，若A⊆B，则a=( )
A. 2B. 3C. 1D. 1或2
2.若复数z满足z(1+i)=|1+ 3i|，则z−=( )
A. 11−iB. 11+iC. 1−iD. 1+i
3.已知函数f(x)=ex−ex的极值点为a，则f(a)=( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
4.已知α∈(0,π2),2sin2α=cs2α+1，则csα=( )
A. 2 55B. 55C. 33D. 15
5.已知数列{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3=S6，则数列{an}的前5项和为( )
A. 30B. 31C. 29D. 32
6.函数f(x)=(x+1)ln(|x−1|)的大致图象是( )
A. B.
C. D.
7.“a=±3”是“圆x2+y2=1与圆(x+a)2+y2=4相切”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊂α，n//α，则m，n为异面直线；
②若α//γ，β//γ，则α//β；
③若m⊥β，m⊥γ，α⊥β，则α⊥γ；
④若m⊥α，n⊥β，m//n，则α⊥β.
则上述命题中真命题的序号为( )
A. ①②B. ③④C. ②③D. ②④
9.若椭圆X：x2a2+y2=1(a>1)与双曲线H：x23−y2=1的离心率之和为7 36，则a=( )
A. 2B. 3C. 2D. 1
10.某公司研发新产品投入x(单位：百万)与该产品的收益y(单位：百万)的5组统计数据如下表所示：由表中数据求得投入金额x与收益y满足经验回归方程y =b x+2.6，则下列结论不正确的是( )
A. x与y有正相关关系B. 回归直线经过点(8,25)
C. b =2.4D. x=9时，残差为0.2
11.已知四面体A−BCD的各顶点均在球O的球面上，平面ABC⊥平面BCD，AB=BC=AC=CD=2，BC⊥CD，则球O的表面积为( )
A. 28π3B. 14πC. 28πD. 32π
12.若函数f(x)=sin(ωx−π6)−csωx(ω>0)在(0,π)内恰好存在8个x0，使得|f(x0)|= 32，则ω的取值范围为( )
A. [196,72)B. (196,72]C. [72,256)D. (72,256]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=(1,−1),b=(0,t)，若a⊥(a+2b)，则|b|=______.
14.若x，y满足约束条件x+2y−6≤0,x−y+3≥0,y−1≥0,则目标函数z=2x+y的最大值为______.
15.已知△ABC的三边长AB=4cm，BC=2cm，AC=3cm，则△ABC的面积为______cm2.
16.对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，使得f(−x)=−f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”．若f(x)=2x+m是定义在区间[−1,1]上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是______.
三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶.由于盒子上没有标注，购买者只有打开后才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”.某款盲盒内装有正版海贼王手办，且每个盲盒只装一个.某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机抽取了400人进行问卷调查，并全部收回.经统计，有30%的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，男生占13;而在未购买者当中，男生、女生各占50%.
(1)完成下面的2×2列联表，并判断是否有99.5%的把握认为是否购买该款盲盒与性别
有关?
(2)从购买该款盲盒的人中按性别用分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中随机抽取3人发放优惠券，求抽到的3人中恰有1位男生的概率.
参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
参考数据：
18.(本小题12分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a− 2b)csC=c( 2csB−csA).
(1)求ba的值；
(2)若B=2C，证明：△ABC为直角三角形.
19.(本小题12分)
如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，AE=2BF，BF//AE，BF⊥AD，且平面ACE⊥平面ABCD.
(1)在DE上确定一点M，使得FM//平面ABCD；
(2)若BF=BA=1，且∠ABC=60∘，求多面体ABCDEF的体积.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=aex−x−32(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当a>0时，f(x)>2lna−a2.
21.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F1的动直线l与C交于P，Q两点，当l⊥x轴时，|PQ|=1且直线PF2与直线QF2的斜率之积为−148.
(1)求椭圆C方程；
(2)若△PQF2的内切圆半径为12，求直线l的方程.
22.(本小题10分)
已知曲线C1的参数方程为x=1+csθy=sinθ(θ为参数)，曲线C2的直角坐标方程为x+ 3y−1=0.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C1和C2的极坐标方程；
(2)若直线l：y=kx(其中k∈[ 33, 3])与曲线C1，C2的交点分别为A，B(A,B异于原点)，求|OA|+1|OB|的取值范围.
23.(本小题12分)
已知关于x的不等式|x+1|−|x−2|≥|t−1|+t有解.
(1)求实数t的取值范围；
(2)若a，b，c均为正数，m为t的最大值，且2a+b+c=m.求证：a2+b2+c2≥23.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为集合A={0,1}，B={1,a−2,a−1}，A⊆B，所以a−2=0或a−1=0.
当a−2=0时，a=2，此时B={1,0,1}，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当a−1=0时，a=1，此时B={1,−1,0}，满足题意．故a=1.
故选：C.
根据题意分别讨论a−2=0和a−1=0时集合的关系，由集合的互异性可得结果．
本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：由z(1+i)=|1+ 3i|，得z(1+i)= 12+( 3)2，则z=21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，
所以z−=1+i.
故选：D.
根据给定条件，利用复数模及除法运算求得z，再求出共轭复数．
本题考查复数的运算，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=ex−ex，求导得f′(x)=ex−e，当x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，
函数f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，因此x=1是f(x)的极小值点，且是唯一极值点，
所以a=1，f(a)=f(1)=0.
故选：B.
利用导数求出函数f(x)的极值点，再代入求出函数值．
本题考查函数的极值点，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：∵α∈(0,π2),2sin2α=cs2α+1，
∴4sinαcsα=2cs2α，且sinα>0，csα>0，
∴sinα=12csα，
又sin2α+cs2α=1，
∴(12csα)2+cs2α=1，
∴解得csα=2 55.
故选：A.
利用二倍角公式化简已知等式可得4sinαcsα=2cs2α，由已知可得sinα>0，csα>0，可求sinα=12csα，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解．
本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和方程思想，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：依题意知，公比q≠1，
∴9⋅1−q31−q=1−q61−q，
即q6−9q3+8=0，
解得：q=2或q=1(舍去)，
∴S5=1−251−2=31，
故选：B.
利用等比数列的求和公式可求得q=2，从而可得数列{an}的前5项和．
本题考查等比数列的性质，求得公比为2是关键，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法结合极限思想是解决本题的关键．
利用极限思想，结合函数值的符号，利用排除法进行求解即可．
【解答】解：当x→+∞时，f(x)→+∞，排除A，C，
f(−5)=−4ln6<0，排除D，
故选：B.
7.【答案】A
【解析】解：圆x2+y2=1圆心(0,0)，半径为r=1；
圆(x+a)2+y2=4圆心(−a,0)，半径为r=2；
当两圆相切时，可分为内切和外切两种，
圆心距为 (0+a)2+0=|a|，
①当两圆外切时：|a|=1+2=3，即a=±3.
②当两圆内切时：|a|=2−1=1，即a=±1.
则根据充分条件和必要条件的判定原则，
可知“a=±3”是“圆x2+y2=1与圆(x+a)2+y2=4相切”的充分不必要条件．
故选：A.
根据圆与圆的位置相切关系和充分不必要条件的判断即可．
本题考查的知识点：圆与圆的位置关系，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：①若m⊂α，n//α，则m//n或m，n为异面直线，故①错误；
②若α//γ，β//γ，则α//β，正确，证明如下：
在平面α，γ，β内各取一点A，B，C，
过AB作两个平面，与α的交线分别为a，b，与γ的交线分别为c，d.
设过BC和c的平面与β的交线为e，过BC和d的平面与β的交线为f，
由两个平面平行的性质定理知，a//c，b//d，c//e，d//f，
故有a//e，b//f，∴a//β，b//β，且a∩b=A，则α//β.
③若m⊥β，m⊥γ，则β//γ，又α⊥β，则α⊥γ，故③正确；
④若m⊥α，m//n，则n⊥α，又n⊥β，则α//β，故④错误．
∴正确的命题是②③．
故选：C.
由直线与平面平行的定义及空间中两直线的位置关系判断①；直接证明②正确；由直线与平面垂直的性质及平面与平面平行的判定判断③；由直线与平面垂直的性质判断④．
本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
9.【答案】A
【解析】解：由题意可得椭圆X：x2a2+y2=1(a>1)的离心率为 a2−1a，
双曲线H：x23−y2=1的离心率为 3+1 3=2 33，
所以 a2−1a+2 33=7 36，解得：a=2.
故选：A.
分别求出椭圆和双曲线的离心率，由两者的离心率之和为7 36，解方程即可得出答案．
本题考查椭圆和双曲线的离心率，属于基础题．
10.【答案】C
【解析】解：对于A，由表格可知，x越大，y越大，所以x与y有正相关关系，故A正确；
对于B，x−=5+6+8+9+125=8，y−=16+20+25+28+365=25，
则样本点中心为(8,25)，所以经验回归直线经过点(8,25)，故B正确；
对于C，将样本点中心代入直线方程，得25=8b +2.6，所以b =2.8，故C错误；
对于D，y =2.8x+2.6，当x=9时，y =2.8×9+2.6=27.8，
则残差为y−y =28−27.8=0.2，故D正确．
故选：C.
根据x和y的变化规律，即可判断A；计算(x−,y−)，即可判断B；将样本点中心代入回归直线方程，即可求b ，即可判断C；根据回归直线方程计算x=9时的y ，计算y−y ，即可判断D.
本题主要考查线性回归，属于中档题．
11.【答案】A
【解析】解：因为平面ABC⊥平面BCD，
AB=BC=AC=CD=2，BC⊥CD，
所以可将四面体A−BCD看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，
如图所示：
则四面体ABCD的外接球即直三棱柱的外接球，
因为底面三角形ABC的外心到三角形ABC的顶点的长度为23× 22−12=2 33，
所以直三棱柱的外接球的半径r= 12+(2 33)2= 73，
则球O的表面积S=4πr2=4×π×( 73)2=28π3.
故选：A.
本题首先可根据题意将四面体A−BCD看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，然后求出直三棱柱的外接球的半径，最后根据球的表面积计算公式即可得出结果．
本题考查四面体的外接球的表面积的求法，考查四面体、球等基础知识，是中档题．
12.【答案】D
【解析】解：由题意可得，f(x)=sin(ωx−π6)−csωx= 32sinωx−12csωx−csωx
= 32sinωx−32csωx= 3sin(ωx−π3)，
由|f(x0)|= 32，可得sin(ωx0−π3)=±12，
因为x∈(0,π)，ω>0，
则ωx−π3∈(−π3,ωπ−π3)，
由题意可得，19π6<ωπ−π3≤23π6，解得72<ω≤256，
所以ω的取值范围为(72,256].
故选：D.
结合和差角公式，辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了和差角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
13.【答案】1
【解析】解：由题意知，a⋅b=−t，
由a⊥(a+2b)，得a⋅(a+2b)=a2+2a⋅b=2+2a⋅b=0，解得a⋅b=−1，
因此−t=−1，解得t=1，即b=(0,1)，
所以|b|=1.
故答案为：1.
根据给定条件，利用垂直关系的向量表示求出a⋅b，再利用数量积与模的坐标表示求解即得．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
14.【答案】9
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
由图可知，当l：z=2x+y过点(4,1)时，z取得最大值，且最大值为9.
故答案为：9.
由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
15.【答案】3 154
【解析】解：由余弦定理有csA=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=42+32−222×4×3=78，
又A∈(0,π)，所以sinA= 158，
所以△ABC的面积S=12AB⋅AC⋅sinA=12×4×3× 158=3 154.
故答案为：3 154.
先利用余弦定理求出一角，再利用三角形的面积公式即可得解．
本题主要考查了余弦定理及三角形面积公式的应用，属于基础题．
16.【答案】[−54,−1]
【解析】解：根据局部奇函数的定义，f(x)=2x+m时，f(−x)=−f(x)可化为2x+2−x+2m=0，
因为f(x)的定义域为[−1,1]，所以方程2x+2−x+2m=0在[−1,1]上有解，
令t=2x∈[12,2]，则−2m=t+1t，
设g(t)=t+1t，则g′(t)=1−1t2=t2−1t2，
当t∈(0,1)时，g′(t)<0，故g(t)在(0,1)上为减函数，
当t∈(1,+∞)时，g′(t)>0，故g(t)在(1,+∞)上为增函数，
所以t∈[12,2]时，g(t)∈[2,52].所以−2m∈[2,52]，即m∈[−54,−1].
故答案为：[−54,−1].
利用局部奇函数的定义，建立方程关系，然后判断方程是否有解即可．
本题主要考查新定义的应用，利用新定义，建立方程关系，然后利用函数性质进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力
17.【答案】解：(1)2×2列联表如下：
则K2=400×(80×140−40×140)2220×180×120×280=2800297≈9.428>7.879，
所以有99.5%的把握认为是否购买该款盲盒与性别有关；
(2)由题意可得抽取6人中女生有：6×8080+40=4人，分别记为a，b，c，d，
男生有：6×4080+40=2人，分别记为A，B，
则从这6人中随机抽取3人，共有C63=20种基本事件，
其中抽到的3人中恰有1位男生，共有(a,b,A)，(a,b,B)，(a,c,A)，(a,c,B)，(a,d,A)，(a,d,B)，
(b,c,A)，(b,c,B)，(b,d,A)，(b,d,B)，(c,d,A)，(c,d,B)共12种基本事件，
所以抽到的3人中恰有1位男生的概率P=1220=35.
【解析】(1)根据已知信息即可完成联表，然后根据公式代入求出K2的值，利用已知数据比较即可求解；(2)根据分层抽样的复数求出抽取的男生人数记为A，B，女生的人数记为a，b，c，d，然后列举出所有的抽取情况，再求出所求事件的个数，根据古典概型的概率计算公式即可求解．
本题考查了独立性检验以及古典概型的概率计算公式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】(1)解：由(a− 2b)csC=c( 2csB−csA)，
由正弦定理可得：sinAcsC+sinCcsA= 2(sinBcsC+sinCcsB)，
所以sinB= 2sinA，则b= 2a，
即ba= 2；
(2)证明：由b= 2a，可得sinB= 2sinA，
又B=2C，所以sin2C= 2sin3C，sin2C= 2sin2CcsC+ 2cs2CsinC，
2csC=2 2cs2C+ 2(2cs2C−1)，
即4 2cs2C−2csC− 2=0，即4cs2C− 2csC−1=0，
解得csC= 22或− 22(负值已舍去)，
可得C=π4，B=π2，
所以△ABC为直角三角形．
【解析】(1)由正弦定理及两角和的正弦公式，可得b= 2a，进而求出ba的值；
(2)由(1)及正弦定理可得csC的值，进而求出角C的大小．
本题考查正弦定理的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)当M是ED的中点时，满足FM//平面ABCD，理由如下：
取AD中点G，过点G作GM//AE交DE于点M，则GM=12AE，
连接FM，BG，
因为AE=2BF，BF//AE，所以BF//GM，BF=GM，
即四边形BFGM为平行四边形，所以FM//BG.
又FM⊄平面ABCD，BG⊂平面ABCD，
所以FM//平面ABCD.
(2)取AB中点N，连接CN，EC，BD，
由条件知△ABC是边长为1的正三角形，于是CN⊥AB，且CN= 32.
因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，
因为平面ACE⊥平面ABCD，交线为AC，
又BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面ACE，
因为AE⊂平面ACE，所以BD⊥AE，
因为BF//AE，所以BD⊥BF，
所以BF⊥BD，又BF⊥AD，BD∩AD=D，BD，AD⊂平面ABCD，
所以BF⊥平面ABCD，
因为CN⊂平面ABCD，
所以BF⊥CN，
因为AB∩BF=B，AB，BF⊂平面ABFE，
所以CN⊥平面ABFE，
即CN是四棱锥C−ABFE的高，
设梯形ABFE的面积为S，则S=(BF+AE)⋅AB2=(1+2)×12=32，
∴VC−ABFE=13S⋅CN=13×32× 32= 34，
同理可知C点到平面ADE的距离也等于 32，
于是VC−ADE=13S△ADE× 32=13×(12×2×1)× 32= 36，
于是多面体ABCDEF的体积V=VC−ADE+VC−ABFE= 36+ 34=5 312.
【解析】(1)作出辅助线，得到线线平行，进而得到四边形BFGM为平行四边形，所以FM//BG，从而得到线面平行；
(2)作出辅助线，证明出面面垂直，得到CN是四棱锥C−ABFE的高，从而求出VC−ABFE= 34，同理得到VC−ADE= 36，相加得到答案．
本题考查线面平行的判定以及多面体体积的计算，属于中档题．
20.【答案】(1)解：由题意知f′(x)=aex−1，
当a≤0时，f′(x)<0，所以f(x)在(−∞,+∞)上单调递减；
当a>0时，令f′(x)<0，解得x<−lna，
令f′(x)>0，解得x>−lna，
所以f(x)在(−∞,−lna)上单调递减，在(−lna,+∞)上单调递增．
(2)证明：由(1)得f(x)min=f(−lna)=ae−lna+lna−32=lna−12，
要证f(x)>2lna−a2，即证lna−12>2lna−a2，即证a2−12−lna>0，
令g(a)=a2−12−lna(a>0)，则g′(a)=2a−1a=2a2−1a，
令g′(a)<0，解得0令g′(a)>0，解得a> 22，
所以g(a)在(0, 22)上单调递减，
在( 22,+∞)上单调递增，
所以g(a)min=g( 22)=( 22)2−12−ln 22=ln 2>0，
则g(a)>0恒成立，
所以当a>0时，f(x)>2lna−a2.
【解析】(1)对f(x)求导，对a分类讨论，由导数与单调性的关系求解即可；
(2)由(1)可得f(x)的最小值，从而将不等式转化为f(x)min>2lna−a2，构造关于a的函数，利用导数求出函数的最值，从而不等式得证．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，不等式的证明，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题可知当l⊥x轴时，联立x2a2+y2b2=1x=−c，解得y=±b2a，则PQ=2b2a=1，
设P(−c,12),Q(−c,−12)，则−116c2=−148，c2=3，
解得a=2，b=1，所以椭圆C方程x24+y2=1；
(2)因为△PQF2的周长为4a，
故S△PQF2=12(|PQ|+|PF2|+|QF2|)⋅r=12×4a⋅r=2，
由题意可知，该直线l斜率存在且不为0，设直线l为x=my− 3(m≠0)，
联立x24+y2=1x=my− 3，则(m2+4)y2−2 3my−1=0.设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
Δ=16(m2+1)>0,y1+y2=2 3mm2+4,y1y2=−1m2+4，
所以S△PQF2=12⋅|F1F2|⋅|y2−y1|=12×2 3⋅ (y1+y2)2−4y1y2= 3⋅ 16(m2+1)(m2+4)2=2.
解得m2=2，则直线l的方程为x= 2y− 3或x=− 2y− 3，即x− 2y+ 3=0或x+ 2y+ 3=0.
【解析】(1)根据直线PF2与直线QF2的斜率之积为−148建立等量关系即可；(2)根据内切圆性质，直线与椭圆联立即可得所求直线方程．
本题考查椭圆方程的性质，考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由x=1+csθy=sinθ消θ得(x−1)2+y2=1，即x2+y2−2x=0，
将ρcsθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2分别代入C1，C2得：
C1的极坐标方程为ρ=2csθ，
C2的极坐标方程为ρcsθ+ 3ρsinθ=1
(2)设直线l的极坐标方程为θ=α,ρ∈R,α∈[π6,π3]，
联立方程可得ρA=2csα,ρB=1csα+ 3sinα，
所以|OA|+1|OB|=2csα+csα+ 3sinα=3csα+ 3sinα=2 3sin(α+π3)，
又α∈[π6,π3]，则有α+π3∈[π2,2π3]，
即sin(α+π3)∈[ 32,1]，
综上，|OA|+1|OB|的取值范围为[3,2 3].
【解析】(1)消去参数得C1的普通方程，然后将ρcsθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2分别代入C1，C2的普通方程即可；
(2)设直线l的极坐标方程为θ=α,ρ∈R,α∈[π6,π3]，联立C1，C2的极坐标方程，结合极径的意义表示出|OA|+1|OB|，然后由正弦函数的性质可解．
本题考查的知识点：直角坐标方程这极坐标方程之间的转换，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
23.【答案】解：(1)令f(x)=|x+1|−|x−2|=3,x≥22x−1,−1所以当x≥2时，f(x)取得最大值为3，
关于x的不等式|x+1|−|x−2|≥|t−1|+t有解等价于f(x)max≥|t−1|+t，即3≥|t−1|+t，
当t≥1时，上述不等式转化为3≥t−1+t，解得1≤t≤2，
当t<1时，上述不等式转化为3≥−t+1+t，解得t<1，
综上所述t的取值范围为t≤2，
故实数t的取值范(−∞,2].
(2)证明：根据(1)可得a，b，c均为正实数，且满足2a+b+c=2，
所以由柯西不等式可得(a2+b2+c2)(22+12+12)≥(2a+b+c)2=4，
当且仅当a=23，b=c=13，时取等号，
所以a2+b2+c2≥23.
【解析】(1)令f(x)=|x+1|−|x−2|，求出f(x)的最大值，由不等式|x+1|−|x−2|≥|t−1|+t有解可知f(x)max≥|t−1|+t，从而得到关于t的不等式3≥|t−1|+t，即可解出t的取值范围；
(2)由柯西不等式得(a2+b2+c2)(22+12+12)≥(2a+b+c)2即可证明结论．
本题主要考查不等式的证明，考查转化能力，属于中档题．x
5
6
8
9
12
y
16
20
25
28
36
女生
男生
总计
购买
未购买
总计
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
女生
男生
总计
购买
80
40
120
未购买
140
140
280
总计
220
180
400