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    2024年小升初数学考前最后一课-【考前冲刺】考前猜想篇

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    2024年小升初数学考前最后一课-【考前冲刺】考前猜想篇

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    这是一份2024年小升初数学考前最后一课-【考前冲刺】考前猜想篇,共186页。试卷主要包含了夯实基础,提高拓展,精做精练,查漏补缺等内容,欢迎下载使用。
    1、夯实基础。基础知识是整个数学知识体系中最根本的基石。
    2、提高拓展。涉及的有关知识点要进行过关、强化训练,做到知识点之间能够融会贯通。
    3、精做精练。精选几套模拟试题,其中包括历年联考试题。
    4、查漏补缺。订正比做题更重要,对比错解和订正后的正确过程,就能发现错误的原因。
    最新小升初数学
    考前最后一课
    目 录
    TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc165033654" 一、考前猜想篇 PAGEREF _Tc165033654 \h 4
    \l "_Tc165033655" 【题型命题猜想01】数和量认知综合—整、小、分、百综合转化问题 PAGEREF _Tc165033655 \h 4
    \l "_Tc165033656" 【题型命题猜想02】数和代数运算综合—简便计算与十三种巧算法 PAGEREF _Tc165033656 \h 24
    \l "_Tc165033657" 【题型命题猜想03】数式和数形综合—定义新运算与数、形、式规律探索 PAGEREF _Tc165033657 \h 60
    \l "_Tc165033658" 【题型命题猜想04】平面图形综合—不规则或组合图形与十二种面积法 PAGEREF _Tc165033658 \h 74
    \l "_Tc165033659" 【题型命题猜想05】立体图形综合—表面积变化问题与排水法 PAGEREF _Tc165033659 \h 104
    \l "_Tc165033660" 【题型命题猜想06】比和比例综合—按比分配、比例的实际应用、不变量问题 PAGEREF _Tc165033660 \h 125
    \l "_Tc165033661" 【题型命题猜想07】分数和百分数综合—浓度、折扣、促销与利润问题 PAGEREF _Tc165033661 \h 153
    \l "_Tc165033662" 【题型命题猜想08】生活和实际综合—五种高频易错生活实际问题。 PAGEREF _Tc165033662 \h 171
    \l "_Tc165033663" 二、学科核心素养篇 PAGEREF _Tc165033663 \h 192
    \l "_Tc165033664" 【学科核心素养01】数感表达与定量分析能力 PAGEREF _Tc165033664 \h 192
    \l "_Tc165033665" 【学科核心素养02】符号意识与抽象思维能力 PAGEREF _Tc165033665 \h 198
    \l "_Tc165033666" 【学科核心素养03】算法算理与规范运算能力 PAGEREF _Tc165033666 \h 206
    \l "_Tc165033667" 【学科核心素养04】模型意识与几何直观能力 PAGEREF _Tc165033667 \h 215
    \l "_Tc165033668" 【学科核心素养05】空间观念与空间想像能力 PAGEREF _Tc165033668 \h 229
    \l "_Tc165033669" 【学科核心素养06】推理意识与逻辑思维能力 PAGEREF _Tc165033669 \h 240
    \l "_Tc165033670" 【学科核心素养07】联系生活与情景解读能力 PAGEREF _Tc165033670 \h 248
    \l "_Tc165033671" 【学科核心素养08】数学意识与信息获取能力 PAGEREF _Tc165033671 \h 259
    \l "_Tc165033672" 【学科核心素养09】创新意识与实验探究能力 PAGEREF _Tc165033672 \h 274
    \l "_Tc165033673" 三、考前技巧篇 PAGEREF _Tc165033673 \h 287
    \l "_Tc165033674" 【小升初数学考前技巧01】十大解题方法大揭秘 PAGEREF _Tc165033674 \h 287
    \l "_Tc165033675" 【小升初数学考前技巧02】答题技巧、应试心理大揭秘 PAGEREF _Tc165033675 \h 293
    \l "_Tc165033676" 【小升初数学考前技巧03】解答题十大技巧大揭秘 PAGEREF _Tc165033676 \h 296
    \l "_Tc165033677" 四、考前押题篇 PAGEREF _Tc165033677 \h 306
    \l "_Tc165033678" 一、试卷部分: PAGEREF _Tc165033678 \h 306
    \l "_Tc165033679" 二、解析部分: PAGEREF _Tc165033679 \h 321
    \l "_Tc165033680" 五、考场注意篇 PAGEREF _Tc165033680 \h 369
    \l "_Tc165033681" 【考场注意篇01】小学数学临场解题策略大揭秘 PAGEREF _Tc165033681 \h 369
    \l "_Tc165033682" 【考场注意篇02】小升初考试答题卡填涂注意事项网络阅卷流程简介 PAGEREF _Tc165033682 \h 374
    \l "_Tc165033683" 六、考后衔接篇 PAGEREF _Tc165033683 \h 382
    \l "_Tc165033684" 【01放松身心劳逸结合】把孩子交给夏日阳光、绿树浓荫 PAGEREF _Tc165033684 \h 382
    \l "_Tc165033685" 【02文艺作品中找数学】中学生必看数学题材的电影 PAGEREF _Tc165033685 \h 385
    \l "_Tc165033686" 【03假期尾声收收心】七年级数学预习书籍、资源推荐 PAGEREF _Tc165033686 \h 395
    【题型命题猜想01】数和量认知综合—整、小、分、百综合转化问题
    【命题解读】
    数的认识一直是小学数学最为基础的内容之一,它主要涉及到三种数,即整数、小数和分数(百分数),它经常是各学段各期末的重点考察内容,对其概念考察也是小升初的必考内容。
    常见的量包括时间单位、质量单位、长度单位、面积单位、体积(容积)单位等,一直作为小数数学基础内容存在,对于学生的实践认知和量感构建十分重要。
    近年来的考察主要以数的基础认识和综合转化运用为主,题型上填空、选择、判断、计算都有涉猎,一般难度不大,但容易出错,另外,关于正负数的意义以及在数轴上的应用也是今年常考题型。
    总之,解决数的综合问题,关键在于熟悉各类型数的基础概念,并能熟练掌握数与数之间的形式转化,构建起数感和认知体系,这是考察的重点方向,也是后续进入中学进行实数学习的基础。
    【预测命题方向1】数的读写、改写与近似数综合。
    (2023·新疆乌鲁木齐·小升初真题)截止2020年10月2日,生活在地球上的人口总数约为7585204179人。横线上的数读作( );省略“亿”位后面的数约是( )亿人。土地沙漠化,每年给我国造成的经济损失超过42000000000美元。把横线上的数改写成用“亿”作单位的数是( )亿美元。
    【答案】 七十五亿八千五百二十万四千一百七十九 76 420
    【分析】读数时,把数先分级,从高位读起,亿级或万级的数按照个级的读法去读,再在每级的末尾加一个“亿”或“万”字,每级末尾的0都不读,每一级的开头或中间无论有几个0,都读一个0;省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位,就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入,再在数的后面写上“亿”字;整数改写成用“亿”作单位的数就是把原数的亿位后面的8个0去掉,同时要在改写的数后面写上“亿”字,数的大小不变。
    【详解】7585204179读作:七十五亿八千五百二十万四千一百七十九
    7585204179≈76亿
    42000000000=420亿
    截止2020年10月2日,生活在地球上的人口总数约为7585204179人。横线上的数读作七十五亿八千五百二十万四千一百七十九;省略“亿”位后面的数约是76亿人。土地沙漠化,每年给我国造成的经济损失超过42000000000美元。把横线上的数改写成用“亿”作单位的数是420亿美元。
    【对应练习】
    1.(2023·福建莆田·小升初真题)第七次全国人口普查结果显示,我国总人口为1443497378人,把它改写成用“亿”作单位的数并保留两位小数约是( )亿。其中大陆部分的0~14岁人口为253383938人,占17.95%;15~59岁人口为894376020人,占63.35%;60岁及以上人口为264018766人,占( )%,省略“万”后面的尾数后约是( )人。
    【答案】 14.43 18.7 26402万
    【分析】改写成用“亿”作单位的数,就是在亿位数的右下角点上小数点,然后把小数末尾的0去掉,再在数的后面写上“亿”字;保留两位小数,就是把千分位上的数进行四舍五入;
    把我国总人数看作单位“1”,用1减去0~14岁人口占总人数的百分比,减去15~59岁人口占总人数的百分比,即可求出60岁及以上人口占总人数的百分比;
    省略“万”后面的尾数,就是四舍五入到万位,就是把万位后的千位上的数进行四舍五入,再在数的后面写上“万”字。
    【详解】1443497378=14.43497378亿
    14.43497378亿≈14.43亿
    1-17.95%-63.35%
    =82.05%-63.35%
    =18.7%
    264018766≈26402万
    第七次全国人口普查结果显示,我国总人口为1443497378人,把它改写成用“亿”作单位的数并保留两位小数约是14.43亿。其中大陆部分的0~14岁人口为253383938人,占17.95%;15~59岁人口为894376020人,占63.35%;60岁及以上人口为264018766人,占18.7%,省略“万”后面的尾数后约是26402万人。
    2.(2023·山西晋中·小升初真题)山西总面积15.67万平方千米。截至2022年11月1日零时,山西常住人口为34915616人,横线上的数读作( ),省略“万”位后面的尾数约是( )万;山西四季分明,冬季白天平均气温11摄氏度,夜间平均气温﹣2摄氏度,横线上的数读作( ),表示( )摄氏度。
    【答案】 三千四百九十一万五千六百一十六 3492 负二 零下二
    【分析】根据整数的读法,从高位到低位,一级一级地读,每一级末尾的0都不读出来,其余数位一个0或连续几个0都只读一个零,即可读出此数;省略“万”位后面的尾数就是四舍五入到万位,就是把万位后的千位上的数进行四舍五入,再在数的后面写上“万”字。
    比0℃低的温度叫零下温度,通常在数字前面加“﹣”(负号)。负数的读法:先读“负”,数字部分按数的读法去读。
    【详解】34915616读作三千四百九十一万五千六百一十六,省略“万”位后面的尾数约是3492万;山西四季分明,冬季白天平均气温11摄氏度,夜间平均气温﹣2摄氏度读作负二,表示零下二摄氏度。
    3.(2023·广西南宁·小升初真题)南宁,简称邕,古称邕州,中国广西壮族自治区首府,广西第一大城市。2022年末,全市常住人口约八百八十九万一千七百人,人口总量居全区第一,占全区人口比重为17.62%,横线上的数写作( ),省略万后面的尾数约是( )万。
    【答案】 8891700 889
    【分析】大数的写法:
    1.先写亿级,再写万级,最后写个级;
    2.哪个数位上一个单位也没有,就在那个数位上写0;省略万后面的尾数,需要找到“万”位,把千位上的数字进行四舍五入,并把“万位”后面的尾数省略,再加上一个“万”字。据此解答即可。
    【详解】八百八十九万一千七百写作:8891700
    8891700≈889万
    则横线上的数写作8891700,省略万后面的尾数约是889万。
    【预测命题方向2】因、倍、质、合、奇、偶综合。
    (2023·河南新乡·小升初真题)在1,2,27,53,68中,( )既是奇数又是合数;( )既是偶数又是质数;( )既不是质数又不是合数。
    【答案】 27 2 1
    【分析】整数中,是2的倍数的数叫做偶数,不是2的倍数的数叫做奇数。
    一个数,如果只有1和它本身两个因数,那么这样的数叫做质数;
    一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,那么这样的数叫做合数。
    【详解】在1,2,27,53,68中,27既是奇数又是合数;2既是偶数又是质数;1既不是质数又不是合数。
    【点睛】本题考查奇数与偶数、质数与合数的意义及应用。
    【对应练习】
    1.(2023·广东湛江·小升初真题)在1、12、20、21、54、117、29、450中,奇数有( ),质数有( ),3的倍数有( ),同时是2、5、3的倍数有( )。
    【答案】 1、21、117、29 29 12、21、54、117、450 450
    【分析】奇数:末尾是1、3、5、7、9的数是奇数;质数:除了1和它本身,没有其它因数的数是质数;3的倍数特征:各个数位上的数字和是3的倍数,这个数就是3的倍数;2的倍数特征:末尾是0、2、4、6、8的数是2的倍数;5的倍数特征:末尾是0、5的数是5的倍数特征,同时是2、3、5的倍数,那么这个数的个位一定是0,找出个位是0的数,再根据3的倍数特征判断其它位上的数。
    【详解】由分析可知:
    奇数有:1、21、117、29
    质数:29
    3的倍数:12、21、54、117、450
    同时是2、5、3的倍数有:450
    【点睛】本题主要考查质数的意义以及2、3和5的倍数特征,熟练掌握它们的特征并灵活运用。
    2.(2023·江苏泰州·小升初真题)用10以内的3个质数组成一个三位数,它既有因数3,又是5的倍数,这个三位数可能是( )或( )。24和36的最大公因数是( ),最小公倍数是( )。
    【答案】 375 735 12 72
    【分析】10以内的质数有2、3、5、7,根据3、5的倍数的特征,一个数各位上的数字之和是3的倍数,这个数一定是3的倍数;个位上是0或5的数都是5的倍数;同时是3和5的倍数的数,个位上是0或5且各位上的数字之和是3的倍数,由此可知,这个三位数可能是375或735。再根据求两个数的最大公因数、最小公倍数的方法,把两个数分解质因数,公有质因数的乘积是它们的最大公因数,公有质因数与独有质因数的连乘积是它们的最小公倍数。据此解答。
    【详解】用10以内的3个质数组成一个三位数,它既有因数3,又是5的倍数,这个三位数可能是375或735。
    24=2×2×2×3
    36=2×2×3×3
    24和36的最大公因数是
    2×2×3
    =4×3
    =12
    最小公倍数是
    2×2×3×2×3
    =4×3×2×3
    =12×2×3
    =24×3
    =72
    用10以内的3个质数组成一个三位数,它既有因数3,又是5的倍数,这个三位数可能是375或735。24和36的最大公因数是12,最小公倍数是72。
    【点睛】此题考查的目的是理解掌握质数的意义及应用,3、5的倍数的特征及应用,求两个数的最大公因数、最小公倍数的方法及应用。
    3.(2023·河南濮阳·小升初真题)兰兰的微信号是由9位数字组成的,4A13B57CD,A是最小的质数,B的最大因数是8,C既是奇数也是合数,D是2和3的公倍数,兰兰的微信号是( )。
    【答案】421385796
    【分析】一个数只有1和它本身两个因数,这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数,还有其他的因数,这个数叫做合数。一个数的最小的因数是1,最大的因数是它本身。在自然数中,不是2的倍数的数叫做奇数,是2的倍数的数叫做偶数。公倍数指两个数公有的倍数,据此解答。
    【详解】最小的质数是2,所以A为2;
    最大因数是它本身,所以B为8;
    既是奇数也是合数的一位数是9,所以C为9;
    2和3的公倍数的一位数是6,所以D为6;
    兰兰的微信号是421385796。
    【点睛】本题主要考查了质数、因数、奇数、合数、公倍数的认识和应用,要熟练掌握每个知识点。
    【预测命题方向3】关于最大公因数与最小公倍数的三种特殊形式。
    1.(形式其一)(2022·山东青岛·小升初真题)如果A=7B,那么A和B的最大公因数是( ),最小公倍数是( )。
    【答案】 B A
    【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数,如果两个数是倍数关系,则这两个数的最大公因数是其中较小的数,最小公倍数是其中较大的数;据此解答。
    【详解】如果A=7B
    则A和B是倍数关系,那么A和B的最大公因数是B,最小公倍数是A。
    【点睛】本题主要考查了最大公因数和最小公倍数的求法。
    2.(形式其二)(2023·河北保定·小升初真题)如果a-1=b(a、b分别为非零的自然数),那么a、b的最大公因数是( ),最小公倍数是( )。
    【答案】 1 ab
    【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数,如果两个数互质,则这两个数的最大公因数是1,最小公倍数是它们的乘积;
    如果两个数是倍数关系,则这两个数的最大公因数是其中较小的数,最小公倍数是其中较大的数;
    如果两个数既不互质,也不是倍数关系,则先把两个数分别分解质因数,这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积,最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积,据此解答。
    【详解】如果a-1=b(a、b分别为非零的自然数),则a和b是两个相邻的自然数,它们的公因数只有1,所以a和b互质,它们的最大公因数是1,最小公倍数是ab。
    【点睛】本题考查了最大公因数和最小公倍数的求法,掌握相应的计算方法是解答本题的关键。
    3.(形式其三)(2023·陕西延安·小升初真题)A=2×3×3,B=2×3×5,A和B的最大公因数是( ),最小公倍数是( )。
    【答案】 6 90
    【分析】根据求两个数的最大公因数、最小公倍数的方法,把两个数分解质因数,公有质因数的乘积就是它们的最大公因数,公有质因数与独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数。据此解答。
    【详解】A=2×3×3
    B=2×3×5
    A和B的最大公因数是2×3=6
    A和B最小公倍数是2×3×3×5=90
    【点睛】此题考查的目的是理解掌握求两个数的最大公因数、最小公倍数的方法及应用。
    【对应练习】
    1.(2023·河南洛阳·小升初真题)a、b都是非零自然数。如果a是b的5倍,那么a和b的最大公因数是( );如果a+1=b,那么a和b的最小公倍数是( )。
    【答案】 b ab
    【分析】成倍数关系的两个数,较小数是这两个数的最大公因数;
    相邻的两个自然数,这两个数的最小公倍数是它们的乘积。据此解题。
    【详解】a、b都是非零自然数。如果a是b的5倍,那么a和b的最大公因数是b;如果a+1=b,那么a和b的最小公倍数是ab。
    【点睛】本题考查了最大公因数和最小公倍数,掌握最大公因数和最小公倍数的特殊求法是解题的关键。
    2.(2023·湖南湘西·小升初真题)已知a=2×3×m,b=2×5×m(m是自然数且m不等于0),如果a与b的最大公因数是14,则m是( ),a和b的最小公倍数是( )。
    【答案】 7 210
    【分析】全部共有的质因数(公有质因数)相乘的积就是这几个数的最大公因数。据此可知2×m=14,根据等式的性质2,两边同时÷2,即可求出m的值。
    全部公有的质因数和各自独立的质因数,它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。
    【详解】2×m=14
    解:2×m÷2=14÷2
    m=7
    2×3×5×7=210
    已知a=2×3×m,b=2×5×m(m是自然数且m不等于0),如果a与b的最大公因数是14,则m是7,a和b的最小公倍数是210。
    【点睛】关键是理解最大公因数和最小公倍数的意义,掌握最大公因数和最小公倍数的求法。
    3.(2023·四川成都·小升初真题)有一箱苹果,甲班分,每人3个还剩10个;乙班分,每人4个还剩11个;丙班分,每人5个还剩12个;那么这箱苹果至少有( )个。
    【答案】67
    【分析】每人3个还剩10个,10-3=7,也就是这批苹果的数量是3的倍数还多7;每人4个还剩11个,11-4=7,也就是这批苹果的数量是4的倍数还多7;每人5个还剩12个,12-5=7,所以这批数量是5的倍数多7。这批苹果的数量是3、4、5的公倍数多7;因为3、4、5两两互质,则用3×4×5即可求出这三个数的最小公倍数,再加上7即可求出这批苹果的数量最少是多少。
    【详解】10-3=7
    11-4=7
    12-5=7
    3×4×5=60
    60+7=67(个)
    这箱苹果至少有67个。
    【点睛】本题主要考查了最小公倍数的灵活应用,找到相同的余数是解答本题的关键。
    【预测命题方向4】整、小、分、百、比、除法、折数、成数综合转化。
    (2023·山东济南·小升初真题)2÷5=( )∶40=( )%==( )折=( )成。
    【答案】16;40;45;四;四
    【分析】根据比与除法的关系可知,2÷5=2∶5,再根据比的基本性质,比的前、后项都乘8就是16∶40;
    2÷5=0.4;把0.4的小数点向右移动两位,添上百分号就是40%;
    根据分数与除法的关系可知,2÷5=,再根据分数的基本性质,分子、分母都乘9就是;
    根据成数的意义,40%就是四成;
    根据折扣的意义,40%就是四折。
    【详解】2÷5=2∶5=(2×8)∶(5×8)=16∶40
    2÷5=0.4=40%
    2÷5===
    40%=四折=四成
    所以,2÷5=16∶40=40%==四折=四成。
    【点睛】此题主要是考查除法、小数、分数、百分数、比、折扣、成数之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。
    【对应练习】
    1.(2022·广东肇庆·小升初真题)3∶5==( )÷20=45∶( )=( )%=( )折=( )成。
    【答案】40;12;75;60;六;六
    【分析】根据比与分数的关系3∶5=,再根据分数的基本性质,分子和分母同时乘8就是=;根据比与除法的关系3∶5=3÷5,再根据比的基本性质,比的前项和后项同时乘4就是3∶5=12∶20;比的前项和后项同时乘15就是3∶5=45∶75;用比的前项除以比的后项即可化为小数,即3∶5=3÷5=0.6,把0.6的小数点向右移动两位再加上百分号,即可化为百分数,即0.6=60%;几折或几成就是百分之几十,60%=六折=六成。
    【详解】由分析可知:
    3∶5==12÷20=45∶75=60%=六折=六成
    【点睛】本题考查比、分数、除法、百分数、折扣和成数的互化,明确它们之间的关系是解题的关键。
    2.(2022·河南新乡·小升初真题)12÷( )==( )∶12==( )折=( )(填小数)。
    【答案】16;9;18;七五;0.75
    【分析】分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变;
    分数与除法的关系:分子相当于被除数,分母相当于除数,分数线相当于除号;
    分数与比的关系:分子相当于比的前项,分母相当于比的后项,分数线相当于比号;
    分数化成小数,用分子除以分母即可;
    小数化成百分数,小数点向右移动两位,同时在数的后面添上百分号;
    根据折扣的意义,百分之几十几就是几几折。
    【详解】==,=12÷16
    ==,=9∶12
    ==
    =3÷4=0.75
    0.75=75%=七五折
    即12÷16==9∶12==七五折=0.75。
    【点睛】掌握小数、分数、百分数、折扣的互化,分数的基本性质,分数与除法、比的关系是解题的关键。
    3.(2023·广东汕尾·小升初真题)( )÷15==六成=( )%=18∶( )=( )(填小数)。
    【答案】9;12;60;30;0.6
    【分析】根据几成表示百分之几十,可得六成=60%;百分数化为分数,分母为100,分子是百分号前面的数,能约分的要约分;据此可得60%=;根据分数的基本性质,将的分子和分母同时乘3,可得=;将的分子和分母同时乘4,可得=; 将的分子和分母同时乘6,可得=;根据分数与除法的关系,可得=9÷15;根据分数和比的关系,可得=18∶30;百分数化为小数,先去掉百分号,然后将小数点向左移动2位,据此可得60%=0.6;据此解答。
    【详解】9÷15==六成=60%=18∶30=0.6
    【点睛】本题考查了小数、分数、除法、比和百分数的互化,根据它们之间的性质和关系进行转化即可。
    【预测命题方向5】整、小、分、百、正数、负数综合比较。
    (2022·河南濮阳·小升初真题)在、、3.14%、、﹣4这五个数中,最大的数是( ),最小的数是( )。
    【答案】 ﹣4
    【分析】因为正数大于负数,所以最小的数是﹣4。将和3.14%都化成小数,再按照小数比较大小的方法,比较出、、3.14%、的大小。
    【详解】=
    =3.1415926……
    3.14%=0.0314
    、3.1415926……、的个位、十分位、百分位上的数字都相同;千分位上的数字是2,3.1415926……千分位上的数字是1,千分位上的数字是4,所以>>3.1415926……;0.0314个位上的数字是0,所以>>3.1415926……>0.0314。即>>>3.14%>﹣4。所以最大的数是,最小的数是﹣4。
    【点睛】此题考查了“分数、百分数、小数的互化”“小数的大小比较”“正数、负数的大小比较”。
    【对应练习】
    1.(2022·河北石家庄·小升初真题)在π、﹣3、、31.4%中,最大的数是( ),最小的数是( )。(取3.14)
    【答案】 ﹣3
    【分析】所有的正数都比负数大;把分数、百分数都转化成小数后,再根据小数的比较大小方法:先比较整数部分,整数部分大的就大,整数部分相等,就比较小数部分的十分位,十分位大的就大;依次比较直到比较出大小为止,据此解答。
    【详解】根据分析得,所有的正数都比负数大,所以最小的数是﹣3。
    ≈3.333
    31.4%=0.314
    ﹣3<0.314<3.14<3.333
    即﹣3<31.4%<π<
    所以最大的数是,最小的数是﹣3。
    【点睛】此题的解题关键是掌握正负数比较大小的方法,掌握分数、百分数和小数之间的互化,利用小数比较大小的方法,求出结果。
    2.(2021·河南郑州·小升初真题)在、66.7%、﹣2、、﹣0.2这几个数中,最大的数是( ),最小的数是( )。
    【答案】 66.7% ﹣2
    【分析】可先把、66.7%、这几个数转化为小数,再与负数﹣2、﹣0.2相比较。
    【详解】=0.625
    66.7%=0.667
    =0.666…
    因为0.667>0.666…>0.625>﹣0.2>﹣2,即66.7%>>>﹣0.2>﹣2,可知:
    在、66.7%、﹣2、、﹣0.2这几个数中,最大的数是(66.7%),最小的数是(﹣2)。
    【点睛】所有的正数都比负数大,且负号后面的数越大,该负数反而越小,再结合小数的大小比较方法,就能够对于本题中的数字进行准确的排序,并确定最大数和最小数。
    3.(2021·贵州遵义·小升初真题)在﹣3.7、π、3.14、316%和这五个数中,最大的数是( ),最小的数是( )。
    【答案】 ﹣3.7
    【分析】首先根据分数、百分数和小数互化的方法,把其中的分数、百分数化成小数,然后根据小数比较大小的方法判断即可。
    【详解】л≈3.142,316%=3.16,≈3.33,
    因为﹣3.7<3.14<л<3.16<3.33,所以最大的数是,最小的数是﹣3.7。
    【点睛】先把百分数、分数化成小数,再比较大小,解答此题应注意负数小于正数。
    【预测命题方向6】正、负数的意义与数轴。
    (2023·河南焦作·小升初真题)看图填空。
    (1)如果李老师从0点向东行驶3格表示为﹢600m,那么从0点向西行驶4格,应表示为( )m。
    (2)如果李老师从0点出发,先向东行驶5格,再向西行驶7格,这时李老师的位置表示为( )m。
    【答案】(1)﹣800
    (2)﹣400
    【分析】(1)由题意可知,李老师从0点向东行驶3格表示为﹢600m,说明规定向东用正数表示,则向西用负数表示,每个表示600÷3=200m,据此填空即可;
    (2)李老师从0点出发,先向东行驶5格,再向西行驶7格,实际相当于向西行驶2格,据此解答即可。
    【详解】(1)600÷3=200(m)
    200×4=800(m)
    则如果李老师从0点向东行驶3格表示为﹢600m,那么从0点向西行驶4格,应表示为﹣800m。
    (2)200×2=400(m)
    则如果李老师从0点出发,先向东行驶5格,再向西行驶7格,这时李老师的位置表示为﹣400m。
    【点睛】本题考查正负数在数轴上的表示,明确向东用正数表示,则向西用负数表示是解题的关键。
    【对应练习】
    1.(2023·河北衡水·小升初真题)在下面的直线上,从0出发,向左移动4个单位长度到点A,点A表示的数是( )。从点A向右移动6个单位长度到点B,点B表示的数是( )。
    【答案】 ﹣4 2
    【分析】在数轴上,负数在0的左边,正数在0的右边,根据题意可知,每个单位长度表示1,从0往左数4个单位长度用负数表示为﹣4,也就是A点,A点距离0有4个单位长度,B点距离0有(6-4)个单位长度,且B点在0的右边,则B点用正数表示为2。
    【详解】负数在0的左边
    从0往左数4个单位长度用负数表示为﹣4,也就是A点
    所以点A表示的数是﹣4
    A点距离0有4个单位长度,B点距离0有(6-4)个单位长度,且B点在0的右边
    所以B点用正数表示为2。
    【点睛】本题考查了数轴知识,结合正负数知识解答即可。
    2.(2023·浙江温州·小升初真题)如下图,有一颗珠子在A点的位置,表示的数是( );这颗珠子从A点向东滚动( )米会到达B点的位置。
    【答案】 ﹣米
    【分析】数轴上以0为分界点,0右边的数大于0用“﹢”表示,正号可以省略,0左边的数小于0用“﹣”表示,负号不可以省略,把﹣1和﹣2之间的长度看作单位“1”,把单位“1”平均分成4份,取出其中的2份,用分数表示为,即,A点位于﹣1和﹣2之间表示的数是﹣;同理可知,B点位于0和1之间表示的数是,求出与的和就是A点滚动的距离,据此解答。
    【详解】分析可知,A点表示的数是﹣米,B点表示的数是米。

    =+
    =(米)
    所以,A点的位置表示的数是﹣米,这颗珠子从A点向东滚动米会到达B点的位置。
    【点睛】掌握分数的意义和正负数在数轴上表示的方法是解答题目的关键。
    3.(2023·广西南宁·小升初真题)在数轴上,一只毛毛虫从原点出发,它先向左爬到达点A,此时点A用负数表示是( );再向右爬到达点B,此时点B用分数表示是,点B还可以用百分数表示是( ),接着毛毛虫继续向右爬,爬了( )个,到达点C处,点C用小数表示是( )。
    【答案】﹣1;;75%;6;2.25
    【分析】数轴上,0的左边是负数,0的右边是正数;观察数轴,将“1”平均分成4份,其中1份是,据此确定点B,用分子÷分母,求出小数,将小数的小数点向右移动两位,添上百分号,即可将分数化成百分数;1小格表示0.25,点C在2右边第一格处,据此确定点C。
    【详解】=3÷4=0.75=75%
    点A用负数表示是﹣1;点B用分数表示是,点B还可以用百分数表示是75%,接着毛毛虫继续向右爬,爬了6个,到达点C处,点C用小数表示是2.25。
    【点睛】关键是能确定数轴上正负数的位置,掌握百分数、分数、小数的互化方法。
    【预测命题方向7】时间、质量、长度、面积、体积(容积)单位的选择与换算。
    1.(2023·内蒙古呼伦贝尔·小升初真题)请认真阅读下面的材料,在括号里填上合适的单位名称。
    登机时间为起飞前45( ), 如果是国内航班,至少需要提前1.5( )到机场办理登机手续。小件行李是可以直接带上飞机的,无需托运。随身携带的行李,长55( ),宽40( )内,重量限制是5( );容积小于100( )的液体也可以随身携带。
    【答案】 分钟/min 小时/h 厘米/cm 厘米/cm 千克/kg 毫升/mL
    【分析】根据生活经验以及对时间单位、长度单位、质量单位、容积单位和数据大小的认识,结合实际情况选择合适的单位即可。
    【详解】登机时间为起飞前45分钟,如果是国内航班,至少需要提前1.5小时到机场办理登机手续。随身携带的行李长55厘米,宽40厘米内,重量限制是5千克;容积小于100毫升的液体也可以随身携带。
    【点睛】本题主要考查根据情境选择合适的计量单位,要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小,灵活的选择。
    2.(2023·陕西宝鸡·小升初真题)单位换算。
    米=( )厘米 45分=( )时 公顷=( )平方米
    6.2平方分米=( )平方米 0.55千克=( )克
    750毫升=( )升
    【答案】 75 0.75 1250 0.062 550 0.75
    【分析】根据1米=100厘米,1时=60分,1公顷=10000平方米,1平方米=100平方分米,1千克=1000克,1升=1000毫升,高级单位化低级单位要乘进率,低级单位化高级单位要除以进率,据此解答。
    【详解】米=75厘米
    45分=0.75时
    公顷=1250平方米
    6.2平方分米=0.062平方米
    0.55千克=550克
    750毫升=0.75升
    【点睛】本题主要考查了长度单位、面积单位、容积单位、时间单位、质量单位的换算,明确高级单位化低级单位要乘进率,低级单位化高级单位要除以进率。
    【对应练习】
    1.(2023·河南三门峡·小升初真题)星期天,小东和爸爸一起到游泳馆去游泳,游泳池真大,大约可以装水2000( );小东在浅水区,水面超过胸脯,水深大约有82( );游泳完后爸爸给小东买了一瓶饮料,这瓶饮料大约有0.75( );回到家里,小东称了一下自己的体重是36( )。
    【答案】 立方米/ 厘米/cm 升/L 千克/kg
    【分析】根据生活经验以及对长度单位、质量单位、体积单位、容积单位和数据大小的认识,结合实际情况选择合适的单位即可。
    【详解】游泳池大约可以装水2000立方米;小东在浅水区水面超过胸脯,则水面约有82厘米;一瓶饮料约750毫升,即0.75升;小东的体重是36千克。
    【点睛】本题主要考查根据情境选择合适的计量单位,要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小,灵活的选择。
    2.(2023·新疆乌鲁木齐·小升初真题)在下面的括号里填上合适的数或计量单位。
    时=( )分 8.7升=( )升( )毫升
    3060千克=( )吨 ( )平方米=0.45公顷
    6.05( )=605( )
    【答案】 50 8 700 3.06 4500 平方米 平方分米
    【分析】1时=60分;1升=1000毫升;1吨=1000千克;1公顷=10000平方米;1平方米=100平方分米;高级单位换算成低级单位,乘进率;低级单位换算成高级单位,除以进率,据此解答。
    【详解】时=×60=50分
    0.7升=700毫升
    8.7升=8升700毫升
    3060千克=3.06吨
    4500平方米=0.45公顷
    6.05平方米=605平方分米(答案不唯一)
    3.(2023·辽宁大连·小升初真题)单位换算。
    300m=( )km 2.6t=( )kg 10.5dm3=( )mL
    时=( )分 21元3角5分=( )元
    20000平方米=( )公顷
    【答案】 0.3 2600 10500 18 21.35 2
    【分析】低级单位化高级单位除以进率,高级单位化低级单位乘进率;
    低级单位米化高级单位千米除以进率1000,即300÷1000=0.3;
    高级单位吨化低级单位千克乘进率1000,即2.6×1000=2600;
    高级单位立方分米化低级单位毫升乘进率1000,即10.5×1000=10500;
    高级单位时化低级单位分乘进率60,即;
    把3角除以进率10,5分除以进率100,再把二者结果与21元相加,即3÷10+5÷100+21=21.35;
    低级单位平方米化高级单位公顷除以进率10000,即20000÷10000=2。
    【详解】由分析可知:
    300m=0.3km 2.6t=2600kg 10.5dm3=10500mL
    时=18分 21元3角5分=21.35元 20000平方米=2公顷
    【点睛】本题考查单位换算,注意:低级单位化高级单位除以进率,高级单位化低级单位乘进率。
    【题型命题猜想02】数和代数运算综合—简便计算与十三种巧算法。
    【命题说明】
    数与代数的运算是小学数学最为重要的内容之一,小升初主要考察各类型数的四则混合运算、简便计算以及解方程或解比例,因为涉及到多种数以及数的多种转化,其计算题型综合性较强,考察知识一般以下四点为主,即:
    一是考察四种数之间的互相转化;
    二是考察四种数之间的四则基础计算和方程的一般解法;
    三是考察四则混合运算;
    四是考察简便计算以及常用巧算法;
    总之,熟练掌握四则运算关系以及基本算法是正确计算的关键,另外,本部分所涉及的十三种巧算法一般以思维拓展题型为主,涉及题型难度非常大,不适合作为一般性内容进行讲解或训练,具体详情可参考编者的“小升初典型例题系列”。
    【预测命题方向1】整、小、分、百四则混合运算。
    脱式计算。
    2÷(1+10%)-×3.9
    解析:
    2÷(1+10%)-×3.9
    =2÷1.3-×3.9
    =2-1.3
    =0.7
    解析:
    10.6﹣(6+÷12.5%)
    =10.6﹣7.6
    =3
    27÷[(19%-)÷0.09]
    解析:27
    【对应练习】
    1. (2022·浙江台州·小升初真题)用合适的方法计算下面各题,写出主要计算过程。
    ①6.35+4.5×(42.25-39.55)②
    ③④
    解析:①18.5;②;③4.4;④909
    2. (2022·重庆潼南·校考小升初真题)脱式计算。

    解析:





    3. (2022·重庆·统考小升初真题)脱式计算。
    解析:





    【预测命题方向2】整、小、分、百简便运算。
    (2023·广西南宁·小升初真题)下面各题怎样简便就怎样计算。
    ① ②
    ③ ④
    【答案】①489.5;②0.75
    ③49;④
    【分析】①532.6-(32.6+10.5),根据减法性质,原式化为:532.6-32.6-10.5,再进行计算;
    ②32×25%××0.125,把32化为4×8;百分数化成小数;25%=0.25;分数化成小数:=0.75;原式化为:4×8×0.25×0.75×0.125,再根据乘法交换律,原式化为:4×0.25×0.75×8×0.125,再根据乘法结合律,原式化为:(4×0.25)×0.75×(8×0.125),再进行计算;
    ③3.14×7÷3.14×7,根据带符号搬家,原式化为:3.14÷3.14×7×7,再进行计算;
    ④×23-17÷11;把除法换算成乘法,原式化为:×23-17×,再把×23化为×69,原式化为:×69-17×,再根据乘法分配律,原式化为:×(69-17),再进行计算。
    【详解】①532.6-(32.6+10.5)
    =532.6-32.6-10.5
    =500-10.5
    =489.5
    ②32×25%××0.125
    =4×8×0.25×0.75×0.125
    =4×0.25×0.75×8×0.125
    =(4×0.25)×0.75×(8×0.125)
    =1×0.75×1
    =0.75×1
    =0.75
    ③3.14×7÷3.14×7
    =3.14÷3.14×7×7
    =1×7×7
    =7×7
    =49
    ④×23-17÷11
    =×23-17×
    =×69-17×
    =×(69-17)
    =×52

    【对应练习】
    1.(2023·河南洛阳·小升初真题)计算下面各题,能简算的要简算。

    【答案】34;9;10
    【分析】,利用乘法分配律进行简算;
    ,利用乘法分配律进行简算;
    ,将32拆成4×8,利用乘法交换结合律进行简算;
    【详解】
    2.(2023·甘肃武威·小升初真题)计算下面各题,能简算的要简算。

    【答案】;18;2
    【分析】(1)先把分数除法化为分数乘法,再利用乘法分配律简便计算;
    (2)先把百分数和分数化为小数,再利用乘法分配律简便计算;
    (3)先去掉括号,再利用减法性质简便计算;
    【详解】(1)





    (2)



    =18
    (3)





    =2
    3.(2022·广东湛江·小升初真题)灵活运用你喜欢的方法计算下面各题。
    7.28-3.73-1.27
    【答案】2.28;;26
    【分析】“7.28-3.73-1.27”按照减法的性质先计算3.73+1.27,再计算括号外的减法;
    “”按照乘法交换律计算;
    “”按照乘法分配律将26提出来,再计算;
    【详解】7.28-3.73-1.27
    =7.28-(3.73+1.27)
    =7.28-5
    =2.28



    =26×(+25%)
    =26×1
    =26
    【预测命题方向3】解方程或解比例。
    (2023·四川·小升初真题)解比例或方程。
    (1)x-2=0.5 (2)∶=x∶
    【答案】(1)x=24;(2)x=
    【分析】(1)根据等式的性质1和2,将方程左右两边同时加上2,再同时除以即可;
    (2)根据比例的基本性质,将方程变为x=×,然后计算出右边的结果,再根据等式的性质2,将方程左右两边同时除以即可。
    【详解】(1)x-2=0.5
    解:x=0.5+2
    x=2.5
    x=2.5÷
    x=2.5×
    x=24
    (2)∶=x∶
    解:x=×
    x=
    x=÷
    x=×
    x=
    【对应练习】
    1.(2024·全国·小升初模拟)解方程或比例。
    (1) (2)
    【答案】(1);(2)
    【分析】(1)先把分数化为小数,然后根据等式的性质1,将方程左右两边同时加上1.6x,然后将左边合并为,根据等式的性质1和2,将方程左右两边同时减去0.8,再同时除以1.8即可;
    (2)根据比例的基本性质,将方程变为,然后根据乘法分配律去掉括号,将算式变为,根据等式的性质1,将方程左右两边同时减去16x,将方程变为,根据等式的性质1,将方程左右两边同时加上4.5, 再交换左右两边的位置,然后根据等式的性质2,将方程左右两边同时除以11即可。
    【详解】(1)
    解:
    (2)
    解:
    2.(2023·广西南宁·小升初真题)求未知数的值。
    ① ② ③
    【答案】;;
    【分析】(1)先计算的积,再根据等式的性质1和性质2,方程左右两边先同时减去,再同时除以2,解出方程;
    (2)根据比例的基本性质,两内项之积等于两外项之积,把比例转化成方程后,再根据等式的性质2,方程左右两边同时除以7,解出方程;
    (3)根据比例的基本性质,两内项之积等于两外项之积,把比例转化成方程后,再根据等式的性质2,方程左右两边同时除以12,解出方程。
    【详解】①
    解:

    解:

    解:
    3.(2022·广东汕尾·小升初真题)求未知数x。
    ① ② ③
    【答案】①;②;③
    【分析】①先计算方程的左边,把原方程化为,再根据等式的性质,在方程两边同时除以0.6即可;
    ②根据比例的基本形式,把比例式化为乘积式,再根据等式的性质,在方程两边同时乘即可;
    ③根据等式的性质,先在方程两边同时减去,再同时除以20%即可。
    【详解】①
    解:

    解:

    解:
    【预测命题方向4】简便计算与十三种巧算法。*
    【巧算法其一】变形约分法。
    简便计算。

    【答案】;1
    【分析】(1)先把带分数换成假分数,再根据乘法分配律计算,最后把除法换成乘法计算即可。
    (2)先把1987看成(1988-1),再根据乘法分配律计算即可。
    【详解】(1)





    (2)



    =1
    【对应练习】
    简便计算。

    【答案】1;
    【分析】第一个小题需要仔细观察,大胆猜想,分子分母是比较复杂的式子,把其中一个向另一个转化;第二小题分子、分母是更加复杂的式子,但仔细观察却有规律,分子中(1×4×7)看做整体,后面两小段就可以分别写成它的2倍、3倍;分母也是相同的思路。整理完之后,再进一步寻求简算方法。
    【详解】






    【巧算法其二】平方差公式。
    简便计算。
    解析:利用平方差公式首先对分子进行分组重建,再进行整体约分。
    =
    =
    =1
    【对应练习】
    1. 简便计算。
    解析:
    分母可通过高斯求和公式进行巧算,分子可根据公式a²-b²=(a-b)(a+b)进行巧算。
    (5)
    2. 简便计算。
    【答案】
    【分析】观察分子和分母,会发现它们有各自的规律可循.分母的数列排列的规律是从1加到10再加回到1,计算时只要计算(1+2+…+10)×2再减10,分子的规律注意是两个和相减,可以根据减法性质将括号打开进行计算.
    【详解】解:分母=(1+2+3+…+10)×2-10=100
    分子=2
    =
    =(2-1)(2+1)+(4-3)(4+3)+…+(100-99)(100+99)
    =3+7+11+…+199
    =(3+199)×50÷2
    =101×50
    所以,原式==
    【点睛】在繁分数计算时,不要一味“傻算”、“硬算”,可以先找规律,再运用学过的各种运算技巧进行计算.
    【巧算法其三】平方和公式与立方和公式。
    若已知12+22+32+42+…+252=5525,试求22+42+62+82+…+502之值.
    【答案】22100
    【详解】22+42+62+82+…+502
    =22×12+22×22+22×32+…+22×252
    =4×(l2+22+32+…+252)
    =4×5525=22100.
    【对应练习】
    计算;512+522+532+…+992+1002= .
    【答案】295425
    【分析】首先根据12+22+32+…+(n﹣1)2+n2=, 分别求出前100个数、前50个数的平方和各是多少;然后用前100个数的平方和减去前50个数的平方和,求出算式512+522+532+…+992+1002的值是多少即可.
    【详解】512+522+532+…+992+1002
    = ﹣
    =338350﹣42925
    =295425
    故答案为295425.
    【巧算法其四】连续两数乘积之和与连续三数乘积之和(整数裂项)。
    1. (连续两数乘积之和)简便计算。
    1×2+2×3+……+19×20
    【答案】2660
    【分析】观察算式可知,乘数是连续的自然数,可以利用裂项方法直接解答。
    1×2=(1×2×3-0×1×2)÷3
    2×3=(2×3×4-1×2×3)÷3
    ……
    依次类推,将算式中的每个乘法都写出来,然后计算即可。
    【详解】1×2+2×3+……+19×20
    =(1×2×3-0×1×2)÷3+(2×3×4-1×2×3)÷3+……+(19×20×21-18×19×20)÷3
    =[(1×2×3-0×1×2)+(2×3×4-1×2×3)+……+(19×20×21-18×19×20)] ÷3
    =[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+19×20×21-18×19×20] ÷3
    =[19×20×21-0×1×2]÷3
    =19×20×21÷3
    =2660
    2. (连续三数乘积之和)简便计算。
    1×2×3+2×3×4+3×4×5+……+18×19×20
    【答案】35910
    【分析】每个乘法算式都有三个乘数,且为连续的自然数,利用整数裂项解答即可。
    【详解】1×2×3+2×3×4+3×4×5+……+18×19×20
    =(1×2×3×4-0×1×2×3)÷4+(2×3×4×5-1×2×3×4)÷4+……+(18×19×20×21-17×18×19×20)÷4
    =[(1×2×3×4-0×1×2×3)+(2×3×4×5-1×2×3×4)+……+(18×19×20×21-17×18×19×20)] ÷4
    =[18×19×20×21-0×1×2×3] ÷4
    =18×19×20×21÷4
    =35910
    【对应练习】
    1. 简便计算。
    解析:
    因为n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2),所以原式=×1×2×3×4+(×2×3×4×5-×1×2×3×4)+…+(×9×10×11×12-×8×9×10×11)=×9×10×11×12=2970。
    =×1×2×3×4+(×2×3×4×5-×1×2×3×4)+…+(×9×10×11×12-×8×9×10×11)
    =×9×10×11×12
    =2970
    2. 简便计算。
    7×8+8×9+……+49×50
    【答案】41538
    【分析】观察算式可知,乘数是连续的自然数,可以利用裂项方法直接解答。
    7×8=(7×8×9-6×7×8)÷3
    8×9=(8×9×10-7×8×9)÷3
    ……
    依次类推,将算式中的每个乘法都写出来,然后计算即可。
    【详解】7×8+8×9+……+49×50
    =(7×8×9-6×7×8)÷3+(8×9×10-7×8×9)÷3+……+(49×50×51-48×49×50)÷3
    =[(7×8×9-6×7×8)+(8×9×10-7×8×9)+……+(49×50×51-48×49×50)] ÷3
    =[7×8×9-6×7×8+8×9×10-7×8×9+……+49×50×51-48×49×50] ÷3
    =[49×50×51-6×7×8]÷3
    =[124950-336] ÷3
    =124614÷3
    =41538
    【巧算法其五】高斯公式与等差数列。
    1. (其一)简便计算。
    【答案】
    【分析】观察分数的分子和分母发现它们是连续的奇数,相邻的两个数相差2,那么分子里数字的个数有(2013-1)÷2+1=1007个数,分子的数字和是(2013+1)×1007÷2=2014×1007÷2,分母里的数字的个数有(4027-2015)÷2+1=1007个数,分母的数字和是(4027+2015)×1007÷2=6042×1007÷2,最后进行约分。
    【详解】



    故答案为:
    【点睛】此题考查的是一个特殊的计算,注意计算是有规律可循的。
    2. (其二)简便计算。

    【答案】
    【分析】根据高斯求和公式变形后,通过分子分母约分即可简算.
    【详解】解:
    【对应练习】
    1. 计算:( )。
    【答案】
    【分析】仔细审题,我们会发现,题干中分母的规律:;同时很容易发现是一个等差数列,利用等差数列求和公式我们可得,进而可得:。
    【详解】原式=



    【点睛】这道题目稍微有点难度,需要先归纳分母的通项,然后利用裂项进行解题,所以同学们应该在记住公式的同时做适当的综合应用。
    2. 简便计算。
    解析:
    同分母相加,分母不变,分子相加。分子相加过后发现是连续的自然数相加,是一组等差数列,等差数列的求和为(第一个数+最后一个数)×项数÷2。






    3. 简便计算。
    解析:
    观察式子发现,越往后就是一组等差数列,等差数列的求和方式为(第一个数+最后一个数)×项数÷2。将式子进行整理后发现规律。、、



    【巧算法其六】通项公式法。
    简便计算。
    解析:
    根据及裂项消去法代入化简
    【对应练习】
    计算: .
    【答案】
    【详解】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大,但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为,,,……,,可以发现如果分母都加上1,那么恰好都是分子的4倍,所以可以先将原式乘4后进行计算,得出结果后除以4就得到原式的值了.
    原式
    【巧算法其七】错位相减法与等比数列。
    简便计算。
    解析:设m=①
    两边同时乘3得:
    3m=②
    ②-①得:
    2m=1-
    即m=
    【对应练习】
    1. 简便计算。
    解析:
    2. 简便计算。
    解析:
    【巧算法其八】分组法。
    简便计算。
    解析:
    原式=
    =
    =
    =
    【对应练习】
    1. 简便计算。
    【答案】
    【分析】根据减法的性质,将算式变为,然后根据乘法分配律,将算式变为,再计算括号里面的减法和加法,然后计算括号外面的乘法,最后计算括号外面的减法。
    【详解】





    2. 简便计算。
    【答案】190
    【分析】根据加法交换律和减法的性质,将算式变为,然后根据乘法分配律,将算式变为,再计算出,接着将首尾相加,将算式变为,然后计算出小括号里面的加法,最后去掉括号进行计算即可。
    【详解】








    【巧算法其九】换元法(字母代换法)。
    简便计算。
    【答案】
    【分析】令=A,=B,将原式改写成含字母A、B的式子,再根据乘法分配律(a+b)×c=a×c+b×c将式子化简,最后再把A、B换回原来的式子计算出结果。
    【详解】令=A,=B;
    原式=A×(B+)-(A+)×B
    =AB+A-AB-B
    =A-B
    =×(A-B)
    =×[()-()]
    =×[]
    =×1

    【对应练习】
    1. 简便计算。
    【答案】
    【分析】假设,,把字母代入原式化简含有字母的式子,最后再把a和b的值代入化简后的式子求出结果,据此计算。
    【详解】假设,
    原式=







    2. 简便计算。
    解析:
    【巧算法其十】裂项法(分数裂和与分数裂差)。
    1. (其一)观察下列等式:
    ,,,
    请将以上三个等式两边分别相加得:

    (1)猜想并写出:( )。
    (2)( )。
    (3)探究并计算:( )。
    (4)计算:
    【答案】(1)
    (2)
    (3)
    (4)
    【分析】(1)先根据题中所给出的等式进行猜想,写出猜想结果即可;
    (2)根据(1)中的猜想计算出结果;
    (3)根据乘法分配律提取,再计算即可求解;
    (4)先拆项,再抵消结果即可求解。
    【详解】(1)


    【点睛】本题考查的是分数的混合运算,根据题意找出规律是解答此题的关键。
    2. (其二)简便计算。
    解析:
    3. (其三)简便计算。







    【点睛】此题用分数拆项的方法解决问题更便捷,做这类问题,应仔细审题,找到解决的最佳途径,运用运算技巧灵活解答。
    4. (其四)简便计算。
    解析:
    5. (其五)简便计算。
    【答案】
    【分析】分母是两个连续自然数的乘积,分子是两个连续自然数的平方和。把分数进行拆分与裂项。,=2+,=2+……,。=1-,=-,=-……=-,=-。
    【详解】
    =2++2++2++……+2++2+
    =2×19+(+++……++)
    =38+(1-+-+-+……-+-)
    =38+(1-)
    =38+

    【对应练习】
    1. 简便计算。
    【详解】




    2. 简便计算。
    +++…+
    【答案】
    【详解】试题分析:因为=(﹣),=(﹣),…,因此通过拆分,加减相互抵消,解决问题.
    解:+++…+
    =(﹣)+(﹣)+(﹣)+…+(﹣)
    =﹣
    =
    点评:完成此题,注意分数的拆分,通过加减相抵消的方法,求出结果.
    3. 简便计算。
    【答案】39
    【分析】通过计算发现:每一项的结果都是“2﹣分数单位”的形式,分母为原来的分母.然后把分数拆分,通过加减相互抵消,即可求出结果.
    【详解】





    =39+
    =39
    【点睛】此题解答的关键在于把分数拆分,变成相互抵消的形式,使计算简便.
    4. 简便计算。
    解析:
    5. 简便计算。
    【答案】
    【详解】原式
    【巧算法其十一】连锁约分。
    简便计算。
    ×××…××
    【答案】
    【分析】仔细观察可以发现,算式中前一个数的分母与后一个数的分子是相同的,即可以进行约分,据此约分得出结果即可。
    【详解】×××…××
    =1×

    【点睛】找出前分数的分母与后分数的分子之间的关系是解决此题的关键。
    【对应练习】
    1. 简便计算。
    (1+)(1-)(1+)(1-)…(1+)(1-)
    【答案】
    【详解】原式=()×()×()×…×( ) ×() ×() ×() ×…×()
    =50×()
    =
    2. 简便计算。
    解析:
    (3)


    【巧算法其十二】估算法。
    的整数部分是( )。
    解析:
    设,所以
    【对应练习】
    1. 已知,求x的整数部分是多少?
    解析:
    答:x的整数部分为90。
    2. 已知:,则S的整数部分是多少?.
    解析:


    不能确定A的整数部分,怎么办?先看看一个例子

    聪明的你从中会发现一个找“最小界线的新规律”,那么让我们回到原题来看看吧!

    ∴A的整数部分为73。
    【巧算法其十三】繁分数运算。
    计算。
    解析:
    【对应练习】
    1. 计算。
    解析:
    2. 计算。
    解析:2
    【题型命题猜想03】数式和数形综合—定义新运算与数、形、式规律探索。
    【命题说明】
    定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义,从而解答某些算式的一种运算,它是一种人为的、临时性的运算形式,它使用的是一些特殊的运算符号,如:*、△、⊙等,这是与四则运算中的“+、-、×、÷”不同的。
    小升初中的新运算考察形式较为简单,关键是要正确地理解新定义的算式含义,然后严格按照新定义的计算程序,将数值代入,转化为常规的四则运算算式进行计算。
    数形规律也是常考察题型之一,主要以数字数列、图形图表、算式等式等形式为主,考点和题型探索性和抽象性较强,一般学生解决起来稍显吃力,可着重进行强化训练。
    【预测命题方向1】定义新运算其一。
    (2022·湖南长沙·小升初真题)如果规定,那么的最后结果是( )。
    【答案】205
    【分析】题目中的“*”实际上是定义了一种新的运算,只要把17和24分别代入a和b的位置并进行计算就行了。
    【详解】由题意知︰a*b=13×a-b+8
    则:17*24
    =13×17-24+8
    =221-24+8
    =205
    【点睛】此题定义一种新的运算,直接代入计算即可。
    【对应练习】
    1.(2023·四川成都·小升初真题)如果规定,那么( )。
    【答案】15
    【分析】根据题意可知,,也就是5;据此可知,,据此计算出结果即可。
    【详解】
    如果规定,那么。
    2.(2023·吉林四平·小升初真题)已知,,那么( )。
    【答案】
    【分析】根据定义新运算分别得到小括号内和的值,再用除法计算即可解答。
    【详解】




    【点睛】本题考查新定义型问题,参考已知条件先计算出括号内的值是解题的关键。
    3.(2022·四川绵阳·小升初真题)定义新运算“”如下:当时,;当时,。则当时,的值为( )。
    【答案】1
    【分析】利用规定的运算方式,按照运算顺序计算即可,注意区分定义新运算“”前后数据的大小,代入不同的运算。
    【详解】当时,=1
    【点睛】关键是要正确地理解定义新运算的算式含义,分别得出结果。
    【预测命题方向2】定义新运算其二。
    1. (2022·全国·小升初模拟)对任意的数a,定义:f(a)=2a+1。已知f(x+1)=21,则x=( )。
    解析:9
    2. (2020·江苏淮安·小升初真题)如图所示的运算程序中,若开始输入的x值为48,我们发现第一次输出的结果为24,第2次输出的结果为12,……第20次输出的结果为( )。
    A.24B.12C.6D.3
    解析:D
    【对应练习】
    1.(2023·全国·小升初模拟)已知字母n代表某一个数,按图所示程序输入计算,当第一次输入n为30时,那么第8次输出的结果应为( )。
    解析:4
    2. (2022·新疆乌鲁木齐·小升初真题)对自然数n,定义n!=1×2×3×…×n,那么算式2019!-4!的结果的个位数字是( )。
    解析:
    2019!=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×…×2019,个位是0;
    4!=1×2×3×4=24,个位是4;
    2019!-4!的结果的个位数字是0-4,相当于10-4=6,个位数字是6。
    【预测命题方向3】数式关系与运算。
    (2023·广东阳江·小升初真题)鞋的尺码通常用“码”或“厘米”表示,它们之间的换算关系式是b=2a-10(b表示码数,a表示厘米数),小丽买了一双34码的鞋,鞋长( )cm。
    【答案】22
    【分析】把34代入到b=2a-10中,然后根据等式的性质解方程即可。
    【详解】2a-10=34
    解:2a-10+10=34+10
    2a=44
    2a÷2=44÷2
    a=22
    则小丽买了一双34码的鞋,鞋长22cm。
    【点睛】本题考查解方程,熟练运用等式的性质是解题的关键。
    【对应练习】
    1.(2022·湖北省直辖县级单位·小升初真题)我们所穿的鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位,它们之间的换算关系是a=+5(a表示厘米数,b表示尺码数)。那么36码的鞋子用“厘米”作单位就是( )厘米。
    【答案】23
    【分析】把b=36代入a=+5,求出a即可。
    【详解】把b=36代入a=+5得:
    a=36÷2+5
    =18+5
    =23(厘米)
    36码的鞋子用“厘米”作单位就是23厘米。
    【点睛】本题考查用字母表示数以及含有字母的式子化简求值,注意计算的准确性。
    2.(2023·山东聊城·小升初真题)蟋蟀的鸣叫是大自然的音乐,殊不知蟋蟀鸣叫的频率与气温有着很大的关系,可以用C=4t-16表示,其中C表示蟋蟀每分钟叫的次数,t表示温度。气温是30摄氏度时,蟋蟀每分钟叫( )次。
    【答案】104
    【分析】将t=30代入C=4t-16,求出C的值即可。
    【详解】当t=30时,C=4t-16=4×30-16=104(次)
    气温是30摄氏度时,蟋蟀每分钟叫(104)次。
    【点睛】解答本题需熟练掌握用字母表示数及利用代入法求值的方法。
    3.(2020·江苏苏州·小升初模拟)测量温度常用℃(摄氏度)作单位,有时还使用℉(华氏度)作单位。华氏温度和摄氏温度可以用下面的公式进行换算:华氏温度=摄氏温度×1.8+32那么,30℃是( )℉,77.9℉是( )℃。
    【答案】 86 25.5
    【详解】当摄氏温度是30℃时,华氏温度=30×1.8+32;当华氏温度是77.9℉时,代入原式,得77.9=摄氏温度×1.8+32,再求解。
    【预测命题方向4】数形规律探索。
    (2023·贵州铜仁·小升初真题)把边长为1厘米的正方形纸片,按下面的规律拼成长方形:
    则用5个正方形拼成的长方形的周长是( )厘米,用a个正方形拼成的长方形的周长是( )厘米。
    【答案】 12 2 a+2
    【分析】根据长方形的周长=(长+宽)×2 ,据此先求出拼成的长方形的长、宽,然后按公式解答即可。
    用5个正方形拼成的长方形,长=5×1=5厘米,宽=1厘米,则这个长方形的周长=(长+宽)×2=(5+1)×2=12厘米;
    用a个正方形拼成的长方形,长=a×1=a厘米,宽=1厘米,用a个正方形拼成的长方形的周长=(长+宽)×2 =(a+1)×2=(2 a+2)厘米
    【详解】5个正方形拼成的长方形的周长:
    (5+1)×2
    =6×2
    =12(厘米)
    用a个正方形拼成的长方形的周长:
    (a+1)×2=(2 a+2)厘米
    则用5个正方形拼成的长方形的周长是(12)厘米,用a个正方形拼成的长方形的周长是(2 a+2)厘米
    【对应练习】
    1.(2022·四川成都·小升初真题)如图所示的点阵图中,图①中有3个点,图②中有7个点,图③中有13个点,图④中有21个点,按此规律,图⑩中有( )个点。
    ……
    【答案】111
    【分析】根据给出的几幅图的点数,我们可以得到:第②比第①多4;第③比第②多6;第④比第③多8…由此可得,从第②幅图开始,每一幅图比前一幅多的点数分别为4、6、8…
    据此总结规律求解即可。
    【详解】观察题图可知:
    图①中点的个数为;
    图②中点的个数为;
    图③中点的个数为;
    图④中点的个数为;
    图n中点的个数为;
    当时,图中点的个数有(个)点。
    【点睛】考查数与形,能总结出一般规律是解题关键。
    2.(2023·湖南岳阳·小升初真题)下面是一组有规律的图案,第1个图案由4个基础图形组成,第2个图案由7个基础图形组成,那么第5个图案由( )个基础图形组成,第n个图案由( )个基础图形组成。
    【答案】 16 3n+1/1+3n
    【分析】观察图形,每个图案都在上个图案的基础上加上3个基础图形。第1个图案由1+3×1=4(个)基础图形组成,第2个图案由1+3×2=7(个)基础图形组成,第3个图案由1+3×3=10(个)基础图形组成。据此类推,第5个图案由1+3×5=16(个)基础图形组成,第n个图案由(1+3×n)个基础图形组成。
    【详解】1+3×5
    =1+15
    =16(个)
    1+3×n=1+3n=3n+1
    所以,第5个图案由16个基础图形组成,第n个图案由(3n+1)个基础图形组成。
    【点睛】本题考查了数与形,有一定观察总结能力是解题的关键。
    3.(2023·甘肃金昌·小升初真题)用大小一样的圆形画图,先观察前四幅图阴影部分面积与1个圆面积的关系,再根据这个规律推算第五幅图阴影部分的面积相当于( )个圆的面积。
    【答案】
    【分析】观察图示可知:阴影部分是由几个扇形组成的,且扇形的半径与所在圆的半径相等,扇形内角和可通过三角形内角和、四边形内角和推得,扇形的面积由半径和圆心角决定,据此可推算出第五幅图阴影部分的面积相当于几个圆的面积。
    【详解】①三角形内角和为180°,阴影部分由三个扇形组成,扇形半径与圆的半径相等,每个扇形的圆心角均是三角形的一个内角,三个圆心角的和就等于三角形内角和180°,则S阴影=×S圆=S圆;
    ②四边形内角和为360°,阴影部分由四个扇形组成,扇形半径与圆的半径相等,每个扇形的圆心角均是四边形的一个内角,四个圆心角的和就等于四边形内角和360°,则S阴影=×S圆=S圆;
    ③四边形内角和为360°,阴影部分由四个扇形和一个半圆组成,扇形半径与圆的半径相等,每个扇形的圆心角均是四边形的一个内角,四个圆心角的和就等于四边形内角和360°,再加上一个半圆圆心角为180°,则S阴影=×S圆=S圆;
    ④四边形内角和为360°,阴影部分由四个扇形和两个半圆组成,扇形半径与圆的半径相等,每个扇形的圆心角均是四边形的一个内角,四个圆心角的和就等于四边形内角和360°,再加上两个半圆圆心角之和为360°,则S阴影=×S圆=2S圆;
    ⑤四边形内角和为360°,阴影部分由四个扇形和三个半圆组成,扇形半径与圆的半径相等,每个扇形的圆心角均是四边形的一个内角,四个圆心角的和就等于四边形内角和360°,再加上三个半圆圆心角之和180°×3=540°,则S阴影=×S圆=S圆;
    推算第五幅图阴影部分的面积相当于()个圆的面积。
    【点睛】本题考查了图形变化的规律,需要对于多边形内角和比较熟悉,同时能够准确计算扇形的面积,还要善于发现图形之间的联系,找到变化的规律。
    【预测命题方向5】数式规律探索。
    (2023·湖南常德·小升初真题)已知:9×7=63,9.9×67=663.3,9.99×667=6663.33,按此规律9.999×6667=( )。
    【答案】66663.333
    【分析】观察前三个算式可知:前一个因数小数点后面多一个9,后一个因数前面多一个6,结果的整数部分和小数部分就分别多一个6和3;据此解答即可。
    【详解】9×7=63
    9.9×67=663.3
    9.99×667=6663.33
    所以可得9.999×6667=66663.333。
    【点睛】在数学算式中探索规律,应认真对比观察各算式与结果的特点,找出其中隐含的规律,从而根据规律填出这一类算式的结果。
    【对应练习】
    1.(2023·江苏宿迁·小升初真题)已知:3×6=18
    33×66=2178
    333×666=221778
    3333×6666=22217778
    的积里有( )个数字是偶数。
    【答案】2023
    【分析】观察算式可得,从第二个算式起,积的第一位都是2,且2的个数比因数的位数少1,同时7的个数和2的个数相同,最后一位都为8,中间都只有1个1;据此求解即可。
    【详解】的积里有2的个数:2023-1=2022(个),有1个8,所以积中数字是偶数有:2022+1=2023(个)。
    【点睛】解答此题的关键是观察所给出的算式,得出规律,再根据规律解决问题。
    2.(2022·四川绵阳·小升初真题)观察下列各式:
    ;;…依此规律,第个等式(为正整数)为( )。
    【答案】
    【分析】通过观察可知,等式左边依次为:152、252、352,规律是第n个数为(10n+5)2;
    等式右边的规律是n(n+1)×100+52;据此作答即可。
    【详解】由分析可得:
    ;;…依此规律,第个等式(为正整数)为。
    【点睛】本题考查式子的变化规律,能够根据所给式子,观察出等式两边各数的规律是解题关键。
    3.(2022·江苏扬州·小升初)找出下面算式的规律:22-12=2+1;42-32=4+3;62-52=6+5;
    (1)请你再写一个这样的算式:( )。
    (2)运用规律计算:1002-992+982-972+962-952+…+22-12=( )。
    【答案】(1)72-62=7+6
    (2)5050
    【分析】(1)观察题意可知,两个相邻的数的平方差等于这两个数的和,也就是(n+1)-n=(n+1)2-n2(n为自然数),据此解答;
    (2)根据题意得出的规律,将算式变为100+99+98+97+96+…+1,然后首尾依次相加,将算式变为(100+1)×50进行简算即可。
    【详解】(1)再写一个这样的算式:72-62=7+6(答案不唯一)
    (2)1002-992+982-972+962-952+…+22-12
    =100+99+98+97+96+…+1
    =(100+1)×50
    =101×50
    =5050
    结果是5050。
    【点睛】本题要观察算式中的规律,再利用规律解决问题。
    【预测命题方向6】数列规律探索。
    (2023·广东河源·小升初真题)找规律,填一填:4,9,16,25,( ),49,64。
    【答案】36
    【分析】4=2×2;9=3×3;16=4×4;25=5×5;49=7×7;64=8×8,由以上数列发现:数列是从2开始的连续自然数的平方数,由此解答。
    【详解】由分析可得:6×6=36
    所以这组数列是:4,9,16,25,36,49,64。
    【点睛】本题考查数列中的规律,关键是:观察给出的数列,找出数与数之间的关系,总结规律,再由规律解决问题。
    【对应练习】
    1.(2023·广东汕尾·小升初真题)找规律填数。
    ,,,,,,( )。
    【答案】36;
    【分析】观察这组分数发现规律,分子都是1,分母分别是22、32、42、52…,据此规律解答。
    【详解】=






    所以,,,,,,,。
    【点睛】本题是找规律的题型,从已知的数据中找到规律,并按规律解题。
    2.(2024·全国·小升初模拟)如图,第5行第1个数是( ),第20行第5个数是( )。
    【答案】 17 366
    【分析】通过观察可知,第1行最后一个数是1,第2行最后一个数是4,也就是22,第3行最后一个数是9,也就是32,以此类推,第n行最后一个数是n2,第(n+1)行的第一个数就是(n2+1),第(n+1)行的第m个数就是(n2+m),;所以第5行第1个数就是(42+1);第20行第一个数是(192+1),第5个数是(192+5)。据此解答。
    【详解】根据题意可知,
    42+1
    =16+1
    =17
    192+5
    =361+5
    =366
    第5行第1个数是17,第20行第5个数是366。
    3.(2023·福建莆田·小升初真题)有一列由两个数组成的数组:(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(5,1)…
    (1)第72组的两个数之和是( )。
    (2)在前55组中,“5”这个数出现了( )次。
    【答案】(1)18
    (2)11
    【分析】①观察数组的规律,第一个数是1的有1组,第一个数是2的有2组,第一个数是3的有3组,第一个数是4的有4组,……,因为1+2+3+4+…+11=66组,所以从第67组开始,每组的第一个数是12,第67组是(12,1),依此类推,第72组是(12,6),两个数的和是12+6=18;
    ②因为1+2+3+…+10=55组,所以第55组恰好是(10,10),第一个数是5的有5组,即(5,1)、(5,2)、(5、3)、(5,4)、(5,5)。第二个数是5的只能是(5,5)、(6,5)、(7,5)、(8,5)、(9,5)、(10,5)出现了6次,所以“5”这个数出现了11次。据此解答。
    【详解】(1)观察数组的规律,可知:
    第一个数是1的有1组,
    第一个数是2的有2组,
    第一个数是3的有3组,
    第一个数是4的有4组,
    ……,
    又1+2+3+4+…+11=66组,
    所以从第67组开始,每组的第一个数是12,第67组是(12,1),第68组是(12,2),第72组是(12,6),两个数的和:12+6=18;
    答:第72组的两个数之和是18。
    (2)因为1+2+3+…+10=55组,所以第55组恰好是(10,10)
    第一个数是5的有5组,即(5,1)、(5,2)、(5、3)、(5,4)、(5,5),出现了5次;
    第二个数是5的只能是(5,5)、(6,5)、(7,5)、(8,5)、(9,5)、(10,5)出现了6次;
    所以“5”这个数出现:5+6=11(次)
    在前55组中,“5”这个数出现了11次。
    【题型命题猜想04】平面图形综合—不规则或组合图形与十二种面积法。
    【命题说明】
    求不规则或组合图形的周长与面积是小升初平面图形考察的核心内容,相对于立体图形,平面图形的直观性虽然更强,但图形的变换方式也更多更复杂,这需要我们熟悉和掌握常用的解决面积方法,下面介绍几种常用的方法:
    (1)公式法:所求面积的图形是规则图形,如扇形、特殊三角形、特殊四边形等,可直接利用公式计算。
    (2)割补法:就是从割和补两种不同角度认识同一个面积。还有的是从不同的角度认识某个长方形面积的一半。通过对面积问题的训练可以打开思维。特别是结合算两次的思想能让我们的思维理念得到很大提升。最后我写了算两次解决面积问题,来诠释前面的理论。
    (3)和差法:也叫做相加法与相减法,所求面积的图形虽然是不规则图形,但是可以通过分割或添补的方式将不规则图形转化变成规则图形面积,这时候只需要算和或算差就可以求出图形的面积了,这是求阴影部分面积最常用的方法。
    (4)等积变换法:以线段比为对象运用两个面积比来表示同一个面积比,有的是运用整体与局部思想整体由各个局部合成。有的是抓住面积不变,从两个不同的底和高来表示同一个三角形的面积或者随便求出直角边的平方。
    (5)容斥原理:容斥原理这个词可能听起来比较陌生,它还有另一个名词,重叠法。如果运用得当,掌握其精髓,在求解阴影部分面积,以及相关应用题时,能起到事半功倍的作用。
    【预测命题方向1】平移法与组合法求周长。
    1.(平移法)(2023年·河南许昌·小升初真题)求楼梯形图的周长。
    【答案】14米
    【分析】如图所示,图形的周长等于长为4米,宽为3米长方形的周长,利用“长方形的周长=(长+宽)×2”求出图形的周长,据此解答。
    【详解】(4+3)×2
    =7×2
    =14(米)
    所以,楼梯形图的周长是14米。
    2.(组合法)(2023·陕西渭南·小升初真题)计算下面图形的周长。

    【答案】14.28米
    【分析】长方形的周长=(长+宽)×2,圆的周长=2πr,根据观察图形特征,该图形的周长为(长+宽)×2-长+2πr×,据此解答。
    【详解】
    (米)
    则该图形的周长为14.28米。
    【对应练习】
    1.(2021年·贵州贵阳·小升初真题)计算下图周长。
    【答案】16cm
    【分析】看图,将这个组合图形的各边通过平移重新排列,恰好能够围成一个正方形,并且正方形的边长是4cm。据此,结合正方形周长=边长×4,求出这个组合图形的周长即可。
    【详解】1+3=4(cm)
    4×4=16(cm)
    所以,这个图形的周长是16cm。
    2.(2022·河南洛阳·小升初真题)求出下图的周长。
    【答案】31.42cm
    【分析】看图可知周长由两条长方形的长、一条长方形的宽和一个半圆组成。
    【详解】6+8+8
    =14+8
    =22(cm)
    已知圆的直径为长方形的宽,即为6cm
    3.14×6÷2
    =18.84÷2
    =9.42(cm)
    22+9.42=31.42(cm)
    所以此图的周长为31.42cm
    3.(2023·河北石家庄·小升初真题)计算下面图形中阴影部分的周长。(单位:厘米)(π取3.14)
    【答案】37.68厘米
    【分析】阴影部分的周长等于直径为(4+8)厘米和直径为4厘米及直径为8厘米的半圆的弧长的和;阴影部分的面积等于直径为4+8=12(厘米)半圆的面积减去直径是4厘米的半圆的面积再减去直径是8厘米的半圆的面积;据此即可解答。
    【详解】3.14×(4+8)÷2+3.14×4÷2+3.14×8÷2
    =18.84+6.28+12.56
    =37.68(厘米)
    阴影部分的周长是37.68厘米。
    【预测命题方向2】平移法求面积。
    (2023·山东济宁·小升初真题)求阴影部分面积。
    【答案】36cm2
    【分析】把左边阴影部分平移到右边,则此时阴影部分的面积等于边长是6cm正方形的面积,根据正方形的面积=边长×边长,据此进行计算即可。
    【详解】6×6=36(cm2)
    【对应练习】
    1.(2023·广东湛江·小升初真题)如下图,在一个长31m、宽13m的长方形草坪上有两条相交的小路,那么草坪的面积是多少平方米?
    【答案】360平方米
    【分析】通过平移的方法,将两条小路分别平移到草坪的最边上,再计算出草坪实际的宽和实际的长,再根据长方形面积公式:长×宽,求出面积即可。
    【详解】长:31-1=30(米)
    宽:13-1=12(米)
    面积:30×12=360(平方米)
    答:草坪的面积是360平方米。
    【点睛】熟练掌握通过平移的方法计算物体的面积是解答此题的关键。
    2.(2022·浙江温州·小升初真题)求阴影部分的面积。(单位:厘米)
    【答案】48平方厘米
    【分析】把梯形外的阴影部分通过平移,与梯形内的空白处重合;阴影部分转化为梯形面积;根据梯形的面积公式:面积=(上底+下底)×高÷2;上底=6厘米;下底=10厘米;高=6厘米;代入数据;即可解答。
    【详解】(6+10)×6÷2
    =16×6÷2
    =96÷2
    =48(平方厘米)
    3.(2021·山东日照·小升初真题)求下面图形阴影部分的面积。(单位:厘米)
    【答案】6平方厘米
    【分析】由图知:将右边四分之一圆的阴影部分平移到左边四分之一圆的空白处,那么阴影部分就是一个规则图形长方形,长是3厘米,宽是2厘米,利用长方形面积公式计算可得出阴影部分的面积。
    【详解】3×2=6(平方厘米)
    【预测命题方向3】相加法(加法分割思路)求面积。
    (2022·湖南常德·统考小升初真题)用两种方法求下面图形的面积。
    解析:
    ①(10+5)×(12-6)÷2+5×6
    =15×6÷2+30
    =45+30
    =75(cm2)
    ②(10-5)×(12-6)÷2+5×12
    =5×6÷2+60
    =15+60
    =75(cm2)
    【对应练习】
    1. (2022·贵州铜仁·统考小升初真题)下图中,BD=6.5厘米,求四边形ABCD的面积。
    解析:
    6.5×10÷2
    =65÷2
    =32.5(平方厘米)
    2.(2023·辽宁营口·小升初真题)求出下面图形的面积。(单位:厘米)

    【答案】22平方厘米
    【分析】如图:组合图形可拆解成一个长为5厘米,宽为2厘米的长方形和一个长为(6-2)厘米,宽为(5-2)厘米的长方形,利用长方形的面积公式分别求出这两个长方形的面积,再相加即可求出组合图形的面积。
    【详解】5×2+(6-2)×(5-2)
    =10+4×3
    =10+12
    =22(平方厘米)
    即图形的面积是22平方厘米。
    3.(2023·湖南怀化·小升初真题)计算下面图形的周长和面积。
    【答案】63.7cm;218.5cm2
    【分析】组合图形的周长=长方形周长+圆的周长,长方形周长=(长+宽)×2,圆的周长=2πr;组合图形的面积=长方形面积+圆的面积,长方形面积=长×宽,圆的面积=πr2,据此列式计算。
    【详解】(14+10)×2+2×3.14×10×
    =24×2+15.7
    =48+15.7
    =63.7(cm)
    14×10+3.14×102×
    =140+3.14×100×
    =140+78.5
    =218.5(cm2)
    【预测命题方向4】相减法(减法添补思路)求面积。
    (2023·湖北黄冈·小升初真题)把一大一小两个正方形拼在一起,计算阴影部分面积。

    【答案】
    【分析】如右图,
    阴影部分的面积等于长为10+4=14厘米,宽为10厘米的长方形面积减三角形1、三角形2、三角形3的面积。长方形面积=长×宽,三角形面积=底×高÷2,将数据代入即可。据此解答。
    【详解】14×10-10×10÷2-14×4÷2-4×(10-4)÷2
    =140-50-28-12
    =50()
    阴影部分面积是。
    【点睛】添加辅助线,将阴影部分的面积转化为长方形面积减3个直角三角形面积是解答的关键。
    【对应练习】
    1.(2022·湖南常德·小升初真题)计算下图中阴影部分的面积。

    【答案】7.72m2
    【分析】由图可知,阴影部分的面积=梯形的面积-半圆的面积,根据梯形的面积=(上底+下底)×高÷2,半圆的面积=πr2÷2,代入数据进行解答即可。
    【详解】(3+2+2)×(2×2)÷2-3.14×22÷2
    =7×4÷2-3.14×4÷2
    =14-12.56÷2
    =14-6.28
    =7.72(m2)
    2.(2023·湖南岳阳·小升初真题)求图中阴影部分的面积。
    【答案】17.12dm2
    【分析】看图,半圆的半径是4dm,三角形的底和高均是4dm。半圆面积=圆面积÷2,圆面积=3.14×半径2,三角形面积=底×高÷2,据此先分别求出半圆和三角形的面积,再将半圆面积减去三角形面积,即可求出阴影部分的面积。
    【详解】3.14×42÷2-4×4÷2
    =50.24÷2-8
    =25.12-8
    =17.12(dm2)
    所以,阴影部分的面积是17.12dm2。
    3.(2023·陕西咸阳·小升初真题)计算下图中阴影部分的面积。

    【答案】25.12dm2
    【分析】阴影部分面积等于半径是8dm圆的面积的减去半径是(8÷2)dm圆的面积的一半,根据圆的面积公式:面积=π×半径2,代入数据,即可解答。
    【详解】3.14×82×-3.14×(8÷2)2÷2
    =3.14×64×-3.14×42÷2
    =200.96×-3.14×16÷2
    =50.24-50.24÷2
    =50.24-25.12
    =25.12(dm2)
    【预测命题方向5】割补法求面积。
    (2022·甘肃白银·小升初真题)求图中阴影部分的面积。(量位:厘米)

    【答案】25平方厘米
    【分析】观察图形可知,把左边阴影部分移到右边,如图:,阴影部分面积化为底是10厘米,高是(10÷2)厘米的三角形面积,根据三角形面积公式:面积=底×高÷2,代入数据,即可解答。
    【详解】10×(10÷2)÷2
    =10×5÷2
    =50÷2
    =25(平方厘米)
    【对应练习】
    1.(2022·辽宁丹东·小升初真题)求下图阴影部分的面积。

    【答案】18dm2
    【分析】将图形割补如下:

    则阴影部分的面积等于两直角边均为6dm的三角形的面积,代入三角形面积公式:S=ah÷2计算即可。
    【详解】6×6÷2
    =36÷2
    =18(dm2)
    阴影部分的面积为18dm2。
    2.(2022·甘肃陇南·小升初真题)求阴影部分的面积(图中的三角形都是等腰直角三角形)。(单位:分米)

    【答案】12.5平方分米
    【分析】根据图形的特点,可以通过“旋转”把阴影部分拼在一起,阴影部分的面积等于大三角形的面积减去正方形的面积,根据三角形的面积公式:S=ah÷2,大三角形的高就是圆的直径,根据直角三角形斜边上的高等于斜边的一半可知,大三角形的高为10÷2=5分米,则正方形的面积等于两个底为5分米,高为(5÷2)分米的三角形的面积;据此解答即可。
    【详解】如图所示:

    ×10×5-2××(5÷2)×5
    =25-2××2.5×5
    =25-1×2.5×5
    =25-12.5
    =12.5(平方分米)
    3.(2023·福建福州·小升初真题)求下图中阴影部分的面积。
    【答案】7.74平方分米
    【分析】看图,阴影部分的面积等于三角形的面积减去圆的面积。三角形面积=底×高÷2,圆面积=πr2,其中三角形的底是(6×2)分米,高是6分米,圆的半径是(6÷2)分米。将数据代入公式,先分别求出三角形和圆的面积,再将三角形的面积减去圆的面积,求出阴影部分的面积即可。
    【详解】6×2=12(分米)
    6÷2=3(分米)
    12×6÷2-3.14×32
    =36-28.26
    =7.74(平方分米)
    所以,阴影部分的面积是7.74平方分米。
    【预测命题方向6】加减法与混合型图形求面积。
    (2022·河南周口·小升初真题)求出涂色部分的面积。(单位:cm)
    【答案】3.14cm2
    【分析】观察图形可知,涂色部分的面积=左边正方形的面积+圆的面积-空白三角形的面积;
    其中正方形的面积公式S=a2,圆的面积公式S=πr2,三角形的面积公式S=ah÷2,代入数据计算求解。
    【详解】正方形的面积:
    2×2=4(cm2)
    圆的面积:
    ×3.14×22
    =×3.14×4
    =3.14(cm2)
    三角形的面积:
    4×2÷2=4(cm2)
    涂色部分的面积:
    4+3.14-4=3.14(cm2)
    涂色部分的面积是3.14cm2。
    【对应练习】
    1.(2023·浙江温州·小升初真题)求阴影部分的面积。(单位:厘米)

    【答案】28.5平方厘米
    【分析】如下图,连接BD。阴影①和阴影②的面积和=以BC为直径的半圆面积-△BDC的面积;阴影③的面积=以AB为半径的圆面积的-△ABD的面积;用阴影①和阴影②的面积和加上阴影③的面积即可求出图中阴影部分的面积。因为△ABC是等腰直角三角形,所以△BDC和△ABD是完全一样的等腰直角三角形,即△BDC的面积和△ABD的面积相等,都等于△ABC面积的一半。

    【详解】[3.14×(10÷2)2÷2-10×10÷2÷2]+[3.14×102×-10×10÷2÷2]
    =[3.14×52÷2-100÷2÷2]+[3.14×100×-100÷2÷2]
    =[3.14×25÷2-25]+[314×-25]
    =[78.5÷2-25]+[39.25-25]
    =[39.25-25]+[39.25-25]
    =14.25+14.25
    =28.5(平方厘米)
    2.(2022·河南洛阳·小升初真题)求阴影部分的面积。(单位:厘米)
    【答案】
    【分析】观察图形可知,阴影部分的面积等于中间三角形的面积加上直径是3厘米的圆的面积的一半,再加上直径是4厘米的圆的面积的一半,最后再减去直径是5厘米的圆的面积的一半,据此计算即可。
    【详解】

    =0+6
    =6(cm2)
    【预测命题方向7】旋转法求面积。
    求下图中阴影部分的周长和面积。(单位:cm)
    【答案】;
    【分析】结合图示可知,
    ①阴影部分周长由6段弧及一条正方形的边长组成,且每段弧长是整个圆的周长的,故可列式为:;
    ②将左边的阴影部分绕正方形的中心顺时针旋转180°,恰好与右边的合为半圆,即阴影部分面积就是半圆的面积,故可列式为:。
    【详解】
    【对应练习】
    求图中涂色部分的面积。

    【答案】0.785
    【分析】图是由两个边长为1的正方形拼在一起,此图中的阴影部分可以通过切割旋转的方法将其拼成一个圆(即把左边正方形的阴影部分旋转到右边正方形的下部分),然后根据圆的面积公式,求解即可。
    【详解】3.14×12×=0.785
    【点睛】本题主要是对平面图形的综合考查,一定要拥有转化的思想,并且对旋转、平移、等积变形等方法要理解以及灵活应用。
    【预测命题方向8】拼接法求面积。
    (2021·贵州贵阳·小升初真题)计算阴影部分的面积。
    【答案】39.25cm2
    【分析】三角形内角和180°,3个扇形可以拼成一个半圆,根据半圆面积=πr2÷2,列式计算即可。
    【详解】3.14×52÷2
    =3.14×25÷2
    =39.25(cm2)
    【对应练习】
    1.(2022·广东深圳·小升初真题)下图中阴影部分面积之和是多少平方厘米?
    【答案】6.28平方厘米
    【分析】三个扇形可以拼成一个半径为2厘米的半圆,那么阴影部分的面积=半圆的面积,然后根据圆的面积公式 S=πr2把数据代入公式解答即可。
    【详解】3.14×22÷2
    =3.14×4÷2
    =12.56÷2
    =6.28(平方厘米)
    所以,图中阴影部分的面积之和是6.28平方厘米。
    2.(2021·浙江杭州·小升初真题)求出图中阴影部分的面积。
    【答案】7.065平方厘米
    【分析】根据三角形的内角和等于180°,可知阴影部分的两个扇形的圆心角度数之和是(180°-90°),因为半径都是3厘米,所以阴影部分的面积之和相当于半径为3厘米的圆的面积的。
    【详解】180°-90°=90°
    3.14×3×3×
    =9.42×3×
    =28.26×
    =7.065(平方厘米)
    【预测命题方向9】重组法求面积。
    如图,大圆半径R=8厘米,小圆的半径r=4厘米.求阴影部分的面积。
    【答案】37.68平方厘米
    【详解】试题分析:如图所示,阴影①和空白①的面积相等,阴影②和空白②的面积相等,阴影③和空白③的面积相等,阴影④和空白④的面积相等,于是将4个阴影部分移到与其面积相等的空白部分,于是可以得出图中所有的阴影的面积和就等于大圆面积的减去小圆面积的,大小圆的半径已知,利用圆的面积公式即可求解.
    解:×3.14×(82﹣42)
    =0.785×(64﹣16)
    =0.785×48
    =37.68(平方厘米)
    答:阴影部分的面积是37.68平方厘米。
    点评:解答此题的关键是利用“动态”的眼光,将阴影部分移到与之面积相等的空白部分,从而容易求出阴影部分的总面积。
    【对应练习】
    求阴影部分的面积。(单位:厘米)
    【答案】4.28平方厘米
    【分析】通过对称和平移,如图, 阴影部分的面积=半圆面积-三角形面积,据此列式计算。
    【详解】4÷2=2(厘米)
    3.14×2²÷2-2×1÷2×2
    =6.28-2
    =4.28(平方厘米)
    【预测命题方向10】容斥原理(重叠法)。
    (2023·江西宜春·小升初真题)下图中长方形的长是10cm,宽为8cm。求图中阴影部分面积。
    【答案】48.74cm2
    【分析】由图可知,大圆面积的-长方形的面积=a的面积-c的面积,b的面积=小圆面积的-c的面积,阴影部分的面积=b的面积+a的面积=大圆面积的+小圆面积的-长方形的面积;据此解答。
    【详解】3.14×102×+3.14×82×-10×8
    =314×+200.96×-80
    =78.5+50.24-80
    =128.74-80
    =48.74(cm2)
    【对应练习】
    1. (2022·湖南株洲·统考小升初真题)如图,两个完全一样的直角三角形重叠在一起,按照题中条件(单位:厘米)。求阴影部分的面积。
    解析:
    阴影部分面积=大三角形的面积先减去一个小三角形面积,右下角梯形面积也是由大三角形面积减去小三角形面积,所以梯形面积与阴影部分面积相等,根据梯形面积公式:(上底+下底)×高÷2,上底是(135-40)厘米,下底是135厘米,高是18厘米,代入数据,即可解答。
    (135-40+135)×18÷2
    =230×18÷2
    =2070(平方厘米)
    即阴影部分的面积是2070平方厘米。
    2.(2021·陕西咸阳·小升初真题)计算下面图形阴影部分的面积。
    【答案】16.82cm2
    【分析】根据图可知,大的扇形面积(半径是6cm的圆)加上半径是4cm的圆的面积再减去长方形的面积即可求解。根据圆的面积公式:S=πr2,长方形的面积公式:S=ab,把数代入即可求解。
    【详解】3.14×6×6×+3.14×4×4×-6×4
    =28.26+12.56-24
    =16.82(cm2)
    所以阴影部分的面积是16.82cm2。
    3.(2023·全国·小升初模拟)下图中,底边和高都是6厘米的等腰三角形,分别以高的长为直径画圆,以底的一半长为直径画两个半圆,求阴影部分的面积。(π取3.14)
    【答案】17.325平方厘米
    【分析】由题意可知:阴影部分的面积=大圆的面积+小半圆的面积×2(小圆的面积)-三角形的面积,大圆的直径=6厘米,两个小圆的直径之和也是6厘米,三角形的底和高都是6厘米,据此代入数据即可求解。
    【详解】根据分析可得:
    3.14×(6÷2)2+3.14×(6÷2÷2)2-6×6×
    =3.14×32+3.14×1.52-18
    =3.14×9+3.14×2.25-18
    =28.26+7.065-18
    =17.325(平方厘米)
    所以,阴影部分的面积是17.325平方厘米。
    【预测命题方向11】整体代换法。
    (2022秋·甘肃白银·六年级统考期末)阴影部分的面积是20平方米,圆环的面积是多少平方厘米?
    解析:
    根据图可知,阴影部分面积是大正方形面积减去小正方形面积,大正方形面积是大圆的半径,小正方形面积是小圆半径,假设大圆半径为R,小圆半径为r,则阴影部分面积:R2-r2=20,根据圆环的面积公式:S=π(R2-r2),由此即可解答。
    假设大圆半径为R,小圆半径为r。
    R2-r2=20
    圆环的面积:3.14×20=62.8(平方米)
    62.8平方米=628000平方厘米
    圆环的面积是628000平方厘米。
    【对应练习】
    1. (2022秋·湖北黄冈·六年级统考期末)如图,阴影部分的面积是200cm2,求圆环的面积。
    解析:
    设大圆的半径为R,小圆的半径为r,那么阴影部分的面积=R2÷2-r2÷2,将等式两边同时乘2,化简得到:2×阴影部分的面积=R2-r2,即R2-r2=2×200。圆环的面积=大圆面积-小圆面积=3.14×R2-3.14×r2=3.14×(R2-r2)。所以,用200平方厘米先乘2,再乘3.14,可求出圆环的面积。
    200×2×3.14=1256(平方厘米)
    所以,圆环的面积是1256平方厘米。
    2. (2022春·安徽淮北·六年级统考期末)如图,求由正方形和圆组成的组合图形的阴影面积。(π取3.14, 单位:米)。
    解析:
    阴影部分的面积可以用正方形面积减去圆的面积,正方形边长和圆的半径已知,直接计算即可。
    (平方米)
    【预测命题方向12】等积变换法求面积。
    (2021·成都市实验外国语学校附属小学小升初模拟)已知△ABC的面积是1,把它的各边按照如图所示的方式延长1倍后得到△。(1)△的面积为( );(直接写出答案)
    (2)若按照之前的方式再把△的各边延长2倍得到△,试求△的面积。
    【答案】(1)7;(2)19
    【分析】连接A1B,CB1,AC1,如下图:
    根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分,
    得三角形A1B1C1的面积是三角形ABC面积的倍数为3×1×(1+1)+1=7(倍);
    依此类推三角形A2B2C2的面积是△ABC的倍数为:3×2×(2+1)+1=19(倍)
    【详解】(1)由分析可得:三角形的面积为三角形ABC面积的7倍,
    所以三角形面积为7×1=7;
    三角形面积是三角形ABC面积的19倍,所以三角形面积为19×1=19
    【点睛】找出三角形面积之间的规律是解题的关键,上述规律推而广之可得:三角形AnBnCn的面积是三角形ABC面积的倍数为3n(n+1)+1=3n2+3n+1(倍)。
    【对应练习】
    1.(2021·四川·成都市实验外国语学校附属小学小升初模拟)如图,三角形的面积是1,点是的中点,点在上,且,与交于点。求四边形的面积。
    【答案】
    【分析】因为ΔBAE和ΔBCE的高相等,而且BD∶DC=1∶2,E是AC的中点,然后连接FC,所以ΔBAE的面积是ΔBAC的面积的 ,进而分析解答即可。
    【详解】如图所示,连接FC,设SΔBDF=x,SΔCEF=y,由于E是中点,D是3分点,所以SΔBCE=SΔBAE=;2SΔABD=SΔADC= ;SΔCEF=SΔEFA=y,SΔDCF=2x,SΔBFC=SΔBFA=3x,SΔABE=SΔBFA+SΔAFE,即3x+y= ,SΔABD=SΔBFA+SΔAFE,即3x+x= ,可得:x= ,y= 所以SΔDCF=2x= ,所以四边形的面积是:SΔDCF+SΔCEF= 答:四边形DFEC的面积是。
    【点睛】解答此题的关键是如果三角形的高相等,那么三角形的底的比就等于三角形的面积比,适当画辅助线更好的找出三角形面积之间的关系。
    2.(2021·四川·成都外国语学校附属小学小升初模拟)如图,在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10和12,已知梯形的上底长是下底长的,求余下阴影部分的面积是多少?
    【答案】23
    【分析】根据题意和图形可知:已知的2个三角形高的和是梯形的高,2个三角形底的和是梯形上下底的和。而梯形和三角形的面积都和底高有关系,所以设出其中一个三角形的底和高,可以变相求出梯形的面积,再减去已知的2个三角形的面积就可以求出阴影的面积。
    【详解】解:设上底长为2a,下底长为3a,三角形AOD的高为h,则三角形BCO的高为x,
    则x是:(2a×h)∶(3a×x)=10∶12 解之得:x=h 那么梯形的高为:h+h=h
    又因为三角形AOD面积为10,可知:ah=10 梯形面积为:(2a+3a)×h÷2=ah=×10=45
    故阴影面积为:45-(10+12)=23 答:阴影部分的面积是23。
    【点睛】本题图形提示阴影的面积=梯形的面积-2个已知三角形的面积,还是运用组合图形面积求法的思想。
    3.(2021·四川成都·小升初模拟)如图,三角形EFC的面积是24平方厘米,AE=CE,BF=FC,则三角形ABC的面积为( )平方厘米。
    【答案】40
    【分析】BF=FC,则BF∶FC=1∶3,△EFB和△EFC的高相等,所以△EFB和△EFC的面积比是1∶3,也就是把△EFC的面积看作3份,△EFB的面积是1份,则△EBC的面积是4份。

    AE=CE,则AE∶CE=1∶4,△EBA和△EBC的高相等,所以△EBA和△EBC的面积比是1∶4,也就是把△EBC的面积看作4份,△EBA的面积是1份,△ABC的面积是5份。
    【详解】24÷3×(1+3)=8×4=32(平方厘米)
    32÷4×(1+4)=8×5=40(平方厘米)
    【点睛】当两个三角形的高相等时,面积之比等于底之比。
    【预测命题方向13】差不变原理求面积。
    (2022·河南许昌·小升初真题)大圆半径5厘米,小圆半径3厘米,求两圆中阴影部分的面积差。
    【答案】50.24平方厘米
    【分析】由图可知,A=大圆面积-B,C=小圆面积-B,则A-C=(大圆面积-B)-(小圆面积-B)=大圆面积-B-小圆面积+B=大圆面积-小圆面积,利用“”表示出大圆和小圆的面积,再求出它们的差,据此解答。
    【详解】3.14×52-3.14×32
    =3.14×(52-32)
    =3.14×16
    =50.24(平方厘米)
    所以,两圆中阴影部分的面积差是50.24平方厘米。
    【对应练习】
    1. 如图,是一个等腰直角三角形和一个半径为4厘米、圆心角为90°的扇形拼成的图形,利用差不变思想计算下图中两个阴影部分的差是多少平方厘米?
    解析:甲、乙两部分同时加上空白扇形,就相当于圆-三角形。
    3.14×42×-4×4÷2=4.56(平方厘米)
    2. 如图,半圆的直径是10厘米,阴影部分甲比乙的面积少1.25平方厘米,求直角三角形ABO的边OA的长。
    解析:
    根据题意可知,乙的面积-甲的面积=1.25平方厘米,给甲、乙分别补上空白部分,它们的面积差不变,即(乙的面积+空白部分的面积)-(甲的面积+空白部分的面积)=1.25平方厘米,可以得出:直角三角形ABO的面积-半圆的面积=1.25平方厘米;
    根据圆的面积公式S=πr2,求出圆的面积,然后除以2,即半圆的面积,再加上1.25,求出直角三角形ABO的面积;已知直角三角形ABO的面积和高,根据三角形的底=面积×2÷高,即可求出直角三角形ABO的边OA的长。
    半圆的面积:
    3.14×(10÷2)2÷2
    =3.14×25÷2
    =78.5÷2
    =39.25(平方厘米)
    直角三角形的面积:
    39.25+1.25=40.5(平方厘米)
    OA的长:
    40.5×2÷10
    =81÷10
    =8.1(厘米)
    答:直角三角形ABO的边OA的长是8.1厘米。
    【题型命题猜想05】立体图形综合—表面积变化问题与排水法。
    【命题说明】
    立体图形相对于平面图形来说,更具抽象性,是历年小升初考试的重难点,常见的四大立体图形,即长方体、正方体、圆柱、圆锥,主要考察表面积和体积的计算,其中以圆柱的体积考察最多,常考题型主要有表面积的变化问题、不规则及组合立体图形的表面积体积、排水法求不规则图形的体积,熟练掌握图形的基础特点和计算公式是解决该类问题的基础。
    【预测命题方向1】表面积的变化问题。
    1.(其一)(2023·福建莆田·小升初真题)一盒糖果的尺寸如右图,现要把两盒糖果包成一包。(接口处不计,单位:厘米。)
    (1)共有( )种不同的包装方案。
    (2)请选择最节约包装纸的方案,算出所需包装纸的大小。
    【答案】(1)3
    (2)2000平方厘米
    【分析】(1)根据长方体的特征可知,长方体上下两个面完全一样,左右两个面完全一样,前后两个面完全一样,把两盒糖果包成一包,将相同的面拼起来即可,据此分析。
    (2)运算需要的包装纸最少,也就是把两盒糖果的最大面重合,拼成一个长20厘米,宽15厘米,高(10×2)厘米的长方体,根据长方体的表面积公式:S=(ab+ah+bh)×2,把数据代入公式解答。
    【详解】(1)要把两盒糖果包成一包,如图,共有3中不同的包装方案。
    (2)10×2=20(厘米)
    (20×15+20×20+15×20)×2
    =(300+400+300)×2
    =1000×2
    =2000(平方厘米)
    答:最节省包装纸的方案,至少需要2000平方厘米的包装纸。
    2.(其二)(2023·山东济南·小升初真题)如图,一个圆柱体木材被截去5厘米后,圆柱的表面积减少了47.1平方厘米,求原来圆柱体的体积是多少立方厘米?

    【答案】141.3立方厘米
    【分析】通过观察图形可知,把这个圆柱体木材截去5厘米,圆柱的表面积减少了47.1平方厘米,表面积减少的是高5厘米的圆柱的侧面积,根据圆柱的侧面积公式:S=,据此可以求出圆柱的底面半径,再根据圆柱的表面积公式:V=,把数据代入公式解答。
    【详解】47.1÷2÷3.14÷5
    =23.55÷3.14÷5
    =1.5(厘米)
    3.14×1.52×20
    =3.14×1.5×1.5×20
    =7.065×20
    =141.3(立方厘米)
    答:原来圆柱体的体积是141.3立方厘米。
    【点睛】此题主要考查圆柱侧面积和体积公式的灵活运用,关键是熟记公式。
    3.(其三)(2023·山东济南·小升初真题)一个圆锥体量得底面直径是12厘米,沿直径剖成两半后,(如图),表面积增加了120平方厘米,求原来圆锥体的体积是多少立方厘米?
    【答案】376.8立方厘米
    【分析】通过观察图形可知,把这个圆锥沿直径剖成两半,剖面是三角形,这个三角形的底等于圆锥的底面直径,三角形的高等于圆锥的高,据此可以求出圆锥的高,然后根据圆锥的体积公式:V=πr2h,把数据代入公式解答。
    【详解】120÷2=60(平方厘米)
    60×2÷12
    =120÷12
    =10(厘米)
    ×3.14×(12÷2)2×10
    =×3.14×36×10
    =3.14×12×10
    =3.14×120
    =376.8(立方厘米)
    答:原来圆锥的体积是376.8立方厘米。
    【点睛】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用,关键是求出圆锥的高。
    【对应练习】
    1.(2022·重庆潼南·小升初真题)把一个长方体按下图的第一种方法沿着虚线横着切一刀,切面如图①:如果按第二种方法沿着虚线竖着切一刀,切面如图②。(每个方格的边长表示1厘米)
    (1)如果按照第三种方法沿着虚线竖着切一刀,请把切面的形状画在图③中。
    (2)这个长方体的体积是( )立方厘米。
    (3)三种切法中,表面积最多增加( )平方厘米。
    【答案】(1)见详解
    (2)72
    (3)48
    【分析】(1)由切面①和切面②可知,这个长方体的长为6厘米,宽为4厘米,高为3厘米,则长方形图③的长为4厘米,宽为3厘米,据此作图即可;
    (2)根据长方体的体积公式:V=abh,据此进行计算即可;
    (3)按图①的切法,表面积比原来增加两个长为6厘米,宽为4厘米的长方形的面积;按图②的切法,表面积比原来增加了两个长为6厘米,宽为3厘米的长方形的面积;按图③的切法,表面积比原来增加两个长为为4厘米,宽为3厘米的长方形的面积,据此计算并对比即可。
    【详解】(1)如图所示:
    (2)6×4×3
    =24×3
    =72(立方厘米)
    则这个长方体的体积是72立方厘米。
    (3)图①:6×4×2
    =24×2
    =48(平方厘米)
    图②:6×3×2
    =18×2
    =36(平方厘米)
    图③:4×3×2
    =12×2
    =24(平方厘米)
    48>36>24
    则三种切法中,表面积最多增加48平方厘米。
    【点睛】本题考查长方体的体积和表面积,明确长方体的体积的计算方法和表面积的定义是解题的关键。
    2.(2023·湖南益阳·小升初真题)一根圆柱形木料的底面半径是0.4米,长2米。(取3.14)
    (1)这根木料的体积是多少立方米?合多少立方分米?
    (2)如图所示,将它截成3段,这些木料的表面积比原木料增加了多少平方分米?
    (3)若将这根木料加工成一个底面半径仍为0.4米的最大的圆锥,这个圆锥的体积是多少立方分米?(得数精确到十分位)
    【答案】(1)1.0048立方米;1004.8立方分米;
    (2)200.96平方分米;
    (3)334.9立方分米
    【分析】(1)根据圆柱的体积公式:V=,代入数据即可求出这根木料的体积,再根据1立方米=1000立方分米,换算单位即可得解。
    (2)把一根长2米的圆柱体木料截成3个圆柱体,这些木料的表面积比原木料增加了4个横截面的面积,求出圆柱体木料的底面积是多少;再乘4即可求出增加的表面积。
    (3)将这根木料加工成一个底面半径仍为0.4米的最大的圆锥,则圆锥的高也应为2米,那么在等底等高的情况下,这个最大圆锥的体积等于圆柱体积的,用圆柱的体积乘即可得解。
    【详解】(1)

    =1.0048(立方米)
    =1004.8(立方分米)
    答:这根木料的体积是1.0048立方米,合1004.8立方分米。
    (2)

    =2.0096(平方米)
    =200.96(平方分米)
    答:这些木料的表面积比原木料增加了200.96平方分米。
    (3)1004.8×≈334.9(立方分米)
    答:这个圆锥的体积是334.9立方分米。
    【点睛】此题主要考查立体图形的切割、圆柱的体积以及圆柱的体积与圆锥的体积之间的关系。
    3.(2022·海南海口·小升初真题)把一个高为6厘米的圆柱体切割成若干等分,拼成一个近似的长方体。长方体的表面积比圆柱的表面积增加了48平方厘米,如下图,请求出原来圆柱体的表面积和体积。
    【答案】251.2平方厘米;301.44立方厘米
    【分析】根据题意,把一个圆柱切拼成一个近似长方体,那么长方体的长等于圆柱底面周长的一半,长方体的宽等于圆柱的底面半径,长方体的高等于圆柱的高;拼成的长方体的体积等于圆柱的体积,拼成的长方体的表面积比圆柱的表面积多了两个长方形的面积(长方体的左右面),长方形的宽等于圆柱的底面半径,长方形的长等于圆柱的高;
    先用增加的表面积除以2,求出一个长方形的面积,再除以高,即可求出长方体的底面半径;
    然后根据圆柱的表面积公式S表=S侧+2S底,其中S侧=2πrh,S底=πr2;圆柱的体积公式V=πr2h,代入数据计算求解。
    【详解】圆柱的底面半径:
    48÷2÷6
    =24÷6
    =4(厘米)
    圆柱的表面积:
    2×3.14×4×6+3.14×42×2
    =3.14×48+3.14×16×2
    =150.72+100.48
    =251.2(平方厘米)
    圆柱的体积:
    3.14×42×6
    =3.14×16×6
    =301.44(立方厘米)
    答:原来圆柱体的表面积是251.2平方厘米,体积是301.44立方厘米。
    【点睛】掌握圆柱切割拼接成长方体后,各部分元素间对应的关系,以及增加的表面积是哪些面的面积,并以此为突破口,利用公式列式计算。
    4.(2021·广东揭阳·小升初真题)把一个底面直径是12厘米的圆锥形木块,垂直于底面直径,分成两个形状、大小完全相同的木块后,表面积比原来增加了120平方厘米,这个圆锥形木块的体积是多少立方厘米?
    【答案】376.8立方厘米
    【分析】把圆锥形木块垂直于底面直径切开,切面是等腰三角形,表面积比原来增加两个等腰三角形的面积,等腰三角形的底是圆锥的底面直径,等腰三角形的高是圆锥的高,根据增加的表面积求出圆锥的高,再利用“”求出圆锥形木块的体积,据此解答。
    【详解】圆锥的高:120÷2×2÷12
    =60×2÷12
    =120÷12
    =10(厘米)
    圆锥的体积:×(12÷2)2×10×3.14
    =×36×10×3.14
    =12×10×3.14
    =120×3.14
    =376.8(立方厘米)
    答:这个圆锥形木块的体积是376.8立方厘米。
    【点睛】本题主要考查立体图形的切拼,根据增加部分的面积求出圆锥的高,并熟记圆锥的体积计算公式是解答题目的关键。
    【预测命题方向2】圆柱与圆锥的关系问题。
    1.(2023·云南德宏·小升初真题)把一个圆柱削成一个最大的圆锥,削去的体积是80cm3,则圆锥的体积是( )cm3,圆柱的体积是( )cm3。
    【答案】 40 120
    【分析】以圆柱的底面为底面,圆柱的高为高的圆锥是圆柱里面最大的圆锥,当圆柱和圆锥等底等高时,圆柱的体积是圆锥体积的3倍,圆锥的体积是圆柱体积的,把圆柱的体积看作单位“1”,圆锥的体积占圆柱体积的,削去部分体积占圆柱体积的(1-),圆柱的体积=削去部分的体积÷(1-),圆锥的体积=圆柱的体积×,据此解答。
    【详解】圆柱的体积:80÷(1-)
    =80÷
    =80×
    =120(cm3)
    圆锥的体积:120×=40(cm3)
    所以,圆锥的体积是40cm3,圆柱的体积是120cm3。
    【点睛】掌握等底等高的圆柱和圆锥之间的体积关系是解答题目的关键。
    2.(2023·河南洛阳·小升初真题)等底等高的圆柱和圆锥的体积差是40cm3,圆柱的体积是( )cm3,圆锥的体积是( )cm3。
    【答案】 60 20
    【分析】根据圆柱的体积公式V=Sh,圆锥的体积公式V=Sh可知,当圆柱和圆锥等底等高时,圆柱的体积等于圆锥体积的3倍;把圆锥的体积看作1份,则圆柱的体积是3份,相差(3-1)份;
    已知等底等高的圆柱和圆锥的体积差是40cm3,用体积差除以份数差,即可求出一份数,也就是圆锥的体积,再用圆锥的体积乘3,求出圆柱的体积。
    【详解】圆锥的体积:
    40÷(3-1)
    =40÷2
    =20(cm3)
    圆柱的体积:
    20×3=60(cm3)
    圆柱的体积是60cm3,圆锥的体积是20cm3。
    【点睛】本题考查等底等高圆柱和圆锥的体积之间的关系,利用差倍问题的解题方法解答。
    【对应练习】
    1.(2023·广西南宁·小升初真题)一个圆柱体的体积与它等底等高的圆锥体的体积之和是144m3,它们的体积之差是( )。
    【答案】72m3
    【分析】根据等底等高的圆柱体的体积等于圆锥体的体积的3倍,据此解答即可。
    【详解】据题意可知:
    V圆柱=3V圆锥
    V圆柱+V圆锥=144
    V圆锥=144÷(3+1)
    =144÷4
    =36(m3)
    V圆柱=36×3=108(m3)
    所以,它们的体积之差是:108-36=72(m3)
    【点睛】本题考查圆柱体的体积和圆锥体的体积之间的关系,关键要抓住等底等高这个条件。
    2.(2023·陕西延安·小升初真题)5月30日上午,神舟十六号载人飞船成功发射,延安苹果又一次随航天员去“天宫”。小温观看了神舟十六号载人飞船发射后,打算做一个火箭模型,他把棱长8厘米的正方体橡皮泥做成了组合在一起的等底等高的一个圆柱体和一个圆锥体(如图),这个圆柱体的体积是( )立方厘米,这个圆锥体的体积是( )立方厘米。
    【答案】 384 128
    【分析】首先根据正方体的体积公式:V=a3,求出这块橡皮泥的体积,因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍,所以等底等高的圆柱与圆锥的体积和相当于圆锥体积的(3+1)倍,根据已知一个数的几倍是多少,求这个数,用除法求出圆锥的体积,进而求出圆柱的体积。
    【详解】8×8×8÷(3+1)
    =8×8×8÷4
    =128(立方厘米)
    128×3=384(立方厘米)
    这个圆柱的体积是384立方厘米,这个圆锥的体积是128立方厘米。
    【点睛】此题主要考查正方体体积公式的灵活运用,等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用,关键是熟记公式。
    3.(2023·江苏徐州·小升初真题)一个圆柱和一个圆锥等底等高,它们的体积相差28立方厘米,圆锥的体积是( )立方厘米。
    【答案】14
    【分析】根据等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍,知道等底等高的圆柱的体积与圆锥的体积相差的量是圆锥体积的(3-1)倍,由此用28除以(3-1)就是圆锥的体积。
    【详解】28÷(3-1)
    =28÷2
    =14(立方厘米)
    圆锥的体积为14立方厘米。
    【点睛】本题主要是利用等底等高的圆柱的体积与圆锥的体积的关系解决问题。
    【预测命题方向3】等积变形问题。
    1.(2022·江西赣州·小升初真题)把一块长15分米、宽8分米、高20分米的长方体钢坯熔铸成一块底面周长是18.84分米圆柱体,这块圆柱体的高是多少?(得数保留整数)
    【答案】85分米
    【分析】根据长方体体积=长×宽×高,求出钢坯体积,确定圆柱底面半径,根据圆柱的高=体积÷底面积,列式解答即可,结果用四舍五入法保留近似数。
    【详解】15×8×20=2400(立方分米)
    18.84÷3.14÷2=3(分米)
    2400÷(3.14×32)
    =2400÷(3.14×9)
    =2400÷28.26
    ≈85(分米)
    答:这块圆柱体的高是85分米。
    【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体和圆柱体积公式。
    2.(2022·甘肃白银·小升初真题)一个圆锥形沙堆,底面积是28.26平方米,高是2.5高。用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面,能铺多少米?
    【答案】117.75米
    【分析】根据圆锥的体积公式:体积=底面积×高×,代入数据,求出圆锥形沙堆的体积,把铺公路看作一个长方体,长方体的体积等于圆锥形沙堆的体积,根据长方体体积公式:体积=长×宽×高,长=体积÷(宽×高),代入数据,即可解答。
    【详解】2厘米=0.02米
    28.26×2.5×÷(10×0.02)
    =70.65×÷0.2
    =23.55÷0.2
    =117.75(米)
    答:能铺117.75米。
    【点睛】熟练掌握和灵活运用长方体体积公式和圆锥的体积公式是解答本题的关键,注意单位名数的统一。
    3.(2023·江苏·小升初真题)如图所示,圆柱形容器甲是空的,正方形容器乙中水深6.28厘米,将容器乙中的水全部倒入容器甲中,这时水深多少厘米?

    【答案】8厘米
    【分析】根据长方体的体积公式:长×宽×高,把数代入公式即可求出水的体积;由于把这些水倒入圆柱形容器,那么水的体积不变,根据圆柱的提交公式:底面积×高,即用水的体积÷圆柱的底面积=水深,把数代入即可求解。
    【详解】10×10×6.28=628(立方厘米)
    628÷[3.14×(10÷2)2]
    =628÷[3.14×52]
    =628÷[3.14×25]
    =628÷78.5
    =8(厘米)
    答:这时水深是8厘米。
    【点睛】本题主要考查长方体的体积公式以及圆柱的体积公式,熟练掌握它们的公式并灵活运用。
    【对应练习】
    1.(2023·广西南宁·小升初真题)把一个长、宽、高分别是8厘米、4厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长为4厘米的正方体铁块熔铸成一个圆锥体。这个圆锥体的底面积是1.2平方分米,高是多少?
    【答案】4厘米
    【分析】由题意可知:圆锥的体积等于长方体铁块与正方体铁块的体积和。先根据“长方体的体积=长×宽×高”求出长方体铁块的体积;再根据“正方体的体积=棱长×棱长×棱长”求出正方体铁块的体积;再用长方体铁块的体积加上正方体铁块的体积求出圆锥的体积;最后根据“圆锥的高=圆锥的体积÷÷底面积”求出圆锥的高。
    【详解】1.2平方分米=120平方厘米
    8×4×3+4×4×4
    =96+64
    =160(立方厘米)
    160÷÷120
    =160×3÷120
    =480÷120
    =4(厘米)
    答:高是4厘米。
    【点睛】此题考查了长方体、正方体、圆锥的体积计算公式。解决此题关键是明确熔铸前后铁块的形状发生了变化,但体积不变。
    2.(2022·天津南开·小升初真题)把一根底面直径为12分米、高为5分米的圆柱形钢材,熔铸成一个高是12分米的圆锥,熔铸成的这个圆锥的底面积是多少平方分米?
    【答案】141.3平方分米
    【分析】已知圆柱形钢材的底面直径和高,根据圆柱的体积公式V=πr2h,求出这根钢材的体积;再把这根钢材熔铸成一个圆锥,钢材的形状变了,但体积不变;
    根据圆锥的体积公式V=Sh可知,圆锥的底面积S=3V÷h,代入数据计算,即可求出这个圆锥的底面积。
    【详解】钢材的体积:
    3.14×(12÷2)2×5
    =3.14×36×5
    =565.2(立方分米)
    圆锥的底面积:
    565.2×3÷12
    =1695.6÷12
    =141.3(平方分米)
    答:熔铸成的这个圆锥的底面积是141.3平方分米。
    【点睛】本题考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用,抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。
    3.(2023·广西河池·小升初真题)如图,一个底面内直径为2厘米,高为7厘米的瓶子,里面水的高度是4厘米,把瓶盖拧紧,倒置放平后,水的高度为5厘米,请你计算瓶子的容积是多少立方厘米?
    【答案】18.84立方厘米
    【分析】瓶子的容积=水的体积+空白部分的容积,倒置放平后,空白部分是个高(7-5)厘米的圆柱,根据圆柱体积=底面积×高,分别求出水的体积和空白部分的容积,相加即可。
    【详解】3.14×(2÷2)2×4+3.14×(2÷2)2×(7-5)
    =3.14×12×4+3.14×12×2
    =3.14×1×4+3.14×1×2
    =12.56+6.28
    =18.84(立方厘米)
    答:瓶子的容积是18.84立方厘米。
    【点睛】关键是利用转化思想,将不规则部分的容积转化为圆柱进行计算。
    【预测命题方向4】不规则或组合立体图形的表面积与体积。
    (2022·浙江湖州·小升初真题)下图是由一个正方体和半个圆柱组成的一个几何体。正方体的棱长是10厘米。求几何体的表面积和体积。(取3)
    【答案】725平方厘米;1375立方厘米
    【分析】几何体的表面积=正方体1个面的面积×5+圆柱底面积+圆柱侧面积÷2;几何体的体积=正方体体积+圆柱体积÷2,据此列式解答。
    【详解】10×10×5+3×(10÷2)2+3×10×10÷2
    =500+3×25+150
    =500+75+150
    =725(平方厘米)
    10×10×10+3×(10÷2)2×10÷2
    =1000+3×25×5
    =1000+375
    =1375(立方厘米)
    答:几何体的表面积是725平方厘米,体积是1375立方厘米。
    【点睛】关键是掌握并灵活运用正方体和圆柱的表面积和体积公式。
    【对应练习】
    1.(2023·湖北黄冈·小升初真题)求下图的表面积和体积。(单位:厘米)
    【答案】表面积是30.28平方厘米;体积是9.57立方厘米
    【分析】观察题意可知,在正方体上面放一个圆柱体,立体图形的表面积比正方体多了一个圆柱的侧面积,根据正方体的表面积公式:V=6a2,圆柱的侧面积公式:S=πdh,用6×2×2+3.14×1×2即可求出立体图形的表面积。根据正方体的体积公式:V=a3,圆柱的体积公式:V=πr2h,用2×2×2+3.14×(1÷2)2×2即可求出立体图形的体积。据此解答。
    【详解】6×2×2+3.14×1×2
    =24+6.28
    =30.28(平方厘米)
    立体图形的表面积是30.28平方厘米。
    2×2×2+3.14×(1÷2)2×2
    =2×2×2+3.14×0.52×2
    =2×2×2+3.14×0.25×2
    =8+1.57
    =9.57(立方厘米)
    立体图形的体积是9.57立方厘米。
    2.(2022·浙江绍兴·小升初真题)下图的零件由长方体和圆锥体构成,求零件的体积。
    【答案】44.56立方厘米
    【分析】零件的体积等于长方体的体积加上圆锥的体积,根据圆锥的体积公式:,长方体的体积公式:,把数据代入公式,求出它们的体积和即可。
    【详解】4×4×2+×3.14×(4÷2)2×3
    =16×2+×3.14×4×3
    =32+12.56
    =44.56(立方厘米)
    所以,零件的体积是44.56立方厘米。
    3.(2022·湖北黄冈·小升初真题)立体图形的测量。
    2022年北京冬奥会项目设有单板滑雪U形池赛,其U形池简化模型示意图如下,形状可看为一个长方体中挖去了半个圆柱体(沿高平分)。已知冬奥会标准形池规格:长为120米,宽为20米,高为3.5米,其中挖圆柱体的底面圆半径为6米。现请你作为设计师给U形池表面涂色(只涂内壁、左右面和前后面,不包括底面和上沿)。
    (1)问涂色部分的面积多大?
    (2)该U形池所占空间大小?
    【答案】(1)3127.76平方米
    (2)1617.6立方米
    【分析】(1)涂色部分的面积=圆柱侧面积的一半+长×高×2+宽×高×2-圆柱底面积,据此列式解答;
    (2)U形池的体积=长方体体积-圆柱体积的一半,长方体体积=长×宽×高,圆柱体积=底面积×高。
    【详解】(1)2×3.14×6×120÷2+120×3.5×2+20×3.5×2-3.14×62
    =2260.8+840+140-113.04
    =3127.76(平方米)
    答:涂色部分的面积有3127.76平方米。
    (2)120×20×3.5-3.14×62×120÷2
    =8400-6782.4
    =1617.6(立方米)
    答:该U形池所占空间1617.6立方米。
    【点睛】关键是看懂图示,掌握长方体和圆柱的表面积和体积公式。
    【预测命题方向5】排水法求不规则立体图形的体积。
    (2023·河南三门峡·小升初真题)笑笑在一个长方体的玻璃容器中装了一些水,他把一个底面半径为4厘米的圆柱形铁块完全浸入水中,发现水面上升了8厘米。他又把这个铁块垂直拉出水面5厘米,这时水面下降2厘米(如下图所示,玻璃厚度忽略不计)。
    (1)这个铁块露出水面部分的体积是多少?(π取3)
    (2)这个铁块的体积是多少?(π取3)
    (3)这个铁块的体积占玻璃容器容积的几分之几?
    【答案】(1)240立方厘米
    (2)960立方厘米
    (3)
    【分析】(1)求这个铁块露出水面部分的体积是多少,就是求底面半径是4厘米,高是5厘米的圆柱体的体积,根据圆柱的体积=底面积×高即可解答;
    (2)求这个铁块的体积是多少,先用铁块露出水面部分的体积除以2求出长方体的玻璃容器的底面积,再乘8即可解答;
    (3)求这个铁块的体积占玻璃容器容积的几分之几,就可以求上升了8厘米的高度是长方体的玻璃容器的高度几分之几,所以用除法即可解答。
    【详解】(1)3×42×5
    =48×5
    =240(立方厘米)
    答:这个铁块露出水面部分的体积是240立方厘米。
    (2)240÷2×8
    =120×8
    =960(立方厘米)
    答:这个铁块的体积960立方厘米。
    (3)8÷30=
    答:这个铁块的体积占玻璃容器容积的。
    【点睛】本题考查了利用长方体、圆柱体的体积公式解决实际问题的能力。
    【对应练习】
    1.(2021·贵州贵阳·小升初真题)一个小圆锥体玩具被芳芳一不小心掉进了一个底面积为3平方分米,高4分米的圆柱体量杯中,她发现正好水面上升了1分米。你能求出这个小圆锥体玩具的体积吗?
    【答案】3立方分米
    【分析】小圆锥体玩具的体积等于上升部分水的体积,上升部分水的体积=量杯的底面积×上升部分水的高度,据此解答。
    【详解】3×1=3(立方分米)
    答:这个小圆锥体玩具的体积是3立方分米。
    【点睛】熟记圆柱的体积计算公式并把圆锥体玩具的体积转化为上升部分水的体积是解答题目的关键。
    2.(2023·河南驻马店·小升初真题)一个圆柱形玻璃缸,底面直径是6分米,高40厘米,水深25厘米,把一个底面半径是2分米的圆锥完全浸没在水中,水面上升到27厘米,这个圆锥的高是多少厘米?
    【答案】13.5厘米
    【分析】圆锥完全浸没在水里后,圆锥的体积=水面上升的体积,水面上升的体积可看作底面直径是6分米,高为(27-25)厘米的圆柱的体积,根据圆柱的体积公式,把数据代入即可求出水面上升的体积,即这个圆锥的体积,再根据圆锥的体积公式,即可这个求出圆锥的高。
    【详解】6分米=60厘米
    3.14×(60÷2)2×(27-25)
    =3.14×302×2
    =3.14×900×2
    =5652(立方厘米)
    2分米=20厘米
    5652÷÷(3.14×202)
    =5652×3÷(3.14×400)
    =16956÷1256
    =13.5(厘米)
    答:这个圆锥的高是13.5厘米。
    【点睛】此题的解题关键是通过转化的数学思想,灵活运用圆柱和圆锥的体积公式,解决问题。
    3.(2021·四川乐山·小升初真题)在一个底面直径是10厘米,高是8厘米的圆柱形杯内倒入水,水面高6厘米,把一个小铁块全部浸入水中,水满后还溢出了15毫升,这个小铁块的体积是多少立方厘米?
    【答案】172立方厘米
    【分析】根据题意可知,小铁块全部浸入水中,小铁块的体积=圆柱上部未注满水部分的体积+溢出水的体积,根据圆柱的体积公式:V=,代入数据求出未注满水部分的体积,再把15毫升换算成15立方厘米,加上这部分体积,即可求出这个小铁块的体积。
    【详解】15毫升=15立方厘米
    3.14×(10÷2)2×(8-6)+15
    =3.14×52×2+15
    =3.14×25×2+15
    =157+15
    =172(立方厘米)
    答:这个小铁块的体积是172立方厘米。
    【点睛】此题的解题关键是掌握不规则物体的体积的计算方法,通过转化的数学思想,灵活运用圆柱的体积公式,解决问题。
    【题型命题猜想06】比和比例综合—按比例分配问题、比例的实际应用与不变量问题。
    【命题说明】
    运用比和比例知识解决实际问题是小升初必考内容之一,掌握比和比例的基础知识与运算方法是解决相关实际问题的基础,涉及比方面的问题主要以按比例分配问题为主,而在比例方面则主要以正比例与反比例的基本关系和生活实际应用为主,需要注意的是比和比例相关问题常常结合分数、百分数知识进行综合考察,因此,熟练掌握分数百分数的基本应用题型也是解决该类问题的重要基础。
    【预测命题方向1】求比综合。
    1.(2022·江苏镇江·小升初真题)小华读一本书,已经读了全书的65%,已经读的页数与未读页数的比是( ),还剩下全书的没有读。
    【答案】13∶7;
    【分析】将这本书总页数看作单位“1”,先用“1”减去65%,求出未读的页数占总页数的百分率;然后求出65%与(1-65%)的比,并化成最简整数比;化简比根据比的基本性质作答,即比的前项和后项同时乘或除以一个数(0除外),比值不变;最后将未读的页数占总页数的百分率化成分数即可。百分数化为分数,分母为100,分子是百分号前面的数,能约分的要约分。
    【详解】65%∶(1-65%)
    =0.65∶0.35
    =(0.65×20)∶(0.35×20)
    =13∶7
    1-65%=35%
    35%=
    已经读的页数与未读页数的比是13∶7,还剩下全书的没有读。
    【点睛】解答本题需熟练掌握比的意义和化简比的方法,明确分数与百分数之间的关系。
    2.(2022·河南新乡·小升初真题)两个正方形边长的比是2∶3,周长的比是( ),面积的比是( )。
    【答案】 2∶3 4∶9
    【分析】正方形周长=边长×4,正方形面积=边长×边长,两个正方形的边长比=周长比,边长比前后项分别平方以后的比是面积比,据此分析。
    【详解】22∶32=4∶9
    两个正方形边长的比是2∶3,周长的比是2∶3,面积的比是4∶9。
    【点睛】关键是理解比的意义,掌握并灵活运用正方形周长和面积公式。
    3.(2022·天津南开·小升初真题)一条路,甲行全程要用1.5小时,乙行全程的要用小时,则甲与乙的速度的最简整数比是( )。
    【答案】16∶15
    【分析】把一段路程的长度看作“1”,根据路程÷时间=速度,分别求出甲乙的速度,再写出相应的比,根据比的基本性质化成最简整数比。
    【详解】(1÷1.5)∶(÷)


    =∶
    =()∶()
    =16∶15;
    所以甲与乙的速度的最简整数比是16∶15.
    【点睛】关键是要把路程的长度看作单位“1”以及熟练掌握路程、速度、时间三者之间的关系
    【对应练习】
    1.(2022·天津南开·小升初真题)一个圆柱和一个圆锥的底面周长之比是2∶3,圆锥的高比圆柱的高多,则圆锥与圆柱的体积之比是( )。
    【答案】5∶4
    【分析】圆柱体积=πr2h,圆锥体积=πr2h,底面周长=2πr。一个圆柱和一个圆锥的底面周长之比是2∶3,则它们的底面半径比是2∶3,可设圆柱和一个圆锥的底面半径分别为2和3。圆锥的高比圆柱的高多,圆柱高为“1”,则圆锥高为。据此可得出答案。
    【详解】一个圆柱和一个圆锥的底面周长之比是2∶3,则它们的底面半径比是2∶3,可设圆柱和一个圆锥的底面半径分别为2和3。则圆锥的体积:
    ×π×32×
    =×π×9×
    =5π;
    圆柱体积为:π×22×1=4π
    即圆锥和圆柱的体积之比为:
    【点睛】本题主要考查的是圆柱、圆锥的体积及比的应用,解题的关键是熟练掌握圆柱、圆锥的体积公式,进而得出答案。
    2.(2022·湖南永州·小升初真题)一项劳动任务,小明独做小时完成,小华独做小时完成,小明、小华的工作效率最简整数比是( )。
    【答案】4∶3
    【分析】把这项劳动任务的工作量看作“1”,根据“工作效率=工作量÷工作时间”分别求出小明、小华的工作效率,再根据比的意义即可得出小明、小华的工作效率比。
    【详解】(1÷):(1÷)=4∶3
    所以,小明、小华的工作效率最简整数比是4∶3。
    【点睛】此题考查了比的意义及化简。关键是根据工作量、工作时间、工作效率三者之间的关系求出二人的工作效率。
    3.(2022·广东梅州·小升初真题)李医生在两个相同的杯子里装满了酒精溶液,一个杯子中酒精与水的体积比是3∶2,另一个杯子中酒精与水的体积比是2∶1,若把两瓶酒精溶液混合,则混合后的酒精与水的体积比是( )。
    【答案】19∶11
    【分析】根据题意,第一个杯子,酒精与水的体积比是3∶2,酒精占杯子容量的,水占杯子容量的;第二个杯子,酒精与水的体积比是2∶1,酒精占杯子容量的,水占杯子容量的;最后将两杯酒精所占的份数相加比两杯水所占份数的和。
    【详解】()∶()
    =()∶()
    =∶
    =19∶11
    所以,混合后的酒精与水的体积比是19∶11。
    【点睛】本题考查比的应用,关键要抓住混合前后酒精与水的体积变化关系。
    【预测命题方向2】按比例分配问题。
    1.(2023·四川成都·小升初真题)深圳某小学在“献爱心——为贵州贫困地区捐款”活动中,六年级五个班共捐款6300元,其中一班捐款1400元,二班比一班少捐款100元,三班捐款数是年级总数的20%,四班与五班捐款数之比是。求四班捐款多少元?
    【答案】1080元
    【分析】二班捐款比1400元少100元,用减法求出二班捐款数;三班捐款数是6300元的20%,用百分数乘法计算;用总钱数减去三个班捐款的钱数,从而可得四班五班捐款的总数是多少;四班与五班捐款数之比是6∶7,即把四班与五班捐款总数平均分成13份,四班与五班各占6份与7份,用总钱数除以13即可求出一份是多少钱,再乘四班捐款的份数,据此解答。
    【详解】二班捐款:1400-100=1300(元)
    三班捐款:6300×20%=1260(元)
    四班五班捐款:
    6300-(1400+1300+1260)
    =6300-3960
    =2340(元)
    四班捐款:
    2340÷(6+7)×6
    =2340÷13×6
    =180×6
    =1080(元)
    答:四班捐款1080元。
    【点睛】本题考查百分数的乘法计算及按比分配问题的解答。
    2.(2023·福建福州·小升初真题)甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向开往对方出发地。已知甲车和乙车速度的比是2∶3。
    (1)经过2.5小时两车相遇,相遇时甲车还剩全程的几分之几?
    (2)两车在相遇后继续前行,当乙车行到全程的时,甲车距离B地还有210千米。AB两地相距多少千米?
    【答案】(1)(2)450千米
    【分析】(1)已知甲车和乙车速度的比是2∶3,那么在相同的时间内,他们行驶的路程比是2∶3。把全程看作单位“1”,则相遇时甲车行驶了全程的,用1减去即可求出相遇时甲车还剩全程的几分之几。
    (2)在相同的时间内,甲车和乙车行驶的路程比是2∶3,则甲车行驶的路程是乙车的。当乙车行到全程的时,甲车行了全程的×=。把两地的全长看作单位“1”,则甲车距离B地还有(1-),已知甲车距离B地还有210千米,用210除以(1-)即可求出AB两地相距多少千米。
    【详解】(1)1-
    =1-

    答:相遇时甲车还剩全程的。
    (2)×=
    210÷(1-)
    =210÷
    =210×
    =450(千米)
    答:AB两地相距450千米。
    【对应练习】
    1.(2023·甘肃金昌·小升初真题)根据下表的信息,计算如果要配制300克色拉酱,需要色拉油多少克?
    每100克色拉酱的配方表
    【答案】180克
    【分析】据题意,每100克色拉酱中,色拉油∶醋∶酱油=60∶30∶10=6∶3∶1,根据总质量,按比例分配即可计算出需要的色拉油的用量。
    【详解】由分析可得,色拉油∶醋∶酱油=6∶3∶1
    色拉油:

    =(克)
    答:要配制300克色拉酱,需要色拉油180克。
    【点睛】本题考查按比例分配,关键是要找准各种量对应的最简整数比。
    2.(2022·天津南开·小升初真题)在一幅比例尺是的地图上,量得一条路的长度是4厘米。甲、乙两个施工队同时从这条路的两头开始施工,若干天后修完。已知甲、乙两个施工队的工作效率比是,甲施工队比乙施工队多修了多少千米?
    【答案】4千米
    【分析】先利用公式实际距离=图上距离÷比例尺求出这条路的实际长度;因为甲、乙两个施工队的工作效率比是,则甲施工队完成了全部工作的,乙施工队完成了全部工作的,分别求出甲、乙两队具体的工作总量,相减即可。
    【详解】4÷
    =4×500000
    =2000000(厘米)
    =20(千米)
    20×-20×
    =20×-20×
    =12-8
    =4(千米)
    答:甲施工队比乙施工队多修了4千米。
    【点睛】明确图上距离和实际距离的转换方法是解题的关键,注意单位是否统一。
    3.(2023·河南洛阳·小升初真题)数学实践课上老师布置了这样两个作业:
    请你把一个棱长总和为96厘米,且长、宽、高的比是3∶4∶5的长方体石蜡块,削成一个最大的圆锥体,然后把这个圆锥体完全浸入一个装满水的圆柱形容器中,圆锥的底面直径是圆柱形容器底面直径的。1分钟后把圆锥体状的石蜡块从水中取出。
    作业一:问最大的圆锥体积是多少立方厘米?
    作业二:1分钟后把圆锥体蜡块从水中取出时,水面下降了几厘米?
    【答案】作业一:100.48立方厘米;
    作业二:0.5厘米
    【分析】作业一:长方体的棱长和=(长+宽+高)×4,据此用96÷4求出长、宽、高的和是24厘米;再把24厘米按3∶4∶5分配分别求出长是6厘米、宽8厘米、高是10厘米;圆锥的体积,据此分别求出以10厘米、8厘米、6厘米为高的圆锥的体积,从而得到最大的圆锥体积。
    作业二:先用圆锥的底面直径÷求出圆柱形容器的底面直径;再根据圆的面积求出圆柱形容器的底面积;把这个圆锥体完全浸入一个装满水的圆柱形容器中,溢出的水的体积等于圆锥体蜡块的体积,圆柱的体积=底面积×高,据此用溢出的水的体积÷圆柱形容器的底面积即可求出水面下降了几厘米。
    【详解】作业一:
    96÷4=24(厘米)
    长:24×
    =24×
    =6(厘米)
    宽:24×
    =24×
    =8(厘米)
    高:24×
    =24×
    =10(厘米)



    =94.2(立方厘米)


    =75.36(立方厘米)

    =100.48(立方厘米)
    100.48>94.2>75.36
    答:最大的圆锥体积是100.48立方厘米。
    作业二:

    =8×2
    =16(厘米)
    3.14×(16÷2)2
    =3.14×82
    =3.14×64
    =200.96(平方厘米)
    100.48÷200.96=0.5(厘米)
    答:水面下降了0.5厘米。
    【点睛】此题主要考查了长方体的棱长和、按比分配、圆锥的体积公式、圆柱的体积公式的应用。
    【预测命题方向3】比与分数(百分数)综合应用。
    (2022·浙江绍兴·小升初真题)“货拉拉”运一堆货物。第一天运了全部的,第二天运了60吨,这时已经运的吨数与剩下的吨数之比是5∶3。两天一共运了多少吨?
    【答案】100吨
    【分析】把这一堆货物的吨数看作单位“1”,运了两天后已经运的吨数与剩下的吨数之比是5∶3,则第二天运的吨数占总数的();根据分数除法的意义,用60吨除以()求出这堆货物的总吨数,再乘求出第一天运的吨数,再加上第二天运的60吨,所得结果即为两天一共运的吨数。
    【详解】
    (吨)
    答:两天一共运了100吨。
    【点睛】解答本题的关键是把比转化成分数,进而求出60吨占总吨数的几分之几,再根据分数除法和分数乘法的意义进行解答
    【对应练习】
    1.(2023·吉林·小升初真题)一辆汽车从甲地开往乙地,第一天行驶路程与未行驶路程的比是2∶5,第二天行驶了210千米正好到达两地的中点,还需要行驶多少千米就可以到达乙地?
    【答案】490千米
    【分析】第一天行驶路程与未行驶路程的比是2∶5,假设行驶的路程是2份,没有行驶的路程是5份,则行驶的路程占总路程的;210千米对应的就是全程的-,用210÷(-)即可求出全程有多少千米,因为第二天刚好走到中点,则剩下的路程是总路程的一半,用总路程÷2即可求出剩下需要行驶多少千米。
    【详解】210÷(-)÷2
    =210÷÷2
    =210×÷2
    =980÷2
    =490(千米)
    答:还需要行驶490千米就可以到达乙地。
    【点睛】此题考查分数除法的应用,明确210千米所对应的分率是解题的关键。
    2.(2023·江苏泰州·小升初真题)新能源汽车配件厂家加工一批配件,第一天完成了总数的35%,第二天加工了1200个,这时已完成的和未完成的配件比是3∶2。
    (1)加工的这批配件一共有多少个?
    (2)如果剩下的配件需要在8小时完成,平均每小时加工多少个?
    【答案】(1)4800个
    (2)240个
    【分析】(1)可以用方程解,设这批配件一共有x个,由题意可得到等量关系式:第一天加工的数量+第二天加工的数量=已经加工的数量,其中用总数量x乘35%即为第一天完成的量,这批配件总份数为(3+2)份,已完成的量占总量的,再用总量x乘即可得到已完成的量,再根据等量关系式解方程解答即可;
    (2)剩下的配件数量占总数量的,先用配件总数量乘即可得到剩下配件的数量,再除以8即可算出平均每小时加工的配件个数。
    【详解】(1)解:设这批配件一共有x个。
    35%x+1200=x
    0.35x+1200=0.6x
    0.35+1200-0.35x=0.6x-0.35x
    0.25x=1200
    x=4800
    答:这批配件一共有4800个。
    (2)4800×÷8
    =4800××
    =240(个)
    答:平均每小时加工240个。
    【点睛】本题考查解含有一个未知数的问题,找到等量关系是关键。
    3.(2023·福建莆田·小升初真题)甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行,出发时他们的速度比是6∶5,相遇后,甲的速度减少了25%,乙的速度提高了20%,这样,当乙到达A地时,甲离B地还有25千米。求A、B两地的距离是多少千米?
    【答案】550千米
    【分析】相遇时甲、乙两人所行的路程比为6∶5,相遇后甲速度∶乙速度=[6×(1-25%)]∶[5×(1+20%)]=3∶4,乙从相遇点到达A时行了全程的,则甲行了全程的(×=),进一步计算出甲离B地的25千米是全程的(1--),据此根据已知数÷对应分率=单位“1”,求出A、B两地的距离。
    【详解】相遇后甲、乙的速度比:
    [6×(1-25%)]∶[5×(1+20%)]
    =[6×75%]∶[5×120%]
    =[6×0.75]∶[5×1.2]
    =4.5∶6
    =(4.5÷1.5)∶(6÷1.5)
    =3∶4
    相遇后甲行的路程:
    ×


    A、B两地的路程:
    25÷(1--)
    =25÷(1--)
    =25÷(-)
    =25÷(-)
    =25÷
    =25×22
    =550(千米)
    答:A、B两地的路程是550千米。
    【预测命题方向4】正比例与反比例关系判断。
    1.(2023·河南洛阳·小升初真题)请填“正”或“反”。
    (1)圆柱的体积一定,圆柱的高和底面积成( )比例关系。
    (2)数学书的单价一定,购买数学书的总价和数量成( )比例关系。
    【答案】(1)反
    (2)正
    【分析】判断两种量成正比例还是成反比例,关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。如果比值一定,就成正比例;如果乘积一定,就成反比例;如果比值和乘积都不是定量,就不成比例。
    【详解】(1)因为圆柱的高×底面积=圆柱的体积(一定),所以圆柱的体积一定,圆柱的高和底面积成反比例关系。
    (2)因为,所以数学书的单价一定,购买数学书的总价和数量成正比例关系。
    【点睛】明确正、反比例的意义是解决此题的关键。
    2.(2023·云南德宏·小升初真题)如果x∶y=6(x、y均不为0),那么x和y成( )比例关系;如果x∶1.4=1.7∶y(x、y均不为0),那么x和y成( )比例关系。
    【答案】 正 反
    【分析】在比例中,两个内项的乘积等于两个外项的乘积;判断两种相关联的量之间成什么比例,就看这两个量是对应的比值(商)一定,还是乘积一定;如果是比值(商)一定,则成正比例;如果是乘积一定,则成反比例,据此解答。
    【详解】分析可知,如果x∶y=6(一定),那么x和y成正比例关系;如果x∶1.4=1.7∶y,则xy=1.4×1.7=2.38(一定),那么x和y成反比例关系。
    【点睛】此题属于辨识正反比例关系,就看这两个量是对应的比值(商)一定,还是乘积一定,再做判断。
    【对应练习】
    1.(2023·河南周口·小升初真题)a、b是两个相关联的量,且均不等于0。如果,那么a与b成( )比例;如果,那么a与b成( )比例。
    【答案】 正 反
    【分析】判断两种量成正比例还是成反比例,关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。如果比值一定,就成正比例;如果乘积一定,就成反比例;如果比值和乘积都不是定量,就不成比例。
    【详解】根据等式的性质2,在的两边同时除以b,可得。因为,所以a与b成正比例。
    根据等式的性质2,先在的两边同时乘b,可得3ab=;再在3ab=的两边同时除以3,可得ab=。因为ab=(一定),所以a与b成反比例。
    【点睛】解决此类问题关键是把算式转化成一个等于“一定量”的算式。如果是除法,并且商一定,那么就成正比例;如果是乘法,并且积一定,那么就成反比例。
    2.(2022·江苏无锡·小升初真题)在车辆行驶运动过程中,路程一定时,行驶的速度和时间成( )比例;同一时间、同一地点,物体的高度和影长成( )比例。
    【答案】 反 正
    【分析】比值一定的两个量成正比例关系,乘积一定的两个量成反比例关系。据此分析解题。
    【详解】速度×时间=路程(一定),那么在车辆行驶运动过程中,路程一定时,行驶的速度和时间成反比例;
    影子长度÷物体的高度=每米物体的影长(一定),那么同一时间、同一地点,物体的高度和影长成正比例。
    【点睛】本题考查了正比例和反比例,掌握正比例和反比例的意义是解题的关键。
    3.(2022·四川成都·小升初真题)下面各种关系中,成反比例关系的是( )。
    A.三角形面积一定,它的底和高B.圆的面积一定,它的半径平方与圆周率
    C.速度一定时,行驶的路程和时间D.平行四边形的高一定,它的面积和底
    【答案】A
    【分析】判断两种相关联的量成不成比例,成什么比例,就看这两种量是对应的比值一定,还是对应的乘积一定,如果是比值一定,就成正比例,如果是乘积一定,就成反比例,如果是其它的量一定或乘积、比值不一定,就不成比例。
    【详解】A.三角形的面积=底×高÷2,若三角形面积一定,则它的底×高的积一定,所以它的底和高成反比例关系,符合题意;
    B.因为圆周率是一个定值,根据圆的面积公式:S=πr2可知:圆的面积一定,它的半径平方也是定值,所以圆的面积一定,它的半径平方与圆周率不成比例,不符合题意;
    C.速度=路程÷时间,当速度一定时,行驶的路程和时间的比值一定,所以速度一定时,行驶的路程和时间成正比例关系,不符合题意;
    D.由平行四边形的面积=底×高可知:高=平行四边形的面积÷底。当平行四边形的高一定,它的面积和底的比值一定,所以平行四边形的高一定,它的面积和底成正比例关系,不符合题意。
    故答案为:A
    【点睛】此题属于根据正、反比例的意义,辨识两种相关联的量成不成比例,成什么比例,就看这两种量是否都是变量,且对应的比值一定,或是对应的乘积一定,再做出判断。
    【预测命题方向5】比例尺解决实际问题。
    (2022·广东清远·小升初真题)在一幅比例尺是的地图上,量得A、B两地相距7.2厘米,一辆客车和一辆货车分别从A、B两地同时相对开出,客车每时行驶80千米,货车每时行驶70千米。经过几时两车相遇?
    【答案】9.6时
    【分析】根据比例尺的意义,1厘米表示200千米,据此用200×7.2即可求出7.2厘米的实际距离,再根据相遇时间=路程和÷速度和,用A、B两地的实际距离除以两车的速度和,即可求出相遇时间。
    【详解】1厘米表示200千米;
    200×7.2=1440(千米)
    1440÷(80+70)
    =1440÷150
    =9.6(小时)
    答:经过9.6时两车相遇。
    【点睛】本题主要考查了图上距离和实际距离的换算以及相遇问题的应用。
    【对应练习】
    1.(2023·山西临汾·小升初真题)在比例尺是1∶4000000的地图上,A、B两地的距离是5厘米,两辆汽车同时从A、B两地相对开出,一辆汽车每小时行35千米,另一辆汽车每小时行45千米,几小时可以相遇?
    【答案】2.5小时
    【分析】先根据实际距离=图上距离÷比例尺,求出两地的实际距离,把求出的实际距离的厘米单位除以100000得出以千米为单位的实际距离,再根据相遇时间=路程÷速度和,代入数据计算即可。
    【详解】由分析可得:
    5÷=5×4000000=20000000(厘米)
    20000000厘米=200千米
    200÷(35+45)
    =200÷80
    =2.5(小时)
    答:2.5小时可以相遇。
    【点睛】本题解题考查了通过比例尺和图上距离求实际距离,以及路程、时间、速度三者之间的关系,解题的过程一定要把单位统一。
    2.(2023·山东·小升初真题)“美味烧烤,时尚享受。”A城有一块长方形地,长与宽的比是。按照的比例尺画在图上,其周长为28厘米。计划在这块地上建一片烧烤区域,烧烤区域的面积是这块地的60%。烧烤区域的面积是多少平方米?
    【答案】11520平方米
    【分析】按照的比例尺画在图上,其周长为28厘米,则在图上的长+宽=14厘米,已知长与宽的比是,根据按比分配原则可求出图上的长方形长和宽;再运用实际距离=图上距离÷比例尺,可计算出长方形实际的长、宽,运用烧烤区域面积=长×宽×60%,可计算得出答案。
    【详解】长方形地的实际长为:
    (厘米)
    =160米;
    宽为:
    (厘米)
    =120米;
    烧烤区域面积:
    (平方米)
    答:烧烤区域的面积是11520平方米。
    【点睛】本题主要考查的是分数乘除法、比例尺的应用,解题的关键是熟练掌握比例尺的计算,进而得出答案。
    3.(2022·广西南宁·小升初真题)南京市出租车的计价标准如下:3千米以内(含3千米)9元;超过3千米,超过部分按每千米2.4元(不足1千米的按1千米计算)收费。问小明从家出发,乘坐出租车到图书馆,需要付多少元车费?(比例尺为1∶250000)
    【答案】49.8元
    【分析】小明从家出发,乘坐出租车到图书馆的图上距离是(5+3)厘米,根据图上距离÷比例尺=实际距离,求出从小明家到图书馆的实际距离为20千米,超过3千米有(20-3)千米,用超过的距离乘超过部分的收费标准2.4元,即可求出超出部分收费的车费,再加上9元,即可求出需要付多少元车费。
    【详解】(5+3)÷
    =8×250000
    =2000000(厘米)
    2000000厘米=20千米
    (20-3)×2.4+9
    =17×2.4+9
    =40.8+9
    =49.8(元)
    答:需要付49.8元车费。
    【点睛】此题的解题关键是掌握图上距离和实际距离之间的换算以及分段收费的解决方法。
    【预测命题方向6】正比例和反比例解决实际问题。
    1.(2023·福建莆田·小升初真题)柠檬含有丰富的维生素、微量元素等,常喝柠檬水有好处。小明和小红都按相同的比例配制柠檬水,小明用10克柠檬加入300毫升的水配制,则小红用16克柠檬需要加多少毫升的水呢?(用比例知识解答)
    【答案】480毫升
    【分析】将小红需要加水的量设为未知数,再根据柠檬和水的比一定列出比例,再解比例即可。
    【详解】解:设小红需加水x毫升。
    10∶300=16∶x
    10x=300×16
    10x÷10=300×16÷10
    x=480
    答:需要加480毫升的水。
    2.(2024·辽宁·小升初模拟)一位打字员打一本书稿,如果每天打18页,15天可以打完。若要10天打完,每天应打多少页?(用比例解答)
    【答案】27页
    【分析】根据题意知道,一本书的总页数一定,即总工作量一定,工作效率和工作时间成反比例,关系式是:原来每天打字字数×时间=现在每天打字字数×时间,由此列式解答即可。
    【详解】解:设每天打页。
    270=10x
    10x÷10=270÷10
    答:每天打27页。
    3.(2023·云南昭通·小升初真题)下表是小刚做“弹簧的伸长与它所受的拉力关系”的探究实验记录表。(弹性限度:拉力不超过30牛顿。)
    (1)在弹性限度内,弹簧的伸长与它所受的拉力成正比例关系吗?你是依据什么作出判断的?
    (2)小刚又做了一次实验来验证这一规律,结果弹簧伸长了6厘米,那么弹簧所受的拉力是多少牛顿?(用比例解决)
    【答案】(1)成正比例关系;拉力与弹簧的伸长的比值不变
    (2)15牛顿
    【分析】(1)在弹性限度内,问弹簧的伸长与它所受的拉力是否成正比例关系,根据记录表,可以算出几组数中所受拉力与弹簧伸长的比值,看它们的比值是否相等,如果比值相等就成正比例关系,反之则不成正比例关系,据此解答。
    (2)根据在弹性限度内,弹簧的伸长与它所受的拉力成正比例关系,结合实验记录表中数据,设弹簧伸长了6厘米,弹簧所受的拉力为未知数,列出比例式,然后解比例即可求解。
    【详解】(1)据题意,分析数据:;;;……(弹性限度:拉力不超过30牛顿。)
    由数据可知:拉力与弹簧的伸长的比值不变,所以,弹簧的伸长与它所受的拉力成正比例关系。
    (2)解:设弹簧伸长了6厘米,弹簧所受的拉力为。
    答:弹簧伸长了6厘米,弹簧所受的拉力为15牛顿。
    【点睛】本题考查正比例问题,熟练掌握正比例的意义判断两个量是否成正比例关系和正确解比例是解题的关键。
    【对应练习】
    1.(2023·河南周口·小升初真题)一列由武汉开往上海的动车,出发,到达南京,武汉到南京的铁路大约长500千米,按照这样的速度,从武汉到上海大约需要多少小时?(列比例解答)

    【答案】4小时
    【分析】因为,所以路程和时间成正比例。设从武汉到上海大约需要x小时,可根据数量关系列出比例解答。
    【详解】到共经过了2.5小时。
    解:设从武汉到上海大约需要小时。

    答:从武汉到上海大约需要4小时。
    【点睛】用比例知识解决问题关键是找到不变的量,只要两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定,就可以用正比例知识解答;只要两种相关联的量中相对应的两个数的乘积一定,就可以用反比例知识解答。
    2.(2023·四川凉山·小升初真题)一间房子要用方砖铺地,如果用面积是16平方分米的方砖铺要200块,如果改用边长是8分米的方砖来铺,需要多少块?(用比例解)
    【答案】50块
    【分析】根据题意可知,每块方砖的面积×块数=地面的面积(一定),所以每块方砖的面积和块数成反比例,根据正方形的面积公式,设用边长是8分米的方砖铺地,需要x块,列方程为8×8×x=16×200,然后解出方程即可。
    【详解】解:设需要x块。
    8×8×x=16×200
    64x=3200
    x=3200÷64
    x=50
    答:需要50块。
    【点睛】本题主要考查了反比例的应用,明确相关的量是正比例还是反比例是解答本题的关键。
    3.(2023·陕西延安·小升初真题)如表是某辆汽车所行路程及其对应耗油量的数值。
    (1)表中的耗油量与所行路程成正比例吗?为什么?
    (2)在图中描出每组所行路程和耗油量所对应的点,然后把这些点依次连起来。估计一下,汽车行驶80千米的耗油量是多少?
    【答案】(1)成正比例;因为耗油量与所行路程的比值一定;(2)见详解;10升
    【分析】(1)根据表格中的数据可知,耗油量与所行路程的比值一定,所以成正比例。
    (2)根据表格中的数据依次描出各点,再连接即可;再根据耗油量÷行驶的路程=每千米的耗油量,用每千米的耗油量×80千米即可求出80千米的耗油量。
    【详解】(1)2÷16=(升/千米)
    4÷32=(升/千米)
    6÷48=(升/千米)
    8÷64=(升/千米)
    所以耗油量与所行路程成正比例,因为耗油量与所行路程的比值一定。
    (2)如图:
    80×=10(升)
    答:汽车行驶80千米的耗油量是10升。
    【点睛】本题主要考查了正比例的应用,掌握正比例的意义,会判断两个量是否成正比例是解题关键。
    【预测命题方向7】不变量问题。
    (2022·河南周口·小升初真题)周口海洋馆的6大类表演节目精彩纷呈,吸引了许多观众。表演开始前,小明统计出海豚剧场与企鹅园的观众人数比为2∶3,后来有4名观众从海豚剧场去了企鹅园,此时海豚剧场与企鹅园的人数比变为1∶2,求两个场馆共有多少名观众?
    【答案】60名
    【分析】据题意,表演开始前,小明统计出海豚剧场与企鹅园的观众人数比为2∶3,此时海豚剧场观众人数是总人数的,企鹅园观众人数是总人数的,后来有4名观众从海豚剧场去了企鹅园即海豚剧场观众人数少了4人而企鹅园观众人数多了4人,设两个场馆共有名观众,则此时海豚剧场观众人数是(),企鹅园观众人数是(),根据比例的基本性质和此时海豚剧场与企鹅园的人数比变为1∶2,列式解答即可。
    【详解】解:设两个场馆共有名观众。
    答:两个场馆共有60名观众。
    【点睛】本题考查比例的实际应用,找出题目中人数变化和比的变化的关系是解题的关键。
    【对应练习】
    1.(2023·湖南邵阳·小升初真题)某校六年级一班原来女生的人数占全班人数的,后来又转来2名女生,这时女生人数与男生人数的比是2∶3,六年级一班现在有女生多少名?
    【答案】20人
    【分析】原来女生人数占总人数的,总人数分成8份,女生3分,男生8-3=5份,则女生是男生的,转入2名女生,女生占男生人数的,则这2名女生占男生的-,用2÷(-),求出男生人数,进而求出女生人数。
    【详解】根据分析可知:
    2÷(-)
    =2÷(-)
    =2÷(-)
    =2÷
    =2×15
    =30(人)
    30×=20(人)
    答:六年级一班现在有女生20人。
    【点睛】本题考查的是分数乘除法的应用,明确这一过程中的不变量为男生人数,根据女生前后占男生人数分率的变化求出男生人数是完成本题的关键。
    2.(2022·重庆潼南·小升初真题)跳绳是一项极佳的健体运动,能有效训练个人的反应能力和耐力。红旗小学原来有短绳和长绳共120根,其中短绳根数与长绳根数的比是3∶5,后来又买进一批短绳,这时短绳根数占总数的75%。红旗小学后来买进多少根短绳?
    【答案】180根
    【分析】根据题意,短绳和长绳共120根,短绳与长绳根数的比是3∶5,即一共是(3+5)份;用短绳和长绳的总数除以总份数,求出一份数,再乘长绳的份数,即可求出长绳的根数;
    从题中可知,短绳的数量在发生变化,但长绳的数量没有变化;已知后来又买进一批短绳,这时短绳根数占总数的75%,把后来跳绳的总数看作单位“1”,则长绳根数占后来总数的(1-75%),根据已知一个数的百分之几是多少,求这个数,用除法计算,求出后来跳绳的总数;再用后来跳绳的总数减去原来跳绳的总数,即是后来买进短绳的数量。
    【详解】一份数:
    120÷(3+5)
    =120÷8
    =15(根)
    长绳有:15×5=75(根)
    后来跳绳的总数:
    75÷(1-75%)
    =75÷0.25
    =300(根)
    后来买进短绳:300-120=180(根)
    答:红旗小学后来买进180根短绳。
    【点睛】本题考查比的应用以及百分数除法的实际应用,先把比看作份数,求出一份数,进而求出长绳的数量;明确长绳的数量不变,把后来跳绳的总数看作单位“1”,单位“1”未知,根据百分数除法的意义求出后来跳绳的总数是解题的关键。
    3.(2022·江苏盐城·小升初真题)盒子里有一些黑棋子和白棋子,白棋子和黑棋子的比是2∶3,如果从盒子中取出6枚黑棋子,盒子里白棋子和黑棋子的比变成5∶6,盒子里原有多少枚黑棋子?
    【答案】30枚
    【分析】根据原来白棋子和黑棋子的比是2∶3,假设盒子里原来白棋子有2x枚,黑棋子有3x枚,取出6枚黑棋子后,白棋子数量不变,黑棋子变为(3x-6)枚,这时盒子里白棋子和黑棋子的比变成5∶6,据此可列出比例式,解比例即可求出盒子里原有多少枚黑棋子。
    【详解】解:设盒子里原来白棋子有2x枚,黑棋子有3x枚,
    2x∶(3x-6)=5∶6
    5×(3x-6)=2x×6
    15x-30=12x
    15x-12x=30
    3x=30
    x=30÷3
    x=10
    3×10=30(枚)
    答:盒子里原有30枚黑棋子。
    【点睛】此题通过题目中的数量关系,巧设未知数,列出比例式,结合比的应用,解决问题。
    【题型命题猜想07】分数和百分数综合—浓度、折扣、促销与利润问题。
    【命题说明】
    分数基本题型是小升初考试的基础考题之一,常在填空、选择中出现,它作为基础题型,也是解决复杂实际问题的基础,其中的百分率问题、百分数生活实际问题和浓度问题等都是在分数基本题型上进行解决的。
    熟练掌握分数乘法和分数除法基本题型是解决相关实际问题的基础,学会分析数量关系,绘制线段图也是解决该问题的手段之一。
    【预测命题方向1】分数与百分数基本题型。
    (2023·河南洛阳·小升初真题)华为已经彻底解决了5G难题,国内芯片厂商华为已经突破了5G射频芯片技术的难题,根据6月6日网上消息显示,2023年华为的手机出货量为4000万台,原计划出货量是3700万台,原计划手机出货量比实际手机出货量少百分之几?
    【答案】7.5%
    【分析】根据求一个数比另一个数多(少)百分之几,用相差数除以另一个数再乘100%,则用(4000-3700)÷4000×100%即可求出原计划手机出货量比实际手机出货量少百分之几。
    【详解】(4000-3700)÷4000×100%
    =300÷4000×100%
    =7.5%
    答:原计划手机出货量比实际手机出货量少7.5%。
    【点睛】本题主要考查了百分数的应用,明确求一个数比另一个数多(少)百分之几,用除法计算。
    【对应练习】
    1.(2022·甘肃陇南·小升初真题)某工厂四月份用水108吨,比三月份节约了20%,这个工厂三月份用水多少吨?
    【答案】135吨
    【分析】把三月份的用水量看作单位“1”,则四月份的用水量是三月份的(1-20%),然后根据已知一个数的百分之几是多少,求这个数,用除法计算即可。
    【详解】108÷(1-20%)
    =108÷80%
    =135(吨)
    答:这个工厂三月份用水135吨。
    【点睛】本题考查已知比一个数少百分之几的数是多少,求这个数,明确用除法是解题的关键。
    2.(2023·河南洛阳·小升初真题)书香洛阳,全民阅读。军军在城市书房借了一本科普书,第一周读了84页,占全书总页数的,第二周读了全书的20%,第二周读了多少页?
    【答案】42页
    【分析】将全书页数看作单位“1”,第一周读的页数÷对应分率=全书页数,全书页数×第二周读的对应百分率=第二周读的页数,据此列式解答。
    【详解】84÷×20%
    =84××0.2
    =210×0.2
    =42(页)
    答:第二周读了42页。
    【点睛】关键是确定单位“1”,部分数量÷对应分率=整体数量,整体数量×部分对应百分率=部分数量。
    3.(2022·广东湛江·小升初真题)数学课上谢老师利用“智慧课堂”系统功能发布了一道练习题,在全班同学提交答案后,数据统计显示此题正确率为80%,谢老师表扬了做正确的36位同学。请求出错误的有多少位同学?
    【答案】9位
    【分析】正确率为80%,表示正确的人数占总人数的80%,据此用做正确的人数除以正确率即可得到总人数,再用总人数减去做正确的人数即可得到出错误的人数。
    【详解】36÷80%=45(人)
    45-36=9(人)
    答:出错误的有9位同学。
    【点睛】已知一个数的百分之几是多少,求这个数,用除法计算,据此求出总人数是解题的关键。
    【预测命题方向2】百分率问题。
    (2022·四川绵阳·小升初真题)花生的出油率为48%,现有200千克花生可以榨出多少千克花生油?如果想要榨出115.2千克的花生油,需要花生多少千克?
    【答案】96千克;240千克
    【分析】出油率是指出油的重量占花生重量的百分比,是把花生的重量看成单位“1”,用花生的重量乘48%,可以求榨出油的重量;用榨出油的重量除以48%就是需要的花生重量。
    【详解】200×48%=96(千克)
    115.2÷48%=240(千克)
    答:200千克花生可以榨出96千克花生油,如果想要榨出115.2千克的花生油需要花生240千克。
    【点睛】解决本题关键是理解出油率,找出单位“1”,求单位“1”的百分之几用乘法求解;已知单位“1”的百分之几是多少,求单位“1”用除法求解。
    【对应练习】
    1.(2023·河南新乡·小升初真题)在500克的水中加入50克的盐,求盐水的含盐率。
    【答案】9.1%
    【分析】盐水的含盐率=盐的质量÷盐水质量×100%,运用百分数的运算可得出答案。
    【详解】盐水的含盐率为:
    答:盐水的含盐率为9.1%。
    【点睛】本题主要考查的是百分率问题,解题的关键是注意盐水的质量等于盐加水的质量,进而得出答案。
    2.(2023·辽宁大连·小升初真题)今年植树节,六年五班同学植树45棵,成活了40棵,又补种了5棵,全部成活,这次植树活动,树的成活率是多少?(列综合算式解答)
    【答案】90%
    【分析】已知成活率=成活棵数÷总棵数×100%,用(40+5)÷(45+5)×100%即可求出这批树的成活率。据此解答。
    【详解】(40+5)÷(45+5)×100%
    =45÷50×100%
    =90%
    答:树的成活率是90%。
    【点睛】此题属于百分率问题,都是用一部分数量(或全部数量)除以全部数量乘100%。
    3.(2023·山东潍坊·小升初真题)用两种种子做实验,甲种子200粒,发芽188粒,乙种子有300粒,12粒没发芽,如果你是进货商,你会选哪种种子?请用你喜欢的方式说明理由。
    【答案】乙种;理由是:乙种种子的发芽率比甲种种子的发芽率高。
    【分析】根据“发芽率=发芽的种子数÷总种子数×100%”,分别求出两种种子的发芽率,然后比较哪种种子的发芽率高就选哪种。
    【详解】甲:188÷200×100%
    =0.94×100%
    =94%
    乙:(300-12)÷300×100%
    =288÷300×100%
    =0.96×100%
    =96%
    94%<96%
    答:选择乙种种子,理由是:乙种种子的发芽率比甲种种子的发芽率高。
    【点睛】本题考查发芽率的计算,明确发芽率的计算方法是解题的关键。
    【预测命题方向3】浓度问题。
    (2023·河南洛阳·小升初真题)现有浓度为20%的糖水10千克,再加多少千克的水,可以得到浓度为10%的糖水。
    【答案】10千克
    【分析】根据题意,用10×20%,求出浓度为20%的糖水10千克中糖的质量,由于糖的质量不变,再用糖的质量÷10%,求出浓度为10%的糖水的质量,再减去原来糖水的质量,即可解答。
    【详解】10×20%÷10%-10
    =2÷10%-10
    =20-10
    =10(千克)
    答:再加10千克水,可以得到浓度为10%的糖水。
    【点睛】熟练掌握求一个数的百分之几多少,已知一个数的百分之几是多少,求这个数的计算方法是解答本题的关键。
    【对应练习】
    1.(2023·四川成都·小升初真题)有浓度为45%的盐水若干,加入2升浓度为80%的盐水和1升清水后,盐水浓度为50%,如果要想得到60%的盐水,需要再加入浓度为80%的盐水多少升?
    【答案】2.5升
    【分析】盐水的浓度=盐的质量÷盐水的质量×100%。设45%的盐水有x升,加入2升浓度为80%的盐水和1升清水后,这时盐水有(x+2+1)升,盐水浓度为50%,则这时盐水中的盐为[(x+2+1)×50%]升,列出数量关系式为:x升浓度45%盐水中的盐+2升浓度为80%的盐=这时盐水中的盐。得出45%浓度的盐水有2升,则50%浓度的盐水有5升。根据数量关系式:50%浓度的盐水中盐+80%浓度的盐水中盐=60%浓度的盐水中盐,列出方程。注意:60%浓度的盐水=50%浓度的盐水+80%浓度的盐水。
    【详解】解:设45%浓度的盐水有x升。
    45%x+2×80%=(x+2+1)×50%
    0.45x+1.6=(x+3)×0.5
    0.45x+1.6=0.5x+1.5
    0.05x=0.1
    x=0.1÷0.05
    x=2
    50%浓度的盐水:2+2+1=5
    设需要再加入浓度为80%的盐水y升。
    5×50%+80%×y=(5+y)×60%
    2.5+0.8y=5×0.6+0.6y
    2.5+0.8y=3+0.6y
    0.2y=0.5
    y=0.5÷0.2
    y=2.5
    答:需要再加入浓度为80%的盐水2.5升。
    2.(2023·河南漯河·小升初真题)实验室里面有甲、乙两种不同的盐酸溶液:甲种溶液浓度为45%,有10千克;乙种溶液浓度为60%,有5千克,王老师把两种溶液混在一起,得到的盐酸溶液的浓度是多少?
    【答案】50%
    【分析】根据溶液的质量×溶液浓度=盐酸的质量,代入数据分别求出甲乙两种溶液中含有盐酸的质量,把两种溶液中的盐酸质量加起来,再根据盐酸的质量÷溶液的质量×100%=混合后的溶液浓度,代入数据即可得解。
    【详解】



    =50%
    答:得到的盐酸溶液的浓度是50%。
    【点睛】此题的解题关键是理解浓度的意义,掌握求一个数的百分之几是多少和求一个数占另一个数的百分之几的计算方法。
    3.(2023·湖北省直辖县级单位·小升初真题)小明热爱科学,喜欢创新,立志为中国智造贡献自己的力量。现在,他已经拥有了两项自己的发明专利。有一天,他在阅读科学实验书籍时遇到了一个陌生的概念“饱和盐水”,查阅资料后,收集了以下几条信息。请你阅读并理解信息后,再解决问题。
    资料一盐水浓度的计算方法是:盐水浓度
    资料二饱和盐水是指在一定温度下盐水中所含盐量达到最大限度(不能再溶解),如:水温50℃时饱和盐水的浓度约为27%。
    (1)把36克盐放入164克水中,充分搅拌,全部溶解。求:盐水的浓度是多少?
    (2)如果把盐水加热到50摄氏度。还能再放入多少克盐。这杯盐水就会变成饱和盐水?(得数保留一位小数)
    【答案】(1)18%
    (2)24.7克
    【分析】(1)用盐的质量加上水的质量,求出盐水的质量,再根据“盐水浓度的计算公式:盐水浓度”,代入数据计算求出盐水的浓度;
    (2)已知水温50℃时饱和盐水的浓度约为27%,设还能再放入x克盐,结合盐水浓度的计算公式,列出方程,解答即可。
    【详解】(1)×100%
    =×100%
    =0.18×100%
    =18%
    答:盐水的浓度是18%。
    (2)解:设还能再放入x克盐。
    ×100%=27%
    36+x=(200+x)×27%
    36+x=54+0.27x
    0.73x=18
    x=18÷0.73
    x≈24.7
    答:如果把盐水加热到 50°C,还能再放入24.7克盐,这杯盐水就会变成饱和盐水。
    【预测命题方向4】百分数四大生活实际问题。
    1.(2023·四川·小升初真题)家炳原价八折买了一部iPhne,后来原价加价2成卖给了大雄,赚了3200元。问iPhne的原价是多少?
    【答案】8000元
    【分析】原价八折就是买价是原价的80%,买价=原价×80%,后来原价加2成就是卖价比原价多20%,那么卖价是原价的(1+20%)。数量关系式为:卖价-买价=120%的原价-80%的原价=3200。设原价为x元,列出方程求出方程的解。
    【详解】解:设原价为x元。
    (1+20%)x-80%x=3200
    120%x-80%x=3200
    40%x=3200
    x=3200÷40%
    x=3200÷0.4
    x=8000
    答:iPhne的原价是8000元。
    2.(2023·河北石家庄·小升初真题)张叔叔把5万元存入某银行,存期二年,年利率为2.4%,到期要缴纳15%的利息税。存款到期时张叔叔可得到的利息是多少元?
    【答案】2040元
    【分析】先根据“利息=本金×利率×存期”,求出税前利息;因到期要缴纳15%的利息税,用税前利息乘15%,求出应缴纳的利息税额;再用税前利息减去应缴纳的利息税额,即是存款到期时张叔叔可得到的利息。
    【详解】5万元=50000元
    50000×2.4%×2
    =50000×0.024×2
    =1200×2
    =2400(元)
    2400-2400×15%
    =2400-2400×0.15
    =2400-360
    =2040(元)
    答:存款到期时张叔叔可得到的利息是2040元。
    【对应练习】
    1.(2022·江苏泰州·小升初真题)王阿姨家准备买一台净水器,如果按原价的八折购买需要付1200元。经过协商最终按原价的七折成交,最终成交的价格比原价少多少元?
    【答案】450元
    【分析】把原价看作单位“1”,如果按原价的八折购买需要付1200元,那么原价就是1200除以,再用原价乘,求出成交的价格,用原价减去成交的价格即可解答。
    【详解】1200÷×
    =1200××
    =1200×
    =1050(元)
    1200÷-1050
    =1200×-1050
    =1500-1050
    =450(元)
    答:最终成交的价格比原价少450元。
    【点睛】本题考查的是百分数应用题,找准单位“1”是解答关键。
    2.(2023·河北唐山·小升初真题)“杂交水稻之父”袁隆平指导研发的“超优千号”水稻,平均每公顷的产量大约是15吨,比普通水稻增产六成。普通水稻每公顷产量大约是多少吨?
    【答案】9.375吨
    【分析】把普通水稻的产量看作单位“1”,则“超优千号”水稻的产量是普通水稻的(1+60%),再根据已知一个数的百分之几是多少,求这个数,用除法计算即可。
    【详解】15÷(1+60%)
    =15÷1.6
    =9.375(吨)
    答:普通水稻每公顷产量大约是9.375吨。
    3.(2023·河北邯郸·小升初真题)李叔叔把20000元存入银行,定期三年,如果年利率是4.41%,到期时,他可得到本金和税后利息一共多少元?(利息税为5%)
    【答案】22513.7元
    【分析】先根据“利息=本金×利率×存期”,求出到期时李叔叔可得到的利息;
    已知利息税为5%,即到期时要缴纳利息的5%作为利息税,那么税后利息占利息的(1-5%),根据求一个数的百分之几是多少,用乘法计算,求出税后利息;
    最后用本金加上税后利息,即是到期时一共可以取出的钱数。
    【详解】利息:
    20000×4.41%×3
    =20000×0.0441×3
    =882×3
    =2646(元)
    税后利息:
    2646×(1-5%)
    =2646×0.95
    =2513.7(元)
    一共:
    20000+2513.7=22513.7(元)
    答:到期时,他可得到本金和税后利息一共22513.7元。
    【点睛】本题考查利率和税率问题,掌握利息以及利息税的计算方法是解题的关键。
    【预测命题方向5】促销问题。
    (2023·福建莆田·小升初真题)为了开展“小桔灯”阅读活动,学校图书馆需购买60套经典诵读书籍,每套单价都是25元。现有三家书店出售这套书,并推出不同的优惠办法:
    到那家书店购买最省钱?说说你选择的理由。
    【答案】到甲书店购买最省钱,因为1250<1275<1290
    【分析】先计算出在三家书店买,分别要花多少钱,再找出最省钱的即可。
    甲店:先买50套,此时送了(5×2)套,恰好是60套。根据“数量×单价=总价”求出在甲店买,需要花多少钱;
    乙店:数量×单价=总价,由此先计算出买60套书的总价。八五折是85%,再将总价乘85%,求出现价;
    丙店:先计算出60套书的总价。总价里有几个200元,就需要减去几个30元,由此求出现价。
    【详解】甲店:50+5×2
    =50+10
    =60(套)
    50×25=1250(元)
    乙店:60×25×85%=1275(元)
    丙店:60×25=1500(元)
    1500÷200=7(个)……100(元)
    1500-7×30
    =1500-210
    =1290(元)
    1250<1275<1290
    答:到甲书店购买最省钱,因为1250<1275<1290。
    【对应练习】
    1.(2023·江苏扬州·小升初真题)服装厂生产一种西装和领带,西装每套200元,领带每条40元。厂方在开展促销活动期间,向客户提供两种优惠方案:A方案:买一套西装送一条领带。B方案:西装打八折,领带打九折。某公司老板要购买西装20套,领带35条。选择哪种方案更省钱?写出你的理由,并计算出他应付多少元?
    【答案】B方案;4460元;理由见详解
    【分析】分别计算出两种方案的实际钱数,比较即可。
    A方案:购买西装20套,同时送20条领带,要买的领带数量-送的数量=需要买的领带数量,根据单价×数量=总价,西装单价×要购买的数量+领带单价×实际购买的数量=实际钱数;
    B方案:根据单价×数量=总价,西装单价×要购买的数量=西装应付钱数,领带单价×要购买的数量=领带应付钱数,分别将西装和领带应付钱数看作单位“1”,几折就是百分之几十,西装应付钱数×西装折扣+领带应付钱数×领带折扣=实际钱数。
    【详解】A方案:200×20+40×(35-20)
    =4000+40×15
    =4000+600
    =4600(元)
    B方案:200×20×80%+40×35×90%
    =4000×0.8+1400×0.9
    =3200+1260
    =4460(元)
    4600>4460
    答:选择B方案更省钱,他应付4460元。
    2.(2023·河南平顶山·小升初真题)华联超市举行店庆促销活动,推出下面三种结算方式。
    李阿姨到超市购买了10千克大米,每千克8元。她结算时选用了微信支付的方式,结果随机减免了10.6元。在这次购物过程中,李阿姨选用的结算方式是最划算的吗?请计算说明理由。
    【答案】不是最划算的;理由见详解
    【分析】分别计算出三种结算方式的实际钱数,比较即可。
    根据单价×数量=原价,先求出应付钱数。
    现金:如果应付钱数满50元不满100元,直接用应付钱数-10元=实际钱数;如果应付钱数满100元,直接用应付钱数-20元=实际钱数。
    微信:应付钱数-减免钱数=实际钱数。
    支付宝:几折就是百分之几十,将应付钱数看作单位“1”,应付钱数×折扣=实际钱数。
    【详解】(元)
    现金:(元)
    微信:(元)
    支付宝:(元)
    答:用支付宝结算最划算,李阿姨选用的结算方式不是最划算的。
    3.(2023·云南昆明·小升初真题)某品牌足球定价为每个120元。张老师上网查阅了四家店铺的促销情况(如下表)。如果要买5个,在哪家网店购买最省钱?至少需要多少钱?
    【答案】A网店;420元
    【分析】“每满100元减30元”也就是看120×5元里面满几个100就减几个30元,即可求出A网店的价钱;根据原价×折扣=现价,即可求出B和C网店的价钱;买四赠一,那么付四盒的钱可以买到五盒,即可求出D网店的价钱,然后进行对比即可。
    【详解】A网店:120×5=600(元)
    600÷100=6(个)
    600-6×30
    =600-180
    =420(元)
    B网店:七五折就是75%
    120×5×75%
    =600×75%
    =450(元)
    C网店:八折就是80%
    120×5×80%
    =600×80%
    =480(元)
    480÷200=2(个)……80(元)
    480-2×20
    =480-40
    =440(元)
    D网店:120×4=480(元)
    480>450>440>420
    答:在A网店购买最省钱,至少需要420元。
    【预测命题方向6】利润问题。
    (2023·甘肃兰州·小升初真题)某商场进了50件防晒衣,每件的进价为100元,售价为160元,在卖出60%后,由于天气转冷而滞销,店主将余下的打五折出售,并且全部售完。请问:该商店是亏了还是赚了?亏还是赚了多少钱?
    【答案】赚了;赚了1400元
    【分析】根据售价×数量=总价,先用50乘160再乘60%,求出按售价160元卖的钱数;打五折,售价是(160×50%)元,还剩下(1―60%),然后用50乘(1―60%)再乘(160×50%),求出余下的部分共卖的钱数;将两部分钱数求和后再与总的进价50×100元比较大小,即可知道该商店是亏了还是赚了,最后求出亏或赚的钱数即可。
    【详解】五折=50%
    50×160×60%+50×(1-60%)×(160×50%)
    =8000×60%+50×40%×80
    =4800+1600
    =6400(元)
    50×1000=5000(元)
    6400元>5000元
    6400-5000=1400(元)
    答:该商店是赚了,赚了1400元。
    【点睛】本题考查了利用百分数乘法及比较数的大小解决盈亏问题,准确分析题目中的数量关系是关键。
    【对应练习】
    1.(2023·河北石家庄·小升初真题)商店卖一种书包,如果每个售价为150元,那么售价的60%是进价,售价的40%就是利润。现在要搞促销活动,为保证一个书包的利润不少于30元,折扣不能低于多少?
    【答案】八折
    【分析】已知每个书包售价为150元,售价的60%是进价,用150乘60%即可求出进价。一个书包的利润不少于30元,用进价加上30求出最低的售价。求折扣是多少,就是求最低售价是原价的百分之几,用最低售价除以150即可求出最低折扣。
    【详解】150×60%+30
    =90+30
    =120(元)
    120÷150=0.8=80%=八折
    答:折扣不能低于八折。
    【点睛】求一个数的百分之几是多少,用乘法计算,据此求出进价;求一个数是另一个数的百分之几,用除法计算,据此求出折扣。
    2.(2023·四川成都·小升初真题)某商店面包的成本是定价的80%,可乐的定价是10元,成本是8元。现在商店把2个面包与1杯可乐配套出售,并且按它们的定价之和的90%出售。这样每套可获得利润3元。面包的成本是多少元?
    【答案】8元
    【分析】利润=售价-成本。利润的3元=2个面包和1杯可乐的售价-2个面包和1杯可乐的成本。以它们的定价之和的90%出售则售价=(2×面包的定价+1杯可乐的定价)×90%。则数量关系式:(2×面包的定价+1杯可乐的定价)×90%-(2×面包的成本+1杯可乐的成本)。
    【详解】解:设面包的定价是x元,成本80%x元。
    10×80%=8(元)
    答:面包的成本是8元。
    3.(2022·湖南株洲·小升初真题)某收音机成本72元,原来按定价出售,每天可售100个,每件利润为成本的25%,后来按定价打九折出售,每天销售量提高到原来的2.5倍。照这样计算,每天的利润比原来增加多少元?
    【答案】450元
    【分析】根据题意,把某收音机的成本看作单位“1”,按定价出售每件利润为成本的25%,即每件的定价比成本高25%,则定价是成本的(1+25%),单位“1”已知,用乘法计算求出原来每件的定价;
    后来按定价打九折出售,即现在的售价是原来定价的90%,根据求一个数的百分之几是多少,用乘法计算求出现在每件的售价;
    后来每天销售量提高到原来的2.5倍,用原来每天的销售量乘2.5,即可求出现在每天的销售量;根据利润=售价-成本,分别求出原来、现在每件的利润,再分别乘原来、现在每天的销售量,即是原来、现在每天的利润,再相减,即可求出每天利润比原来增加的钱数。
    【详解】原定价:
    72×(1+25%)
    =72×1.25
    =90(元)
    现在的售价:
    90×9%
    =90×0.9
    =81(元)
    现在每天的销售量:100×2.5=250(个)
    原来每天的利润:
    (90-72)×100
    =18×100
    =1800(元)
    现在每天的利润:
    (90-81)×250
    =9×250
    =2250(元)
    增加:2250-1800=450(元)
    答:每天的利润比原来增加450元。
    【点睛】本题考查百分数的实际应用,找出单位“1”,单位“1”已知,根据百分数乘法的意义解答;明确打几折,就是现价是原价的百分之几十。
    【题型命题猜想08】生活和实际综合—五种高频易错生活实际问题。
    【命题说明】
    小升初常考的五种高频易错生活实际问题,即分段计费问题、鸡兔同笼问题、抽屉问题(鸽巢问题)、行程问题与工程问题,这五种实际问题常常作为问题蓝本出现在考试中,本身难度不大,但由于学生对问题理解不深,辨析不明,经常容易出错,下面谈谈五种问题的基础解法:
    一、分段计费问题。
    分段计费问题根据问题考虑,一般会出现两种形式,一种是正向求总费用,一种是反求问题,两种问题有着不同的解题思路。
    1.分段计费求总费用问题的解题思路:
    ①读题,整理题中的数学信息。
    ②解读收费标准。
    ③画出分段收费数轴。
    2.分段计费问题中的反求问题:
    ①确定范围。
    ②做除法求解。
    二、鸡兔同笼问题。
    解决鸡兔同笼问题一般有以下几个主要方法:
    1.列表猜测法:
    先猜测鸡和兔各有几只,再验证脚的只数是否对应,经过不断猜测、验证,最终找到答案。
    2.假设法:
    先假设笼子里全是鸡,然后推算出兔的只数,假设的思想方法是指对题中的已知条件或问题作出某种假设,然后按照题中的已知条件进行推算,根据假设前后数量出现的矛盾,从而找到正确答案的一种思想方法.
    3.列方程解答。
    三、抽屉问题(鸽巢问题)。
    1.把多于n个物体任意分放进n个鸽巢中(n是非0自然数),那么一定有一个鸽巢里至少放进了2个物体。
    2.把多于kn个的物体任意分放进n个鸽巢中(k和n是非0自然数),那么一定有一个鸽巢里至少放进了(k+1)个物体。
    3.抽屉原理的关键:平均分配,苹果数÷抽屉数,若有余数也要尽量平均分配。
    四、行程问题。
    行程问题是小学数学中非常常见的类型题,一般包含三个基本量:
    1.路程:一共行了多长的路,一般用米或千米作单位;
    2.速度:每小时(或每分钟)行的路程,速度的单位常常是路程单位与时间单位的结合,例如:千米/时、米/分、米/秒等等;
    3.时间:行了几小时(分钟)。
    4.行程问题的基本数量关系:
    速度×时间=路程;路程÷速度=时间;路程÷时间=速度
    五、工程问题。
    1. 工程问题的意义:
    工程问题指的与工程建造有关的数学问题,在小学数学中,常见的有修路、建筑、工作等,有时也包括行路、水管注水等。
    工程问题的特征:
    (1)工作总量:
    工作总量指的是工作的多少,但在工程问题中,我们通常把工作总量看作单位“1”,因为在已知条件中,常常不会给出工作量的具体数量,只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等,所以,在解题时,常常用单位“1”表示工作总量。
    (2)工作效率:
    工作效率表示单位时间内工作量的多少,通俗来说就是工作的快慢,其中单位时间可以是天、也可以是时、分、秒等。
    3. 工程问题的解法:
    解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”,这样,工作效率就是工作时间的倒数(它表示单位时间内完成工作总量的几分之几),进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
    4.工程问题基本数量关系:
    ①工作效率×工作时间=工作总量
    ②工作效率=工作总量÷工作时间
    ③工作时间=工作总量÷工作效率
    【预测命题方向1】分段计费问题。
    (2023·江西吉安·小升初真题)某市采用价格调控的手段来达到节约用水的目的,规定如下用水收费标准:每户每月的用水不超过20立方米时,水费按“基本价”收费;超过20立方米时,不超过的部分仍按“基本价”收费,超过部分按“调节价”收费。某户居民今年4、5月份的用水量和水费如下表所示:
    (1)请你算一算该市水费的“基本价”。
    (2)若该户居民8月份用水量为40立方米,请你算一算,8月份的水费是多少元?
    【答案】(1)2.1元;(2)114元
    【分析】(1)4月份用水15立方米,不超过20立方米,水费全部按“基本价”收费。将4月的水费总价31.5元除以用水量15立方米,求出“基本价”;
    (2)5月份用水24立方米,超过了20立方米,水费应分段计算。先计算20×2.1,求出20立方米水的费用。将实际付费56.4元减去20立方米水的费用,求出24立方米超过20立方米的部分(即4立方米)的水费,从而利用除法求出“调节价”。40立方米超过20立方米的部分乘调节价,再加上按“基本价”收费的20立方米的水费,求出8月份的水费是多少元。
    【详解】(1)31.5÷15=2.1(元)
    答:该市水费的“基本价”是每立方米2.1元。
    (2)20×2.1=42(元)
    (56.4-42)÷(24-20)
    =14.4÷4
    =3.6(元)
    (40-20)×3.6+20×2.1
    =20×3.6+42
    =72+42
    =114(元)
    答:该户8月份的水费是114元。
    【点睛】本题考查了小数乘除法应用题中的梯度定价问题,解题关键是要有分段讨论的思想,先求出各价格段下的费用,再相加求出总费用。
    【对应练习】
    1.(2023·河南信阳·小升初真题)饮水思源知感恩,树高百丈叶归根。龙头打开水哗哗,转身莫忘关掉它。节约用水是一种美德,为了鼓励人们节约用水,某水利公司规定了以下水费收取方法:每月用水量不超过5立方米(含5立方米),按每立方米3.5元收费;如果每月用水量超过5立方米,超过部分按每立方米6元收费。小明家十月份共付水费53.5元,十月份小明家共用水多少立方米?
    【答案】11立方米
    【分析】先根据“总价=单价×数量”求出用水量为5立方米时应付水费17.5元,小明家十月份共付水费53.5元,说明小明家十月份用水量超过5立方米,表示出超过部分付的水费,再根据“数量=总价÷单价”表示出超过部分的用水量,最后加上5立方米,据此解答。
    【详解】5×3.5=17.5(元)
    (53.5-17.5)÷6+5
    =36÷6+5
    =6+5
    =11(立方米)
    答:十月份小明家共用水11立方米。
    【点睛】本题主要考查分段计费,明确不同用水量对应的收费标准是解答题目的关键。
    2.(2022·江苏宿迁·小升初真题)我国是水资源比较贫乏的国家之一,为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,某市采用价格调控的手段来达到节约用水的目的,规定如下用水收费标准:每户每月的用水不超过20立方米时,水费按“基本价”收费;超过20立方米时,不超过的部分仍按“基本价”收费,超过部分按“调节价”收费。某户居民今年4、5月份的用水量和水费如表所示:
    (1)请你算一算该市水费的“调节价”每立方米多少钱?
    (2)若该户居民6月份用水量为30立方米,请你算一算,6月份的水费是多少元?
    【答案】(1)3.6元
    (2)78元
    【分析】(1)根据题意,不超过20立方米时,水费按“基本价”收费,4月份用15立方米不超过20立方米,水费是31.50元,由此求出“基本价”,5月份超过20立方米,超出4立方米,由此可求出“调节价”;
    (2)30立方米水分成两部分计算,20立方米按“基本价”,10立方米按“调节价”,然后加起来即可。
    【详解】(1)“基本价”:
    31.50÷15=2.1(元)
    “调节价”:
    (56.40-2.1×20)÷(24-20)
    =(56.40-42)÷4
    =14.4÷4
    =3.6(元)
    答:该市水费的“调节价”每立方米3.6元。
    (2)2.1×20+(30-20)×3.6
    =42+10×3.6
    =42+36
    =78(元)
    答:6月份的水费是78元。
    【点睛】解答此题关键是根据总价÷数量=单价,求出“基本价”,再求出“调节价”。
    3.(2022·广东佛山·小升初真题)如图,淘气家的花园里有一个圆形的喷水池,喷水池周长12.56米,有一条1m宽的小路围着喷水池(喷水池厚度不计)
    (1)这条小路的面积是多少平方米?
    (2)这条小路外围的长度比喷水池的周长多百分之几?
    (3)淘气家共有六个人,所在地区实行阶梯式分段收费,收费标准如下:
    淘气家这个月用水,请你计算淘气家这个月一共要交水费多少元?
    【答案】(1)15.7平方米
    (2)50%
    (3)184.1元
    【分析】(1)根据题意,小路是一个环形,已知内圆周长,先求小圆半径:r=C÷π÷2,大圆半径:R=r+环宽,再根据公式:S环=(R2-r2)×π,计算出小路的面积即可;
    (2)由(1)中可知大圆半径,求出大圆的周长,根据:求A比B多百分之几,用(A-B)÷B;求这条小路外围的长度比喷水池的周长多百分之几,(小路外围周长-喷水池的周长)÷喷水池的周长,据此计算;
    (3)根据表格,淘气家有6人,与标准相比超了2人,在每一级阶梯水量的上、下限基础上相应增加10立方米每个月,将50立方米分为:33立方米、13立方米和4立方米三段,分别对应三个等级的水费单价,根据:总价=单价×数量,计算出每个等级的总价钱,然后相加即可求出50立方米的水费,最后还要加生活垃圾处理费:36乘0.5,和加收收取污水处理费:50乘1,据此解答。
    【详解】(1)12.56÷3.14÷2
    =4÷2
    =2(米)
    2+1=3(米)
    (32-22)×3.14
    =5×3.14
    =15.7(平方米)
    答:这条小路的面积是15.7平方米。
    (2)3×2×3.14
    =6×3.14
    =18.84(米)
    (18.84-12.56)÷12.56
    =6.28÷12.46
    =0.5
    =50%
    答:这条小路外围的长度比喷水池的周长多50%。
    (3)1.8×(23+5×2)
    =1.8×(23+10)
    =1.8×33
    =59.4(元)
    2.7×(46-33)
    =2.7×13
    =2.7×13
    =35.1(元)
    5.4×(50-46)
    =5.4×4
    =21.6(元)
    59.4+35.1+21.6+36×0.5+50×1
    =94.5+21.6+18+50
    =116.1+18+50
    =134.1+50
    =184.1(元)
    答:淘气家这个月一共要交水费184.1元。
    【点睛】此题考查了环形面积计算、求一个数比另一个数多百分之几以及分段计费的运用,综合性比较高,关键熟记对应的内容。
    【预测命题方向2】鸡兔同笼问题。
    (2023·湖南常德·小升初真题)六(2)班的王老师和李老师带44名同学去野营,一共租了10顶帐篷,正好住满。已知每顶大帐篷可以住5人,每顶小帐篷可住3人。大帐篷租了多少顶?(用方程解答。)
    【答案】8顶
    【分析】假设大帐篷租了x顶,则小帐篷租了(10-x)顶,根据数量关系:大帐篷的顶数×5+小帐篷的顶数×3=老师和同学的总人数,据此列出方程,解方程即可求出大帐篷租了多少顶。
    【详解】解:设大帐篷租了x顶,小帐篷(10-x)顶,
    5x+3×(10-x)=44+2
    5x+30-3x=46
    2x+30=46
    2x=46-30
    2x=16
    2x÷2=16÷2
    x=8
    答:大帐篷租了8顶。
    【点睛】此题考查鸡兔同笼,把大帐篷的顶数设为未知数x,找出题中数量间的相等关系,列出包含x的等式,解方程得到最终的结果。
    【对应练习】
    1.(2023·安徽滁州·小升初真题)“六一”期间,某校六(1)班3位老师、9名家长志愿者带着42名同学到琅琊山开展活动。应同学们要求,所有人一起乘坐深秀湖的船游玩。后经协商,一共租赁了5只大船和6只小船,正好坐满。已知1只大船比1只小船多坐2人,1只大船坐了多少人?
    【答案】6人
    【分析】根据题意可知,5只大船坐的人数+6只小船坐的人数=(3+9+42)人,设一只小船坐x人,则一只大船坐(x+2)人,据此列方程解答。
    【详解】解:设一只小船坐x人,则一只大船坐(x+2)人。
    5(x+2)+6x=3+9+42
    5x+10+6x=54
    11x+10-10=54-10
    11x=44
    x=4
    4+2=6(人)
    答:1只大船坐了6人。
    【点睛】此题属于含有两个未知数的应用题,这类题用方程解答比较容易,关键是找准数量间的相等关系,设一个未知数为x,另一个未知数用含x的式子来表示,进而列并解方程即可。
    2.(2023·辽宁大连·小升初真题)鸡兔同笼,有20个头,54条腿,鸡兔各有多少只?(列表解决)
    【答案】鸡有13只;兔有7只
    【分析】根据鸡有2条腿,兔子有4条腿,分别先假设从兔有10只,鸡有(20-10)只开始列表计算即可。
    【详解】
    答:鸡有13只,兔有7只。
    【点睛】解决鸡兔同笼问题往往用假设法解答,有些应用题中有两个或两个以上的未知量,思考问题时,可以假设要求的两个或两个以上的未知量相等,或假设它们为同一种量,然后按照题中的已知条件进行推算,如果数量上出现矛盾,可适当调整,以求出正确的结果。
    3.(2023·北京海淀·小升初真题)中心公园挂有甲、乙两款灯笼串,每款灯笼串都是由大灯笼和小灯笼组合而成的(如图),大灯笼共有16个,小灯笼共有46个。甲、乙灯笼串各有多少串?


    【答案】甲灯笼有7串,乙灯笼有9串
    【分析】根据题意可知,一串甲灯笼由1个大灯笼和4个小灯笼组成,一串乙灯笼由1个大灯笼和2个小灯笼组成,已知大灯笼共有16个,也就是甲和乙一共有16串,甲灯笼的串数×每串甲灯笼里包含小灯笼的个数+乙灯笼的串数×每串乙灯笼里包含小灯笼的个数=小灯笼总共有46个,设甲灯笼有x串,乙灯笼有(16-x)串,列方程为4x+2×(16-x)=46,然后解出方程即可。
    【详解】
    解:设甲灯笼有x串,乙灯笼有(16-x)串。
    4x+2×(16-x)=46
    4x+32-2x=46
    2x+32=46
    2x+32-32=46-32
    2x=14
    2x÷2=14÷2
    x=7
    16-7=9(串)
    答:甲灯笼有7串,乙灯笼有9串。
    【点睛】本题主要考查了鸡兔同笼问题,可用列方程解决问题。
    【预测命题方向3】鸽巢问题(抽屉问题)。
    (2023·福建福州·小升初真题)一副扑克牌包括大、小王共有54张,为了保证抽出的牌有两张同花色,至少要抽取( )张牌。
    【答案】7
    【分析】
    一副扑克牌包括大、小王共有54张,有四种花色,每种花色有13张,运气最差的情况为前4次抽取的是四种不同花色的牌各一张,再抽2张大、小王,这时再从剩下的牌中任意抽取一张,一定有2张花色相同的牌,据此解答。
    【详解】4+2+1=7(张)
    至少要抽取7张牌。
    【对应练习】
    1.(2022·新疆乌鲁木齐·小升初真题)黑色袋子有黑、白、黄三种颜色的袜子各5只,不用眼睛看,任意取出袜子来,使得至少有2双袜子不同色,那么至少取出( )只袜子。
    【答案】8
    【分析】因为颜色有3种,最坏的取法是先取出的5只袜子都是同一种颜色,再取出2只袜子是不同的颜色,最后再取1只,无论是什么颜色,都可以得到2双不同颜色的袜子,所以至少要取5+2+1=8(只)袜子。
    【详解】5+2+1
    =7+1
    =8(只)
    则至少取出8只袜子。
    2.(2023·浙江金华·小升初真题)一幅扑克牌有4种花色,每种花色都有13张,如果要保证从中抽出两种花色,至少要抽( )张。
    【答案】5
    【分析】要保证从中抽出两种花色,可以把每个花色摸一张,这个时候已经摸了4张,当第五次摸的时候,无论摸什么花色,都会保证抽出的花色有两个一样的。
    【详解】4×1+1
    =4+1
    =5(张)
    所以要保证从中抽出两种花色,至少要抽出5张。
    【点睛】考查鸽巢问题的相关知识,这个题目中要想保证有两个花色一样的扑克牌,就需要先摸出一轮不同的花色,然后加1就可以。
    3.(2023·云南大理·小升初真题)一个口袋里有同样大小的5个黑球、6个白球和7个红球,要想摸出的球一定有2个同色的,至少要摸出( )个球;至少摸出( )个球才能保证一定有一个红球。
    【答案】 4 12
    【分析】用球的颜色的种类加上1,即可求出要想摸出的球一定有2个同色的,至少要摸出几个球,用黑球的个数加上白球的个数,再加上1个,即可求出至少摸出几个球才能保证一定有一个红球。
    【详解】3+1=4(个)
    5+6+1=12(个)
    一个口袋里有同样大小的5个黑球、6个白球和7个红球,要想摸出的球一定有2个同色的,至少要摸出(4)个球;至少摸出(12)个球才能保证一定有一个红球。
    【点睛】本题考查抽屉原理的计算及应用。理解题意,考虑最差的状况,找出数量关系,列式计算即可。
    【预测命题方向4】行程问题。
    (2023·河南信阳·小升初真题)聪聪从某地图导航查知,郑州市中原福塔到西安市博物院全程约494km,在端午假期自驾从中原福塔出发到西安博物院,爸爸开车前3小时平均每小时行驶90km,后2小时平均每小时行驶112km,爸爸驾车全程的平均速度是多少?
    【答案】98.8千米/时
    【分析】全程的总长度已知,爸爸驾车全程所需的时间已知,根据“平均速度=总路程÷总时间”,代入数值即可计算出爸爸驾车全程的平均速度。
    【详解】494÷(3+2)
    =494÷5
    =98.8(千米/时)
    答:爸爸驾车全程的平均速度是98.8千米/时。
    【点睛】本题重点是理解平均速度,平均速度的关键是速度,掌握平均速度的计算公式是解答本题的关键。
    【对应练习】
    1.(2023·湖南湘西·小升初真题)游玩清明上河园。
    清明上河园坐落在八朝古都开封,是以北宋著名画家张择端的传世之作《清明上河图》为蓝本建造的大型宋代历史文化主题公园,徜徉其中,常令人有“一朝步入画卷,一日梦回千年”的时光倒流之感。
    小悦一家早上7:00出发,开车前往清明上河园游玩,计划每小时行驶60千米,5小时到达。实际前1.5小时他们行驶了112.5千米,照这样计算,他们什么时候到达清明上河园?
    【答案】上午11:00
    【分析】根据速度×时间=路程,据此求出到清明上河园的总路程,再根据路程÷时间=速度,据此求出实际的速度,最后根据路程÷速度=时间,据此求出到清明上河园共需要的时间,最后用7:00加上共需要的时间即可求解。
    【详解】60×5=300(千米)
    (300-112.5)÷(112.5÷1.5)
    =187.5÷75
    =2.5(小时)
    1.5+2.5=4(小时)
    7:00+4=11:00
    答:小悦一家早上7:00出发,上午11:00时候可以到达清明上河园。
    【点睛】本题考查小数除法,明确速度、时间和路程之间的关系是解题的关键。
    2.(2023·江苏淮安·小升初真题)淮安国际马拉松于今年4月9日上午开赛,来自国内外上万名参赛选手用脚步谱写了“运河三千里,醉美是淮安”的春日赞歌。
    (1)黄阿姨参加健康跑(全程7.5千米)项目比赛,跑完全程用时30分钟,黄阿姨平均每分钟跑多少米?
    (2)李宏与张明都是全程马拉松的参赛选手。比赛开始后,李宏一直以180米/分的速度匀速前进,张明开始以220米/分的速度跑了1小时,然后减速以160米/分的速度前进。两人在距离起点多少千米处相遇?
    【答案】(1)250米;(2)32.4千米
    【分析】(1)7.5千米=7500米,根据平均速度=总路程÷总时间,用7500÷30即可求出黄阿姨平均每分钟跑多少米;
    (2)1小时=60分钟,先根据速度×时间=路程,分别求出李宏和张明跑步的路程,再求出他们的路程差,再根据路程差÷速度差=追及时间,用此时的路程差÷(180-160)即可求出追及时间,再根据速度×路程=时间,求出李宏从一开始到相遇时的路程,再换算成单位千米即可。
    【详解】(1)7.5千米=7500米
    7500÷30=250(米/分钟)
    答:黄阿姨平均每分钟跑250米。
    (2)1小时=60分钟
    220×60-180×60
    =13200-10800
    =2400(米)
    2400÷(180-160)
    =2400÷20
    =120(分钟)
    180×(60+120)
    =180×180
    =32400(米)
    32400米=32.4千米
    答:两人在距离起点32.4千米处相遇。
    【点睛】本题主要考查了行程问题的计算和应用,明确路程、速度、时间之间的关系是解决本题的关键。
    3.(2023·安徽蚌埠·小升初真题)甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行,6小时后相遇,相遇后继续前行,甲又行了5小时到达B地,这时乙车离A地还有150千米。A、B两地相距多少千米?
    【答案】900千米
    【分析】速度×时间=路程,设A、B两地相距x千米,总路程÷相遇时间=两车速度和,甲行完全程用了(6+5)小时,也是乙车用的时间,总路程÷甲车用的时间=甲车速度,乙车行了(x-150)千米,乙车路程÷乙车用的时间=乙车速度。根据甲车速度+乙车速度=两车速度和,列出方程解答即可。
    【详解】解:设A、B两地相距x千米。
    x÷(6+5)+(x-150)÷(6+5)= x÷6
    x÷11+(x-150)÷11= x÷6
    [x÷11+(x-150)÷11]×11= x÷6×11
    x+x-150=x
    2x-150=x
    2x-150-x+150=x-x+150
    x=150
    x÷=150÷
    x=150×6
    x=900
    答:A、B两地相距900千米。
    【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系,用方程解决问题的关键是找到等量关系。
    【预测命题方向5】工程问题。
    (2023·福建莆田·小升初真题)一项工程甲单独做15天完成,乙单独做12天完成,现他们合做若干天后,剩下的由乙单独做3天才能完成,甲、乙合做了多少天?
    【答案】5天
    【分析】将这项工程的工作量当作单位“1”,则甲、乙的工作效率分别、,则乙单独做3天能完成总工作量×3=,其余的1-由他们合做完成,则根据工作量÷工作效率=工作时间可知,甲、乙合做的天数为(1-)÷()。
    【详解】(1-×3)÷()
    =(1-×3)÷()
    =(1-×3)÷
    =(1-)÷
    =÷
    =×

    =5(天)
    答:甲、乙合做了5天。
    【对应练习】
    1.(2023·四川·小升初真题)加工一批零件,甲、乙两人合作需要8天完成,如果由乙独做需12天完成。两人开始合作一段时间后,乙离开另有任务,余下的工作由甲来完成,又用了3天,两人合作几天?
    【答案】7天
    【分析】把零件总量看作单位“1”,根据工作效率和=工作总量÷工作时间,用1÷8即可求出甲乙两人的工作效率和,用1÷12即可求出乙的工作效率,再用甲乙两人的工作效率和减去乙的工作效率,即可求出甲的工作效率,根据工作效率×工作时间=工作总量,用甲的工作效率乘3天,即可求出甲3天的工作量,然后用1减去甲3天的工作量,即可求出两人合作的工作量,再用两人合作的工作量÷两人的工作效率和,即可求出两人合作的时间。
    【详解】1÷8=
    1÷12=
    -=
    ×3=
    1-=
    ÷
    =×8
    =7(天)
    答:两人合作7天。
    2.(2023·湖北十堰·小升初真题)一批零件,甲单独加工需要15天完成,乙单独加工每天能加工30个零件。现在由甲、乙两人共同加工5天后,完成了这批零件的75%。这批零件有多少个?
    【答案】360个
    【分析】把这批零件的总个数看作单位“1”,甲每天加工这批零件的,5天加工这批零件的×5,由甲、乙两人共同加工5天后,完成了这批零件的75%,则乙5天加工这批零件的(75%-×5),根据“工作效率=工作总量÷工作时间”求出乙每天加工零件的个数占这批零件总个数的分率,乙每天加工30个零件,最后根据量÷对应的分率=单位“1”求出这批零件的总个数,据此解答。
    【详解】(75%-×5)÷5
    =(-)÷5
    =÷5
    =×

    30÷
    =30×12
    =360(个)
    答:这批零件有360个。
    【点睛】本题主要考查分数除法的应用,掌握工作总量、工作时间、工作效率之间的关系是解答题目的关键。
    3.(2023安徽芜湖·小升初真题)—条公路,甲队单独修要10天,乙队单独修要12天,丙队单独修要15天。现在甲队先修两天后,剩下的由乙、丙两队合作完成,还需要几天修完这条公路?
    【答案】天
    【分析】把修这条公路的工作总量看作单位“1”,根据“工作效率=工作总量÷工作时间”,分别求出甲、乙、丙各自的工作效率;
    已知甲队先修两天,根据“工作量=工作效率×工作时间”,求出甲队修2天完成的工作量;
    用工作总量“1”减去甲队修2天完成的工作量,求出剩下的工作量;根据“工作时间=工作量÷工作效率”,用剩下的工作量除以乙、丙两队的工作效率之和,即是还需要修的天数。
    【详解】1÷10=
    1÷12=
    1÷15=
    (1-×2)÷(+)
    =(1-)÷(+)
    =÷
    =×
    =(天)
    答:还需要天修完这条公路。
    【点睛】本题考查工程问题,掌握工作效率、工作时间、工作总量之间的关系是解题的关键。
    材料
    色拉油

    酱油
    用量
    60克
    30克
    10克
    所受拉力
    5N
    6N
    8N
    10N

    弹簧伸长
    2cm
    2.4cm
    3.2cm
    4cm

    所行路程(千米)
    16
    32
    48
    64
    耗油量(升)
    2
    4
    6
    8
    甲店:每买10套送2套。
    乙店:全场八五折销售。
    丙店:每满200元,返现金30元。
    现金支付:每满50元减10元(满50元减10元,满100元减20元,以此类推)
    微信支付:随机减免
    支付宝支付:打八五折
    网店
    促销方式(免运费)
    A
    每满100元减30元
    B
    打七五折
    C
    先打八折后再每满200元减20元
    D
    买四赠一
    月份
    用水量/立方米
    水费/元
    4
    15
    31.50
    5
    24
    56.40
    月份
    用水量(立方米)
    水费(元)
    4
    15
    31.50
    5
    24
    56.40
    居民阶梯用水分类
    单价
    (元/)
    其他代收费用
    说明
    第一级<
    1.8
    代收污水处理费和生活垃圾处理费。每月生活垃圾处理费以月用水量为上限计收,0.5元/,超过部分不计收。污水处理费收费标准:1元
    居民阶梯水价水量按每户家庭每月4人用水量计算,如家庭人口超过4人,每增加1人,在每一级阶梯水量的上、下限基础上相应增加/月,每一级单价不变。
    第二级
    2.7
    第三级
    5.4
    头/个
    鸡/只
    兔/只
    腿/条
    结论
    20
    10
    10
    60
    ×
    头/个
    鸡/只
    兔/只
    腿/条
    结论
    20
    10
    10
    60
    ×
    20
    11
    9
    58
    ×
    20
    12
    8
    56
    ×
    20
    13
    7
    54

    20
    14
    6
    52
    ×

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