2024年小升初数学考前最后一课-【考前冲刺】考后衔接篇

这是一份2024年小升初数学考前最后一课-【考前冲刺】考后衔接篇，共382页。试卷主要包含了夯实基础，提高拓展，精做精练，查漏补缺，伽利略，阿兰·图灵等内容，欢迎下载使用。
1、夯实基础。基础知识是整个数学知识体系中最根本的基石。
2、提高拓展。涉及的有关知识点要进行过关、强化训练，做到知识点之间能够融会贯通。
3、精做精练。精选几套模拟试题，其中包括历年联考试题。
4、查漏补缺。订正比做题更重要，对比错解和订正后的正确过程，就能发现错误的原因。
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考前最后一课
目 录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc165033654" 一、考前猜想篇 PAGEREF _Tc165033654 \h 4
\l "_Tc165033655" 【题型命题猜想01】数和量认知综合—整、小、分、百综合转化问题 PAGEREF _Tc165033655 \h 4
\l "_Tc165033656" 【题型命题猜想02】数和代数运算综合—简便计算与十三种巧算法 PAGEREF _Tc165033656 \h 24
\l "_Tc165033657" 【题型命题猜想03】数式和数形综合—定义新运算与数、形、式规律探索 PAGEREF _Tc165033657 \h 60
\l "_Tc165033658" 【题型命题猜想04】平面图形综合—不规则或组合图形与十二种面积法 PAGEREF _Tc165033658 \h 74
\l "_Tc165033659" 【题型命题猜想05】立体图形综合—表面积变化问题与排水法 PAGEREF _Tc165033659 \h 104
\l "_Tc165033660" 【题型命题猜想06】比和比例综合—按比分配、比例的实际应用、不变量问题 PAGEREF _Tc165033660 \h 125
\l "_Tc165033661" 【题型命题猜想07】分数和百分数综合—浓度、折扣、促销与利润问题 PAGEREF _Tc165033661 \h 153
\l "_Tc165033662" 【题型命题猜想08】生活和实际综合—五种高频易错生活实际问题。 PAGEREF _Tc165033662 \h 171
\l "_Tc165033663" 二、学科核心素养篇 PAGEREF _Tc165033663 \h 192
\l "_Tc165033664" 【学科核心素养01】数感表达与定量分析能力 PAGEREF _Tc165033664 \h 192
\l "_Tc165033665" 【学科核心素养02】符号意识与抽象思维能力 PAGEREF _Tc165033665 \h 198
\l "_Tc165033666" 【学科核心素养03】算法算理与规范运算能力 PAGEREF _Tc165033666 \h 206
\l "_Tc165033667" 【学科核心素养04】模型意识与几何直观能力 PAGEREF _Tc165033667 \h 215
\l "_Tc165033668" 【学科核心素养05】空间观念与空间想像能力 PAGEREF _Tc165033668 \h 229
\l "_Tc165033669" 【学科核心素养06】推理意识与逻辑思维能力 PAGEREF _Tc165033669 \h 240
\l "_Tc165033670" 【学科核心素养07】联系生活与情景解读能力 PAGEREF _Tc165033670 \h 248
\l "_Tc165033671" 【学科核心素养08】数学意识与信息获取能力 PAGEREF _Tc165033671 \h 259
\l "_Tc165033672" 【学科核心素养09】创新意识与实验探究能力 PAGEREF _Tc165033672 \h 274
\l "_Tc165033673" 三、考前技巧篇 PAGEREF _Tc165033673 \h 287
\l "_Tc165033674" 【小升初数学考前技巧01】十大解题方法大揭秘 PAGEREF _Tc165033674 \h 287
\l "_Tc165033675" 【小升初数学考前技巧02】答题技巧、应试心理大揭秘 PAGEREF _Tc165033675 \h 293
\l "_Tc165033676" 【小升初数学考前技巧03】解答题十大技巧大揭秘 PAGEREF _Tc165033676 \h 296
\l "_Tc165033677" 四、考前押题篇 PAGEREF _Tc165033677 \h 306
\l "_Tc165033678" 一、试卷部分： PAGEREF _Tc165033678 \h 306
\l "_Tc165033679" 二、解析部分： PAGEREF _Tc165033679 \h 321
\l "_Tc165033680" 五、考场注意篇 PAGEREF _Tc165033680 \h 369
\l "_Tc165033681" 【考场注意篇01】小学数学临场解题策略大揭秘 PAGEREF _Tc165033681 \h 369
\l "_Tc165033682" 【考场注意篇02】小升初考试答题卡填涂注意事项网络阅卷流程简介 PAGEREF _Tc165033682 \h 374
\l "_Tc165033683" 六、考后衔接篇 PAGEREF _Tc165033683 \h 382
\l "_Tc165033684" 【01放松身心劳逸结合】把孩子交给夏日阳光、绿树浓荫 PAGEREF _Tc165033684 \h 382
\l "_Tc165033685" 【02文艺作品中找数学】中学生必看数学题材的电影 PAGEREF _Tc165033685 \h 385
\l "_Tc165033686" 【03假期尾声收收心】七年级数学预习书籍、资源推荐 PAGEREF _Tc165033686 \h 395
【题型命题猜想01】数和量认知综合—整、小、分、百综合转化问题
【命题解读】
数的认识一直是小学数学最为基础的内容之一，它主要涉及到三种数，即整数、小数和分数（百分数），它经常是各学段各期末的重点考察内容，对其概念考察也是小升初的必考内容。
常见的量包括时间单位、质量单位、长度单位、面积单位、体积（容积）单位等，一直作为小数数学基础内容存在，对于学生的实践认知和量感构建十分重要。
近年来的考察主要以数的基础认识和综合转化运用为主，题型上填空、选择、判断、计算都有涉猎，一般难度不大，但容易出错，另外，关于正负数的意义以及在数轴上的应用也是今年常考题型。
总之，解决数的综合问题，关键在于熟悉各类型数的基础概念，并能熟练掌握数与数之间的形式转化，构建起数感和认知体系，这是考察的重点方向，也是后续进入中学进行实数学习的基础。
【预测命题方向1】数的读写、改写与近似数综合。
（2023·新疆乌鲁木齐·小升初真题）截止2020年10月2日，生活在地球上的人口总数约为7585204179人。横线上的数读作( )；省略“亿”位后面的数约是( )亿人。土地沙漠化，每年给我国造成的经济损失超过42000000000美元。把横线上的数改写成用“亿”作单位的数是( )亿美元。
【答案】 七十五亿八千五百二十万四千一百七十九 76 420
【分析】读数时，把数先分级，从高位读起，亿级或万级的数按照个级的读法去读，再在每级的末尾加一个“亿”或“万”字，每级末尾的0都不读，每一级的开头或中间无论有几个0，都读一个0；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字；整数改写成用“亿”作单位的数就是把原数的亿位后面的8个0去掉，同时要在改写的数后面写上“亿”字，数的大小不变。
【详解】7585204179读作：七十五亿八千五百二十万四千一百七十九
7585204179≈76亿
42000000000＝420亿
截止2020年10月2日，生活在地球上的人口总数约为7585204179人。横线上的数读作七十五亿八千五百二十万四千一百七十九；省略“亿”位后面的数约是76亿人。土地沙漠化，每年给我国造成的经济损失超过42000000000美元。把横线上的数改写成用“亿”作单位的数是420亿美元。
【对应练习】
1．（2023·福建莆田·小升初真题）第七次全国人口普查结果显示，我国总人口为1443497378人，把它改写成用“亿”作单位的数并保留两位小数约是( )亿。其中大陆部分的0～14岁人口为253383938人，占17.95%；15～59岁人口为894376020人，占63.35%；60岁及以上人口为264018766人，占( )%，省略“万”后面的尾数后约是( )人。
【答案】 14.43 18.7 26402万
【分析】改写成用“亿”作单位的数，就是在亿位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“亿”字；保留两位小数，就是把千分位上的数进行四舍五入；
把我国总人数看作单位“1”，用1减去0～14岁人口占总人数的百分比，减去15～59岁人口占总人数的百分比，即可求出60岁及以上人口占总人数的百分比；
省略“万”后面的尾数，就是四舍五入到万位，就是把万位后的千位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“万”字。
【详解】1443497378＝14.43497378亿
14.43497378亿≈14.43亿
1－17.95%－63.35%
＝82.05%－63.35%
＝18.7%
264018766≈26402万
第七次全国人口普查结果显示，我国总人口为1443497378人，把它改写成用“亿”作单位的数并保留两位小数约是14.43亿。其中大陆部分的0～14岁人口为253383938人，占17.95%；15～59岁人口为894376020人，占63.35%；60岁及以上人口为264018766人，占18.7%，省略“万”后面的尾数后约是26402万人。
2．（2023·山西晋中·小升初真题）山西总面积15.67万平方千米。截至2022年11月1日零时，山西常住人口为34915616人，横线上的数读作( )，省略“万”位后面的尾数约是( )万；山西四季分明，冬季白天平均气温11摄氏度，夜间平均气温﹣2摄氏度，横线上的数读作( )，表示( )摄氏度。
【答案】 三千四百九十一万五千六百一十六 3492 负二 零下二
【分析】根据整数的读法，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位一个0或连续几个0都只读一个零，即可读出此数；省略“万”位后面的尾数就是四舍五入到万位，就是把万位后的千位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“万”字。
比0℃低的温度叫零下温度，通常在数字前面加“﹣”（负号）。负数的读法：先读“负”，数字部分按数的读法去读。
【详解】34915616读作三千四百九十一万五千六百一十六，省略“万”位后面的尾数约是3492万；山西四季分明，冬季白天平均气温11摄氏度，夜间平均气温﹣2摄氏度读作负二，表示零下二摄氏度。
3．（2023·广西南宁·小升初真题）南宁，简称邕，古称邕州，中国广西壮族自治区首府，广西第一大城市。2022年末，全市常住人口约八百八十九万一千七百人，人口总量居全区第一，占全区人口比重为17.62%，横线上的数写作( )，省略万后面的尾数约是( )万。
【答案】 8891700 889
【分析】大数的写法：
1．先写亿级，再写万级，最后写个级；
2．哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0；省略万后面的尾数，需要找到“万”位，把千位上的数字进行四舍五入，并把“万位”后面的尾数省略，再加上一个“万”字。据此解答即可。
【详解】八百八十九万一千七百写作：8891700
8891700≈889万
则横线上的数写作8891700，省略万后面的尾数约是889万。
【预测命题方向2】因、倍、质、合、奇、偶综合。
（2023·河南新乡·小升初真题）在1，2，27，53，68中，( )既是奇数又是合数；( )既是偶数又是质数；( )既不是质数又不是合数。
【答案】 27 2 1
【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
【详解】在1，2，27，53，68中，27既是奇数又是合数；2既是偶数又是质数；1既不是质数又不是合数。
【点睛】本题考查奇数与偶数、质数与合数的意义及应用。
【对应练习】
1．（2023·广东湛江·小升初真题）在1、12、20、21、54、117、29、450中，奇数有( )，质数有( )，3的倍数有( )，同时是2、5、3的倍数有( )。
【答案】 1、21、117、29 29 12、21、54、117、450 450
【分析】奇数：末尾是1、3、5、7、9的数是奇数；质数：除了1和它本身，没有其它因数的数是质数；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数，这个数就是3的倍数；2的倍数特征：末尾是0、2、4、6、8的数是2的倍数；5的倍数特征：末尾是0、5的数是5的倍数特征，同时是2、3、5的倍数，那么这个数的个位一定是0，找出个位是0的数，再根据3的倍数特征判断其它位上的数。
【详解】由分析可知：
奇数有：1、21、117、29
质数：29
3的倍数：12、21、54、117、450
同时是2、5、3的倍数有：450
【点睛】本题主要考查质数的意义以及2、3和5的倍数特征，熟练掌握它们的特征并灵活运用。
2．（2023·江苏泰州·小升初真题）用10以内的3个质数组成一个三位数，它既有因数3，又是5的倍数，这个三位数可能是( )或( )。24和36的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
【答案】 375 735 12 72
【分析】10以内的质数有2、3、5、7，根据3、5的倍数的特征，一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数；同时是3和5的倍数的数，个位上是0或5且各位上的数字之和是3的倍数，由此可知，这个三位数可能是375或735。再根据求两个数的最大公因数、最小公倍数的方法，把两个数分解质因数，公有质因数的乘积是它们的最大公因数，公有质因数与独有质因数的连乘积是它们的最小公倍数。据此解答。
【详解】用10以内的3个质数组成一个三位数，它既有因数3，又是5的倍数，这个三位数可能是375或735。
24＝2×2×2×3
36＝2×2×3×3
24和36的最大公因数是
2×2×3
＝4×3
＝12
最小公倍数是
2×2×3×2×3
＝4×3×2×3
＝12×2×3
＝24×3
＝72
用10以内的3个质数组成一个三位数，它既有因数3，又是5的倍数，这个三位数可能是375或735。24和36的最大公因数是12，最小公倍数是72。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握质数的意义及应用，3、5的倍数的特征及应用，求两个数的最大公因数、最小公倍数的方法及应用。
3．（2023·河南濮阳·小升初真题）兰兰的微信号是由9位数字组成的，4A13B57CD，A是最小的质数，B的最大因数是8，C既是奇数也是合数，D是2和3的公倍数，兰兰的微信号是( )。
【答案】421385796
【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。一个数的最小的因数是1，最大的因数是它本身。在自然数中，不是2的倍数的数叫做奇数，是2的倍数的数叫做偶数。公倍数指两个数公有的倍数，据此解答。
【详解】最小的质数是2，所以A为2；
最大因数是它本身，所以B为8；
既是奇数也是合数的一位数是9，所以C为9；
2和3的公倍数的一位数是6，所以D为6；
兰兰的微信号是421385796。
【点睛】本题主要考查了质数、因数、奇数、合数、公倍数的认识和应用，要熟练掌握每个知识点。
【预测命题方向3】关于最大公因数与最小公倍数的三种特殊形式。
1．（形式其一）（2022·山东青岛·小升初真题）如果A＝7B，那么A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
【答案】 B A
【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数；据此解答。
【详解】如果A＝7B
则A和B是倍数关系，那么A和B的最大公因数是B，最小公倍数是A。
【点睛】本题主要考查了最大公因数和最小公倍数的求法。
2．（形式其二）（2023·河北保定·小升初真题）如果a－1＝b（a、b分别为非零的自然数），那么a、b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
【答案】 1 ab
【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；
如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数；
如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答。
【详解】如果a－1＝b（a、b分别为非零的自然数），则a和b是两个相邻的自然数，它们的公因数只有1，所以a和b互质，它们的最大公因数是1，最小公倍数是ab。
【点睛】本题考查了最大公因数和最小公倍数的求法，掌握相应的计算方法是解答本题的关键。
3．（形式其三）（2023·陕西延安·小升初真题）A＝2×3×3，B＝2×3×5，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
【答案】 6 90
【分析】根据求两个数的最大公因数、最小公倍数的方法，把两个数分解质因数，公有质因数的乘积就是它们的最大公因数，公有质因数与独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数。据此解答。
【详解】A＝2×3×3
B＝2×3×5
A和B的最大公因数是2×3＝6
A和B最小公倍数是2×3×3×5＝90
【点睛】此题考查的目的是理解掌握求两个数的最大公因数、最小公倍数的方法及应用。
【对应练习】
1．（2023·河南洛阳·小升初真题）a、b都是非零自然数。如果a是b的5倍，那么a和b的最大公因数是( )；如果a＋1＝b，那么a和b的最小公倍数是( )。
【答案】 b ab
【分析】成倍数关系的两个数，较小数是这两个数的最大公因数；
相邻的两个自然数，这两个数的最小公倍数是它们的乘积。据此解题。
【详解】a、b都是非零自然数。如果a是b的5倍，那么a和b的最大公因数是b；如果a＋1＝b，那么a和b的最小公倍数是ab。
【点睛】本题考查了最大公因数和最小公倍数，掌握最大公因数和最小公倍数的特殊求法是解题的关键。
2．（2023·湖南湘西·小升初真题）已知a＝2×3×m，b＝2×5×m（m是自然数且m不等于0），如果a与b的最大公因数是14，则m是( )，a和b的最小公倍数是( )。
【答案】 7 210
【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。据此可知2×m＝14，根据等式的性质2，两边同时÷2，即可求出m的值。
全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。
【详解】2×m＝14
解：2×m÷2＝14÷2
m＝7
2×3×5×7＝210
已知a＝2×3×m，b＝2×5×m（m是自然数且m不等于0），如果a与b的最大公因数是14，则m是7，a和b的最小公倍数是210。
【点睛】关键是理解最大公因数和最小公倍数的意义，掌握最大公因数和最小公倍数的求法。
3．（2023·四川成都·小升初真题）有一箱苹果，甲班分，每人3个还剩10个；乙班分，每人4个还剩11个；丙班分，每人5个还剩12个；那么这箱苹果至少有( )个。
【答案】67
【分析】每人3个还剩10个，10－3＝7，也就是这批苹果的数量是3的倍数还多7；每人4个还剩11个，11－4＝7，也就是这批苹果的数量是4的倍数还多7；每人5个还剩12个，12－5＝7，所以这批数量是5的倍数多7。这批苹果的数量是3、4、5的公倍数多7；因为3、4、5两两互质，则用3×4×5即可求出这三个数的最小公倍数，再加上7即可求出这批苹果的数量最少是多少。
【详解】10－3＝7
11－4＝7
12－5＝7
3×4×5＝60
60＋7＝67（个）
这箱苹果至少有67个。
【点睛】本题主要考查了最小公倍数的灵活应用，找到相同的余数是解答本题的关键。
【预测命题方向4】整、小、分、百、比、除法、折数、成数综合转化。
（2023·山东济南·小升初真题）2÷5＝( )∶40＝( )%＝＝( )折＝( )成。
【答案】16；40；45；四；四
【分析】根据比与除法的关系可知，2÷5＝2∶5，再根据比的基本性质，比的前、后项都乘8就是16∶40；
2÷5＝0.4；把0.4的小数点向右移动两位，添上百分号就是40%；
根据分数与除法的关系可知，2÷5＝，再根据分数的基本性质，分子、分母都乘9就是；
根据成数的意义，40%就是四成；
根据折扣的意义，40%就是四折。
【详解】2÷5＝2∶5＝（2×8）∶（5×8）＝16∶40
2÷5＝0.4＝40%
2÷5＝＝＝
40%＝四折＝四成
所以，2÷5＝16∶40＝40%＝＝四折＝四成。
【点睛】此题主要是考查除法、小数、分数、百分数、比、折扣、成数之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。
【对应练习】
1．（2022·广东肇庆·小升初真题）3∶5＝＝( )÷20＝45∶( )＝( )%＝( )折＝( )成。
【答案】40；12；75；60；六；六
【分析】根据比与分数的关系3∶5＝，再根据分数的基本性质，分子和分母同时乘8就是＝；根据比与除法的关系3∶5＝3÷5，再根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘4就是3∶5＝12∶20；比的前项和后项同时乘15就是3∶5＝45∶75；用比的前项除以比的后项即可化为小数，即3∶5＝3÷5＝0.6，把0.6的小数点向右移动两位再加上百分号，即可化为百分数，即0.6＝60%；几折或几成就是百分之几十，60%＝六折＝六成。
【详解】由分析可知：
3∶5＝＝12÷20＝45∶75＝60%＝六折＝六成
【点睛】本题考查比、分数、除法、百分数、折扣和成数的互化，明确它们之间的关系是解题的关键。
2．（2022·河南新乡·小升初真题）12÷( )＝＝( )∶12＝＝( )折＝( )（填小数）。
【答案】16；9；18；七五；0.75
【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变；
分数与除法的关系：分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号；
分数与比的关系：分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，分数线相当于比号；
分数化成小数，用分子除以分母即可；
小数化成百分数，小数点向右移动两位，同时在数的后面添上百分号；
根据折扣的意义，百分之几十几就是几几折。
【详解】＝＝，＝12÷16
＝＝，＝9∶12
＝＝
＝3÷4＝0.75
0.75＝75%＝七五折
即12÷16＝＝9∶12＝＝七五折＝0.75。
【点睛】掌握小数、分数、百分数、折扣的互化，分数的基本性质，分数与除法、比的关系是解题的关键。
3．（2023·广东汕尾·小升初真题）( )÷15＝＝六成＝( )%＝18∶( )＝( )（填小数）。
【答案】9；12；60；30；0.6
【分析】根据几成表示百分之几十，可得六成＝60%；百分数化为分数，分母为100，分子是百分号前面的数，能约分的要约分；据此可得60%＝；根据分数的基本性质，将的分子和分母同时乘3，可得＝；将的分子和分母同时乘4，可得＝； 将的分子和分母同时乘6，可得＝；根据分数与除法的关系，可得＝9÷15；根据分数和比的关系，可得＝18∶30；百分数化为小数，先去掉百分号，然后将小数点向左移动2位，据此可得60%＝0.6；据此解答。
【详解】9÷15＝＝六成＝60%＝18∶30＝0.6
【点睛】本题考查了小数、分数、除法、比和百分数的互化，根据它们之间的性质和关系进行转化即可。
【预测命题方向5】整、小、分、百、正数、负数综合比较。
（2022·河南濮阳·小升初真题）在、、3.14%、、﹣4这五个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。
【答案】 ﹣4
【分析】因为正数大于负数，所以最小的数是﹣4。将和3.14%都化成小数，再按照小数比较大小的方法，比较出、、3.14%、的大小。
【详解】＝
＝3.1415926……
3.14%＝0.0314
、3.1415926……、的个位、十分位、百分位上的数字都相同；千分位上的数字是2，3.1415926……千分位上的数字是1，千分位上的数字是4，所以＞＞3.1415926……；0.0314个位上的数字是0，所以＞＞3.1415926……＞0.0314。即＞＞＞3.14%＞﹣4。所以最大的数是，最小的数是﹣4。
【点睛】此题考查了“分数、百分数、小数的互化”“小数的大小比较”“正数、负数的大小比较”。
【对应练习】
1．（2022·河北石家庄·小升初真题）在π、﹣3、、31.4%中，最大的数是( )，最小的数是( )。（取3.14）
【答案】 ﹣3
【分析】所有的正数都比负数大；把分数、百分数都转化成小数后，再根据小数的比较大小方法：先比较整数部分，整数部分大的就大，整数部分相等，就比较小数部分的十分位，十分位大的就大；依次比较直到比较出大小为止，据此解答。
【详解】根据分析得，所有的正数都比负数大，所以最小的数是﹣3。
≈3.333
31.4%＝0.314
﹣3＜0.314＜3.14＜3.333
即﹣3＜31.4%＜π＜
所以最大的数是，最小的数是﹣3。
【点睛】此题的解题关键是掌握正负数比较大小的方法，掌握分数、百分数和小数之间的互化，利用小数比较大小的方法，求出结果。
2．（2021·河南郑州·小升初真题）在、66.7%、﹣2、、﹣0.2这几个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。
【答案】 66.7% ﹣2
【分析】可先把、66.7%、这几个数转化为小数，再与负数﹣2、﹣0.2相比较。
【详解】＝0.625
66.7%＝0.667
＝0.666…
因为0.667＞0.666…＞0.625＞﹣0.2＞﹣2，即66.7%＞＞＞﹣0.2＞﹣2，可知：
在、66.7%、﹣2、、﹣0.2这几个数中，最大的数是（66.7%），最小的数是（﹣2）。
【点睛】所有的正数都比负数大，且负号后面的数越大，该负数反而越小，再结合小数的大小比较方法，就能够对于本题中的数字进行准确的排序，并确定最大数和最小数。
3．（2021·贵州遵义·小升初真题）在﹣3.7、π、3.14、316%和这五个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。
【答案】 ﹣3.7
【分析】首先根据分数、百分数和小数互化的方法，把其中的分数、百分数化成小数，然后根据小数比较大小的方法判断即可。
【详解】л≈3.142，316%＝3.16，≈3.33，
因为﹣3.7＜3.14＜л＜3.16＜3.33，所以最大的数是，最小的数是﹣3.7。
【点睛】先把百分数、分数化成小数，再比较大小，解答此题应注意负数小于正数。
【预测命题方向6】正、负数的意义与数轴。
（2023·河南焦作·小升初真题）看图填空。
(1)如果李老师从0点向东行驶3格表示为﹢600m，那么从0点向西行驶4格，应表示为( )m。
(2)如果李老师从0点出发，先向东行驶5格，再向西行驶7格，这时李老师的位置表示为( )m。
【答案】(1)﹣800
(2)﹣400
【分析】（1）由题意可知，李老师从0点向东行驶3格表示为﹢600m，说明规定向东用正数表示，则向西用负数表示，每个表示600÷3＝200m，据此填空即可；
（2）李老师从0点出发，先向东行驶5格，再向西行驶7格，实际相当于向西行驶2格，据此解答即可。
【详解】（1）600÷3＝200（m）
200×4＝800（m）
则如果李老师从0点向东行驶3格表示为﹢600m，那么从0点向西行驶4格，应表示为﹣800m。
（2）200×2＝400（m）
则如果李老师从0点出发，先向东行驶5格，再向西行驶7格，这时李老师的位置表示为﹣400m。
【点睛】本题考查正负数在数轴上的表示，明确向东用正数表示，则向西用负数表示是解题的关键。
【对应练习】
1．（2023·河北衡水·小升初真题）在下面的直线上，从0出发，向左移动4个单位长度到点A，点A表示的数是( )。从点A向右移动6个单位长度到点B，点B表示的数是( )。
【答案】 ﹣4 2
【分析】在数轴上，负数在0的左边，正数在0的右边，根据题意可知，每个单位长度表示1，从0往左数4个单位长度用负数表示为﹣4，也就是A点，A点距离0有4个单位长度，B点距离0有（6－4）个单位长度，且B点在0的右边，则B点用正数表示为2。
【详解】负数在0的左边
从0往左数4个单位长度用负数表示为﹣4，也就是A点
所以点A表示的数是﹣4
A点距离0有4个单位长度，B点距离0有（6－4）个单位长度，且B点在0的右边
所以B点用正数表示为2。
【点睛】本题考查了数轴知识，结合正负数知识解答即可。
2．（2023·浙江温州·小升初真题）如下图，有一颗珠子在A点的位置，表示的数是( )；这颗珠子从A点向东滚动( )米会到达B点的位置。
【答案】 ﹣米
【分析】数轴上以0为分界点，0右边的数大于0用“﹢”表示，正号可以省略，0左边的数小于0用“﹣”表示，负号不可以省略，把﹣1和﹣2之间的长度看作单位“1”，把单位“1”平均分成4份，取出其中的2份，用分数表示为，即，A点位于﹣1和﹣2之间表示的数是﹣；同理可知，B点位于0和1之间表示的数是，求出与的和就是A点滚动的距离，据此解答。
【详解】分析可知，A点表示的数是﹣米，B点表示的数是米。
＋
＝＋
＝（米）
所以，A点的位置表示的数是﹣米，这颗珠子从A点向东滚动米会到达B点的位置。
【点睛】掌握分数的意义和正负数在数轴上表示的方法是解答题目的关键。
3．（2023·广西南宁·小升初真题）在数轴上，一只毛毛虫从原点出发，它先向左爬到达点A，此时点A用负数表示是( )；再向右爬到达点B，此时点B用分数表示是，点B还可以用百分数表示是( )，接着毛毛虫继续向右爬，爬了( )个，到达点C处，点C用小数表示是( )。
【答案】﹣1；；75%；6；2.25
【分析】数轴上，0的左边是负数，0的右边是正数；观察数轴，将“1”平均分成4份，其中1份是，据此确定点B，用分子÷分母，求出小数，将小数的小数点向右移动两位，添上百分号，即可将分数化成百分数；1小格表示0.25，点C在2右边第一格处，据此确定点C。
【详解】＝3÷4＝0.75＝75%
点A用负数表示是﹣1；点B用分数表示是，点B还可以用百分数表示是75%，接着毛毛虫继续向右爬，爬了6个，到达点C处，点C用小数表示是2.25。
【点睛】关键是能确定数轴上正负数的位置，掌握百分数、分数、小数的互化方法。
【预测命题方向7】时间、质量、长度、面积、体积（容积）单位的选择与换算。
1．（2023·内蒙古呼伦贝尔·小升初真题）请认真阅读下面的材料，在括号里填上合适的单位名称。
登机时间为起飞前45( )， 如果是国内航班，至少需要提前1.5( )到机场办理登机手续。小件行李是可以直接带上飞机的，无需托运。随身携带的行李，长55( )，宽40( )内，重量限制是5( )；容积小于100( )的液体也可以随身携带。
【答案】 分钟/min 小时/h 厘米/cm 厘米/cm 千克/kg 毫升/mL
【分析】根据生活经验以及对时间单位、长度单位、质量单位、容积单位和数据大小的认识，结合实际情况选择合适的单位即可。
【详解】登机时间为起飞前45分钟，如果是国内航班，至少需要提前1.5小时到机场办理登机手续。随身携带的行李长55厘米，宽40厘米内，重量限制是5千克；容积小于100毫升的液体也可以随身携带。
【点睛】本题主要考查根据情境选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择。
2．（2023·陕西宝鸡·小升初真题）单位换算。
米＝( )厘米 45分＝( )时 公顷＝( )平方米
6.2平方分米＝( )平方米 0.55千克＝( )克
750毫升＝( )升
【答案】 75 0.75 1250 0.062 550 0.75
【分析】根据1米＝100厘米，1时＝60分，1公顷＝10000平方米，1平方米＝100平方分米，1千克＝1000克，1升＝1000毫升，高级单位化低级单位要乘进率，低级单位化高级单位要除以进率，据此解答。
【详解】米＝75厘米
45分＝0.75时
公顷＝1250平方米
6.2平方分米＝0.062平方米
0.55千克＝550克
750毫升＝0.75升
【点睛】本题主要考查了长度单位、面积单位、容积单位、时间单位、质量单位的换算，明确高级单位化低级单位要乘进率，低级单位化高级单位要除以进率。
【对应练习】
1．（2023·河南三门峡·小升初真题）星期天，小东和爸爸一起到游泳馆去游泳，游泳池真大，大约可以装水2000( )；小东在浅水区，水面超过胸脯，水深大约有82( )；游泳完后爸爸给小东买了一瓶饮料，这瓶饮料大约有0.75( )；回到家里，小东称了一下自己的体重是36( )。
【答案】 立方米/ 厘米/cm 升/L 千克/kg
【分析】根据生活经验以及对长度单位、质量单位、体积单位、容积单位和数据大小的认识，结合实际情况选择合适的单位即可。
【详解】游泳池大约可以装水2000立方米；小东在浅水区水面超过胸脯，则水面约有82厘米；一瓶饮料约750毫升，即0.75升；小东的体重是36千克。
【点睛】本题主要考查根据情境选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择。
2．（2023·新疆乌鲁木齐·小升初真题）在下面的括号里填上合适的数或计量单位。
时＝( )分 8.7升＝( )升( )毫升
3060千克＝( )吨 ( )平方米＝0.45公顷
6.05( )＝605( )
【答案】 50 8 700 3.06 4500 平方米 平方分米
【分析】1时＝60分；1升＝1000毫升；1吨＝1000千克；1公顷＝10000平方米；1平方米＝100平方分米；高级单位换算成低级单位，乘进率；低级单位换算成高级单位，除以进率，据此解答。
【详解】时＝×60＝50分
0.7升＝700毫升
8.7升＝8升700毫升
3060千克＝3.06吨
4500平方米＝0.45公顷
6.05平方米＝605平方分米（答案不唯一）
3．（2023·辽宁大连·小升初真题）单位换算。
300m＝( )km 2.6t＝( )kg 10.5dm3＝( )mL
时＝( )分 21元3角5分＝( )元
20000平方米＝( )公顷
【答案】 0.3 2600 10500 18 21.35 2
【分析】低级单位化高级单位除以进率，高级单位化低级单位乘进率；
低级单位米化高级单位千米除以进率1000，即300÷1000＝0.3；
高级单位吨化低级单位千克乘进率1000，即2.6×1000＝2600；
高级单位立方分米化低级单位毫升乘进率1000，即10.5×1000＝10500；
高级单位时化低级单位分乘进率60，即；
把3角除以进率10，5分除以进率100，再把二者结果与21元相加，即3÷10＋5÷100＋21＝21.35；
低级单位平方米化高级单位公顷除以进率10000，即20000÷10000＝2。
【详解】由分析可知：
300m＝0.3km 2.6t＝2600kg 10.5dm3＝10500mL
时＝18分 21元3角5分＝21.35元 20000平方米＝2公顷
【点睛】本题考查单位换算，注意：低级单位化高级单位除以进率，高级单位化低级单位乘进率。
【题型命题猜想02】数和代数运算综合—简便计算与十三种巧算法。
【命题说明】
数与代数的运算是小学数学最为重要的内容之一，小升初主要考察各类型数的四则混合运算、简便计算以及解方程或解比例，因为涉及到多种数以及数的多种转化，其计算题型综合性较强，考察知识一般以下四点为主，即：
一是考察四种数之间的互相转化；
二是考察四种数之间的四则基础计算和方程的一般解法；
三是考察四则混合运算；
四是考察简便计算以及常用巧算法；
总之，熟练掌握四则运算关系以及基本算法是正确计算的关键，另外，本部分所涉及的十三种巧算法一般以思维拓展题型为主，涉及题型难度非常大，不适合作为一般性内容进行讲解或训练，具体详情可参考编者的“小升初典型例题系列”。
【预测命题方向1】整、小、分、百四则混合运算。
脱式计算。
2÷（1＋10%）－×3.9
解析：
2÷（1＋10%）－×3.9
＝2÷1.3－×3.9
＝2－1.3
＝0.7
解析：
10.6﹣（6＋÷12.5%）
＝10.6﹣7.6
＝3
27÷[（19%－）÷0.09]
解析：27
【对应练习】
1. （2022·浙江台州·小升初真题）用合适的方法计算下面各题，写出主要计算过程。
①6.35＋4.5×（42.25－39.55）②
③④
解析：①18.5；②；③4.4；④909
2. （2022·重庆潼南·校考小升初真题）脱式计算。

解析：
＝
＝
＝
＝
＝
3. （2022·重庆·统考小升初真题）脱式计算。
解析：
＝
＝
＝
＝
＝
【预测命题方向2】整、小、分、百简便运算。
（2023·广西南宁·小升初真题）下面各题怎样简便就怎样计算。
① ②
③ ④
【答案】①489.5；②0.75
③49；④
【分析】①532.6－（32.6＋10.5），根据减法性质，原式化为：532.6－32.6－10.5，再进行计算；
②32×25%××0.125，把32化为4×8；百分数化成小数；25%＝0.25；分数化成小数：＝0.75；原式化为：4×8×0.25×0.75×0.125，再根据乘法交换律，原式化为：4×0.25×0.75×8×0.125，再根据乘法结合律，原式化为：（4×0.25）×0.75×（8×0.125），再进行计算；
③3.14×7÷3.14×7，根据带符号搬家，原式化为：3.14÷3.14×7×7，再进行计算；
④×23－17÷11；把除法换算成乘法，原式化为：×23－17×，再把×23化为×69，原式化为：×69－17×，再根据乘法分配律，原式化为：×（69－17），再进行计算。
【详解】①532.6－（32.6＋10.5）
＝532.6－32.6－10.5
＝500－10.5
＝489.5
②32×25%××0.125
＝4×8×0.25×0.75×0.125
＝4×0.25×0.75×8×0.125
＝（4×0.25）×0.75×（8×0.125）
＝1×0.75×1
＝0.75×1
＝0.75
③3.14×7÷3.14×7
＝3.14÷3.14×7×7
＝1×7×7
＝7×7
＝49
④×23－17÷11
＝×23－17×
＝×69－17×
＝×（69－17）
＝×52
＝
【对应练习】
1．（2023·河南洛阳·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。

【答案】34；9；10
【分析】，利用乘法分配律进行简算；
，利用乘法分配律进行简算；
，将32拆成4×8，利用乘法交换结合律进行简算；
【详解】
2．（2023·甘肃武威·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。

【答案】；18；2
【分析】（1）先把分数除法化为分数乘法，再利用乘法分配律简便计算；
（2）先把百分数和分数化为小数，再利用乘法分配律简便计算；
（3）先去掉括号，再利用减法性质简便计算；
【详解】（1）
＝
＝
＝
＝
＝
（2）
＝
＝
＝
＝18
（3）
＝
＝
＝
＝
＝
＝2
3．（2022·广东湛江·小升初真题）灵活运用你喜欢的方法计算下面各题。
7.28－3.73－1.27
【答案】2.28；；26
【分析】“7.28－3.73－1.27”按照减法的性质先计算3.73＋1.27，再计算括号外的减法；
“”按照乘法交换律计算；
“”按照乘法分配律将26提出来，再计算；
【详解】7.28－3.73－1.27
＝7.28－（3.73＋1.27）
＝7.28－5
＝2.28
＝
＝
＝
＝26×（＋25%）
＝26×1
＝26
【预测命题方向3】解方程或解比例。
（2023·四川·小升初真题）解比例或方程。
（1）x－2＝0.5 （2）∶＝x∶
【答案】（1）x＝24；（2）x＝
【分析】（1）根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时加上2，再同时除以即可；
（2）根据比例的基本性质，将方程变为x＝×，然后计算出右边的结果，再根据等式的性质2，将方程左右两边同时除以即可。
【详解】（1）x－2＝0.5
解：x＝0.5＋2
x＝2.5
x＝2.5÷
x＝2.5×
x＝24
（2）∶＝x∶
解：x＝×
x＝
x＝÷
x＝×
x＝
【对应练习】
1．（2024·全国·小升初模拟）解方程或比例。
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先把分数化为小数，然后根据等式的性质1，将方程左右两边同时加上1.6x，然后将左边合并为，根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时减去0.8，再同时除以1.8即可；
（2）根据比例的基本性质，将方程变为，然后根据乘法分配律去掉括号，将算式变为，根据等式的性质1，将方程左右两边同时减去16x，将方程变为，根据等式的性质1，将方程左右两边同时加上4.5， 再交换左右两边的位置，然后根据等式的性质2，将方程左右两边同时除以11即可。
【详解】（1）
解：
（2）
解：
2．（2023·广西南宁·小升初真题）求未知数的值。
① ② ③
【答案】；；
【分析】（1）先计算的积，再根据等式的性质1和性质2，方程左右两边先同时减去，再同时除以2，解出方程；
（2）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，把比例转化成方程后，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以7，解出方程；
（3）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，把比例转化成方程后，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以12，解出方程。
【详解】①
解：
②
解：
③
解：
3．（2022·广东汕尾·小升初真题）求未知数x。
① ② ③
【答案】①；②；③
【分析】①先计算方程的左边，把原方程化为，再根据等式的性质，在方程两边同时除以0.6即可；
②根据比例的基本形式，把比例式化为乘积式，再根据等式的性质，在方程两边同时乘即可；
③根据等式的性质，先在方程两边同时减去，再同时除以20%即可。
【详解】①
解：
②
解：
③
解：
【预测命题方向4】简便计算与十三种巧算法。＊
【巧算法其一】变形约分法。
简便计算。

【答案】；1
【分析】（1）先把带分数换成假分数，再根据乘法分配律计算，最后把除法换成乘法计算即可。
（2）先把1987看成（1988－1），再根据乘法分配律计算即可。
【详解】（1）
＝
＝
＝
＝
＝
（2）
＝
＝
＝
＝1
【对应练习】
简便计算。

【答案】1；
【分析】第一个小题需要仔细观察，大胆猜想，分子分母是比较复杂的式子，把其中一个向另一个转化；第二小题分子、分母是更加复杂的式子，但仔细观察却有规律，分子中（1×4×7）看做整体，后面两小段就可以分别写成它的2倍、3倍；分母也是相同的思路。整理完之后，再进一步寻求简算方法。
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【巧算法其二】平方差公式。
简便计算。
解析：利用平方差公式首先对分子进行分组重建，再进行整体约分。
=
=
=1
【对应练习】
1. 简便计算。
解析：
分母可通过高斯求和公式进行巧算，分子可根据公式a²－b²＝（a－b）（a＋b）进行巧算。
（5）
2. 简便计算。
【答案】
【分析】观察分子和分母，会发现它们有各自的规律可循．分母的数列排列的规律是从1加到10再加回到1，计算时只要计算(1+2+…+10)×2再减10，分子的规律注意是两个和相减，可以根据减法性质将括号打开进行计算．
【详解】解：分母=（1+2+3+…+10）×2-10=100
分子=2
=
=（2-1）（2+1）+（4-3）（4+3）+…+（100-99）（100+99）
=3+7+11+…+199
=（3+199）×50÷2
=101×50
所以，原式==
【点睛】在繁分数计算时，不要一味“傻算”、“硬算”，可以先找规律，再运用学过的各种运算技巧进行计算．
【巧算法其三】平方和公式与立方和公式。
若已知12+22+32+42+…+252=5525，试求22+42+62+82+…+502之值.
【答案】22100
【详解】22＋42+62+82+…+502
=22×12+22×22+22×32＋…+22×252
=4×（l2+22+32＋…＋252）
=4×5525=22100.
【对应练习】
计算；512+522+532+…+992+1002= ．
【答案】295425
【分析】首先根据12+22+32+…+（n﹣1）2+n2=， 分别求出前100个数、前50个数的平方和各是多少；然后用前100个数的平方和减去前50个数的平方和，求出算式512+522+532+…+992+1002的值是多少即可．
【详解】512+522+532+…+992+1002
= ﹣
=338350﹣42925
=295425
故答案为295425．
【巧算法其四】连续两数乘积之和与连续三数乘积之和（整数裂项）。
1. （连续两数乘积之和）简便计算。
1×2＋2×3＋……＋19×20
【答案】2660
【分析】观察算式可知，乘数是连续的自然数，可以利用裂项方法直接解答。
1×2＝（1×2×3－0×1×2）÷3
2×3＝（2×3×4－1×2×3）÷3
……
依次类推，将算式中的每个乘法都写出来，然后计算即可。
【详解】1×2＋2×3＋……＋19×20
＝（1×2×3－0×1×2）÷3＋（2×3×4－1×2×3）÷3＋……＋（19×20×21－18×19×20）÷3
＝[（1×2×3－0×1×2）＋（2×3×4－1×2×3）＋……＋（19×20×21－18×19×20）] ÷3
＝[1×2×3－0×1×2＋2×3×4－1×2×3＋……＋19×20×21－18×19×20] ÷3
＝[19×20×21－0×1×2]÷3
＝19×20×21÷3
＝2660
2. （连续三数乘积之和）简便计算。
1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋……＋18×19×20
【答案】35910
【分析】每个乘法算式都有三个乘数，且为连续的自然数，利用整数裂项解答即可。
【详解】1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋……＋18×19×20
＝（1×2×3×4－0×1×2×3）÷4＋（2×3×4×5－1×2×3×4）÷4＋……＋（18×19×20×21－17×18×19×20）÷4
＝[（1×2×3×4－0×1×2×3）＋（2×3×4×5－1×2×3×4）＋……＋（18×19×20×21－17×18×19×20）] ÷4
＝[18×19×20×21－0×1×2×3] ÷4
＝18×19×20×21÷4
＝35910
【对应练习】
1. 简便计算。
解析：
因为n（n＋1）（n＋2）＝n（n＋1）（n＋2）（n＋3）－（n－1）n（n＋1）（n＋2），所以原式＝×1×2×3×4＋（×2×3×4×5－×1×2×3×4）＋…＋（×9×10×11×12－×8×9×10×11）＝×9×10×11×12＝2970。
＝×1×2×3×4＋（×2×3×4×5－×1×2×3×4）＋…＋（×9×10×11×12－×8×9×10×11）
＝×9×10×11×12
＝2970
2. 简便计算。
7×8＋8×9＋……＋49×50
【答案】41538
【分析】观察算式可知，乘数是连续的自然数，可以利用裂项方法直接解答。
7×8＝（7×8×9－6×7×8）÷3
8×9＝（8×9×10－7×8×9）÷3
……
依次类推，将算式中的每个乘法都写出来，然后计算即可。
【详解】7×8＋8×9＋……＋49×50
＝（7×8×9－6×7×8）÷3＋（8×9×10－7×8×9）÷3＋……＋（49×50×51－48×49×50）÷3
＝[（7×8×9－6×7×8）＋（8×9×10－7×8×9）＋……＋（49×50×51－48×49×50）] ÷3
＝[7×8×9－6×7×8＋8×9×10－7×8×9＋……＋49×50×51－48×49×50] ÷3
＝[49×50×51－6×7×8]÷3
＝[124950－336] ÷3
＝124614÷3
＝41538
【巧算法其五】高斯公式与等差数列。
1. （其一）简便计算。
【答案】
【分析】观察分数的分子和分母发现它们是连续的奇数，相邻的两个数相差2，那么分子里数字的个数有（2013－1）÷2＋1＝1007个数，分子的数字和是（2013＋1）×1007÷2＝2014×1007÷2，分母里的数字的个数有（4027－2015）÷2＋1＝1007个数，分母的数字和是（4027＋2015）×1007÷2＝6042×1007÷2，最后进行约分。
【详解】
＝
＝
＝
故答案为：
【点睛】此题考查的是一个特殊的计算，注意计算是有规律可循的。
2. （其二）简便计算。

【答案】
【分析】根据高斯求和公式变形后，通过分子分母约分即可简算．
【详解】解：
【对应练习】
1. 计算：( )。
【答案】
【分析】仔细审题，我们会发现，题干中分母的规律：；同时很容易发现是一个等差数列，利用等差数列求和公式我们可得，进而可得：。
【详解】原式＝
＝
＝
＝
【点睛】这道题目稍微有点难度，需要先归纳分母的通项，然后利用裂项进行解题，所以同学们应该在记住公式的同时做适当的综合应用。
2. 简便计算。
解析：
同分母相加，分母不变，分子相加。分子相加过后发现是连续的自然数相加，是一组等差数列，等差数列的求和为（第一个数＋最后一个数）×项数÷2。
＝
＝
＝
＝
＝
＝
3. 简便计算。
解析：
观察式子发现，越往后就是一组等差数列，等差数列的求和方式为（第一个数＋最后一个数）×项数÷2。将式子进行整理后发现规律。、、
＝
＝
＝
【巧算法其六】通项公式法。
简便计算。
解析：
根据及裂项消去法代入化简
【对应练习】
计算： ．
【答案】
【详解】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为，，，……，，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．
原式
【巧算法其七】错位相减法与等比数列。
简便计算。
解析：设m=①
两边同时乘3得：
3m=②
②-①得：
2m=1-
即m=
【对应练习】
1. 简便计算。
解析：
2. 简便计算。
解析：
【巧算法其八】分组法。
简便计算。
解析：
原式=
=
=
=
【对应练习】
1. 简便计算。
【答案】
【分析】根据减法的性质，将算式变为，然后根据乘法分配律，将算式变为，再计算括号里面的减法和加法，然后计算括号外面的乘法，最后计算括号外面的减法。
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝
2. 简便计算。
【答案】190
【分析】根据加法交换律和减法的性质，将算式变为，然后根据乘法分配律，将算式变为，再计算出，接着将首尾相加，将算式变为，然后计算出小括号里面的加法，最后去掉括号进行计算即可。
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【巧算法其九】换元法（字母代换法）。
简便计算。
【答案】
【分析】令＝A，＝B，将原式改写成含字母A、B的式子，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c将式子化简，最后再把A、B换回原来的式子计算出结果。
【详解】令＝A，＝B；
原式＝A×（B＋）－（A＋）×B
＝AB＋A－AB－B
＝A－B
＝×（A－B）
＝×[（）－（）]
＝×[]
＝×1
＝
【对应练习】
1. 简便计算。
【答案】
【分析】假设，，把字母代入原式化简含有字母的式子，最后再把a和b的值代入化简后的式子求出结果，据此计算。
【详解】假设，
原式＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
2. 简便计算。
解析：
【巧算法其十】裂项法（分数裂和与分数裂差）。
1. （其一）观察下列等式：
，，，
请将以上三个等式两边分别相加得：
。
（1）猜想并写出：( )。
（2）( )。
（3）探究并计算：( )。
（4）计算：
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】（1）先根据题中所给出的等式进行猜想，写出猜想结果即可；
（2）根据（1）中的猜想计算出结果；
（3）根据乘法分配律提取，再计算即可求解；
（4）先拆项，再抵消结果即可求解。
【详解】（1）
＝
＝
【点睛】本题考查的是分数的混合运算，根据题意找出规律是解答此题的关键。
2. （其二）简便计算。
解析：
3. （其三）简便计算。
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【点睛】此题用分数拆项的方法解决问题更便捷，做这类问题，应仔细审题，找到解决的最佳途径，运用运算技巧灵活解答。
4. （其四）简便计算。
解析：
5. （其五）简便计算。
【答案】
【分析】分母是两个连续自然数的乘积，分子是两个连续自然数的平方和。把分数进行拆分与裂项。，＝2＋，＝2＋……，。＝1－，＝－，＝－……＝－，＝－。
【详解】
＝2＋＋2＋＋2＋＋……＋2＋＋2＋
＝2×19＋（＋＋＋……＋＋）
＝38＋（1－＋－＋－＋……－＋－）
＝38＋（1－）
＝38＋
＝
【对应练习】
1. 简便计算。
【详解】
＝
＝
＝
＝
2. 简便计算。
+++…+
【答案】
【详解】试题分析：因为=（﹣），=（﹣），…，因此通过拆分，加减相互抵消，解决问题．
解：+++…+
=（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）
=﹣
=
点评：完成此题，注意分数的拆分，通过加减相抵消的方法，求出结果．
3. 简便计算。
【答案】39
【分析】通过计算发现：每一项的结果都是“2﹣分数单位”的形式，分母为原来的分母．然后把分数拆分，通过加减相互抵消，即可求出结果．
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝
＝39＋
＝39
【点睛】此题解答的关键在于把分数拆分，变成相互抵消的形式，使计算简便．
4. 简便计算。
解析：
5. 简便计算。
【答案】
【详解】原式
【巧算法其十一】连锁约分。
简便计算。
×××…××
【答案】
【分析】仔细观察可以发现，算式中前一个数的分母与后一个数的分子是相同的，即可以进行约分，据此约分得出结果即可。
【详解】×××…××
＝1×
＝
【点睛】找出前分数的分母与后分数的分子之间的关系是解决此题的关键。
【对应练习】
1. 简便计算。
（1+）（1-）（1+）（1-）…（1+）（1-）
【答案】
【详解】原式=（）×（）×（）×…×( ) ×() ×() ×() ×…×()
=50×()
=
2. 简便计算。
解析：
（3）
＝
＝
【巧算法其十二】估算法。
的整数部分是( )。
解析：
设，所以
【对应练习】
1. 已知，求x的整数部分是多少？
解析：
答：x的整数部分为90。
2. 已知：，则S的整数部分是多少？.
解析：
设
即
不能确定A的整数部分，怎么办？先看看一个例子
则
聪明的你从中会发现一个找“最小界线的新规律”，那么让我们回到原题来看看吧！
即
∴A的整数部分为73。
【巧算法其十三】繁分数运算。
计算。
解析：
【对应练习】
1. 计算。
解析：
2. 计算。
解析：2
【题型命题猜想03】数式和数形综合—定义新运算与数、形、式规律探索。
【命题说明】
定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算，它是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
小升初中的新运算考察形式较为简单，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
数形规律也是常考察题型之一，主要以数字数列、图形图表、算式等式等形式为主，考点和题型探索性和抽象性较强，一般学生解决起来稍显吃力，可着重进行强化训练。
【预测命题方向1】定义新运算其一。
（2022·湖南长沙·小升初真题）如果规定，那么的最后结果是( )。
【答案】205
【分析】题目中的“*”实际上是定义了一种新的运算，只要把17和24分别代入a和b的位置并进行计算就行了。
【详解】由题意知︰a*b＝13×a－b＋8
则：17*24
＝13×17－24＋8
＝221－24＋8
＝205
【点睛】此题定义一种新的运算，直接代入计算即可。
【对应练习】
1．（2023·四川成都·小升初真题）如果规定，那么( )。
【答案】15
【分析】根据题意可知，，也就是5；据此可知，，据此计算出结果即可。
【详解】
如果规定，那么。
2．（2023·吉林四平·小升初真题）已知，，那么( )。
【答案】
【分析】根据定义新运算分别得到小括号内和的值，再用除法计算即可解答。
【详解】
＝
＝
＝
＝
【点睛】本题考查新定义型问题，参考已知条件先计算出括号内的值是解题的关键。
3．（2022·四川绵阳·小升初真题）定义新运算“”如下：当时，；当时，。则当时，的值为( )。
【答案】1
【分析】利用规定的运算方式，按照运算顺序计算即可，注意区分定义新运算“”前后数据的大小，代入不同的运算。
【详解】当时，＝1
【点睛】关键是要正确地理解定义新运算的算式含义，分别得出结果。
【预测命题方向2】定义新运算其二。
1. （2022·全国·小升初模拟）对任意的数a，定义：f（a）＝2a＋1。已知f（x＋1）＝21，则x＝( )。
解析：9
2. （2020·江苏淮安·小升初真题）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……第20次输出的结果为( )。
A．24B．12C．6D．3
解析：D
【对应练习】
1.（2023·全国·小升初模拟）已知字母n代表某一个数，按图所示程序输入计算，当第一次输入n为30时，那么第8次输出的结果应为( )。
解析：4
2. （2022·新疆乌鲁木齐·小升初真题）对自然数n，定义n！＝1×2×3×…×n，那么算式2019！－4！的结果的个位数字是( )。
解析：
2019！＝1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×…×2019，个位是0；
4！＝1×2×3×4＝24，个位是4；
2019！－4！的结果的个位数字是0－4，相当于10－4＝6，个位数字是6。
【预测命题方向3】数式关系与运算。
（2023·广东阳江·小升初真题）鞋的尺码通常用“码”或“厘米”表示，它们之间的换算关系式是b＝2a－10（b表示码数，a表示厘米数），小丽买了一双34码的鞋，鞋长( )cm。
【答案】22
【分析】把34代入到b＝2a－10中，然后根据等式的性质解方程即可。
【详解】2a－10＝34
解：2a－10＋10＝34＋10
2a＝44
2a÷2＝44÷2
a＝22
则小丽买了一双34码的鞋，鞋长22cm。
【点睛】本题考查解方程，熟练运用等式的性质是解题的关键。
【对应练习】
1．（2022·湖北省直辖县级单位·小升初真题）我们所穿的鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的换算关系是a＝＋5（a表示厘米数，b表示尺码数）。那么36码的鞋子用“厘米”作单位就是( )厘米。
【答案】23
【分析】把b＝36代入a＝＋5，求出a即可。
【详解】把b＝36代入a＝＋5得：
a＝36÷2＋5
＝18＋5
＝23（厘米）
36码的鞋子用“厘米”作单位就是23厘米。
【点睛】本题考查用字母表示数以及含有字母的式子化简求值，注意计算的准确性。
2．（2023·山东聊城·小升初真题）蟋蟀的鸣叫是大自然的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率与气温有着很大的关系，可以用C＝4t－16表示，其中C表示蟋蟀每分钟叫的次数，t表示温度。气温是30摄氏度时，蟋蟀每分钟叫( )次。
【答案】104
【分析】将t＝30代入C＝4t－16，求出C的值即可。
【详解】当t＝30时，C＝4t－16＝4×30－16＝104(次)
气温是30摄氏度时，蟋蟀每分钟叫（104）次。
【点睛】解答本题需熟练掌握用字母表示数及利用代入法求值的方法。
3．（2020·江苏苏州·小升初模拟）测量温度常用℃（摄氏度）作单位，有时还使用℉（华氏度）作单位。华氏温度和摄氏温度可以用下面的公式进行换算：华氏温度＝摄氏温度×1.8＋32那么，30℃是( )℉，77.9℉是( )℃。
【答案】 86 25.5
【详解】当摄氏温度是30℃时，华氏温度＝30×1.8＋32；当华氏温度是77.9℉时，代入原式，得77.9＝摄氏温度×1.8＋32，再求解。
【预测命题方向4】数形规律探索。
（2023·贵州铜仁·小升初真题）把边长为1厘米的正方形纸片，按下面的规律拼成长方形：
则用5个正方形拼成的长方形的周长是( )厘米，用a个正方形拼成的长方形的周长是( )厘米。
【答案】 12 2 a＋2
【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2 ，据此先求出拼成的长方形的长、宽，然后按公式解答即可。
用5个正方形拼成的长方形，长＝5×1＝5厘米，宽＝1厘米，则这个长方形的周长＝（长＋宽）×2＝（5＋1）×2＝12厘米；
用a个正方形拼成的长方形，长＝a×1＝a厘米，宽＝1厘米，用a个正方形拼成的长方形的周长＝（长＋宽）×2 ＝（a＋1）×2＝（2 a＋2）厘米
【详解】5个正方形拼成的长方形的周长：
（5＋1）×2
＝6×2
＝12（厘米）
用a个正方形拼成的长方形的周长：
（a＋1）×2＝（2 a＋2）厘米
则用5个正方形拼成的长方形的周长是（12）厘米，用a个正方形拼成的长方形的周长是（2 a＋2）厘米
【对应练习】
1．（2022·四川成都·小升初真题）如图所示的点阵图中，图①中有3个点，图②中有7个点，图③中有13个点，图④中有21个点，按此规律，图⑩中有( )个点。
……
【答案】111
【分析】根据给出的几幅图的点数，我们可以得到：第②比第①多4；第③比第②多6；第④比第③多8…由此可得，从第②幅图开始，每一幅图比前一幅多的点数分别为4、6、8…
据此总结规律求解即可。
【详解】观察题图可知：
图①中点的个数为；
图②中点的个数为；
图③中点的个数为；
图④中点的个数为；
图n中点的个数为；
当时，图中点的个数有（个）点。
【点睛】考查数与形，能总结出一般规律是解题关键。
2．（2023·湖南岳阳·小升初真题）下面是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，那么第5个图案由( )个基础图形组成，第n个图案由( )个基础图形组成。
【答案】 16 3n＋1/1＋3n
【分析】观察图形，每个图案都在上个图案的基础上加上3个基础图形。第1个图案由1＋3×1＝4（个）基础图形组成，第2个图案由1＋3×2＝7（个）基础图形组成，第3个图案由1＋3×3＝10（个）基础图形组成。据此类推，第5个图案由1＋3×5＝16（个）基础图形组成，第n个图案由（1＋3×n）个基础图形组成。
【详解】1＋3×5
＝1＋15
＝16（个）
1＋3×n＝1＋3n＝3n＋1
所以，第5个图案由16个基础图形组成，第n个图案由（3n＋1）个基础图形组成。
【点睛】本题考查了数与形，有一定观察总结能力是解题的关键。
3．（2023·甘肃金昌·小升初真题）用大小一样的圆形画图，先观察前四幅图阴影部分面积与1个圆面积的关系，再根据这个规律推算第五幅图阴影部分的面积相当于( )个圆的面积。
【答案】
【分析】观察图示可知：阴影部分是由几个扇形组成的，且扇形的半径与所在圆的半径相等，扇形内角和可通过三角形内角和、四边形内角和推得，扇形的面积由半径和圆心角决定，据此可推算出第五幅图阴影部分的面积相当于几个圆的面积。
【详解】①三角形内角和为180°，阴影部分由三个扇形组成，扇形半径与圆的半径相等，每个扇形的圆心角均是三角形的一个内角，三个圆心角的和就等于三角形内角和180°，则S阴影＝×S圆＝S圆；
②四边形内角和为360°，阴影部分由四个扇形组成，扇形半径与圆的半径相等，每个扇形的圆心角均是四边形的一个内角，四个圆心角的和就等于四边形内角和360°，则S阴影＝×S圆＝S圆；
③四边形内角和为360°，阴影部分由四个扇形和一个半圆组成，扇形半径与圆的半径相等，每个扇形的圆心角均是四边形的一个内角，四个圆心角的和就等于四边形内角和360°，再加上一个半圆圆心角为180°，则S阴影＝×S圆＝S圆；
④四边形内角和为360°，阴影部分由四个扇形和两个半圆组成，扇形半径与圆的半径相等，每个扇形的圆心角均是四边形的一个内角，四个圆心角的和就等于四边形内角和360°，再加上两个半圆圆心角之和为360°，则S阴影＝×S圆＝2S圆；
⑤四边形内角和为360°，阴影部分由四个扇形和三个半圆组成，扇形半径与圆的半径相等，每个扇形的圆心角均是四边形的一个内角，四个圆心角的和就等于四边形内角和360°，再加上三个半圆圆心角之和180°×3＝540°，则S阴影＝×S圆＝S圆；
推算第五幅图阴影部分的面积相当于（）个圆的面积。
【点睛】本题考查了图形变化的规律，需要对于多边形内角和比较熟悉，同时能够准确计算扇形的面积，还要善于发现图形之间的联系，找到变化的规律。
【预测命题方向5】数式规律探索。
（2023·湖南常德·小升初真题）已知：9×7＝63，9.9×67＝663.3，9.99×667＝6663.33，按此规律9.999×6667＝( )。
【答案】66663.333
【分析】观察前三个算式可知：前一个因数小数点后面多一个9，后一个因数前面多一个6，结果的整数部分和小数部分就分别多一个6和3；据此解答即可。
【详解】9×7＝63
9.9×67＝663.3
9.99×667＝6663.33
所以可得9.999×6667＝66663.333。
【点睛】在数学算式中探索规律，应认真对比观察各算式与结果的特点，找出其中隐含的规律，从而根据规律填出这一类算式的结果。
【对应练习】
1．（2023·江苏宿迁·小升初真题）已知：3×6＝18
33×66＝2178
333×666＝221778
3333×6666＝22217778
的积里有( )个数字是偶数。
【答案】2023
【分析】观察算式可得，从第二个算式起，积的第一位都是2，且2的个数比因数的位数少1，同时7的个数和2的个数相同，最后一位都为8，中间都只有1个1；据此求解即可。
【详解】的积里有2的个数：2023－1＝2022（个），有1个8，所以积中数字是偶数有：2022＋1＝2023（个）。
【点睛】解答此题的关键是观察所给出的算式，得出规律，再根据规律解决问题。
2．（2022·四川绵阳·小升初真题）观察下列各式：
；；…依此规律，第个等式（为正整数）为( )。
【答案】
【分析】通过观察可知，等式左边依次为：152、252、352，规律是第n个数为（10n＋5）2；
等式右边的规律是n（n＋1）×100＋52；据此作答即可。
【详解】由分析可得：
；；…依此规律，第个等式（为正整数）为。
【点睛】本题考查式子的变化规律，能够根据所给式子，观察出等式两边各数的规律是解题关键。
3．（2022·江苏扬州·小升初）找出下面算式的规律：22－12＝2＋1；42－32＝4＋3；62－52＝6＋5；
(1)请你再写一个这样的算式：( )。
(2)运用规律计算：1002－992＋982－972＋962－952＋…＋22－12＝( )。
【答案】(1)72－62＝7＋6
(2)5050
【分析】（1）观察题意可知，两个相邻的数的平方差等于这两个数的和，也就是（n＋1）－n＝（n＋1）2－n2（n为自然数），据此解答；
（2）根据题意得出的规律，将算式变为100＋99＋98＋97＋96＋…＋1，然后首尾依次相加，将算式变为（100＋1）×50进行简算即可。
【详解】（1）再写一个这样的算式：72－62＝7＋6（答案不唯一）
（2）1002－992＋982－972＋962－952＋…＋22－12
＝100＋99＋98＋97＋96＋…＋1
＝（100＋1）×50
＝101×50
＝5050
结果是5050。
【点睛】本题要观察算式中的规律，再利用规律解决问题。
【预测命题方向6】数列规律探索。
（2023·广东河源·小升初真题）找规律，填一填：4，9，16，25，( )，49，64。
【答案】36
【分析】4＝2×2；9＝3×3；16＝4×4；25＝5×5；49＝7×7；64＝8×8，由以上数列发现：数列是从2开始的连续自然数的平方数，由此解答。
【详解】由分析可得：6×6＝36
所以这组数列是：4，9，16，25，36，49，64。
【点睛】本题考查数列中的规律，关键是：观察给出的数列，找出数与数之间的关系，总结规律，再由规律解决问题。
【对应练习】
1．（2023·广东汕尾·小升初真题）找规律填数。
，，，，，，( )。
【答案】36；
【分析】观察这组分数发现规律，分子都是1，分母分别是22、32、42、52…，据此规律解答。
【详解】＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
所以，，，，，，，。
【点睛】本题是找规律的题型，从已知的数据中找到规律，并按规律解题。
2．（2024·全国·小升初模拟）如图，第5行第1个数是( )，第20行第5个数是( )。
【答案】 17 366
【分析】通过观察可知，第1行最后一个数是1，第2行最后一个数是4，也就是22，第3行最后一个数是9，也就是32，以此类推，第n行最后一个数是n2，第（n＋1）行的第一个数就是（n2＋1），第（n＋1）行的第m个数就是（n2＋m），；所以第5行第1个数就是（42＋1）；第20行第一个数是（192＋1），第5个数是（192＋5）。据此解答。
【详解】根据题意可知，
42＋1
＝16＋1
＝17
192＋5
＝361＋5
＝366
第5行第1个数是17，第20行第5个数是366。
3．（2023·福建莆田·小升初真题）有一列由两个数组成的数组：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1）…
(1)第72组的两个数之和是( )。
(2)在前55组中，“5”这个数出现了( )次。
【答案】(1)18
(2)11
【分析】①观察数组的规律，第一个数是1的有1组，第一个数是2的有2组，第一个数是3的有3组，第一个数是4的有4组，……，因为1＋2＋3＋4＋…＋11＝66组，所以从第67组开始，每组的第一个数是12，第67组是（12，1），依此类推，第72组是（12，6），两个数的和是12＋6＝18；
②因为1＋2＋3＋…＋10＝55组，所以第55组恰好是（10，10），第一个数是5的有5组，即（5，1）、（5，2）、（5、3）、（5，4）、（5，5）。第二个数是5的只能是（5，5）、（6，5）、（7，5）、（8，5）、（9，5）、（10，5）出现了6次，所以“5”这个数出现了11次。据此解答。
【详解】（1）观察数组的规律，可知：
第一个数是1的有1组，
第一个数是2的有2组，
第一个数是3的有3组，
第一个数是4的有4组，
……，
又1＋2＋3＋4＋…＋11＝66组，
所以从第67组开始，每组的第一个数是12，第67组是（12，1），第68组是（12，2），第72组是（12，6），两个数的和：12＋6＝18；
答：第72组的两个数之和是18。
（2）因为1＋2＋3＋…＋10＝55组，所以第55组恰好是（10，10）
第一个数是5的有5组，即（5，1）、（5，2）、（5、3）、（5，4）、（5，5），出现了5次；
第二个数是5的只能是（5，5）、（6，5）、（7，5）、（8，5）、（9，5）、（10，5）出现了6次；
所以“5”这个数出现：5＋6＝11（次）
在前55组中，“5”这个数出现了11次。
【题型命题猜想04】平面图形综合—不规则或组合图形与十二种面积法。
【命题说明】
求不规则或组合图形的周长与面积是小升初平面图形考察的核心内容，相对于立体图形，平面图形的直观性虽然更强，但图形的变换方式也更多更复杂，这需要我们熟悉和掌握常用的解决面积方法，下面介绍几种常用的方法：
（1）公式法：所求面积的图形是规则图形，如扇形、特殊三角形、特殊四边形等，可直接利用公式计算。
（2）割补法：就是从割和补两种不同角度认识同一个面积。还有的是从不同的角度认识某个长方形面积的一半。通过对面积问题的训练可以打开思维。特别是结合算两次的思想能让我们的思维理念得到很大提升。最后我写了算两次解决面积问题，来诠释前面的理论。
（3）和差法：也叫做相加法与相减法，所求面积的图形虽然是不规则图形，但是可以通过分割或添补的方式将不规则图形转化变成规则图形面积，这时候只需要算和或算差就可以求出图形的面积了，这是求阴影部分面积最常用的方法。
（4）等积变换法：以线段比为对象运用两个面积比来表示同一个面积比，有的是运用整体与局部思想整体由各个局部合成。有的是抓住面积不变，从两个不同的底和高来表示同一个三角形的面积或者随便求出直角边的平方。
（5）容斥原理：容斥原理这个词可能听起来比较陌生，它还有另一个名词，重叠法。如果运用得当，掌握其精髓，在求解阴影部分面积，以及相关应用题时，能起到事半功倍的作用。
【预测命题方向1】平移法与组合法求周长。
1．（平移法）（2023年·河南许昌·小升初真题）求楼梯形图的周长。
【答案】14米
【分析】如图所示，图形的周长等于长为4米，宽为3米长方形的周长，利用“长方形的周长＝（长＋宽）×2”求出图形的周长，据此解答。
【详解】（4＋3）×2
＝7×2
＝14（米）
所以，楼梯形图的周长是14米。
2．（组合法）（2023·陕西渭南·小升初真题）计算下面图形的周长。

【答案】14.28米
【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，圆的周长＝2πr，根据观察图形特征，该图形的周长为（长＋宽）×2－长＋2πr×，据此解答。
【详解】
（米）
则该图形的周长为14.28米。
【对应练习】
1．（2021年·贵州贵阳·小升初真题）计算下图周长。
【答案】16cm
【分析】看图，将这个组合图形的各边通过平移重新排列，恰好能够围成一个正方形，并且正方形的边长是4cm。据此，结合正方形周长＝边长×4，求出这个组合图形的周长即可。
【详解】1＋3＝4（cm）
4×4＝16（cm）
所以，这个图形的周长是16cm。
2．（2022·河南洛阳·小升初真题）求出下图的周长。
【答案】31.42cm
【分析】看图可知周长由两条长方形的长、一条长方形的宽和一个半圆组成。
【详解】6＋8＋8
＝14＋8
＝22（cm）
已知圆的直径为长方形的宽，即为6cm
3.14×6÷2
＝18.84÷2
＝9.42（cm）
22＋9.42＝31.42（cm）
所以此图的周长为31.42cm
3．（2023·河北石家庄·小升初真题）计算下面图形中阴影部分的周长。（单位：厘米）（π取3.14）
【答案】37.68厘米
【分析】阴影部分的周长等于直径为（4＋8）厘米和直径为4厘米及直径为8厘米的半圆的弧长的和；阴影部分的面积等于直径为4＋8＝12（厘米）半圆的面积减去直径是4厘米的半圆的面积再减去直径是8厘米的半圆的面积；据此即可解答。
【详解】3.14×（4＋8）÷2＋3.14×4÷2＋3.14×8÷2
＝18.84＋6.28＋12.56
＝37.68（厘米）
阴影部分的周长是37.68厘米。
【预测命题方向2】平移法求面积。
（2023·山东济宁·小升初真题）求阴影部分面积。
【答案】36cm2
【分析】把左边阴影部分平移到右边，则此时阴影部分的面积等于边长是6cm正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，据此进行计算即可。
【详解】6×6＝36（cm2）
【对应练习】
1．（2023·广东湛江·小升初真题）如下图，在一个长31m、宽13m的长方形草坪上有两条相交的小路，那么草坪的面积是多少平方米？
【答案】360平方米
【分析】通过平移的方法，将两条小路分别平移到草坪的最边上，再计算出草坪实际的宽和实际的长，再根据长方形面积公式：长×宽，求出面积即可。
【详解】长：31－1＝30（米）
宽：13－1＝12（米）
面积：30×12＝360（平方米）
答：草坪的面积是360平方米。
【点睛】熟练掌握通过平移的方法计算物体的面积是解答此题的关键。
2．（2022·浙江温州·小升初真题）求阴影部分的面积。（单位：厘米）
【答案】48平方厘米
【分析】把梯形外的阴影部分通过平移，与梯形内的空白处重合；阴影部分转化为梯形面积；根据梯形的面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2；上底＝6厘米；下底＝10厘米；高＝6厘米；代入数据；即可解答。
【详解】（6＋10）×6÷2
＝16×6÷2
＝96÷2
＝48（平方厘米）
3．（2021·山东日照·小升初真题）求下面图形阴影部分的面积。（单位：厘米）
【答案】6平方厘米
【分析】由图知：将右边四分之一圆的阴影部分平移到左边四分之一圆的空白处，那么阴影部分就是一个规则图形长方形，长是3厘米，宽是2厘米，利用长方形面积公式计算可得出阴影部分的面积。
【详解】3×2＝6（平方厘米）
【预测命题方向3】相加法（加法分割思路）求面积。
（2022·湖南常德·统考小升初真题）用两种方法求下面图形的面积。
解析：
①（10＋5）×（12－6）÷2＋5×6
＝15×6÷2＋30
＝45＋30
＝75（cm2）
②（10－5）×（12－6）÷2＋5×12
＝5×6÷2＋60
＝15＋60
＝75（cm2）
【对应练习】
1. （2022·贵州铜仁·统考小升初真题）下图中，BD＝6.5厘米，求四边形ABCD的面积。
解析：
6.5×10÷2
＝65÷2
＝32.5（平方厘米）
2．（2023·辽宁营口·小升初真题）求出下面图形的面积。（单位：厘米）

【答案】22平方厘米
【分析】如图：组合图形可拆解成一个长为5厘米，宽为2厘米的长方形和一个长为（6－2）厘米，宽为（5－2）厘米的长方形，利用长方形的面积公式分别求出这两个长方形的面积，再相加即可求出组合图形的面积。
【详解】5×2＋（6－2）×（5－2）
＝10＋4×3
＝10＋12
＝22（平方厘米）
即图形的面积是22平方厘米。
3．（2023·湖南怀化·小升初真题）计算下面图形的周长和面积。
【答案】63.7cm；218.5cm2
【分析】组合图形的周长＝长方形周长＋圆的周长，长方形周长＝（长＋宽）×2，圆的周长＝2πr；组合图形的面积＝长方形面积＋圆的面积，长方形面积＝长×宽，圆的面积＝πr2，据此列式计算。
【详解】（14＋10）×2＋2×3.14×10×
＝24×2＋15.7
＝48＋15.7
＝63.7（cm）
14×10＋3.14×102×
＝140＋3.14×100×
＝140＋78.5
＝218.5（cm2）
【预测命题方向4】相减法（减法添补思路）求面积。
（2023·湖北黄冈·小升初真题）把一大一小两个正方形拼在一起，计算阴影部分面积。

【答案】
【分析】如右图，
阴影部分的面积等于长为10＋4＝14厘米，宽为10厘米的长方形面积减三角形1、三角形2、三角形3的面积。长方形面积＝长×宽，三角形面积＝底×高÷2，将数据代入即可。据此解答。
【详解】14×10－10×10÷2－14×4÷2－4×(10-4)÷2
＝140－50－28－12
＝50（）
阴影部分面积是。
【点睛】添加辅助线，将阴影部分的面积转化为长方形面积减3个直角三角形面积是解答的关键。
【对应练习】
1．（2022·湖南常德·小升初真题）计算下图中阴影部分的面积。

【答案】7.72m2
【分析】由图可知，阴影部分的面积＝梯形的面积－半圆的面积，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，半圆的面积＝πr2÷2，代入数据进行解答即可。
【详解】（3＋2＋2）×（2×2）÷2－3.14×22÷2
＝7×4÷2－3.14×4÷2
＝14－12.56÷2
＝14－6.28
＝7.72（m2）
2．（2023·湖南岳阳·小升初真题）求图中阴影部分的面积。
【答案】17.12dm2
【分析】看图，半圆的半径是4dm，三角形的底和高均是4dm。半圆面积＝圆面积÷2，圆面积＝3.14×半径2，三角形面积＝底×高÷2，据此先分别求出半圆和三角形的面积，再将半圆面积减去三角形面积，即可求出阴影部分的面积。
【详解】3.14×42÷2－4×4÷2
＝50.24÷2－8
＝25.12－8
＝17.12（dm2）
所以，阴影部分的面积是17.12dm2。
3．（2023·陕西咸阳·小升初真题）计算下图中阴影部分的面积。

【答案】25.12dm2
【分析】阴影部分面积等于半径是8dm圆的面积的减去半径是（8÷2）dm圆的面积的一半，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。
【详解】3.14×82×－3.14×（8÷2）2÷2
＝3.14×64×－3.14×42÷2
＝200.96×－3.14×16÷2
＝50.24－50.24÷2
＝50.24－25.12
＝25.12（dm2）
【预测命题方向5】割补法求面积。
（2022·甘肃白银·小升初真题）求图中阴影部分的面积。（量位：厘米）

【答案】25平方厘米
【分析】观察图形可知，把左边阴影部分移到右边，如图：，阴影部分面积化为底是10厘米，高是（10÷2）厘米的三角形面积，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。
【详解】10×（10÷2）÷2
＝10×5÷2
＝50÷2
＝25（平方厘米）
【对应练习】
1．（2022·辽宁丹东·小升初真题）求下图阴影部分的面积。

【答案】18dm2
【分析】将图形割补如下：

则阴影部分的面积等于两直角边均为6dm的三角形的面积，代入三角形面积公式：S＝ah÷2计算即可。
【详解】6×6÷2
＝36÷2
＝18（dm2）
阴影部分的面积为18dm2。
2．（2022·甘肃陇南·小升初真题）求阴影部分的面积（图中的三角形都是等腰直角三角形）。（单位：分米）

【答案】12.5平方分米
【分析】根据图形的特点，可以通过“旋转”把阴影部分拼在一起，阴影部分的面积等于大三角形的面积减去正方形的面积，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，大三角形的高就是圆的直径，根据直角三角形斜边上的高等于斜边的一半可知，大三角形的高为10÷2＝5分米，则正方形的面积等于两个底为5分米，高为（5÷2）分米的三角形的面积；据此解答即可。
【详解】如图所示：

×10×5－2××（5÷2）×5
＝25－2××2.5×5
＝25－1×2.5×5
＝25－12.5
＝12.5（平方分米）
3．（2023·福建福州·小升初真题）求下图中阴影部分的面积。
【答案】7.74平方分米
【分析】看图，阴影部分的面积等于三角形的面积减去圆的面积。三角形面积＝底×高÷2，圆面积＝πr2，其中三角形的底是（6×2）分米，高是6分米，圆的半径是（6÷2）分米。将数据代入公式，先分别求出三角形和圆的面积，再将三角形的面积减去圆的面积，求出阴影部分的面积即可。
【详解】6×2＝12（分米）
6÷2＝3（分米）
12×6÷2－3.14×32
＝36－28.26
＝7.74（平方分米）
所以，阴影部分的面积是7.74平方分米。
【预测命题方向6】加减法与混合型图形求面积。
（2022·河南周口·小升初真题）求出涂色部分的面积。（单位：cm）
【答案】3.14cm2
【分析】观察图形可知，涂色部分的面积＝左边正方形的面积＋圆的面积－空白三角形的面积；
其中正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，三角形的面积公式S＝ah÷2，代入数据计算求解。
【详解】正方形的面积：
2×2＝4（cm2）
圆的面积：
×3.14×22
＝×3.14×4
＝3.14（cm2）
三角形的面积：
4×2÷2＝4（cm2）
涂色部分的面积：
4＋3.14－4＝3.14（cm2）
涂色部分的面积是3.14cm2。
【对应练习】
1．（2023·浙江温州·小升初真题）求阴影部分的面积。（单位：厘米）

【答案】28.5平方厘米
【分析】如下图，连接BD。阴影①和阴影②的面积和＝以BC为直径的半圆面积－△BDC的面积；阴影③的面积＝以AB为半径的圆面积的－△ABD的面积；用阴影①和阴影②的面积和加上阴影③的面积即可求出图中阴影部分的面积。因为△ABC是等腰直角三角形，所以△BDC和△ABD是完全一样的等腰直角三角形，即△BDC的面积和△ABD的面积相等，都等于△ABC面积的一半。

【详解】[3.14×（10÷2）2÷2－10×10÷2÷2]＋[3.14×102×－10×10÷2÷2]
＝[3.14×52÷2－100÷2÷2]＋[3.14×100×－100÷2÷2]
＝[3.14×25÷2－25]＋[314×－25]
＝[78.5÷2－25]＋[39.25－25]
＝[39.25－25]＋[39.25－25]
＝14.25＋14.25
＝28.5（平方厘米）
2．（2022·河南洛阳·小升初真题）求阴影部分的面积。（单位：厘米）
【答案】
【分析】观察图形可知，阴影部分的面积等于中间三角形的面积加上直径是3厘米的圆的面积的一半，再加上直径是4厘米的圆的面积的一半，最后再减去直径是5厘米的圆的面积的一半，据此计算即可。
【详解】
＝
＝0＋6
＝6（cm2）
【预测命题方向7】旋转法求面积。
求下图中阴影部分的周长和面积。（单位：cm）
【答案】；
【分析】结合图示可知，
①阴影部分周长由6段弧及一条正方形的边长组成，且每段弧长是整个圆的周长的，故可列式为：；
②将左边的阴影部分绕正方形的中心顺时针旋转180°，恰好与右边的合为半圆，即阴影部分面积就是半圆的面积，故可列式为：。
【详解】
【对应练习】
求图中涂色部分的面积。

【答案】0.785
【分析】图是由两个边长为1的正方形拼在一起，此图中的阴影部分可以通过切割旋转的方法将其拼成一个圆（即把左边正方形的阴影部分旋转到右边正方形的下部分），然后根据圆的面积公式，求解即可。
【详解】3.14×12×＝0.785
【点睛】本题主要是对平面图形的综合考查，一定要拥有转化的思想，并且对旋转、平移、等积变形等方法要理解以及灵活应用。
【预测命题方向8】拼接法求面积。
（2021·贵州贵阳·小升初真题）计算阴影部分的面积。
【答案】39.25cm2
【分析】三角形内角和180°，3个扇形可以拼成一个半圆，根据半圆面积＝πr2÷2，列式计算即可。
【详解】3.14×52÷2
＝3.14×25÷2
＝39.25（cm2）
【对应练习】
1．（2022·广东深圳·小升初真题）下图中阴影部分面积之和是多少平方厘米？
【答案】6.28平方厘米
【分析】三个扇形可以拼成一个半径为2厘米的半圆，那么阴影部分的面积＝半圆的面积，然后根据圆的面积公式 S＝πr2把数据代入公式解答即可。
【详解】3.14×22÷2
＝3.14×4÷2
＝12.56÷2
＝6.28（平方厘米）
所以，图中阴影部分的面积之和是6.28平方厘米。
2．（2021·浙江杭州·小升初真题）求出图中阴影部分的面积。
【答案】7.065平方厘米
【分析】根据三角形的内角和等于180°，可知阴影部分的两个扇形的圆心角度数之和是（180°－90°），因为半径都是3厘米，所以阴影部分的面积之和相当于半径为3厘米的圆的面积的。
【详解】180°－90°＝90°
3.14×3×3×
＝9.42×3×
＝28.26×
＝7.065（平方厘米）
【预测命题方向9】重组法求面积。
如图，大圆半径R=8厘米，小圆的半径r=4厘米．求阴影部分的面积。
【答案】37.68平方厘米
【详解】试题分析：如图所示，阴影①和空白①的面积相等，阴影②和空白②的面积相等，阴影③和空白③的面积相等，阴影④和空白④的面积相等，于是将4个阴影部分移到与其面积相等的空白部分，于是可以得出图中所有的阴影的面积和就等于大圆面积的减去小圆面积的，大小圆的半径已知，利用圆的面积公式即可求解．
解：×3.14×（82﹣42）
=0.785×（64﹣16）
=0.785×48
=37.68（平方厘米）
答：阴影部分的面积是37.68平方厘米。
点评：解答此题的关键是利用“动态”的眼光，将阴影部分移到与之面积相等的空白部分，从而容易求出阴影部分的总面积。
【对应练习】
求阴影部分的面积。（单位：厘米）
【答案】4.28平方厘米
【分析】通过对称和平移，如图， 阴影部分的面积＝半圆面积－三角形面积，据此列式计算。
【详解】4÷2＝2（厘米）
3.14×2²÷2－2×1÷2×2
＝6.28－2
＝4.28（平方厘米）
【预测命题方向10】容斥原理（重叠法）。
（2023·江西宜春·小升初真题）下图中长方形的长是10cm，宽为8cm。求图中阴影部分面积。
【答案】48.74cm2
【分析】由图可知，大圆面积的－长方形的面积＝a的面积－c的面积，b的面积＝小圆面积的－c的面积，阴影部分的面积＝b的面积＋a的面积＝大圆面积的＋小圆面积的－长方形的面积；据此解答。
【详解】3.14×102×＋3.14×82×－10×8
＝314×＋200.96×－80
＝78.5＋50.24－80
＝128.74－80
＝48.74（cm2）
【对应练习】
1. （2022·湖南株洲·统考小升初真题）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，按照题中条件（单位：厘米）。求阴影部分的面积。
解析：
阴影部分面积＝大三角形的面积先减去一个小三角形面积，右下角梯形面积也是由大三角形面积减去小三角形面积，所以梯形面积与阴影部分面积相等，根据梯形面积公式：（上底＋下底）×高÷2，上底是（135－40）厘米，下底是135厘米，高是18厘米，代入数据，即可解答。
（135－40＋135）×18÷2
＝230×18÷2
＝2070（平方厘米）
即阴影部分的面积是2070平方厘米。
2．（2021·陕西咸阳·小升初真题）计算下面图形阴影部分的面积。
【答案】16.82cm2
【分析】根据图可知，大的扇形面积（半径是6cm的圆）加上半径是4cm的圆的面积再减去长方形的面积即可求解。根据圆的面积公式：S＝πr2，长方形的面积公式：S＝ab，把数代入即可求解。
【详解】3.14×6×6×＋3.14×4×4×－6×4
＝28.26＋12.56－24
＝16.82（cm2）
所以阴影部分的面积是16.82cm2。
3．（2023·全国·小升初模拟）下图中，底边和高都是6厘米的等腰三角形，分别以高的长为直径画圆，以底的一半长为直径画两个半圆，求阴影部分的面积。（π取3.14）
【答案】17.325平方厘米
【分析】由题意可知：阴影部分的面积＝大圆的面积＋小半圆的面积×2（小圆的面积）－三角形的面积，大圆的直径＝6厘米，两个小圆的直径之和也是6厘米，三角形的底和高都是6厘米，据此代入数据即可求解。
【详解】根据分析可得：
3.14×（6÷2）2＋3.14×（6÷2÷2）2－6×6×
＝3.14×32＋3.14×1.52－18
＝3.14×9＋3.14×2.25－18
＝28.26＋7.065－18
＝17.325（平方厘米）
所以，阴影部分的面积是17.325平方厘米。
【预测命题方向11】整体代换法。
（2022秋·甘肃白银·六年级统考期末）阴影部分的面积是20平方米，圆环的面积是多少平方厘米？
解析：
根据图可知，阴影部分面积是大正方形面积减去小正方形面积，大正方形面积是大圆的半径，小正方形面积是小圆半径，假设大圆半径为R，小圆半径为r，则阴影部分面积：R2－r2＝20，根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），由此即可解答。
假设大圆半径为R，小圆半径为r。
R2－r2＝20
圆环的面积：3.14×20＝62.8（平方米）
62.8平方米＝628000平方厘米
圆环的面积是628000平方厘米。
【对应练习】
1. （2022秋·湖北黄冈·六年级统考期末）如图，阴影部分的面积是200cm2，求圆环的面积。
解析：
设大圆的半径为R，小圆的半径为r，那么阴影部分的面积＝R2÷2－r2÷2，将等式两边同时乘2，化简得到：2×阴影部分的面积＝R2－r2，即R2－r2＝2×200。圆环的面积＝大圆面积－小圆面积＝3.14×R2－3.14×r2＝3.14×（R2－r2）。所以，用200平方厘米先乘2，再乘3.14，可求出圆环的面积。
200×2×3.14＝1256（平方厘米）
所以，圆环的面积是1256平方厘米。
2. （2022春·安徽淮北·六年级统考期末）如图，求由正方形和圆组成的组合图形的阴影面积。（π取3.14， 单位：米）。
解析：
阴影部分的面积可以用正方形面积减去圆的面积，正方形边长和圆的半径已知，直接计算即可。
（平方米）
【预测命题方向12】等积变换法求面积。
（2021·成都市实验外国语学校附属小学小升初模拟）已知△ABC的面积是1，把它的各边按照如图所示的方式延长1倍后得到△。（1）△的面积为( )；（直接写出答案）
（2）若按照之前的方式再把△的各边延长2倍得到△，试求△的面积。
【答案】（1）7；（2）19
【分析】连接A1B，CB1，AC1，如下图：
根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，
得三角形A1B1C1的面积是三角形ABC面积的倍数为3×1×（1＋1）＋1＝7（倍）；
依此类推三角形A2B2C2的面积是△ABC的倍数为：3×2×（2＋1）＋1＝19（倍）
【详解】（1）由分析可得：三角形的面积为三角形ABC面积的7倍，
所以三角形面积为7×1＝7；
三角形面积是三角形ABC面积的19倍，所以三角形面积为19×1＝19
【点睛】找出三角形面积之间的规律是解题的关键，上述规律推而广之可得：三角形AnBnCn的面积是三角形ABC面积的倍数为3n（n＋1）＋1＝3n2＋3n＋1（倍）。
【对应练习】
1.（2021·四川·成都市实验外国语学校附属小学小升初模拟）如图，三角形的面积是1，点是的中点，点在上，且，与交于点。求四边形的面积。
【答案】
【分析】因为ΔBAE和ΔBCE的高相等，而且BD∶DC＝1∶2，E是AC的中点，然后连接FC，所以ΔBAE的面积是ΔBAC的面积的 ，进而分析解答即可。
【详解】如图所示，连接FC，设SΔBDF＝x，SΔCEF＝y，由于E是中点，D是3分点，所以SΔBCE＝SΔBAE＝；2SΔABD＝SΔADC＝ ；SΔCEF＝SΔEFA＝y，SΔDCF＝2x，SΔBFC＝SΔBFA＝3x，SΔABE＝SΔBFA＋SΔAFE，即3x＋y＝ ，SΔABD＝SΔBFA＋SΔAFE，即3x＋x＝ ，可得：x＝ ，y＝ 所以SΔDCF＝2x＝ ，所以四边形的面积是：SΔDCF＋SΔCEF＝ 答：四边形DFEC的面积是。
【点睛】解答此题的关键是如果三角形的高相等，那么三角形的底的比就等于三角形的面积比，适当画辅助线更好的找出三角形面积之间的关系。
2．（2021·四川·成都外国语学校附属小学小升初模拟）如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10和12，已知梯形的上底长是下底长的，求余下阴影部分的面积是多少？
【答案】23
【分析】根据题意和图形可知：已知的2个三角形高的和是梯形的高，2个三角形底的和是梯形上下底的和。而梯形和三角形的面积都和底高有关系，所以设出其中一个三角形的底和高，可以变相求出梯形的面积，再减去已知的2个三角形的面积就可以求出阴影的面积。
【详解】解：设上底长为2a，下底长为3a，三角形AOD的高为h，则三角形BCO的高为x，
则x是：（2a×h）∶（3a×x）＝10∶12 解之得：x＝h 那么梯形的高为：h＋h＝h
又因为三角形AOD面积为10，可知：ah＝10 梯形面积为：（2a＋3a）×h÷2＝ah＝×10＝45
故阴影面积为：45－（10＋12）＝23 答：阴影部分的面积是23。
【点睛】本题图形提示阴影的面积＝梯形的面积－2个已知三角形的面积，还是运用组合图形面积求法的思想。
3.（2021·四川成都·小升初模拟）如图，三角形EFC的面积是24平方厘米，AE＝CE，BF＝FC，则三角形ABC的面积为( )平方厘米。
【答案】40
【分析】BF＝FC，则BF∶FC＝1∶3，△EFB和△EFC的高相等，所以△EFB和△EFC的面积比是1∶3，也就是把△EFC的面积看作3份，△EFB的面积是1份，则△EBC的面积是4份。

AE＝CE，则AE∶CE＝1∶4，△EBA和△EBC的高相等，所以△EBA和△EBC的面积比是1∶4，也就是把△EBC的面积看作4份，△EBA的面积是1份，△ABC的面积是5份。
【详解】24÷3×（1＋3）＝8×4＝32（平方厘米）
32÷4×（1＋4）＝8×5＝40（平方厘米）
【点睛】当两个三角形的高相等时，面积之比等于底之比。
【预测命题方向13】差不变原理求面积。
（2022·河南许昌·小升初真题）大圆半径5厘米，小圆半径3厘米，求两圆中阴影部分的面积差。
【答案】50.24平方厘米
【分析】由图可知，A＝大圆面积－B，C＝小圆面积－B，则A－C＝（大圆面积－B）－（小圆面积－B）＝大圆面积－B－小圆面积＋B＝大圆面积－小圆面积，利用“”表示出大圆和小圆的面积，再求出它们的差，据此解答。
【详解】3.14×52－3.14×32
＝3.14×（52－32）
＝3.14×16
＝50.24（平方厘米）
所以，两圆中阴影部分的面积差是50.24平方厘米。
【对应练习】
1. 如图，是一个等腰直角三角形和一个半径为4厘米、圆心角为90°的扇形拼成的图形，利用差不变思想计算下图中两个阴影部分的差是多少平方厘米？
解析：甲、乙两部分同时加上空白扇形，就相当于圆-三角形。
3.14×42×-4×4÷2=4.56（平方厘米）
2. 如图，半圆的直径是10厘米，阴影部分甲比乙的面积少1.25平方厘米，求直角三角形ABO的边OA的长。
解析：
根据题意可知，乙的面积－甲的面积＝1.25平方厘米，给甲、乙分别补上空白部分，它们的面积差不变，即（乙的面积＋空白部分的面积）－（甲的面积＋空白部分的面积）＝1.25平方厘米，可以得出：直角三角形ABO的面积－半圆的面积＝1.25平方厘米；
根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积，然后除以2，即半圆的面积，再加上1.25，求出直角三角形ABO的面积；已知直角三角形ABO的面积和高，根据三角形的底＝面积×2÷高，即可求出直角三角形ABO的边OA的长。
半圆的面积：
3.14×（10÷2）2÷2
＝3.14×25÷2
＝78.5÷2
＝39.25（平方厘米）
直角三角形的面积：
39.25＋1.25＝40.5（平方厘米）
OA的长：
40.5×2÷10
＝81÷10
＝8.1（厘米）
答：直角三角形ABO的边OA的长是8.1厘米。
【题型命题猜想05】立体图形综合—表面积变化问题与排水法。
【命题说明】
立体图形相对于平面图形来说，更具抽象性，是历年小升初考试的重难点，常见的四大立体图形，即长方体、正方体、圆柱、圆锥，主要考察表面积和体积的计算，其中以圆柱的体积考察最多，常考题型主要有表面积的变化问题、不规则及组合立体图形的表面积体积、排水法求不规则图形的体积，熟练掌握图形的基础特点和计算公式是解决该类问题的基础。
【预测命题方向1】表面积的变化问题。
1．（其一）（2023·福建莆田·小升初真题）一盒糖果的尺寸如右图，现要把两盒糖果包成一包。（接口处不计，单位：厘米。）
（1）共有( )种不同的包装方案。
（2）请选择最节约包装纸的方案，算出所需包装纸的大小。
【答案】（1）3
（2）2000平方厘米
【分析】（1）根据长方体的特征可知，长方体上下两个面完全一样，左右两个面完全一样，前后两个面完全一样，把两盒糖果包成一包，将相同的面拼起来即可，据此分析。
（2）运算需要的包装纸最少，也就是把两盒糖果的最大面重合，拼成一个长20厘米，宽15厘米，高（10×2）厘米的长方体，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答。
【详解】（1）要把两盒糖果包成一包，如图，共有3中不同的包装方案。
（2）10×2＝20（厘米）
（20×15＋20×20＋15×20）×2
＝（300＋400＋300）×2
＝1000×2
＝2000（平方厘米）
答：最节省包装纸的方案，至少需要2000平方厘米的包装纸。
2．（其二）（2023·山东济南·小升初真题）如图，一个圆柱体木材被截去5厘米后，圆柱的表面积减少了47.1平方厘米，求原来圆柱体的体积是多少立方厘米？

【答案】141.3立方厘米
【分析】通过观察图形可知，把这个圆柱体木材截去5厘米，圆柱的表面积减少了47.1平方厘米，表面积减少的是高5厘米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：S＝，据此可以求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的表面积公式：V＝，把数据代入公式解答。
【详解】47.1÷2÷3.14÷5
＝23.55÷3.14÷5
＝1.5（厘米）
3.14×1.52×20
＝3.14×1.5×1.5×20
＝7.065×20
＝141.3（立方厘米）
答：原来圆柱体的体积是141.3立方厘米。
【点睛】此题主要考查圆柱侧面积和体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
3．（其三）（2023·山东济南·小升初真题）一个圆锥体量得底面直径是12厘米，沿直径剖成两半后，（如图），表面积增加了120平方厘米，求原来圆锥体的体积是多少立方厘米？
【答案】376.8立方厘米
【分析】通过观察图形可知，把这个圆锥沿直径剖成两半，剖面是三角形，这个三角形的底等于圆锥的底面直径，三角形的高等于圆锥的高，据此可以求出圆锥的高，然后根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。
【详解】120÷2＝60（平方厘米）
60×2÷12
＝120÷12
＝10（厘米）
×3.14×（12÷2）2×10
＝×3.14×36×10
＝3.14×12×10
＝3.14×120
＝376.8（立方厘米）
答：原来圆锥的体积是376.8立方厘米。
【点睛】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是求出圆锥的高。
【对应练习】
1．（2022·重庆潼南·小升初真题）把一个长方体按下图的第一种方法沿着虚线横着切一刀，切面如图①：如果按第二种方法沿着虚线竖着切一刀，切面如图②。（每个方格的边长表示1厘米）
（1）如果按照第三种方法沿着虚线竖着切一刀，请把切面的形状画在图③中。
（2）这个长方体的体积是( )立方厘米。
（3）三种切法中，表面积最多增加( )平方厘米。
【答案】（1）见详解
（2）72
（3）48
【分析】（1）由切面①和切面②可知，这个长方体的长为6厘米，宽为4厘米，高为3厘米，则长方形图③的长为4厘米，宽为3厘米，据此作图即可；
（2）根据长方体的体积公式：V＝abh，据此进行计算即可；
（3）按图①的切法，表面积比原来增加两个长为6厘米，宽为4厘米的长方形的面积；按图②的切法，表面积比原来增加了两个长为6厘米，宽为3厘米的长方形的面积；按图③的切法，表面积比原来增加两个长为为4厘米，宽为3厘米的长方形的面积，据此计算并对比即可。
【详解】（1）如图所示：
（2）6×4×3
＝24×3
＝72（立方厘米）
则这个长方体的体积是72立方厘米。
（3）图①：6×4×2
＝24×2
＝48（平方厘米）
图②：6×3×2
＝18×2
＝36（平方厘米）
图③：4×3×2
＝12×2
＝24（平方厘米）
48＞36＞24
则三种切法中，表面积最多增加48平方厘米。
【点睛】本题考查长方体的体积和表面积，明确长方体的体积的计算方法和表面积的定义是解题的关键。
2．（2023·湖南益阳·小升初真题）一根圆柱形木料的底面半径是0.4米，长2米。（取3.14）
（1）这根木料的体积是多少立方米？合多少立方分米？
（2）如图所示，将它截成3段，这些木料的表面积比原木料增加了多少平方分米？
（3）若将这根木料加工成一个底面半径仍为0.4米的最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方分米？（得数精确到十分位）
【答案】（1）1.0048立方米；1004.8立方分米；
（2）200.96平方分米；
（3）334.9立方分米
【分析】（1）根据圆柱的体积公式：V＝，代入数据即可求出这根木料的体积，再根据1立方米＝1000立方分米，换算单位即可得解。
（2）把一根长2米的圆柱体木料截成3个圆柱体，这些木料的表面积比原木料增加了4个横截面的面积，求出圆柱体木料的底面积是多少；再乘4即可求出增加的表面积。
（3）将这根木料加工成一个底面半径仍为0.4米的最大的圆锥，则圆锥的高也应为2米，那么在等底等高的情况下，这个最大圆锥的体积等于圆柱体积的，用圆柱的体积乘即可得解。
【详解】（1）
＝
＝1.0048（立方米）
＝1004.8（立方分米）
答：这根木料的体积是1.0048立方米，合1004.8立方分米。
（2）
＝
＝2.0096（平方米）
＝200.96（平方分米）
答：这些木料的表面积比原木料增加了200.96平方分米。
（3）1004.8×≈334.9（立方分米）
答：这个圆锥的体积是334.9立方分米。
【点睛】此题主要考查立体图形的切割、圆柱的体积以及圆柱的体积与圆锥的体积之间的关系。
3．（2022·海南海口·小升初真题）把一个高为6厘米的圆柱体切割成若干等分，拼成一个近似的长方体。长方体的表面积比圆柱的表面积增加了48平方厘米，如下图，请求出原来圆柱体的表面积和体积。
【答案】251.2平方厘米；301.44立方厘米
【分析】根据题意，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，那么长方体的长等于圆柱底面周长的一半，长方体的宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高；拼成的长方体的体积等于圆柱的体积，拼成的长方体的表面积比圆柱的表面积多了两个长方形的面积（长方体的左右面），长方形的宽等于圆柱的底面半径，长方形的长等于圆柱的高；
先用增加的表面积除以2，求出一个长方形的面积，再除以高，即可求出长方体的底面半径；
然后根据圆柱的表面积公式S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝2πrh，S底＝πr2；圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。
【详解】圆柱的底面半径：
48÷2÷6
＝24÷6
＝4（厘米）
圆柱的表面积：
2×3.14×4×6＋3.14×42×2
＝3.14×48＋3.14×16×2
＝150.72＋100.48
＝251.2（平方厘米）
圆柱的体积：
3.14×42×6
＝3.14×16×6
＝301.44（立方厘米）
答：原来圆柱体的表面积是251.2平方厘米，体积是301.44立方厘米。
【点睛】掌握圆柱切割拼接成长方体后，各部分元素间对应的关系，以及增加的表面积是哪些面的面积，并以此为突破口，利用公式列式计算。
4．（2021·广东揭阳·小升初真题）把一个底面直径是12厘米的圆锥形木块，垂直于底面直径，分成两个形状、大小完全相同的木块后，表面积比原来增加了120平方厘米，这个圆锥形木块的体积是多少立方厘米？
【答案】376.8立方厘米
【分析】把圆锥形木块垂直于底面直径切开，切面是等腰三角形，表面积比原来增加两个等腰三角形的面积，等腰三角形的底是圆锥的底面直径，等腰三角形的高是圆锥的高，根据增加的表面积求出圆锥的高，再利用“”求出圆锥形木块的体积，据此解答。
【详解】圆锥的高：120÷2×2÷12
＝60×2÷12
＝120÷12
＝10（厘米）
圆锥的体积：×（12÷2）2×10×3.14
＝×36×10×3.14
＝12×10×3.14
＝120×3.14
＝376.8（立方厘米）
答：这个圆锥形木块的体积是376.8立方厘米。
【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，根据增加部分的面积求出圆锥的高，并熟记圆锥的体积计算公式是解答题目的关键。
【预测命题方向2】圆柱与圆锥的关系问题。
1．（2023·云南德宏·小升初真题）把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去的体积是80cm3，则圆锥的体积是( )cm3，圆柱的体积是( )cm3。
【答案】 40 120
【分析】以圆柱的底面为底面，圆柱的高为高的圆锥是圆柱里面最大的圆锥，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的体积是圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，圆锥的体积占圆柱体积的，削去部分体积占圆柱体积的（1－），圆柱的体积＝削去部分的体积÷（1－），圆锥的体积＝圆柱的体积×，据此解答。
【详解】圆柱的体积：80÷（1－）
＝80÷
＝80×
＝120（cm3）
圆锥的体积：120×＝40（cm3）
所以，圆锥的体积是40cm3，圆柱的体积是120cm3。
【点睛】掌握等底等高的圆柱和圆锥之间的体积关系是解答题目的关键。
2．（2023·河南洛阳·小升初真题）等底等高的圆柱和圆锥的体积差是40cm3，圆柱的体积是( )cm3，圆锥的体积是( )cm3。
【答案】 60 20
【分析】根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积公式V＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积等于圆锥体积的3倍；把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积是3份，相差（3－1）份；
已知等底等高的圆柱和圆锥的体积差是40cm3，用体积差除以份数差，即可求出一份数，也就是圆锥的体积，再用圆锥的体积乘3，求出圆柱的体积。
【详解】圆锥的体积：
40÷（3－1）
＝40÷2
＝20（cm3）
圆柱的体积：
20×3＝60（cm3）
圆柱的体积是60cm3，圆锥的体积是20cm3。
【点睛】本题考查等底等高圆柱和圆锥的体积之间的关系，利用差倍问题的解题方法解答。
【对应练习】
1．（2023·广西南宁·小升初真题）一个圆柱体的体积与它等底等高的圆锥体的体积之和是144m3，它们的体积之差是( )。
【答案】72m3
【分析】根据等底等高的圆柱体的体积等于圆锥体的体积的3倍，据此解答即可。
【详解】据题意可知：
V圆柱＝3V圆锥
V圆柱＋V圆锥＝144
V圆锥＝144÷（3＋1）
＝144÷4
＝36（m3）
V圆柱＝36×3＝108（m3）
所以，它们的体积之差是：108－36＝72（m3）
【点睛】本题考查圆柱体的体积和圆锥体的体积之间的关系，关键要抓住等底等高这个条件。
2．（2023·陕西延安·小升初真题）5月30日上午，神舟十六号载人飞船成功发射，延安苹果又一次随航天员去“天宫”。小温观看了神舟十六号载人飞船发射后，打算做一个火箭模型，他把棱长8厘米的正方体橡皮泥做成了组合在一起的等底等高的一个圆柱体和一个圆锥体（如图），这个圆柱体的体积是( )立方厘米，这个圆锥体的体积是( )立方厘米。
【答案】 384 128
【分析】首先根据正方体的体积公式：V＝a3，求出这块橡皮泥的体积，因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以等底等高的圆柱与圆锥的体积和相当于圆锥体积的（3＋1）倍，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法求出圆锥的体积，进而求出圆柱的体积。
【详解】8×8×8÷（3＋1）
＝8×8×8÷4
＝128（立方厘米）
128×3＝384（立方厘米）
这个圆柱的体积是384立方厘米，这个圆锥的体积是128立方厘米。
【点睛】此题主要考查正方体体积公式的灵活运用，等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用，关键是熟记公式。
3．（2023·江苏徐州·小升初真题）一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积相差28立方厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。
【答案】14
【分析】根据等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，知道等底等高的圆柱的体积与圆锥的体积相差的量是圆锥体积的（3－1）倍，由此用28除以（3－1）就是圆锥的体积。
【详解】28÷（3－1）
＝28÷2
＝14（立方厘米）
圆锥的体积为14立方厘米。
【点睛】本题主要是利用等底等高的圆柱的体积与圆锥的体积的关系解决问题。
【预测命题方向3】等积变形问题。
1．（2022·江西赣州·小升初真题）把一块长15分米、宽8分米、高20分米的长方体钢坯熔铸成一块底面周长是18.84分米圆柱体，这块圆柱体的高是多少？（得数保留整数）
【答案】85分米
【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出钢坯体积，确定圆柱底面半径，根据圆柱的高＝体积÷底面积，列式解答即可，结果用四舍五入法保留近似数。
【详解】15×8×20＝2400（立方分米）
18.84÷3.14÷2＝3（分米）
2400÷（3.14×32）
＝2400÷（3.14×9）
＝2400÷28.26
≈85（分米）
答：这块圆柱体的高是85分米。
【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体和圆柱体积公式。
2．（2022·甘肃白银·小升初真题）一个圆锥形沙堆，底面积是28.26平方米，高是2.5高。用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？
【答案】117.75米
【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥形沙堆的体积，把铺公路看作一个长方体，长方体的体积等于圆锥形沙堆的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，长＝体积÷（宽×高），代入数据，即可解答。
【详解】2厘米＝0.02米
28.26×2.5×÷（10×0.02）
＝70.65×÷0.2
＝23.55÷0.2
＝117.75（米）
答：能铺117.75米。
【点睛】熟练掌握和灵活运用长方体体积公式和圆锥的体积公式是解答本题的关键，注意单位名数的统一。
3．（2023·江苏·小升初真题）如图所示，圆柱形容器甲是空的，正方形容器乙中水深6.28厘米，将容器乙中的水全部倒入容器甲中，这时水深多少厘米？

【答案】8厘米
【分析】根据长方体的体积公式：长×宽×高，把数代入公式即可求出水的体积；由于把这些水倒入圆柱形容器，那么水的体积不变，根据圆柱的提交公式：底面积×高，即用水的体积÷圆柱的底面积＝水深，把数代入即可求解。
【详解】10×10×6.28＝628（立方厘米）
628÷[3.14×（10÷2）2]
＝628÷[3.14×52]
＝628÷[3.14×25]
＝628÷78.5
＝8（厘米）
答：这时水深是8厘米。
【点睛】本题主要考查长方体的体积公式以及圆柱的体积公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用。
【对应练习】
1．（2023·广西南宁·小升初真题）把一个长、宽、高分别是8厘米、4厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长为4厘米的正方体铁块熔铸成一个圆锥体。这个圆锥体的底面积是1.2平方分米，高是多少？
【答案】4厘米
【分析】由题意可知：圆锥的体积等于长方体铁块与正方体铁块的体积和。先根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出长方体铁块的体积；再根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出正方体铁块的体积；再用长方体铁块的体积加上正方体铁块的体积求出圆锥的体积；最后根据“圆锥的高＝圆锥的体积÷÷底面积”求出圆锥的高。
【详解】1.2平方分米＝120平方厘米
8×4×3＋4×4×4
＝96＋64
＝160（立方厘米）
160÷÷120
＝160×3÷120
＝480÷120
＝4（厘米）
答：高是4厘米。
【点睛】此题考查了长方体、正方体、圆锥的体积计算公式。解决此题关键是明确熔铸前后铁块的形状发生了变化，但体积不变。
2．（2022·天津南开·小升初真题）把一根底面直径为12分米、高为5分米的圆柱形钢材，熔铸成一个高是12分米的圆锥，熔铸成的这个圆锥的底面积是多少平方分米？
【答案】141.3平方分米
【分析】已知圆柱形钢材的底面直径和高，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出这根钢材的体积；再把这根钢材熔铸成一个圆锥，钢材的形状变了，但体积不变；
根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的底面积S＝3V÷h，代入数据计算，即可求出这个圆锥的底面积。
【详解】钢材的体积：
3.14×（12÷2）2×5
＝3.14×36×5
＝565.2（立方分米）
圆锥的底面积：
565.2×3÷12
＝1695.6÷12
＝141.3（平方分米）
答：熔铸成的这个圆锥的底面积是141.3平方分米。
【点睛】本题考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。
3．（2023·广西河池·小升初真题）如图，一个底面内直径为2厘米，高为7厘米的瓶子，里面水的高度是4厘米，把瓶盖拧紧，倒置放平后，水的高度为5厘米，请你计算瓶子的容积是多少立方厘米？
【答案】18.84立方厘米
【分析】瓶子的容积＝水的体积＋空白部分的容积，倒置放平后，空白部分是个高（7－5）厘米的圆柱，根据圆柱体积＝底面积×高，分别求出水的体积和空白部分的容积，相加即可。
【详解】3.14×（2÷2）2×4＋3.14×（2÷2）2×（7－5）
＝3.14×12×4＋3.14×12×2
＝3.14×1×4＋3.14×1×2
＝12.56＋6.28
＝18.84（立方厘米）
答：瓶子的容积是18.84立方厘米。
【点睛】关键是利用转化思想，将不规则部分的容积转化为圆柱进行计算。
【预测命题方向4】不规则或组合立体图形的表面积与体积。
（2022·浙江湖州·小升初真题）下图是由一个正方体和半个圆柱组成的一个几何体。正方体的棱长是10厘米。求几何体的表面积和体积。（取3）
【答案】725平方厘米；1375立方厘米
【分析】几何体的表面积＝正方体1个面的面积×5＋圆柱底面积＋圆柱侧面积÷2；几何体的体积＝正方体体积＋圆柱体积÷2，据此列式解答。
【详解】10×10×5＋3×（10÷2）2＋3×10×10÷2
＝500＋3×25＋150
＝500＋75＋150
＝725（平方厘米）
10×10×10＋3×（10÷2）2×10÷2
＝1000＋3×25×5
＝1000＋375
＝1375（立方厘米）
答：几何体的表面积是725平方厘米，体积是1375立方厘米。
【点睛】关键是掌握并灵活运用正方体和圆柱的表面积和体积公式。
【对应练习】
1．（2023·湖北黄冈·小升初真题）求下图的表面积和体积。（单位：厘米）
【答案】表面积是30.28平方厘米；体积是9.57立方厘米
【分析】观察题意可知，在正方体上面放一个圆柱体，立体图形的表面积比正方体多了一个圆柱的侧面积，根据正方体的表面积公式：V＝6a2，圆柱的侧面积公式：S＝πdh，用6×2×2＋3.14×1×2即可求出立体图形的表面积。根据正方体的体积公式：V＝a3，圆柱的体积公式：V＝πr2h，用2×2×2＋3.14×（1÷2）2×2即可求出立体图形的体积。据此解答。
【详解】6×2×2＋3.14×1×2
＝24＋6.28
＝30.28（平方厘米）
立体图形的表面积是30.28平方厘米。
2×2×2＋3.14×（1÷2）2×2
＝2×2×2＋3.14×0.52×2
＝2×2×2＋3.14×0.25×2
＝8＋1.57
＝9.57（立方厘米）
立体图形的体积是9.57立方厘米。
2．（2022·浙江绍兴·小升初真题）下图的零件由长方体和圆锥体构成，求零件的体积。
【答案】44.56立方厘米
【分析】零件的体积等于长方体的体积加上圆锥的体积，根据圆锥的体积公式：，长方体的体积公式：，把数据代入公式，求出它们的体积和即可。
【详解】4×4×2＋×3.14×（4÷2）2×3
＝16×2＋×3.14×4×3
＝32＋12.56
＝44.56（立方厘米）
所以，零件的体积是44.56立方厘米。
3．（2022·湖北黄冈·小升初真题）立体图形的测量。
2022年北京冬奥会项目设有单板滑雪U形池赛，其U形池简化模型示意图如下，形状可看为一个长方体中挖去了半个圆柱体（沿高平分）。已知冬奥会标准形池规格：长为120米，宽为20米，高为3.5米，其中挖圆柱体的底面圆半径为6米。现请你作为设计师给U形池表面涂色（只涂内壁、左右面和前后面，不包括底面和上沿）。
（1）问涂色部分的面积多大？
（2）该U形池所占空间大小？
【答案】（1）3127.76平方米
（2）1617.6立方米
【分析】（1）涂色部分的面积＝圆柱侧面积的一半＋长×高×2＋宽×高×2－圆柱底面积，据此列式解答；
（2）U形池的体积＝长方体体积－圆柱体积的一半，长方体体积＝长×宽×高，圆柱体积＝底面积×高。
【详解】（1）2×3.14×6×120÷2＋120×3.5×2＋20×3.5×2－3.14×62
＝2260.8＋840＋140－113.04
＝3127.76（平方米）
答：涂色部分的面积有3127.76平方米。
（2）120×20×3.5－3.14×62×120÷2
＝8400－6782.4
＝1617.6（立方米）
答：该U形池所占空间1617.6立方米。
【点睛】关键是看懂图示，掌握长方体和圆柱的表面积和体积公式。
【预测命题方向5】排水法求不规则立体图形的体积。
（2023·河南三门峡·小升初真题）笑笑在一个长方体的玻璃容器中装了一些水，他把一个底面半径为4厘米的圆柱形铁块完全浸入水中，发现水面上升了8厘米。他又把这个铁块垂直拉出水面5厘米，这时水面下降2厘米（如下图所示，玻璃厚度忽略不计）。
（1）这个铁块露出水面部分的体积是多少？（π取3）
（2）这个铁块的体积是多少？（π取3）
（3）这个铁块的体积占玻璃容器容积的几分之几？
【答案】（1）240立方厘米
（2）960立方厘米
（3）
【分析】（1）求这个铁块露出水面部分的体积是多少，就是求底面半径是4厘米，高是5厘米的圆柱体的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高即可解答；
（2）求这个铁块的体积是多少，先用铁块露出水面部分的体积除以2求出长方体的玻璃容器的底面积，再乘8即可解答；
（3）求这个铁块的体积占玻璃容器容积的几分之几，就可以求上升了8厘米的高度是长方体的玻璃容器的高度几分之几，所以用除法即可解答。
【详解】（1）3×42×5
＝48×5
＝240（立方厘米）
答：这个铁块露出水面部分的体积是240立方厘米。
（2）240÷2×8
＝120×8
＝960（立方厘米）
答：这个铁块的体积960立方厘米。
（3）8÷30＝
答：这个铁块的体积占玻璃容器容积的。
【点睛】本题考查了利用长方体、圆柱体的体积公式解决实际问题的能力。
【对应练习】
1．（2021·贵州贵阳·小升初真题）一个小圆锥体玩具被芳芳一不小心掉进了一个底面积为3平方分米，高4分米的圆柱体量杯中，她发现正好水面上升了1分米。你能求出这个小圆锥体玩具的体积吗？
【答案】3立方分米
【分析】小圆锥体玩具的体积等于上升部分水的体积，上升部分水的体积＝量杯的底面积×上升部分水的高度，据此解答。
【详解】3×1＝3（立方分米）
答：这个小圆锥体玩具的体积是3立方分米。
【点睛】熟记圆柱的体积计算公式并把圆锥体玩具的体积转化为上升部分水的体积是解答题目的关键。
2．（2023·河南驻马店·小升初真题）一个圆柱形玻璃缸，底面直径是6分米，高40厘米，水深25厘米，把一个底面半径是2分米的圆锥完全浸没在水中，水面上升到27厘米，这个圆锥的高是多少厘米？
【答案】13.5厘米
【分析】圆锥完全浸没在水里后，圆锥的体积＝水面上升的体积，水面上升的体积可看作底面直径是6分米，高为（27－25）厘米的圆柱的体积，根据圆柱的体积公式，把数据代入即可求出水面上升的体积，即这个圆锥的体积，再根据圆锥的体积公式，即可这个求出圆锥的高。
【详解】6分米＝60厘米
3.14×（60÷2）2×（27－25）
＝3.14×302×2
＝3.14×900×2
＝5652（立方厘米）
2分米＝20厘米
5652÷÷（3.14×202）
＝5652×3÷（3.14×400）
＝16956÷1256
＝13.5（厘米）
答：这个圆锥的高是13.5厘米。
【点睛】此题的解题关键是通过转化的数学思想，灵活运用圆柱和圆锥的体积公式，解决问题。
3．（2021·四川乐山·小升初真题）在一个底面直径是10厘米，高是8厘米的圆柱形杯内倒入水，水面高6厘米，把一个小铁块全部浸入水中，水满后还溢出了15毫升，这个小铁块的体积是多少立方厘米？
【答案】172立方厘米
【分析】根据题意可知，小铁块全部浸入水中，小铁块的体积＝圆柱上部未注满水部分的体积＋溢出水的体积，根据圆柱的体积公式：V＝，代入数据求出未注满水部分的体积，再把15毫升换算成15立方厘米，加上这部分体积，即可求出这个小铁块的体积。
【详解】15毫升＝15立方厘米
3.14×（10÷2）2×（8－6）＋15
＝3.14×52×2＋15
＝3.14×25×2＋15
＝157＋15
＝172（立方厘米）
答：这个小铁块的体积是172立方厘米。
【点睛】此题的解题关键是掌握不规则物体的体积的计算方法，通过转化的数学思想，灵活运用圆柱的体积公式，解决问题。
【题型命题猜想06】比和比例综合—按比例分配问题、比例的实际应用与不变量问题。
【命题说明】
运用比和比例知识解决实际问题是小升初必考内容之一，掌握比和比例的基础知识与运算方法是解决相关实际问题的基础，涉及比方面的问题主要以按比例分配问题为主，而在比例方面则主要以正比例与反比例的基本关系和生活实际应用为主，需要注意的是比和比例相关问题常常结合分数、百分数知识进行综合考察，因此，熟练掌握分数百分数的基本应用题型也是解决该类问题的重要基础。
【预测命题方向1】求比综合。
1．（2022·江苏镇江·小升初真题）小华读一本书，已经读了全书的65%，已经读的页数与未读页数的比是( )，还剩下全书的没有读。
【答案】13∶7；
【分析】将这本书总页数看作单位“1”，先用“1”减去65%，求出未读的页数占总页数的百分率；然后求出65%与（1－65%）的比，并化成最简整数比；化简比根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变；最后将未读的页数占总页数的百分率化成分数即可。百分数化为分数，分母为100，分子是百分号前面的数，能约分的要约分。
【详解】65%∶（1－65%）
＝0.65∶0.35
＝（0.65×20）∶（0.35×20）
＝13∶7
1－65%＝35%
35%＝
已经读的页数与未读页数的比是13∶7，还剩下全书的没有读。
【点睛】解答本题需熟练掌握比的意义和化简比的方法，明确分数与百分数之间的关系。
2．（2022·河南新乡·小升初真题）两个正方形边长的比是2∶3，周长的比是( )，面积的比是( )。
【答案】 2∶3 4∶9
【分析】正方形周长＝边长×4，正方形面积＝边长×边长，两个正方形的边长比＝周长比，边长比前后项分别平方以后的比是面积比，据此分析。
【详解】22∶32＝4∶9
两个正方形边长的比是2∶3，周长的比是2∶3，面积的比是4∶9。
【点睛】关键是理解比的意义，掌握并灵活运用正方形周长和面积公式。
3．（2022·天津南开·小升初真题）一条路，甲行全程要用1.5小时，乙行全程的要用小时，则甲与乙的速度的最简整数比是( )。
【答案】16∶15
【分析】把一段路程的长度看作“1”，根据路程÷时间＝速度，分别求出甲乙的速度，再写出相应的比，根据比的基本性质化成最简整数比。
【详解】（1÷1.5）∶（÷）
＝
＝
＝∶
＝（）∶（）
＝16∶15；
所以甲与乙的速度的最简整数比是16∶15.
【点睛】关键是要把路程的长度看作单位“1”以及熟练掌握路程、速度、时间三者之间的关系
【对应练习】
1．（2022·天津南开·小升初真题）一个圆柱和一个圆锥的底面周长之比是2∶3，圆锥的高比圆柱的高多，则圆锥与圆柱的体积之比是( )。
【答案】5∶4
【分析】圆柱体积＝πr2h，圆锥体积＝πr2h，底面周长＝2πr。一个圆柱和一个圆锥的底面周长之比是2∶3，则它们的底面半径比是2∶3，可设圆柱和一个圆锥的底面半径分别为2和3。圆锥的高比圆柱的高多，圆柱高为“1”，则圆锥高为。据此可得出答案。
【详解】一个圆柱和一个圆锥的底面周长之比是2∶3，则它们的底面半径比是2∶3，可设圆柱和一个圆锥的底面半径分别为2和3。则圆锥的体积：
×π×32×
＝×π×9×
＝5π；
圆柱体积为：π×22×1＝4π
即圆锥和圆柱的体积之比为：
【点睛】本题主要考查的是圆柱、圆锥的体积及比的应用，解题的关键是熟练掌握圆柱、圆锥的体积公式，进而得出答案。
2．（2022·湖南永州·小升初真题）一项劳动任务，小明独做小时完成，小华独做小时完成，小明、小华的工作效率最简整数比是( )。
【答案】4∶3
【分析】把这项劳动任务的工作量看作“1”，根据“工作效率＝工作量÷工作时间”分别求出小明、小华的工作效率，再根据比的意义即可得出小明、小华的工作效率比。
【详解】（1÷）：（1÷）＝4∶3
所以，小明、小华的工作效率最简整数比是4∶3。
【点睛】此题考查了比的意义及化简。关键是根据工作量、工作时间、工作效率三者之间的关系求出二人的工作效率。
3．（2022·广东梅州·小升初真题）李医生在两个相同的杯子里装满了酒精溶液，一个杯子中酒精与水的体积比是3∶2，另一个杯子中酒精与水的体积比是2∶1，若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精与水的体积比是( )。
【答案】19∶11
【分析】根据题意，第一个杯子，酒精与水的体积比是3∶2，酒精占杯子容量的，水占杯子容量的；第二个杯子，酒精与水的体积比是2∶1，酒精占杯子容量的，水占杯子容量的；最后将两杯酒精所占的份数相加比两杯水所占份数的和。
【详解】（）∶（）
＝（）∶（）
＝∶
＝19∶11
所以，混合后的酒精与水的体积比是19∶11。
【点睛】本题考查比的应用，关键要抓住混合前后酒精与水的体积变化关系。
【预测命题方向2】按比例分配问题。
1．（2023·四川成都·小升初真题）深圳某小学在“献爱心——为贵州贫困地区捐款”活动中，六年级五个班共捐款6300元，其中一班捐款1400元，二班比一班少捐款100元，三班捐款数是年级总数的20%，四班与五班捐款数之比是。求四班捐款多少元？
【答案】1080元
【分析】二班捐款比1400元少100元，用减法求出二班捐款数；三班捐款数是6300元的20%，用百分数乘法计算；用总钱数减去三个班捐款的钱数，从而可得四班五班捐款的总数是多少；四班与五班捐款数之比是6∶7，即把四班与五班捐款总数平均分成13份，四班与五班各占6份与7份，用总钱数除以13即可求出一份是多少钱，再乘四班捐款的份数，据此解答。
【详解】二班捐款：1400－100＝1300（元）
三班捐款：6300×20%＝1260（元）
四班五班捐款：
6300－（1400＋1300＋1260）
＝6300－3960
＝2340（元）
四班捐款：
2340÷（6＋7）×6
＝2340÷13×6
＝180×6
＝1080（元）
答：四班捐款1080元。
【点睛】本题考查百分数的乘法计算及按比分配问题的解答。
2．（2023·福建福州·小升初真题）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向开往对方出发地。已知甲车和乙车速度的比是2∶3。
（1）经过2.5小时两车相遇，相遇时甲车还剩全程的几分之几？
（2）两车在相遇后继续前行，当乙车行到全程的时，甲车距离B地还有210千米。AB两地相距多少千米？
【答案】（1）（2）450千米
【分析】（1）已知甲车和乙车速度的比是2∶3，那么在相同的时间内，他们行驶的路程比是2∶3。把全程看作单位“1”，则相遇时甲车行驶了全程的，用1减去即可求出相遇时甲车还剩全程的几分之几。
（2）在相同的时间内，甲车和乙车行驶的路程比是2∶3，则甲车行驶的路程是乙车的。当乙车行到全程的时，甲车行了全程的×＝。把两地的全长看作单位“1”，则甲车距离B地还有（1－），已知甲车距离B地还有210千米，用210除以（1－）即可求出AB两地相距多少千米。
【详解】（1）1－
＝1－
＝
答：相遇时甲车还剩全程的。
（2）×＝
210÷（1－）
＝210÷
＝210×
＝450（千米）
答：AB两地相距450千米。
【对应练习】
1．（2023·甘肃金昌·小升初真题）根据下表的信息，计算如果要配制300克色拉酱，需要色拉油多少克？
每100克色拉酱的配方表
【答案】180克
【分析】据题意，每100克色拉酱中，色拉油∶醋∶酱油＝60∶30∶10＝6∶3∶1,根据总质量，按比例分配即可计算出需要的色拉油的用量。
【详解】由分析可得，色拉油∶醋∶酱油＝6∶3∶1
色拉油：
＝
＝（克）
答：要配制300克色拉酱，需要色拉油180克。
【点睛】本题考查按比例分配，关键是要找准各种量对应的最简整数比。
2．（2022·天津南开·小升初真题）在一幅比例尺是的地图上，量得一条路的长度是4厘米。甲、乙两个施工队同时从这条路的两头开始施工，若干天后修完。已知甲、乙两个施工队的工作效率比是，甲施工队比乙施工队多修了多少千米？
【答案】4千米
【分析】先利用公式实际距离＝图上距离÷比例尺求出这条路的实际长度；因为甲、乙两个施工队的工作效率比是，则甲施工队完成了全部工作的，乙施工队完成了全部工作的，分别求出甲、乙两队具体的工作总量，相减即可。
【详解】4÷
＝4×500000
＝2000000（厘米）
＝20（千米）
20×－20×
＝20×－20×
＝12－8
＝4（千米）
答：甲施工队比乙施工队多修了4千米。
【点睛】明确图上距离和实际距离的转换方法是解题的关键，注意单位是否统一。
3．（2023·河南洛阳·小升初真题）数学实践课上老师布置了这样两个作业：
请你把一个棱长总和为96厘米，且长、宽、高的比是3∶4∶5的长方体石蜡块，削成一个最大的圆锥体，然后把这个圆锥体完全浸入一个装满水的圆柱形容器中，圆锥的底面直径是圆柱形容器底面直径的。1分钟后把圆锥体状的石蜡块从水中取出。
作业一：问最大的圆锥体积是多少立方厘米？
作业二：1分钟后把圆锥体蜡块从水中取出时，水面下降了几厘米？
【答案】作业一：100.48立方厘米；
作业二：0.5厘米
【分析】作业一：长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，据此用96÷4求出长、宽、高的和是24厘米；再把24厘米按3∶4∶5分配分别求出长是6厘米、宽8厘米、高是10厘米；圆锥的体积，据此分别求出以10厘米、8厘米、6厘米为高的圆锥的体积，从而得到最大的圆锥体积。
作业二：先用圆锥的底面直径÷求出圆柱形容器的底面直径；再根据圆的面积求出圆柱形容器的底面积；把这个圆锥体完全浸入一个装满水的圆柱形容器中，溢出的水的体积等于圆锥体蜡块的体积，圆柱的体积＝底面积×高，据此用溢出的水的体积÷圆柱形容器的底面积即可求出水面下降了几厘米。
【详解】作业一：
96÷4＝24（厘米）
长：24×
＝24×
＝6（厘米）
宽：24×
＝24×
＝8（厘米）
高：24×
＝24×
＝10（厘米）

＝
＝
＝94.2（立方厘米）
＝
＝
＝75.36（立方厘米）
＝
＝100.48（立方厘米）
100.48＞94.2＞75.36
答：最大的圆锥体积是100.48立方厘米。
作业二：
8÷
＝8×2
＝16（厘米）
3.14×（16÷2）2
＝3.14×82
＝3.14×64
＝200.96（平方厘米）
100.48÷200.96＝0.5（厘米）
答：水面下降了0.5厘米。
【点睛】此题主要考查了长方体的棱长和、按比分配、圆锥的体积公式、圆柱的体积公式的应用。
【预测命题方向3】比与分数（百分数）综合应用。
（2022·浙江绍兴·小升初真题）“货拉拉”运一堆货物。第一天运了全部的，第二天运了60吨，这时已经运的吨数与剩下的吨数之比是5∶3。两天一共运了多少吨？
【答案】100吨
【分析】把这一堆货物的吨数看作单位“1”，运了两天后已经运的吨数与剩下的吨数之比是5∶3，则第二天运的吨数占总数的（）；根据分数除法的意义，用60吨除以（）求出这堆货物的总吨数，再乘求出第一天运的吨数，再加上第二天运的60吨，所得结果即为两天一共运的吨数。
【详解】
（吨）
答：两天一共运了100吨。
【点睛】解答本题的关键是把比转化成分数，进而求出60吨占总吨数的几分之几，再根据分数除法和分数乘法的意义进行解答
【对应练习】
1．（2023·吉林·小升初真题）一辆汽车从甲地开往乙地，第一天行驶路程与未行驶路程的比是2∶5，第二天行驶了210千米正好到达两地的中点，还需要行驶多少千米就可以到达乙地？
【答案】490千米
【分析】第一天行驶路程与未行驶路程的比是2∶5，假设行驶的路程是2份，没有行驶的路程是5份，则行驶的路程占总路程的；210千米对应的就是全程的－，用210÷（－）即可求出全程有多少千米，因为第二天刚好走到中点，则剩下的路程是总路程的一半，用总路程÷2即可求出剩下需要行驶多少千米。
【详解】210÷（－）÷2
＝210÷÷2
＝210×÷2
＝980÷2
＝490（千米）
答：还需要行驶490千米就可以到达乙地。
【点睛】此题考查分数除法的应用，明确210千米所对应的分率是解题的关键。
2．（2023·江苏泰州·小升初真题）新能源汽车配件厂家加工一批配件，第一天完成了总数的35%，第二天加工了1200个，这时已完成的和未完成的配件比是3∶2。
（1）加工的这批配件一共有多少个？
（2）如果剩下的配件需要在8小时完成，平均每小时加工多少个？
【答案】（1）4800个
（2）240个
【分析】（1）可以用方程解，设这批配件一共有x个，由题意可得到等量关系式：第一天加工的数量＋第二天加工的数量＝已经加工的数量，其中用总数量x乘35%即为第一天完成的量，这批配件总份数为（3＋2）份，已完成的量占总量的，再用总量x乘即可得到已完成的量，再根据等量关系式解方程解答即可；
（2）剩下的配件数量占总数量的，先用配件总数量乘即可得到剩下配件的数量，再除以8即可算出平均每小时加工的配件个数。
【详解】（1）解：设这批配件一共有x个。
35%x＋1200＝x
0.35x＋1200＝0.6x
0.35＋1200－0.35x＝0.6x－0.35x
0.25x＝1200
x＝4800
答：这批配件一共有4800个。
（2）4800×÷8
＝4800××
＝240（个）
答：平均每小时加工240个。
【点睛】本题考查解含有一个未知数的问题，找到等量关系是关键。
3．（2023·福建莆田·小升初真题）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度比是6∶5，相遇后，甲的速度减少了25%，乙的速度提高了20%，这样，当乙到达A地时，甲离B地还有25千米。求A、B两地的距离是多少千米？
【答案】550千米
【分析】相遇时甲、乙两人所行的路程比为6∶5，相遇后甲速度∶乙速度＝[6×（1－25%）]∶[5×（1＋20%）]＝3∶4，乙从相遇点到达A时行了全程的，则甲行了全程的（×＝），进一步计算出甲离B地的25千米是全程的（1－－），据此根据已知数÷对应分率＝单位“1”，求出A、B两地的距离。
【详解】相遇后甲、乙的速度比：
[6×（1－25%）]∶[5×（1＋20%）]
＝[6×75%]∶[5×120%]
＝[6×0.75]∶[5×1.2]
＝4.5∶6
＝（4.5÷1.5）∶（6÷1.5）
＝3∶4
相遇后甲行的路程：
×
＝
＝
A、B两地的路程：
25÷（1－－）
＝25÷（1－－）
＝25÷（－）
＝25÷（－）
＝25÷
＝25×22
＝550（千米）
答：A、B两地的路程是550千米。
【预测命题方向4】正比例与反比例关系判断。
1．（2023·河南洛阳·小升初真题）请填“正”或“反”。
(1)圆柱的体积一定，圆柱的高和底面积成( )比例关系。
(2)数学书的单价一定，购买数学书的总价和数量成( )比例关系。
【答案】(1)反
(2)正
【分析】判断两种量成正比例还是成反比例，关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例；如果比值和乘积都不是定量，就不成比例。
【详解】（1）因为圆柱的高×底面积＝圆柱的体积（一定），所以圆柱的体积一定，圆柱的高和底面积成反比例关系。
（2）因为，所以数学书的单价一定，购买数学书的总价和数量成正比例关系。
【点睛】明确正、反比例的意义是解决此题的关键。
2．（2023·云南德宏·小升初真题）如果x∶y＝6（x、y均不为0），那么x和y成( )比例关系；如果x∶1.4＝1.7∶y（x、y均不为0），那么x和y成( )比例关系。
【答案】 正 反
【分析】在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积；判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是乘积一定；如果是比值（商）一定，则成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，据此解答。
【详解】分析可知，如果x∶y＝6（一定），那么x和y成正比例关系；如果x∶1.4＝1.7∶y，则xy＝1.4×1.7＝2.38（一定），那么x和y成反比例关系。
【点睛】此题属于辨识正反比例关系，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是乘积一定，再做判断。
【对应练习】
1．（2023·河南周口·小升初真题）a、b是两个相关联的量，且均不等于0。如果，那么a与b成( )比例；如果，那么a与b成( )比例。
【答案】 正 反
【分析】判断两种量成正比例还是成反比例，关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例；如果比值和乘积都不是定量，就不成比例。
【详解】根据等式的性质2，在的两边同时除以b，可得。因为，所以a与b成正比例。
根据等式的性质2，先在的两边同时乘b，可得3ab＝；再在3ab＝的两边同时除以3，可得ab＝。因为ab＝（一定），所以a与b成反比例。
【点睛】解决此类问题关键是把算式转化成一个等于“一定量”的算式。如果是除法，并且商一定，那么就成正比例；如果是乘法，并且积一定，那么就成反比例。
2．（2022·江苏无锡·小升初真题）在车辆行驶运动过程中，路程一定时，行驶的速度和时间成( )比例；同一时间、同一地点，物体的高度和影长成( )比例。
【答案】 反 正
【分析】比值一定的两个量成正比例关系，乘积一定的两个量成反比例关系。据此分析解题。
【详解】速度×时间＝路程（一定），那么在车辆行驶运动过程中，路程一定时，行驶的速度和时间成反比例；
影子长度÷物体的高度＝每米物体的影长（一定），那么同一时间、同一地点，物体的高度和影长成正比例。
【点睛】本题考查了正比例和反比例，掌握正比例和反比例的意义是解题的关键。
3．（2022·四川成都·小升初真题）下面各种关系中，成反比例关系的是( )。
A．三角形面积一定，它的底和高B．圆的面积一定，它的半径平方与圆周率
C．速度一定时，行驶的路程和时间D．平行四边形的高一定，它的面积和底
【答案】A
【分析】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。
【详解】A．三角形的面积＝底×高÷2，若三角形面积一定，则它的底×高的积一定，所以它的底和高成反比例关系，符合题意；
B．因为圆周率是一个定值，根据圆的面积公式：S＝πr2可知：圆的面积一定，它的半径平方也是定值，所以圆的面积一定，它的半径平方与圆周率不成比例，不符合题意；
C．速度＝路程÷时间，当速度一定时，行驶的路程和时间的比值一定，所以速度一定时，行驶的路程和时间成正比例关系，不符合题意；
D．由平行四边形的面积＝底×高可知：高＝平行四边形的面积÷底。当平行四边形的高一定，它的面积和底的比值一定，所以平行四边形的高一定，它的面积和底成正比例关系，不符合题意。
故答案为：A
【点睛】此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是否都是变量，且对应的比值一定，或是对应的乘积一定，再做出判断。
【预测命题方向5】比例尺解决实际问题。
（2022·广东清远·小升初真题）在一幅比例尺是的地图上，量得A、B两地相距7.2厘米，一辆客车和一辆货车分别从A、B两地同时相对开出，客车每时行驶80千米，货车每时行驶70千米。经过几时两车相遇？
【答案】9.6时
【分析】根据比例尺的意义，1厘米表示200千米，据此用200×7.2即可求出7.2厘米的实际距离，再根据相遇时间＝路程和÷速度和，用A、B两地的实际距离除以两车的速度和，即可求出相遇时间。
【详解】1厘米表示200千米；
200×7.2＝1440（千米）
1440÷（80＋70）
＝1440÷150
＝9.6（小时）
答：经过9.6时两车相遇。
【点睛】本题主要考查了图上距离和实际距离的换算以及相遇问题的应用。
【对应练习】
1．（2023·山西临汾·小升初真题）在比例尺是1∶4000000的地图上，A、B两地的距离是5厘米，两辆汽车同时从A、B两地相对开出，一辆汽车每小时行35千米，另一辆汽车每小时行45千米，几小时可以相遇？
【答案】2.5小时
【分析】先根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出两地的实际距离，把求出的实际距离的厘米单位除以100000得出以千米为单位的实际距离，再根据相遇时间＝路程÷速度和，代入数据计算即可。
【详解】由分析可得：
5÷＝5×4000000＝20000000（厘米）
20000000厘米＝200千米
200÷（35＋45）
＝200÷80
＝2.5（小时）
答：2.5小时可以相遇。
【点睛】本题解题考查了通过比例尺和图上距离求实际距离，以及路程、时间、速度三者之间的关系，解题的过程一定要把单位统一。
2．（2023·山东·小升初真题）“美味烧烤，时尚享受。”A城有一块长方形地，长与宽的比是。按照的比例尺画在图上，其周长为28厘米。计划在这块地上建一片烧烤区域，烧烤区域的面积是这块地的60%。烧烤区域的面积是多少平方米？
【答案】11520平方米
【分析】按照的比例尺画在图上，其周长为28厘米，则在图上的长＋宽＝14厘米，已知长与宽的比是，根据按比分配原则可求出图上的长方形长和宽；再运用实际距离＝图上距离÷比例尺，可计算出长方形实际的长、宽，运用烧烤区域面积＝长×宽×60%，可计算得出答案。
【详解】长方形地的实际长为：
（厘米）
＝160米；
宽为：
（厘米）
＝120米；
烧烤区域面积：
（平方米）
答：烧烤区域的面积是11520平方米。
【点睛】本题主要考查的是分数乘除法、比例尺的应用，解题的关键是熟练掌握比例尺的计算，进而得出答案。
3．（2022·广西南宁·小升初真题）南京市出租车的计价标准如下：3千米以内（含3千米）9元；超过3千米，超过部分按每千米2.4元（不足1千米的按1千米计算）收费。问小明从家出发，乘坐出租车到图书馆，需要付多少元车费？（比例尺为1∶250000）
【答案】49.8元
【分析】小明从家出发，乘坐出租车到图书馆的图上距离是（5＋3）厘米，根据图上距离÷比例尺＝实际距离，求出从小明家到图书馆的实际距离为20千米，超过3千米有（20－3）千米，用超过的距离乘超过部分的收费标准2.4元，即可求出超出部分收费的车费，再加上9元，即可求出需要付多少元车费。
【详解】（5＋3）÷
＝8×250000
＝2000000（厘米）
2000000厘米＝20千米
（20－3）×2.4＋9
＝17×2.4＋9
＝40.8＋9
＝49.8（元）
答：需要付49.8元车费。
【点睛】此题的解题关键是掌握图上距离和实际距离之间的换算以及分段收费的解决方法。
【预测命题方向6】正比例和反比例解决实际问题。
1．（2023·福建莆田·小升初真题）柠檬含有丰富的维生素、微量元素等，常喝柠檬水有好处。小明和小红都按相同的比例配制柠檬水，小明用10克柠檬加入300毫升的水配制，则小红用16克柠檬需要加多少毫升的水呢？（用比例知识解答）
【答案】480毫升
【分析】将小红需要加水的量设为未知数，再根据柠檬和水的比一定列出比例，再解比例即可。
【详解】解：设小红需加水x毫升。
10∶300＝16∶x
10x＝300×16
10x÷10＝300×16÷10
x＝480
答：需要加480毫升的水。
2．（2024·辽宁·小升初模拟）一位打字员打一本书稿，如果每天打18页，15天可以打完。若要10天打完，每天应打多少页？（用比例解答）
【答案】27页
【分析】根据题意知道，一本书的总页数一定，即总工作量一定，工作效率和工作时间成反比例，关系式是：原来每天打字字数×时间＝现在每天打字字数×时间，由此列式解答即可。
【详解】解：设每天打页。
270＝10x
10x÷10＝270÷10
答：每天打27页。
3．（2023·云南昭通·小升初真题）下表是小刚做“弹簧的伸长与它所受的拉力关系”的探究实验记录表。（弹性限度：拉力不超过30牛顿。）
（1）在弹性限度内，弹簧的伸长与它所受的拉力成正比例关系吗？你是依据什么作出判断的？
（2）小刚又做了一次实验来验证这一规律，结果弹簧伸长了6厘米，那么弹簧所受的拉力是多少牛顿？（用比例解决）
【答案】（1）成正比例关系；拉力与弹簧的伸长的比值不变
（2）15牛顿
【分析】（1）在弹性限度内，问弹簧的伸长与它所受的拉力是否成正比例关系，根据记录表，可以算出几组数中所受拉力与弹簧伸长的比值，看它们的比值是否相等，如果比值相等就成正比例关系，反之则不成正比例关系，据此解答。
（2）根据在弹性限度内，弹簧的伸长与它所受的拉力成正比例关系，结合实验记录表中数据，设弹簧伸长了6厘米，弹簧所受的拉力为未知数，列出比例式，然后解比例即可求解。
【详解】（1）据题意，分析数据：；；；……（弹性限度：拉力不超过30牛顿。）
由数据可知：拉力与弹簧的伸长的比值不变，所以，弹簧的伸长与它所受的拉力成正比例关系。
（2）解：设弹簧伸长了6厘米，弹簧所受的拉力为。
答：弹簧伸长了6厘米，弹簧所受的拉力为15牛顿。
【点睛】本题考查正比例问题，熟练掌握正比例的意义判断两个量是否成正比例关系和正确解比例是解题的关键。
【对应练习】
1．（2023·河南周口·小升初真题）一列由武汉开往上海的动车，出发，到达南京，武汉到南京的铁路大约长500千米，按照这样的速度，从武汉到上海大约需要多少小时？（列比例解答）

【答案】4小时
【分析】因为，所以路程和时间成正比例。设从武汉到上海大约需要x小时，可根据数量关系列出比例解答。
【详解】到共经过了2.5小时。
解：设从武汉到上海大约需要小时。

答：从武汉到上海大约需要4小时。
【点睛】用比例知识解决问题关键是找到不变的量，只要两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定，就可以用正比例知识解答；只要两种相关联的量中相对应的两个数的乘积一定，就可以用反比例知识解答。
2．（2023·四川凉山·小升初真题）一间房子要用方砖铺地，如果用面积是16平方分米的方砖铺要200块，如果改用边长是8分米的方砖来铺，需要多少块？（用比例解）
【答案】50块
【分析】根据题意可知，每块方砖的面积×块数＝地面的面积（一定），所以每块方砖的面积和块数成反比例，根据正方形的面积公式，设用边长是8分米的方砖铺地，需要x块，列方程为8×8×x＝16×200，然后解出方程即可。
【详解】解：设需要x块。
8×8×x＝16×200
64x＝3200
x＝3200÷64
x＝50
答：需要50块。
【点睛】本题主要考查了反比例的应用，明确相关的量是正比例还是反比例是解答本题的关键。
3．（2023·陕西延安·小升初真题）如表是某辆汽车所行路程及其对应耗油量的数值。
（1）表中的耗油量与所行路程成正比例吗？为什么？
（2）在图中描出每组所行路程和耗油量所对应的点，然后把这些点依次连起来。估计一下，汽车行驶80千米的耗油量是多少？
【答案】（1）成正比例；因为耗油量与所行路程的比值一定；（2）见详解；10升
【分析】（1）根据表格中的数据可知，耗油量与所行路程的比值一定，所以成正比例。
（2）根据表格中的数据依次描出各点，再连接即可；再根据耗油量÷行驶的路程＝每千米的耗油量，用每千米的耗油量×80千米即可求出80千米的耗油量。
【详解】（1）2÷16＝（升/千米）
4÷32＝（升/千米）
6÷48＝（升/千米）
8÷64＝（升/千米）
所以耗油量与所行路程成正比例，因为耗油量与所行路程的比值一定。
（2）如图：
80×＝10（升）
答：汽车行驶80千米的耗油量是10升。
【点睛】本题主要考查了正比例的应用，掌握正比例的意义，会判断两个量是否成正比例是解题关键。
【预测命题方向7】不变量问题。
（2022·河南周口·小升初真题）周口海洋馆的6大类表演节目精彩纷呈，吸引了许多观众。表演开始前，小明统计出海豚剧场与企鹅园的观众人数比为2∶3，后来有4名观众从海豚剧场去了企鹅园，此时海豚剧场与企鹅园的人数比变为1∶2，求两个场馆共有多少名观众？
【答案】60名
【分析】据题意,表演开始前，小明统计出海豚剧场与企鹅园的观众人数比为2∶3，此时海豚剧场观众人数是总人数的，企鹅园观众人数是总人数的，后来有4名观众从海豚剧场去了企鹅园即海豚剧场观众人数少了4人而企鹅园观众人数多了4人，设两个场馆共有名观众，则此时海豚剧场观众人数是（）,企鹅园观众人数是（），根据比例的基本性质和此时海豚剧场与企鹅园的人数比变为1∶2，列式解答即可。
【详解】解：设两个场馆共有名观众。
答：两个场馆共有60名观众。
【点睛】本题考查比例的实际应用，找出题目中人数变化和比的变化的关系是解题的关键。
【对应练习】
1．（2023·湖南邵阳·小升初真题）某校六年级一班原来女生的人数占全班人数的，后来又转来2名女生，这时女生人数与男生人数的比是2∶3，六年级一班现在有女生多少名？
【答案】20人
【分析】原来女生人数占总人数的，总人数分成8份，女生3分，男生8－3＝5份，则女生是男生的，转入2名女生，女生占男生人数的，则这2名女生占男生的－，用2÷（－），求出男生人数，进而求出女生人数。
【详解】根据分析可知：
2÷（－）
＝2÷（－）
＝2÷（－）
＝2÷
＝2×15
＝30（人）
30×＝20（人）
答：六年级一班现在有女生20人。
【点睛】本题考查的是分数乘除法的应用，明确这一过程中的不变量为男生人数，根据女生前后占男生人数分率的变化求出男生人数是完成本题的关键。
2．（2022·重庆潼南·小升初真题）跳绳是一项极佳的健体运动，能有效训练个人的反应能力和耐力。红旗小学原来有短绳和长绳共120根，其中短绳根数与长绳根数的比是3∶5，后来又买进一批短绳，这时短绳根数占总数的75%。红旗小学后来买进多少根短绳？
【答案】180根
【分析】根据题意，短绳和长绳共120根，短绳与长绳根数的比是3∶5，即一共是（3＋5）份；用短绳和长绳的总数除以总份数，求出一份数，再乘长绳的份数，即可求出长绳的根数；
从题中可知，短绳的数量在发生变化，但长绳的数量没有变化；已知后来又买进一批短绳，这时短绳根数占总数的75%，把后来跳绳的总数看作单位“1”，则长绳根数占后来总数的（1－75%），根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算，求出后来跳绳的总数；再用后来跳绳的总数减去原来跳绳的总数，即是后来买进短绳的数量。
【详解】一份数：
120÷（3＋5）
＝120÷8
＝15（根）
长绳有：15×5＝75（根）
后来跳绳的总数：
75÷（1－75%）
＝75÷0.25
＝300（根）
后来买进短绳：300－120＝180（根）
答：红旗小学后来买进180根短绳。
【点睛】本题考查比的应用以及百分数除法的实际应用，先把比看作份数，求出一份数，进而求出长绳的数量；明确长绳的数量不变，把后来跳绳的总数看作单位“1”，单位“1”未知，根据百分数除法的意义求出后来跳绳的总数是解题的关键。
3．（2022·江苏盐城·小升初真题）盒子里有一些黑棋子和白棋子，白棋子和黑棋子的比是2∶3，如果从盒子中取出6枚黑棋子，盒子里白棋子和黑棋子的比变成5∶6，盒子里原有多少枚黑棋子？
【答案】30枚
【分析】根据原来白棋子和黑棋子的比是2∶3，假设盒子里原来白棋子有2x枚，黑棋子有3x枚，取出6枚黑棋子后，白棋子数量不变，黑棋子变为（3x－6）枚，这时盒子里白棋子和黑棋子的比变成5∶6，据此可列出比例式，解比例即可求出盒子里原有多少枚黑棋子。
【详解】解：设盒子里原来白棋子有2x枚，黑棋子有3x枚，
2x∶（3x－6）＝5∶6
5×（3x－6）＝2x×6
15x－30＝12x
15x－12x＝30
3x＝30
x＝30÷3
x＝10
3×10＝30（枚）
答：盒子里原有30枚黑棋子。
【点睛】此题通过题目中的数量关系，巧设未知数，列出比例式，结合比的应用，解决问题。
【题型命题猜想07】分数和百分数综合—浓度、折扣、促销与利润问题。
【命题说明】
分数基本题型是小升初考试的基础考题之一，常在填空、选择中出现，它作为基础题型，也是解决复杂实际问题的基础，其中的百分率问题、百分数生活实际问题和浓度问题等都是在分数基本题型上进行解决的。
熟练掌握分数乘法和分数除法基本题型是解决相关实际问题的基础，学会分析数量关系，绘制线段图也是解决该问题的手段之一。
【预测命题方向1】分数与百分数基本题型。
（2023·河南洛阳·小升初真题）华为已经彻底解决了5G难题，国内芯片厂商华为已经突破了5G射频芯片技术的难题，根据6月6日网上消息显示，2023年华为的手机出货量为4000万台，原计划出货量是3700万台，原计划手机出货量比实际手机出货量少百分之几？
【答案】7.5%
【分析】根据求一个数比另一个数多（少）百分之几，用相差数除以另一个数再乘100%，则用（4000－3700）÷4000×100%即可求出原计划手机出货量比实际手机出货量少百分之几。
【详解】（4000－3700）÷4000×100%
＝300÷4000×100%
＝7.5%
答：原计划手机出货量比实际手机出货量少7.5%。
【点睛】本题主要考查了百分数的应用，明确求一个数比另一个数多（少）百分之几，用除法计算。
【对应练习】
1．（2022·甘肃陇南·小升初真题）某工厂四月份用水108吨，比三月份节约了20%，这个工厂三月份用水多少吨？
【答案】135吨
【分析】把三月份的用水量看作单位“1”，则四月份的用水量是三月份的（1－20%），然后根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算即可。
【详解】108÷（1－20%）
＝108÷80%
＝135（吨）
答：这个工厂三月份用水135吨。
【点睛】本题考查已知比一个数少百分之几的数是多少，求这个数，明确用除法是解题的关键。
2．（2023·河南洛阳·小升初真题）书香洛阳，全民阅读。军军在城市书房借了一本科普书，第一周读了84页，占全书总页数的，第二周读了全书的20%，第二周读了多少页？
【答案】42页
【分析】将全书页数看作单位“1”，第一周读的页数÷对应分率＝全书页数，全书页数×第二周读的对应百分率＝第二周读的页数，据此列式解答。
【详解】84÷×20%
＝84××0.2
＝210×0.2
＝42（页）
答：第二周读了42页。
【点睛】关键是确定单位“1”，部分数量÷对应分率＝整体数量，整体数量×部分对应百分率＝部分数量。
3．（2022·广东湛江·小升初真题）数学课上谢老师利用“智慧课堂”系统功能发布了一道练习题，在全班同学提交答案后，数据统计显示此题正确率为80%，谢老师表扬了做正确的36位同学。请求出错误的有多少位同学？
【答案】9位
【分析】正确率为80%，表示正确的人数占总人数的80%，据此用做正确的人数除以正确率即可得到总人数，再用总人数减去做正确的人数即可得到出错误的人数。
【详解】36÷80%＝45（人）
45－36＝9（人）
答：出错误的有9位同学。
【点睛】已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算，据此求出总人数是解题的关键。
【预测命题方向2】百分率问题。
（2022·四川绵阳·小升初真题）花生的出油率为48%，现有200千克花生可以榨出多少千克花生油？如果想要榨出115.2千克的花生油，需要花生多少千克？
【答案】96千克；240千克
【分析】出油率是指出油的重量占花生重量的百分比，是把花生的重量看成单位“1”，用花生的重量乘48%，可以求榨出油的重量；用榨出油的重量除以48%就是需要的花生重量。
【详解】200×48%＝96（千克）
115.2÷48%＝240（千克）
答：200千克花生可以榨出96千克花生油，如果想要榨出115.2千克的花生油需要花生240千克。
【点睛】解决本题关键是理解出油率，找出单位“1”，求单位“1”的百分之几用乘法求解；已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”用除法求解。
【对应练习】
1．（2023·河南新乡·小升初真题）在500克的水中加入50克的盐，求盐水的含盐率。
【答案】9.1%
【分析】盐水的含盐率＝盐的质量÷盐水质量×100%，运用百分数的运算可得出答案。
【详解】盐水的含盐率为：
答：盐水的含盐率为9.1%。
【点睛】本题主要考查的是百分率问题，解题的关键是注意盐水的质量等于盐加水的质量，进而得出答案。
2．（2023·辽宁大连·小升初真题）今年植树节，六年五班同学植树45棵，成活了40棵，又补种了5棵，全部成活，这次植树活动，树的成活率是多少？（列综合算式解答）
【答案】90%
【分析】已知成活率＝成活棵数÷总棵数×100%，用（40＋5）÷（45＋5）×100%即可求出这批树的成活率。据此解答。
【详解】（40＋5）÷（45＋5）×100%
＝45÷50×100%
＝90%
答：树的成活率是90%。
【点睛】此题属于百分率问题，都是用一部分数量（或全部数量）除以全部数量乘100%。
3．（2023·山东潍坊·小升初真题）用两种种子做实验，甲种子200粒，发芽188粒，乙种子有300粒，12粒没发芽，如果你是进货商，你会选哪种种子？请用你喜欢的方式说明理由。
【答案】乙种；理由是：乙种种子的发芽率比甲种种子的发芽率高。
【分析】根据“发芽率＝发芽的种子数÷总种子数×100%”，分别求出两种种子的发芽率，然后比较哪种种子的发芽率高就选哪种。
【详解】甲：188÷200×100%
＝0.94×100%
＝94%
乙：（300－12）÷300×100%
＝288÷300×100%
＝0.96×100%
＝96%
94%＜96%
答：选择乙种种子，理由是：乙种种子的发芽率比甲种种子的发芽率高。
【点睛】本题考查发芽率的计算，明确发芽率的计算方法是解题的关键。
【预测命题方向3】浓度问题。
（2023·河南洛阳·小升初真题）现有浓度为20%的糖水10千克，再加多少千克的水，可以得到浓度为10%的糖水。
【答案】10千克
【分析】根据题意，用10×20%，求出浓度为20%的糖水10千克中糖的质量，由于糖的质量不变，再用糖的质量÷10%，求出浓度为10%的糖水的质量，再减去原来糖水的质量，即可解答。
【详解】10×20%÷10%－10
＝2÷10%－10
＝20－10
＝10（千克）
答：再加10千克水，可以得到浓度为10%的糖水。
【点睛】熟练掌握求一个数的百分之几多少，已知一个数的百分之几是多少，求这个数的计算方法是解答本题的关键。
【对应练习】
1．（2023·四川成都·小升初真题）有浓度为45%的盐水若干，加入2升浓度为80%的盐水和1升清水后，盐水浓度为50%，如果要想得到60%的盐水，需要再加入浓度为80%的盐水多少升？
【答案】2.5升
【分析】盐水的浓度＝盐的质量÷盐水的质量×100%。设45%的盐水有x升，加入2升浓度为80%的盐水和1升清水后，这时盐水有（x＋2＋1）升，盐水浓度为50%，则这时盐水中的盐为[（x＋2＋1）×50%]升，列出数量关系式为：x升浓度45%盐水中的盐＋2升浓度为80%的盐＝这时盐水中的盐。得出45%浓度的盐水有2升，则50%浓度的盐水有5升。根据数量关系式：50%浓度的盐水中盐＋80%浓度的盐水中盐＝60%浓度的盐水中盐，列出方程。注意：60%浓度的盐水＝50%浓度的盐水＋80%浓度的盐水。
【详解】解：设45%浓度的盐水有x升。
45%x＋2×80%＝（x＋2＋1）×50%
0.45x＋1.6＝（x＋3）×0.5
0.45x＋1.6＝0.5x＋1.5
0.05x＝0.1
x＝0.1÷0.05
x＝2
50%浓度的盐水：2＋2＋1＝5
设需要再加入浓度为80%的盐水y升。
5×50%＋80%×y＝（5＋y）×60%
2.5＋0.8y＝5×0.6＋0.6y
2.5＋0.8y＝3＋0.6y
0.2y＝0.5
y＝0.5÷0.2
y＝2.5
答：需要再加入浓度为80%的盐水2.5升。
2．（2023·河南漯河·小升初真题）实验室里面有甲、乙两种不同的盐酸溶液：甲种溶液浓度为45%，有10千克；乙种溶液浓度为60%，有5千克，王老师把两种溶液混在一起，得到的盐酸溶液的浓度是多少？
【答案】50%
【分析】根据溶液的质量×溶液浓度＝盐酸的质量，代入数据分别求出甲乙两种溶液中含有盐酸的质量，把两种溶液中的盐酸质量加起来，再根据盐酸的质量÷溶液的质量×100%＝混合后的溶液浓度，代入数据即可得解。
【详解】
＝
＝
＝
＝50%
答：得到的盐酸溶液的浓度是50%。
【点睛】此题的解题关键是理解浓度的意义，掌握求一个数的百分之几是多少和求一个数占另一个数的百分之几的计算方法。
3．（2023·湖北省直辖县级单位·小升初真题）小明热爱科学，喜欢创新，立志为中国智造贡献自己的力量。现在，他已经拥有了两项自己的发明专利。有一天，他在阅读科学实验书籍时遇到了一个陌生的概念“饱和盐水”，查阅资料后，收集了以下几条信息。请你阅读并理解信息后，再解决问题。
资料一盐水浓度的计算方法是：盐水浓度
资料二饱和盐水是指在一定温度下盐水中所含盐量达到最大限度（不能再溶解），如：水温50℃时饱和盐水的浓度约为27%。
（1）把36克盐放入164克水中，充分搅拌，全部溶解。求：盐水的浓度是多少？
（2）如果把盐水加热到50摄氏度。还能再放入多少克盐。这杯盐水就会变成饱和盐水？（得数保留一位小数）
【答案】（1）18%
（2）24.7克
【分析】（1）用盐的质量加上水的质量，求出盐水的质量，再根据“盐水浓度的计算公式：盐水浓度”，代入数据计算求出盐水的浓度；
（2）已知水温50℃时饱和盐水的浓度约为27%，设还能再放入x克盐，结合盐水浓度的计算公式，列出方程，解答即可。
【详解】（1）×100%
＝×100%
＝0.18×100%
＝18%
答：盐水的浓度是18%。
（2）解：设还能再放入x克盐。
×100%＝27%
36＋x＝（200＋x）×27%
36＋x＝54＋0.27x
0.73x＝18
x＝18÷0.73
x≈24.7
答：如果把盐水加热到 50°C，还能再放入24.7克盐，这杯盐水就会变成饱和盐水。
【预测命题方向4】百分数四大生活实际问题。
1．（2023·四川·小升初真题）家炳原价八折买了一部iPhne，后来原价加价2成卖给了大雄，赚了3200元。问iPhne的原价是多少？
【答案】8000元
【分析】原价八折就是买价是原价的80%，买价＝原价×80%，后来原价加2成就是卖价比原价多20%，那么卖价是原价的（1＋20%）。数量关系式为：卖价－买价＝120%的原价－80%的原价＝3200。设原价为x元，列出方程求出方程的解。
【详解】解：设原价为x元。
（1＋20%）x－80%x＝3200
120%x－80%x＝3200
40%x＝3200
x＝3200÷40%
x＝3200÷0.4
x＝8000
答：iPhne的原价是8000元。
2．（2023·河北石家庄·小升初真题）张叔叔把5万元存入某银行，存期二年，年利率为2.4%，到期要缴纳15%的利息税。存款到期时张叔叔可得到的利息是多少元？
【答案】2040元
【分析】先根据“利息＝本金×利率×存期”，求出税前利息；因到期要缴纳15%的利息税，用税前利息乘15%，求出应缴纳的利息税额；再用税前利息减去应缴纳的利息税额，即是存款到期时张叔叔可得到的利息。
【详解】5万元＝50000元
50000×2.4%×2
＝50000×0.024×2
＝1200×2
＝2400（元）
2400－2400×15%
＝2400－2400×0.15
＝2400－360
＝2040（元）
答：存款到期时张叔叔可得到的利息是2040元。
【对应练习】
1．（2022·江苏泰州·小升初真题）王阿姨家准备买一台净水器，如果按原价的八折购买需要付1200元。经过协商最终按原价的七折成交，最终成交的价格比原价少多少元？
【答案】450元
【分析】把原价看作单位“1”，如果按原价的八折购买需要付1200元，那么原价就是1200除以，再用原价乘，求出成交的价格，用原价减去成交的价格即可解答。
【详解】1200÷×
＝1200××
＝1200×
＝1050（元）
1200÷－1050
＝1200×－1050
＝1500－1050
＝450（元）
答：最终成交的价格比原价少450元。
【点睛】本题考查的是百分数应用题，找准单位“1”是解答关键。
2．（2023·河北唐山·小升初真题）“杂交水稻之父”袁隆平指导研发的“超优千号”水稻，平均每公顷的产量大约是15吨，比普通水稻增产六成。普通水稻每公顷产量大约是多少吨？
【答案】9.375吨
【分析】把普通水稻的产量看作单位“1”，则“超优千号”水稻的产量是普通水稻的（1＋60%），再根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算即可。
【详解】15÷（1＋60%）
＝15÷1.6
＝9.375（吨）
答：普通水稻每公顷产量大约是9.375吨。
3．（2023·河北邯郸·小升初真题）李叔叔把20000元存入银行，定期三年，如果年利率是4.41%，到期时，他可得到本金和税后利息一共多少元？（利息税为5%）
【答案】22513.7元
【分析】先根据“利息＝本金×利率×存期”，求出到期时李叔叔可得到的利息；
已知利息税为5%，即到期时要缴纳利息的5%作为利息税，那么税后利息占利息的（1－5%），根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，求出税后利息；
最后用本金加上税后利息，即是到期时一共可以取出的钱数。
【详解】利息：
20000×4.41%×3
＝20000×0.0441×3
＝882×3
＝2646（元）
税后利息：
2646×（1－5%）
＝2646×0.95
＝2513.7（元）
一共：
20000＋2513.7＝22513.7（元）
答：到期时，他可得到本金和税后利息一共22513.7元。
【点睛】本题考查利率和税率问题，掌握利息以及利息税的计算方法是解题的关键。
【预测命题方向5】促销问题。
（2023·福建莆田·小升初真题）为了开展“小桔灯”阅读活动，学校图书馆需购买60套经典诵读书籍，每套单价都是25元。现有三家书店出售这套书，并推出不同的优惠办法：
到那家书店购买最省钱？说说你选择的理由。
【答案】到甲书店购买最省钱，因为1250＜1275＜1290
【分析】先计算出在三家书店买，分别要花多少钱，再找出最省钱的即可。
甲店：先买50套，此时送了（5×2）套，恰好是60套。根据“数量×单价＝总价”求出在甲店买，需要花多少钱；
乙店：数量×单价＝总价，由此先计算出买60套书的总价。八五折是85%，再将总价乘85%，求出现价；
丙店：先计算出60套书的总价。总价里有几个200元，就需要减去几个30元，由此求出现价。
【详解】甲店：50＋5×2
＝50＋10
＝60（套）
50×25＝1250（元）
乙店：60×25×85%＝1275（元）
丙店：60×25＝1500（元）
1500÷200＝7（个）……100（元）
1500－7×30
＝1500－210
＝1290（元）
1250＜1275＜1290
答：到甲书店购买最省钱，因为1250＜1275＜1290。
【对应练习】
1．（2023·江苏扬州·小升初真题）服装厂生产一种西装和领带，西装每套200元，领带每条40元。厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：A方案：买一套西装送一条领带。B方案：西装打八折，领带打九折。某公司老板要购买西装20套，领带35条。选择哪种方案更省钱？写出你的理由，并计算出他应付多少元？
【答案】B方案；4460元；理由见详解
【分析】分别计算出两种方案的实际钱数，比较即可。
A方案：购买西装20套，同时送20条领带，要买的领带数量－送的数量＝需要买的领带数量，根据单价×数量＝总价，西装单价×要购买的数量＋领带单价×实际购买的数量＝实际钱数；
B方案：根据单价×数量＝总价，西装单价×要购买的数量＝西装应付钱数，领带单价×要购买的数量＝领带应付钱数，分别将西装和领带应付钱数看作单位“1”，几折就是百分之几十，西装应付钱数×西装折扣＋领带应付钱数×领带折扣＝实际钱数。
【详解】A方案：200×20＋40×（35－20）
＝4000＋40×15
＝4000＋600
＝4600（元）
B方案：200×20×80%＋40×35×90%
＝4000×0.8＋1400×0.9
＝3200＋1260
＝4460（元）
4600＞4460
答：选择B方案更省钱，他应付4460元。
2．（2023·河南平顶山·小升初真题）华联超市举行店庆促销活动，推出下面三种结算方式。
李阿姨到超市购买了10千克大米，每千克8元。她结算时选用了微信支付的方式，结果随机减免了10.6元。在这次购物过程中，李阿姨选用的结算方式是最划算的吗？请计算说明理由。
【答案】不是最划算的；理由见详解
【分析】分别计算出三种结算方式的实际钱数，比较即可。
根据单价×数量＝原价，先求出应付钱数。
现金：如果应付钱数满50元不满100元，直接用应付钱数－10元＝实际钱数；如果应付钱数满100元，直接用应付钱数－20元＝实际钱数。
微信：应付钱数－减免钱数＝实际钱数。
支付宝：几折就是百分之几十，将应付钱数看作单位“1”，应付钱数×折扣＝实际钱数。
【详解】（元）
现金：（元）
微信：（元）
支付宝：（元）
答：用支付宝结算最划算，李阿姨选用的结算方式不是最划算的。
3．（2023·云南昆明·小升初真题）某品牌足球定价为每个120元。张老师上网查阅了四家店铺的促销情况（如下表）。如果要买5个，在哪家网店购买最省钱？至少需要多少钱？
【答案】A网店；420元
【分析】“每满100元减30元”也就是看120×5元里面满几个100就减几个30元，即可求出A网店的价钱；根据原价×折扣＝现价，即可求出B和C网店的价钱；买四赠一，那么付四盒的钱可以买到五盒，即可求出D网店的价钱，然后进行对比即可。
【详解】A网店：120×5＝600（元）
600÷100＝6（个）
600－6×30
＝600－180
＝420（元）
B网店：七五折就是75%
120×5×75%
＝600×75%
＝450（元）
C网店：八折就是80%
120×5×80%
＝600×80%
＝480（元）
480÷200＝2（个）……80（元）
480－2×20
＝480－40
＝440（元）
D网店：120×4＝480（元）
480＞450＞440＞420
答：在A网店购买最省钱，至少需要420元。
【预测命题方向6】利润问题。
（2023·甘肃兰州·小升初真题）某商场进了50件防晒衣，每件的进价为100元，售价为160元，在卖出60%后，由于天气转冷而滞销，店主将余下的打五折出售，并且全部售完。请问：该商店是亏了还是赚了？亏还是赚了多少钱？
【答案】赚了；赚了1400元
【分析】根据售价×数量＝总价，先用50乘160再乘60%，求出按售价160元卖的钱数；打五折，售价是（160×50%）元，还剩下（1―60%），然后用50乘（1―60%）再乘（160×50%），求出余下的部分共卖的钱数；将两部分钱数求和后再与总的进价50×100元比较大小，即可知道该商店是亏了还是赚了，最后求出亏或赚的钱数即可。
【详解】五折＝50%
50×160×60%＋50×（1－60%）×（160×50%）
＝8000×60%＋50×40%×80
＝4800＋1600
＝6400（元）
50×1000＝5000（元）
6400元＞5000元
6400－5000＝1400（元）
答：该商店是赚了，赚了1400元。
【点睛】本题考查了利用百分数乘法及比较数的大小解决盈亏问题，准确分析题目中的数量关系是关键。
【对应练习】
1．（2023·河北石家庄·小升初真题）商店卖一种书包，如果每个售价为150元，那么售价的60%是进价，售价的40%就是利润。现在要搞促销活动，为保证一个书包的利润不少于30元，折扣不能低于多少？
【答案】八折
【分析】已知每个书包售价为150元，售价的60%是进价，用150乘60%即可求出进价。一个书包的利润不少于30元，用进价加上30求出最低的售价。求折扣是多少，就是求最低售价是原价的百分之几，用最低售价除以150即可求出最低折扣。
【详解】150×60%＋30
＝90＋30
＝120（元）
120÷150＝0.8＝80%＝八折
答：折扣不能低于八折。
【点睛】求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，据此求出进价；求一个数是另一个数的百分之几，用除法计算，据此求出折扣。
2．（2023·四川成都·小升初真题）某商店面包的成本是定价的80%，可乐的定价是10元，成本是8元。现在商店把2个面包与1杯可乐配套出售，并且按它们的定价之和的90%出售。这样每套可获得利润3元。面包的成本是多少元？
【答案】8元
【分析】利润＝售价－成本。利润的3元＝2个面包和1杯可乐的售价－2个面包和1杯可乐的成本。以它们的定价之和的90%出售则售价＝（2×面包的定价＋1杯可乐的定价）×90%。则数量关系式：（2×面包的定价＋1杯可乐的定价）×90%－（2×面包的成本＋1杯可乐的成本）。
【详解】解：设面包的定价是x元，成本80%x元。
10×80%＝8（元）
答：面包的成本是8元。
3．（2022·湖南株洲·小升初真题）某收音机成本72元，原来按定价出售，每天可售100个，每件利润为成本的25%，后来按定价打九折出售，每天销售量提高到原来的2.5倍。照这样计算，每天的利润比原来增加多少元？
【答案】450元
【分析】根据题意，把某收音机的成本看作单位“1”，按定价出售每件利润为成本的25%，即每件的定价比成本高25%，则定价是成本的（1＋25%），单位“1”已知，用乘法计算求出原来每件的定价；
后来按定价打九折出售，即现在的售价是原来定价的90%，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算求出现在每件的售价；
后来每天销售量提高到原来的2.5倍，用原来每天的销售量乘2.5，即可求出现在每天的销售量；根据利润＝售价－成本，分别求出原来、现在每件的利润，再分别乘原来、现在每天的销售量，即是原来、现在每天的利润，再相减，即可求出每天利润比原来增加的钱数。
【详解】原定价：
72×（1＋25%）
＝72×1.25
＝90（元）
现在的售价：
90×9%
＝90×0.9
＝81（元）
现在每天的销售量：100×2.5＝250（个）
原来每天的利润：
（90－72）×100
＝18×100
＝1800（元）
现在每天的利润：
（90－81）×250
＝9×250
＝2250（元）
增加：2250－1800＝450（元）
答：每天的利润比原来增加450元。
【点睛】本题考查百分数的实际应用，找出单位“1”，单位“1”已知，根据百分数乘法的意义解答；明确打几折，就是现价是原价的百分之几十。
【题型命题猜想08】生活和实际综合—五种高频易错生活实际问题。
【命题说明】
小升初常考的五种高频易错生活实际问题，即分段计费问题、鸡兔同笼问题、抽屉问题（鸽巢问题）、行程问题与工程问题，这五种实际问题常常作为问题蓝本出现在考试中，本身难度不大，但由于学生对问题理解不深，辨析不明，经常容易出错，下面谈谈五种问题的基础解法：
一、分段计费问题。
分段计费问题根据问题考虑，一般会出现两种形式，一种是正向求总费用，一种是反求问题，两种问题有着不同的解题思路。
1.分段计费求总费用问题的解题思路：
①读题，整理题中的数学信息。
②解读收费标准。
③画出分段收费数轴。
2.分段计费问题中的反求问题：
①确定范围。
②做除法求解。
二、鸡兔同笼问题。
解决鸡兔同笼问题一般有以下几个主要方法：
1.列表猜测法：
先猜测鸡和兔各有几只，再验证脚的只数是否对应，经过不断猜测、验证，最终找到答案。
2.假设法：
先假设笼子里全是鸡，然后推算出兔的只数，假设的思想方法是指对题中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据假设前后数量出现的矛盾，从而找到正确答案的一种思想方法.
3.列方程解答。
三、抽屉问题（鸽巢问题）。
1.把多于n个物体任意分放进n个鸽巢中（n是非0自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了2个物体。
2.把多于kn个的物体任意分放进n个鸽巢中（k和n是非0自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了（k＋1）个物体。
3.抽屉原理的关键：平均分配，苹果数÷抽屉数，若有余数也要尽量平均分配。
四、行程问题。
行程问题是小学数学中非常常见的类型题，一般包含三个基本量：
1.路程：一共行了多长的路，一般用米或千米作单位；
2.速度：每小时（或每分钟）行的路程，速度的单位常常是路程单位与时间单位的结合，例如：千米/时、米/分、米/秒等等；
3.时间：行了几小时（分钟）。
4.行程问题的基本数量关系：
速度×时间=路程；路程÷速度=时间；路程÷时间=速度
五、工程问题。
1. 工程问题的意义：
工程问题指的与工程建造有关的数学问题，在小学数学中，常见的有修路、建筑、工作等，有时也包括行路、水管注水等。
工程问题的特征：
（1）工作总量：
工作总量指的是工作的多少，但在工程问题中，我们通常把工作总量看作单位“1”，因为在已知条件中，常常不会给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，所以，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。
（2）工作效率：
工作效率表示单位时间内工作量的多少，通俗来说就是工作的快慢，其中单位时间可以是天、也可以是时、分、秒等。
3. 工程问题的解法：
解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
4.工程问题基本数量关系：
①工作效率×工作时间=工作总量
②工作效率=工作总量÷工作时间
③工作时间=工作总量÷工作效率
【预测命题方向1】分段计费问题。
（2023·江西吉安·小升初真题）某市采用价格调控的手段来达到节约用水的目的，规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过20立方米时，水费按“基本价”收费；超过20立方米时，不超过的部分仍按“基本价”收费，超过部分按“调节价”收费。某户居民今年4、5月份的用水量和水费如下表所示：
（1）请你算一算该市水费的“基本价”。
（2）若该户居民8月份用水量为40立方米，请你算一算，8月份的水费是多少元？
【答案】（1）2.1元；（2）114元
【分析】（1）4月份用水15立方米，不超过20立方米，水费全部按“基本价”收费。将4月的水费总价31.5元除以用水量15立方米，求出“基本价”；
（2）5月份用水24立方米，超过了20立方米，水费应分段计算。先计算20×2.1，求出20立方米水的费用。将实际付费56.4元减去20立方米水的费用，求出24立方米超过20立方米的部分（即4立方米）的水费，从而利用除法求出“调节价”。40立方米超过20立方米的部分乘调节价，再加上按“基本价”收费的20立方米的水费，求出8月份的水费是多少元。
【详解】（1）31.5÷15＝2.1（元）
答：该市水费的“基本价”是每立方米2.1元。
（2）20×2.1＝42（元）
（56.4－42）÷（24－20）
＝14.4÷4
＝3.6（元）
（40－20）×3.6＋20×2.1
＝20×3.6＋42
＝72＋42
＝114（元）
答：该户8月份的水费是114元。
【点睛】本题考查了小数乘除法应用题中的梯度定价问题，解题关键是要有分段讨论的思想，先求出各价格段下的费用，再相加求出总费用。
【对应练习】
1．（2023·河南信阳·小升初真题）饮水思源知感恩，树高百丈叶归根。龙头打开水哗哗，转身莫忘关掉它。节约用水是一种美德，为了鼓励人们节约用水，某水利公司规定了以下水费收取方法：每月用水量不超过5立方米（含5立方米），按每立方米3.5元收费；如果每月用水量超过5立方米，超过部分按每立方米6元收费。小明家十月份共付水费53.5元，十月份小明家共用水多少立方米？
【答案】11立方米
【分析】先根据“总价＝单价×数量”求出用水量为5立方米时应付水费17.5元，小明家十月份共付水费53.5元，说明小明家十月份用水量超过5立方米，表示出超过部分付的水费，再根据“数量＝总价÷单价”表示出超过部分的用水量，最后加上5立方米，据此解答。
【详解】5×3.5＝17.5（元）
（53.5－17.5）÷6＋5
＝36÷6＋5
＝6＋5
＝11（立方米）
答：十月份小明家共用水11立方米。
【点睛】本题主要考查分段计费，明确不同用水量对应的收费标准是解答题目的关键。
2．（2022·江苏宿迁·小升初真题）我国是水资源比较贫乏的国家之一，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段来达到节约用水的目的，规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过20立方米时，水费按“基本价”收费；超过20立方米时，不超过的部分仍按“基本价”收费，超过部分按“调节价”收费。某户居民今年4、5月份的用水量和水费如表所示：
（1）请你算一算该市水费的“调节价”每立方米多少钱？
（2）若该户居民6月份用水量为30立方米，请你算一算，6月份的水费是多少元？
【答案】（1）3.6元
（2）78元
【分析】（1）根据题意，不超过20立方米时，水费按“基本价”收费，4月份用15立方米不超过20立方米，水费是31.50元，由此求出“基本价”，5月份超过20立方米，超出4立方米，由此可求出“调节价”；
（2）30立方米水分成两部分计算，20立方米按“基本价”，10立方米按“调节价”，然后加起来即可。
【详解】（1）“基本价”：
31.50÷15＝2.1（元）
“调节价”：
（56.40－2.1×20）÷（24－20）
＝（56.40－42）÷4
＝14.4÷4
＝3.6（元）
答：该市水费的“调节价”每立方米3.6元。
（2）2.1×20＋（30－20）×3.6
＝42＋10×3.6
＝42＋36
＝78（元）
答：6月份的水费是78元。
【点睛】解答此题关键是根据总价÷数量＝单价，求出“基本价”，再求出“调节价”。
3．（2022·广东佛山·小升初真题）如图，淘气家的花园里有一个圆形的喷水池，喷水池周长12.56米，有一条1m宽的小路围着喷水池（喷水池厚度不计）
（1）这条小路的面积是多少平方米？
（2）这条小路外围的长度比喷水池的周长多百分之几？
（3）淘气家共有六个人，所在地区实行阶梯式分段收费，收费标准如下：
淘气家这个月用水，请你计算淘气家这个月一共要交水费多少元？
【答案】（1）15.7平方米
（2）50%
（3）184.1元
【分析】（1）根据题意，小路是一个环形，已知内圆周长，先求小圆半径：r＝C÷π÷2，大圆半径：R＝r＋环宽，再根据公式：S环＝（R2－r2）×π，计算出小路的面积即可；
（2）由（1）中可知大圆半径，求出大圆的周长，根据：求A比B多百分之几，用（A－B）÷B；求这条小路外围的长度比喷水池的周长多百分之几，（小路外围周长－喷水池的周长）÷喷水池的周长，据此计算；
（3）根据表格，淘气家有6人，与标准相比超了2人，在每一级阶梯水量的上、下限基础上相应增加10立方米每个月，将50立方米分为：33立方米、13立方米和4立方米三段，分别对应三个等级的水费单价，根据：总价＝单价×数量，计算出每个等级的总价钱，然后相加即可求出50立方米的水费，最后还要加生活垃圾处理费：36乘0.5，和加收收取污水处理费：50乘1，据此解答。
【详解】（1）12.56÷3.14÷2
＝4÷2
＝2（米）
2＋1＝3（米）
（32－22）×3.14
＝5×3.14
＝15.7（平方米）
答：这条小路的面积是15.7平方米。
（2）3×2×3.14
＝6×3.14
＝18.84（米）
（18.84－12.56）÷12.56
＝6.28÷12.46
＝0.5
＝50%
答：这条小路外围的长度比喷水池的周长多50%。
（3）1.8×（23＋5×2）
＝1.8×（23＋10）
＝1.8×33
＝59.4（元）
2.7×（46－33）
＝2.7×13
＝2.7×13
＝35.1（元）
5.4×（50－46）
＝5.4×4
＝21.6（元）
59.4＋35.1＋21.6＋36×0.5＋50×1
＝94.5＋21.6＋18＋50
＝116.1＋18＋50
＝134.1＋50
＝184.1（元）
答：淘气家这个月一共要交水费184.1元。
【点睛】此题考查了环形面积计算、求一个数比另一个数多百分之几以及分段计费的运用，综合性比较高，关键熟记对应的内容。
【预测命题方向2】鸡兔同笼问题。
（2023·湖南常德·小升初真题）六（2）班的王老师和李老师带44名同学去野营，一共租了10顶帐篷，正好住满。已知每顶大帐篷可以住5人，每顶小帐篷可住3人。大帐篷租了多少顶？（用方程解答。）
【答案】8顶
【分析】假设大帐篷租了x顶，则小帐篷租了（10－x）顶，根据数量关系：大帐篷的顶数×5＋小帐篷的顶数×3＝老师和同学的总人数，据此列出方程，解方程即可求出大帐篷租了多少顶。
【详解】解：设大帐篷租了x顶，小帐篷（10－x）顶，
5x＋3×（10－x）＝44＋2
5x＋30－3x＝46
2x＋30＝46
2x＝46－30
2x＝16
2x÷2＝16÷2
x＝8
答：大帐篷租了8顶。
【点睛】此题考查鸡兔同笼，把大帐篷的顶数设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。
【对应练习】
1．（2023·安徽滁州·小升初真题）“六一”期间，某校六（1）班3位老师、9名家长志愿者带着42名同学到琅琊山开展活动。应同学们要求，所有人一起乘坐深秀湖的船游玩。后经协商，一共租赁了5只大船和6只小船，正好坐满。已知1只大船比1只小船多坐2人，1只大船坐了多少人？
【答案】6人
【分析】根据题意可知，5只大船坐的人数＋6只小船坐的人数＝（3＋9＋42）人，设一只小船坐x人，则一只大船坐（x＋2）人，据此列方程解答。
【详解】解：设一只小船坐x人，则一只大船坐（x＋2）人。
5（x＋2）＋6x＝3＋9＋42
5x＋10＋6x＝54
11x＋10－10＝54－10
11x＝44
x＝4
4＋2＝6（人）
答：1只大船坐了6人。
【点睛】此题属于含有两个未知数的应用题，这类题用方程解答比较容易，关键是找准数量间的相等关系，设一个未知数为x，另一个未知数用含x的式子来表示，进而列并解方程即可。
2．（2023·辽宁大连·小升初真题）鸡兔同笼，有20个头，54条腿，鸡兔各有多少只？（列表解决）
【答案】鸡有13只；兔有7只
【分析】根据鸡有2条腿，兔子有4条腿，分别先假设从兔有10只，鸡有（20－10）只开始列表计算即可。
【详解】
答：鸡有13只，兔有7只。
【点睛】解决鸡兔同笼问题往往用假设法解答，有些应用题中有两个或两个以上的未知量，思考问题时，可以假设要求的两个或两个以上的未知量相等，或假设它们为同一种量，然后按照题中的已知条件进行推算，如果数量上出现矛盾，可适当调整，以求出正确的结果。
3．（2023·北京海淀·小升初真题）中心公园挂有甲、乙两款灯笼串，每款灯笼串都是由大灯笼和小灯笼组合而成的（如图），大灯笼共有16个，小灯笼共有46个。甲、乙灯笼串各有多少串？


【答案】甲灯笼有7串，乙灯笼有9串
【分析】根据题意可知，一串甲灯笼由1个大灯笼和4个小灯笼组成，一串乙灯笼由1个大灯笼和2个小灯笼组成，已知大灯笼共有16个，也就是甲和乙一共有16串，甲灯笼的串数×每串甲灯笼里包含小灯笼的个数＋乙灯笼的串数×每串乙灯笼里包含小灯笼的个数＝小灯笼总共有46个，设甲灯笼有x串，乙灯笼有（16－x）串，列方程为4x＋2×（16－x）＝46，然后解出方程即可。
【详解】
解：设甲灯笼有x串，乙灯笼有（16－x）串。
4x＋2×（16－x）＝46
4x＋32－2x＝46
2x＋32＝46
2x＋32－32＝46－32
2x＝14
2x÷2＝14÷2
x＝7
16－7＝9（串）
答：甲灯笼有7串，乙灯笼有9串。
【点睛】本题主要考查了鸡兔同笼问题，可用列方程解决问题。
【预测命题方向3】鸽巢问题（抽屉问题）。
（2023·福建福州·小升初真题）一副扑克牌包括大、小王共有54张，为了保证抽出的牌有两张同花色，至少要抽取( )张牌。
【答案】7
【分析】
一副扑克牌包括大、小王共有54张，有四种花色，每种花色有13张，运气最差的情况为前4次抽取的是四种不同花色的牌各一张，再抽2张大、小王，这时再从剩下的牌中任意抽取一张，一定有2张花色相同的牌，据此解答。
【详解】4＋2＋1＝7（张）
至少要抽取7张牌。
【对应练习】
1．（2022·新疆乌鲁木齐·小升初真题）黑色袋子有黑、白、黄三种颜色的袜子各5只，不用眼睛看，任意取出袜子来，使得至少有2双袜子不同色，那么至少取出( )只袜子。
【答案】8
【分析】因为颜色有3种，最坏的取法是先取出的5只袜子都是同一种颜色，再取出2只袜子是不同的颜色，最后再取1只，无论是什么颜色，都可以得到2双不同颜色的袜子，所以至少要取5＋2＋1＝8（只）袜子。
【详解】5＋2＋1
＝7＋1
＝8（只）
则至少取出8只袜子。
2．（2023·浙江金华·小升初真题）一幅扑克牌有4种花色，每种花色都有13张，如果要保证从中抽出两种花色，至少要抽( )张。
【答案】5
【分析】要保证从中抽出两种花色，可以把每个花色摸一张，这个时候已经摸了4张，当第五次摸的时候，无论摸什么花色，都会保证抽出的花色有两个一样的。
【详解】4×1＋1
＝4＋1
＝5（张）
所以要保证从中抽出两种花色，至少要抽出5张。
【点睛】考查鸽巢问题的相关知识，这个题目中要想保证有两个花色一样的扑克牌，就需要先摸出一轮不同的花色，然后加1就可以。
3．（2023·云南大理·小升初真题）一个口袋里有同样大小的5个黑球、6个白球和7个红球，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出( )个球；至少摸出( )个球才能保证一定有一个红球。
【答案】 4 12
【分析】用球的颜色的种类加上1，即可求出要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出几个球，用黑球的个数加上白球的个数，再加上1个，即可求出至少摸出几个球才能保证一定有一个红球。
【详解】3＋1＝4（个）
5＋6＋1＝12（个）
一个口袋里有同样大小的5个黑球、6个白球和7个红球，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出（4）个球；至少摸出（12）个球才能保证一定有一个红球。
【点睛】本题考查抽屉原理的计算及应用。理解题意，考虑最差的状况，找出数量关系，列式计算即可。
【预测命题方向4】行程问题。
（2023·河南信阳·小升初真题）聪聪从某地图导航查知，郑州市中原福塔到西安市博物院全程约494km，在端午假期自驾从中原福塔出发到西安博物院，爸爸开车前3小时平均每小时行驶90km，后2小时平均每小时行驶112km，爸爸驾车全程的平均速度是多少？
【答案】98.8千米/时
【分析】全程的总长度已知，爸爸驾车全程所需的时间已知，根据“平均速度＝总路程÷总时间”，代入数值即可计算出爸爸驾车全程的平均速度。
【详解】494÷（3＋2）
＝494÷5
＝98.8（千米/时）
答：爸爸驾车全程的平均速度是98.8千米/时。
【点睛】本题重点是理解平均速度，平均速度的关键是速度，掌握平均速度的计算公式是解答本题的关键。
【对应练习】
1．（2023·湖南湘西·小升初真题）游玩清明上河园。
清明上河园坐落在八朝古都开封，是以北宋著名画家张择端的传世之作《清明上河图》为蓝本建造的大型宋代历史文化主题公园，徜徉其中，常令人有“一朝步入画卷，一日梦回千年”的时光倒流之感。
小悦一家早上7：00出发，开车前往清明上河园游玩，计划每小时行驶60千米，5小时到达。实际前1.5小时他们行驶了112.5千米，照这样计算，他们什么时候到达清明上河园？
【答案】上午11：00
【分析】根据速度×时间＝路程，据此求出到清明上河园的总路程，再根据路程÷时间＝速度，据此求出实际的速度，最后根据路程÷速度＝时间，据此求出到清明上河园共需要的时间，最后用7：00加上共需要的时间即可求解。
【详解】60×5＝300（千米）
（300－112.5）÷（112.5÷1.5）
＝187.5÷75
＝2.5（小时）
1.5＋2.5＝4（小时）
7：00＋4＝11：00
答：小悦一家早上7：00出发，上午11：00时候可以到达清明上河园。
【点睛】本题考查小数除法，明确速度、时间和路程之间的关系是解题的关键。
2．（2023·江苏淮安·小升初真题）淮安国际马拉松于今年4月9日上午开赛，来自国内外上万名参赛选手用脚步谱写了“运河三千里，醉美是淮安”的春日赞歌。
（1）黄阿姨参加健康跑（全程7.5千米）项目比赛，跑完全程用时30分钟，黄阿姨平均每分钟跑多少米？
（2）李宏与张明都是全程马拉松的参赛选手。比赛开始后，李宏一直以180米/分的速度匀速前进，张明开始以220米/分的速度跑了1小时，然后减速以160米/分的速度前进。两人在距离起点多少千米处相遇？
【答案】（1）250米；（2）32.4千米
【分析】（1）7.5千米＝7500米，根据平均速度＝总路程÷总时间，用7500÷30即可求出黄阿姨平均每分钟跑多少米；
（2）1小时＝60分钟，先根据速度×时间＝路程，分别求出李宏和张明跑步的路程，再求出他们的路程差，再根据路程差÷速度差＝追及时间，用此时的路程差÷（180－160）即可求出追及时间，再根据速度×路程＝时间，求出李宏从一开始到相遇时的路程，再换算成单位千米即可。
【详解】（1）7.5千米＝7500米
7500÷30＝250（米/分钟）
答：黄阿姨平均每分钟跑250米。
（2）1小时＝60分钟
220×60－180×60
＝13200－10800
＝2400（米）
2400÷（180－160）
＝2400÷20
＝120（分钟）
180×（60＋120）
＝180×180
＝32400（米）
32400米＝32.4千米
答：两人在距离起点32.4千米处相遇。
【点睛】本题主要考查了行程问题的计算和应用，明确路程、速度、时间之间的关系是解决本题的关键。
3．（2023·安徽蚌埠·小升初真题）甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，6小时后相遇，相遇后继续前行，甲又行了5小时到达B地，这时乙车离A地还有150千米。A、B两地相距多少千米？
【答案】900千米
【分析】速度×时间＝路程，设A、B两地相距x千米，总路程÷相遇时间＝两车速度和，甲行完全程用了（6＋5）小时，也是乙车用的时间，总路程÷甲车用的时间＝甲车速度，乙车行了（x－150）千米，乙车路程÷乙车用的时间＝乙车速度。根据甲车速度＋乙车速度＝两车速度和，列出方程解答即可。
【详解】解：设A、B两地相距x千米。
x÷（6＋5）＋（x－150）÷（6＋5）＝ x÷6
x÷11＋（x－150）÷11＝ x÷6
[x÷11＋（x－150）÷11]×11＝ x÷6×11
x＋x－150＝x
2x－150＝x
2x－150－x＋150＝x－x＋150
x＝150
x÷＝150÷
x＝150×6
x＝900
答：A、B两地相距900千米。
【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，用方程解决问题的关键是找到等量关系。
【预测命题方向5】工程问题。
（2023·福建莆田·小升初真题）一项工程甲单独做15天完成，乙单独做12天完成，现他们合做若干天后，剩下的由乙单独做3天才能完成，甲、乙合做了多少天？
【答案】5天
【分析】将这项工程的工作量当作单位“1”，则甲、乙的工作效率分别、，则乙单独做3天能完成总工作量×3＝，其余的1－由他们合做完成，则根据工作量÷工作效率＝工作时间可知，甲、乙合做的天数为（1－）÷（）。
【详解】（1－×3）÷（）
＝（1－×3）÷（）
＝（1－×3）÷
＝（1－）÷
＝÷
＝×
＝
＝5（天）
答：甲、乙合做了5天。
【对应练习】
1．（2023·四川·小升初真题）加工一批零件，甲、乙两人合作需要8天完成，如果由乙独做需12天完成。两人开始合作一段时间后，乙离开另有任务，余下的工作由甲来完成，又用了3天，两人合作几天？
【答案】7天
【分析】把零件总量看作单位“1”，根据工作效率和＝工作总量÷工作时间，用1÷8即可求出甲乙两人的工作效率和，用1÷12即可求出乙的工作效率，再用甲乙两人的工作效率和减去乙的工作效率，即可求出甲的工作效率，根据工作效率×工作时间＝工作总量，用甲的工作效率乘3天，即可求出甲3天的工作量，然后用1减去甲3天的工作量，即可求出两人合作的工作量，再用两人合作的工作量÷两人的工作效率和，即可求出两人合作的时间。
【详解】1÷8＝
1÷12＝
－＝
×3＝
1－＝
÷
＝×8
＝7（天）
答：两人合作7天。
2．（2023·湖北十堰·小升初真题）一批零件，甲单独加工需要15天完成，乙单独加工每天能加工30个零件。现在由甲、乙两人共同加工5天后，完成了这批零件的75%。这批零件有多少个？
【答案】360个
【分析】把这批零件的总个数看作单位“1”，甲每天加工这批零件的，5天加工这批零件的×5，由甲、乙两人共同加工5天后，完成了这批零件的75%，则乙5天加工这批零件的（75%－×5），根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”求出乙每天加工零件的个数占这批零件总个数的分率，乙每天加工30个零件，最后根据量÷对应的分率＝单位“1”求出这批零件的总个数，据此解答。
【详解】（75%－×5）÷5
＝（－）÷5
＝÷5
＝×
＝
30÷
＝30×12
＝360（个）
答：这批零件有360个。
【点睛】本题主要考查分数除法的应用，掌握工作总量、工作时间、工作效率之间的关系是解答题目的关键。
3．（2023安徽芜湖·小升初真题）—条公路，甲队单独修要10天，乙队单独修要12天，丙队单独修要15天。现在甲队先修两天后，剩下的由乙、丙两队合作完成，还需要几天修完这条公路？
【答案】天
【分析】把修这条公路的工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲、乙、丙各自的工作效率；
已知甲队先修两天，根据“工作量＝工作效率×工作时间”，求出甲队修2天完成的工作量；
用工作总量“1”减去甲队修2天完成的工作量，求出剩下的工作量；根据“工作时间＝工作量÷工作效率”，用剩下的工作量除以乙、丙两队的工作效率之和，即是还需要修的天数。
【详解】1÷10＝
1÷12＝
1÷15＝
（1－×2）÷（＋）
＝（1－）÷（＋）
＝÷
＝×
＝（天）
答：还需要天修完这条公路。
【点睛】本题考查工程问题，掌握工作效率、工作时间、工作总量之间的关系是解题的关键。
【学科核心素养01】数感表达与定量分析能力
1．（2023·山西晋中·小升初真题）山西总面积15.67万平方千米。截至2022年11月1日零时，山西常住人口为34915616人，横线上的数读作( )，省略“万”位后面的尾数约是( )万；山西四季分明，冬季白天平均气温11摄氏度，夜间平均气温﹣2摄氏度，横线上的数读作( )，表示( )摄氏度。
【答案】 三千四百九十一万五千六百一十六 3492 负二 零下二
【分析】根据整数的读法，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位一个0或连续几个0都只读一个零，即可读出此数；省略“万”位后面的尾数就是四舍五入到万位，就是把万位后的千位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“万”字。
比0℃低的温度叫零下温度，通常在数字前面加“﹣”（负号）。负数的读法：先读“负”，数字部分按数的读法去读。
【详解】34915616读作三千四百九十一万五千六百一十六，省略“万”位后面的尾数约是3492万；山西四季分明，冬季白天平均气温11摄氏度，夜间平均气温﹣2摄氏度读作负二，表示零下二摄氏度。
2．（2023·四川绵阳·小升初真题）世界上最大的海洋是太平洋，面积是17996800平方千米，改写成以“万”为单位的数为( )平方千米，四舍五入到“万”位是( )平方千米。
【答案】 1799.68万 1800万
【分析】改写成用“万”单位的数，把万位后面点上小数点，然后加上单位“万“字；用四舍五入法省略“万”后面的尾数，需要看千位上的数字，后面的数都省略去，然后加上单位“万”。
【详解】17996800＝1799.68万
17996800≈1800万
【点睛】此题主要考查把一个数改写成用“万”作单位的数的方法，和省略亿万位后面的尾数求近似数的方法，明确：改写数的大小不变，所以用“＝”表示，求近似数用“≈”表示。
3．（2023·福建莆田·小升初真题）六年（2）班有53名学生，参加下午课后延时服务的同学有A名。如果A是奇数，那么没有参加下午课后延时服务的同学人数是( )。（填“奇数”或“偶数”）
【答案】偶数
【分析】奇数＋偶数＝奇数，因为53是奇数、A是奇数，那么没有参加下午课后延时服务的同学人数是偶数。
【详解】六年（2）班有53名学生，参加下午课后延时服务的同学有A名。如果A是奇数，那么没有参加下午课后延时服务的同学人数是偶数。
4．（2023·安徽合肥·小升初真题）一节课的时间是40分钟，合( )小时；小明买了3瓶330毫升的矿泉水，合( )升；如果每瓶矿泉水售价1元5角，3瓶共( )元。
【答案】 0.99 4.5
【分析】1小时＝60分钟，将40分钟除以60，求出第一空；
将3瓶乘330毫升，再将积根据“1升＝1000毫升”进行单位换算；
将数量3瓶乘单价1.5元，求出一共多少元。
【详解】40÷60＝（小时）
3×300÷1000＝0.99（升）
1元5角＝1.5元
3×1.5＝4.5（元）
所以，一节课的时间是40分钟，合小时；小明买了3瓶330毫升的矿泉水，合0.99升；如果每瓶矿泉水售价1元5角，3瓶共4.5元。
5．（2023·河南郑州·小升初真题）在括号里填上适当的数。
45角＝( )元 3000毫米＝( )厘米 2035千克＝( )吨
升＝( )毫升 2.08公顷＝( )平方米
立方分米＝( )立方米 ( )
平方米＝( )平方分米
【答案】4.5；300；2.035
250；20800；5
5；960；36
【分析】根据1元＝10角，1厘米＝10毫米，1吨＝1000千克，1升＝1000毫升，1公顷＝10000平方米，1立方米＝1000立方分米，1平方米＝100平方分米，进行换算即可。
根据比值×后项＝前项，求出比的前项；分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，据此填上最后一空。
【详解】45÷10＝4.5（元）；3000÷10＝300（厘米）；2035÷1000＝2.035（吨）
×1000＝250（毫升）；2.08×10000＝20800（平方米）；5000÷1000＝5（立方米）
1.25×4＝5；9.6×100＝960（平方分米）；42÷7×6＝36
45角＝4.5元 3000毫米＝300厘米 2035千克＝2.035吨
升＝250毫升 2.08公顷＝20800平方米 立方分米＝5立方米
5 平方米＝960平方分米
【点睛】关键是熟悉比各部分之间的关系，掌握并灵活运用分数的基本性质，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率。
6．（2023·四川成都·小升初真题）最小的合数与最小的质数的积的等于( )。
【答案】4
【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。（讨论因数、倍数、质数、合数时一般不包括0）据此可知最小的合数是4，最小的质数是2，用4×2最小的合数与最小的质数的积，把这个积看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用（4×2）×即可求出最小的合数与最小的质数的积的等于多少。
【详解】（4×2）×
＝8×
＝4
最小的合数与最小的质数的积的等于4。
7．（2023·湖北省直辖县级单位·小升初真题）看图填空。
(1)如果点C表示的数是，那么点D表示的数是( )。
(2)如果点B和点D的距离是2.8，那么点A表示的数是( )。
【答案】(1)1
(2)﹣0.56
【分析】（1）观察图形可知， 0到点C表示的数是，0到点C点是2份，0到点D点平均分成6份；则点D表示的数是1；
（2）点B到点D的距离是2.8，平均分成5份，用2.8÷5，求出1份是多少，即求出0到点B是多少，0到点A的距离＝0到点B的距离，0的左边表示负，右边表示正，据此求出点A表示的数。
【详解】（1）如果点C表示的数是，那么点D表示的数是1。
（2）2.8÷5＝0.56
点A表示﹣0.56。
如果点B和点D的距离是2.8，那么点A表示的数是﹣0.56。
8．（223·黑龙江牡丹江·小升初真题）在2012年、2013年、2014年和2015年这四个年份中，( )年有366天。
【答案】2012
【分析】平年一年有365天、闰年有366天；
平年和闰年的判断方法：每四年中就有一个闰年，其余三个年份是平年。公历年份是4的倍数的一般都是闰年，但公历年份是100的倍数时，必须是400的倍数才是闰年。例如：1900年不是闰年，因为1900是100的倍数但不是400的倍数；2000年是闰年，因为2000是400的倍数。可以用这些年份分别除以4，看结果是否有余数，没有余数的年份就是闰年，否则是平年。
【详解】2012÷4＝503
2013÷4＝503……1
2014÷4＝503……2
2015÷4＝503……3
因此，在2012年、2013年、2014年和2015年这四个年份中，（2012）年有366天。
【点睛】考查了平年、闰年的判断方法，需要会计算一位数除多位数，同时对于平年、闰年有所了解。
9．（2023·四川成都·小升初真题）“张欢的身高的和肖恩一样高”其中单位“1”的量是( )；他们之间的等量关系式为：张欢的身高×( )＝肖恩的身高。
【答案】 张欢的身高
【分析】根据判断单位“1”的方法：一般是把“比、占、是、相当于”后面的量看作单位“1”，即分数“的”字前面的量看作单位“1”，所以题目中把张欢的身高看作单位“1”，根据分数乘法的意义，可知张欢的身高×＝肖恩的身高。
【详解】“张欢的身高的和肖恩一样高”其中单位“1”的量是张欢的身高；他们之间的等量关系式为：张欢的身高×＝肖恩的身高。
10．（2023·江苏无锡·小升初真题）中国和英国的时差为8小时，当北京时间18：00时，英国才只有上午10：00。一架飞机11月24日17时从伦敦希斯罗机场起飞，经过12小时飞行抵达北京首都国际机场，这时北京是11月( )日( )时。
【答案】 25 13
【分析】根据时间和日期的推算方法，先计算飞机抵达北京首都国际机场时的伦敦时间，再加上8小时即可。
【详解】17：00＋12：00＝5：00（第二天）
5：00＋8：00＝13：00（第二天）
这时北京是11月25日13时。
【点睛】本题主要考查时间和日期的推算，关键培养学生的逻辑推理能力。
【学科核心素养02】符号意识与抽象思维能力
1．（2023·北京东城·小升初真题）甲书架上有a本书，乙书架的书比甲书架的多10本。乙书架上有( )本书。当，乙书架上有( )本书。
【答案】 a＋10 55
【分析】把甲书架上有的书的本数看作单位“1”，乙书架的书比甲书架的多10本，即甲书架上的书的本数×＋10＝乙书架上的书的本数，据此列出式子，当a＝60时，代入数据，求出乙书架上的书的本数。
【详解】a×＋10＝（a＋10）本
当a＝60时：
×60＋10
＝45＋10
＝55（本）
甲书架上有a本书，乙书架的书比甲书架的多10本。乙书架上有（a＋10）本书。当a＝60时，乙书架上有55本书。
2．（2023·黑龙江哈尔滨·小升初真题）在某地，人们发现在一定温度范围内，某种蟋蟀每分钟叫的次数与温度（℃）之间有如下近似关系：蟋蟀每分钟叫的次数除以7加上3，就是当时的近似温度。如果蟋蟀每分钟叫x次，那么当时的温度用算式表示是( )℃。
【答案】x÷7＋3
【分析】由蟋蟀每分钟叫的次数与温度（℃）之间的关系可知，当时的温度＝蟋蟀每分钟叫的次数÷7＋3，把蟋蟀每分钟叫的次数代入等量关系，据此解答。
【详解】分析可知，如果蟋蟀每分钟叫x次，那么当时的温度用算式表示是（x÷7＋3）℃。
【点睛】本题主要考查用字母表示数，根据题意找出等量关系是解答题目的关键。
3．三个连续自然数，中间的一个是n，那么三个自然数的和是( )。
【答案】3n
【分析】相邻的两个自然数相差1，中间的一个是n，由此表示出三个连续自然数为：n－1，n，n＋1．然后求和即可。
【详解】（n－1）＋n＋（n＋1）
＝n－1＋n＋n＋1
＝3n
三个连续自然数，中间的一个是n，那么三个自然数的和是3n。
【点睛】解答本题的关键是知道相邻的两个自然数相差1，由此即可得出答案。
4．（2023·湖北省直辖县级单位·小升初真题）如果。且a、b两数互为倒数，则( )。
【答案】
【分析】根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数；a、b两数互为倒数，ab＝1；再根据比例的基本性质：比例的两个外项之积等于两个内项之积；把x∶a＝b∶0.65，化为0.65x＝ab；再根据等式的性质2，方程两边同时除以0.65，即可解答。
【详解】ab＝1
x∶a＝b∶0.65
0.65x＝ab
0.65x＝1
x＝1÷0.65
x＝
如果x∶a＝b∶0.65。且a、b两数互为倒数，则x＝。
5．（2023·四川成都·小升初真题）如果，，那么( )。
【答案】34
【分析】观察等式得：x比y大12，y比z大5，那么x比z大17。再将式子用乘法的分配律化简。
【详解】
6．（2023·山东德州·小升初真题）规定运算a△b的结果按照下述方式产生：在a的倍数中找出大于b且最小的一个，计算这个倍数与b的差，如，。那么25△2023＝( )。
【答案】2
【分析】定义新运算的一般解题步骤：
（1）关键问题：审题。正确理解定义的运算符号的意义。
（2）严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，准确找出要计算的习题中数据与定义中字母的对应关系，把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。
（3）求解。
【详解】25△2023
＝25×81－2023
＝2025－2023
＝2
【点睛】定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。
7．（2023·四川成都·小升初真题）数轴上10个点所表示的数分别为。，，…，，当i为奇数时，，当i为偶数时，，那么( )。
【答案】6
【分析】能被2整除的自然数是偶数，不能被2整除的自然数是奇数。当时，是奇数，则，当，是偶数，则，…将几个式子加起来观察。
【详解】时，
时，
时，
时，
则
8．（2023·广东河源·期中）刘刚在人工智能课上编制了一个计算小程序，输入一个数后，小程序通过计算会输出另一个数（如图）。根据这个计算程序：
(1)输入数6会输出数( )；
(2)输入数( )会输出数25；
(3)小程序的运算规律是什么？用你喜欢的方式写出来：
( )。
【答案】(1)13
(2)12
(3)见详解
【分析】观察发现：
输入5，输出11；11＝2×5＋1；
输入8，输出17；17＝2×8＋1；
输入10，输出21；21＝2×10＋1；
……
发现规律：输入数为n，则输出数为（2n＋1）。
按此规律解答。
【详解】（1）2×6＋1
＝12＋1
＝13
输入数6会输出数13。
（2）（25－1）÷2
＝24÷2
＝12
输入数12会输出数25。
（3）小程序的运算规律：输出的数＝输入数×2＋1；如果输入数为n，则输出数为（2n＋1）。
（答案不唯一）
【点睛】本题考查找规律，根据给出的已知数据找出规律，按规律解决问题。
9．（2023·浙江绍兴·小升初真题）如下图：从图( )可知成立（填序号）。在图③中，是15cm，是10cm，图③阴影部分的周长是( )cm。

【答案】 ② 60
【分析】（1）图①是由4个长是a、宽是b的长方形和一个边长为（a－b）的小正方形组成的边长为（a＋b）大正方形，即大正方形的面积＝长方形的面积×4＋小正方形的面积；
图②是由2个长是a、宽是b的长方形、一个边长为a的小正方形和一个边长为b的小正方形组成的边长是（a＋b）大正方形，即大正方形的面积＝长方形的面积×2＋边长为a的小正方形的面积＋边长为b的小正方形的面积；
图③是由边长为b的小正方形和2个上底是b，下底是a，高是（a－b）的梯形组成的边长为a的大正方形。
（2）通过观察发现：图③阴影部分周长＝（梯形的上底＋下底＋高）×2。
【详解】由图①可知：成立。
由图②可知：成立。
由图③可知：，即成立。
图③阴影部分周长：
＝
＝
＝60（cm）
从图②可知成立。图③阴影部分的周长是60cm。
【点睛】数形结合是学习数学的一种重要的思想方法。运用数形结合的方法，可以帮助理解计算方法，进行计算。
10．（2023·福建漳州·小升初真题）某餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式。
【答案】18；4n＋2；
12；2n＋4；
2n－2
【分析】观察第一种摆法可知：
一张桌子能坐6人，6＝4×1＋2；
二张桌子能坐10人，10＝4×2＋2；
三张桌子能坐14人，14＝4×3＋2；
……
按此规律摆放，摆n张桌子能坐（4n＋2）人。
观察第二种摆法可知：
一张桌子能坐6人，6＝2×1＋4；
二张桌子能坐8人，8＝2×2＋4；
三张桌子能坐10人，10＝2×3＋4；
……
按此规律摆放，摆n张桌子能坐（2n＋4）人。
【详解】第一种摆法的规律：摆n张桌子能坐（4n＋2）人。
当n＝4时
4n＋2
＝4×4＋2
＝16＋2
＝18（人）
第二种摆法的规律：摆n张桌子能坐（2n＋4）人。
当n＝4时
2n＋4
＝2×4＋4
＝8＋4
＝12（人）
两种摆法相差：
（4n＋2）－（2n＋4）
＝4n＋2－2n－4
＝2n－2（人）
如下表：
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
【学科核心素养03】算法算理与规范运算能力
一、基础计算板块。
1．（2023·甘肃庆阳·小升初真题）直接写出得数。


【答案】27；0.35；100；；4
5；；0.5；；5
【详解】略
2．（2023·贵州铜仁·小升初真题）直接写出得数。
5000÷100＝ 0.8×12＝ 5.22＋5.42＝ 0.56÷700＝ ×8＝
0÷＝ 125×8＝ ×＝ 0.23＋177%＝ 1÷（40×）＝
【答案】50；9.6；10.64；0.0008；2
0；1000；；2；
【详解】略
3．（2023·新疆乌鲁木齐·小升初真题）直接写出得数。
9－6.05＝ 20÷0.05＝ 1－1÷9＝ 237÷1000＝ 1－＋＝
3－＝ 7.2÷＝ ∶0.25＝ 0.125×8÷0.125×8＝ 99×103≈
【答案】2.95；400；；0.237；
；8.1；3；64；10000
【详解】略
二、脱式计算和简便计算板块。
4．（2023·山东临沂·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。


【答案】34.4；0.5；
14；
【分析】根据减法的性质，把减去两个数的和转化为连续减去两个数，然后带符号搬家，先计算尾数相同的小数减法，可使计算简便；
先计算小括号里的减法，再计算中括号里的乘法，加法，最后计算括号外面的除法；
把百分数化为小数，除法转化为乘法，然后逆用乘法分配律，可使计算简便；
先分别计算分数除法、分数乘法，再算分数减法。
【详解】
＝67.38－17.6－15.38
＝67.38－15.38－17.6
＝52－17.6
＝34.4
＝
＝
＝7.8÷15.6
＝0.5

＝9.58×＋0.42×
＝（9.58＋0.42）×
＝10×
＝14
＝
＝
＝
5．（2023·陕西延安·小升初真题）计算下列各题，能简算的要简算。
3.12÷15＋12.5×28

【答案】350.208；21
2；4
【分析】（1）先算乘除法，再算加法；
（2）按照乘法分配律计算；
（3）按照乘法分配律计算；
（4）按照乘法分配律以及加法结合律计算。
【详解】（1）3.12÷15＋12.5×28
＝0.208＋350
＝350.208
（2）
＝36×＋36×－36×
＝18＋12－9
＝21
（3）
＝×（5.7＋2.3）
＝×8
＝2
（4）
＝×8＋×8＋
＝3＋（＋）
＝3＋1
＝4
6．（2023·湖南株洲·小升初真题）脱式计算，能简算的要简算。
24.51－2.83－7.17 72÷[960÷（145—65）]
6－ 4.5×＋5.5×80%
【答案】14.51；6；
6；8
【分析】（1）利用减法的性质，先计算2.83＋7.17的和，再计算减法；
（2）先计算小括号里的减法，再计算除法，最后计算中括号外的除法；
（3）先计算分数除法，再利用减法的性质进行简便计算；
（4）把80%化成分数，再利用乘法分配律进行简便计算。
【详解】24.51－2.83－7.17
＝24.51－（2.83＋7.17）
＝24.51－10
＝14.51
72÷[960÷（145—65）]
＝72÷[960÷80]
＝72÷12
＝6
6－
＝
＝
＝
＝
＝6
4.5×＋5.5×80%
＝4.5×＋5.5×
＝（4.5＋5.5）×
＝10×
＝8
三、解方程或解比例板块。
7．（2023·四川宜宾·小升初真题）解方程。
32x＋125＝285 x＋x＝15
12∶＝x∶4 1＋20%x＝16
【答案】x＝5；x＝18；
x＝72；x＝75
【分析】（1）根据等式的性质，在方程两边同时减去125，再同时除以32即可；
（2）先计算方程的左边，把原方程化为x＝15，再根据等式的性质，在方程两边同时乘即可；
（3）根据比例的基本性质，把比例式化为乘积式x＝12×4，再根据等式的性质，在方程两边同时乘即可；
（4）根据等式的性质，在方程的两边同时减去1，再同时除以20%即可。
【详解】32x＋125＝285
解：32x＋125－125＝285－125
32x＝160
32x÷32＝160÷32
x＝5
x＋x＝15
解：x＝15
x×＝15×
x＝18
12∶＝x∶4
解：x＝12×4
x＝48
x×＝48×
x＝72
1＋20%x＝16
解：1＋20%x－1＝16－1
20%x＝15
20%x÷20%＝15÷20%
x＝75
8．（2023·河南驻马店·小升初真题）解方程。


【答案】；；
；
【分析】（1）分数形式的比例中，交叉相乘积相等，把比例转化为方程，再利用等式的性质2，方程两边同时除以2.4；
（2）在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，把比例转化为方程，再利用等式的性质2，方程两边同时除以；
（3）先利用等式的性质1，方程两边同时加上，方程两边再同时减去17.1，最后利用等式的性质2，方程两边同时除以3.6；
（4）先利用等式的性质1，方程两边同时减去，方程两边再同时加上0.9，最后利用等式的性质2，方程两边同时除以1.2。
【详解】（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
（4）
解：
9．（2023·河北邢台·小升初整体）解方程。


【答案】x＝2；x＝3；
x＝17.5；x＝0.75
【分析】3.4x－2.5x＝1.8，先化简方程左边含有x的算式，即求出3.4－2.5的差，再根据等式的性质2，方程两边同时除以3.4－2.5的差即可；
2.1x＋120%x＝9.9，先化简方程左边含有x的算式，即求出2.1＋120%的和，再根据等式的性质2，方程两边同时除以2.1＋120%的和即可；
17x＝420－7x，先根据等式的性质1，方程两边同时加上7x，原式化为：17x＋7x＝420，化简方程左边含有x的算式，即求出17＋7的和，再根据等式的性质2，方程两边同时除以17＋7的和即可；
0.7∶x＝28∶30，解比例，原式化为：28x＝0.7×30，再根据等式的性质2，方程两边同时除以28即可。
【详解】3.4x－2.5x＝1.8
解：0.9x＝1.8
x＝1.8÷0.9
x＝2
2.1x＋120%x＝9.9
解：3.3x＝9.9
x＝9.9÷3.3
x＝3
17x＝420－7x
解：17x＋7x＝420
24x＝420
x＝420÷24
x＝17.5
0.7∶x＝28∶30
解：28x＝0.7×30
28x＝21
x＝21÷28
x＝0.75
【学科核心素养04】模型意识与几何直观能力
1．（2022·广东深圳·小升初真题）有一个梯形，如果上底增加4厘米，下底和高都不变，这时就变成一个平行四边形，面积增加10平方厘米；如果上底减少3厘米，下底和高都不变，这时就变成一个三角形。
（1）请根据图中信息画出梯形变成平行四边形和三角形的示意图。并将相关数据标注在图中。
（2）计算：原梯形的面积是多少平方厘米？
【答案】（1）见详解；
（2）25平方厘米
【分析】根据题意，如果上底减少3厘米，下底和高都不变，这时就变成了一个三角形，也就是说梯形的上底是3厘米，然后依据如果上底增加4厘米，下底和高都不变，这时就变成一个平行四边形，面积增加10平方厘米，增加部分是一个三角形，利用三角形的面积的公式：三角形的高＝三角形的面积×2÷底，求出增加部分的高，也就是梯形的高，梯形的上底比下底少4厘米，则梯形的下底为（3＋4）厘米，于是利用梯形的面积公式：梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数值即可求解。
【详解】（1）作图如下：
梯形的高：
10×2÷4
＝20÷4
＝5（厘米）
（3＋3＋4）×5÷2
＝10×5÷2
＝25（平方厘米）
答：原梯形的面积是25平方厘米。
【点睛】此题主要考查梯形的面积的计算方法，关键是先求出梯形的下底和高的值。
2．（2023·山东潍坊·小升初真题）有一栋底面呈长方形的建筑物（如图），墙角有一根木桩，木桩上拴着一条狗。栓狗的绳长6m，和建筑物宽相等，请在图上以木桩底部A点为圆心画出这只狗的活动区域（保留作图痕迹），并计算出面积。

【答案】图见详解；84.78平方米
【分析】以点A为圆心，这个长方形的宽为半径画圆；狗的活动面积是以A为圆心，以6米为半径的圆的面积；再再根据圆的面积公式：，解题即可。
【详解】以木桩底部A点为圆心画出这只狗的活动区域（保留作图痕迹），如下：

3.14×62×
＝3.14×36×
＝113.04×
＝84.78（平方米）
答：这只狗的活动区域的面积是84.78平方米。
【点睛】此题考查了有关圆的应用题，理清思路，灵活应用圆的周长公式和面积公式是解决此题的关键。
3．（2022·浙江嘉兴·小升初真题）如下图所示，半径为1厘米的小圆盘（娃娃脸）沿着长方形内壁，从A点出发不停滚动（无滑动），最后到原来的位置。小圆盘在B、C、D位置是怎样的，请你计算一下并画出示意图。
【答案】见详解
A到B转了1圈，B到C转了0.5圈，C到D转了1圈
【分析】小圆盘从A点转到B点，转动的长度是长方形的长边减去两个半径，也就是减去一条直径，用转动的长度除以圆的周长算出小圆圈转了几圈；从B点转到C点，转动的长度是长方形的宽边减去圆的直径，用转动的长度除以圆的周长算出小圆圈转了几圈；小圆盘从C点转到D点，转动的长度是长方形的长边减去一条直径，用转动的长度除以圆的周长算出小圆圈转了几圈，据此画图即可。
【详解】从A点转到B点转了：
（8.28－1×2）÷（2×3.14）
＝（8.28－2）÷6.28
＝6.28÷6.28
＝1（圈）
转动了1整圈，娃娃脸的B位置同A位置一样；
从B点转到C点转了：
（5.14－1×2）÷（2×3.14）
＝（5.14－2）÷6.28
＝3.14÷6.28
＝0.5（圈）
转动了半圈，娃娃脸的C位置跟B位置相反，眼睛朝下，嘴巴朝上；
从C点转到D点：
（8.28－1×2）÷（2×3.14）
＝（8.28－2）÷6.28
＝6.28÷6.28
＝1（圈）
转动了1整圈，娃娃脸的D位置同C位置一样；
【点睛】本题主要考查圆的周长公式的灵活应用以及图形的旋转问题。
4．（2023·安徽蚌埠·小升初真题）同学们，你认识多边形的外角吗？多边形的边与它邻边延长线组成的角就是它的外角。如图，∠1、∠2、∠3就是三角形的三个外角，∠4、∠5、∠6、∠7就是四边形的四个外角。
（1）仔细观察每个图形的内角与外角之间关系，画一画、算一算想办法推算出每个图形的外角的和各是多少度？
推算过程。
（2）初步得出结论：三角形三个外角和是( )°；四边形四个外角的和是( )°。
（3）根据上面的发现，你有什么猜想？
我的猜想
。
【答案】见详解
【分析】
给三角形的三个顶点标上A、B、C，发现一个外角和与它相邻的内角组成了一个平角，这样的平角一共有3个，则三个平角的和是540°，三角形的内角和是180°，则三角形的外角和＝540°－内角和的180°。同理，四边形的四个顶点标上A、B、C、D，发现一个外角和与它相邻的内角组成了一个平角，有这样的4个平角，且四角形的内角和是360°，四边形的外角和＝四个平角－内角和的360°。将两个图形的外角和进行对比，进行初步的猜想。
【详解】（1）观察三角形：
∠1＋∠BAC＝180°
∠2＋∠ABC＝180°
∠3＋∠ACB＝180°
∠1＋∠BAC＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠ACB
＝180°×3
＝540°
∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°
∠1＋∠2＋∠3
＝540°－180°
＝360°
则三角形的外角和是360°。
观察四边形：
∠4＋∠ADC＝180°
∠5＋∠BAD＝180°
∠6＋∠ABC＝180°
∠7＋∠DCB＝180°
∠4＋∠ADC＋∠5＋∠BAD＋∠6＋∠ABC＋∠7＋∠DCB
＝180°×4
＝720°
∠ADC＋∠BAD＋∠ABC＋∠DCB＝360°
∠4＋∠5＋∠6＋∠7
＝720°－360°
＝360°
则四边形的内角和是360°。
（2）初步得出结论：三角形三个外角和是360°；四边形四个外角的和是360°。
（3）根据结论得到的猜想是：任意边形的图形的外角和都是360°。
5．（2023·江西宜春·小升初真题）新村实施“乡村振兴计划”要将一块空地建成美丽的花园，请你按要求进行设计。（每个小方格的边长表示10米）
（1）原来在空地上设计了一个三角形草坪，发现面积过大，需要按1∶2的比缩小，且位置改在空地的东南角，请画出缩小后的三角形草坪。
（2）在空地上以点O（2，2）为圆心修建一个半径为20米的圆形花坛，再根据“外圆内方”这一经典设计在这个圆形花坛内围出一个最大的正方形花坛，请画出这个“外圆内方”的花坛。
（3）圆形花坛内，正方形花坛种月季，正方形花坛与圆形花坛之间的部分种牡丹，那么种牡丹的面积是( )平方米。
【答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）456
【分析】（1）图中三角形的底是6格，高是4格，按1∶2缩小，缩小后的三角形的底和高都除以2；以图上的“上北下南，左西右东”为准，在空地的东南角，画出缩小后的三角形草坪。
（2）根据用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；先确定点O的位置，以O点为圆心，20米为半径画圆，图上每个小方格的边长表示10米，则20米相当于2格；然后根据“外圆内方”，在圆内画一个最大的正方形即可。（画法不唯一）
（3）根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆形花坛的面积；
用对角线把正方形分成两个一样的三角形，则正方形的面积等于两个三角形的面积，这个三角形的底等于圆的直径，高等于圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即可求出正方形花坛的面积；
根据正方形花坛与圆形花坛之间的部分种牡丹可知，种牡丹的面积＝圆的面积－正方形的面积，代入数据计算，即可求解。
【详解】（1）缩小后三角形的底是：6÷2＝3（格）
缩小后三角形的高：4÷2＝2（格）
缩小后的三角形草坪如下图。
（2）20÷10＝2（格）
“外圆内方”的花坛如下图。
（正方形画法不唯一）
（3）圆的面积：
3.14×202
＝3.14×400
＝1256（平方米）
圆的直径：20×2＝40（米）
正方形的面积：
40×20÷2×2＝800（平方米）
牡丹的面积：
1256－800＝456（平方米）
种牡丹的面积是456平方米。
【点睛】本题考查作缩小后的图形、作“外圆内方”图形、数对的知识以及圆的面积、三角形的面积、正方形的面积计算。
6．（2022·广西玉林·小升初真题）为了增加百姓的休闲活动空间，某社区准备新建一个口袋公园。右图左侧的正方形是口袋公园的平面设计图，空白部分为活动区域（是4个完全相同的扇形），阴影部分为绿植区域。
（1）以正方形中心O点为观测点，A点在正( )方向上，距离是( )米；B点在( )°方向上。
（2）绿植区域的图形共有( )条对称轴。绿植区域的面积是( )平方米。
（3）在保证活动区域和绿植区域面积不变的情况下，还可以有不同的设计方案。
请在上面右侧正方形中用圆规画出你的新设计图（如没有新设计，也可以画出原设计图），并将绿植区域涂上阴影。
【答案】（1）北；10；东偏北45；
（2）4；86；
（3）见详解
【分析】（1）根据图上确定方向的方法：上北下南，左西右东，结合图示确定各点的位置，以正方形的中心点为观测点，A点在正北方向，距离为正方形边长的一半，即20÷2＝10（米），根据正方形的特点，以A点为观测点，根据方向和角度确定B点的位置，可得B点在东偏北45°方向上，据此解答即可。
（2）绿植部分的面积等于正方形面积减掉以20米为直径的圆的面积，利用正方形面积公式：S＝a2，以及圆的面积公式：S＝r2，计算其面积即可。根据图形的特点可知，它有4条对称轴。
（3）根据图形的特点，设计在正方形中去掉一个以正方形边长为直径的圆，作为绿植区域即可。
【详解】（1）20÷2＝10（米）
即以正方形中心O为观测点，A在正北方向上，距离是10米；B在东偏北45度方向上。
（2）20×20－3.14×（20÷2）2
＝400－3.14×102
＝400－3.14×100
＝400－314
＝86（平方米）
即绿植区域共有4条对称轴，它的面积是86平方米。
（3）如图：
【点睛】本题主要考查根据方向、距离确定物体的位置，同时考查阴影部分的面积，关键是把不规则图形转化为规则图形，利用规则图形的面积公式计算。
7．（2021·浙江绍兴·小升初真题）在本学期的数学课上，我们通过操作，知道长方形沿长或宽为轴旋转一周，可以形成圆柱；把线直角三角形沿直角边旋转一周，可以形成圆锥。那么，请你思考：
（1）下列两个梯形（图1），沿图中的轴旋转一周，形成了什么立体图形，请你试着画一画所形成的立体图形的示意图。
（2）如下图（图2），有这样一个长方形ABCD，BC＝6cm，AB＝10cm，已知对角线AC、BD相交点。如果图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？
【答案】（1）见详解
（2）565.2立方厘米
【分析】（1）左边梯形可以看成三角形和长方形，下边长方形旋转一周是圆柱，上边三角形绕直角边旋转一周是圆锥，即圆柱上边摞一个圆锥；右边提醒是绕上底旋转，相当于圆柱上边挖去一个倒着的圆锥，据此作图。
（2）这个立体图形可以看成两个圆锥削掉上半部分然后叠加，但还要减去两个小圆锥，才是阴影部分扫出的立体图形的真实体积。
【详解】（1）；
（2）设三角形BOC以CD为轴旋转一周所得到的立体的体积是V，则
V＝×6²×10×π－2××3²×5×π
＝120π－30π
＝90π（立方厘米）
2V＝180π＝565.2（立方厘米）
答：阴影部分扫过的立体的体积是565.2立方厘米。
【点睛】关键是熟悉圆柱和圆锥的特点，圆锥体积＝底面积×高×。
8．（2023·江苏·期末）用一张长60厘米、宽40厘米的长方形铁皮制作一个无盖的长方体容器。（铁皮厚度忽略）
（1）通常如图（1）所示，在四角剪去四个一样的正方形，再通过翻折、焊接，做成一个无盖的长方体容器。如果剪去的正方形的边长是8厘米，那么做成的长方体容器的长是( )厘米，宽是( )厘米，高是( )厘米，容积是( )立方分米。
（2）图（1）制作容器的方法会浪费掉一些铁皮，为了不浪费，我们还可以如图（2），在长方形铁皮左边两个角剪去边长为10厘米的正方形再将两个正方形移到右边中间，并焊接起来，再通过翻折、焊接，做成一个无盖的长方体容器。做成的长方体容器的长是( )厘米，宽是( )厘米，高是( )厘米，容积是( )立方分米。
（3）如果给你一张长70厘米、宽60厘米的长方形铁皮用图（2）的方法制作一个长、宽、高都是整厘米数的无盖长方体容器，你会怎样设计？（请画出草图，标出数据，并计算出这个无盖长方体容器的容积）
【答案】（1）44；24；8；8.448
（2）50；20；10；10
（3）画图见详解；24.75立方分米
【分析】（1）容器的长是（60－8×2）厘米，宽是（40－8×2）厘米，高是8厘米，根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
（2）由图形可知，在长方形的铁皮左边两个角剪去边长为10厘米的正方形移到右边中间焊接起来，再通过折、焊接，制成无盖的长方体容器，容器的长是60－10＝50厘米，宽是（40 －10×2）厘米，高是10厘米，根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
（3）如下图：
在长方形的铁皮左边两个角剪去边长为15厘米的正方形移到右边中间焊接起来，再通过折、焊接，制成无盖的长方体容器，容器的长是70－15＝55厘米，宽是（60－15×2）厘米，高是15厘米，根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
【详解】由分析得：
（1）长：60－8×2
＝60－16
＝44（厘米）
宽：40－8×2
＝40－16
＝24（厘米）
高：8厘米
容积：44×24×8
＝1056×8
＝8448（立方厘米）
8448立方厘米＝8.448立方分米
那么做成的长方体容器的长是44厘米，宽是24厘米，高是8厘米，容积是8.448立方分米。
（2）长：60－10＝50（厘米）
宽：40－10×2
＝40－20
＝20（厘米）
高：10厘米
容积：50×20×10
＝1000×10
＝10000（立方厘米）
10000立方厘米＝10立方分米
做成的长方体容器的长是50厘米，宽是20厘米，高是10厘米，容积是10立方分米。
（3）如图：
长：70－15＝55（厘米）
宽：60－15×2
＝60－30
＝30（厘米）
高：15厘米
容积：55×30×15
＝1650×15
＝24750（立方厘米）
24750立方厘米＝24.75立方分米
答：这个无盖长方体容器的容积是24.75立方分米。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体的容积公式的灵活运用。
【学科核心素养05】空间观念与空间想像能力
1．（2023·云南大理·小升初真题）（1）以图一中的AB边为轴旋转一周，会形成一个( )体，以图二中的AB边为轴旋转一周，会形成一个( )体。
（2）分别计算出旋转后形成的这两个图形的体积。
【答案】（1）圆锥；圆柱
（2）18.84立方厘米；56.52立方厘米
【分析】（1）直角三角形ABC以AB边为轴旋转一周，会形成一个底面半径是3厘米，高是2厘米的圆锥；长方形ABCD以AB边为轴旋转一周，会形成一个底面半径是3厘米，高是2厘米的圆柱。
（2）圆锥的体积，把底面半径3厘米，高2厘米代入圆锥体积公式计算即可求出圆锥的体积；圆柱的体积，把底面半径3厘米，高2厘米代入圆柱体积公式计算即可求出圆柱的体积。
【详解】（1）以图一中的AB边为轴旋转一周，会形成一个圆锥体，以图二中的AB边为轴旋转一周，会形成一个圆柱体。
（2）
＝
＝18.84（立方厘米）
＝
＝56.52（立方厘米）
答：圆锥的体积是18.84立方厘米，圆柱的体积是56.52立方厘米。
【点睛】“点、线、面、体”之间的联系：点动成线，线动成面，面动成体。
2．（2023·浙江金华·小升初真题）机灵狗不小心把玻璃鱼缸的一个面打碎了，这时需要立刻把鱼缸斜放水才不会流光（如图所示），算一算，用这个坏的鱼缸最多能装多少升水？
【答案】20升
【分析】由图可知，用这个坏的鱼缸，最多能盛水的体积是原来鱼缸容积的一半，利用长方体的体积＝长×宽×高，即可求解。
【详解】4×5×2÷2
＝20×2÷2
＝40÷2
＝20（立方分米）
20立方分米＝20升
答：用这个坏的鱼缸最多能装20升水。
【点睛】此题主要考查长方体的体积的计算方法。
3．（2023·江苏苏州·小升初真题）一个数学实验小组的4位同学进行数学实验。
丁丁：下图的圆锥形玻璃容器，从里面量底面半径为2厘米，高是6厘米。
东东：我用沙装满这个圆锥形玻璃容器。
西西：下图的长方体玻璃容器，从里面量长是8厘米，宽是6厘米，高是10厘米，我已在这个长方体容器中装了沙，沙的厚度为7厘米。
星星：把东东装的沙全部倒入这个长方体玻璃容器中。
根据他们的实验解决下列问题。（计算时值取3）

（1）东东装满这个圆锥形玻璃容器用了多少立方厘米的沙？
（2）星星把沙全部倒入这个长方体容器后（沙子均匀分布），沙与玻璃接触部分的面积是多少平方厘米？
【答案】（1）24立方厘米
（2）258平方厘米
【分析】（1）东东装满这个圆锥形玻璃容器用了多少立方厘米的沙是求圆锥的体积，，据此解答；
（2）求沙与玻璃接触部分的面积是多少平方厘米，是求长方体沙子的侧面积加一个底面积的和，倒入后长方体的长和宽不变，倒入长方体沙子的体积等于圆锥的体积，由，可推出，据此可求出倒入长方体沙子的高，再加上原来长方体沙子的高，即可得到倒入后长方体沙子的高，，据此可求出沙与玻璃接触部分的面积是多少平方厘米。
【详解】（1）
＝4×6
＝24（立方厘米）
答：东东装满这个圆锥形玻璃容器用了24立方厘米的沙。
（2）
＝24÷（6×8）
＝0.5（厘米）
7＋0.5＝7.5（厘米）
＝2×8×7.5＋2×6×7.5＋6×8
＝120＋90＋48
＝258（平方厘米）
答：沙与玻璃接触部分的面积是258平方厘米。
【点睛】本题考查圆锥、长方体体积公式的灵活运用，记住公式是关键。
4．（2023·云南昭通·小升初真题）聪聪非常喜欢研究数学问题。妈妈的生日那天，聪聪从超市买来两个同样的礼品，如下图。通过测量，他发现每个礼品的长、宽、高分别是15厘米、5厘米、4厘米。
聪聪想给妈妈一个惊喜，准备将这两个礼品重叠起来，再用彩纸给表面包装起来写上“妈妈生日快乐！”。通过探索，他发现有3种不同的重叠方式，如下图。
他还发现两个结论：①无论怎样摆放，这两个礼品所占空间的大小不变；
②由于摆放方法不同，所需的外包装纸的大小不同。
（1）请帮聪聪算一算，这两个礼品所占的空间是多大？
（2）聪聪如果按最节省彩纸的方法包装，需要多少平方厘米彩纸？
【答案】（1）600立方厘米；（2）470平方厘米
【分析】（1）物体所占空间的大小是物体的体积。长方体体积＝长×宽×高，据此列式求出一个礼品的体积，再将其乘2，即可求出两个礼品的体积；
（2）三种重叠方式中，重叠面面积越大，构成的新长方体的表面积就越小，需要的包装彩纸也就越少。观察发现重叠方式①的重叠面是最大的，那么它需要的包装彩纸是最少的。长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，结合这个公式求出需要的彩纸面积即可。
【详解】（1）（15×5×4）×2
＝300×2
＝600（立方厘米）
答：这两个礼品所占的空间是600立方厘米。
（2）4×2＝8（厘米）
（15×5＋15×8＋5×8）×2
＝（75＋120＋40）×2
＝235×2
＝470（平方厘米）
答：选择①重叠方式去包装最节省，需要470平方厘米彩纸。
【点睛】本题考查了长方体的表面积和体积，熟记表面积和体积公式是解题的关键。
5．（2023·山西晋中·小升初真题）古希腊的阿基米德是历史上杰出的数学家，在他众多的科学发现中，他自己最为满意的是“圆柱容球定理”。“圆柱容球”就是把一个球放入一个圆柱形容器中，盖上容器盖后，球恰好与圆柱的上底面、下底面及侧面紧密接触。这个球的直径与圆柱的高、底面直径相等。在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的，球的表面积也是圆柱表面积的。
（1）请你计算圆柱容球中球的体积。
（2）明明由“圆柱容球”联想到“正方体容圆柱”。把圆柱体放入一个正方体容器中，盖好容器盖后，圆柱体的上下底面及侧面与正方体的上下底面及侧面紧密接触，这时圆柱的高、底面直径与正方体棱长相等，请求出正方体与圆柱的体积之比？
【答案】（1）113.04立方厘米；（2）200∶157
【分析】（1）根据球的体积是圆柱体积的，先计算出圆柱的体积，即可算出球的体积；圆柱的体积＝底面积×高，由图可知，该圆柱的高是6厘米，底面直径是6厘米，代入相应数值计算出圆柱的体积，据此解答。
（2）圆柱的高、底面直径与正方体棱长相等，也就是说该正方体的棱长是6厘米，根据圆柱的体积＝底面积×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入相应数值分别计算出圆柱的体积和正方体的体积，即可计算出它们的体积之比，据此解答。
【详解】（1）圆柱的体积：
3.14×（6÷2）2×6
＝3.14×32×6
＝28.26×6
＝169.56（立方厘米）
球的体积：（立方厘米）
答：圆柱容球中球的体积是113.04立方厘米。
（2）圆柱的体积：π×（6÷2）2×6
＝π×9×6
＝54π（立方厘米）
正方体的体积为：6×6×6＝216（立方厘米）
正方体与圆柱的体积之比为：
216∶54π
＝4∶π
＝4∶3.14
＝200∶157
答：正方体与圆柱的体积之比为200∶157。
6．（2023·福建莆田·小升初真题）如图，一个内直径20厘米的圆柱形量杯内有杯水。乐乐把一个直径10厘米的圆柱形铁块浸没其中，水面上升1厘米。这时，水面与杯底和杯口的高度比是9∶11。
（1）如果把圆柱形铁块换成与它等底等高的圆锥形铁块，浸没水中，水面上升 厘米。
（2）从里面量，量杯高多少？
（3）乐乐通过实验发现：只往量杯内竖直浸没上述的圆柱形铁块，最后量杯内的水正好淹没8个铁块。请你通过计算证明实验结果。
【答案】（1）；（2）20厘米；（3）见解析
【分析】（1）量杯的底面积乘水面上升的1厘米，就是圆柱形铁块的体积，那么与它等底等高的圆锥形铁块的体积是乘圆柱形铁块的体积，用所求体积除以量杯的底面积，就是此时水面上升的高度；
（2）把量杯高度看作单位“1”，水面上升后水柱高占量杯高度的，原来水柱高占量杯高度的，据此用水面上升的1厘米除以它对应的分率，即可求出量杯的高；
（3）首先应考虑量杯里每层能放几个铁块，据此算出放几层，求出放铁块的总高度，再假设所有铁块都没入水中，求出放入铁块后水面的高度，最后比较铁块的总高度和淹没8个铁块后的水面高度，如果水面高度大于铁块总高度，就说明可能还可以放铁块，如果水面高度小于铁块总高度，就说明不能淹没全部铁块，如果水面高度与铁块总高度相等，就说明量杯里的水刚好淹没这些铁块。
【详解】（1）
（厘米）
因此如果把圆柱形铁块换成与它等底等高的圆锥形铁块，浸没水中，水面上升厘米。
（2）
（厘米）
答：从里面量，量杯的高是20厘米。
（3）不放铁块时水面高度：20×＝8（厘米）
量杯每层能放铁块个数：10÷5＝2（个）
8个铁块的高度：8÷2×4＝16（厘米）
淹没8个铁块后水面的高度：8＋8×1＝16（厘米）
答：最后量杯内的水正好淹没8个铁块。
7．（2022·广东佛山·小升初真题）在学习圆柱体积公式时，老师会用到下图1，其中圆柱底面半径为r，圆柱的高为h。

（1）请用字母表示长方体中的长是( )，宽是( )，体积是( )。
（2）请根据上述解决问题的方法探究出图2中四棱柱（上、下底面为等腰梯形，该梯形的上底为b，下底为a，高为h1）的体积公式，请写出你的探究理由（或画图说明）。

（3）如图2，a＝20厘米，b＝12厘米， h1＝5厘米，h2＝15厘米往该容器里注水，水深13厘米，若将一个底面是正方形且边长为4厘米，高为12厘米的长方体铁块放入水中，此时容器里的水深是多少厘米？
【答案】（1）πr；r；πr2h
（2）V四棱柱＝（a＋b）h1h2；说明见详解
（3）15厘米
【分析】（1）将圆柱拼插成长方体，长方体的长＝圆柱底面周长的一半，长方体的宽＝圆柱底面半径，长方体的高＝圆柱的高，根据圆周长的一半＝圆周率×半径，长方体体积＝长×宽×高，据此分别用字母表示出长方体的长、宽和体积即可。
（2）这个四棱柱也可以拼成一个长方体，拼成的长方体的体积＝四棱柱的体积，长方体的底面积＝四棱柱的底面积，长方体的高＝四棱柱的高，根据长方体体积＝底面积×高，即可推导出四棱柱的体积公式。
（3）根据长方体体积＝底面积×高，求出铁块体积，铁块体积÷容器底面积＋原来水深＝放入铁块后的水深，与容器的高比较一下，如果大于容器的高，说明水会溢出，水深最多就是容器的高，据此列式解答。
【详解】（1）长方体中的长是πr，宽是r，体积是πr2h。
（2）拼成的长方体的底面积：（a＋b）h1
拼成的长方体的高：h2
拼成的长方体的体积公式：V长方体＝S底h＝（a＋b）h1h2
这个四棱柱的体积公式：V四棱柱＝（a＋b）h1h2
（3）4×4×12＝192（立方厘米）
192÷[×（20＋12）×5]
＝192÷[×32×5]
＝192÷80
＝2.4（厘米）
2.4＋13＝15.4（厘米）
15.4＞15
答：此时容器里的水深是15厘米。
【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体体积公式，熟悉圆柱体积公式推导过程。
8．（2022·江苏扬州·小升初真题）一个无盖的长方体玻璃缸，长48厘米，宽25厘米，高30厘米。有一个水龙头从8：00开始向玻璃缸内注水，水的流量为9立方分米/分。8：02关闭水管停止注水。接着在玻璃缸内放入一个高为16厘米的铁块，全部浸没水中。玻璃缸的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如左下图所示：

（1）左上图中，点( )的位置表示停止注水。（从A、B、C中选择）
（2）8：02分玻璃缸水面的高度为多少厘米？
（3）长方体铁块的底面积是多少平方厘米？
【答案】（1）B；（2）15厘米；（3）225平方厘米
【分析】（1）观察统计图可知，点A是开始注水的时间，点B是折线的转折点，点C是放完铁块之后的时间，所以点B的位置表示停止注水；
（2）根据题意可知，有一个水龙头从8：00开始向玻璃缸内注水，水的流量为9立方分米/分。8：02关闭水管停止注水；则用9×2即可求出8：02时水的体积，然后把单位换算成立方厘米，再根据长方体的体积＝长×宽×高，用水的体积÷48÷25即可求出8：02时水面的高度，也就是15厘米；
（3）根据物体的体积＝上升部分水的体积，上升部分水的体积＝长×宽×上升部分水的高度，用48×25×（18－15）即可求出铁块的体积，再根据长方体的体积公式，用铁块的体积除以16厘米，即可求出长方体铁块的底面积。
【详解】（1）左上图中，点B的位置表示停止注水。
（2）8：02－8：00＝2分钟
9×2＝18（立方分米）
18立方分米＝18000（立方厘米）
18000÷48÷25＝15（厘米）
答：8：02分玻璃缸水面的高度为15厘米。
（3）48×25×（18－15）÷16
＝48×25×3÷16
＝225（平方厘米）
答：长方体铁块的底面积是225平方厘米。
【点睛】本题主要考查了长方体体积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。
【学科核心素养06】推理意识与逻辑思维能力
一、填空题。
1．（2023·湖北黄冈·小升初真题）在甲、乙、丙三个人中，有一位是教师，有一位是工人，有一位是战士。已知丙比战士大，甲和工人不同岁，工人比乙年龄小，教师是( )。
【答案】乙
【分析】由题意可知，甲和工人不同岁，工人比乙年龄小，说明甲和乙都不是工人，则丙是工人，又因为工人比战士大，工人比乙年龄小，则乙不是战士，则甲是战士，最后剩下乙，乙就是教师。
【详解】由分析可知：在甲、乙、丙三个人中，有一位是教师，有一位是工人，有一位是战士。已知丙比战士大，甲和工人不同岁，工人比乙年龄小，教师是乙。
【点睛】本题考查推理，解答此题时，先判断出丙的职业，再推出其他两人的职业。
2．（2022·湖南怀化·小升初真题）六年级有三个班，每班有正副班长各一位，学校组织开了3次会，每次每班只派一人参加，第一次到会的是A、C、E，第二次到会的是B、C、D，第三次到会的是B、E、F，请问B和( )是一个班。
【答案】A
【分析】根据三次到会情况列出表格，再根据每次每班只要一个班长参加，进行具体分析。
【详解】用数字“1”表示到会，用数字“0”表示没有到会。可列表格：
从第一次到会的情况来看，B只能和A、C、E同班；
从第二次到会情况来看，B只能和A、E同班；
从第三次到会情况来看，B只能和A同班。
则B和A是一个班。
故答案为：A
【点睛】此题应结合题意进行分析，得出答案后，再进行验证。
3．（2023·四川成都·小升初真题）有八个编号是①至⑧的小球，其中有六个球一样重，另外两个球都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次，结果如下：第一次①②比③④重；第二次⑤⑥比⑦⑧轻；第三次①③⑤与②④⑧一样重。那么，两个轻球的编号是( )和( )。
【答案】 ④ ⑤
【分析】一共有2个轻球，根据“第一次①②比③④重；第二次⑤⑥比⑦⑧轻”，则③和④中至少有一个轻球；⑤和⑥中至少有一个轻球；据此可知：①②⑦⑧都是标准球。
第三次称球，①③⑤与②④⑧一样重，剩下的⑥和⑦不可能同时是轻球，即两边各有一个轻球。只能是左边的⑤和右边的④同时是轻球。据此解答即可。
【详解】分析第一次，轻的球是③和④中的一个。
分析第二次，轻的球是⑤和⑥中的一个。
分析第三次，剩下的⑥和⑦不可能同时是轻的，两侧各有1个轻的。
如果左侧⑤是轻的，则右侧④是轻的，假设成立。
故，两个轻球的编号是④和⑤。
【点睛】考查如何找次品及逻辑推理能力。
4．（2021·陕西咸阳·小升初真题）有一个正方体，在它的各个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6。小明、小刚、小红三人从不同的角度去观察这个正方体，观察结果如图所示，则数字3对面是数字( )。

【答案】6
【分析】观察第2个图形可以发现：3的对面不是1或2；观察第3个图形可以发现，3的对面也不是4或5。那么数字3对面是数字6。
【详解】通过观察、分析可知，数字3对面是数字6。
【点睛】本题考查推理问题。根据数字3相邻面上的数字，运用排除法即可推理出3对面的数字。
二、选择题。
5．（2023·四川成都·小升初真题）A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A，B，C，D，E五队分别比赛了5，4，3，2，1场球，则还没有与B队比赛的球队是( )。
A．C队B．D队C．E队D．F队
【答案】C
【分析】可以画图分析，六个点代表六个队，两点之间的线段代表1场比赛。A分别和B、C、D、E、F比赛了5场，E队只比赛了1场就是和A进行比赛的。B比赛了4场，那么除了和A比赛，分别和C、D比赛了2场，还有一场是和F赛的。这样D就分别是A、B赛了2场。C比赛了3场，分别已经和A、B赛了2场，还有1 场是和F赛的。
【详解】根据分析画出图。
所以还没有与B队比赛的球队是E队。
故答案为：C
6．（2022·重庆丰都·小升初真题）警察抓住了3个偷东西的嫌疑人，其中的一个人是主谋。审问谁是主谋时，甲说：我不是主谋。乙说：我也不是主谋。丙说：甲是主谋。已知他们3人中只有一个人说了真话。主谋是( )。
A．甲B．乙C．丙
【答案】B
【分析】根据题意进行讨论推理，根据题干“甲说：我不是主谋，丙说：甲是主谋”，那么甲和丙必定有一个人说了真话，而他们3人中只有一个人说了真话，那就说明乙说的话是假话，由此入手即可推断出主谋是乙。继而推理出甲说的是真话，丙说的是假话。据此解答。
【详解】根据分析得，甲和丙必定有一个人说了真话，所以乙说的话肯定是假话，那么就能说明乙其实就是主谋。
乙是主谋的话，那就说明“丙说甲是主谋”的话是假的，也就说明“甲说我不是主谋”的话真的。
综合而言，可得出主谋是乙。
故答案为：B
【点睛】本题考查逻辑推理，抓住甲和丙的话相互矛盾得出必定有一个人说了真话是解决本题的关键。
7．（2023·河南驻马店·小升初真题）王阿姨、吴阿姨、刘叔叔、李叔叔的职业分别是工人、教师、医生中的一种。王阿姨是教师，刘叔叔不是工人，只有吴阿姨和李叔叔的职业相同。刘叔叔的职业是( )。
A．工人B．教师C．医生D．不确定
【答案】C
【分析】王阿姨、吴阿姨、刘叔叔、李叔叔四人做三种职业：工人、教师、医生；已知王阿姨是教师，刘叔叔不是工人，则刘叔叔一定是医生，那么吴阿姨和李叔叔的职业相同是工人，据此解答即可。
【详解】根据分析得，刘叔叔的职业和其它人不相同，首先刘叔叔不是工人，因为王阿姨是教师，所以刘叔叔也不会是教师，那么刘叔叔一定是医生。
故答案为：C
【点睛】本题考查逻辑推理，解答本题的关键是理清他们称呼与职业之间的关系。
8．（2022·河南焦作·小升初真题）大课间活动，李老师和乐乐、棒棒、康康、盈盈、晶晶在操场上做游戏，所站的位置如图所示。李老师的两边是乐乐、棒棒，李老师的正对面是康康，棒棒和晶晶不相邻，乐乐和盈盈不相邻。那么站在A位置的是( )。
A．康康B．盈盈C．晶晶D．无法确定
【答案】B
【分析】李老师的两边是乐乐、棒棒，李老师的正对面是康康，所以站在B位置的是康康，还剩下盈盈、晶晶，再根据“棒棒和晶晶不相邻，乐乐和盈盈不相邻。”进一步推断即可。
【详解】李老师的两边是乐乐、棒棒，李老师的正对面是康康，所以站在B位置的是康康，还剩下盈盈、晶晶；又因为棒棒和晶晶不相邻，乐乐和盈盈不相邻，所以站在A位置的是盈盈，站在C位置的是晶晶。
站在A位置的是盈盈。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查了学生的逻辑推理能力，要求具有较好的逻辑思维能力，关键是确定站在B位置的是康康。
三、解答题。
9．（2023·浙江温州·小升初真题）四名棋手每两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得2分，平一局得1分，负一局得0分，比赛结果，没有人全胜，并且各人的得分都不相同。那么最多有多少局平局？
（1）因为每两名棋手要赛一场，每位棋手一共要赛3场，总分最多是多少分？
（2）因为没有人全胜，也就意味着没有人全输，那么各人的得分情况为什么不可能是5，4，3，2？请用计算进行说明。
（3）四名棋手的得分可能各是多少分？
【答案】1局；
（1）5分；
（2）因为所有人的总分和是12分，5，4，3，2的和已经超过了12；
（3）5分、4分、2分、1分
【分析】（1）每位棋手一共要赛3场，每场得分最多2分，平一局得1分，负一局得0分，没有人全胜，所以每位棋手最多是赢2局，1局平局，所以最多只能得（2＋2＋1）分；
（2）由于每个棋手都可以和另外的3个棋手组合，一共有（3×4）种组合；又因为两个棋手只有一种组合方式，要去掉重复计算的情况，所以要再除以2。则一共要比赛（3×4÷2）局比赛，已知每场比赛2个棋手的得分和是2分，则用2×比赛局数即可求出所有棋手的总分；所以所有人的总分加起来是12分，因为5＋4＋3＋2＝14（分），12小于14，所以各人的得分情况不可能是5，4，3，2；
（3）因为没有人全胜，也就意味着没有人全输，所以每人最多得5分，最少输了2局，1局平局，也就是最少得1分；所以每个人的得分在5、4、3、2、1之间，因为各人的得分都不相同，总分加起来是12分，所以从5、4、3、2、1中选出4个数加起来是12，只有5、4、2、1符合题意，所以四名棋手的得分可能各是5分、4分、2分、1分。
如图：
所以最多有1局平局。
【详解】（1）2＋2＋1＝5（分）
答：每位棋手的总分最多是5分。
（2）3×4÷2＝6（局）
6×2＝12（分）
5＋4＋3＋2＝14（分）
12＜14
答：各人的得分情况不可能是5，4，3，2，因为5，4，3，2的和已经超过12。
（3）每个人得分最多5分，
最少：1＋0＋0＝1（分）
所以每个人的得分在5、4、3、2、1之间，且各人的得分都不相同，所有人总分加起来是12分，
5＋4＋3＋1＝13（分）
4＋3＋2＋1＝10（分）
5＋3＋2＋1＝11（分）
5＋4＋2＋1＝12（分）
只有5、4、2、1符合题意，
如图：
答：四名棋手的得分可能各是5分、4分、2分、1分，最多只有1局平局。
【点睛】本题看作握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，明确6场比赛的总得分是解决本题的关键。
10．（2022·湖南长沙·小升初真题）博物馆里有一幅名画被盗，一星期后，四个男人被当作嫌疑人拘捕，经调查，罪犯就是他们中的一个，四人的口供如下：
甲：名画不是我偷的，我从来就没偷过东西。
乙：作案的是丙，有一天下午，我看见他向一个中年人兜售一幅画。
丙：丁是盗窃这幅画的罪犯。
丁：我不是罪犯，丙同我有仇。
这四个人中只有一个人说了假话，那么盗窃名画的罪犯是？（有推理过程）
【答案】丙；见详解
【分析】首先甲的口供里跟其他三人没有关系，先不考虑甲；从剩下的三人中假设一人说的是真话进行推理，结果只有一个人说了假话，假设成立；否则假设不成立。
【详解】假设乙说的是真话，那么甲、丁都说的是真话，丙说的是假话，符合四个人中只有一个人说假话，所以盗窃名画的罪犯是丙。
【点睛】本题考查逻辑推理，假设其中一人说的是真话，分析其他三人说话的真假情况，进行判断。
【学科核心素养07】联系生活与情景解读能力
1．（2023·河南郑州·小升初真题）假期，萍萍随爸爸妈妈和朋友一起去郊区露营，并策划了一个定向越野活动。
（1）定向越野项目是从帐篷的位置出发，向东偏北45°方向跑210米，到一棵大树下插上小红旗，记为点Q，请在下图中标出点Q；再跑到点，拍照打卡，请在下图中标出点S。最后按原路返回帐篷的位置。（小正方形的边长为1个单位长度，代表实际距离50米，对角线是1.4个单位长度，代表实际距离70米。）
（2）请在横线上描述出从点S返回帐篷位置的路线：________。
（3）萍萍发现很多帐篷从侧面观察都近似于三角形，这是因为三角形具有( )性。
【答案】（1）见详解
（2）从S点先向西跑150米到达Q点，再向西偏南45°跑210米到达帐篷位置
（3）稳定
【分析】（1）用方向和距离结合来画路线时，要注意三个要素：一是观测点（即参照物），二是方向，三是距离。实际距离÷对角线表示的实际距离＝对角线段数。
用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。
（2）地图上按“上北下南左西右东”确定方向，用方向和距离结合来描述路线时，要注意三个要素：一是观测点（即参照物），二是方向，三是距离。小正方形边长表示的实际距离×边长数量＝实际距离。
（3）三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，据此分析。
【详解】（1）
（2）50×3＝150（米）
从S点先向西跑150米到达Q点，再向西偏南45°跑210米到达帐篷位置。
（3）很多帐篷从侧面观察都近似于三角形，这是因为三角形具有稳定性。
2．（2023·内蒙古呼伦贝尔·小升初真题）团购已进入我们的生活，小红一家准备周末去吃烤肉。妈妈说，网上的团购代金券61元一张，可抵100元消费，每桌限用2张，不足部分用现金补齐。爸爸打电话订座时，服务员告诉他全款现金结账可以享受消费七折优惠。如果你是小红，若一家三口吃烤肉人均消费预计为80元，你会选择哪种支付方式？请写出你的思考过程。
【答案】选择反公式一
【分析】一家三口吃烤肉人均消费预计为80元，则共需消费元，按照第一种方式，买两张消费券花费元，抵200元，还加上剩下的40元，共需花费元；第二种方式打七折，则需元，再进行比较，即可确定哪种方式便宜。
【详解】（元）
方式一：
（元）
方式二：（元）
答：我会选择方式一。
【点睛】本题考查折扣问题，解答本题的关键是掌握两种方式的计费标准。
3．（2020·湖北黄石·小升初真题）小红和爷爷一起去操场散步，小红走一圈需要8分钟，爷爷走一圈需要12分钟。
（1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后相遇？
（2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小红会超出爷爷一整圈？
【答案】（1）分钟；
（2）24分钟
【分析】（1）假设绕操场走一圈的路程为1，先根据“速度＝路程÷时间”表示出小红的速度和爷爷的速度，再根据“相遇时间＝总路程÷速度和”求出两人的相遇时间；
（2）假设绕操场走一圈的路程为1，小红超出爷爷一整圈，说明两人的路程差为1，根据“路程差÷速度差＝追及时间”求出小红超出爷爷一整圈需要的时间，据此解答。
【详解】（1）假设绕操场走一圈的路程为1。
小红的速度：1÷8＝
爷爷的速度：1÷12＝
1÷（＋）
＝1÷
＝1×
＝（分钟）
答：分钟后相遇。
（2）假设绕操场走一圈的路程为1。
小红的速度：1÷8＝
爷爷的速度：1÷12＝
1÷（－）
＝1÷
＝1×24
＝24（分钟）
答：24分钟后小红会超出爷爷一整圈。
【点睛】本题主要考查分数除法的应用，掌握相遇时间和追及时间的计算公式是解答题目的关键。
4．（2023·河南三门峡·小升初真题）东东和明明共有邮票56张，东东邮票张数的和明明邮票张数的相等。东东和明明各有邮票多少张？下面是小军和小红的做法：

（1）请判断小军和小红的做法对吗？对的打“√”错的打“×”。
（2）请你将正确同学的思路表述清楚。
（3）请你将错误同学的算法改正过来。
【答案】（1）小军（√）；小红（×）
（2）见详解
（3）小红的计算方法是错误的；改正见详解
【分析】（1）小军解答方法有道理，小军的解答方法是：东东邮票张数的和明明邮票张数的相等。也就是东东和明明张数的比是3∶4，先求出总份数，再根据“等分”除法的意义，求出一份是多少张，然后分别求出各有多少张；小红的解答方法是：先找出等量，设其中一个未知为x，另一个未知数用含有字母的式子表示，根据等量关系：东东邮票张数×＝明明邮票张数×，据此列方程解答。
（2）根据小军的算式及按比分配的方法分析小军的思路即可；
（3）由题意可知，设东东有邮票x张，则明明有邮票（56－x）张，根据等量关系：东东邮票张数×＝明明邮票张数×，据此列方程解答。
【详解】（1）小军（√）；小红（×）
（2）小军思路是正确的；东东邮票张数的和明明邮票张数的相等转化为东东的张数与明明的张数比是3∶4，根据东东和明明邮票张数之间的关系，可以求出东东邮票张数就是56÷（3＋4）×3＝24（张），明明的邮票张数就是56÷（3＋4）×4＝32（张）。
（3）解：设东东的邮票数量设为x张，则明明有（56－x）张。
x＝（56－x）
解：x＝14－x
x＋x＝14－x＋x
x＝14
x÷＝14÷
x＝24
56－24＝32（张）
答：东东的邮票数量为24张，则明明有32张。
【点睛】本题考查用方程解决实际问题，明确等量关系是解题的关键。
5．（2021·陕西商洛·小升初真题）（1）茶杯中部的一圈装饰带好看吧，那是小红怕烫伤爸爸的手特意贴上的，这条装饰带宽5厘米，长至少是多少厘米？（接头处忽略不计）
（2）这个茶杯的容积大约是多少毫升？（玻璃厚度忽略不计）
【答案】（1）18.84厘米
（2）423.9毫升
【分析】（1）求这条装饰带的长，就是求这个圆柱的底面周长，根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，即可解答。
（2）求茶杯的容积，就是这个茶杯的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。
【详解】（1）3.14×6＝18.84（厘米）
答：长至少是18.84厘米。
（2）3.14×（6÷2）2×15
＝3.14×9×15
＝28.26×15
＝423.9（立方厘米）
423.9立方厘米＝423.9毫升
答：这个茶杯的容积大约是423.9毫升。
【点睛】熟记圆的周长公式和圆柱的体积公式是解答本题的关键，关键是熟记公式。
6．（2021·云南保山·小升初真题）根据情景回答下列问题。
情境描述：一天，四年级的小红在《数学乐园》里看到了一幅图（如下所示），非常好奇！于是她提出了一个数学问题：“阴影部分的面积是多少呢？”她又想：“有些图形的面积计算方法我还没有学过，该怎样计算呢？”
假如小红向你请教，你能用她所学过的知识帮她解决吗？
（先写出你的想法，再计算阴影部分的面积）
（1）我这样想：
（2）我这样算：
【答案】（1）见详解
（2）100平方厘米
【分析】（1）如图：
将左边正方形中的阴影部分平移到右边正方形的空白处，阴影部分正好是一个正方形；
（2）根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可求出阴影部分的面积。
【详解】（1）我这样想：将左边正方形中的阴影部分平移到右边正方形的空白处，阴影部分正好是一个正方形。（答案不唯一）
（2）我这样算：10×10＝100（平方厘米）
答：阴影部分的面积是100平方厘米。
【点睛】通过平移把不规则的阴影部分的面积转化成学过的规则图形的面积，然后利用正方形的面积公式求解。也可以把右边正方形的阴影部分平移到左边正方形的空白处，阴影部分组成一个正方形。
7．（2021·云南昆明·小升初真题）甲、乙两个商场举行购物促销活动。
甲商场：每满100元减40元。
乙商场：全部商品打六折销售。
下面是三名同学对甲、乙两个商场促销活动的一些说法。
小刚：“当商品总价为整百元时，两种促销活动折扣相等。”
小红：“当商品总价比整百元少一些时，两种促销活动折扣差距比较大。”
小明：“当商品总价比整百元多一些时，两种促销活动折扣差距比较接近。”
你觉得谁的说法正确？用算式进行验证说明。
【答案】三人说法都正确；理由见详解
【分析】计算甲商场的实际价格时，计算所花钱数里面有几个100元，有几个100元就减去几个40元，实际价格＝应付钱数－优惠的钱数；计算乙商场的实际价格时，实际价格＝应付钱数×60%，据此解答。
【详解】小刚：假设商品总价为500元。
甲商场：500－500÷100×40
＝500－5×40
＝500－200
＝300（元）
乙商场：六折＝60%
500×60%＝300（元）
因为300元＝300元，所以当商品总价为整百元时，两种促销活动折扣相等，小刚的说法正确。
小红：假设商品总价为198元。
甲商场：198元里面有1个100元。
198－40＝158（元）
乙商场：六折＝60%
198×60%＝118.8（元）
158－118.8＝39.2（元）
所以，此时两种促销活动折扣差距比较大，小红的说法正确。
小明：假设商品总价为210元。
甲商场：210元里面有2个100元。
210－2×40
＝210－80
＝130（元）
乙商场：六折＝60%
210×60%＝126（元）
130－126＝4（元）
所以，此时两种促销活动折扣差距比较接近，小明的说法正确。
答：三个人的说法都正确。
【点睛】根据两种不同优惠方式举例计算出同样价格的商品在两个商场的实际价格是解答题目的关键。
8．（2022·福建泉州·小升初真题）请根据下面小红和小林在操场上的对话，算出旗杆的高度。（用比例解）
小红：“我想测量这根旗杆的高度，可是太高了！”
小林：“我有办法，你看，我的身高是1.5米，影子的长度是0.8米。”
小红：“哦，我明白了。你看，旗杆的影子长9.6米，那么，旗杆的高度是……。”
【答案】18米
【分析】影长与树高成正比，设旗杆的高度是x米，先表示出小明影长和小明身高的比，再表示出旗杆影长旗杆的高度的比，组成比例，依据比例基本性质解答。
【详解】解：设旗杆的高度是x米。
0.8∶1.5＝9.6∶x
0.8x＝9.6×1.5
x＝9.6×1.5÷0.8
x＝18
答：旗杆的高度是18米。
【点睛】本题考查了正反比例应用题，解答此题的关键是：表示出影长与物体实际高度的比。
9．（2022·广东茂名·小升初真题）三个同学商议暑期去图书馆借书。小明说：“我每4天就去一次”，小华说：“我每6天去一次”，小红说：“我每8天才能去一次。”如果三人7月5日上午9点同时去图书馆借书，那么下一次他们三人会在几月几日上午9点同时在图书馆相遇？
【答案】7月29日
【分析】由题意可知：小明每4天就去一次图书馆，小华每6天去一次图书馆，小红每8天去一次图书馆，要求下一次他们三人会在几月几日上午9点同时在图书馆相遇，只需求出4、6、8的最小公倍数，即为经过的天数；用7月5日加上经过的天数即为下次相遇的时间。
【详解】4＝2×2
6＝2×3
8＝2×2×2
4、6、8的最小公倍数是2×2×2×3＝24。
7月5日＋24日＝7月29日
答：那么下一次他们三人会在7月29日上午9点同时在图书馆相遇。
【点睛】此题主要考查最小公倍数的求法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答。
10．（2021·重庆黔江·小升初真题）牙膏中的数学问题：
（1）小红去买牙膏，同一品牌两种规格牙膏的售价如下：120克的每支9元，160克的每支11.2元。她买哪种规格的牙膏比较合算？为什么？
（2）牙膏出口处的直径为6毫米，小红每次刷牙都要挤出1厘米长的牙膏。这样，一支牙膏可用36次。该款牙膏推出的新包装只是将出口处的直径改为4毫米，其余不变，小红还是按习惯每次挤出1厘米长的牙膏。这样，这一支牙膏能用多少次？
【答案】（1）买160克规格的牙膏比较合算
（2）81次
【分析】（1）根据单价＝总价÷数量，分别求出两种规格牙膏每克的单价，然后再比较解答；
（2）根据圆柱的体积公式，代入数据，求出原来每次使用牙膏的体积，乘使用次数，求出牙膏总体积，然后再除以现在每次使用牙膏的体积即可。
【详解】（1）9÷120＝0.075（元）
11.2÷160＝0.07（元）
0.07 ＜0.075
答：她买160克规格的牙膏比较合算。
（2）6毫米＝0.6厘米
4毫米＝0.4厘米
3.14×（0.6÷2）2×1×36
＝0.2826×36
＝10.1736（平方厘米）
3.14×（0.4÷2）2×1
＝3.14×0.04
＝0.1256（平方厘米）
10.1736÷0.1256＝81（次）
答：这一支牙膏能用81次。
【点睛】买哪种规格的牙膏比较合算的问题，可以先求出每克牙膏的单价，然后再比较解答；还考查了运用圆柱的体积公式解决实际问题的能力。
【学科核心素养08】数学意识与信息获取能力
1．（2022·山西阳泉·小升初真题）先阅读下面的材料，再解答。
徐叔叔2021年1月的工资、薪金所得是7500元。他目前有两个孩子，一个刚出生六个月，另一个正在上小学六年级，在子女教育个人所得税专项扣除方面选择了“父母分别扣除50%”，并再无其他附加扣除项。他本月应该缴纳个人所得税多少元？
【答案】60元
【分析】因为7500－5000＝2500（元），2500元不超过3000元，所以先算出专项扣除1000元的50%；再按余额不超过3000元的部分按3%的比例缴纳个人所得税。注意其中一个孩子才六个月，另一个孩子正在上六年级，所以只有一个孩子可以享受每月扣除1000元。
【详解】1000×50%＝500（元）
7500－5000－500＝2000（元）
2000×3%＝60（元）
答：徐叔叔本月应该缴纳个人所得税60元。
【点睛】本题的关键是要理解题意以及本题里的专项扣除是指什么。
2．（2022·河北廊坊·小升初真题）阅读材料并解决问题。
天舟二号是中国第二个货运飞船，由货物舱和推进舱组合而成，总长10.6米，舱体最大直径3.35米，最大的起飞重量约13.5吨，物资上行能力比最大起飞重量轻。具备全相位自主交会对接能力，可多次完成推进剂在轨补加。天舟二号所在的中国空间站在轨道运动高度在400千米左右，运行速度快，围绕地球3圈仅需要4.5小时。
（1）天舟二号的物资上行能力是多少吨？
（2）一天内，中国空间站围绕地球能飞行多少圈？（用比例知识解答）
【答案】（1）6.885吨
（2）16圈
【分析】（1）天舟二号的物资上行能力比最大起飞重量轻，即物资上行能力是最大起飞重量的（1－），根据“天舟二号的物资上行能力∶最大起飞重量＝（1－）”，设天舟二号的物资上行能力是x吨，根据数量关系列比例解答即可。
（2）天舟二号围绕地球3圈仅需要4.5小时，其运行速度一定，即运行时间跟围绕地球运动圈数之间成正比例关系；一天等于24小时；据此即可求出一天内，中国空间站围绕地球能飞行的圈数。
【详解】（1）解：设天舟二号的物资上行能力是x吨。
x∶13.5＝（1－）
x∶13.5＝
x＝6.885
答：天舟二号的物资上行能力是6.885吨。
（2）解：设一天内，中国空间站围绕地球能飞行y圈。
24∶y＝4.5∶3
4.5y＝72
y＝16
答：一天内，中国空间站围绕地球能飞行16圈。
【点睛】本题主要考查比例的实际应用，从众多信息中选取与问题有关的信息解决问题，排除干扰项是解题的关键。
3．（2023·湖北武汉·期末）下面是关于冬奥会的一段材料，请先仔细阅读，再利用你获得的数学信息解决问题。
材料一：冬季奥林匹克运动会，简称冬季奥运会或冬奥会，第一届冬季奥林匹克运动会于1924年在法国的夏慕尼举行，冬奥会每隔4年举行一届，其中1936年第4届和1948年第5届相隔了12年，而1992年的第16届与1994年的第17届只相隔2年。第24届冬奥会于2022年2月4日－20日在北京和张家口举行。
材料二：在2022年冬奥会上，短道速滑混合团体2000米接力决赛中，中国队以2分37秒的成绩夺得混合2000米接力赛的首金，鼓舞士气，振奋民心。
材料三：快如闪电，观赏性强，短道速滑是一项兼具速度与激情的运动。短道速滑比赛场地近似为60×30米的长方形，内有椭圆形赛道，周长为111.12米，其中直道长28.85米，弯道的形状近似于半圆。
（1）第10届冬季奥林匹克运动会于( )年在法国格勒布尔举行。
（2）中国短道速滑队在2000米接力决赛中，一共需要滑( )圈，平均每秒滑行的距离约是( )米。（第一空结果保留整数，第二空结果保留一位小数）
（3）短道速滑赛道两侧的半圆形弯道半径约为多少米？（结果保留一位小数）
（4）短道速滑的比赛区域面积约为多少平方米？（长方形内椭圆形赛道外侧部分）
【答案】（1）1968；（2）18；12.7；（3）8.5米；（4）1082.685平方米
【分析】（1）第一届冬季奥林匹克运动会于1924年在法国的夏慕尼举行，冬奥会每隔4年举行一届，其中1936年第4届和1948年第5届相隔了12年，由此推算出第十届冬季奥林匹克运动会于1968年在法国格勒布尔举行。
（2）短道速滑的周长为111.12米，根据“包含”除法的意义，用除法求出中国短道速滑队在2000米接力决赛中，一共需要滑多少圈，再根据速度＝路程÷时间，用除法求出平均每秒滑行的距离约是多少米。
（3）用短道速滑的周长减去两条直道的长，然后根据圆的周长公式：C＝2πr，那么r＝C÷2÷π，把数据代入公式解答。
（4）根据长方形的面积公式：S＝ab，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。
【详解】（1）第十届冬季奥林匹克运动会于1968年在法国格勒布尔举行。
（2）2000÷111.12≈18（圈）
2分37秒＝157秒
2000÷157≈12.7（米/秒）
一共需要滑18圈，平均每秒滑行的距离约是12.7米。
（3）111.12－28.85×2
＝111.12－57.7
＝53.42（米）
53.42÷3.14÷2≈8.5（米）
答：短道速滑赛道两侧的半圆形弯道半径约为8.5米。
（4）60×30－[28.85×8.5×2＋3.14×8.52]
＝1800－[490.45＋3.14×72.25]
＝1800－[490.45＋226.865]
＝1800－717.315
＝1082.685（平方米）
答：短道速滑的比赛区域面积约为1082.685平方米。
【点睛】此题主要考查圆的周长公式、圆的面积公式、长方形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
4．（2022·山西运城·期末）阅读材料，解决下面各题。
材料一：
恩格尔系数
19世纪德国统计学家恩格尔阐明了一个规律：随着家庭收入增加，收入中用于食品方面的支出百分比将逐渐减小，反映这一规律的比值被称为恩格尔系数。
恩格尔系数（%）＝×100%
国际上常用愿格尔系数来衡量一个国家或地区人民生活水平的情况。一个国家平均家庭恩格尔系数大于60%为贫穷；50%－60%为温饱；40%－50%为小康；30%－40%为相对富裕；20%－30%为富裕；20%以下为极其富裕。
材料二：2021年，在习近平总书记的正确领导下，经过全党全国各族人民的接力奋斗，我们终于实现了第一个百年奋斗目标一打赢脱贫攻坚战，全面建成小康社会，人民过上了幸福的生活。下面是解放路小学综合实践活动中，六年级学生调查的安康小区居民2021年平均每月的生活支出情况。
运城市安康小区居民平均每月生活支出情况统计图
(1)关于恩格尔系数，下列说法错误的是( )。
A．恩格尔系数指的是食品支出占总支出中的百分比
B．恩格尔系数越大，说明人们的生活水平越高
C．恩格尔系数随着经济和收入的变化而变化
(2)从( )统计图可以看出安康小区居民平均每月各项支出的具体数量；从( )统计图可以看出安康小区居民平均每月各项支出占总支出的百分比。
(3)请补全条形统计图（画图并标注相应数据）。
(4)结合上面的内容，请你判断安康小区居民的平均生活处于什么水平？写出你的思考过程。
【答案】(1)C
(2) 条形 扇形
(3)见详解
(4)该小区居民的恩格尔系数是35%，所以安康小区居民的平均生活处于小康水平。
【分析】（1）根据恩格尔系数的意义，恩格尔系数（%）＝×100%。据此解答。
（2）从条形统计图可以看出安康小区居民平均每月各项支出的具体数量；从扇形统计图可以看出安康小区居民平均每月各项支出占总支出的百分比。
（3）把总支出额看作单位“1”，其中文化教育支出是1500元，占总支出的25%，根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法求出总支出；根据求一个数是另一个数的百分之几，用除法求出其他支出占总支出的百分之几，根据减法的意义，用减法求出食品支出占总支出的百分之几。根据求一个数的百分之几是多少，用乘法分别求出食品支出、服装支出各是多少元，据此完成统计图。
（4）求出该小区的恩格尔系数，进而作出判断。
【详解】（1）关于恩格尔系数，下列说法错误的是：恩格尔系数随着经济和收入的变化而变化。
（2）从条形统计图可以看出安康小区居民平均每月各项支出的具体数量；从扇形统计图可以看出安康小区居民平均每月各项支出占总支出的百分比。
（3）1500÷25%
＝1500÷0.25
＝6000（元）
600÷6000＝10%
1－25%－10%－30%＝35%
6000×35%＝2100（元）
6000×30%＝1800（元）
作图如下：
（4）该小区居民的恩格尔系数是35%，所以安康小区居民的平均生活处于小康水平。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握扇形统计图、条形统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。
5．（2022·山西运城·小升初真题）筑车校园安全线。
材料一：生命重于泰山，防控就是责任。科学做好消毒清杀工作能有效防止病毒传播。84消毒液为无色或淡黄色液体，具有刺激性气味适用于物体表面环境等消毒对象不同，使用方法不同，相应的稀释比例也不一样，下图是某种品牌的84消毒液的使用说明。
材料二：随着我国经济的发展，网络已成为购物的重要渠道一种84消毒液原价4.5元，“618”期间，多个购平台同时推出了优惠活动。科音直播买9瓶送1瓶：苏宁易购：打八折；京东商城：每满500元送100元。
阅读上面内容，解决下面问题。
（1）关于84消毒液，淘气读取的四条信息中，正确的有( )。（填序号）
①用84消毒液对蔬菜消毒时，需要用清水冲洗后才可以食用
②对地面消毒时，原液占水的1%。
③瓜果蔬菜消毒时，1份的原液需要配比199份的水
④84消毒液，可以置放在阳光充足处。
（2）一种消毒喷雾器容积为25升，如果学校对所有的教室地面完成一遍消杀共需要配制10桶这样的消毒液，消杀员需要准备这种84消毒原液多少升？
（3）如果学校需要采购200瓶84消毒液，以备足物资做好应急保障，哪个网购平台最优惠？（请写出你的思考）
（4）关于科学预防疫情，你有哪些好的做法？写一写。
【答案】（1）①③
（2）2.5升
（3）苏宁易购最优惠
（4）尽量减少外出活动，避免去疫情流行的地区，外出佩戴口罩，勤洗手，常通风
【分析】（1）结合84消毒液的使用说明中的“稀释比例”及“注意事项” 判断。
（2）先用25升乘10，求出10桶消毒液的总升数；从84消毒液的使用说明中可知，消毒对象是地面时，稀释比例为1∶99，即消毒原液占消毒液的，根据分数乘法的意义，用消毒液的总升数乘，即可求出84消毒原液的升数。
（3）根据三个平台的优惠方式，分别计算出采购200瓶84消毒液需要的钱数，比较即可。
（4）结合实际说说自己的看法，合理即可。
【详解】（1）①从使用说明的“注意事项”的第3点可知，用84消毒液对蔬菜消毒时，需要用清水冲洗后才可以食用；原题说法正确。
②1÷99×100%
≈0.0101×100%
＝1.01%
对地面消毒时，原液约占水的1.01%，原题说法错误。
③从使用说明中可知，瓜果蔬菜消毒时，1份的原液需要配比199份的水；原题说法正确；
④从使用说明的“注意事项”的第5点可知，84消毒液，需避光、避热阴凉处保存；原题说法错误。
综上所述，关于84消毒液，淘气读取的四条信息中，正确的有①③。
（2）25×10×
＝250×
＝2.5（升）
答：消杀员需要准备这种84消毒原液2.5升。
（3）科音直播：
200÷（9＋1）
＝200÷10
＝20（组）
需购买的数量：200×9＝180（瓶）
需付款：4.5×180＝810（元）
苏宁易购：
200×4.5×80%
＝900×0.8
＝720（元）
京东商城：
200×4.5＝900（元）
900÷500＝1（个）……400（元）
需付款：900－100＝800（元）
720＜800＜810
答：苏宁易购最优惠。
（4）尽量减少外出活动，避免去疫情流行的地区，外出佩戴口罩，勤洗手，常通风。（答案不唯一）
【点睛】本题考查比的应用、折扣问题以及最优价格问题。读懂表中的信息，根据表中提供的信息解决实际问题。
6．（2022·山西大同·小升初真题）阅读以下材料回答问题。
我国海拔最低的气象站位于新疆北部吐鲁番盆地的东坎气象站，比海平面还要低48.7米。而在2022年5月4日凌晨3点，13名科考队员从珠峰海拔8300米的突击营地开始冲顶，于当日中午12时46分许，一套重达50公斤的自动气象观测站，在珠穆朗玛峰北坡海拔8830米处架设成功，实时数据传回正常，成为我国海拔最高的自动气象站。中国珠峰科考首次突破8000米以上海拔高度并成功登顶，这是青藏高原科学考察研究具有新的里程碑意义的大事件。从海拔5200米的大本营，到海拔8848.86米的绝顶，5支科考分队的16个科考小组，共270多名科考队员，创造了中国科学考察研究新的历史！
（1）先画出珠峰架设的自动气象站、海平面、东坎气象站位置的示意图，再计算东坎气象站和珠峰架设的自动气象站相差多少米？
（2）找出相关数据算算突击营地比大本营的海拔高百分之几？
（3）阅读完这段材料，你有什么感想？
【答案】（1）示意图见详解，8878.7米
（2）60%
（3）见详解
【分析】（1）由题意可知，东坎气象站比海平面还要低48.7米，自动气象站在海拔8830米处据此画出示意图；然后用东坎气象站到海平面的距离加上自动气象站到海平面的距离即可；
（2）先求出突击营地比大本营的海拔高多少，再除以大本营的海拔高度即可；
（3）根据阅读材料体会到我国科考队员不畏艰险，勇往直前，为祖国的气象事业贡献自己的力量。
【详解】（1）如图所示：
8830＋48.7＝8878.7（米）
答：东坎气象站和珠峰架设的自动气象站相差8878.7米。
（2）（8300－5200）÷5200
＝3100÷5200
≈60%
答：突击营地比大本营的海拔高60%。
（3）我国科考队员不畏艰险，勇往直前，为祖国的气象事业贡献自己的力量，我们要像他们学习。
【点睛】本题考查求一个数比另一个数多百分之几，明确单位“1”是解题的关键。
7．（2022·河南南阳·小升初真题）阅读下面的材料，回答问题。
一江碧水，两岸青山。湖北宜昌在保护长江工作中不断努力。2019年全省长江大保护十大标志性战役评估考核中，宜昌位居综合考评第一名。2019年宜昌修复长江岸线12.5公里，完成长江两岸造林绿化6140亩。自2018年以来累计修复长江岸线88公里，全域复绿5.1万亩，为母亲河重新系上绿腰带。2020年1至9月，湖北宜昌空气质量优良天数占总天数的88.3%，较去年同期上升21.3%，空气质量改善幅度位居全国第一。
2020年11月18日，长江湖北宜昌中华鲟自然保护区综合生态补偿项目增殖放流活动在宜昌市猇亭区举行，共向长江投放各鱼类20万余尾，其中中华鲟、长江鲟共计2500尾，胭脂鱼42500尾，四大家鱼18500公斤。保护鱼类，共护长江类，让长江母亲河永葆生机活力。
（1）2019年修复长江岸线长度占自2018年以来累计修复长江岸线长度的百分之几？（百分号前保留一位小数）
（2）2020年1至9月，湖北宜昌空气质量优良天数大约是多少天？（保留整数）
（3）本次放流活动投放的中华鲟和长江鲟的尾数比胭脂鱼少几分之几？
【答案】（1）14.2%
（2）约有242天
（3）
【分析】（1）2019年修复长江岸线长度是12.5公里，2018年以来累计修复长江岸线88公里，用12.5÷88得到的结果即是2019年修复长江岸线长度占自2018年以来累计修复长江岸线长度的百分率。
（2）先判断2020年是平年还是闰年，2020能被4整除，是闰年，所以2020年2月份有29天，然后求得2020年1至9月的天数和，再乘88.3%，就是宜昌空气质量优良天数。
（3）以胭脂鱼为单位“1”，求得中华鲟和长江鲟比胭脂鱼少的尾数，再除以胭脂鱼的尾数即可解答。
【详解】（1）
答：2019年修复长江岸线长度占自2018年以来累计修复长江岸线长度的14.2%。
（2）

（天）
答：2020年1至9月，湖北宜昌空气质量优良天数大约是242天。
（3）
＝
＝
答：本次放流活动投放的中华鲟和长江鲟的尾数比胭脂鱼少。
【点睛】本题是综合型题目，考查了一个数是另一个数的百分之几的计算、一个数的百分之几是多少，及一个量是另一个量的几分之几。能根据题目要求进行相应的列式计算是解答本题的关键。
8．（2021·云南曲靖·小升初真题）阅读材料回答问题。
《生物多样性公约》第十五次缔约方大会特于10月11日至24日在昆明召开。“生物的多样性是生物及其环境形成的生态复合体以及与此相关的各种生态过程的综合，包含动物、植物、微生物和它们所拥有的基因以及它们与其生存环境形成的复杂的生态系统”，本次大会的主题是；生态文明—共建地球生命共同体。
云南省是我国生物多样性最丰富和最独特的地区，拥有全国95%以上的生态系统类型调有全国50%以上的动植物种类；被誉为“生物基因宝库“。云南省面积39万平方千米，其中大约94%是山地，广阔的山地，为生物的栖息提供了天然的条件。截止2020年，我省有国家重点保护野生动物164种，占全国重点保护野生动物的64%。
近年来，随着野生动植物保护力度的增加，许多濒危物种的种群数量逐渐增加，以黑颈鹤为例，2018年11月到云南大山包越冬的黑颈鹤有1623只，2020年观测到1717只，种群数量稳步上升。
前不久，云南一条关于“亚洲象北迁“的新闻在各大头条刷屏啦！15头亚洲象离开原来的栖息地，向北进入普洱，玉溪，离昆明近在咫尺，网友打趣道：亚洲象正前往昆明参加“生物多样性公约大会”呢！
（1）截止2020年，全国重点保护野生动物大约有( )种。（得数保留整数）
（2）云南山地面积大约是( )万平方千米。
（3）2020年观测到黑颈鹤的数量比2018年大约多( )%。
（4）昆明某小学六（1）班的同学们在学校内对昆明“生物多样性公约”会议的知晓情况进行了调查，情况如图。根据图，“非常了解”的同学占全部调查人数的( )%。
（5）已知“知道一些”的同学有10人，参加调查的人数是( )人。
（6）为了保护生物的多样性，我们可以做些什么？
【答案】（1）256；（2）36.66；（3）5.79；（4）70；（5）50；
（6）为了保护生物的多样性，我们可以在日常生活中尽量减少白色垃圾的产生，使用环保袋，减少使用塑料物品；拒绝野生动物产品。
【分析】（1）根据题干中“云南省有国家重点保护野生动物164种，占全国重点保护野生动物的64%”可知：把全国重点保护野生动物的种类看作单位“1”，单位“1”不知道，用对应量÷对应百分率＝单位“1”的量，据此即可求解；
（2）根据题干中“云南省面积39万平方千米，其中大约94%是山地”可知：把云南省面积看作单位“1”，单位“1”×对应百分率＝对应量，即可求出云南省山地面积；
（3）根据题干中“2018年11月到云南大山包越冬的黑颈鹤有1623只，2020年观测到1717只”可知，2020年观测到黑颈鹤的数量比2018年多（1717－1623）只，再除以2018年观测到黑颈鹤的数量，即可求出2020年观测到黑颈鹤的数量比2018年大约多百分之几；
（4）根据单位“1”－知道一些的同学占全部调查人数的百分比－听说过的同学占全部调查人数的百分比－不知道的同学占全部调查人数的百分比，即可求出“非常了解”的同学占全部调查人数的百分比；
（5）根据对应量÷对应百分率＝单位“1”的量，用知道一些的同学人数除以它所对应的占全部调查人数的百分比，即可求出参加调查的人数是多少人；
（6）答案不唯一，符合实际即可。
【详解】（1）164÷64%≈256（种）
（2）39×94%＝36.66（万平方千米）
（3）（1717－1623）÷1623×100%
＝94÷1623×100%
≈5.79%
（4）1－20%－6%－4%
＝80%－10%
＝70%
（5）10÷20%＝50（人）
（6）为了保护生物的多样性，我们可以在日常生活中尽量减少白色垃圾的产生，使用环保袋，减少使用塑料物品；拒绝野生动物产品。（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查学生根据所给材料获取信息，解决问题的能力。
【学科核心素养09】创新意识与实验探究能力
1．（2021·浙江温州·小升初真题）数学里有很多奥秘，需要我们探索、发现与应用。下面的问题，让我们都来研究吧。
问题1：两个相邻自然数相乘，积的末位数学有什么特征？
（1）探究：请你在下框中举一些例子进行观察、比较。要从简单开始，有序思考寻找规律。
（2）发现：两个相邻自然数相乘，积的末位数字的特征是( )。
（3）应用：①下面四个选项中，只有选项( )是两个相邻自然数的乘积。
A．62 B．123 C．756 D．1416
②它是两个相邻自然数( )和( )的乘积。
问题2：两个相邻自然数相加或相乘，它们的和与积有什么联系？
（4）再探究：请你在下表中进行观察、比较，寻找联系。
①再观察：下图大正方形是由四个相同的小长方形拼接而成，你能找到n与的“和”、“积”吗？（在图上标出来）
②我发现，n与的“和”、“积”的关系是：______。（可用含有字母的式子表示出来）
【反思】
当你解决此题时，是不是觉得很神奇呢？原来复杂的问题也可以通过画图、转换等探索，而变得简单有趣。只要真正热爱数学，你就能感受到学习的无穷魅力。
【答案】（1）见详解；
（2）积的末位的数字是0或2或6；
（3）①C；
②27；28；
（4）①见详解；
②
【分析】（1）找一些相邻的两个自然数，然后相乘，计算出乘法算式的结果即可；
（2）根据（1）里面计算出的结果，观察积的末位数字，即可发现，相邻的两个自然数相乘的结果，积的末位的数字是0或2或6。
（3）①根据积的末位数字是0、2、6的特征，分别检验4个选项里的数字，找出符合要求的答案即可。
②通过计算，把这个数拆解成相邻两个自然数的乘积，即可写出这两个相邻的自然数是多少。
（4）①大正方形的边长＝n＋（n＋1）＝2n＋1，所以n与n＋1的和是大正方形的边长。
小长方形的面积＝长×宽，长是n＋1，宽是n，可得（n＋1）×n＝n2＋n，所以n与n＋1的积是小长方形的面积。在图上标注即可。
②通过计算可以发现，，所以n与n＋1的和的平方等于n与n＋1的积的4倍加1。据此解答。
【详解】（1）例如：1×2＝2
2×3＝6
3×4＝12
5×6＝30
（2）通过举例，我发现两个相邻自然数相乘，积的末位数字是0或2或6。
（3）①A．7×8＝56，8×9＝72，56＜62＜72，显然62不是两个相邻自然数的乘积；
B．10×11＝110，11×12＝132，110＜123＜132，显然123不是两个相邻自然数的乘积；
C．27×28＝756，显然756是两个相邻自然数的乘积；
D．37×38＝1406，38×39＝1482，1406＜1416＜1482，显然1416不是两个相邻自然数的乘积；
故答案为：C
②27×28＝756，所以它是两个相邻自然数27和28的乘积。
（4）①根据分析得，n与n＋1的和是大正方形的边长；
n与n＋1的积是小长方形的面积。
②我发现，n与的“和”、“积”的关系是：。
【点睛】此题综合性较强，难度大，里面涉及到乘积的规律以及数与形的变换，找和与积之间的关系，解法有些超纲，运用了（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2完全平方公式。
2．（2021·北京海淀·小升初真题）探究与发现。
（1）以等边三角形的中心点为圆心画圆，根据所画的圆与等边三角形各边交点的个数情况，可以画出不同的圆，请你试着画一画并填空。
（2）连接交点与中心点，最多有( )条相等的线段。
（3）如果分别以正方形、正五边形、正六边形的中心点为圆心画圆，连接交点与中心点，最多有多少条相等的线段？试着画一画并填表。
通过以上研究，我发现：（ ）。
【答案】（1）
（2）6；
（3）
8；10；12；14；16；无数；以图形中心点为圆心画圆，连接交点与中心点，最多相等线段的条数是图形边的条数的2倍
【分析】（1）通过试画，找出所画的圆与三角形交点数的三种情况；
（2）连接交点与中心点，即可得出最多有多少条线段相等；
（3）分别以正方形、正五边形、正六边形的中心点为圆心画圆，最多每条边与圆有两个交点，连接交点与中心点，每条边最多有两条相等的线段；据此进一步填表；每条边最多与圆有两个交点，连接交点与中心点，每条边最多可以连接两条相等的线段，最多相等线段的条数等于图形边的条数的2倍。
【详解】（1）作图如下：
（2）如下图，连接交点与中心点，最多有6条相等的线段；
（3）如下图：
通过以上研究，我发现：以图形中心点为圆心画圆，连接交点与中心点，最多相等线段的条数是图形边的条数的2倍。
【点睛】根据题意作图，确定图形变化规律，总结规律；培养学生的作图能力和抽象能力。
3．（2020·全国·小升初模拟）问题：学校运动场如图①，两端是半圆形，中间是正方形运动场，周长是257米。这个运动场的周长是多少米？
（1）分析与解答：某小组采取合作学习的方式探究此问题，以下是该小组三位同学的对话：
甲：“把运动场进行平移变换（如图②），则圆的周长＋正方形边长×2＝运动场周长。”
乙：“圆的周长可以看作是正方形边长的3.14倍。”
丙：“我们可以用方程的思想来解决问题！”
亲爱的同学，请你帮助他们完成解答。
（2）拓展延伸：学校计划在此运动场内部修建一条宽是5米的塑胶跑道（图③中阴影部分），每平方米塑胶跑道的造价是80元，一共需要多少元？
【答案】（1）330.245米
（2）125818元
【分析】（1）通过正方形周长先求出正方形边长，即圆的直径，用圆的周长＋正方形边长×2即可；
（2）用圆环面积＋两个长方形面积，求出塑胶跑道面积，再乘每平方米造价即可。
【详解】（1）①257÷4＝64.25（米）
3.14×64.25＋64.25×2
＝201.745＋128.5
＝330.245（米）
②257÷4×3.14＋257÷4×2
＝201.745＋128.5
＝330.245（米）
③设正方形的边长为x米，
4x＝257
x＝257÷4
x＝64.25
64.25×3.14＋64.25×2
＝201.745＋128.5
＝330.245（米）
答：这个运动场的周长是330.245米。
（2）64.25÷2＝32.125（米）
32.125﹣5＝27.125（米）
3.14×（32.1252﹣27.1252）＋64.25×5×2
＝3.14×（1032.015625﹣735.765625）＋642.5
＝3.14×296.25＋642.5
＝930.225＋642.5
＝1572.725（平方米）
1572.725×80＝125818（元）
答：一共需要125818元。
【点睛】本题考查了组合图形的周长和面积，圆环面积＝π（R²－r²）。
4．（2022·安徽合肥·小升初真题）观察下列等式与图形（其中正方形的边长均为1）的关系。
第1个等式：↔
第2个等式：↔
第3个等式：↔
根据以上规律，解答下列问题：
（1）写出第4个等式，并在下边给出的四个正方形上涂出与之对应的图示：
（2）写出你猜想的第n个等式是( )。
【答案】（1），图形见详解
（2）
【分析】（1）观察算式和图形可知，把一个长方形看作单位“1”，表示把长方形平均分成2份，取其中的1份；表示有2个长方形，平均分成3份，取其中的2份即可，所以第4个算式应表示有4个长方形，平均分成5份，取其中的4份即可。
（2）通过算式可知，后面分数的分母比前面的整数部分多1，分子等于整数，据此解答即可。
【详解】（1）第4个等式为：
（2）第n个等式是：
【点睛】本题考查算式和图形的规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
5．（2022·山东青岛·小升初真题）六年级一班外出实践活动，刘老师买了一批底而直径5cm，高10cm的圆柱体饮料，想制作一批盒子用于存放饮料便于搬运，若每12个饮料装入一个盒中，制作一个纸盒要用多少平方厘米的纸板？（纸板厚度和接头忽路不计）解决这个问题。可以按照下面的步骤米完成。
（1）猜想形状。
小明猜是这样进行包装：
小丽猜是这样进行包装：
小强猜是这样进行包装：
从上面的猜想中，选定一种进行包装，你选择( )的猜想，根据你选择的包装，纸盒的数据是（长：宽：高：）
（2）根据所选择的包装，做这样的一个盒子要用( )平方厘米的纸板。
（3）说一说你选择这种包装的原因是什么？
【答案】（1）小明；20厘米；15厘米；10厘米
（2）1300
（3）最节省包装纸
（答案不唯一）
【分析】（1）根据长方体的表面积的意义，可知长方体的长、宽、高越接近，表面积就越小，所以选择小明的猜想，一排放4罐，放3排，这个包装盒的长是5×4＝20厘米，宽是5×3＝15厘米，高是10厘米；
（2）长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此解答即可；
（3）选择这种包装的原因是最节省包装纸。据此解答即可。
【详解】（1）选择小明的猜想；
长：5×4＝20（厘米）
宽：5×3＝15（厘米）
高：10厘米
（2）（20×15＋20×10＋15×10）×2
＝650×2
＝1300（平方厘米）
（3）选择这种包装的原因是最节省包装纸。
（答案不唯一，也可以选择其他包装形式）
【点睛】熟练掌握长方体的表面积的公式、应用是解答本题的关键。
6．（2022·浙江温州·小升初真题）同学们，你做过“鸡蛋浮起来”的实验吗？这个科学实验中也有许多数学问题。
实验名称：鸡蛋、鸭蛋浮起来
准备材料：一个圆柱形玻璃杯，半径5厘米，1个鸡蛋（小）、1个鸭蛋（大）、一些水和盐。
实验过程：（1）往杯子里加水，加盐搅拌，测量盐水的高度是8.4厘米；
（2）放入1个鸡蛋，这时水面上升到9厘米；
（3）放入1个鸭蛋，再测量水面高度。
观察记录：鸡蛋和鸭蛋都悬浮在水中，如图1所示。水面高度变化和三种物体体积情况如图2、3所示。
请根据实验所得数据，解答问题。
（1）鸡蛋的体积是多少立方厘米？
（2）放入鸭蛋以后水面上升了多少厘米？
【答案】（1）47.1立方厘米；（2）1厘米
【分析】（1）根据物体的体积＝上升部分水的体积，所以原来盐水的高度是8.4厘米，放入鸡蛋后总高度是9厘米，由此可得上升部分水的高度是（9－8.4）厘米，已知玻璃杯的底面半径是5厘米，根据圆柱的体积公式：S＝πr2h，由此可得鸡蛋的体积。
（2）由（1）可知鸡蛋的体积，且由图3可知鸡蛋占总体积的6%，所以把总体积当作单位“1”，单位“1”未知用除法计算出总体积，又已知盐水占总体积的84%，则鸭蛋占总体积的（1－6%－84%），由此可得鸭蛋的体积＝总体积×（1－6%－84%），根据物体的体积＝上升部分水的体积，放入鸭蛋后水面上升的高度＝鸭蛋的体积÷圆柱的底面积。据此解答。
【详解】（1）3.14×5×5×（9－8.4）
＝78.5×0.6
＝47.1（立方厘米）
答：鸡蛋的体积是47.1立方厘米。
（2）47.1÷6%＝785（立方厘米）
785×（1－6%－84%）
＝785×10%
＝78.5（立方厘米）
78.5÷（3.14×5×5）
＝78.5÷78.5
＝1（厘米）
答：放入鸭蛋以后水面上升了1厘米。
【点睛】本题主要考查了圆柱体积的灵活应用、百分数的应用以及扇形统计图的意义。
7．（2022·山西晋中·小升初真题）聪聪把一张长方形的硬纸贴在木棒上（如图1），快速转动木棒，转出的形状是( )。
明明用一张长6厘米、宽2厘米的硬纸做了这个实验，他尝试了图2中的4种情况（木棒分别贴在纸的某一条边或某一条边的中间位置）：下面哪种情况转出的立体图形体积最大？为什么？（请说明理由）
【答案】圆柱；①的体积最大，理由见详解
【分析】沿长方形或正方形的一边为轴旋转一周得到的图形是圆柱体，根据圆柱的体积公式，代入数据计算比较即可。
【详解】聪聪把一张长方形的硬纸贴在木棒上（如图1），快速转动木棒，转出的形状是圆柱。
①6×6×2＝72（立方厘米）
②3×3×2＝18（立方厘米）
③2×2×6＝24（立方厘米）
④1×1×6＝6（立方厘米）
72＞24＞18＞6
由此可知①的体积最大。
【点睛】关键是熟悉圆柱特征，掌握圆柱体积公式。

【小升初数学考前技巧01】十大解题方法大揭秘。
编者的话：
小升初数学考试是检验整个小学阶段的数学测试，不仅要掌握基础知识、公式、定理，学会基础运算，并学会运用解决实际问题，也是对孩子们数学思想和数学解题技巧的大考验，所以编者总结了小学数学十大常用解题方法，下面一一进行解密。
一、对照法。
如何正确地理解和运用数学概念?小学数学常用的方法就是对照法。根据数学题意，对照概念、性质、定律、法则、公式、名词、术语的含义和实质，依靠对数学知识的理解、记忆、辨识、再现、迁移来解题的方法叫做对照法。
例1:三个连续自然数的和是18，则这三个自然数从小到大分别是多少?
对照自然数的概念和连续自然数的性质可以知道:三个连续自然数和的平均数就是这三个连续自然数的中间那个数。
二、公式法。
运用定律、公式、规则、法则来解决问题的方法。它体现的是由一般到特殊的演绎思维。公式法简便、有效，也是小学生学习数学必须学会和掌握的一种方法。但一定要让学生对公式、定律、规则、法则有一个正确而深刻的理解，并能准确运用。
例2:计算59×37+12×59+59
59×37+12×59+59
=59×(37+12+1)……运用乘法分配律
=59×50……运用加法计算法则
=(60-1)×50……运用数的组成规则
=60×50-1×50……运用乘法分配律
=3000-50……运用乘法计算法则
=2950……用减法计算法
三、比较法。
通过对比数学条件及问题的异同点，研究产生异同点的原因，从而发现解决问题的方法，叫比较法
例3: 填空:0.75的最高位是( )，这个数小数部分的最高位是(),十分位的数4与十位上的数4相比，它们的( )相同，( )不同，前者比后者小了( )。
这道题的意图就是要对”一个数的最高位和小数部分的最高位的区别”，还有“数位和数值”的区别等。
四、分类法。
根据事物的共同点和差异点将事物区分为不同种类的方法，叫做分类法。分类是以比较为基础的。依据事物之间的共同点将它们合为较大的类，又依据差异点将较大的类再分为较小的类。 分类即要注意大类与小类之间的不同层次，又要做到大类之中的各小类不重复、不遗漏、不交叉。
例4：10和1000之间有多少个数是3的倍数？
思路：10~1000之间的3的倍数太多了，我们需要运用分类法分成两类来讨论。
①大于10的两位数：（99-10+1)÷3=30个；
②小于1000的三位数：（999-100+1)÷3=300个；
因此，一共有300+30=330个。
五、分析法。
把整体分解为部分，把复杂的事物分解为各个部分或要素，并对这些部分或要素进行研究、推导的一种思维方法叫做分析法。
例5: 玩具厂计划每天生产200件玩具，已经生产了6天，共生产1260件。问平均每天超过计划多少件?
思路:要求平均每天超过计划多少件，必须知道:计划每天生产多少件和实际每天生产多少件。计划每天生产多少件已知，实际每天生产多少件，题中没有告诉，还得求出来。要求实际每天生产多少件玩具，必须知道:实际生产多少天，和实际生产多少件，这两个条件题中都已知。
六、综合法。
把对象的各个部分或各个方面或各个要素联结起来，并组合成一个有机的整体来研究、推导和一种思维方法叫做综合法。
例6:两个质数，它们的差是小于30的合数，它们的和即是11的倍数又是小于50的偶数。写出适合上面条件的各组数。
思路:11的倍数同时小于50的偶数有22和44。
两个数都是质数，而和是偶数显然这两个质数中没有2
和是22的两个质数有:3和19，5和17。它们的差都是小于30的合数吗?
和是44的两个质数有:3和41，7和37，13和31。它们的差是小于30的合数吗?
这就是综合法的思路。
七、方程法。
用字母表示未知数，并根据等量关系列出含有字母的表达式(等式)。列方程是一个抽象概括的过程，解方程是一个演绎推导的过程。方程法最大的特点是把未知 数等同于已知数看待，参与列式、运算，克服了算术法必须避开求知数来列式的不足。有利于由已知向未知的转化，从而提高了解题的效率和正确率。
例7:一个数扩大3倍后再增加100然后缩小2倍后再减去36，得50。求这个数
这道题就需要用方程法进行解答，具体方法，会在公开课里进行详细解答
八、参数法。
用只参与列式、运算而不需要解出的字母或数表示有关数量，并根据题意列出算式的一种方法叫做参数法。参数又叫辅助未知数，也称中间变量。参数法是方程法延伸、拓展的产物。
例8 : 汽车爬山，上山时平均每小时行15千米，下山时平均每小时行驶10千米，问汽车的平均速度是每小时多少千米?
上下山的平均速度不能用上下山的速度和除以2。而应该用上下山的路程。
九、排除法。
排除法的逻辑原理是：任何事物都有其对立面，在有正确与错误的多种结果中，一切错误的结果都排除了，剩余的只能是正确的结果。这种方法也叫淘汰法、筛选法或反证法。这是一种不可缺少的形式思维方法。
例9: 为什么说除2外，所有质数都是奇数?
这就要用反证法:比2大的所有自然数不是质数就是合数。假设:比2大的质数有偶数，那么，这个偶数一定能被2整除，也就是说它一定有约数2。一个数的约 数除了1和它本身外，还有别的约数(约数2)，这个数一定是合数而不是质数。这和原来假定是质数对立(矛盾)。所以，原来假设错误。
十、特例法。
对于涉及一般性结论的题目，通过取特殊值或画特殊图或定特殊位置等特例来解题的方法叫做特例法。特例法的逻辑原理是：事物的一般性存在于特殊性之中。
例10:大圆半径是小圆半径的2倍，大圆周长是小圆周长的( )倍，大圆面积是小圆面积的( )倍。
可以取小圆半径为1，那么大圆半径就是2。计算一下，就能得出正确结果。
【小升初数学考前技巧02】答题技巧、应试心理大揭秘
(一)审题阶段：
审题的正确是正确解题的开始和基础，对题目的阅读，除了有较好的语文基础外，必须结合数学的特点，最后达到看懂、看清题目内容的目的。审题过程注意以下几点：
1. 最简单的题目可以看一遍，一般的题目至少要看两遍。
如果通过对文字及插图的阅读觉得此题是熟悉的，肯定了此题会做，这时一定要重新读一遍再去解答，千万不要凭着经验和旧的思维定势，在没有完全看清题目的情况下仓促解答。因为同样的内容或同样的插图，并不意味着有相同的设问，问题的性质是可以翻新的。
2.对“生题难题”的审查要耐心地读几遍。
所谓的生题就是平时没有见过的题目或擦身而过没有深入研究的题目，它可能是用所学的知识来解决 与生活及生产实际中相关连的问题。遇到这种生疏的题，从心理上先不要觉得很难，由于生题第一次出现，它包括的内容及能力要求可能难度并不大，只要通过几遍 阅读看清题意，再联系学过的知识，大部分题目是不难解决的。
3.审题过程中要边阅读边分辨出已知量和待求量。
已知的条件及待求的内容以题目的叙述为准。尤其不要以某些插图为准，有时图中给出的符号不一定是已知量，另外，凡是能画草图的题，应该边审题边作图，这样可以建立起直观的图景，帮助记忆和分析问题。
(二)作答阶段：
试题的题型有单选题、填空题、、解答题，解答题一般包括计算题、证明题、作图题、阅读理解题、及综合题等。每一种题型都有各自的测试功能，应答时也应有各自的注意点。
1.单项选择题的应答：试题的特点是概念性强、针对性强，具有一定的迷惑性。
主要考查学生的判断能力和比较能力。应答的主要方式有两种：
（1）直接判断法：利用概念、规律和事实直接看准某一选项是完全肯定的，其它选项是不正确的，这时将唯一的正确选项答出;
（2）排除法：如果不能完全肯定某一选项正确，也可以肯定哪些选项一定不正确，先把它们排除掉，在余下的选项中做认真的分析与比较，最后确实一个选项。单项选项题一定不要缺答。
2.填空题的应答：由于填空题不要求书写思考过程或计算过程，需要有较高的判断能力和准确的计 算能力。对概念性的问题回答要确切、简练;对计算性的问题回答要准确，包括数字的位数、单位、正负号等，对比例性的计算千万不要前后颠倒，对一题有几个答 案的各种情况要特别考虑全面，每一题只有满分和零分两个评分档。
3.计算题的应答：计算题综合性强，一道难度较大的题反映的是一个较复杂或较深奥的运算过程， 必须通过分析与综合，推理与运算才能完整地解出答案。对有数字运算的题目一般应采取从已知条件开始，每用一次公式就代入一次数字，一步一步地解下去。在解 题过程中，能画图的一定要作图辅佐解题;数字与单位要统一。
4.难题应答：避免留下空白题。切不可因为一时想不出解答方法而放弃了难 题，应会做哪一问就写上哪一问，尽量不留空白卷。遇到一至几道未见过的，不会做的难题，这是正常现象;反之，如果一门课的题目，大家都会做，甚至都觉得很 容易，这份考题就出糟了，它无法实现合理的区分度，就不能正常地进行选拔考试了。因此，考题中，若没有一些大家末曾见过的”难题”，反而是不正常了。当 然，这样的”难题”，也是在大纲范围以内的题目。所以，往往是乍看很难，冷静地仔细想想，也还是可以做出来的。
总之，考生如果有了碰到难题的思想准备，就 会减少对难题的恐惧心理，从而增强自己解出难题的勇气。要想到”我难他亦难，我易他也易。”要难，大家都难;要易，大家都容易。不管题目的难易程度如何， 考生的机会都是均等的。这样一想，考题再难，也就不足畏惧了。考试中遇到难题，应尽量放到最后去攻克，如果其它题都已做完且检查无误，而又有一定的时间的 话，就应想办法攻克难题关。
(三)书写注意：
考试是在一定的时间内完成一定数量的题目解答，所以应该做到稳中有快，准中有快，且快而不乱。
要提高答题速度，除了上述的审题能力、应答能力外，还要提高书写能力，这个能力不仅是写字快，还要写得规范，写得符合要求。比如：
填空题的内容写在给定的横线上；
改正错误时，要涂去错误重新再写，不要乱涂乱改；
计算题要把解写上，证明题要把证明两字写上，内容从上到下、从左到右 整齐有序，过程清楚;尤其几何题要一个步骤一行，步骤要详细，切不可跳步。
作图题可用铅笔作答因为答题主要以快而准为目的，所以有的考生在答题时不注意书 写的清晰，字迹潦草到看不清楚的地步，乱涂乱改的结果使卷面很不整洁，在教师阅卷时容易造成误解。
总之，小升初应试是同学”身经百战”后的集中检验，应试的成功是心理素质、知识应用、综合能力的成功。
【小升初数学考前技巧03】解答题十大技巧大揭秘。
解答题是小升初的必考题，也是放在整套试卷最后的一个大题，旨在考察学生综合的解决问题的能力和策略，题目种类多，难度偏大，此处专门整理有关解答题的常用解题方法技巧，帮助大家攻克难关。
一、综合法。
综合法一般是指在思维过程中把对象的各部分联系成一个整体，从应用题的已知条件出发，运用已经学过的基本数量关系，选择两个相互关联的已知条件，求出一个新问题，再把求出的新问题与原来题中的已知条件合在一起，再求出另一个新问题，如此继续下去，直到求出所有的问题为止，这种思考方法就是综合法。
这种方法由因导果，利于表达应用题，简单理解为：“执因索果”。
某公司计划怪一条800米长的增项。开始每天修筑38米，14天后，由于族工需要，每天比原计划修筑速康加快，结思剥下的增坝只用了4天就完成了任务，剩下的平均每天比原计划多修筑多少来?
解题思路
（1）根据每天修筑38米和惨筑了14天，可以求出已经修筑了多少米堤坝
（2）根据已经修了多少米堤坝和计划修筑800米堤坝，可以求出还到下多少米没有修光，
（3）根据剩下多少米没有惨筑和则下的4天惨筑壳，可以求出剩下的每天惨筑多少米。(4) 根地后4天每天可以修航多少米和原来每天修筑38米，可以求出平均每天比原来多物筑多少米。
(800-38X14)4-38
-(800-532)+4-38
-268+-4-38
=67-38
=29
苦:剩下的每天比原来多修筑29米。
(4) 根地后4天每天可以修航多少米和原来每天修筑38米，可以求出平均每天比原来多物筑多少米。
(800-38×14)4-38
=(800-532)+4-38
=268+-4-38
=67-38
=29
苦:剩下的每天比原来多修筑29米。
二、分析法。
分析法一般是指在思维过程中把整体分解为几个组成部分，从问题入手，根据数量关系，找出解答这个问题需要的两个条件；然后把其中一个或两个未知条件作为要解决的问题，再找出解答这一个或两个问题所需要的条件。
这样逐步递推，直到所找的条件在应用题中都是已知条件为止。这种方法简称“执果索因”。
某农机厂制造一批拖拉机，原计划每月制造120台，要6个月完成。
结果提前一个月完成，实际每月制造多少台?
解题思路:
条件:“计划每月制造120台，6个月充成。”“结果提前一个月完成”。所求问题:“实际每月制造多少台?分析数量间的关系。要求”实际每月造多少台?
首先要算出“这批拖拉机共多少台“和“实际几个月完成”
总台数一实际完成时间=实际每月造的台数然后，
列式解答:
120×6-(6-1)=144台
三、假设法。
对于一些含有两个或两个以上未知数的应用题，直接使用题目地已知条件，往往很难解决。这时可以先假设要求的两个或几个量相等，或者先假设要求的两个量或同一种量，然后再按题里的已知条件进行推算，推算的结果必然与假设的条件有差异或矛盾，进一步寻找产生差异或矛盾的原因，消除差异或矛盾，最后找到正确答案，这种解题方法叫做假设法。
笼子里有鸡和兔共30只，总共有70条腿，问鸡和免各有多少只?
解题思路:
如果假设全是鸡，则30只鸡的腿数应为 2x30 = 60 (条)，比题目中的条件少了70 60 = 10(条)，因为每只鸡比免少2条腿，所以，少了10条腿就说明有 10-2= 5 (只)免，也可以假设全是免，首先推算出鸡的只数。
四、倒推法。
一道应用题中，如果给出了对未知量经过某些运算而得知的最后结果，在解题时就可以从这最后结果出发，运用四则运算中加与减、乘与除的互逆关系，从后向前推，一步步推算。
最后得到所求的问题，这种思考方法叫做倒推法，也叫做还原法和逆推法。
这种思考问题的方法比较常用，有些应用题按顺向处理比较困难，而且会使计算非常复杂，而采用倒推法往往要容易或简单的多。
一个数减24加上15，再乘8得432，求这个数?
解题思路:
解:我们可以从最后的结果432出发倒着推想最后是乘8得432
如果不乘8，那应该是432-8=54;如果不加上15，应该是54-15=39;如果不减去24，那应该是39+24=63因此，这个数是63。
五、消元法。
在较复杂的应用题中，有的包含着两个或两个以上要求的量，解答时，先想法消去一个要求的量，再求出另一个量，然后求出消去的量。这种方法叫做消元法。
常见的消元法有“加减消元法”“代入消元法”“比较消元法”。
解题办法：利用条件简化法，设法将其中的一个未知量消去，先求出另一个未知量，进而求出消去的未知量。（等量代换、加减消元法、列表法）
消元法解题步骤：
1.分析题意；
2.列关系式；
3.以相加相减形式去掉一个未知数，再去求那个消去的未知数。
3双皮鞋和7双布鞋共值242元，一双皮鞋的钱数与5双布鞋的钱数相同。求每双皮鞋、布鞋各值多少钱?
解题思路:
因为1双皮鞋与5双布鞋的钱数相同所以3双皮鞋的钱数与5×3=15(双)布鞋的钱数一样多这样可以认为242元可以买布鞋:15+7=22(双)
每双布鞋的钱数是:
242=22=11(元)
每双皮鞋的钱数是:
11×5=55(元)
六、对应法。
在解题时寻求并利用已知条件之间及已知条件与未知条件之间的某种对应关系或对应数量的变化情况，去寻找解题途径，这就是对应法。
解决这类问题的关键是要找到对应关系：
有的对应关系没有直接给出，需要进一步的求解；有的时候还需要借助画图帮助理解，这样类型的题目可以培养学生发现数量关系式，从而使问题由复杂变简单的能力。
某学校新收一批住校生，学校启用15间宿舍还有34人没住处，启用21 间宿合后学生不但都住进去了，有一件宿舍还能再住进去2人这批学生共有多少人?
解题思路:
用15间宿舍——还有34人没处住
用21间宿舍——还能再住2人分析:
21-15=6(间)
34+2=36(人)
36-6=6(人)
21×6-2=124(人)
或15x6+34=124(人)晚15x6+34=124 (人》
七、图解法。
图解法是应用线段或其他图形把题目中的已知条件和所求的问题表示出来，使问题具体、形象、易懂，数量关系显示清楚，从而得到解题的线索。
尤其是解分数、百分数应用题时，几乎必须借助线段图才能找准比较量和分率的对应关系，才能正确得解答。
托尔斯泰是俄罗斯伟大作家，享年82岁。他在19世纪中度过的时问比在20世纪中度过的时间多62年。问托尔斯泰生于哪一年? 去世于哪一年? (适于四年级程度)
解题思路:
他在20世纪度过的时间是:(82-62)-2=20-2=10 (年)
由此看出，他死于1910年;
他出生的时间是:
1910-82=1828(年)
八、演示法。
对于那些不容易理解和分析数量关系的应用题， 利用身边现成的 东西，如铅笔、橡皮、小刀、文具盒等，进行演示，使应用题的内容 形象化，数量关系具体化，这种解题的方法叫做演示法。
九、转化法。
解应用题时，如果用一般的方法暂时解答不出来时，就要变换一种方法去思考，或改变思考的角度，把问题转换成一个与他有关的问题去思考，从而达到化难为易的目的，使问题得到解决。这种办法就是转换法。
晶晶三天看完一本书，第一天看了全书的1/4，第二天看民余下的2/5，第二天比第一天多看了15页，这本书共有多少页?
解题思路:
把“第二天看余下的2/5“转化成”第二天看全书的(1-1/4×2/5=3/10，即可所以15=(1-1/4) ×2/5-1/4=300(页)
十、类比法。
类比法就是在求解一个问题的时候，运用已有的知识，经过联想一个其他类似的、熟悉的问题，用熟悉的方法来解答所需解答的问题。从时针指向3点整开始，经过多少分钟，分针正好与时针重合？
此部分是专门邀请小升初命题专家分别针对一般校和重点校的小升初考试进行了押题卷命制（含有A3、A4两版，并附加详细答案解析），这两份试卷在附件中也有单独别册另附，方便大家打印模拟测试使用。
一、试卷部分：
保密★启用前
2024年小学数学小升初专家押题卷
【基础卷】
（考试分数：100分；考试时间：90分钟；难度系数：）
注意事项：
1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在答题卡规定的位置。
2．判断题、选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非判断、选择题必须使用黑色墨迹签字笔或钢笔答题，请将答案正确填写在答题卡规定的位置上。
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效。
4．考试结束后将试卷和答题卡一并交回。
5．测试范围：小学全部。
一、用心思考，认真填空。（共29分）
1．（本题3分）截止2020年10月2日，生活在地球上的人口总数约为7585204179人。横线上的数读作( )；省略“亿”位后面的数约是( )亿人。土地沙漠化，每年给我国造成的经济损失超过42000000000美元。把横线上的数改写成用“亿”作单位的数是( )亿美元。
2．（本题5分）＝0.75＝( )÷20＝( )%＝( )∶24＝( )折。
3．（本题3分）5.2立方米＝( )立方米( )立方分米 4时18分＝( )时
4．（本题2分）60千克比( )多20%；( )比60千克少。
5．（本题2分）0.4千克∶300克的化简比是( )，比值是( )。
6．（本题2分）已知（a和b都是不为0的自然数），a和b成( )（填“正”或“反”）比例，ab－25＝( )。
7．（本题1分）学校体操队有一百多人，排练节目时按每8人站成一行，或者每10人站成一行，人数都不多不少。参加排练的体操队人数最少有( )人。
8．（本题2分）下图表示甲乙丙三个工人单独完成同一项工程各自所需的天数，看图填空。

(1)工作效率最高的工人是( )。
(2)甲、乙二人合作，( )天能完成这项工程的。
9．（本题2分）52名同学去划船，小船限乘4人，大船限乘8人，乘坐9只船正好坐满。需要( )只大船，需要( )只小船。
10．（本题1分）一个口袋中装有一样大小的黄球4个、白球1个，每次摸出1个球，再放回袋中。玲玲摸到白球的可能性是( )％。
11．（本题2分）一个直角三角形两条直角边的和是14厘米，它们的比是3∶4。这个三角形的面积是( )平方厘米；如果斜边是10厘米，斜边上的高是( )厘米。
12．（本题4分）计算2＋4＋6＋8＋10＋12…这样的算式有简便方法吗？丁丁遇到这个问题时，想到用“数形结合”的方法来探索，于是他用小圆片摆图形研究。
(1)观察表格，请把下面的等式补充完整。
2＝1×2
2＋4＝2×3
2＋4＋6＝3×4
2＋4＋6＋8＝( )×( )
(2)若按此规律继续摆，则序号为12的图形共有( )个小圆片；序号为n的图形共有( )个小圆片。
二、仔细推敲，判断正误。（共5分）
13．（本题1分）比例和方程都是等式。( )
14．（本题1分）半圆的面积和周长都是它所在整圆的一半。( )
15．（本题1分）三位数5□3是3的倍数，□里最大填数字是2。( )
16．（本题1分）一幅地图的比例尺是1∶5，它表示实际距离是图上距离的5倍。( )
17．（本题1分）光明小学有105名教师，开全体会议时，到会的有100名，出勤率是100%。( )
三、反复比较，合理选择。（共5分）
18．（本题1分）如果向东走30米记为﹢30米，那么向西走50米记为( )。
A．﹢20米B．﹣20米C．﹢50米D．﹣50米
19．（本题1分）白兔只数是灰兔只数的数量关系式是( )。
A．白兔只数＝灰兔只数B．白兔只数＝（白兔只数＋灰兔总只数）
C．白兔只数＝（白兔只数＋灰兔总只数）D．灰兔只数＝白兔只数
20．（本题1分）我国2020年国内生产总值为a亿美元，比同年印度国内生产总值的5倍多11788亿美元。2020年印度国内生产总值可以用含有字母的算式表示为( )。
A．5a＋11788B．a÷5＋11788C．（a＋11788）÷5D．（a－11788）÷5
21．（本题1分）丁丁读一本课外书籍，第一天读了全书的，第二天比第一天多读了24页，这时已读的页数与未读的页数的比是3∶7。这本书一共有( )页。
A．60B．120C．80D．100
22．（本题1分）一个圆柱与一个圆锥的底面积相等，体积的比是1∶1，圆柱和圆锥的高的比是( )。
A．1∶1B．3∶1C．1∶3D．无法确定
四、看清题目，巧思妙算。（共24分）
23．（本题4分）直接写得数。
0.3×1.5＝ ×＝ 42÷60%＝ 0.3＋÷＝
∶＝ 1－0.999＝ 0.47＋1.7＝ 24×（）＝
24．（本题8分）计算下列各题，能简算的要简算。


25．（本题6分）解方程或解比例。
1－0.4x＝ ＝∶ 3＋1.4x＝10
26．（本题6分）求：图形1阴影部分的面积，图形2的表面积（单位：厘米）。
五、实践操作，探索创新。（共5分）
27．（本题5分）按要求在下面方格中画图并完成填空。
（1）用数对表示点的位置是( )。
（2）画出三角形向上平移3格后的图形。
（3）画出三角形绕点逆时针旋转的图形。
（4）以虚线为对称轴，画三角形的轴对称图形。
六、活学活用，解决问题。（共32分）
28．（本题5分）一本故事书共196页，奇奇前5天看了100页，如果他想9天看完这本书，剩下的平均每天要看多少页？
29．（本题5分）王老师打算为将要上高一的儿子存8000元钱，等儿子上大学时再取出，银行的年利率是3.20%，三年到期时王老师可以取回多少元？
30．（本题5分）皮皮家装修新房，如果用边长是0.4米的正方形地砖铺客厅地面，需要180块，如果用面积是0.36平方米的正方形地砖铺客厅地面，需要多少块？（用比例知识解答）
31．（本题5分）张师傅加工一批零件，第一天完成的个数与零件总个数的比是3∶5，如果再加工20个，就可以完成这批零件的，这批零件一共有多少个？
32．（本题5分）张师傅用白铁皮做了一个圆柱形无盖水桶，底面直径是6分米，高是5分米。

（1）做一个这样的水桶（提手不计）至少需要多少平方分米的白铁皮？
（2）这个水桶能装多少升的水？
33．（本题7分）联合国教科文组织确定4月23日为“世界读书日”，希望推动更多的人去阅读与写作。
（1）据有关资料统计，世界上平均每人每年读书量最多的民族是犹太族，我国的人均阅读量比犹太族人少92%。已知我国每年人均阅读量是4.8本，犹太族的人均阅读量是每年多少本？（用方程解答）
（2）“世界读书日”这天，各网站推出了购书优惠活动：A网站可享“每满200元减60元”，B网站可享“折上折”，即先打七折再打九折。李老师为充实班级图书角，打算购买一套原价1600元的图书，在哪个网站购书更优惠？
（3）这套图书共有125本，为有效开展“书香满校园，阅读伴成长”的主题阅读活动，李老师将这些图书分发给班上学生。如果其中至少有一个人分到4本，那么，这个班最多多少人？
保密★启用前
2024年小学数学小升初专家押题卷
【选拔卷】
（考试分数：100分；考试时间：90分钟；难度系数：）
注意事项：
1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在答题卡规定的位置。
2．判断题、选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非判断、选择题必须使用黑色墨迹签字笔或钢笔答题，请将答案正确填写在答题卡规定的位置上。
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效。
4．考试结束后将试卷和答题卡一并交回。
5．测试范围：小学全部。
一、用心思考，认真填空。（共25分）
1．（本题5分）如图，七巧板中①号三角形占整个图形的( )。②号三角形占整个图形的( )，这个分数可变化为：2÷( )＝( )∶16＝( )。
2．（本题3分）1.05平方千米＝( )公顷＝( )平方米 6时15分＝( )时
3．（本题1分）一个两位数是偶数，十位上的数字和个位上的数字的积是18，则这个两位数最大是( )。
4．（本题2分）已知（a和b都是不为0的数），则a和b成( )（填“正”或“反”）比例，( )。
5．（本题2分）一个运算程序、运算规则如下图，如果输入13，那么结果是( )；如果输入15，那么结果是( )。
6．（本题2分）六（2）班有30多名学生。全班同学分组跳绳，分成5人一组或7人一组都正好分完。六（2）班共有( )人，至少( )人的生日在同一个月。
7．（本题2分）小红参加数学竞赛，共10道题，做对一道得10分，做错一道扣2分，小红每一道题都做了，结果得了64分，她做对了( )道题，小红做题的正确率是( )%。
8．（本题1分）某面包店促销，推出“第2个半价”的活动，即第一个面包原价，再买第二个面包半价。如果买两个这样的面包，相当于打( )折。
9．（本题2分）2022年上半年油价调整“9涨1跌”，要反映油价每月的变化情况最好绘制( )统计图。1月份油价是a元/升，6月份油价比1月份油价上涨了45%，加满60升的油箱需要多付( )元。
10．（本题1分）有两支蜡烛，当第一支燃去，第二支燃去时，剩下的部分一样长。第一支蜡烛和第二支蜡烛原来的长度比是( )。
11．（本题1分）等底等高的一个圆柱和圆锥的体积和是24立方分米，那么圆柱的体积比圆锥多( )立方分米。
12．（本题3分）有一列由三个数组成的数组（1、1、1）、（2、4、8）、（3、9、27）…第八个数组是( )，第100个数组的三个数的和是( )，读作( )。
二、仔细推敲，判断正误。（共5分）
13．（本题1分）对于任意自然数，x＋0.7一定大于x。( )
14．（本题1分）一个长方形的长增加20%，宽减少20%，其面积不变。( )
15．（本题1分）如果a＝2×2×m，b＝2×3×6×m。那么a和b的最小公倍数是60m。( )
16．（本题1分）一根铁丝长240cm，焊成一个长方体框架，长、宽、高的比是3∶2∶1，这个长方体体积是6000cm3。( )
17．（本题1分）从完全相同的甲、乙两块正方形铁皮上分别剪出如下图的图形，比较它们剩下的废料面积是同样多。( )
三、反复比较，合理选择。（共5分）
18．（本题1分）小华去学校，去时的速度是每小时m千米，回来时的速度是每小时n千米，来、回的平均速度是( )。
A．B．C．D．
19．（本题1分）在220克水中，放入30克盐，盐水的浓度是( )。
A．13.6%B．12%C．15.7%D．20%
20．（本题1分）工厂计划加工一批零件，已加工的与未加工的个数比是3∶2，如果再加工220个，就会超过计划的15%。还需要加工( )个才能完成任务。
A．144B．156C．160D．196
21．（本题1分）将一段长2dm的圆柱形木棒锯成两段，表面积增加6.28dm2，这根木棒原来的体积是( )dm3。
A．6.28B．3.14C．25.12D．12.56
22．（本题1分）下图左图是水滴进玻璃容器的示意图（滴水速度相同），下图右图表示的是容器中水的高度随滴水时间变化的情况（图中刻度、单位都相同）。下列对应中正确的是( )。
A．（a）－（h）B．（b）－（g）C．（c）－（f）D．（d）－（e）
四、看清题目，巧思妙算。（共29分）
23．（本题12分）脱式计算。
（1）9.8×65.2×1.25－12.5×0.652×18 （2）2005×－1949÷2＋3×10.4
（3）（20－×1）＋（19－×2）＋（18－×3）＋…＋（1－×20）
（4）（2009×2008－20082）×0.012
24．（本题12分）解方程。


25．（本题5分）求出图中阴影部分的面积。
五、实践操作，探索创新。（共6分）
26．（本题6分）按要求画图。
（1）画出图形“甲”关于给出直线的轴对称图形“乙”。
（2）画出图形“甲”以O点为中心按顺时针方向旋转90°的图形“丙”。
（3）画出图形“甲”按2∶1放大后得到的图形“丁”，使O点对应点的位置在（17，2）处。
六、活学活用，解决问题。（共30分）
27．（本题5分）小李家在学校的北偏西50°方向2000米处，图书馆在公园的南偏东75°方向1250米处。
（1）请在图中标出小李家和图书馆的位置。
（2）小李从家乘出租车经过学校和公园到图书馆一共要付多少元？
28．（本题5分）在学校组织的“趣味运动会”跳绳比赛中，小明跳了120个。
（1）李强跳绳的数量是小明的，小亮跳的又是李强跳的，小亮跳了多少个？
（2）小明跳绳的数量比小华跳的多20%，小华跳了多少个？
29．（本题5分）一辆客车和一辆货车同时从相距160千米的甲、乙两地相对开出，3小时后相遇。已知客车和货车的速度比是3∶2，客车每小时行多少千米？
30．（本题5分）单独完成一项工程，甲需要12天，乙需要15天，现在两人合作，中途甲休息3天，乙休息若干天，一共用12天完成。乙休息了几天？
31．（本题5分）如图，张叔叔从市驾车到市，途经城。信息如下：
①张叔叔从市出发，以80千米/小时的速度，行驶了2.5小时，到达城。
②市到城与城到市的路程比是。
③当汽车到达城时，油箱里的油由原来的满箱到剩下箱。
根据以上信息解决以下两个问题：
（1）市到市的路程是多少千米？
（2）张叔叔能否用剩下的油开到终点市？请你尝试说明理由（假设每千米的耗油量不变）。
32．（本题5分）阿基米德是古希腊最著名的数学家和力学家。他发现，一个球如果正好放在一个圆柱形容器中（如图，球的直径与圆柱的高和底面直径相等，此时圆柱体积正好比球的体积多，圆柱表面积也正好比球的表面积多。已知图中圆柱的底面周长是18.84厘米，你能求出这个球的体积吗？
二、解析部分：
2024年小学数学小升初专家押题卷
【基础卷】
（考试分数：100分；考试时间：90分钟；难度系数：）
注意事项：
1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在答题卡规定的位置。
2．判断题、选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非判断、选择题必须使用黑色墨迹签字笔或钢笔答题，请将答案正确填写在答题卡规定的位置上。
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效。
4．考试结束后将试卷和答题卡一并交回。
5．测试范围：小学全部。
一、用心思考，认真填空。（共29分）
1．（本题3分）截止2020年10月2日，生活在地球上的人口总数约为7585204179人。横线上的数读作( )；省略“亿”位后面的数约是( )亿人。土地沙漠化，每年给我国造成的经济损失超过42000000000美元。把横线上的数改写成用“亿”作单位的数是( )亿美元。
【答案】 七十五亿八千五百二十万四千一百七十九 76 420
【分析】读数时，把数先分级，从高位读起，亿级或万级的数按照个级的读法去读，再在每级的末尾加一个“亿”或“万”字，每级末尾的0都不读，每一级的开头或中间无论有几个0，都读一个0；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字；整数改写成用“亿”作单位的数就是把原数的亿位后面的8个0去掉，同时要在改写的数后面写上“亿”字，数的大小不变。
【详解】7585204179读作：七十五亿八千五百二十万四千一百七十九
7585204179≈76亿
42000000000＝420亿
截止2020年10月2日，生活在地球上的人口总数约为7585204179人。横线上的数读作七十五亿八千五百二十万四千一百七十九；省略“亿”位后面的数约是76亿人。土地沙漠化，每年给我国造成的经济损失超过42000000000美元。把横线上的数改写成用“亿”作单位的数是420亿美元。
2．（本题5分）＝0.75＝（ ）÷20＝（ ）%＝（ ）∶24＝（ ）折。
【答案】9；15；75；18；七五
【分析】小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分；据此将小数0.75化为分数；根据分数的基本性质，将的分子和分母同时乘3，则＝；将的分子和分母同时乘5，则＝；将的分子和分母同时乘6，则＝；根据分数和除法的关系，可知＝15÷20；根据分数和比的关系，可知＝18∶24；小数化为百分数，将小数的向右移动2位，再在小数的末尾加上百分号；几几折表示百分之几十几。据此解答。
【详解】＝0.75＝15÷20＝75%＝18∶24＝七五折
【点睛】本题主要考查了分数、小数、除法、百分数、比的互化，关键是根据它们之间的性质和关系进行转化即可。
3．（本题3分）5.2立方米＝( )立方米( )立方分米 4时18分＝( )时
【答案】 5 200 4.3
【分析】根据进率：1立方米＝1000立方分米，1时＝60分；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。
【详解】（1）5.2立方米＝5立方米＋0.2立方米
0.2×1000＝200（立方分米）
5.2立方米＝5立方米200立方分米
（2）18÷60＝0.3（时）
4＋0.3＝4.3（时）
4时18分＝4.3时
【点睛】掌握各单位之间的进率以及转换方向是单位换算的关键。
4．（本题2分）60千克比( )多20%；( )比60千克少。
【答案】 50千克/50kg 48千克/48kg
【分析】把第一个括号看作单位“1”，根据题意可知60千克是单位“1”的（1＋20%），根据百分数除法的意义，用 60÷（1＋20%）即可求出结果；
把60千克看作单位“1”，求60千克少是多少，就是求60千克的（1－）是多少，根据分数乘法的意义，用60×（1－）即可求出结果。
【详解】60÷（1＋20%）
＝60÷1.2
＝50（千克）
60×（1－）
＝60×
＝48（千克）
60千克比50千克多20%；48千克比60千克少。
【点睛】本题主要考查了已知比一个数多（少）百分之几的数是多少，求这个数用除法计算，以及求比一个数多（少）几分之几的数是多少，用乘法计算。
5．（本题2分）0.4千克∶300克的化简比是( )，比值是( )。
【答案】 4∶3 /
【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
比的前项和后项的单位不统一，先根据进率“1千克＝1000克”换算单位，再利用“比的基本性质”把比化简成最简单的整数比；
根据求比值的方法，用最简比的前项除以比的后项即得比值。
【详解】0.4千克∶300克
＝（0.4×1000）克∶300克
＝400∶300
＝（400÷100）∶（300÷100）
＝4∶3
4∶3
＝4÷3
＝
0.4千克∶300克的化简比是4∶3，比值是。
【点睛】掌握化简比和求比值的方法是解题的关键。注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；求比值的结果是一个数值，可以是整数、小数或最简分数。
6．（本题2分）已知（a和b都是不为0的自然数），a和b成( )（填“正”或“反”）比例，ab－25＝( )。
【答案】 反 10
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例；把ab的值代入ab－25，计算即可解答。
【详解】因为＝（a和b都是不为0的自然数），所以ab＝35（一定）；乘积一定，a和b成反比例。
ab－35
35－25＝10
【点睛】根据正比例意义以及辨识，反比例意义以及辨识进行解答。
7．（本题1分）学校体操队有一百多人，排练节目时按每8人站成一行，或者每10人站成一行，人数都不多不少。参加排练的体操队人数最少有( )人。
【答案】120
【分析】排练节目时按每8人站成一行，或者每10人站成一行，人数都不多不少，所以体操队人数既是8的倍数，又是10的倍数，即8和10 的公倍数，又因为操队有一百多人，要求最少有多少人，所以可先求出8和10的最小公倍数，然后再找他们最小公倍数的倍数，取100到200之间最小的即可。
【详解】
8和10的最小公倍数为：2×4×5＝40
40×2＝80，40×3＝120
所以参加排练的体操队人数最少有120人。
【点睛】本题考查最小公倍数的应用，学生需熟练掌握运用分解质因数的方法求最小公倍数。
8．（本题2分）下图表示甲乙丙三个工人单独完成同一项工程各自所需的天数，看图填空。

(1)工作效率最高的工人是( )。
(2)甲、乙二人合作，( )天能完成这项工程的。
【答案】(1)甲
(2)5
【分析】（1）工作效率＝工作总量÷工作时间，时间越短工作效率越高，据图可知甲的效率最高；
（2）工作时间＝工作总量÷工作效率，代入数据计算即可。
【详解】（1）甲的工作效率：1÷10＝
乙的工作效率：1÷25＝
丙的工作效率：1÷20＝
＞＞
甲的工作效率最高
（2）÷（＋）
＝÷
＝×
＝5（天）
甲、乙二人合作，5天能完成这项工程的。
【点睛】此题考查工作时间工作效率以及工作总量之间的关系，掌握分数的乘除计算也是解题的关键。
9．（本题2分）52名同学去划船，小船限乘4人，大船限乘8人，乘坐9只船正好坐满。需要( )只大船，需要( )只小船。
【答案】 4 5
【分析】假设需大船x只，则小船需要（9－x）只，根据题目中的数量关系：小船限乘的人数×小船的只数＋大船限乘的人数×大船的只数＝52，据此列出方程，解方程即可求出大船和小船的只数。
【详解】解：设需大船x只，则小船需要（9－x）只，
8×x＋4×（9－x）＝52
8x＋36－4x＝52
4x＝52－36
4x＝16
x＝16÷4
x＝4
9－4＝5（只）
【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把大船的只数设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。
10．（本题1分）一个口袋中装有一样大小的黄球4个、白球1个，每次摸出1个球，再放回袋中。玲玲摸到白球的可能性是( )％。
【答案】20
【分析】按照摸球的规则，每次摸之前都是5个球，那么摸到白球的可能性用白球个数除以总球数乘100%解答。
【详解】
玲玲摸到白球的可能性是20%。
11．（本题2分）一个直角三角形两条直角边的和是14厘米，它们的比是3∶4。这个三角形的面积是( )平方厘米；如果斜边是10厘米，斜边上的高是( )厘米。
【答案】 24 4.8
【分析】已知两条直角边的比是3∶4，则把他们分别看作3份和4份，用14÷（3＋4）即可求出每份是多少，进而求出3份和4份；再根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据即可求出三角形的面积；再根据三角形的面积公式，用三角形的面积×2÷10即可求出斜边上的高。
【详解】14÷（3＋4）
＝14÷7
＝2（厘米）
2×3＝6（厘米）
2×4＝8（厘米）
6×8÷2＝24（平方厘米）
24×2÷10＝4.8（厘米）
这个三角形的面积是24平方厘米；如果斜边是10厘米，斜边上的高是4.8厘米。
【点睛】本题主要考查了按比分配问题、三角形面积公式的灵活应用，要熟练掌握每个知识点。
12．（本题4分）计算2＋4＋6＋8＋10＋12…这样的算式有简便方法吗？丁丁遇到这个问题时，想到用“数形结合”的方法来探索，于是他用小圆片摆图形研究。
(1)观察表格，请把下面的等式补充完整。
2＝1×2
2＋4＝2×3
2＋4＋6＝3×4
2＋4＋6＋8＝( )×( )
(2)若按此规律继续摆，则序号为12的图形共有( )个小圆片；序号为n的图形共有( )个小圆片。
【答案】(1) 4 5
(2) 156 n（n＋1）
【分析】（1）通过观察序号1至4的图形中小圆片个数可知，当序号为1时，小圆片个数为（1×2），序号为2时，小圆片个数为（2×3），……也就是小圆片个数＝序号×（序号＋1）；（2）按照（1）得出的规律，即可得序号为12的图形，小圆片个数＝12×（12＋1），据此可表示出序号为n的图形一共有的小圆片个数。
【详解】（1）由2＝1×2，2＋4＝2×3，2＋4＋6＝3×4可知
2＋4＋6＋8＝4×5
（2）由（1）中排列规律可知，当序号为12的图形，其小圆片个数为：
12×（12＋1）
＝12×13
＝156（个）
以此类推，当序号为n的图形共有n（n＋1）个小圆片。
【点睛】解答本题的关键是根据所给图示，找出规律，并利用规律进行解答。
二、仔细推敲，判断正误。（共5分）
13．（本题1分）比例和方程都是等式。( )
【答案】√
【分析】含有等号的式子叫做等式，表示两个比相等的式子叫做比例，则比例一定是等式；含有未知数的等式叫做方程，则方程一定是等式；据此解答。
【详解】分析可知，比例中两个比是相等的关系，方程是等式，如：0.2∶0.3＝2∶3，2x＋1＝3.6，所以比例和方程都是等式。
故答案为：√
【点睛】掌握比例和方程的意义是解答题目的关键。
14．（本题1分）半圆的面积和周长都是它所在整圆的一半。( )
【答案】×
【分析】根据半圆周长和面积的定义，分析判断即可。
【详解】半圆的面积是它所在圆面积的一半，半圆的周长是所在圆周长的一半再加上直径，原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查了半圆的周长和面积，掌握周长和面积的定义是解题的关键。
15．（本题1分）三位数5□3是3的倍数，□里最大填数字是2。( )
【答案】×
【分析】根据3的倍数特征：每一位上的数字之和能被3整除；这个数就是3的倍数，据此解答。
【详解】□内填0；5＋0＋3＝8；8不能被3的整除，□内不可以填0；
□内填1；5＋1＋3＝9；9能被3整除，□内可以填1；
□内填2；5＋2＋3＝10；10不能被3整除，□内不可以填2；
□内填3；5＋3＋3＝11；11不能被3整除；□内不可以填3；
□内填4；5＋4＋3＝12；12能被3整除；□内可以填4；
□内填5；5＋5＋3＝13；13不能被3整除，□内不可以填5；
□内填6；5＋6＋3＝14；14不能被3整除；□内不可以填6；
□内填7；5＋7＋3＝15；15能被3整除，□内可以填7；
□内填8；5＋8＋3＝16；16不能被3整除，□内不可以填8；
□内填9；5＋9＋3＝17；17不能被3整除；□内不可以填9。
三位数5□3是3的倍数，□里最大填数字是7。
原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】熟记3的倍数特征是解答本题的关键。
16．（本题1分）一幅地图的比例尺是1∶5，它表示实际距离是图上距离的5倍。( )
【答案】√
【分析】根据数值比例尺的意义可知：一幅地图的比例尺是1∶5，表示图上1厘米代表实际距离5厘米。
【详解】5÷1＝5
一幅地图的比例尺是1∶5，它表示实际距离是图上距离的5倍；此说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题主要考查学生对数值比例尺意义的理解。
17．（本题1分）光明小学有105名教师，开全体会议时，到会的有100名，出勤率是100%。( )
【答案】×
【分析】根据出勤率的计算公式：出勤率＝出勤人数÷应出勤人数×100%，代入相应数值计算，再与100%比较即可判断。
【详解】
所以出勤率大约是95.2%，不是100%，原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】解答本题的关键是掌握出勤率的计算公式。
三、反复比较，合理选择。（共5分）
18．（本题1分）如果向东走30米记为﹢30米，那么向西走50米记为（ ）。
A．﹢20米B．﹣20米C．﹢50米D．﹣50米
【答案】D
【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：把向东走的米数记为正，则向西走的米数就记为负，直接得出结论即可。
【详解】如果向东走30米记为﹢30米，那么向西走50米记为﹣50米。
故答案为：D
【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负。
19．（本题1分）白兔只数是灰兔只数的数量关系式是（ ）。
A．白兔只数＝灰兔只数B．白兔只数＝（白兔只数＋灰兔总只数）
C．白兔只数＝（白兔只数＋灰兔总只数）D．灰兔只数＝白兔只数
【答案】A
【分析】将灰兔只数看作单位“1”，根据整体数量×部分对应分率＝部分数量，进行分析。
【详解】白兔只数是灰兔只数的数量关系式是白兔只数＝灰兔只数。
故答案为：A
【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数乘法的意义。
20．（本题1分）我国2020年国内生产总值为a亿美元，比同年印度国内生产总值的5倍多11788亿美元。2020年印度国内生产总值可以用含有字母的算式表示为（ ）。
A．5a＋11788B．a÷5＋11788C．（a＋11788）÷5D．（a－11788）÷5
【答案】D
【分析】假设印度国内生产总值为x亿美元，根据题干中的数量关系，印度国内生产总值×5＋11788＝我国国内生产总值，即5×x＋11788＝a，据此解答。
【详解】解：设印度国内生产总值为x亿美元，列方程：
5×x＋11788＝a
5x＝a－11788
x＝（a－11788）÷5
故答案为：D
【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把印度国内生产总值设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。
21．（本题1分）丁丁读一本课外书籍，第一天读了全书的，第二天比第一天多读了24页，这时已读的页数与未读的页数的比是3∶7。这本书一共有（ ）页。
A．60B．120C．80D．100
【答案】B
【分析】根据已读的页数与未读的页数的比是3∶7，即已读页数占这本书的，用已读页数占这本书的分率－第一天读了全书的分率，求出第二天读了全书的分率，再用第二天读了全书的分率－第一天读了这本书的分率，求出第二天比第一天多读的分率，对应的是24页，根据分数除法的意义，用24除以第二天比第一天多读的分率，即可解答。
【详解】24÷（－－）
＝24÷（－－）
＝24÷（－－）
＝24÷（－）
＝24÷
＝24×5
＝120（页）
这本书一共有120页。
故答案为：B
【点睛】本题考查比的应用，关键是求出第二天比第一天多读的分率。
22．（本题1分）一个圆柱与一个圆锥的底面积相等，体积的比是1∶1，圆柱和圆锥的高的比是（ ）。
A．1∶1B．3∶1C．1∶3D．无法确定
【答案】C
【分析】由于圆柱和圆锥的底面积相等，体积的比是1∶1，说明体积也相等，可以假设它俩的底面积是1，体积也是1，根据圆柱的体积公式：高＝体积÷底面积；圆锥的体积公式：高＝体积×3÷底面积，据此代入数据，求出圆柱和圆锥的高是比。
【详解】假设圆柱和圆锥的底面积是1，体积也是1。
圆柱的高：1÷1＝1
圆锥的高：1×3÷1＝3
所以圆柱和圆锥的高的比是：1∶3。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查圆柱和圆锥的体积公式，熟练掌握它俩的体积公式并灵活运用。
四、看清题目，巧思妙算。（共24分）
23．（本题4分）直接写得数。
0.3×1.5＝ ×＝ 42÷60%＝ 0.3＋÷＝
∶＝ 1－0.999＝ 0.47＋1.7＝ 24×（）＝
【答案】0.45；；70；0.4；
；0.001；2.17；13
【详解】略
24．（本题8分）计算下列各题，能简算的要简算。


【答案】14；139
270；6.3
【分析】（1）先算除法，再算减法即可；
（2）运用乘法分配律进行计算即可；
（3）运用乘法交换律和乘法结合律进行计算即可；
（4）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，然后算中括号里面的加法，最后算括号外面的除法即可。
【详解】
＝
＝
＝14
＝
＝
＝139
＝
＝
＝
＝270×1
＝270
＝
＝
＝
＝
＝6.3
25．（本题6分）解方程或解比例。
1－0.4x＝ ＝∶ 3＋1.4x＝10
【答案】x＝；x＝20；x＝5
【分析】1－0.4x＝，根据等式的性质1和2，两边同时＋0.4x，再同时－，最后同时÷0.4即可；
＝∶，根据比例的基本性质，先写成x＝6×的形式，两边同时×即可；
3＋1.4x＝10，根据等式的性质1和2，两边同时－3，再同时÷1.4即可。
【详解】1－0.4x＝
解：1－0.4x＋0.4x＝＋0.4x
1＝＋0.4x
＋0.4x＝1
＋0.4x－＝1－
0.4x＝0.7
0.4x÷0.4＝0.7÷0.4
x＝
＝∶
解：x＝6×
x×＝8×
x＝20
3＋1.4x＝10
解：3＋1.4x－3＝10－3
1.4x＝7
1.4x÷1.4＝7÷1.4
x＝5
26．（本题6分）求：图形1阴影部分的面积，图形2的表面积（单位：厘米）。
【答案】3.44平方厘米；1398平方厘米
【分析】图1用正方形的面积减去圆的面积，利用正方形的面积公式和圆的面积公式，即可求出阴影部分的面积；
图2中两个面通过平移，如图补成一个长方体，割补后，这个长方体还缺少前后两个长为（20－6）厘米，宽为（15－6）厘米的长方形，先用长方体的表面积公式求出整个长方体的表面积，再用长方体的表面积减去这两个长方形的面积即可。
【详解】4×4－3.14×（4÷2）2
＝16－3.14×4
＝16－12.56
＝3.44（平方厘米）
20×15×2＋20×15×2＋15×15×2－（20－6）×（15－6）×2
＝600＋600＋450－14×9×2
＝1650－252
＝1398（平方厘米）
五、实践操作，探索创新。（共5分）
27．（本题5分）按要求在下面方格中画图并完成填空。
（1）用数对表示点的位置是（ ）。
（2）画出三角形向上平移3格后的图形。
（3）画出三角形绕点逆时针旋转的图形。
（4）以虚线为对称轴，画三角形的轴对称图形。
【答案】（1）（4，5）；
（2）（3）（4）见详解
【分析】（1）根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，即可用数对表示出点B的位置；
（2）根据平移的特征，把三角形ABC的各顶点分别向上平移3格，依次连接即可得到平移后的图形；
（3）根据旋转的特征，三角形ABC绕点A逆时针旋转90°点A的位置不动，这个图形的各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形；
（4）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴（虚线）的右边画出三角形ABC的对称点，依次连接即可。
【详解】（1）用数对表示点的位置是（4，5）。
（2）、（3）、（4）作图如下：
【点睛】本题主要考查了数对、平移、旋转、作轴对称图形知识的灵活应用。
六、活学活用，解决问题。（共32分）
28．（本题5分）一本故事书共196页，奇奇前5天看了100页，如果他想9天看完这本书，剩下的平均每天要看多少页？
【答案】24页
【分析】要求剩下的平均每天看多少页，先求剩下的页数，用剩下的页数除以天数即可。
【详解】（196－100）÷（9－5）
＝96÷4
＝24（页）
答：剩下的平均每天要看24页。
【点睛】此题考查平均数的含义及求平均数的方法，解决此题的关键是先求剩下的页数和剩下的天数。
29．（本题5分）王老师打算为将要上高一的儿子存8000元钱，等儿子上大学时再取出，银行的年利率是3.20%，三年到期时王老师可以取回多少元？
【答案】8768元
【分析】根据本息＝本金＋本金×年利率×存期，据此进行计算即可。
【详解】8000×3.20%×3＋8000
＝256×3＋8000
＝768＋8000
＝8768（元）
答：三年到期时王老师可以取回8768元。
【点睛】本题考查利率问题，明确本息的计算方法是解题的关键。
30．（本题5分）皮皮家装修新房，如果用边长是0.4米的正方形地砖铺客厅地面，需要180块，如果用面积是0.36平方米的正方形地砖铺客厅地面，需要多少块？（用比例知识解答）
【答案】80块
【分析】由题意可知，设需要x块，因为客厅的面积是一定的，则一块地砖的面积与块数成反比例关系，据此列比例解答即可。
【详解】解：设需要x块。
0.36x＝0.4×0.4×180
0.36x＝28.8
0.36x÷0.36＝28.8÷0.36
x＝80
答：需要80块。
【点睛】本题考查用比例解决实际问题，明确一块地砖的面积与块数成反比例关系是解题的关键。
31．（本题5分）张师傅加工一批零件，第一天完成的个数与零件总个数的比是3∶5，如果再加工20个，就可以完成这批零件的，这批零件一共有多少个？
【答案】800个
【分析】由题意可知，第一天完成的个数与零件总个数的比是3∶5，即第一天完成的个数占零件总个数的，如果再加工20个，就可以完成这批零件的，则20个零件占这批零件个数的（－），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算即可。
【详解】20÷（－）
＝20÷
＝20×40
＝800（个）
答：这批零件一共有800个。
【点睛】本题考查已知一个数的几分之几是多少，求这个数，明确用除法是解题的关键。
32．（本题5分）张师傅用白铁皮做了一个圆柱形无盖水桶，底面直径是6分米，高是5分米。

（1）做一个这样的水桶（提手不计）至少需要多少平方分米的白铁皮？
（2）这个水桶能装多少升的水？
【答案】（1）122.46平方分米
（2）141.3升
【分析】（1）求做一个这样的水桶至少需要多少平方分米的白铁皮，就是求圆柱的表面积。这个水桶无盖，则它的表面积＝侧面积＋底面积＝πdh＋πr2，据此解答。
（2）求这个水桶能装多少升的水，就是求圆柱的容积。圆柱的容积＝底面积×高＝πr2h，据此解答。
【详解】（1）3.14×6×5＋3.14×（6÷2）2
＝94.2＋3.14×9
＝94.2＋28.26
＝122.46（平方分米）
答：做一个这样的水桶（提手不计）至少需要122.46平方分米的白铁皮。
（2）3.14×（6÷2）2×5
＝3.14×9×5
＝141.3（立方分米）
＝141.3升
答：这个水桶能装141.3升的水。
【点睛】本题考查了圆柱的表面积和容积的应用。熟练掌握圆柱的表面积和容积公式是解题的关键。
33．（本题7分）联合国教科文组织确定4月23日为“世界读书日”，希望推动更多的人去阅读与写作。
（1）据有关资料统计，世界上平均每人每年读书量最多的民族是犹太族，我国的人均阅读量比犹太族人少92%。已知我国每年人均阅读量是4.8本，犹太族的人均阅读量是每年多少本？（用方程解答）
（2）“世界读书日”这天，各网站推出了购书优惠活动：A网站可享“每满200元减60元”，B网站可享“折上折”，即先打七折再打九折。李老师为充实班级图书角，打算购买一套原价1600元的图书，在哪个网站购书更优惠？
（3）这套图书共有125本，为有效开展“书香满校园，阅读伴成长”的主题阅读活动，李老师将这些图书分发给班上学生。如果其中至少有一个人分到4本，那么，这个班最多多少人？
【答案】（1）60本
（2）B网站
（3）41人
【分析】（1）根据题意，我国的人均阅读量比犹太族人少92%，把犹太族的人均阅读量看作单位“1”，则我国的人均阅读量是犹太族人的（1－92%）；可得出等量关系：犹太族每年人均阅读量×（1－92%）＝我国每年人均阅读量，据此列出方程，并求解。
（2）A网站可享“每满200元减60元”，看1600元里有几个200元，就减去几个60元，即是在A网站购买这套图书需付的钱数；
B网站可享“折上折”，先打七折再打九折；即实际需付的钱数是1600元的70%的90%，根据求一个数的百分之几是多少，用连乘计算，求出在B网站购买这套图书需付的钱数；
然后比较在A、B网站购买图书需付的钱数，得出在哪个网站购书更优惠。
（3）已知至少有一个人分到4本书，根据最不利原则，每人都分到4－1＝3本书，用总本数除以3，商是人数，余数是书的本数，无论剩下几本，至少有一个人会分到4本，商就是这个班最多的人数。
【详解】（1）解：设犹太族的人均阅读量是每年本。
（1－92%）＝4.8
0.08＝4.8
0.08÷0.08＝4.8÷0.08
＝60
答：犹太族的人均阅读量是每年60本。
（2）A网站：
1600÷200＝8（个）
1600－60×8
＝1600－480
＝1120（元）
B网站：
1600×70%×90%
＝1600×0.7×0.9
＝1120×0.9
＝1008（元）
1008＜1120
答：在B网站购书更优惠。
（3）4－1＝3（本）
125÷3＝41（人）……2（本）
答：这个班最多41人。
【点睛】（1）本题考查列方程解决问题，从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程。
（2）根据两个网店不同的优惠方案，分别求出每个网店购买图书需要的钱数，再比较即可。
（3）本题考查鸽巣问题（抽屉问题），根据最不利原则解答。
2024年小学数学小升初专家押题卷
【选拔卷】
（考试分数：100分；考试时间：90分钟；难度系数：）
注意事项：
1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在答题卡规定的位置。
2．判断题、选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非判断、选择题必须使用黑色墨迹签字笔或钢笔答题，请将答案正确填写在答题卡规定的位置上。
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效。
4．考试结束后将试卷和答题卡一并交回。
5．测试范围：小学全部。
一、用心思考，认真填空。（共25分）
1．（本题5分）如图，七巧板中①号三角形占整个图形的( )。②号三角形占整个图形的( )，这个分数可变化为：2÷( )＝( )∶16＝( )。
【答案】 8 4 0.25
【分析】七巧板可以拼成一个正方形，把正方形平均分成4个三角形，每个三角形占正方形的；①号三角形占正方形的，②号三角形占正方形的，根据分数的基本性质：分数的分子分母同时乘或除以一个不为0的数，分数的大小不变；＝＝；再根据分数与除法的关系：分子做被除数，分母做除数；＝2÷8；根据分数与比的关系：分子做比的前项，分母做比的后项；＝4∶16；再根据分数化小数的方法：用分子除以分母，得到的商就是小数，即1÷4＝0.25，据此解答。
【详解】图中七巧板中①号三角形占整个图形的。②号三角形占整个图形的，这个分数可变化为：2÷8＝4∶16＝0.25。
【点睛】熟练掌握分数、比和除法之间的互化，以及分数的基本性质是解答本题的关键。
2．（本题3分）1.05平方千米＝( )公顷＝( )平方米 6时15分＝( )时
【答案】 105 1050000 /6.25
【分析】根据1平方千米＝100公顷，1公顷＝10000平方米，1时＝60分，高级单位换算成低级单位，乘进率，低级单位换算成高级单位，除以进率，据此解答。
【详解】由分析可得：
1.05平方千米＝105公顷＝1050000平方米；
6时15分＝时
【点睛】熟练掌握面积单位、时间单位之间的进率是解答本题的关键。
3．（本题1分）一个两位数是偶数，十位上的数字和个位上的数字的积是18，则这个两位数最大是( )。
【答案】92
【分析】整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），偶数的个位数字为0、2、4、6、8；不是2的倍数的数叫作奇数，奇数的个位数字为1、3、5、7、9；先把18写成两个一位数相乘的形式，再找出最大的两位偶数，据此解答。
【详解】分析可知，2×9＝3×6＝18，这个两位数十位上最大为数字9，个位上为数字2，所以这个两位数最大是92。
【点睛】掌握奇数、偶数的意义是解答题目的关键。
4．（本题2分）已知（a和b都是不为0的数），则a和b成( )（填“正”或“反”）比例，( )。
【答案】 反 8
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例；求出ab的值，把ab的值代入，计算即可解答。
【详解】由分析可知，（a和b都是不为0的数），
所以ab＝4.2（一定），乘积一定，所以a和b成反比例；
把ab＝4.2代入，得：
（4.2－2.2）×4
＝2×4
＝8
【点睛】本题考查了判断两个相关联的量之间成什么比例的方法以及代入求值法。
5．（本题2分）一个运算程序、运算规则如下图，如果输入13，那么结果是( )；如果输入15，那么结果是( )。
【答案】 171 32
【分析】由运算程序可知：如果输入质数，就按先把质数平方再加2计算；如果输入合数，就按先把合数乘2再加2计算。13是质数，按照132＋2计算；15是合数，按照2×15＋2计算。
【详解】132＋2
＝169＋2
＝171
2×15＋2
＝30＋2
＝32
所以如果输入13，那么结果是171；如果输入15，那么结果是32。
【点睛】此题考查了质数和合数的意义、一个数的平方与一个数的2倍的意义。解决此题关键是读懂运算规则。
6．（本题2分）六（2）班有30多名学生。全班同学分组跳绳，分成5人一组或7人一组都正好分完。六（2）班共有( )人，至少( )人的生日在同一个月。
【答案】 35 3
【分析】根据题意可知，六（2）班学生人数是5和7的公倍数，求出5和7的最小公倍数，再写出最小公倍数的倍数，根据六（2）班有30多个学生，找出六（2）班学生人数。把一年12个月看作12个抽屉，把六（2）班学生人数看作元素，从最不利情况考虑，然后根据“至少数＝元素的总个数抽屉的个数（商）＋1 （有余数的情况下）”据此解答即可。
【详解】5×7＝35（人）
35÷12＝2（人）⋯⋯11（人）
2＋1＝3（人）
则六（2）班共有35人，至少3人的生日在同一个月。
【点睛】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数是解题的关键。
7．（本题2分）小红参加数学竞赛，共10道题，做对一道得10分，做错一道扣2分，小红每一道题都做了，结果得了64分，她做对了( )道题，小红做题的正确率是( )%。
【答案】 7 70
【分析】假设全部做对，小红全部做对可以得10×10＝100分，实际得了64分，比实际多了100－64＝36分，做对一道题比做错一道题多得10＋2＝12分，也就是做错了36÷12＝3道题，做对题目的数量＝题目的总数量－做错题目的数量，正确率＝做对题目的数量÷题目的总数量×100%，据此解答。
【详解】做错的：（10×10－64）÷（10＋2）
＝（100－64）÷（10＋2）
＝36÷12
＝3（道）
做对的：10－3＝7（道）
7÷10×100%
＝0.7×100%
＝70%
所以，她做对了7道题，小红做题的正确率是70%。
【点睛】掌握鸡兔同笼问题的解题方法和一个数占另一个数百分之几的计算方法是解答题目的关键。
8．（本题1分）某面包店促销，推出“第2个半价”的活动，即第一个面包原价，再买第二个面包半价。如果买两个这样的面包，相当于打( )折。
【答案】七五
【分析】假设一个面包原价2元，2个面包原价（2×2）元，因为“第2个半价”，则第2个面包的实际价格是（2÷2）元，用2＋2÷2即可求出买2个面包实际需要的价格；再根据求一个数占另一个数的百分之几，用一个数除以另一个数乘100%，则用2个面包的实际价格除以原价再乘100%，即可求出实际价格占原价的百分之几，最后根据几几折表示百分之几十几，判断相当于打几折。据此解答。
【详解】假设一个面包原价2元，
2×2＝4（元）
2＋2÷2
＝2＋1
＝3（元）
3÷4×100%＝75%
75%＝七五折
如果买两个这样的面包，相当于打七五折。
【点睛】本题主要考查了折扣问题，明确折扣的含义是解答本题的关键。
9．（本题2分）2022年上半年油价调整“9涨1跌”，要反映油价每月的变化情况最好绘制( )统计图。1月份油价是a元/升，6月份油价比1月份油价上涨了45%，加满60升的油箱需要多付( )元。
【答案】 折线 27a
【分析】条形统计图能容易看出数量的多少；折线统计图不仅能看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；第一个空据此解答；
先求出1升需要多付多少元，用a×45%，再乘60，即可求出60升的油箱需要多付多少元。第二小空据此解答。
【详解】a×45%×60
＝0.45a×60
＝27a（元）
要反映油价每月的变化情况最好绘制折线统计图；加满60升的油箱需要多付27a元。
【点睛】根据统计图各自的特征，用字母表示数以及含有字母的数字化简与求值的知识进行解答。
10．（本题1分）有两支蜡烛，当第一支燃去，第二支燃去时，剩下的部分一样长。第一支蜡烛和第二支蜡烛原来的长度比是( )。
【答案】10∶9
【分析】第一个蜡烛燃去，可知第一根蜡烛还剩（1－）；第二个蜡烛燃去，第二根蜡烛还剩（1－）；再根据“剩下的部分一样长”，由此可知，第一个蜡烛的长度×（1－）＝第二根蜡烛的长度×（1－）；再写成比例的形式，即可。
【详解】第一支蜡烛×（1－）＝第二支蜡烛×（1－）
第一支蜡烛×＝第二支蜡烛×
第一支蜡烛∶第二支蜡烛＝∶
＝（×45）∶（×45）
＝20∶18
＝（20÷2）∶（18÷2）
＝10∶9
第一支蜡烛和第二支蜡烛原来的长度比是10∶9。
【点睛】解决此题的关键是先求出两支蜡烛剩下的分率，再根据比例的基本性质和比的基本性质进行解答。
11．（本题1分）等底等高的一个圆柱和圆锥的体积和是24立方分米，那么圆柱的体积比圆锥多( )立方分米。
【答案】12
【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以圆柱的体积比圆锥的体积多体积和的（3－1）倍，据此解答即可。
【详解】24÷（3－1）
＝24÷2
＝12（立方分米）
圆柱的体积比圆锥多（12）立方分米。
【点睛】掌握等底等高的圆柱和圆锥的体积之间的关系是解答本题的关键。
12．（本题3分）有一列由三个数组成的数组（1、1、1）、（2、4、8）、（3、9、27）…第八个数组是( )，第100个数组的三个数的和是( )，读作( )。
【答案】 （8，64，512） 1010100 一百零一万零一百
【分析】（1、1、1）、（2、 4、8）、（3、9、27）的规律是：第一个数是从1开始的连续的自然数，第二个数是第一个数的平方，第三个数是第一个数的立方。
【详解】第八个数组是：8， 8×8＝ 64，8×8×8＝512；
第100个数组是：100，100×100＝10000，100×100×100＝1000000，它们的和是：1000000＋10000十100 ＝ 1010100；1010100读作：一百零一万零一百。
【点睛】先找到数组里面数的规律，再根据规律求解；注意写读作时数字要写汉字。
二、仔细推敲，判断正误。（共5分）
13．（本题1分）对于任意自然数，x＋0.7一定大于x。( )
【答案】√
【分析】对于任意自然数x，x＋0.7＞x，0.7x≤x，x＝0.7x，所以x＋0.7一定大于0.7x。
【详解】由分析可知；对于任意自然数，x＋0.7一定大于x；此说法正确。
故答案为：√
【点睛】此题主要学生对自然数的认识和分析解决问题的能力。
14．（本题1分）一个长方形的长增加20%，宽减少20%，其面积不变。( )
【答案】×
【分析】设长方形的长和宽分别是a和b，那么原来的面积为ab，现在的面积为（1＋20%）a×（1－20%）b，即0.96ab，进行比较即可解答。
【详解】设长方形的长为a，宽为b。
原来面积：
a×b＝ab
现在面积：
（1＋20%）a×（1－20%）b
＝1.2a×0.8b
＝0.96ab
ab＞0.96ab
故答案为：×
【点睛】解答本题的关键是求出长方形变化前后的面积，进而进行判断。
15．（本题1分）如果a＝2×2×m，b＝2×3×6×m。那么a和b的最小公倍数是60m。( )
【答案】×
【分析】两个数的最小公倍数是这两个数的公有质因数和独有质因数的乘积，据此判断即可。
【详解】因为a＝2×2×m，b＝2×3×6×m
所以a和b的最小公倍数是：
2×2×3×6×m
＝12×6×m
＝72m
故答案为：×
【点睛】本题考查最小公倍数，明确求最小公倍数的方法是解题的关键。
16．（本题1分）一根铁丝长240cm，焊成一个长方体框架，长、宽、高的比是3∶2∶1，这个长方体体积是6000cm3。( )
【答案】√
【分析】长方体的12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等，已知棱长总和是240cm，先求出长、宽、高的和，再利用按比例分配分别求出它的长、宽、高；再根据长方体的体积：V＝abh解答即可。
【详解】240÷4＝60（cm）
60×＝30（cm）
60×＝20（cm）
60×＝10（cm）
30×20×10
＝600×10
＝6000（cm3）
原题说法正确；
故答案为：√
【点睛】此题主要考查长方体的特征、棱长总和的计算方法和体积的计算方法，以及比的应用解答。
17．（本题1分）从完全相同的甲、乙两块正方形铁皮上分别剪出如下图的图形，比较它们剩下的废料面积是同样多。( )
【答案】√
【分析】用赋值法解决这个问题。为了计算简便，可先设正方形的边长为4厘米。根据正方形面积计算公式、圆的面积计算公式，分别求出甲、乙两图中剩下的废料面积；然后比较甲、乙两图中剩下的废料面积的大小即可。
【详解】设正方形的边长为4厘米。
正方形的面积：4×4＝16（平方厘米）
甲图中剩下的废料面积：16−3.14×
＝16−3.14×
＝16−3.14×4
＝16−12.56
＝3.44（平方厘米）
乙图中剩下的废料面积：16−3.14××4
＝16−3.14××4
＝16−3.14×4
＝16－12.56
＝3.44（平方厘米）
3.44＝3.44
所以剩下的废料面积相等。
故答案为：√
【点睛】（1）在正方形内画一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长。
（2）求不规则图形的面积时，可转化为求规则图形面积的和（或差）。
三、反复比较，合理选择。（共5分）
18．（本题1分）小华去学校，去时的速度是每小时m千米，回来时的速度是每小时n千米，来、回的平均速度是（ ）。
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】把小华家到学校的路程看作单位“1”，则来、回的总路程是“2”；
根据“时间＝路程÷速度”可知，去时的速度是每小时m千米，则去时用了小时；回来时的速度是每小时n千米，则回来时用了小时；再相加即是来、回的总时间小时；
根据平均速度＝来回的总路程÷来回的总时间，即可得解。
【详解】
（千米）
来、回的平均速度列式为：，即。
故答案为：D
【点睛】本题考查行程问题以及分数除法的应用，明确去时的路程是“1”，则来回的路程就是“2”；然后根据平均速度的意义解答。
19．（本题1分）在220克水中，放入30克盐，盐水的浓度是（ ）。
A．13.6%B．12%C．15.7%D．20%
【答案】B
【分析】求盐水的浓度，就是求盐水的含盐率；先用盐的质量加上水的质量，求出盐水的质量，然后根据“含盐率＝盐的质量÷盐水的质量×100%”，代入数据计算即可求解。
【详解】30÷（30＋220）×100%
＝30÷250×100%
＝0.12×100%
＝12%
盐水的浓度是12%。
故答案为：B
【点睛】本题考查百分率问题，掌握含盐率的意义及计算方法是解题的关键。
20．（本题1分）工厂计划加工一批零件，已加工的与未加工的个数比是3∶2，如果再加工220个，就会超过计划的15%。还需要加工（ ）个才能完成任务。
A．144B．156C．160D．196
【答案】C
【分析】将计划加工数量看成单位“1”，已加工的与未加工的个数比是3∶2，则加工的数量占总数的，未加工的数量占总数的；再加工220个，就会超过计划的15%，也就是占计划的1＋15%，所以220个对应总数的（1＋15%－），根据分数除法的意义，用220÷（1＋15%－）求出计划数量。最后用计划加工的数量×未加工的个数的分率（）即可。
【详解】220÷（1＋15%－）
＝220÷0.55
＝400（个）
400×
＝400×
＝160（个）
故答案为：C
【点睛】本题考查比、分数除法的应用及百分数的意义，找出与已知量对应的分率是解题的关键。
21．（本题1分）将一段长2dm的圆柱形木棒锯成两段，表面积增加6.28dm2，这根木棒原来的体积是（ ）dm3。
A．6.28B．3.14C．25.12D．12.56
【答案】A
【分析】根据题意可知，把圆柱形木棒锯成两段，表面积增加6.28dm2，那么增加的表面积是2个截面的面积，即圆柱的2个底面积；
用增加的表面积除以2，即可求出圆柱的底面积；然后根据圆柱的体积公式V＝Sh，求出这根木棒原来的体积。
【详解】圆柱的底面积：
6.28÷2＝3.14（dm2）
圆柱的体积：
3.14×2＝6.28（dm3）
这根木棒原来的体积是6.28dm3。
故答案为：A
【点睛】掌握圆柱切割的特点以及圆柱体积公式的运用，明确把一个圆柱切成两个小圆柱，增加的表面积是圆柱的2个底面积。
22．（本题1分）下图左图是水滴进玻璃容器的示意图（滴水速度相同），下图右图表示的是容器中水的高度随滴水时间变化的情况（图中刻度、单位都相同）。下列对应中正确的是（ ）。
A．（a）－（h）B．（b）－（g）C．（c）－（f）D．（d）－（e）
【答案】D
【分析】在只有容器不同的情况下，容器中水高度随滴水时间变化的图象与容器的形状有关。先根据容器的上下的大小，判断水上升快慢和对应的图象，再对题中的每一种结论进行判断。
【详解】A．由于容器的形状是规则容器，所以水的深度随时间的变化也是均匀的直线，时间和水的高度的商应该是固定值；所以（a）对应（h）是错误的；
B．由于容器的形状是规则容器，所以水的深度随时间的变化也是均匀的直线，时间和水的高度的商应该是固定值；但比较（f）和（g）两幅图，（f）的起始高度低一些，更适合对应（b）的图形，所以（b）对应（g）是错误的；
C．由于容器的形状是下宽上窄，所以水的深度上升是先慢后快．表现出的图形为先缓，后陡，所以（c）对应（f）是错误的；
D．由于容器的形状是下窄上宽，所以水的深度上升是先快后慢．表现出的图形为先陡，后缓，所以（d）对应（e）是正确的；
故答案为：D
【点睛】主要考查了学生的读图能力和解决实际问题的能力．要能根据实际和图象上的数据分析得出正确的结论。
四、看清题目，巧思妙算。（共29分）
23．（本题12分）脱式计算。
（1）9.8×65.2×1.25－12.5×0.652×18
（2）2005×－1949÷2＋3×10.4
（3）（20－×1）＋（19－×2）＋（18－×3）＋…＋（1－×20）
（4）（2009×2008－20082）×0.012
【答案】（1）652；（2）60；（3）；（4）24.096
【分析】（1）先运用乘法分配律变换算式，然后再运用乘法结合律简便计算；
（2）把除法转化成乘法，同时把带分数都化成假分数，把小数化成分数；然后前面的数字运用乘法分配律简便计算即可；
（3）共有20个小括号。把每个括号里面的第一个整数相结合，然后运用连减的性质把每个小括号里面的分数相加；然后根据等差数列求和的知识分别求出和，再相减即可；
（4）2008²＝2008×2008，这样小括号里面的运算可以运用乘法分配律，然后按照运算顺序计算即可。
【详解】（1）9.8×65.2×1.25－12.5×0.652×18
＝9.8×65.2×1.25－1.25×65.2×1.8
＝（65.2×1.25）×（9.18－1.8）
＝65.2×1.25×8
＝65.2×（1.25×8）
＝65.2×10
＝652
（2）2005× －1949÷2＋3×10.4
＝60
（3）（20－×1）＋（19－×2）＋（18－×3）＋…＋（1－×20）
＝（20＋19＋…＋1）－（）
＝（20＋1）÷2×20－20÷2×（）
＝210－
＝
（4）（2009×2008－20082）×0.012
＝2008×（2009－2008）×0.012
＝2008×1×0.012
＝24.096
【点睛】能够根据算式特点运用合适的运算定律进行计算是本题解题关键。
24．（本题12分）解方程。


【答案】；；
；
【分析】（1）先把小数化为分数，再利用比例的基本性质把比例转化为方程，最后利用等式的性质2，方程两边同时除以4；
（2）先化简方程左边含有字母的式子，再利用等式的性质2，方程两边同时除以2.3；
（3）先利用等式的性质1，方程两边同时减去，再利用等式的性质2，方程两边同时除以；
（4）把括号看作一个整体，先利用等式的性质2，方程两边同时除以2，再利用等式的性质1，方程两边同时加上1.4。
【详解】（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
（4）
解：
25．（本题5分）求出图中阴影部分的面积。
【答案】7.065平方厘米
【分析】根据三角形的内角和等于180°，可知阴影部分的两个扇形的圆心角度数之和是（180°－90°），因为半径都是3厘米，所以阴影部分的面积之和相当于半径为3厘米的圆的面积的。
【详解】180°－90°＝90°
3.14×3×3×
＝9.42×3×
＝28.26×
＝7.065（平方厘米）
五、实践操作，探索创新。（共6分）
26．（本题6分）按要求画图。
（1）画出图形“甲”关于给出直线的轴对称图形“乙”。
（2）画出图形“甲”以O点为中心按顺时针方向旋转90°的图形“丙”。
（3）画出图形“甲”按2∶1放大后得到的图形“丁”，使O点对应点的位置在（17，2）处。
【答案】见详解。
【分析】根据题目要求依此做出变换之后的图形即可。
【详解】
【点睛】本题关键在于理解轴对称和旋转的概念，并且能够准确作出变换之后的图形。
六、活学活用，解决问题。（共30分）
27．（本题5分）小李家在学校的北偏西50°方向2000米处，图书馆在公园的南偏东75°方向1250米处。
（1）请在图中标出小李家和图书馆的位置。
（2）小李从家乘出租车经过学校和公园到图书馆一共要付多少元？
【答案】（1）见详解
（2）14.8元
【分析】（1）由图知：3厘米代表1500米，由此可知1厘米表示500米。再根据平上图上的上北下南左西右东表示方向的方法，及角度和距离确定小李家和图书馆的位置。
（2）先求得小李从家经过学校和公园到图书馆的总距离，减3千米，得出超出3千米距离有多长，再乘2.4元，求得超出3千米应付的费用，再加上3千米以内应付的10元，即是小李从家乘出租车经过学校和公园到图书馆一共要付多少元。
【详解】（1）1500÷3＝500（米）
2000÷500＝4（厘米）
1250÷500＝2.5（厘米）
画出如下：
（2）2000＋1500＋1250－3000
＝4750－3000
＝1750（米）
＝1.75千米
≈2千米
10＋2×2.4
＝10＋4.8
＝14.8（元）
答：小李从家乘出租车经过学校和公园到图书馆一共要付14.8元。
【点睛】此题考查了利用方向、角度、距离在平面图中确定物体位置的方法以及线段比例尺的灵活应用。还要明确乘坐出租车付款分两部分，规定距离内和超出规定距离外的金额。
28．（本题5分）在学校组织的“趣味运动会”跳绳比赛中，小明跳了120个。
（1）李强跳绳的数量是小明的，小亮跳的又是李强跳的，小亮跳了多少个？
（2）小明跳绳的数量比小华跳的多20%，小华跳了多少个？
【答案】（1）50个
（2）100个
【分析】（1）据题意，李强跳绳的数量是把小明的跳绳的数量看作单位“1”，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法。”可知，李强跳绳的数量＝小明的跳绳的数量×，又小亮跳的又是李强跳的，这里把李强跳绳的数量看作单位“1”，所以，小亮跳绳的数量＝李强跳绳的数量×，据此解答。
（2）把小华跳绳的数量看作单位“1”，此时小明的跳绳的数量是（1＋20%），根据“已知比一个数多百分之几是多少，求这个数，用除法”，所以，小华跳绳的数量＝小明的跳绳的数量÷（1＋20%），据此解答。
【详解】（1）由分析可得：
＝
＝（个）
答：小亮跳了50个。
（2）由分析可得：
＝
＝（个）
答：小华跳了100个。
【点睛】本题考查分数和百分数的实际应用，找准单位“1”和判断单位“1”是解题的关键。
29．（本题5分）一辆客车和一辆货车同时从相距160千米的甲、乙两地相对开出，3小时后相遇。已知客车和货车的速度比是3∶2，客车每小时行多少千米？
【答案】32千米
【分析】根据路程÷时间＝速度；用160÷3，求出客车和货车的速度和；再根据按比例分配，客车和货车的速度比是3∶2，即把客车和货车速度和分成（3＋2）份，用客车和货车速度和÷（3＋2），求出一份是多少，进而求客车的速度，据此解答。
【详解】3＋2＝5（份）
160÷3÷5
＝÷5
＝（千米）
×3＝32（千米）
答：客车每小时行32千米。
【点睛】本题考查按比分配问题，求出客车和货车的速度和是解题的关键。
30．（本题5分）单独完成一项工程，甲需要12天，乙需要15天，现在两人合作，中途甲休息3天，乙休息若干天，一共用12天完成。乙休息了几天？
【答案】天
【分析】将这项工程的工作量当做单位“1”，甲队独做12天完成，乙队独做15天完成，则甲、乙的工作效率分别为、，两人合作，中间甲休息了3天，甲的工作量为；用单位“1”减去甲干的工作量就是乙干的工作量，求出乙实际干的天数，再用12减去就是乙休息的时间。
【详解】甲的工作量为：
乙的工作量：；
乙实际工作时间：（天）
则乙休息了：（天）
答：乙休息了天。
【点睛】本题考查了工程问题．先求出乙实际干的天数，进一步求出休息的天数，运用“工作总量÷工作效率＝工作时间”进行计算即可。
31．（本题5分）如图，张叔叔从市驾车到市，途经城。信息如下：
①张叔叔从市出发，以80千米/小时的速度，行驶了2.5小时，到达城。
②市到城与城到市的路程比是。
③当汽车到达城时，油箱里的油由原来的满箱到剩下箱。
根据以上信息解决以下两个问题：
（1）市到市的路程是多少千米？
（2）张叔叔能否用剩下的油开到终点市？请你尝试说明理由（假设每千米的耗油量不变）。
【答案】（1）350千米
（2）能，理由见详解
【分析】（1）由条件①得：A市到B城的距离为：80×2.5＝200（千米）；又因为：A 市到B城与B城到C市的路程比是4∶3，则可列比例式来求得B城到C市的距离，然后把这两段距离相加，就是A市到C市的距离了；
（2）因为：当汽车到达 B 城时，油箱里的油由原来的满箱到剩下 箱；依然可以利用比例式来求得从B市到C市所需油量，再与剩下的箱作比较，即可作出判断。
【详解】（1）80×2.5＝200（千米）
解：设B城到C市的距离为x千米，由题意得：
200∶x＝4∶3
4x＝200×3
x＝600÷4
x＝150
150＋200＝350（千米）
答：A市到C市的路程是350千米。
（2）解：设汽车由B城到C市，需要汽油y箱，由题意得：
（1－）∶y＝4∶3
∶y＝4∶3
4y＝
y＝
＝
＞
答：张叔叔能用剩下的油开到终点C市。
【点睛】（1）主要是利用A 市到B城与B城到C市的路程比来列比例式解答；
（2）解答这一问时，注意箱油是由A市到B城后剩下的，而不是这一段路程所使用的油量。
32．（本题5分）阿基米德是古希腊最著名的数学家和力学家。他发现，一个球如果正好放在一个圆柱形容器中（如图，球的直径与圆柱的高和底面直径相等，此时圆柱体积正好比球的体积多，圆柱表面积也正好比球的表面积多。已知图中圆柱的底面周长是18.84厘米，你能求出这个球的体积吗？
【答案】113.04cm3
【分析】根据题意可知，圆柱的高和底面直径相等，圆柱的直径＝底面周长÷π，根据圆柱的体积V＝πr2h，求出圆柱的体积，圆柱的体积是球体积的（1＋），用除法即可求出球的体积。
【详解】18.84÷3.14＝6（cm）
6÷2＝3（cm）
3.14×32×6
＝28.26×6
＝169.56（cm3）
＝169.56÷
＝113.04（立方厘米）
答：这个球的体积是113.04立方厘米。
【点睛】解答此题的关键是明确圆柱的高和底面直径是相等的，需先求出圆柱的体积。

【考场注意篇01】小学数学临场解题策略大揭秘。
小升初考试的特点是以小数数学基本概念、基础运算以及基本解题能力的高低为标准的一次考试，这就使得临场发挥显得尤为重要，研究和总结临场解题策略，进行应试训练，已成为小升初数学的重要内容之一，正确运用数学临场解题策略，不仅可以预防各种心理障碍造成的不合理丢分和计算失误及笔误，而且能运用科学的检索方法，建立神经联系，挖掘思维和知识的潜能，考出最佳成绩。
一、调整大脑思绪，提前进入数学情境
考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入“角色”，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而稳定情绪、增强信心，减轻压力、轻装上阵，使思维单一化、数学化，以平稳自信、积极主动的心态准备应考。
二、“内紧外松”，集中注意力，消除焦虑怯场
集中注意力是考试成功的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维，要使注意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧，但紧张程度过重，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松。
三、沉着应战，确保旗开得胜，以振奋精神
良好的开端是成功的一半，从考试的心理角度来说，这确实是很有道理的，拿到试题后，不要急于求成、立即下手解题，而应通览一遍整套试题，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题，让自己产生“旗开得胜”的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，即发挥心理学所谓的“门坎效应”，之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高。
四、“六先六后”，因人因卷制宜
在通览全卷，将简单题顺手完成的情况下，情绪趋于稳定，情境趋于单一，大脑趋于亢奋，思维趋于积极，之后便是发挥临场解题能力的黄金时间了。这时，考生可依自己的解题习惯和基本功，结合整套试题结构，选择执行“六先六后”的战术原则。
1.先易后难。即先做简单题，再做综合题。应根据自己的实际情况，果断跳过“啃”不动的题目，从易到难，也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪。
2.先熟后生。通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处。对后者，不要惊慌失措，应想到试题偏难对所有考生也难，通过这种暗示，确保情绪稳定。对全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的策略，即先做那些内容掌握比较透彻、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目。这样，在拿下熟题的同时，可以使思维流畅、超常发挥，达到拿下中、高档题目的目的。
3.先同后异。即先做同科同类型的题目，思考比较集中，知识和方法的沟通比较容易，有利于提高单位时间的效益。中考题一般要求较快地进行“兴奋灶”的转移，而“先同后异”，可以避免“兴奋灶”过急、过频的跳跃，从而减轻大脑负担，保持有效精力。
4.先小后大。小题一般是信息量少、运算量小，易于把握，不要轻易放过，应争取在解答大题之前尽快解决，从而为解决大题赢得时间，创造一个宽松的心理基础。
5.先点后面。近年的数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，而前面问题的解决又为后面问题准备了思维基础和解题条件，所以要步步为营，由点到面。
6.先高后低。即在考试的后半段时间，要注重时间效益，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”，以增加在时间不足前提下的得分。
五、一“慢”一“快”，相得益彰
有些考生只知道考场上一味地要快，结果题意未清，条件未全，便急于解答，岂不知欲速则不达，结果是思维受阻或进入死胡同，导致失败。应该说，审题要慢，解答要快。审题是整个解题过程的“基础工程”，题目本身是“怎样解题”的信息源，必须充分搞清题意，综合所有条件，提炼全部线索，形成整体认识，为形成解题思路提供全面可靠的依据。而思路一旦形成，则可尽量快速完成。
六、确保运算准确，立足一次成功
小升初考试一般设置需要在90分钟时间内完成26-30道题，对于部分同学时间很紧张，不允许做大量细致的解后检验，所以要尽量准确运算(关键步骤，力求准确，宁慢勿快)，立足一次成功。解题速度是建立在解题准确度基础上的，更何况数学题的中间数据常常不但从“数量”上，而且从“性质”上影响着后继各步的解答。所以，在以快为上的前提下，要稳扎稳打，层层有据，步步准确，不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了，因为解答不对，再快也毫无意义。
七、讲求规范书写，力争既对又全
考试的又一个特点是以卷面为唯一依据。这就要求不但会而且要对，对且全，全而规范。会而不对，令人惋惜；对而不全，得分不高;表述不规范、字迹不工整又是造成数学试卷非智力因素失分的一大方面。因为字迹潦草，会使阅卷老师的第一印象不良，进而使阅卷老师认为考生学习不认真、基本功不过硬、“感情分”也就相应低了，此所谓心理学上的“光环效应”。“书写要工整，卷面能得分”讲的也正是这个道理。
八、面对难题，讲究策略，争取得分
会做的题目当然要力求做对、做全、得满分，而更多的问题是对不能全面完成的题目如何分段得分，下面有两种常用方法：
1.缺步解答。对一个疑难问题，确实啃不动时，一个明智的解题策略是：将它划分为一个个子问题或一系列的步骤，先解决问题的一部分，即能解决到什么程度就解决到什么程度，能演算几步就写几步，每进行一步就可得到这一步的分数。如从最初的把文字语言译成符号语言，把条件和目标译成等量关系式，设应用题的未知数，依题意正确画出图形等，都能得分而且可望在上述处理中，从感性到理性，从特殊到一般，从局部到整体，产生顿悟，形成思路，获得解题成功。
2.跳步解答。当解题过程卡在一中间环节上时，可以承认中间结论，往下推，看能否得到正确结论，如得不出，说明此途径不对，立即改变方向，寻找其他途径；如能得到预期结论，就再回头集中力量攻克这一过渡环节。若因时间限制，中间结论来不及得到证实，就只好跳过这一步，写出后继各步，一直做到底；另外，若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问，这都叫跳步解答。也许后来由于解题的正迁移对中间步骤想起来了，或在时间允许的情况下，经努力而攻下了中间难点，可在相应题尾补上。
九、以退求进，立足特殊，发散一般
对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊(如用特殊法解选择题)，化抽象为具体，化整体为局部，化参量为常量，化较弱条件为较强条件，等等。总之，退到一个你能够解决的程度上，通过对“特殊”的思考与解决，启发思维，达到对“一般”的解决。
十、执果索因，逆向思考，正难则反
对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展。顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证。如用分析法，从肯定结论或中间步骤入手，找充分条件;用反证法，从否定结论入手找必要条件。
十一、回避结论的肯定与否定，解决探索性问题
对探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自明。
十二、应用性问题思路：面—点—线
解决应用性问题，首先要全面理解题意，迅速接受概念，此为“面”；透过冗长叙述，抓住重点词句，提出重点数据，此为“点”；综合联系，提炼关系，依靠数学方法，建立数学模型，此为“线”。如此将应用性问题转化为纯数学问题。当然，求解过程和结果都不能离开实际。
【考场注意篇02】小升初考试答题卡填涂注意事项网络阅卷流程简介
由于网上阅卷具有自动屏蔽考生信息，确保阅卷过程客观公正，大大提高阅卷效率等优点，网络阅卷成为现有科技条件下广泛使用的阅卷方式。
那么学生在填涂答题卡的过程中有哪些需要注意的事项呢？网络阅卷流程具体又是怎样进行的呢？
☆☆电子阅卷流程与答题卡填涂注意事项
走近电子阅卷，看看试卷在阅卷人眼中呈现的样子。
一、扫描。
1.如果不使用规定的2B铅笔，可能识别被误判为“空选”，造成失分。
2.蓝色钢笔书写后，扫描字迹较浅，若无法辨认，容易误判或不给分。
作图未使用规定铅笔，或下笔太轻，会造成扫描看不清楚，请慎重
4.语言表述需简明扼要，勿超出答题区域。
二、阅卷。
1.主观题和客观题
一般客观题为选择题，由电脑自动阅卷完成；主观题为填空题、解答题，划分区域后，由人工网上阅卷完成。改卷中存在争议的部分，往往都是主观题部分。
2.正评和仲裁
每次考试，一般每道题由两位老师独立评分，即为正评。
评卷前会在系统内设定一个允许误差，比如1分，若两位老师评分不超过允许误差，则得分按均值计算；若评分超过允许误差，则试卷提交到第三位老师进行仲裁，作为最终结果。考试按不同题型分类，允许误差为0分或1分。
3.评卷误差的产生
评卷误差的产生，主要有两个原因：一是解题过程的规范性，二是书写的规范性。
由于解题过程的不规范，其实是方法掌握得不够全面，各题迥异不具代表性，这里主要展示一些书写规范性的问题。
①写的字迹，无法辨认，或容易引起歧义。
②解答题未化简到最终结果可能扣分；填空题以下三种情况未化简则全扣。
③万别和阅卷老师开玩笑，情节严重者，本题即使有部分正确依然0分处理。
建议同学们要注意平时作业和考试中的书写，一定要非常规范，养成良好的习惯，这样在中考中就会很自然地书写规范，考出自己满意的成绩！
三、阅卷教师希望看到的是能够减轻阅读量的卷面，
具体包括以下6点：
1.卷面清洁，这是最基本的要求；
2.书写工整，字迹清晰；
3.在规定的答题区域答题，否则做无用功；
4.表述是要根据分值思考要点，尽量细分，用分号或①②③④等符号清楚表述；
5.语言要简洁，答中要害；
6.语言表述要规范，尽量用专业术语。
如果卷面做到了以上6点，在“可给分可不给分的情况时，从宽给分”的中考评分原则下，将无形中增加了多得分的砝码。
四、以下是网上阅卷中发现的考生答题不规范的典型情况：
1.字迹潦草
问题一：字迹潦草、字迹过淡的情况不少。中考阅卷是在计算机中阅读扫描后的考生答题卡，没有平时纸质阅卷那么清晰易认，加上中考阅卷时间短、任务重，因此字迹不清楚的试卷是不受阅卷老师欢迎的。
【应对】书写差的学生应加强书法练习，不仅每个字要力争书写工整、大方，而且整个卷面要做到干净、清洁；答题卡答题范围设置是假定用三号字书写两倍正确答案字数的大小，考生无需担心字写大了书写空间不够；考试时统一要求学生使用配套的0.5mm考试专用水芯笔，避免笔迹过淡或过浓导致扫描不清晰。
2.题号填涂与作答不符
问题二：试卷中有选考题，要求考生除了答出所选题目的答案外，还要在答题卡中将相应的选择题号涂黑，而部分考生出现答题内容与所涂题号不一致的情况，这样做，该题0分。例如，考生涂的是39题题号，答的却是40题的内容，只能得零分。
【应对】答选考题时，一定要头脑清醒，选定要答的题目一定要涂对题号，否则白费了工夫，还不得分。
3.超出规定区域答题
问题三：部分学生还没想好便匆忙答题，以至于格式没安排好，超出了该题预留的答题位置。在网上阅卷中，超出规定区域的答案无效。
【应对】答大题时，想好了再动笔，先答什么，后答什么，要有条理，不能写了半天还没入主题，重要的东西没地方写了，再东找点地方，西找点地方写，结果不得分。
4.答案分块
问题四：有的学生答案布局不合理，内容分成了几块。“分块”现象容易导致阅卷老师漏阅得分点，造成赋分过少的现象。
【应对】中考试题中的非选择题一般是一个要点2分。因此，书写答案前先确定需要书写的要点个数，规划好答案的整体布局，在书写前对答案打好草稿，然后从左上角往右下角书写，这样就不会出现图示的“分块”现象；备考过程中加强对中考非选择题答案的揣摩，分析答案要点有几个，答案依据在哪，为什么只答这几个要点等。做到答题时条理分明，避免书写之后又补充答案的现象。
5.答案不分层次
问题五：不少考生答一道大题时，没有层次，一口气写了一大段，让阅卷老师很难查找知识点。
【应对】对于一道需要答出很多采分点的大题，考生作答时要尽可能做到有层次，这样能让阅卷老师感觉到该考生思路是清晰的，便于得高分。
6.作图不规范
问题六：部分学生在答题卡上作图不清晰，要不过淡，要不就东一条线、西一条线，擦又没擦干净，显得很脏，这让阅卷老师很难辨识清楚。
【应对】作图题要本着清晰、干净的原则，该用尺子的地方一定要用尺子，线条要重些，但又不能让其看起来显得很脏。
7.出现删除符号
问题七：部分考生匆忙答题，答错了一段，便用删除符号大面积删掉。
【应对】往年中考中允许使用白纸“打补丁”，而现在中考则取消了“打补丁”。因此，很多学生感觉答题出现错误时，往往使用删除符号划掉部分字词，这是一个极其错误的思维定势。
阅卷有一个“采点得分”原则，即只看对的答案。只要不是同一句话中前后矛盾，那么即使是错误的答案也不会影响考生应得分数。因此，在不允许“打补丁”的前提下，已经书写的答案就不要使用删除符号。
解决方案：1.如果答案中已经用数字标注①、②、③等，则无需进行修改。2.如果没有使用数字标注的习惯，则在认为要删除的答案前后标上句号，使其与别的答案存在并列关系。
数学阅卷中给考生在考试中发挥提几点意见：
1.发挥最大潜能，让考分达到最大值，忽略其他一切与考试无关的东西。
2.几何第1问一般较为简单，用一般知识即可解决，
3.由于每道大题答题框面积有限，故答题只能写必要关键步骤，有些课本上没有的常规结论直接使用。
4.如果将前面的过程写得过细，必然会导致后面拥挤，关键的内容没有写上。
5.大家知道，大题不能留空白，“会而不对”的题将涉及的知识套上去，必要时用“瑕疵”法求解。
6.熟知中考数学解答题的评分标准：解答题评分的大思想“踩点给分”，先由评卷全体老师把该题可能有的解法都解出来，每种解法，细化步骤，讨论哪一步给多少分，直到评卷组长通过为止。
8.做题的几个原则：①先易后难，先熟后生；②一慢一快：审题要慢，做题要快；③不能小题难做，小题大做，要小题小做，小题巧做；④基础题要拿满分，难题力争多得分，似曾相识题力争不失分；⑤考试不怕题不会，就怕会题做不对。
【01放松身心劳逸结合】把孩子交给夏日阳光、绿树浓荫。
紧张忙碌的考试过去了，终于可以松一口气，那么应该如何放松疲惫的身心呢？应该如何有计划有效果地去调整呢？
一、去见书本以外更广阔的天地。
学生还是应该多出去走走看看，平时上学时间紧，只能对着课本，现如今考试结束放假了，应该多和同学或者家长一起，出去旅旅游。或者爬山涉水，登高望远，或者去自己心仪大学所在的城市，提前感受一下氛围。
二、重拾兴趣，去发现更好的自己。
每个学生都应该有自己的兴趣爱好，比方说打球、音乐、美术等。之前为了考试，这些兴趣爱好只能靠边站。现如今考试已经结束，这些健康的兴趣爱好可以重拾起来。只要有兴趣，就能玩得更开心。
三、运动，挥洒汗水，强健体魄
不要小看运动的作用，它的确可以放松身心的。因为之前备战考试，做了很多脑力劳动，现在考试结束后，应该多做一下体力劳动，只有这样才能德智体全面发展。挥洒汗水，强健体魄，让青春在运动中闪光！
【02文艺作品中找数学】中学生必看数学题材的电影。
01英文名称：π
别名：3.14159265358(USA)
发行时间：1998年07月10日
简介：科幻惊栗手法描写一名天才数学家触目惊心的经历。才华盖世的数学家马斯在过去十年来，发现股票市场在混乱波动背后原来由一套数学模式操控，于是致力研究寻出该数学模式。没想到，主宰金融市场的一家华尔街财团，以及不择手段要释破圣经密码的一个卡巴拉宗教组织均同时派员追缉他，马斯既要保护一己安全，同时亦要尽快找出这些影响世界金融市场的密码。
02美丽心灵
英文名称：A Beutiful Mind
发行时间：2001年出品
简介：故事的原型是数学家小约翰-福布斯-纳什(Jr.Jhn Frbes Nash)。英俊而又十分古怪的纳什早年就作出了惊人的数学发现，开始享有国际声誉。但纳什出众的直觉受到了精神分裂症的困扰，使他向学术上最高层次进军的辉煌历程发生了巨大改变。面对这个曾经击毁了许多人的挑战，纳什在深爱着的妻子艾丽西亚(Alicia)的相助下，毫不畏惧，顽强抗争。经过了几十年的艰难努力，他终于战胜了这个不幸，并于1994年获得诺贝尔奖。
03心灵捕手
英文名称：Gd Will Hunting
别名：骄阳似我
发行时间：1997
简介：一个麻省理工学院的数学教授，在他系上的公布栏写下一道他觉得十分困难的题目，希望他那些杰出的学生能解开答案，可是却无人能解。结果一个年轻的清洁工(麦特戴蒙饰)却在下课打扫时，发现了这道数学题并轻易的
4、费马最后定理
英文名称：Fermat s Last Therem
发行时间：2005年
简介：本片从证明了费玛最后定理的安德鲁怀尔斯 （Andrew Wiles）开始谈起，描述了 Fermat s Last Therm 的历史始末，往前回溯来看，1994年正是我在念大学的时候，当时完全没有一位教授在课堂上提到这件事，也许他们认为，一位真正的研究者，自然而然地会被数学吸引，然而对一位不是天才的学生来说，他需要的是老师的指引，引导他走向更高深的专业认知，而指引的道路，就在科普的精神上。
5、笛卡儿
英文名称：Decartes
发行时间：2006年
简介：勒奈·笛卡尔（René Descartes‎，常作笛卡儿，1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省笛卡尔-1650年2月11日逝于瑞典斯德哥尔摩），法国哲学家、数学家、物理学家。他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。他还是西方现代哲学思想的奠基人，是近代唯物论的开拓者提出了“普遍怀疑”的主张。他的哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人，开拓了所谓“欧陆理性主义”哲学。
6、牛顿的黑暗秘密
英文名称：Newtn s Dark Secrets
发行时间：2005年
简介：1643年1月4日，在英格兰林肯郡小镇沃尔索浦的一个自耕农家庭里，牛顿诞生了。牛顿是一个早产儿，出生时只有三磅重，接生婆和他的亲人都担心他能否活下来。谁也没有料到这个看起来微不足道的小东西会成为了一位震古烁今的科学巨人，并且竟活到了85岁的高龄。
7、阿基米德的秘密
英文名称：Infinite Secrets: The Genius f Archimedes
发行时间：2005年
简介：阿基米德(Archimedes，约公元前287～212)是古希腊物理学家、数学家，静力学和流体静力学的奠基人。除了伟大的牛顿和伟大的爱因斯坦，再没有一个人象阿基米德那样为人类的进步做出过这样大的贡献。即使牛顿和爱因斯坦也都曾从他身上汲取过智慧和灵感。他是“理论天才与实验天才合于一人的理想化身”，文艺复兴时期的达芬奇和伽利略等人都拿他来做自己的楷模。
8、伽利略:为真理而战
英文名称：Galile s Battle Fr The Heavens
发行时间：2006年03月
简介：基于达娃·索贝尔(Dava Sbel)的畅销传记《伽利略的女儿：科学、信仰和爱的历史回忆》改编而成，向我们展示了伟大科学家伽利略的人生轨迹和追求真理的道路。
9、阿兰·图灵
英文名称：Alan Turing
简介：阿兰·图灵（Alan Turing）这个名字无论是在计算机领域、数学领域、人工智能领域还是哲学、逻辑学等领域，都可谓“掷地有声”。图灵是计算机逻辑的奠基者，许多人工智能的重要方法也源自这位伟大的科学家。他在24岁时提出了图灵机理论，31岁参与了Clssus（二战时，英国破解德国通讯密码的计算机）的研制，33岁时构思了仿真系统，35岁提出自动程序设计概念，38岁设计了“图灵测试”，在后来还创造了一门新学科—非线性力学。虽然图灵去世时只有42岁，但在其短暂而离奇的生涯中的那些科技成就，已让后人享用不尽。人们仰望着这位伟大的英国科学家，把“计算机之父”、“人工智能之父”、“破译之父”等等头衔都加冕在了他身上，甚至认为，他在技术上的贡献及对未来世界的影响几乎可与牛顿、爱因斯坦等巨人比肩。
15、知无涯者
简介：影片是关于印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金的传记片。斯里尼瓦瑟·拉马努金（戴夫·帕特尔 饰）生于印度坦焦尔区的埃罗德，幼时即表现出数学才能，但因家境贫困未能受到很好的教育。1904年获奖学金入贡伯戈纳姆大学学习，由于偏科未能毕业。1907年后为谋生计备尝艰辛，但仍刻苦自学数学。1912年在印度数学会杂志上发表论文《伯努尼数的一些性质》，崭露头角。后在友人的协助下，给英国著名数学家哈代（杰瑞米·艾恩斯 饰）去信，陈述自己在数论方面的研究，并列举在其他方面得到的定理和猜想。哈代对其才华称奇，在1914年推荐并资助他入剑桥大学深造。从此他既是哈代的学生，又是哈代的合作者。
材料
色拉油
醋
酱油
用量
60克
30克
10克
所受拉力
5N
6N
8N
10N
…
弹簧伸长
2cm
2.4cm
3.2cm
4cm
…
所行路程（千米）
16
32
48
64
耗油量（升）
2
4
6
8
甲店：每买10套送2套。
乙店：全场八五折销售。
丙店：每满200元，返现金30元。
现金支付：每满50元减10元（满50元减10元，满100元减20元，以此类推）
微信支付：随机减免
支付宝支付：打八五折
网店
促销方式（免运费）
A
每满100元减30元
B
打七五折
C
先打八折后再每满200元减20元
D
买四赠一
月份
用水量/立方米
水费/元
4
15
31.50
5
24
56.40
月份
用水量（立方米）
水费（元）
4
15
31.50
5
24
56.40
居民阶梯用水分类
单价
（元/）
其他代收费用
说明
第一级＜
1.8
代收污水处理费和生活垃圾处理费。每月生活垃圾处理费以月用水量为上限计收，0.5元/，超过部分不计收。污水处理费收费标准：1元
居民阶梯水价水量按每户家庭每月4人用水量计算，如家庭人口超过4人，每增加1人，在每一级阶梯水量的上、下限基础上相应增加/月，每一级单价不变。
第二级
2.7
第三级
5.4
头/个
鸡/只
兔/只
腿/条
结论
20
10
10
60
×
头/个
鸡/只
兔/只
腿/条
结论
20
10
10
60
×
20
11
9
58
×
20
12
8
56
×
20
13
7
54
√
20
14
6
52
×
一张桌子
二张桌子
三张桌子
四张桌子
…
n张桌子
第一种摆法
能坐（ ）人
…
能坐（ ）人
第二种摆法
能坐（ ）人
…
能坐（ ）人
两种摆法相差
…
相差（ ）人
一张桌子
二张桌子
三张桌子
四张桌子
…
n张桌子
第一种摆法
能坐（18）人
…
能坐（4n＋2）人
第二种摆法
能坐（12）人
…
能坐（2n＋4）人
两种摆法相差
…
相差（2n－2）人
A
B
C
D
E
F
第一次
1
0
1
0
1
0
第二次
0
1
1
1
0
0
第三次
0
1
0
0
1
1
消毒对象
稀释比例方式（原液水）
方式
注意事项
1.不能与其他消毒液或清洁液混用。
2.切勿用于丝绸、毛、皮革、铝、铜等表面。
3.餐饮、瓜果蔬菜消毒后，用清水洗净。
4.禁口服，建议使用时戴手，避免触皮肤。
5.本品避光、避热阴凉处保存。
地面、墙壁
1∶99
喷洒
卫生间、垃圾堆
1∶49
喷洒
瓜果蔬菜、洁具
1∶199
浸泡
织物
1∶199
浸泡
相邻自然数
1与2
2与3
3与4
…
9与10
n与
和
3
5
7
1
19
积
2
6
12
1
90
图形
……
最多相等线段的条数
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
……
（ ）
图形
……
最多相等线段的条数
8
10
12
14
16
无数
序号
1
2
3
4
…
图形
○○
○○●
●●●
○○●○
●●●○
○○○○
○○●○●
●●●○●
○○○○●
●●●●●
…
小圆片个数
2
2＋4
2＋4＋6
2＋4＋6＋8
…
出租车价格表
里程
3千米以内
3千米以上的每千米（不足1千米按1千米计算）
价格
10元
2.4元
序号
1
2
3
4
…
图形
○○
○○●
●●●
○○●○
●●●○
○○○○
○○●○●
●●●○●
○○○○●
●●●●●
…
小圆片个数
2
2＋4
2＋4＋6
2＋4＋6＋8
…
出租车价格表
里程
3千米以内
3千米以上的每千米（不足1千米按1千米计算）
价格
10元
2.4元