2024年小升初数学考前最后一课-【考前冲刺】学科核心素养篇

这是一份2024年小升初数学考前最后一课-【考前冲刺】学科核心素养篇，共95页。试卷主要包含了夯实基础，提高拓展，精做精练，查漏补缺等内容，欢迎下载使用。
1、夯实基础。基础知识是整个数学知识体系中最根本的基石。
2、提高拓展。涉及的有关知识点要进行过关、强化训练，做到知识点之间能够融会贯通。
3、精做精练。精选几套模拟试题，其中包括历年联考试题。
4、查漏补缺。订正比做题更重要，对比错解和订正后的正确过程，就能发现错误的原因。
最新小升初数学
考前最后一课
目 录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc165033654" 一、考前猜想篇 PAGEREF _Tc165033654 \h 4
\l "_Tc165033655" 【题型命题猜想01】数和量认知综合—整、小、分、百综合转化问题 PAGEREF _Tc165033655 \h 4
\l "_Tc165033656" 【题型命题猜想02】数和代数运算综合—简便计算与十三种巧算法 PAGEREF _Tc165033656 \h 24
\l "_Tc165033657" 【题型命题猜想03】数式和数形综合—定义新运算与数、形、式规律探索 PAGEREF _Tc165033657 \h 60
\l "_Tc165033658" 【题型命题猜想04】平面图形综合—不规则或组合图形与十二种面积法 PAGEREF _Tc165033658 \h 74
\l "_Tc165033659" 【题型命题猜想05】立体图形综合—表面积变化问题与排水法 PAGEREF _Tc165033659 \h 104
\l "_Tc165033660" 【题型命题猜想06】比和比例综合—按比分配、比例的实际应用、不变量问题 PAGEREF _Tc165033660 \h 125
\l "_Tc165033661" 【题型命题猜想07】分数和百分数综合—浓度、折扣、促销与利润问题 PAGEREF _Tc165033661 \h 153
\l "_Tc165033662" 【题型命题猜想08】生活和实际综合—五种高频易错生活实际问题。 PAGEREF _Tc165033662 \h 171
\l "_Tc165033663" 二、学科核心素养篇 PAGEREF _Tc165033663 \h 192
\l "_Tc165033664" 【学科核心素养01】数感表达与定量分析能力 PAGEREF _Tc165033664 \h 192
\l "_Tc165033665" 【学科核心素养02】符号意识与抽象思维能力 PAGEREF _Tc165033665 \h 198
\l "_Tc165033666" 【学科核心素养03】算法算理与规范运算能力 PAGEREF _Tc165033666 \h 206
\l "_Tc165033667" 【学科核心素养04】模型意识与几何直观能力 PAGEREF _Tc165033667 \h 215
\l "_Tc165033668" 【学科核心素养05】空间观念与空间想像能力 PAGEREF _Tc165033668 \h 229
\l "_Tc165033669" 【学科核心素养06】推理意识与逻辑思维能力 PAGEREF _Tc165033669 \h 240
\l "_Tc165033670" 【学科核心素养07】联系生活与情景解读能力 PAGEREF _Tc165033670 \h 248
\l "_Tc165033671" 【学科核心素养08】数学意识与信息获取能力 PAGEREF _Tc165033671 \h 259
\l "_Tc165033672" 【学科核心素养09】创新意识与实验探究能力 PAGEREF _Tc165033672 \h 274
\l "_Tc165033673" 三、考前技巧篇 PAGEREF _Tc165033673 \h 287
\l "_Tc165033674" 【小升初数学考前技巧01】十大解题方法大揭秘 PAGEREF _Tc165033674 \h 287
\l "_Tc165033675" 【小升初数学考前技巧02】答题技巧、应试心理大揭秘 PAGEREF _Tc165033675 \h 293
\l "_Tc165033676" 【小升初数学考前技巧03】解答题十大技巧大揭秘 PAGEREF _Tc165033676 \h 296
\l "_Tc165033677" 四、考前押题篇 PAGEREF _Tc165033677 \h 306
\l "_Tc165033678" 一、试卷部分： PAGEREF _Tc165033678 \h 306
\l "_Tc165033679" 二、解析部分： PAGEREF _Tc165033679 \h 321
\l "_Tc165033680" 五、考场注意篇 PAGEREF _Tc165033680 \h 369
\l "_Tc165033681" 【考场注意篇01】小学数学临场解题策略大揭秘 PAGEREF _Tc165033681 \h 369
\l "_Tc165033682" 【考场注意篇02】小升初考试答题卡填涂注意事项网络阅卷流程简介 PAGEREF _Tc165033682 \h 374
\l "_Tc165033683" 六、考后衔接篇 PAGEREF _Tc165033683 \h 382
\l "_Tc165033684" 【01放松身心劳逸结合】把孩子交给夏日阳光、绿树浓荫 PAGEREF _Tc165033684 \h 382
\l "_Tc165033685" 【02文艺作品中找数学】中学生必看数学题材的电影 PAGEREF _Tc165033685 \h 385
\l "_Tc165033686" 【03假期尾声收收心】七年级数学预习书籍、资源推荐 PAGEREF _Tc165033686 \h 395
【学科核心素养01】数感表达与定量分析能力
1．（2023·山西晋中·小升初真题）山西总面积15.67万平方千米。截至2022年11月1日零时，山西常住人口为34915616人，横线上的数读作( )，省略“万”位后面的尾数约是( )万；山西四季分明，冬季白天平均气温11摄氏度，夜间平均气温﹣2摄氏度，横线上的数读作( )，表示( )摄氏度。
【答案】 三千四百九十一万五千六百一十六 3492 负二 零下二
【分析】根据整数的读法，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位一个0或连续几个0都只读一个零，即可读出此数；省略“万”位后面的尾数就是四舍五入到万位，就是把万位后的千位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“万”字。
比0℃低的温度叫零下温度，通常在数字前面加“﹣”（负号）。负数的读法：先读“负”，数字部分按数的读法去读。
【详解】34915616读作三千四百九十一万五千六百一十六，省略“万”位后面的尾数约是3492万；山西四季分明，冬季白天平均气温11摄氏度，夜间平均气温﹣2摄氏度读作负二，表示零下二摄氏度。
2．（2023·四川绵阳·小升初真题）世界上最大的海洋是太平洋，面积是17996800平方千米，改写成以“万”为单位的数为( )平方千米，四舍五入到“万”位是( )平方千米。
【答案】 1799.68万 1800万
【分析】改写成用“万”单位的数，把万位后面点上小数点，然后加上单位“万“字；用四舍五入法省略“万”后面的尾数，需要看千位上的数字，后面的数都省略去，然后加上单位“万”。
【详解】17996800＝1799.68万
17996800≈1800万
【点睛】此题主要考查把一个数改写成用“万”作单位的数的方法，和省略亿万位后面的尾数求近似数的方法，明确：改写数的大小不变，所以用“＝”表示，求近似数用“≈”表示。
3．（2023·福建莆田·小升初真题）六年（2）班有53名学生，参加下午课后延时服务的同学有A名。如果A是奇数，那么没有参加下午课后延时服务的同学人数是( )。（填“奇数”或“偶数”）
【答案】偶数
【分析】奇数＋偶数＝奇数，因为53是奇数、A是奇数，那么没有参加下午课后延时服务的同学人数是偶数。
【详解】六年（2）班有53名学生，参加下午课后延时服务的同学有A名。如果A是奇数，那么没有参加下午课后延时服务的同学人数是偶数。
4．（2023·安徽合肥·小升初真题）一节课的时间是40分钟，合( )小时；小明买了3瓶330毫升的矿泉水，合( )升；如果每瓶矿泉水售价1元5角，3瓶共( )元。
【答案】 0.99 4.5
【分析】1小时＝60分钟，将40分钟除以60，求出第一空；
将3瓶乘330毫升，再将积根据“1升＝1000毫升”进行单位换算；
将数量3瓶乘单价1.5元，求出一共多少元。
【详解】40÷60＝（小时）
3×300÷1000＝0.99（升）
1元5角＝1.5元
3×1.5＝4.5（元）
所以，一节课的时间是40分钟，合小时；小明买了3瓶330毫升的矿泉水，合0.99升；如果每瓶矿泉水售价1元5角，3瓶共4.5元。
5．（2023·河南郑州·小升初真题）在括号里填上适当的数。
45角＝( )元 3000毫米＝( )厘米 2035千克＝( )吨
升＝( )毫升 2.08公顷＝( )平方米
立方分米＝( )立方米 ( )
平方米＝( )平方分米
【答案】4.5；300；2.035
250；20800；5
5；960；36
【分析】根据1元＝10角，1厘米＝10毫米，1吨＝1000千克，1升＝1000毫升，1公顷＝10000平方米，1立方米＝1000立方分米，1平方米＝100平方分米，进行换算即可。
根据比值×后项＝前项，求出比的前项；分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，据此填上最后一空。
【详解】45÷10＝4.5（元）；3000÷10＝300（厘米）；2035÷1000＝2.035（吨）
×1000＝250（毫升）；2.08×10000＝20800（平方米）；5000÷1000＝5（立方米）
1.25×4＝5；9.6×100＝960（平方分米）；42÷7×6＝36
45角＝4.5元 3000毫米＝300厘米 2035千克＝2.035吨
升＝250毫升 2.08公顷＝20800平方米 立方分米＝5立方米
5 平方米＝960平方分米
【点睛】关键是熟悉比各部分之间的关系，掌握并灵活运用分数的基本性质，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率。
6．（2023·四川成都·小升初真题）最小的合数与最小的质数的积的等于( )。
【答案】4
【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。（讨论因数、倍数、质数、合数时一般不包括0）据此可知最小的合数是4，最小的质数是2，用4×2最小的合数与最小的质数的积，把这个积看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用（4×2）×即可求出最小的合数与最小的质数的积的等于多少。
【详解】（4×2）×
＝8×
＝4
最小的合数与最小的质数的积的等于4。
7．（2023·湖北省直辖县级单位·小升初真题）看图填空。
(1)如果点C表示的数是，那么点D表示的数是( )。
(2)如果点B和点D的距离是2.8，那么点A表示的数是( )。
【答案】(1)1
(2)﹣0.56
【分析】（1）观察图形可知， 0到点C表示的数是，0到点C点是2份，0到点D点平均分成6份；则点D表示的数是1；
（2）点B到点D的距离是2.8，平均分成5份，用2.8÷5，求出1份是多少，即求出0到点B是多少，0到点A的距离＝0到点B的距离，0的左边表示负，右边表示正，据此求出点A表示的数。
【详解】（1）如果点C表示的数是，那么点D表示的数是1。
（2）2.8÷5＝0.56
点A表示﹣0.56。
如果点B和点D的距离是2.8，那么点A表示的数是﹣0.56。
8．（223·黑龙江牡丹江·小升初真题）在2012年、2013年、2014年和2015年这四个年份中，( )年有366天。
【答案】2012
【分析】平年一年有365天、闰年有366天；
平年和闰年的判断方法：每四年中就有一个闰年，其余三个年份是平年。公历年份是4的倍数的一般都是闰年，但公历年份是100的倍数时，必须是400的倍数才是闰年。例如：1900年不是闰年，因为1900是100的倍数但不是400的倍数；2000年是闰年，因为2000是400的倍数。可以用这些年份分别除以4，看结果是否有余数，没有余数的年份就是闰年，否则是平年。
【详解】2012÷4＝503
2013÷4＝503……1
2014÷4＝503……2
2015÷4＝503……3
因此，在2012年、2013年、2014年和2015年这四个年份中，（2012）年有366天。
【点睛】考查了平年、闰年的判断方法，需要会计算一位数除多位数，同时对于平年、闰年有所了解。
9．（2023·四川成都·小升初真题）“张欢的身高的和肖恩一样高”其中单位“1”的量是( )；他们之间的等量关系式为：张欢的身高×( )＝肖恩的身高。
【答案】 张欢的身高
【分析】根据判断单位“1”的方法：一般是把“比、占、是、相当于”后面的量看作单位“1”，即分数“的”字前面的量看作单位“1”，所以题目中把张欢的身高看作单位“1”，根据分数乘法的意义，可知张欢的身高×＝肖恩的身高。
【详解】“张欢的身高的和肖恩一样高”其中单位“1”的量是张欢的身高；他们之间的等量关系式为：张欢的身高×＝肖恩的身高。
10．（2023·江苏无锡·小升初真题）中国和英国的时差为8小时，当北京时间18：00时，英国才只有上午10：00。一架飞机11月24日17时从伦敦希斯罗机场起飞，经过12小时飞行抵达北京首都国际机场，这时北京是11月( )日( )时。
【答案】 25 13
【分析】根据时间和日期的推算方法，先计算飞机抵达北京首都国际机场时的伦敦时间，再加上8小时即可。
【详解】17：00＋12：00＝5：00（第二天）
5：00＋8：00＝13：00（第二天）
这时北京是11月25日13时。
【点睛】本题主要考查时间和日期的推算，关键培养学生的逻辑推理能力。
【学科核心素养02】符号意识与抽象思维能力
1．（2023·北京东城·小升初真题）甲书架上有a本书，乙书架的书比甲书架的多10本。乙书架上有( )本书。当，乙书架上有( )本书。
【答案】 a＋10 55
【分析】把甲书架上有的书的本数看作单位“1”，乙书架的书比甲书架的多10本，即甲书架上的书的本数×＋10＝乙书架上的书的本数，据此列出式子，当a＝60时，代入数据，求出乙书架上的书的本数。
【详解】a×＋10＝（a＋10）本
当a＝60时：
×60＋10
＝45＋10
＝55（本）
甲书架上有a本书，乙书架的书比甲书架的多10本。乙书架上有（a＋10）本书。当a＝60时，乙书架上有55本书。
2．（2023·黑龙江哈尔滨·小升初真题）在某地，人们发现在一定温度范围内，某种蟋蟀每分钟叫的次数与温度（℃）之间有如下近似关系：蟋蟀每分钟叫的次数除以7加上3，就是当时的近似温度。如果蟋蟀每分钟叫x次，那么当时的温度用算式表示是( )℃。
【答案】x÷7＋3
【分析】由蟋蟀每分钟叫的次数与温度（℃）之间的关系可知，当时的温度＝蟋蟀每分钟叫的次数÷7＋3，把蟋蟀每分钟叫的次数代入等量关系，据此解答。
【详解】分析可知，如果蟋蟀每分钟叫x次，那么当时的温度用算式表示是（x÷7＋3）℃。
【点睛】本题主要考查用字母表示数，根据题意找出等量关系是解答题目的关键。
3．三个连续自然数，中间的一个是n，那么三个自然数的和是( )。
【答案】3n
【分析】相邻的两个自然数相差1，中间的一个是n，由此表示出三个连续自然数为：n－1，n，n＋1．然后求和即可。
【详解】（n－1）＋n＋（n＋1）
＝n－1＋n＋n＋1
＝3n
三个连续自然数，中间的一个是n，那么三个自然数的和是3n。
【点睛】解答本题的关键是知道相邻的两个自然数相差1，由此即可得出答案。
4．（2023·湖北省直辖县级单位·小升初真题）如果。且a、b两数互为倒数，则( )。
【答案】
【分析】根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数；a、b两数互为倒数，ab＝1；再根据比例的基本性质：比例的两个外项之积等于两个内项之积；把x∶a＝b∶0.65，化为0.65x＝ab；再根据等式的性质2，方程两边同时除以0.65，即可解答。
【详解】ab＝1
x∶a＝b∶0.65
0.65x＝ab
0.65x＝1
x＝1÷0.65
x＝
如果x∶a＝b∶0.65。且a、b两数互为倒数，则x＝。
5．（2023·四川成都·小升初真题）如果，，那么( )。
【答案】34
【分析】观察等式得：x比y大12，y比z大5，那么x比z大17。再将式子用乘法的分配律化简。
【详解】
6．（2023·山东德州·小升初真题）规定运算a△b的结果按照下述方式产生：在a的倍数中找出大于b且最小的一个，计算这个倍数与b的差，如，。那么25△2023＝( )。
【答案】2
【分析】定义新运算的一般解题步骤：
（1）关键问题：审题。正确理解定义的运算符号的意义。
（2）严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，准确找出要计算的习题中数据与定义中字母的对应关系，把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。
（3）求解。
【详解】25△2023
＝25×81－2023
＝2025－2023
＝2
【点睛】定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。
7．（2023·四川成都·小升初真题）数轴上10个点所表示的数分别为。，，…，，当i为奇数时，，当i为偶数时，，那么( )。
【答案】6
【分析】能被2整除的自然数是偶数，不能被2整除的自然数是奇数。当时，是奇数，则，当，是偶数，则，…将几个式子加起来观察。
【详解】时，
时，
时，
时，
则
8．（2023·广东河源·期中）刘刚在人工智能课上编制了一个计算小程序，输入一个数后，小程序通过计算会输出另一个数（如图）。根据这个计算程序：
(1)输入数6会输出数( )；
(2)输入数( )会输出数25；
(3)小程序的运算规律是什么？用你喜欢的方式写出来：
( )。
【答案】(1)13
(2)12
(3)见详解
【分析】观察发现：
输入5，输出11；11＝2×5＋1；
输入8，输出17；17＝2×8＋1；
输入10，输出21；21＝2×10＋1；
……
发现规律：输入数为n，则输出数为（2n＋1）。
按此规律解答。
【详解】（1）2×6＋1
＝12＋1
＝13
输入数6会输出数13。
（2）（25－1）÷2
＝24÷2
＝12
输入数12会输出数25。
（3）小程序的运算规律：输出的数＝输入数×2＋1；如果输入数为n，则输出数为（2n＋1）。
（答案不唯一）
【点睛】本题考查找规律，根据给出的已知数据找出规律，按规律解决问题。
9．（2023·浙江绍兴·小升初真题）如下图：从图( )可知成立（填序号）。在图③中，是15cm，是10cm，图③阴影部分的周长是( )cm。

【答案】 ② 60
【分析】（1）图①是由4个长是a、宽是b的长方形和一个边长为（a－b）的小正方形组成的边长为（a＋b）大正方形，即大正方形的面积＝长方形的面积×4＋小正方形的面积；
图②是由2个长是a、宽是b的长方形、一个边长为a的小正方形和一个边长为b的小正方形组成的边长是（a＋b）大正方形，即大正方形的面积＝长方形的面积×2＋边长为a的小正方形的面积＋边长为b的小正方形的面积；
图③是由边长为b的小正方形和2个上底是b，下底是a，高是（a－b）的梯形组成的边长为a的大正方形。
（2）通过观察发现：图③阴影部分周长＝（梯形的上底＋下底＋高）×2。
【详解】由图①可知：成立。
由图②可知：成立。
由图③可知：，即成立。
图③阴影部分周长：
＝
＝
＝60（cm）
从图②可知成立。图③阴影部分的周长是60cm。
【点睛】数形结合是学习数学的一种重要的思想方法。运用数形结合的方法，可以帮助理解计算方法，进行计算。
10．（2023·福建漳州·小升初真题）某餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式。
【答案】18；4n＋2；
12；2n＋4；
2n－2
【分析】观察第一种摆法可知：
一张桌子能坐6人，6＝4×1＋2；
二张桌子能坐10人，10＝4×2＋2；
三张桌子能坐14人，14＝4×3＋2；
……
按此规律摆放，摆n张桌子能坐（4n＋2）人。
观察第二种摆法可知：
一张桌子能坐6人，6＝2×1＋4；
二张桌子能坐8人，8＝2×2＋4；
三张桌子能坐10人，10＝2×3＋4；
……
按此规律摆放，摆n张桌子能坐（2n＋4）人。
【详解】第一种摆法的规律：摆n张桌子能坐（4n＋2）人。
当n＝4时
4n＋2
＝4×4＋2
＝16＋2
＝18（人）
第二种摆法的规律：摆n张桌子能坐（2n＋4）人。
当n＝4时
2n＋4
＝2×4＋4
＝8＋4
＝12（人）
两种摆法相差：
（4n＋2）－（2n＋4）
＝4n＋2－2n－4
＝2n－2（人）
如下表：
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
【学科核心素养03】算法算理与规范运算能力
一、基础计算板块。
1．（2023·甘肃庆阳·小升初真题）直接写出得数。


【答案】27；0.35；100；；4
5；；0.5；；5
【详解】略
2．（2023·贵州铜仁·小升初真题）直接写出得数。
5000÷100＝ 0.8×12＝ 5.22＋5.42＝ 0.56÷700＝ ×8＝
0÷＝ 125×8＝ ×＝ 0.23＋177%＝ 1÷（40×）＝
【答案】50；9.6；10.64；0.0008；2
0；1000；；2；
【详解】略
3．（2023·新疆乌鲁木齐·小升初真题）直接写出得数。
9－6.05＝ 20÷0.05＝ 1－1÷9＝ 237÷1000＝ 1－＋＝
3－＝ 7.2÷＝ ∶0.25＝ 0.125×8÷0.125×8＝ 99×103≈
【答案】2.95；400；；0.237；
；8.1；3；64；10000
【详解】略
二、脱式计算和简便计算板块。
4．（2023·山东临沂·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。


【答案】34.4；0.5；
14；
【分析】根据减法的性质，把减去两个数的和转化为连续减去两个数，然后带符号搬家，先计算尾数相同的小数减法，可使计算简便；
先计算小括号里的减法，再计算中括号里的乘法，加法，最后计算括号外面的除法；
把百分数化为小数，除法转化为乘法，然后逆用乘法分配律，可使计算简便；
先分别计算分数除法、分数乘法，再算分数减法。
【详解】
＝67.38－17.6－15.38
＝67.38－15.38－17.6
＝52－17.6
＝34.4
＝
＝
＝7.8÷15.6
＝0.5

＝9.58×＋0.42×
＝（9.58＋0.42）×
＝10×
＝14
＝
＝
＝
5．（2023·陕西延安·小升初真题）计算下列各题，能简算的要简算。
3.12÷15＋12.5×28

【答案】350.208；21
2；4
【分析】（1）先算乘除法，再算加法；
（2）按照乘法分配律计算；
（3）按照乘法分配律计算；
（4）按照乘法分配律以及加法结合律计算。
【详解】（1）3.12÷15＋12.5×28
＝0.208＋350
＝350.208
（2）
＝36×＋36×－36×
＝18＋12－9
＝21
（3）
＝×（5.7＋2.3）
＝×8
＝2
（4）
＝×8＋×8＋
＝3＋（＋）
＝3＋1
＝4
6．（2023·湖南株洲·小升初真题）脱式计算，能简算的要简算。
24.51－2.83－7.17 72÷[960÷（145—65）]
6－ 4.5×＋5.5×80%
【答案】14.51；6；
6；8
【分析】（1）利用减法的性质，先计算2.83＋7.17的和，再计算减法；
（2）先计算小括号里的减法，再计算除法，最后计算中括号外的除法；
（3）先计算分数除法，再利用减法的性质进行简便计算；
（4）把80%化成分数，再利用乘法分配律进行简便计算。
【详解】24.51－2.83－7.17
＝24.51－（2.83＋7.17）
＝24.51－10
＝14.51
72÷[960÷（145—65）]
＝72÷[960÷80]
＝72÷12
＝6
6－
＝
＝
＝
＝
＝6
4.5×＋5.5×80%
＝4.5×＋5.5×
＝（4.5＋5.5）×
＝10×
＝8
三、解方程或解比例板块。
7．（2023·四川宜宾·小升初真题）解方程。
32x＋125＝285 x＋x＝15
12∶＝x∶4 1＋20%x＝16
【答案】x＝5；x＝18；
x＝72；x＝75
【分析】（1）根据等式的性质，在方程两边同时减去125，再同时除以32即可；
（2）先计算方程的左边，把原方程化为x＝15，再根据等式的性质，在方程两边同时乘即可；
（3）根据比例的基本性质，把比例式化为乘积式x＝12×4，再根据等式的性质，在方程两边同时乘即可；
（4）根据等式的性质，在方程的两边同时减去1，再同时除以20%即可。
【详解】32x＋125＝285
解：32x＋125－125＝285－125
32x＝160
32x÷32＝160÷32
x＝5
x＋x＝15
解：x＝15
x×＝15×
x＝18
12∶＝x∶4
解：x＝12×4
x＝48
x×＝48×
x＝72
1＋20%x＝16
解：1＋20%x－1＝16－1
20%x＝15
20%x÷20%＝15÷20%
x＝75
8．（2023·河南驻马店·小升初真题）解方程。


【答案】；；
；
【分析】（1）分数形式的比例中，交叉相乘积相等，把比例转化为方程，再利用等式的性质2，方程两边同时除以2.4；
（2）在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，把比例转化为方程，再利用等式的性质2，方程两边同时除以；
（3）先利用等式的性质1，方程两边同时加上，方程两边再同时减去17.1，最后利用等式的性质2，方程两边同时除以3.6；
（4）先利用等式的性质1，方程两边同时减去，方程两边再同时加上0.9，最后利用等式的性质2，方程两边同时除以1.2。
【详解】（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
（4）
解：
9．（2023·河北邢台·小升初整体）解方程。


【答案】x＝2；x＝3；
x＝17.5；x＝0.75
【分析】3.4x－2.5x＝1.8，先化简方程左边含有x的算式，即求出3.4－2.5的差，再根据等式的性质2，方程两边同时除以3.4－2.5的差即可；
2.1x＋120%x＝9.9，先化简方程左边含有x的算式，即求出2.1＋120%的和，再根据等式的性质2，方程两边同时除以2.1＋120%的和即可；
17x＝420－7x，先根据等式的性质1，方程两边同时加上7x，原式化为：17x＋7x＝420，化简方程左边含有x的算式，即求出17＋7的和，再根据等式的性质2，方程两边同时除以17＋7的和即可；
0.7∶x＝28∶30，解比例，原式化为：28x＝0.7×30，再根据等式的性质2，方程两边同时除以28即可。
【详解】3.4x－2.5x＝1.8
解：0.9x＝1.8
x＝1.8÷0.9
x＝2
2.1x＋120%x＝9.9
解：3.3x＝9.9
x＝9.9÷3.3
x＝3
17x＝420－7x
解：17x＋7x＝420
24x＝420
x＝420÷24
x＝17.5
0.7∶x＝28∶30
解：28x＝0.7×30
28x＝21
x＝21÷28
x＝0.75
【学科核心素养04】模型意识与几何直观能力
1．（2022·广东深圳·小升初真题）有一个梯形，如果上底增加4厘米，下底和高都不变，这时就变成一个平行四边形，面积增加10平方厘米；如果上底减少3厘米，下底和高都不变，这时就变成一个三角形。
（1）请根据图中信息画出梯形变成平行四边形和三角形的示意图。并将相关数据标注在图中。
（2）计算：原梯形的面积是多少平方厘米？
【答案】（1）见详解；
（2）25平方厘米
【分析】根据题意，如果上底减少3厘米，下底和高都不变，这时就变成了一个三角形，也就是说梯形的上底是3厘米，然后依据如果上底增加4厘米，下底和高都不变，这时就变成一个平行四边形，面积增加10平方厘米，增加部分是一个三角形，利用三角形的面积的公式：三角形的高＝三角形的面积×2÷底，求出增加部分的高，也就是梯形的高，梯形的上底比下底少4厘米，则梯形的下底为（3＋4）厘米，于是利用梯形的面积公式：梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数值即可求解。
【详解】（1）作图如下：
梯形的高：
10×2÷4
＝20÷4
＝5（厘米）
（3＋3＋4）×5÷2
＝10×5÷2
＝25（平方厘米）
答：原梯形的面积是25平方厘米。
【点睛】此题主要考查梯形的面积的计算方法，关键是先求出梯形的下底和高的值。
2．（2023·山东潍坊·小升初真题）有一栋底面呈长方形的建筑物（如图），墙角有一根木桩，木桩上拴着一条狗。栓狗的绳长6m，和建筑物宽相等，请在图上以木桩底部A点为圆心画出这只狗的活动区域（保留作图痕迹），并计算出面积。

【答案】图见详解；84.78平方米
【分析】以点A为圆心，这个长方形的宽为半径画圆；狗的活动面积是以A为圆心，以6米为半径的圆的面积；再再根据圆的面积公式：，解题即可。
【详解】以木桩底部A点为圆心画出这只狗的活动区域（保留作图痕迹），如下：

3.14×62×
＝3.14×36×
＝113.04×
＝84.78（平方米）
答：这只狗的活动区域的面积是84.78平方米。
【点睛】此题考查了有关圆的应用题，理清思路，灵活应用圆的周长公式和面积公式是解决此题的关键。
3．（2022·浙江嘉兴·小升初真题）如下图所示，半径为1厘米的小圆盘（娃娃脸）沿着长方形内壁，从A点出发不停滚动（无滑动），最后到原来的位置。小圆盘在B、C、D位置是怎样的，请你计算一下并画出示意图。
【答案】见详解
A到B转了1圈，B到C转了0.5圈，C到D转了1圈
【分析】小圆盘从A点转到B点，转动的长度是长方形的长边减去两个半径，也就是减去一条直径，用转动的长度除以圆的周长算出小圆圈转了几圈；从B点转到C点，转动的长度是长方形的宽边减去圆的直径，用转动的长度除以圆的周长算出小圆圈转了几圈；小圆盘从C点转到D点，转动的长度是长方形的长边减去一条直径，用转动的长度除以圆的周长算出小圆圈转了几圈，据此画图即可。
【详解】从A点转到B点转了：
（8.28－1×2）÷（2×3.14）
＝（8.28－2）÷6.28
＝6.28÷6.28
＝1（圈）
转动了1整圈，娃娃脸的B位置同A位置一样；
从B点转到C点转了：
（5.14－1×2）÷（2×3.14）
＝（5.14－2）÷6.28
＝3.14÷6.28
＝0.5（圈）
转动了半圈，娃娃脸的C位置跟B位置相反，眼睛朝下，嘴巴朝上；
从C点转到D点：
（8.28－1×2）÷（2×3.14）
＝（8.28－2）÷6.28
＝6.28÷6.28
＝1（圈）
转动了1整圈，娃娃脸的D位置同C位置一样；
【点睛】本题主要考查圆的周长公式的灵活应用以及图形的旋转问题。
4．（2023·安徽蚌埠·小升初真题）同学们，你认识多边形的外角吗？多边形的边与它邻边延长线组成的角就是它的外角。如图，∠1、∠2、∠3就是三角形的三个外角，∠4、∠5、∠6、∠7就是四边形的四个外角。
（1）仔细观察每个图形的内角与外角之间关系，画一画、算一算想办法推算出每个图形的外角的和各是多少度？
推算过程。
（2）初步得出结论：三角形三个外角和是( )°；四边形四个外角的和是( )°。
（3）根据上面的发现，你有什么猜想？
我的猜想
。
【答案】见详解
【分析】
给三角形的三个顶点标上A、B、C，发现一个外角和与它相邻的内角组成了一个平角，这样的平角一共有3个，则三个平角的和是540°，三角形的内角和是180°，则三角形的外角和＝540°－内角和的180°。同理，四边形的四个顶点标上A、B、C、D，发现一个外角和与它相邻的内角组成了一个平角，有这样的4个平角，且四角形的内角和是360°，四边形的外角和＝四个平角－内角和的360°。将两个图形的外角和进行对比，进行初步的猜想。
【详解】（1）观察三角形：
∠1＋∠BAC＝180°
∠2＋∠ABC＝180°
∠3＋∠ACB＝180°
∠1＋∠BAC＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠ACB
＝180°×3
＝540°
∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°
∠1＋∠2＋∠3
＝540°－180°
＝360°
则三角形的外角和是360°。
观察四边形：
∠4＋∠ADC＝180°
∠5＋∠BAD＝180°
∠6＋∠ABC＝180°
∠7＋∠DCB＝180°
∠4＋∠ADC＋∠5＋∠BAD＋∠6＋∠ABC＋∠7＋∠DCB
＝180°×4
＝720°
∠ADC＋∠BAD＋∠ABC＋∠DCB＝360°
∠4＋∠5＋∠6＋∠7
＝720°－360°
＝360°
则四边形的内角和是360°。
（2）初步得出结论：三角形三个外角和是360°；四边形四个外角的和是360°。
（3）根据结论得到的猜想是：任意边形的图形的外角和都是360°。
5．（2023·江西宜春·小升初真题）新村实施“乡村振兴计划”要将一块空地建成美丽的花园，请你按要求进行设计。（每个小方格的边长表示10米）
（1）原来在空地上设计了一个三角形草坪，发现面积过大，需要按1∶2的比缩小，且位置改在空地的东南角，请画出缩小后的三角形草坪。
（2）在空地上以点O（2，2）为圆心修建一个半径为20米的圆形花坛，再根据“外圆内方”这一经典设计在这个圆形花坛内围出一个最大的正方形花坛，请画出这个“外圆内方”的花坛。
（3）圆形花坛内，正方形花坛种月季，正方形花坛与圆形花坛之间的部分种牡丹，那么种牡丹的面积是( )平方米。
【答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）456
【分析】（1）图中三角形的底是6格，高是4格，按1∶2缩小，缩小后的三角形的底和高都除以2；以图上的“上北下南，左西右东”为准，在空地的东南角，画出缩小后的三角形草坪。
（2）根据用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；先确定点O的位置，以O点为圆心，20米为半径画圆，图上每个小方格的边长表示10米，则20米相当于2格；然后根据“外圆内方”，在圆内画一个最大的正方形即可。（画法不唯一）
（3）根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆形花坛的面积；
用对角线把正方形分成两个一样的三角形，则正方形的面积等于两个三角形的面积，这个三角形的底等于圆的直径，高等于圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即可求出正方形花坛的面积；
根据正方形花坛与圆形花坛之间的部分种牡丹可知，种牡丹的面积＝圆的面积－正方形的面积，代入数据计算，即可求解。
【详解】（1）缩小后三角形的底是：6÷2＝3（格）
缩小后三角形的高：4÷2＝2（格）
缩小后的三角形草坪如下图。
（2）20÷10＝2（格）
“外圆内方”的花坛如下图。
（正方形画法不唯一）
（3）圆的面积：
3.14×202
＝3.14×400
＝1256（平方米）
圆的直径：20×2＝40（米）
正方形的面积：
40×20÷2×2＝800（平方米）
牡丹的面积：
1256－800＝456（平方米）
种牡丹的面积是456平方米。
【点睛】本题考查作缩小后的图形、作“外圆内方”图形、数对的知识以及圆的面积、三角形的面积、正方形的面积计算。
6．（2022·广西玉林·小升初真题）为了增加百姓的休闲活动空间，某社区准备新建一个口袋公园。右图左侧的正方形是口袋公园的平面设计图，空白部分为活动区域（是4个完全相同的扇形），阴影部分为绿植区域。
（1）以正方形中心O点为观测点，A点在正( )方向上，距离是( )米；B点在( )°方向上。
（2）绿植区域的图形共有( )条对称轴。绿植区域的面积是( )平方米。
（3）在保证活动区域和绿植区域面积不变的情况下，还可以有不同的设计方案。
请在上面右侧正方形中用圆规画出你的新设计图（如没有新设计，也可以画出原设计图），并将绿植区域涂上阴影。
【答案】（1）北；10；东偏北45；
（2）4；86；
（3）见详解
【分析】（1）根据图上确定方向的方法：上北下南，左西右东，结合图示确定各点的位置，以正方形的中心点为观测点，A点在正北方向，距离为正方形边长的一半，即20÷2＝10（米），根据正方形的特点，以A点为观测点，根据方向和角度确定B点的位置，可得B点在东偏北45°方向上，据此解答即可。
（2）绿植部分的面积等于正方形面积减掉以20米为直径的圆的面积，利用正方形面积公式：S＝a2，以及圆的面积公式：S＝r2，计算其面积即可。根据图形的特点可知，它有4条对称轴。
（3）根据图形的特点，设计在正方形中去掉一个以正方形边长为直径的圆，作为绿植区域即可。
【详解】（1）20÷2＝10（米）
即以正方形中心O为观测点，A在正北方向上，距离是10米；B在东偏北45度方向上。
（2）20×20－3.14×（20÷2）2
＝400－3.14×102
＝400－3.14×100
＝400－314
＝86（平方米）
即绿植区域共有4条对称轴，它的面积是86平方米。
（3）如图：
【点睛】本题主要考查根据方向、距离确定物体的位置，同时考查阴影部分的面积，关键是把不规则图形转化为规则图形，利用规则图形的面积公式计算。
7．（2021·浙江绍兴·小升初真题）在本学期的数学课上，我们通过操作，知道长方形沿长或宽为轴旋转一周，可以形成圆柱；把线直角三角形沿直角边旋转一周，可以形成圆锥。那么，请你思考：
（1）下列两个梯形（图1），沿图中的轴旋转一周，形成了什么立体图形，请你试着画一画所形成的立体图形的示意图。
（2）如下图（图2），有这样一个长方形ABCD，BC＝6cm，AB＝10cm，已知对角线AC、BD相交点。如果图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？
【答案】（1）见详解
（2）565.2立方厘米
【分析】（1）左边梯形可以看成三角形和长方形，下边长方形旋转一周是圆柱，上边三角形绕直角边旋转一周是圆锥，即圆柱上边摞一个圆锥；右边提醒是绕上底旋转，相当于圆柱上边挖去一个倒着的圆锥，据此作图。
（2）这个立体图形可以看成两个圆锥削掉上半部分然后叠加，但还要减去两个小圆锥，才是阴影部分扫出的立体图形的真实体积。
【详解】（1）；
（2）设三角形BOC以CD为轴旋转一周所得到的立体的体积是V，则
V＝×6²×10×π－2××3²×5×π
＝120π－30π
＝90π（立方厘米）
2V＝180π＝565.2（立方厘米）
答：阴影部分扫过的立体的体积是565.2立方厘米。
【点睛】关键是熟悉圆柱和圆锥的特点，圆锥体积＝底面积×高×。
8．（2023·江苏·期末）用一张长60厘米、宽40厘米的长方形铁皮制作一个无盖的长方体容器。（铁皮厚度忽略）
（1）通常如图（1）所示，在四角剪去四个一样的正方形，再通过翻折、焊接，做成一个无盖的长方体容器。如果剪去的正方形的边长是8厘米，那么做成的长方体容器的长是( )厘米，宽是( )厘米，高是( )厘米，容积是( )立方分米。
（2）图（1）制作容器的方法会浪费掉一些铁皮，为了不浪费，我们还可以如图（2），在长方形铁皮左边两个角剪去边长为10厘米的正方形再将两个正方形移到右边中间，并焊接起来，再通过翻折、焊接，做成一个无盖的长方体容器。做成的长方体容器的长是( )厘米，宽是( )厘米，高是( )厘米，容积是( )立方分米。
（3）如果给你一张长70厘米、宽60厘米的长方形铁皮用图（2）的方法制作一个长、宽、高都是整厘米数的无盖长方体容器，你会怎样设计？（请画出草图，标出数据，并计算出这个无盖长方体容器的容积）
【答案】（1）44；24；8；8.448
（2）50；20；10；10
（3）画图见详解；24.75立方分米
【分析】（1）容器的长是（60－8×2）厘米，宽是（40－8×2）厘米，高是8厘米，根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
（2）由图形可知，在长方形的铁皮左边两个角剪去边长为10厘米的正方形移到右边中间焊接起来，再通过折、焊接，制成无盖的长方体容器，容器的长是60－10＝50厘米，宽是（40 －10×2）厘米，高是10厘米，根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
（3）如下图：
在长方形的铁皮左边两个角剪去边长为15厘米的正方形移到右边中间焊接起来，再通过折、焊接，制成无盖的长方体容器，容器的长是70－15＝55厘米，宽是（60－15×2）厘米，高是15厘米，根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
【详解】由分析得：
（1）长：60－8×2
＝60－16
＝44（厘米）
宽：40－8×2
＝40－16
＝24（厘米）
高：8厘米
容积：44×24×8
＝1056×8
＝8448（立方厘米）
8448立方厘米＝8.448立方分米
那么做成的长方体容器的长是44厘米，宽是24厘米，高是8厘米，容积是8.448立方分米。
（2）长：60－10＝50（厘米）
宽：40－10×2
＝40－20
＝20（厘米）
高：10厘米
容积：50×20×10
＝1000×10
＝10000（立方厘米）
10000立方厘米＝10立方分米
做成的长方体容器的长是50厘米，宽是20厘米，高是10厘米，容积是10立方分米。
（3）如图：
长：70－15＝55（厘米）
宽：60－15×2
＝60－30
＝30（厘米）
高：15厘米
容积：55×30×15
＝1650×15
＝24750（立方厘米）
24750立方厘米＝24.75立方分米
答：这个无盖长方体容器的容积是24.75立方分米。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体的容积公式的灵活运用。
【学科核心素养05】空间观念与空间想像能力
1．（2023·云南大理·小升初真题）（1）以图一中的AB边为轴旋转一周，会形成一个( )体，以图二中的AB边为轴旋转一周，会形成一个( )体。
（2）分别计算出旋转后形成的这两个图形的体积。
【答案】（1）圆锥；圆柱
（2）18.84立方厘米；56.52立方厘米
【分析】（1）直角三角形ABC以AB边为轴旋转一周，会形成一个底面半径是3厘米，高是2厘米的圆锥；长方形ABCD以AB边为轴旋转一周，会形成一个底面半径是3厘米，高是2厘米的圆柱。
（2）圆锥的体积，把底面半径3厘米，高2厘米代入圆锥体积公式计算即可求出圆锥的体积；圆柱的体积，把底面半径3厘米，高2厘米代入圆柱体积公式计算即可求出圆柱的体积。
【详解】（1）以图一中的AB边为轴旋转一周，会形成一个圆锥体，以图二中的AB边为轴旋转一周，会形成一个圆柱体。
（2）
＝
＝18.84（立方厘米）
＝
＝56.52（立方厘米）
答：圆锥的体积是18.84立方厘米，圆柱的体积是56.52立方厘米。
【点睛】“点、线、面、体”之间的联系：点动成线，线动成面，面动成体。
2．（2023·浙江金华·小升初真题）机灵狗不小心把玻璃鱼缸的一个面打碎了，这时需要立刻把鱼缸斜放水才不会流光（如图所示），算一算，用这个坏的鱼缸最多能装多少升水？
【答案】20升
【分析】由图可知，用这个坏的鱼缸，最多能盛水的体积是原来鱼缸容积的一半，利用长方体的体积＝长×宽×高，即可求解。
【详解】4×5×2÷2
＝20×2÷2
＝40÷2
＝20（立方分米）
20立方分米＝20升
答：用这个坏的鱼缸最多能装20升水。
【点睛】此题主要考查长方体的体积的计算方法。
3．（2023·江苏苏州·小升初真题）一个数学实验小组的4位同学进行数学实验。
丁丁：下图的圆锥形玻璃容器，从里面量底面半径为2厘米，高是6厘米。
东东：我用沙装满这个圆锥形玻璃容器。
西西：下图的长方体玻璃容器，从里面量长是8厘米，宽是6厘米，高是10厘米，我已在这个长方体容器中装了沙，沙的厚度为7厘米。
星星：把东东装的沙全部倒入这个长方体玻璃容器中。
根据他们的实验解决下列问题。（计算时值取3）

（1）东东装满这个圆锥形玻璃容器用了多少立方厘米的沙？
（2）星星把沙全部倒入这个长方体容器后（沙子均匀分布），沙与玻璃接触部分的面积是多少平方厘米？
【答案】（1）24立方厘米
（2）258平方厘米
【分析】（1）东东装满这个圆锥形玻璃容器用了多少立方厘米的沙是求圆锥的体积，，据此解答；
（2）求沙与玻璃接触部分的面积是多少平方厘米，是求长方体沙子的侧面积加一个底面积的和，倒入后长方体的长和宽不变，倒入长方体沙子的体积等于圆锥的体积，由，可推出，据此可求出倒入长方体沙子的高，再加上原来长方体沙子的高，即可得到倒入后长方体沙子的高，，据此可求出沙与玻璃接触部分的面积是多少平方厘米。
【详解】（1）
＝4×6
＝24（立方厘米）
答：东东装满这个圆锥形玻璃容器用了24立方厘米的沙。
（2）
＝24÷（6×8）
＝0.5（厘米）
7＋0.5＝7.5（厘米）
＝2×8×7.5＋2×6×7.5＋6×8
＝120＋90＋48
＝258（平方厘米）
答：沙与玻璃接触部分的面积是258平方厘米。
【点睛】本题考查圆锥、长方体体积公式的灵活运用，记住公式是关键。
4．（2023·云南昭通·小升初真题）聪聪非常喜欢研究数学问题。妈妈的生日那天，聪聪从超市买来两个同样的礼品，如下图。通过测量，他发现每个礼品的长、宽、高分别是15厘米、5厘米、4厘米。
聪聪想给妈妈一个惊喜，准备将这两个礼品重叠起来，再用彩纸给表面包装起来写上“妈妈生日快乐！”。通过探索，他发现有3种不同的重叠方式，如下图。
他还发现两个结论：①无论怎样摆放，这两个礼品所占空间的大小不变；
②由于摆放方法不同，所需的外包装纸的大小不同。
（1）请帮聪聪算一算，这两个礼品所占的空间是多大？
（2）聪聪如果按最节省彩纸的方法包装，需要多少平方厘米彩纸？
【答案】（1）600立方厘米；（2）470平方厘米
【分析】（1）物体所占空间的大小是物体的体积。长方体体积＝长×宽×高，据此列式求出一个礼品的体积，再将其乘2，即可求出两个礼品的体积；
（2）三种重叠方式中，重叠面面积越大，构成的新长方体的表面积就越小，需要的包装彩纸也就越少。观察发现重叠方式①的重叠面是最大的，那么它需要的包装彩纸是最少的。长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，结合这个公式求出需要的彩纸面积即可。
【详解】（1）（15×5×4）×2
＝300×2
＝600（立方厘米）
答：这两个礼品所占的空间是600立方厘米。
（2）4×2＝8（厘米）
（15×5＋15×8＋5×8）×2
＝（75＋120＋40）×2
＝235×2
＝470（平方厘米）
答：选择①重叠方式去包装最节省，需要470平方厘米彩纸。
【点睛】本题考查了长方体的表面积和体积，熟记表面积和体积公式是解题的关键。
5．（2023·山西晋中·小升初真题）古希腊的阿基米德是历史上杰出的数学家，在他众多的科学发现中，他自己最为满意的是“圆柱容球定理”。“圆柱容球”就是把一个球放入一个圆柱形容器中，盖上容器盖后，球恰好与圆柱的上底面、下底面及侧面紧密接触。这个球的直径与圆柱的高、底面直径相等。在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的，球的表面积也是圆柱表面积的。
（1）请你计算圆柱容球中球的体积。
（2）明明由“圆柱容球”联想到“正方体容圆柱”。把圆柱体放入一个正方体容器中，盖好容器盖后，圆柱体的上下底面及侧面与正方体的上下底面及侧面紧密接触，这时圆柱的高、底面直径与正方体棱长相等，请求出正方体与圆柱的体积之比？
【答案】（1）113.04立方厘米；（2）200∶157
【分析】（1）根据球的体积是圆柱体积的，先计算出圆柱的体积，即可算出球的体积；圆柱的体积＝底面积×高，由图可知，该圆柱的高是6厘米，底面直径是6厘米，代入相应数值计算出圆柱的体积，据此解答。
（2）圆柱的高、底面直径与正方体棱长相等，也就是说该正方体的棱长是6厘米，根据圆柱的体积＝底面积×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入相应数值分别计算出圆柱的体积和正方体的体积，即可计算出它们的体积之比，据此解答。
【详解】（1）圆柱的体积：
3.14×（6÷2）2×6
＝3.14×32×6
＝28.26×6
＝169.56（立方厘米）
球的体积：（立方厘米）
答：圆柱容球中球的体积是113.04立方厘米。
（2）圆柱的体积：π×（6÷2）2×6
＝π×9×6
＝54π（立方厘米）
正方体的体积为：6×6×6＝216（立方厘米）
正方体与圆柱的体积之比为：
216∶54π
＝4∶π
＝4∶3.14
＝200∶157
答：正方体与圆柱的体积之比为200∶157。
6．（2023·福建莆田·小升初真题）如图，一个内直径20厘米的圆柱形量杯内有杯水。乐乐把一个直径10厘米的圆柱形铁块浸没其中，水面上升1厘米。这时，水面与杯底和杯口的高度比是9∶11。
（1）如果把圆柱形铁块换成与它等底等高的圆锥形铁块，浸没水中，水面上升 厘米。
（2）从里面量，量杯高多少？
（3）乐乐通过实验发现：只往量杯内竖直浸没上述的圆柱形铁块，最后量杯内的水正好淹没8个铁块。请你通过计算证明实验结果。
【答案】（1）；（2）20厘米；（3）见解析
【分析】（1）量杯的底面积乘水面上升的1厘米，就是圆柱形铁块的体积，那么与它等底等高的圆锥形铁块的体积是乘圆柱形铁块的体积，用所求体积除以量杯的底面积，就是此时水面上升的高度；
（2）把量杯高度看作单位“1”，水面上升后水柱高占量杯高度的，原来水柱高占量杯高度的，据此用水面上升的1厘米除以它对应的分率，即可求出量杯的高；
（3）首先应考虑量杯里每层能放几个铁块，据此算出放几层，求出放铁块的总高度，再假设所有铁块都没入水中，求出放入铁块后水面的高度，最后比较铁块的总高度和淹没8个铁块后的水面高度，如果水面高度大于铁块总高度，就说明可能还可以放铁块，如果水面高度小于铁块总高度，就说明不能淹没全部铁块，如果水面高度与铁块总高度相等，就说明量杯里的水刚好淹没这些铁块。
【详解】（1）
（厘米）
因此如果把圆柱形铁块换成与它等底等高的圆锥形铁块，浸没水中，水面上升厘米。
（2）
（厘米）
答：从里面量，量杯的高是20厘米。
（3）不放铁块时水面高度：20×＝8（厘米）
量杯每层能放铁块个数：10÷5＝2（个）
8个铁块的高度：8÷2×4＝16（厘米）
淹没8个铁块后水面的高度：8＋8×1＝16（厘米）
答：最后量杯内的水正好淹没8个铁块。
7．（2022·广东佛山·小升初真题）在学习圆柱体积公式时，老师会用到下图1，其中圆柱底面半径为r，圆柱的高为h。

（1）请用字母表示长方体中的长是( )，宽是( )，体积是( )。
（2）请根据上述解决问题的方法探究出图2中四棱柱（上、下底面为等腰梯形，该梯形的上底为b，下底为a，高为h1）的体积公式，请写出你的探究理由（或画图说明）。

（3）如图2，a＝20厘米，b＝12厘米， h1＝5厘米，h2＝15厘米往该容器里注水，水深13厘米，若将一个底面是正方形且边长为4厘米，高为12厘米的长方体铁块放入水中，此时容器里的水深是多少厘米？
【答案】（1）πr；r；πr2h
（2）V四棱柱＝（a＋b）h1h2；说明见详解
（3）15厘米
【分析】（1）将圆柱拼插成长方体，长方体的长＝圆柱底面周长的一半，长方体的宽＝圆柱底面半径，长方体的高＝圆柱的高，根据圆周长的一半＝圆周率×半径，长方体体积＝长×宽×高，据此分别用字母表示出长方体的长、宽和体积即可。
（2）这个四棱柱也可以拼成一个长方体，拼成的长方体的体积＝四棱柱的体积，长方体的底面积＝四棱柱的底面积，长方体的高＝四棱柱的高，根据长方体体积＝底面积×高，即可推导出四棱柱的体积公式。
（3）根据长方体体积＝底面积×高，求出铁块体积，铁块体积÷容器底面积＋原来水深＝放入铁块后的水深，与容器的高比较一下，如果大于容器的高，说明水会溢出，水深最多就是容器的高，据此列式解答。
【详解】（1）长方体中的长是πr，宽是r，体积是πr2h。
（2）拼成的长方体的底面积：（a＋b）h1
拼成的长方体的高：h2
拼成的长方体的体积公式：V长方体＝S底h＝（a＋b）h1h2
这个四棱柱的体积公式：V四棱柱＝（a＋b）h1h2
（3）4×4×12＝192（立方厘米）
192÷[×（20＋12）×5]
＝192÷[×32×5]
＝192÷80
＝2.4（厘米）
2.4＋13＝15.4（厘米）
15.4＞15
答：此时容器里的水深是15厘米。
【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体体积公式，熟悉圆柱体积公式推导过程。
8．（2022·江苏扬州·小升初真题）一个无盖的长方体玻璃缸，长48厘米，宽25厘米，高30厘米。有一个水龙头从8：00开始向玻璃缸内注水，水的流量为9立方分米/分。8：02关闭水管停止注水。接着在玻璃缸内放入一个高为16厘米的铁块，全部浸没水中。玻璃缸的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如左下图所示：

（1）左上图中，点( )的位置表示停止注水。（从A、B、C中选择）
（2）8：02分玻璃缸水面的高度为多少厘米？
（3）长方体铁块的底面积是多少平方厘米？
【答案】（1）B；（2）15厘米；（3）225平方厘米
【分析】（1）观察统计图可知，点A是开始注水的时间，点B是折线的转折点，点C是放完铁块之后的时间，所以点B的位置表示停止注水；
（2）根据题意可知，有一个水龙头从8：00开始向玻璃缸内注水，水的流量为9立方分米/分。8：02关闭水管停止注水；则用9×2即可求出8：02时水的体积，然后把单位换算成立方厘米，再根据长方体的体积＝长×宽×高，用水的体积÷48÷25即可求出8：02时水面的高度，也就是15厘米；
（3）根据物体的体积＝上升部分水的体积，上升部分水的体积＝长×宽×上升部分水的高度，用48×25×（18－15）即可求出铁块的体积，再根据长方体的体积公式，用铁块的体积除以16厘米，即可求出长方体铁块的底面积。
【详解】（1）左上图中，点B的位置表示停止注水。
（2）8：02－8：00＝2分钟
9×2＝18（立方分米）
18立方分米＝18000（立方厘米）
18000÷48÷25＝15（厘米）
答：8：02分玻璃缸水面的高度为15厘米。
（3）48×25×（18－15）÷16
＝48×25×3÷16
＝225（平方厘米）
答：长方体铁块的底面积是225平方厘米。
【点睛】本题主要考查了长方体体积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。
【学科核心素养06】推理意识与逻辑思维能力
一、填空题。
1．（2023·湖北黄冈·小升初真题）在甲、乙、丙三个人中，有一位是教师，有一位是工人，有一位是战士。已知丙比战士大，甲和工人不同岁，工人比乙年龄小，教师是( )。
【答案】乙
【分析】由题意可知，甲和工人不同岁，工人比乙年龄小，说明甲和乙都不是工人，则丙是工人，又因为工人比战士大，工人比乙年龄小，则乙不是战士，则甲是战士，最后剩下乙，乙就是教师。
【详解】由分析可知：在甲、乙、丙三个人中，有一位是教师，有一位是工人，有一位是战士。已知丙比战士大，甲和工人不同岁，工人比乙年龄小，教师是乙。
【点睛】本题考查推理，解答此题时，先判断出丙的职业，再推出其他两人的职业。
2．（2022·湖南怀化·小升初真题）六年级有三个班，每班有正副班长各一位，学校组织开了3次会，每次每班只派一人参加，第一次到会的是A、C、E，第二次到会的是B、C、D，第三次到会的是B、E、F，请问B和( )是一个班。
【答案】A
【分析】根据三次到会情况列出表格，再根据每次每班只要一个班长参加，进行具体分析。
【详解】用数字“1”表示到会，用数字“0”表示没有到会。可列表格：
从第一次到会的情况来看，B只能和A、C、E同班；
从第二次到会情况来看，B只能和A、E同班；
从第三次到会情况来看，B只能和A同班。
则B和A是一个班。
故答案为：A
【点睛】此题应结合题意进行分析，得出答案后，再进行验证。
3．（2023·四川成都·小升初真题）有八个编号是①至⑧的小球，其中有六个球一样重，另外两个球都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次，结果如下：第一次①②比③④重；第二次⑤⑥比⑦⑧轻；第三次①③⑤与②④⑧一样重。那么，两个轻球的编号是( )和( )。
【答案】 ④ ⑤
【分析】一共有2个轻球，根据“第一次①②比③④重；第二次⑤⑥比⑦⑧轻”，则③和④中至少有一个轻球；⑤和⑥中至少有一个轻球；据此可知：①②⑦⑧都是标准球。
第三次称球，①③⑤与②④⑧一样重，剩下的⑥和⑦不可能同时是轻球，即两边各有一个轻球。只能是左边的⑤和右边的④同时是轻球。据此解答即可。
【详解】分析第一次，轻的球是③和④中的一个。
分析第二次，轻的球是⑤和⑥中的一个。
分析第三次，剩下的⑥和⑦不可能同时是轻的，两侧各有1个轻的。
如果左侧⑤是轻的，则右侧④是轻的，假设成立。
故，两个轻球的编号是④和⑤。
【点睛】考查如何找次品及逻辑推理能力。
4．（2021·陕西咸阳·小升初真题）有一个正方体，在它的各个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6。小明、小刚、小红三人从不同的角度去观察这个正方体，观察结果如图所示，则数字3对面是数字( )。

【答案】6
【分析】观察第2个图形可以发现：3的对面不是1或2；观察第3个图形可以发现，3的对面也不是4或5。那么数字3对面是数字6。
【详解】通过观察、分析可知，数字3对面是数字6。
【点睛】本题考查推理问题。根据数字3相邻面上的数字，运用排除法即可推理出3对面的数字。
二、选择题。
5．（2023·四川成都·小升初真题）A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A，B，C，D，E五队分别比赛了5，4，3，2，1场球，则还没有与B队比赛的球队是( )。
A．C队B．D队C．E队D．F队
【答案】C
【分析】可以画图分析，六个点代表六个队，两点之间的线段代表1场比赛。A分别和B、C、D、E、F比赛了5场，E队只比赛了1场就是和A进行比赛的。B比赛了4场，那么除了和A比赛，分别和C、D比赛了2场，还有一场是和F赛的。这样D就分别是A、B赛了2场。C比赛了3场，分别已经和A、B赛了2场，还有1 场是和F赛的。
【详解】根据分析画出图。
所以还没有与B队比赛的球队是E队。
故答案为：C
6．（2022·重庆丰都·小升初真题）警察抓住了3个偷东西的嫌疑人，其中的一个人是主谋。审问谁是主谋时，甲说：我不是主谋。乙说：我也不是主谋。丙说：甲是主谋。已知他们3人中只有一个人说了真话。主谋是( )。
A．甲B．乙C．丙
【答案】B
【分析】根据题意进行讨论推理，根据题干“甲说：我不是主谋，丙说：甲是主谋”，那么甲和丙必定有一个人说了真话，而他们3人中只有一个人说了真话，那就说明乙说的话是假话，由此入手即可推断出主谋是乙。继而推理出甲说的是真话，丙说的是假话。据此解答。
【详解】根据分析得，甲和丙必定有一个人说了真话，所以乙说的话肯定是假话，那么就能说明乙其实就是主谋。
乙是主谋的话，那就说明“丙说甲是主谋”的话是假的，也就说明“甲说我不是主谋”的话真的。
综合而言，可得出主谋是乙。
故答案为：B
【点睛】本题考查逻辑推理，抓住甲和丙的话相互矛盾得出必定有一个人说了真话是解决本题的关键。
7．（2023·河南驻马店·小升初真题）王阿姨、吴阿姨、刘叔叔、李叔叔的职业分别是工人、教师、医生中的一种。王阿姨是教师，刘叔叔不是工人，只有吴阿姨和李叔叔的职业相同。刘叔叔的职业是( )。
A．工人B．教师C．医生D．不确定
【答案】C
【分析】王阿姨、吴阿姨、刘叔叔、李叔叔四人做三种职业：工人、教师、医生；已知王阿姨是教师，刘叔叔不是工人，则刘叔叔一定是医生，那么吴阿姨和李叔叔的职业相同是工人，据此解答即可。
【详解】根据分析得，刘叔叔的职业和其它人不相同，首先刘叔叔不是工人，因为王阿姨是教师，所以刘叔叔也不会是教师，那么刘叔叔一定是医生。
故答案为：C
【点睛】本题考查逻辑推理，解答本题的关键是理清他们称呼与职业之间的关系。
8．（2022·河南焦作·小升初真题）大课间活动，李老师和乐乐、棒棒、康康、盈盈、晶晶在操场上做游戏，所站的位置如图所示。李老师的两边是乐乐、棒棒，李老师的正对面是康康，棒棒和晶晶不相邻，乐乐和盈盈不相邻。那么站在A位置的是( )。
A．康康B．盈盈C．晶晶D．无法确定
【答案】B
【分析】李老师的两边是乐乐、棒棒，李老师的正对面是康康，所以站在B位置的是康康，还剩下盈盈、晶晶，再根据“棒棒和晶晶不相邻，乐乐和盈盈不相邻。”进一步推断即可。
【详解】李老师的两边是乐乐、棒棒，李老师的正对面是康康，所以站在B位置的是康康，还剩下盈盈、晶晶；又因为棒棒和晶晶不相邻，乐乐和盈盈不相邻，所以站在A位置的是盈盈，站在C位置的是晶晶。
站在A位置的是盈盈。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查了学生的逻辑推理能力，要求具有较好的逻辑思维能力，关键是确定站在B位置的是康康。
三、解答题。
9．（2023·浙江温州·小升初真题）四名棋手每两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得2分，平一局得1分，负一局得0分，比赛结果，没有人全胜，并且各人的得分都不相同。那么最多有多少局平局？
（1）因为每两名棋手要赛一场，每位棋手一共要赛3场，总分最多是多少分？
（2）因为没有人全胜，也就意味着没有人全输，那么各人的得分情况为什么不可能是5，4，3，2？请用计算进行说明。
（3）四名棋手的得分可能各是多少分？
【答案】1局；
（1）5分；
（2）因为所有人的总分和是12分，5，4，3，2的和已经超过了12；
（3）5分、4分、2分、1分
【分析】（1）每位棋手一共要赛3场，每场得分最多2分，平一局得1分，负一局得0分，没有人全胜，所以每位棋手最多是赢2局，1局平局，所以最多只能得（2＋2＋1）分；
（2）由于每个棋手都可以和另外的3个棋手组合，一共有（3×4）种组合；又因为两个棋手只有一种组合方式，要去掉重复计算的情况，所以要再除以2。则一共要比赛（3×4÷2）局比赛，已知每场比赛2个棋手的得分和是2分，则用2×比赛局数即可求出所有棋手的总分；所以所有人的总分加起来是12分，因为5＋4＋3＋2＝14（分），12小于14，所以各人的得分情况不可能是5，4，3，2；
（3）因为没有人全胜，也就意味着没有人全输，所以每人最多得5分，最少输了2局，1局平局，也就是最少得1分；所以每个人的得分在5、4、3、2、1之间，因为各人的得分都不相同，总分加起来是12分，所以从5、4、3、2、1中选出4个数加起来是12，只有5、4、2、1符合题意，所以四名棋手的得分可能各是5分、4分、2分、1分。
如图：
所以最多有1局平局。
【详解】（1）2＋2＋1＝5（分）
答：每位棋手的总分最多是5分。
（2）3×4÷2＝6（局）
6×2＝12（分）
5＋4＋3＋2＝14（分）
12＜14
答：各人的得分情况不可能是5，4，3，2，因为5，4，3，2的和已经超过12。
（3）每个人得分最多5分，
最少：1＋0＋0＝1（分）
所以每个人的得分在5、4、3、2、1之间，且各人的得分都不相同，所有人总分加起来是12分，
5＋4＋3＋1＝13（分）
4＋3＋2＋1＝10（分）
5＋3＋2＋1＝11（分）
5＋4＋2＋1＝12（分）
只有5、4、2、1符合题意，
如图：
答：四名棋手的得分可能各是5分、4分、2分、1分，最多只有1局平局。
【点睛】本题看作握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，明确6场比赛的总得分是解决本题的关键。
10．（2022·湖南长沙·小升初真题）博物馆里有一幅名画被盗，一星期后，四个男人被当作嫌疑人拘捕，经调查，罪犯就是他们中的一个，四人的口供如下：
甲：名画不是我偷的，我从来就没偷过东西。
乙：作案的是丙，有一天下午，我看见他向一个中年人兜售一幅画。
丙：丁是盗窃这幅画的罪犯。
丁：我不是罪犯，丙同我有仇。
这四个人中只有一个人说了假话，那么盗窃名画的罪犯是？（有推理过程）
【答案】丙；见详解
【分析】首先甲的口供里跟其他三人没有关系，先不考虑甲；从剩下的三人中假设一人说的是真话进行推理，结果只有一个人说了假话，假设成立；否则假设不成立。
【详解】假设乙说的是真话，那么甲、丁都说的是真话，丙说的是假话，符合四个人中只有一个人说假话，所以盗窃名画的罪犯是丙。
【点睛】本题考查逻辑推理，假设其中一人说的是真话，分析其他三人说话的真假情况，进行判断。
【学科核心素养07】联系生活与情景解读能力
1．（2023·河南郑州·小升初真题）假期，萍萍随爸爸妈妈和朋友一起去郊区露营，并策划了一个定向越野活动。
（1）定向越野项目是从帐篷的位置出发，向东偏北45°方向跑210米，到一棵大树下插上小红旗，记为点Q，请在下图中标出点Q；再跑到点，拍照打卡，请在下图中标出点S。最后按原路返回帐篷的位置。（小正方形的边长为1个单位长度，代表实际距离50米，对角线是1.4个单位长度，代表实际距离70米。）
（2）请在横线上描述出从点S返回帐篷位置的路线：________。
（3）萍萍发现很多帐篷从侧面观察都近似于三角形，这是因为三角形具有( )性。
【答案】（1）见详解
（2）从S点先向西跑150米到达Q点，再向西偏南45°跑210米到达帐篷位置
（3）稳定
【分析】（1）用方向和距离结合来画路线时，要注意三个要素：一是观测点（即参照物），二是方向，三是距离。实际距离÷对角线表示的实际距离＝对角线段数。
用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。
（2）地图上按“上北下南左西右东”确定方向，用方向和距离结合来描述路线时，要注意三个要素：一是观测点（即参照物），二是方向，三是距离。小正方形边长表示的实际距离×边长数量＝实际距离。
（3）三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，据此分析。
【详解】（1）
（2）50×3＝150（米）
从S点先向西跑150米到达Q点，再向西偏南45°跑210米到达帐篷位置。
（3）很多帐篷从侧面观察都近似于三角形，这是因为三角形具有稳定性。
2．（2023·内蒙古呼伦贝尔·小升初真题）团购已进入我们的生活，小红一家准备周末去吃烤肉。妈妈说，网上的团购代金券61元一张，可抵100元消费，每桌限用2张，不足部分用现金补齐。爸爸打电话订座时，服务员告诉他全款现金结账可以享受消费七折优惠。如果你是小红，若一家三口吃烤肉人均消费预计为80元，你会选择哪种支付方式？请写出你的思考过程。
【答案】选择反公式一
【分析】一家三口吃烤肉人均消费预计为80元，则共需消费元，按照第一种方式，买两张消费券花费元，抵200元，还加上剩下的40元，共需花费元；第二种方式打七折，则需元，再进行比较，即可确定哪种方式便宜。
【详解】（元）
方式一：
（元）
方式二：（元）
答：我会选择方式一。
【点睛】本题考查折扣问题，解答本题的关键是掌握两种方式的计费标准。
3．（2020·湖北黄石·小升初真题）小红和爷爷一起去操场散步，小红走一圈需要8分钟，爷爷走一圈需要12分钟。
（1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后相遇？
（2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小红会超出爷爷一整圈？
【答案】（1）分钟；
（2）24分钟
【分析】（1）假设绕操场走一圈的路程为1，先根据“速度＝路程÷时间”表示出小红的速度和爷爷的速度，再根据“相遇时间＝总路程÷速度和”求出两人的相遇时间；
（2）假设绕操场走一圈的路程为1，小红超出爷爷一整圈，说明两人的路程差为1，根据“路程差÷速度差＝追及时间”求出小红超出爷爷一整圈需要的时间，据此解答。
【详解】（1）假设绕操场走一圈的路程为1。
小红的速度：1÷8＝
爷爷的速度：1÷12＝
1÷（＋）
＝1÷
＝1×
＝（分钟）
答：分钟后相遇。
（2）假设绕操场走一圈的路程为1。
小红的速度：1÷8＝
爷爷的速度：1÷12＝
1÷（－）
＝1÷
＝1×24
＝24（分钟）
答：24分钟后小红会超出爷爷一整圈。
【点睛】本题主要考查分数除法的应用，掌握相遇时间和追及时间的计算公式是解答题目的关键。
4．（2023·河南三门峡·小升初真题）东东和明明共有邮票56张，东东邮票张数的和明明邮票张数的相等。东东和明明各有邮票多少张？下面是小军和小红的做法：

（1）请判断小军和小红的做法对吗？对的打“√”错的打“×”。
（2）请你将正确同学的思路表述清楚。
（3）请你将错误同学的算法改正过来。
【答案】（1）小军（√）；小红（×）
（2）见详解
（3）小红的计算方法是错误的；改正见详解
【分析】（1）小军解答方法有道理，小军的解答方法是：东东邮票张数的和明明邮票张数的相等。也就是东东和明明张数的比是3∶4，先求出总份数，再根据“等分”除法的意义，求出一份是多少张，然后分别求出各有多少张；小红的解答方法是：先找出等量，设其中一个未知为x，另一个未知数用含有字母的式子表示，根据等量关系：东东邮票张数×＝明明邮票张数×，据此列方程解答。
（2）根据小军的算式及按比分配的方法分析小军的思路即可；
（3）由题意可知，设东东有邮票x张，则明明有邮票（56－x）张，根据等量关系：东东邮票张数×＝明明邮票张数×，据此列方程解答。
【详解】（1）小军（√）；小红（×）
（2）小军思路是正确的；东东邮票张数的和明明邮票张数的相等转化为东东的张数与明明的张数比是3∶4，根据东东和明明邮票张数之间的关系，可以求出东东邮票张数就是56÷（3＋4）×3＝24（张），明明的邮票张数就是56÷（3＋4）×4＝32（张）。
（3）解：设东东的邮票数量设为x张，则明明有（56－x）张。
x＝（56－x）
解：x＝14－x
x＋x＝14－x＋x
x＝14
x÷＝14÷
x＝24
56－24＝32（张）
答：东东的邮票数量为24张，则明明有32张。
【点睛】本题考查用方程解决实际问题，明确等量关系是解题的关键。
5．（2021·陕西商洛·小升初真题）（1）茶杯中部的一圈装饰带好看吧，那是小红怕烫伤爸爸的手特意贴上的，这条装饰带宽5厘米，长至少是多少厘米？（接头处忽略不计）
（2）这个茶杯的容积大约是多少毫升？（玻璃厚度忽略不计）
【答案】（1）18.84厘米
（2）423.9毫升
【分析】（1）求这条装饰带的长，就是求这个圆柱的底面周长，根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，即可解答。
（2）求茶杯的容积，就是这个茶杯的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。
【详解】（1）3.14×6＝18.84（厘米）
答：长至少是18.84厘米。
（2）3.14×（6÷2）2×15
＝3.14×9×15
＝28.26×15
＝423.9（立方厘米）
423.9立方厘米＝423.9毫升
答：这个茶杯的容积大约是423.9毫升。
【点睛】熟记圆的周长公式和圆柱的体积公式是解答本题的关键，关键是熟记公式。
6．（2021·云南保山·小升初真题）根据情景回答下列问题。
情境描述：一天，四年级的小红在《数学乐园》里看到了一幅图（如下所示），非常好奇！于是她提出了一个数学问题：“阴影部分的面积是多少呢？”她又想：“有些图形的面积计算方法我还没有学过，该怎样计算呢？”
假如小红向你请教，你能用她所学过的知识帮她解决吗？
（先写出你的想法，再计算阴影部分的面积）
（1）我这样想：
（2）我这样算：
【答案】（1）见详解
（2）100平方厘米
【分析】（1）如图：
将左边正方形中的阴影部分平移到右边正方形的空白处，阴影部分正好是一个正方形；
（2）根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可求出阴影部分的面积。
【详解】（1）我这样想：将左边正方形中的阴影部分平移到右边正方形的空白处，阴影部分正好是一个正方形。（答案不唯一）
（2）我这样算：10×10＝100（平方厘米）
答：阴影部分的面积是100平方厘米。
【点睛】通过平移把不规则的阴影部分的面积转化成学过的规则图形的面积，然后利用正方形的面积公式求解。也可以把右边正方形的阴影部分平移到左边正方形的空白处，阴影部分组成一个正方形。
7．（2021·云南昆明·小升初真题）甲、乙两个商场举行购物促销活动。
甲商场：每满100元减40元。
乙商场：全部商品打六折销售。
下面是三名同学对甲、乙两个商场促销活动的一些说法。
小刚：“当商品总价为整百元时，两种促销活动折扣相等。”
小红：“当商品总价比整百元少一些时，两种促销活动折扣差距比较大。”
小明：“当商品总价比整百元多一些时，两种促销活动折扣差距比较接近。”
你觉得谁的说法正确？用算式进行验证说明。
【答案】三人说法都正确；理由见详解
【分析】计算甲商场的实际价格时，计算所花钱数里面有几个100元，有几个100元就减去几个40元，实际价格＝应付钱数－优惠的钱数；计算乙商场的实际价格时，实际价格＝应付钱数×60%，据此解答。
【详解】小刚：假设商品总价为500元。
甲商场：500－500÷100×40
＝500－5×40
＝500－200
＝300（元）
乙商场：六折＝60%
500×60%＝300（元）
因为300元＝300元，所以当商品总价为整百元时，两种促销活动折扣相等，小刚的说法正确。
小红：假设商品总价为198元。
甲商场：198元里面有1个100元。
198－40＝158（元）
乙商场：六折＝60%
198×60%＝118.8（元）
158－118.8＝39.2（元）
所以，此时两种促销活动折扣差距比较大，小红的说法正确。
小明：假设商品总价为210元。
甲商场：210元里面有2个100元。
210－2×40
＝210－80
＝130（元）
乙商场：六折＝60%
210×60%＝126（元）
130－126＝4（元）
所以，此时两种促销活动折扣差距比较接近，小明的说法正确。
答：三个人的说法都正确。
【点睛】根据两种不同优惠方式举例计算出同样价格的商品在两个商场的实际价格是解答题目的关键。
8．（2022·福建泉州·小升初真题）请根据下面小红和小林在操场上的对话，算出旗杆的高度。（用比例解）
小红：“我想测量这根旗杆的高度，可是太高了！”
小林：“我有办法，你看，我的身高是1.5米，影子的长度是0.8米。”
小红：“哦，我明白了。你看，旗杆的影子长9.6米，那么，旗杆的高度是……。”
【答案】18米
【分析】影长与树高成正比，设旗杆的高度是x米，先表示出小明影长和小明身高的比，再表示出旗杆影长旗杆的高度的比，组成比例，依据比例基本性质解答。
【详解】解：设旗杆的高度是x米。
0.8∶1.5＝9.6∶x
0.8x＝9.6×1.5
x＝9.6×1.5÷0.8
x＝18
答：旗杆的高度是18米。
【点睛】本题考查了正反比例应用题，解答此题的关键是：表示出影长与物体实际高度的比。
9．（2022·广东茂名·小升初真题）三个同学商议暑期去图书馆借书。小明说：“我每4天就去一次”，小华说：“我每6天去一次”，小红说：“我每8天才能去一次。”如果三人7月5日上午9点同时去图书馆借书，那么下一次他们三人会在几月几日上午9点同时在图书馆相遇？
【答案】7月29日
【分析】由题意可知：小明每4天就去一次图书馆，小华每6天去一次图书馆，小红每8天去一次图书馆，要求下一次他们三人会在几月几日上午9点同时在图书馆相遇，只需求出4、6、8的最小公倍数，即为经过的天数；用7月5日加上经过的天数即为下次相遇的时间。
【详解】4＝2×2
6＝2×3
8＝2×2×2
4、6、8的最小公倍数是2×2×2×3＝24。
7月5日＋24日＝7月29日
答：那么下一次他们三人会在7月29日上午9点同时在图书馆相遇。
【点睛】此题主要考查最小公倍数的求法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答。
10．（2021·重庆黔江·小升初真题）牙膏中的数学问题：
（1）小红去买牙膏，同一品牌两种规格牙膏的售价如下：120克的每支9元，160克的每支11.2元。她买哪种规格的牙膏比较合算？为什么？
（2）牙膏出口处的直径为6毫米，小红每次刷牙都要挤出1厘米长的牙膏。这样，一支牙膏可用36次。该款牙膏推出的新包装只是将出口处的直径改为4毫米，其余不变，小红还是按习惯每次挤出1厘米长的牙膏。这样，这一支牙膏能用多少次？
【答案】（1）买160克规格的牙膏比较合算
（2）81次
【分析】（1）根据单价＝总价÷数量，分别求出两种规格牙膏每克的单价，然后再比较解答；
（2）根据圆柱的体积公式，代入数据，求出原来每次使用牙膏的体积，乘使用次数，求出牙膏总体积，然后再除以现在每次使用牙膏的体积即可。
【详解】（1）9÷120＝0.075（元）
11.2÷160＝0.07（元）
0.07 ＜0.075
答：她买160克规格的牙膏比较合算。
（2）6毫米＝0.6厘米
4毫米＝0.4厘米
3.14×（0.6÷2）2×1×36
＝0.2826×36
＝10.1736（平方厘米）
3.14×（0.4÷2）2×1
＝3.14×0.04
＝0.1256（平方厘米）
10.1736÷0.1256＝81（次）
答：这一支牙膏能用81次。
【点睛】买哪种规格的牙膏比较合算的问题，可以先求出每克牙膏的单价，然后再比较解答；还考查了运用圆柱的体积公式解决实际问题的能力。
【学科核心素养08】数学意识与信息获取能力
1．（2022·山西阳泉·小升初真题）先阅读下面的材料，再解答。
徐叔叔2021年1月的工资、薪金所得是7500元。他目前有两个孩子，一个刚出生六个月，另一个正在上小学六年级，在子女教育个人所得税专项扣除方面选择了“父母分别扣除50%”，并再无其他附加扣除项。他本月应该缴纳个人所得税多少元？
【答案】60元
【分析】因为7500－5000＝2500（元），2500元不超过3000元，所以先算出专项扣除1000元的50%；再按余额不超过3000元的部分按3%的比例缴纳个人所得税。注意其中一个孩子才六个月，另一个孩子正在上六年级，所以只有一个孩子可以享受每月扣除1000元。
【详解】1000×50%＝500（元）
7500－5000－500＝2000（元）
2000×3%＝60（元）
答：徐叔叔本月应该缴纳个人所得税60元。
【点睛】本题的关键是要理解题意以及本题里的专项扣除是指什么。
2．（2022·河北廊坊·小升初真题）阅读材料并解决问题。
天舟二号是中国第二个货运飞船，由货物舱和推进舱组合而成，总长10.6米，舱体最大直径3.35米，最大的起飞重量约13.5吨，物资上行能力比最大起飞重量轻。具备全相位自主交会对接能力，可多次完成推进剂在轨补加。天舟二号所在的中国空间站在轨道运动高度在400千米左右，运行速度快，围绕地球3圈仅需要4.5小时。
（1）天舟二号的物资上行能力是多少吨？
（2）一天内，中国空间站围绕地球能飞行多少圈？（用比例知识解答）
【答案】（1）6.885吨
（2）16圈
【分析】（1）天舟二号的物资上行能力比最大起飞重量轻，即物资上行能力是最大起飞重量的（1－），根据“天舟二号的物资上行能力∶最大起飞重量＝（1－）”，设天舟二号的物资上行能力是x吨，根据数量关系列比例解答即可。
（2）天舟二号围绕地球3圈仅需要4.5小时，其运行速度一定，即运行时间跟围绕地球运动圈数之间成正比例关系；一天等于24小时；据此即可求出一天内，中国空间站围绕地球能飞行的圈数。
【详解】（1）解：设天舟二号的物资上行能力是x吨。
x∶13.5＝（1－）
x∶13.5＝
x＝6.885
答：天舟二号的物资上行能力是6.885吨。
（2）解：设一天内，中国空间站围绕地球能飞行y圈。
24∶y＝4.5∶3
4.5y＝72
y＝16
答：一天内，中国空间站围绕地球能飞行16圈。
【点睛】本题主要考查比例的实际应用，从众多信息中选取与问题有关的信息解决问题，排除干扰项是解题的关键。
3．（2023·湖北武汉·期末）下面是关于冬奥会的一段材料，请先仔细阅读，再利用你获得的数学信息解决问题。
材料一：冬季奥林匹克运动会，简称冬季奥运会或冬奥会，第一届冬季奥林匹克运动会于1924年在法国的夏慕尼举行，冬奥会每隔4年举行一届，其中1936年第4届和1948年第5届相隔了12年，而1992年的第16届与1994年的第17届只相隔2年。第24届冬奥会于2022年2月4日－20日在北京和张家口举行。
材料二：在2022年冬奥会上，短道速滑混合团体2000米接力决赛中，中国队以2分37秒的成绩夺得混合2000米接力赛的首金，鼓舞士气，振奋民心。
材料三：快如闪电，观赏性强，短道速滑是一项兼具速度与激情的运动。短道速滑比赛场地近似为60×30米的长方形，内有椭圆形赛道，周长为111.12米，其中直道长28.85米，弯道的形状近似于半圆。
（1）第10届冬季奥林匹克运动会于( )年在法国格勒布尔举行。
（2）中国短道速滑队在2000米接力决赛中，一共需要滑( )圈，平均每秒滑行的距离约是( )米。（第一空结果保留整数，第二空结果保留一位小数）
（3）短道速滑赛道两侧的半圆形弯道半径约为多少米？（结果保留一位小数）
（4）短道速滑的比赛区域面积约为多少平方米？（长方形内椭圆形赛道外侧部分）
【答案】（1）1968；（2）18；12.7；（3）8.5米；（4）1082.685平方米
【分析】（1）第一届冬季奥林匹克运动会于1924年在法国的夏慕尼举行，冬奥会每隔4年举行一届，其中1936年第4届和1948年第5届相隔了12年，由此推算出第十届冬季奥林匹克运动会于1968年在法国格勒布尔举行。
（2）短道速滑的周长为111.12米，根据“包含”除法的意义，用除法求出中国短道速滑队在2000米接力决赛中，一共需要滑多少圈，再根据速度＝路程÷时间，用除法求出平均每秒滑行的距离约是多少米。
（3）用短道速滑的周长减去两条直道的长，然后根据圆的周长公式：C＝2πr，那么r＝C÷2÷π，把数据代入公式解答。
（4）根据长方形的面积公式：S＝ab，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。
【详解】（1）第十届冬季奥林匹克运动会于1968年在法国格勒布尔举行。
（2）2000÷111.12≈18（圈）
2分37秒＝157秒
2000÷157≈12.7（米/秒）
一共需要滑18圈，平均每秒滑行的距离约是12.7米。
（3）111.12－28.85×2
＝111.12－57.7
＝53.42（米）
53.42÷3.14÷2≈8.5（米）
答：短道速滑赛道两侧的半圆形弯道半径约为8.5米。
（4）60×30－[28.85×8.5×2＋3.14×8.52]
＝1800－[490.45＋3.14×72.25]
＝1800－[490.45＋226.865]
＝1800－717.315
＝1082.685（平方米）
答：短道速滑的比赛区域面积约为1082.685平方米。
【点睛】此题主要考查圆的周长公式、圆的面积公式、长方形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
4．（2022·山西运城·期末）阅读材料，解决下面各题。
材料一：
恩格尔系数
19世纪德国统计学家恩格尔阐明了一个规律：随着家庭收入增加，收入中用于食品方面的支出百分比将逐渐减小，反映这一规律的比值被称为恩格尔系数。
恩格尔系数（%）＝×100%
国际上常用愿格尔系数来衡量一个国家或地区人民生活水平的情况。一个国家平均家庭恩格尔系数大于60%为贫穷；50%－60%为温饱；40%－50%为小康；30%－40%为相对富裕；20%－30%为富裕；20%以下为极其富裕。
材料二：2021年，在习近平总书记的正确领导下，经过全党全国各族人民的接力奋斗，我们终于实现了第一个百年奋斗目标一打赢脱贫攻坚战，全面建成小康社会，人民过上了幸福的生活。下面是解放路小学综合实践活动中，六年级学生调查的安康小区居民2021年平均每月的生活支出情况。
运城市安康小区居民平均每月生活支出情况统计图
(1)关于恩格尔系数，下列说法错误的是( )。
A．恩格尔系数指的是食品支出占总支出中的百分比
B．恩格尔系数越大，说明人们的生活水平越高
C．恩格尔系数随着经济和收入的变化而变化
(2)从( )统计图可以看出安康小区居民平均每月各项支出的具体数量；从( )统计图可以看出安康小区居民平均每月各项支出占总支出的百分比。
(3)请补全条形统计图（画图并标注相应数据）。
(4)结合上面的内容，请你判断安康小区居民的平均生活处于什么水平？写出你的思考过程。
【答案】(1)C
(2) 条形 扇形
(3)见详解
(4)该小区居民的恩格尔系数是35%，所以安康小区居民的平均生活处于小康水平。
【分析】（1）根据恩格尔系数的意义，恩格尔系数（%）＝×100%。据此解答。
（2）从条形统计图可以看出安康小区居民平均每月各项支出的具体数量；从扇形统计图可以看出安康小区居民平均每月各项支出占总支出的百分比。
（3）把总支出额看作单位“1”，其中文化教育支出是1500元，占总支出的25%，根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法求出总支出；根据求一个数是另一个数的百分之几，用除法求出其他支出占总支出的百分之几，根据减法的意义，用减法求出食品支出占总支出的百分之几。根据求一个数的百分之几是多少，用乘法分别求出食品支出、服装支出各是多少元，据此完成统计图。
（4）求出该小区的恩格尔系数，进而作出判断。
【详解】（1）关于恩格尔系数，下列说法错误的是：恩格尔系数随着经济和收入的变化而变化。
（2）从条形统计图可以看出安康小区居民平均每月各项支出的具体数量；从扇形统计图可以看出安康小区居民平均每月各项支出占总支出的百分比。
（3）1500÷25%
＝1500÷0.25
＝6000（元）
600÷6000＝10%
1－25%－10%－30%＝35%
6000×35%＝2100（元）
6000×30%＝1800（元）
作图如下：
（4）该小区居民的恩格尔系数是35%，所以安康小区居民的平均生活处于小康水平。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握扇形统计图、条形统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。
5．（2022·山西运城·小升初真题）筑车校园安全线。
材料一：生命重于泰山，防控就是责任。科学做好消毒清杀工作能有效防止病毒传播。84消毒液为无色或淡黄色液体，具有刺激性气味适用于物体表面环境等消毒对象不同，使用方法不同，相应的稀释比例也不一样，下图是某种品牌的84消毒液的使用说明。
材料二：随着我国经济的发展，网络已成为购物的重要渠道一种84消毒液原价4.5元，“618”期间，多个购平台同时推出了优惠活动。科音直播买9瓶送1瓶：苏宁易购：打八折；京东商城：每满500元送100元。
阅读上面内容，解决下面问题。
（1）关于84消毒液，淘气读取的四条信息中，正确的有( )。（填序号）
①用84消毒液对蔬菜消毒时，需要用清水冲洗后才可以食用
②对地面消毒时，原液占水的1%。
③瓜果蔬菜消毒时，1份的原液需要配比199份的水
④84消毒液，可以置放在阳光充足处。
（2）一种消毒喷雾器容积为25升，如果学校对所有的教室地面完成一遍消杀共需要配制10桶这样的消毒液，消杀员需要准备这种84消毒原液多少升？
（3）如果学校需要采购200瓶84消毒液，以备足物资做好应急保障，哪个网购平台最优惠？（请写出你的思考）
（4）关于科学预防疫情，你有哪些好的做法？写一写。
【答案】（1）①③
（2）2.5升
（3）苏宁易购最优惠
（4）尽量减少外出活动，避免去疫情流行的地区，外出佩戴口罩，勤洗手，常通风
【分析】（1）结合84消毒液的使用说明中的“稀释比例”及“注意事项” 判断。
（2）先用25升乘10，求出10桶消毒液的总升数；从84消毒液的使用说明中可知，消毒对象是地面时，稀释比例为1∶99，即消毒原液占消毒液的，根据分数乘法的意义，用消毒液的总升数乘，即可求出84消毒原液的升数。
（3）根据三个平台的优惠方式，分别计算出采购200瓶84消毒液需要的钱数，比较即可。
（4）结合实际说说自己的看法，合理即可。
【详解】（1）①从使用说明的“注意事项”的第3点可知，用84消毒液对蔬菜消毒时，需要用清水冲洗后才可以食用；原题说法正确。
②1÷99×100%
≈0.0101×100%
＝1.01%
对地面消毒时，原液约占水的1.01%，原题说法错误。
③从使用说明中可知，瓜果蔬菜消毒时，1份的原液需要配比199份的水；原题说法正确；
④从使用说明的“注意事项”的第5点可知，84消毒液，需避光、避热阴凉处保存；原题说法错误。
综上所述，关于84消毒液，淘气读取的四条信息中，正确的有①③。
（2）25×10×
＝250×
＝2.5（升）
答：消杀员需要准备这种84消毒原液2.5升。
（3）科音直播：
200÷（9＋1）
＝200÷10
＝20（组）
需购买的数量：200×9＝180（瓶）
需付款：4.5×180＝810（元）
苏宁易购：
200×4.5×80%
＝900×0.8
＝720（元）
京东商城：
200×4.5＝900（元）
900÷500＝1（个）……400（元）
需付款：900－100＝800（元）
720＜800＜810
答：苏宁易购最优惠。
（4）尽量减少外出活动，避免去疫情流行的地区，外出佩戴口罩，勤洗手，常通风。（答案不唯一）
【点睛】本题考查比的应用、折扣问题以及最优价格问题。读懂表中的信息，根据表中提供的信息解决实际问题。
6．（2022·山西大同·小升初真题）阅读以下材料回答问题。
我国海拔最低的气象站位于新疆北部吐鲁番盆地的东坎气象站，比海平面还要低48.7米。而在2022年5月4日凌晨3点，13名科考队员从珠峰海拔8300米的突击营地开始冲顶，于当日中午12时46分许，一套重达50公斤的自动气象观测站，在珠穆朗玛峰北坡海拔8830米处架设成功，实时数据传回正常，成为我国海拔最高的自动气象站。中国珠峰科考首次突破8000米以上海拔高度并成功登顶，这是青藏高原科学考察研究具有新的里程碑意义的大事件。从海拔5200米的大本营，到海拔8848.86米的绝顶，5支科考分队的16个科考小组，共270多名科考队员，创造了中国科学考察研究新的历史！
（1）先画出珠峰架设的自动气象站、海平面、东坎气象站位置的示意图，再计算东坎气象站和珠峰架设的自动气象站相差多少米？
（2）找出相关数据算算突击营地比大本营的海拔高百分之几？
（3）阅读完这段材料，你有什么感想？
【答案】（1）示意图见详解，8878.7米
（2）60%
（3）见详解
【分析】（1）由题意可知，东坎气象站比海平面还要低48.7米，自动气象站在海拔8830米处据此画出示意图；然后用东坎气象站到海平面的距离加上自动气象站到海平面的距离即可；
（2）先求出突击营地比大本营的海拔高多少，再除以大本营的海拔高度即可；
（3）根据阅读材料体会到我国科考队员不畏艰险，勇往直前，为祖国的气象事业贡献自己的力量。
【详解】（1）如图所示：
8830＋48.7＝8878.7（米）
答：东坎气象站和珠峰架设的自动气象站相差8878.7米。
（2）（8300－5200）÷5200
＝3100÷5200
≈60%
答：突击营地比大本营的海拔高60%。
（3）我国科考队员不畏艰险，勇往直前，为祖国的气象事业贡献自己的力量，我们要像他们学习。
【点睛】本题考查求一个数比另一个数多百分之几，明确单位“1”是解题的关键。
7．（2022·河南南阳·小升初真题）阅读下面的材料，回答问题。
一江碧水，两岸青山。湖北宜昌在保护长江工作中不断努力。2019年全省长江大保护十大标志性战役评估考核中，宜昌位居综合考评第一名。2019年宜昌修复长江岸线12.5公里，完成长江两岸造林绿化6140亩。自2018年以来累计修复长江岸线88公里，全域复绿5.1万亩，为母亲河重新系上绿腰带。2020年1至9月，湖北宜昌空气质量优良天数占总天数的88.3%，较去年同期上升21.3%，空气质量改善幅度位居全国第一。
2020年11月18日，长江湖北宜昌中华鲟自然保护区综合生态补偿项目增殖放流活动在宜昌市猇亭区举行，共向长江投放各鱼类20万余尾，其中中华鲟、长江鲟共计2500尾，胭脂鱼42500尾，四大家鱼18500公斤。保护鱼类，共护长江类，让长江母亲河永葆生机活力。
（1）2019年修复长江岸线长度占自2018年以来累计修复长江岸线长度的百分之几？（百分号前保留一位小数）
（2）2020年1至9月，湖北宜昌空气质量优良天数大约是多少天？（保留整数）
（3）本次放流活动投放的中华鲟和长江鲟的尾数比胭脂鱼少几分之几？
【答案】（1）14.2%
（2）约有242天
（3）
【分析】（1）2019年修复长江岸线长度是12.5公里，2018年以来累计修复长江岸线88公里，用12.5÷88得到的结果即是2019年修复长江岸线长度占自2018年以来累计修复长江岸线长度的百分率。
（2）先判断2020年是平年还是闰年，2020能被4整除，是闰年，所以2020年2月份有29天，然后求得2020年1至9月的天数和，再乘88.3%，就是宜昌空气质量优良天数。
（3）以胭脂鱼为单位“1”，求得中华鲟和长江鲟比胭脂鱼少的尾数，再除以胭脂鱼的尾数即可解答。
【详解】（1）
答：2019年修复长江岸线长度占自2018年以来累计修复长江岸线长度的14.2%。
（2）

（天）
答：2020年1至9月，湖北宜昌空气质量优良天数大约是242天。
（3）
＝
＝
答：本次放流活动投放的中华鲟和长江鲟的尾数比胭脂鱼少。
【点睛】本题是综合型题目，考查了一个数是另一个数的百分之几的计算、一个数的百分之几是多少，及一个量是另一个量的几分之几。能根据题目要求进行相应的列式计算是解答本题的关键。
8．（2021·云南曲靖·小升初真题）阅读材料回答问题。
《生物多样性公约》第十五次缔约方大会特于10月11日至24日在昆明召开。“生物的多样性是生物及其环境形成的生态复合体以及与此相关的各种生态过程的综合，包含动物、植物、微生物和它们所拥有的基因以及它们与其生存环境形成的复杂的生态系统”，本次大会的主题是；生态文明—共建地球生命共同体。
云南省是我国生物多样性最丰富和最独特的地区，拥有全国95%以上的生态系统类型调有全国50%以上的动植物种类；被誉为“生物基因宝库“。云南省面积39万平方千米，其中大约94%是山地，广阔的山地，为生物的栖息提供了天然的条件。截止2020年，我省有国家重点保护野生动物164种，占全国重点保护野生动物的64%。
近年来，随着野生动植物保护力度的增加，许多濒危物种的种群数量逐渐增加，以黑颈鹤为例，2018年11月到云南大山包越冬的黑颈鹤有1623只，2020年观测到1717只，种群数量稳步上升。
前不久，云南一条关于“亚洲象北迁“的新闻在各大头条刷屏啦！15头亚洲象离开原来的栖息地，向北进入普洱，玉溪，离昆明近在咫尺，网友打趣道：亚洲象正前往昆明参加“生物多样性公约大会”呢！
（1）截止2020年，全国重点保护野生动物大约有( )种。（得数保留整数）
（2）云南山地面积大约是( )万平方千米。
（3）2020年观测到黑颈鹤的数量比2018年大约多( )%。
（4）昆明某小学六（1）班的同学们在学校内对昆明“生物多样性公约”会议的知晓情况进行了调查，情况如图。根据图，“非常了解”的同学占全部调查人数的( )%。
（5）已知“知道一些”的同学有10人，参加调查的人数是( )人。
（6）为了保护生物的多样性，我们可以做些什么？
【答案】（1）256；（2）36.66；（3）5.79；（4）70；（5）50；
（6）为了保护生物的多样性，我们可以在日常生活中尽量减少白色垃圾的产生，使用环保袋，减少使用塑料物品；拒绝野生动物产品。
【分析】（1）根据题干中“云南省有国家重点保护野生动物164种，占全国重点保护野生动物的64%”可知：把全国重点保护野生动物的种类看作单位“1”，单位“1”不知道，用对应量÷对应百分率＝单位“1”的量，据此即可求解；
（2）根据题干中“云南省面积39万平方千米，其中大约94%是山地”可知：把云南省面积看作单位“1”，单位“1”×对应百分率＝对应量，即可求出云南省山地面积；
（3）根据题干中“2018年11月到云南大山包越冬的黑颈鹤有1623只，2020年观测到1717只”可知，2020年观测到黑颈鹤的数量比2018年多（1717－1623）只，再除以2018年观测到黑颈鹤的数量，即可求出2020年观测到黑颈鹤的数量比2018年大约多百分之几；
（4）根据单位“1”－知道一些的同学占全部调查人数的百分比－听说过的同学占全部调查人数的百分比－不知道的同学占全部调查人数的百分比，即可求出“非常了解”的同学占全部调查人数的百分比；
（5）根据对应量÷对应百分率＝单位“1”的量，用知道一些的同学人数除以它所对应的占全部调查人数的百分比，即可求出参加调查的人数是多少人；
（6）答案不唯一，符合实际即可。
【详解】（1）164÷64%≈256（种）
（2）39×94%＝36.66（万平方千米）
（3）（1717－1623）÷1623×100%
＝94÷1623×100%
≈5.79%
（4）1－20%－6%－4%
＝80%－10%
＝70%
（5）10÷20%＝50（人）
（6）为了保护生物的多样性，我们可以在日常生活中尽量减少白色垃圾的产生，使用环保袋，减少使用塑料物品；拒绝野生动物产品。（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查学生根据所给材料获取信息，解决问题的能力。
【学科核心素养09】创新意识与实验探究能力
1．（2021·浙江温州·小升初真题）数学里有很多奥秘，需要我们探索、发现与应用。下面的问题，让我们都来研究吧。
问题1：两个相邻自然数相乘，积的末位数学有什么特征？
（1）探究：请你在下框中举一些例子进行观察、比较。要从简单开始，有序思考寻找规律。
（2）发现：两个相邻自然数相乘，积的末位数字的特征是( )。
（3）应用：①下面四个选项中，只有选项( )是两个相邻自然数的乘积。
A．62 B．123 C．756 D．1416
②它是两个相邻自然数( )和( )的乘积。
问题2：两个相邻自然数相加或相乘，它们的和与积有什么联系？
（4）再探究：请你在下表中进行观察、比较，寻找联系。
①再观察：下图大正方形是由四个相同的小长方形拼接而成，你能找到n与的“和”、“积”吗？（在图上标出来）
②我发现，n与的“和”、“积”的关系是：______。（可用含有字母的式子表示出来）
【反思】
当你解决此题时，是不是觉得很神奇呢？原来复杂的问题也可以通过画图、转换等探索，而变得简单有趣。只要真正热爱数学，你就能感受到学习的无穷魅力。
【答案】（1）见详解；
（2）积的末位的数字是0或2或6；
（3）①C；
②27；28；
（4）①见详解；
②
【分析】（1）找一些相邻的两个自然数，然后相乘，计算出乘法算式的结果即可；
（2）根据（1）里面计算出的结果，观察积的末位数字，即可发现，相邻的两个自然数相乘的结果，积的末位的数字是0或2或6。
（3）①根据积的末位数字是0、2、6的特征，分别检验4个选项里的数字，找出符合要求的答案即可。
②通过计算，把这个数拆解成相邻两个自然数的乘积，即可写出这两个相邻的自然数是多少。
（4）①大正方形的边长＝n＋（n＋1）＝2n＋1，所以n与n＋1的和是大正方形的边长。
小长方形的面积＝长×宽，长是n＋1，宽是n，可得（n＋1）×n＝n2＋n，所以n与n＋1的积是小长方形的面积。在图上标注即可。
②通过计算可以发现，，所以n与n＋1的和的平方等于n与n＋1的积的4倍加1。据此解答。
【详解】（1）例如：1×2＝2
2×3＝6
3×4＝12
5×6＝30
（2）通过举例，我发现两个相邻自然数相乘，积的末位数字是0或2或6。
（3）①A．7×8＝56，8×9＝72，56＜62＜72，显然62不是两个相邻自然数的乘积；
B．10×11＝110，11×12＝132，110＜123＜132，显然123不是两个相邻自然数的乘积；
C．27×28＝756，显然756是两个相邻自然数的乘积；
D．37×38＝1406，38×39＝1482，1406＜1416＜1482，显然1416不是两个相邻自然数的乘积；
故答案为：C
②27×28＝756，所以它是两个相邻自然数27和28的乘积。
（4）①根据分析得，n与n＋1的和是大正方形的边长；
n与n＋1的积是小长方形的面积。
②我发现，n与的“和”、“积”的关系是：。
【点睛】此题综合性较强，难度大，里面涉及到乘积的规律以及数与形的变换，找和与积之间的关系，解法有些超纲，运用了（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2完全平方公式。
2．（2021·北京海淀·小升初真题）探究与发现。
（1）以等边三角形的中心点为圆心画圆，根据所画的圆与等边三角形各边交点的个数情况，可以画出不同的圆，请你试着画一画并填空。
（2）连接交点与中心点，最多有( )条相等的线段。
（3）如果分别以正方形、正五边形、正六边形的中心点为圆心画圆，连接交点与中心点，最多有多少条相等的线段？试着画一画并填表。
通过以上研究，我发现：（ ）。
【答案】（1）
（2）6；
（3）
8；10；12；14；16；无数；以图形中心点为圆心画圆，连接交点与中心点，最多相等线段的条数是图形边的条数的2倍
【分析】（1）通过试画，找出所画的圆与三角形交点数的三种情况；
（2）连接交点与中心点，即可得出最多有多少条线段相等；
（3）分别以正方形、正五边形、正六边形的中心点为圆心画圆，最多每条边与圆有两个交点，连接交点与中心点，每条边最多有两条相等的线段；据此进一步填表；每条边最多与圆有两个交点，连接交点与中心点，每条边最多可以连接两条相等的线段，最多相等线段的条数等于图形边的条数的2倍。
【详解】（1）作图如下：
（2）如下图，连接交点与中心点，最多有6条相等的线段；
（3）如下图：
通过以上研究，我发现：以图形中心点为圆心画圆，连接交点与中心点，最多相等线段的条数是图形边的条数的2倍。
【点睛】根据题意作图，确定图形变化规律，总结规律；培养学生的作图能力和抽象能力。
3．（2020·全国·小升初模拟）问题：学校运动场如图①，两端是半圆形，中间是正方形运动场，周长是257米。这个运动场的周长是多少米？
（1）分析与解答：某小组采取合作学习的方式探究此问题，以下是该小组三位同学的对话：
甲：“把运动场进行平移变换（如图②），则圆的周长＋正方形边长×2＝运动场周长。”
乙：“圆的周长可以看作是正方形边长的3.14倍。”
丙：“我们可以用方程的思想来解决问题！”
亲爱的同学，请你帮助他们完成解答。
（2）拓展延伸：学校计划在此运动场内部修建一条宽是5米的塑胶跑道（图③中阴影部分），每平方米塑胶跑道的造价是80元，一共需要多少元？
【答案】（1）330.245米
（2）125818元
【分析】（1）通过正方形周长先求出正方形边长，即圆的直径，用圆的周长＋正方形边长×2即可；
（2）用圆环面积＋两个长方形面积，求出塑胶跑道面积，再乘每平方米造价即可。
【详解】（1）①257÷4＝64.25（米）
3.14×64.25＋64.25×2
＝201.745＋128.5
＝330.245（米）
②257÷4×3.14＋257÷4×2
＝201.745＋128.5
＝330.245（米）
③设正方形的边长为x米，
4x＝257
x＝257÷4
x＝64.25
64.25×3.14＋64.25×2
＝201.745＋128.5
＝330.245（米）
答：这个运动场的周长是330.245米。
（2）64.25÷2＝32.125（米）
32.125﹣5＝27.125（米）
3.14×（32.1252﹣27.1252）＋64.25×5×2
＝3.14×（1032.015625﹣735.765625）＋642.5
＝3.14×296.25＋642.5
＝930.225＋642.5
＝1572.725（平方米）
1572.725×80＝125818（元）
答：一共需要125818元。
【点睛】本题考查了组合图形的周长和面积，圆环面积＝π（R²－r²）。
4．（2022·安徽合肥·小升初真题）观察下列等式与图形（其中正方形的边长均为1）的关系。
第1个等式：↔
第2个等式：↔
第3个等式：↔
根据以上规律，解答下列问题：
（1）写出第4个等式，并在下边给出的四个正方形上涂出与之对应的图示：
（2）写出你猜想的第n个等式是( )。
【答案】（1），图形见详解
（2）
【分析】（1）观察算式和图形可知，把一个长方形看作单位“1”，表示把长方形平均分成2份，取其中的1份；表示有2个长方形，平均分成3份，取其中的2份即可，所以第4个算式应表示有4个长方形，平均分成5份，取其中的4份即可。
（2）通过算式可知，后面分数的分母比前面的整数部分多1，分子等于整数，据此解答即可。
【详解】（1）第4个等式为：
（2）第n个等式是：
【点睛】本题考查算式和图形的规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
5．（2022·山东青岛·小升初真题）六年级一班外出实践活动，刘老师买了一批底而直径5cm，高10cm的圆柱体饮料，想制作一批盒子用于存放饮料便于搬运，若每12个饮料装入一个盒中，制作一个纸盒要用多少平方厘米的纸板？（纸板厚度和接头忽路不计）解决这个问题。可以按照下面的步骤米完成。
（1）猜想形状。
小明猜是这样进行包装：
小丽猜是这样进行包装：
小强猜是这样进行包装：
从上面的猜想中，选定一种进行包装，你选择( )的猜想，根据你选择的包装，纸盒的数据是（长：宽：高：）
（2）根据所选择的包装，做这样的一个盒子要用( )平方厘米的纸板。
（3）说一说你选择这种包装的原因是什么？
【答案】（1）小明；20厘米；15厘米；10厘米
（2）1300
（3）最节省包装纸
（答案不唯一）
【分析】（1）根据长方体的表面积的意义，可知长方体的长、宽、高越接近，表面积就越小，所以选择小明的猜想，一排放4罐，放3排，这个包装盒的长是5×4＝20厘米，宽是5×3＝15厘米，高是10厘米；
（2）长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此解答即可；
（3）选择这种包装的原因是最节省包装纸。据此解答即可。
【详解】（1）选择小明的猜想；
长：5×4＝20（厘米）
宽：5×3＝15（厘米）
高：10厘米
（2）（20×15＋20×10＋15×10）×2
＝650×2
＝1300（平方厘米）
（3）选择这种包装的原因是最节省包装纸。
（答案不唯一，也可以选择其他包装形式）
【点睛】熟练掌握长方体的表面积的公式、应用是解答本题的关键。
6．（2022·浙江温州·小升初真题）同学们，你做过“鸡蛋浮起来”的实验吗？这个科学实验中也有许多数学问题。
实验名称：鸡蛋、鸭蛋浮起来
准备材料：一个圆柱形玻璃杯，半径5厘米，1个鸡蛋（小）、1个鸭蛋（大）、一些水和盐。
实验过程：（1）往杯子里加水，加盐搅拌，测量盐水的高度是8.4厘米；
（2）放入1个鸡蛋，这时水面上升到9厘米；
（3）放入1个鸭蛋，再测量水面高度。
观察记录：鸡蛋和鸭蛋都悬浮在水中，如图1所示。水面高度变化和三种物体体积情况如图2、3所示。
请根据实验所得数据，解答问题。
（1）鸡蛋的体积是多少立方厘米？
（2）放入鸭蛋以后水面上升了多少厘米？
【答案】（1）47.1立方厘米；（2）1厘米
【分析】（1）根据物体的体积＝上升部分水的体积，所以原来盐水的高度是8.4厘米，放入鸡蛋后总高度是9厘米，由此可得上升部分水的高度是（9－8.4）厘米，已知玻璃杯的底面半径是5厘米，根据圆柱的体积公式：S＝πr2h，由此可得鸡蛋的体积。
（2）由（1）可知鸡蛋的体积，且由图3可知鸡蛋占总体积的6%，所以把总体积当作单位“1”，单位“1”未知用除法计算出总体积，又已知盐水占总体积的84%，则鸭蛋占总体积的（1－6%－84%），由此可得鸭蛋的体积＝总体积×（1－6%－84%），根据物体的体积＝上升部分水的体积，放入鸭蛋后水面上升的高度＝鸭蛋的体积÷圆柱的底面积。据此解答。
【详解】（1）3.14×5×5×（9－8.4）
＝78.5×0.6
＝47.1（立方厘米）
答：鸡蛋的体积是47.1立方厘米。
（2）47.1÷6%＝785（立方厘米）
785×（1－6%－84%）
＝785×10%
＝78.5（立方厘米）
78.5÷（3.14×5×5）
＝78.5÷78.5
＝1（厘米）
答：放入鸭蛋以后水面上升了1厘米。
【点睛】本题主要考查了圆柱体积的灵活应用、百分数的应用以及扇形统计图的意义。
7．（2022·山西晋中·小升初真题）聪聪把一张长方形的硬纸贴在木棒上（如图1），快速转动木棒，转出的形状是( )。
明明用一张长6厘米、宽2厘米的硬纸做了这个实验，他尝试了图2中的4种情况（木棒分别贴在纸的某一条边或某一条边的中间位置）：下面哪种情况转出的立体图形体积最大？为什么？（请说明理由）
【答案】圆柱；①的体积最大，理由见详解
【分析】沿长方形或正方形的一边为轴旋转一周得到的图形是圆柱体，根据圆柱的体积公式，代入数据计算比较即可。
【详解】聪聪把一张长方形的硬纸贴在木棒上（如图1），快速转动木棒，转出的形状是圆柱。
①6×6×2＝72（立方厘米）
②3×3×2＝18（立方厘米）
③2×2×6＝24（立方厘米）
④1×1×6＝6（立方厘米）
72＞24＞18＞6
由此可知①的体积最大。
【点睛】关键是熟悉圆柱特征，掌握圆柱体积公式。
一张桌子
二张桌子
三张桌子
四张桌子
…
n张桌子
第一种摆法
能坐（ ）人
…
能坐（ ）人
第二种摆法
能坐（ ）人
…
能坐（ ）人
两种摆法相差
…
相差（ ）人
一张桌子
二张桌子
三张桌子
四张桌子
…
n张桌子
第一种摆法
能坐（18）人
…
能坐（4n＋2）人
第二种摆法
能坐（12）人
…
能坐（2n＋4）人
两种摆法相差
…
相差（2n－2）人
A
B
C
D
E
F
第一次
1
0
1
0
1
0
第二次
0
1
1
1
0
0
第三次
0
1
0
0
1
1
消毒对象
稀释比例方式（原液水）
方式
注意事项
1.不能与其他消毒液或清洁液混用。
2.切勿用于丝绸、毛、皮革、铝、铜等表面。
3.餐饮、瓜果蔬菜消毒后，用清水洗净。
4.禁口服，建议使用时戴手，避免触皮肤。
5.本品避光、避热阴凉处保存。
地面、墙壁
1∶99
喷洒
卫生间、垃圾堆
1∶49
喷洒
瓜果蔬菜、洁具
1∶199
浸泡
织物
1∶199
浸泡
相邻自然数
1与2
2与3
3与4
…
9与10
n与
和
3
5
7
1
19
积
2
6
12
1
90
图形
……
最多相等线段的条数
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
……
（ ）
图形
……
最多相等线段的条数
8
10
12
14
16
无数