2023-2024学年福建省厦门外国语学校高一下学期期中考试数学试卷-普通用卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省厦门外国语学校高一下学期期中考试数学试卷-普通用卷（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知i为虚数单位若复数z=52−i，则z的虚部是
( )
A. 1B. −1C. iD. −i
2.水平放置的▵ABC的直观图如图所示，D′是▵A′B′C′中B′C′边的中点，且A′D′平行于y′轴，则A′B′，A′D′，A′C′对应于原▵ABC中的线段AB，AD，AC，对于这三条线段，正确的判断是
( )
A. 最短的是ADB. 最短的是ACC. AB>ACD. AD>AC
3.在▵ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c，且a= 2,b=1,A=45∘，B=( )
A. 30∘B. 30∘或150∘C. 60∘D. 60∘或120∘
4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若α⊥β，m/​/α，则m⊥βB. 若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
C. 若m/​/α，n⊥α，则m⊥nD. 若m⊥n，m/​/α，则n⊥α
5.▵ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，若S▵ABC=a2+b2−c24且ABAB+ACAC⋅BC=0，则▵ABC形状是
( )
A. 有一个角是π6的等腰三角形B. 顶角是π4的等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 不能确定三角形的形状
6.已知向量a=2,1，b=λ,3，若向量b在向量a上的投影向量c=10,5，则b−2a=( )
A. 7B. 3 5C. 4 3D. 5 2
7.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=CA=AA1=2，P为线段A1B1的中点，Q为线段C1P(包括端点)上一点，则▵BCQ的面积的最大值为
( )
A. 192B. 5C. 2D. 3
8.已知平面向量a,b满足a=1,b,a+b=π6，则a−b的最大值为
( )
A. 2B. 2+1C. 3+1D. 3
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知z是复数，z是其共轭复数，则下列命题中错误的是
( )
A. z2=|z|2
B. 若|z|=1，则|z−1−i|的最大值为 2+1
C. 若z=(1−2i)2，则复平面内z对应的点位于第一象限
D. 若1−3i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则q=−8
10.已知⊙O的内接四边形ABCD中，AB=2,BC=6,AD=CD=4，下列说法正确的是
( )
A. A=2π3B. 四边形ABCD的面积为8 3
C. 该外接圆的直径为2 213D. BO⋅CD=−4
11.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的表面上一个动点，F是线段A1B1的中点，则
( )
A. 若点P满足AP⊥B1C，则动点P的轨迹长度为4 2+4
B. 当点P在棱DD1上时，AP+PC1的最小值为 5
C. 当直线AP与AB所成的角为45∘时，点P的轨迹长度为π+4 2
D. 当P在底面ABCD上运动，且满足PF//平面B1CD1时，线段PF长度最大值为2 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数z满足z−1z+1=i2023，则z= ．
13.如图，为了测量河对岸的塔高AB，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测量得∠CDB=120∘，CD=30米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为30∘，45∘，则塔高AB= ．
14.已知正四棱锥S−ABCD的所有棱长都为2，点E在侧棱SC上且SE=14SC，过点E且垂直于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形H，则H的边数为 ，H的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，在△ABC中，AD=25AB，点E为AC中点，点F为BC的三等分点，且靠近点C，设CB=a，CA=b．
(1)用a，b表示EF，CD；
(2)如果∠ACB=60°，AC=2，且CD⊥EF，求|CD|.
16.(本小题12分)
记▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b−c=2acsC．
(1)求角A的大小；
(2)若D点在线段BC上，且AD平分∠BAC，若BD=2CD，且AD= 3，求a．
17.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为矩形，且平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别为AB,PC的中点，直线PC与面ABCD所成角的正切值为 155．
(1)证明：MN//平面PAD；
(2)证明：DM⊥PC．
18.(本小题12分)
在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从下列条件中选择一个条件作答：(注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分．)
①2sinBsinC+cs2C=1+cs2A−cs2B ②acsB+bsinA2=c ③b2=2 33S+abcsC
(1)求A的大小
(2)若▵ABC为锐角三角形，求cb的取值范围；
(3)若b= 3，点A，B，C分别在等边▵DEF的边DE，EF，FD上(不含端点)，若▵DEF面积的最大值为7 3，求c．
19.(本小题12分)
如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC= 3，M是线段AD上的一动点，将▵ABM沿着BM折起，使点A到达点A′的位置，满足点A′∉平面BCDM且点A′在平面BCDM内的射影E落在线段BC上．
(1)当点M与端点D重合时，证明：A′B⊥平面A′CD；
(2)当AM=32时，求二面角A′−BM−C的余弦值；
(3)设直线CD与平面A′BM所成的角为α，二面角A′−BM−C的平面角为β，求sin2α⋅csβ的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】先化简复数，再利用复数的有关概念求解．
【详解】解：因为复数z=52−i=2+i，
所以z的虚部是1，
故选：A
2.【答案】A
【解析】【分析】根据题意，由直观图与原图的关系，结合条件，即可判断
【详解】因为A′D′平行于y′轴，所以在▵ABC中，AD⊥BC，
又因为D′是▵A′B′C′中B′C′边的中点，所以D是BC的中点，
所以AB=AC>AD，故 A正确．
故选：A．
3.【答案】A
【解析】【分析】由正弦定理求得sinB，结合边的大小关系即可得解．
【详解】由正弦定理有asinA=bsinB，即 2 22=1sinB，解得sinB=12，
注意到b