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2023-2024学年江苏省盐城市阜宁县（部分校）高一下学期期中考试数学试题（A卷）（含解析）
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这是一份2023-2024学年江苏省盐城市阜宁县（部分校）高一下学期期中考试数学试题（A卷）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列复数中，满足方程x2+2=0的是 ( )
A. ±1B. ±iC. ± 2iD. ±2i
2.cs 295°sin 70°−sin 115°cs 110°的值为
( )
A. 22B. −22C. 32D. − 32
3.在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC的大小为( )
A. 2π3B. 5π6C. 3π4D. π3
4.已知e1､e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中不能作为基底的一组是( )
A. e1+e2和e1−2e2B. e1−2e2和2e1−4e2
C. e1−2e2和e1+2e2D. e1+e2和e1+2e2
5.在复平面内，复数11−i的对应的点位于 ( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
6.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°(CDE三点共线，所在直线垂直于地平面上的AE)，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD=50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cs θ等于( )
A. 32B. 22C. 3−1D. 2−1
7.化简2cs 10°−sin 20°cs 20°值为 ( )
A. 32B. 3C. 34D. 33
8.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”.“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，其比值为 5−12≈0.618，这一比值也可以表示为m=2sin18°，若2m2+n=8，则m n2cs227°−1=( )
A. 2B. 4C. 2 2D. 4 2
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=2,−1，b=(−3,2)，c=1,1，则
( )
A. a//bB. a+b⊥cC. a+b=cD. c=5a+3b
10.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则下列说法正确的是
．( )
A. 若sin B>sin C，则B>C
B. 若a=2 6,b=4，A=π4，则三角形有两解
C. 若bcs B−ccs C=0，则△ABC一定为等腰直角三角形
D. 若△ABC面积为S,S=14(a2+b2−c2),则C=π4.
11.已知O是△ABC所在平面内一点，以下说法正确的是( )
A. 若动点P满足OP=OA+λ(|AB|⋅ABsinC+|AC|⋅ACsinB)(λ∈R)，则P点的轨迹一定通过△ABC的重心
B. 若点O满足AO⋅AB|AB|=AO⋅AC|AC|,CO⋅CA|CA|=CO⋅CB|CB|，则点O是△ABC的垂心
C. 若O为△ABC的外心，且OA+OB+OC=OM，则M是△ABC的内心
D. 若(OA+OB)⋅AB=(OB+OC)⋅BC=0，则点O为△ABC的外心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知i为虚数单位，则复数(2−i)2的模为=_________。
13.设a=(x,3)，b=(2,−1)且a,b的夹角为钝角，实数x的取值范围是__________。
14.若关于x的不等式asin2x+bsinx+c≤1(a>0)的解集为2kπ,2kπ+π,k∈Z，则a的取值范围是_________。
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知平面向量a=(1,x)，b=(2x+3,-x)(x∈R)．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a //b，求a-b．
16.(本小题12分)
已知复数z和它的共轭复数z满足2z+z=3+2i．
(1)求z；
(2)若z是关于x的方程x2+px+q=0p,q∈R的一个根，求复数zp+q−4i的模．
17.(本小题12分)
平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠BAD=120∘，求：
(1)AB•AC的值；
(2)cs∠BAC
18.(本小题12分)
记▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsinC+π6=a+c．
(1)求B；
(2)若b=2，求▵ABC的面积的最大值．
19.(本小题12分)
已知向量a=(cs 3x2,sin 3x2)，b=(cs x2,−sin x2)，函数fx=a→⋅b→−ma→+b→+1，x∈−π3,π4，m∈R．
(1)当m=0时，求fπ6的值；
(2)若fx的最小值为−1，求实数m的值；
(3)是否存在实数m，使函数gx=fx+2449m2，x∈−π3,π4有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查复数的四则运算及复数相等的条件，设x=a+bi，a,b∈R，利用复数相等即可求出a、b的值，属基础题．
【解答】
解：设x=a+bi，a,b∈R，因为x2+2=0，
则a2−b2+2+2abi=0，即a2−b2+2=02ab=0，
解得a=0,b=± 2．
即x=± 2i．
故选C．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查诱导公式及两角差的余弦公式，属于基础题．
利用诱导公式以及两角差的余弦公式的逆应用即可求解．
【解答】
解：原式=−cs 115°cs 20°+sin 115°sin 20°
=cs 65°cs 20°+sin 65°sin 20°
=cs(65°−20°)=cs 45°= 22．
故选：A
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查余弦定理的应用．在三角形中求出余弦值找对应的角时切记莫忘角的范围．
先根据余弦定理求出角∠BAC的余弦值，再由角的范围确定大小即可．
【解答】
解：∵cs∠BAC=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=52+32−722×5×3=−12，
又∠BAC∈(0,π)，所以∠BAC=2π3．
故选：A．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查向量基底的概念，知道作为基底的向量不共线，以及共线向量基本定理，属于基础题．
如果两个向量共线便不能作为基底，从而找为共线向量的一组即可，可根据共线向量基本定理进行判断．
【解答】
解：不共线的向量可以作为基底，
∴不能作为基底的便是共线向量，
显然B，e1−2e2=12(2e1−4e2)，
∴e1−2e2和2e1−4e2共线，不能作为基底，
故选：B．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
由复数的化简，得到对应的点坐标，从而得到结果．
【解答】
解：∵11−i=1+i1−i1+i=12+12i，
∴对应的点坐标为12,12，位于第一象限．
故选A．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查正弦定理在实际问题中的应用，属基础题．
易求∠ACB=30∘，在△ABC中，由正弦定理可求BC，在△BCD中，由正弦定理可求sin∠BDC，再由∠BDC=θ+90∘可得答案．
【解答】解：∵∠CBD=45°，∠CAB=15°, ∴∠ACB=30°，
在△ABC中，由正弦定理，得BCsin∠CAB=ABsin∠ACB，
即BCsin15°=100sin30°，
解得BC=50( 6− 2)，
在△BCD中，由正弦定理，得BCsin∠BDC=CDsin∠CBD，
即50( 6− 2)sin∠BDC=50sin45°，
∴sin∠BDC= 3−1，即sin(θ+90°)= 3−1，
∴csθ= 3−1，
故选C.
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查两角差的余弦公式的应用，属于基础题．
利用两角差的余弦公式，化简所给的式子，可得结果．
【解答】
解：2cs10°−sin20°cs20°=2cs(30°−20°)−sin20°cs20°
=2cs30°·cs30°+sin30°·sin20°−sin20°cs20°
= 3cs20°+sin20°−sin20°cs20°
= 3．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查二倍角正弦公式、降幂公式、诱导公式——π2±α型、利用同角三角函数基本关系化简，属于容易题．
由题意结合同角三角函数基本关系求出n，利用二倍角正弦公式求出m n，进而利用降幂公式和诱导公式即可求得m n2cs227°−1的值．
【解答】
解：因为m=2sin18°，2m2+n=8，
所以n=8−8sin218°=8cs218°，
所以m n=2sin18°×2 2cs18°=2 2×2sin18°cs18°=2 2sin36°，
故m n2cs227°−1=2 2sin36°cs54°=2 2cs54°cs54°=2 2．
故选：C．
9.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查平面向量的坐标运算以及向量垂直和平行的判定，属于基础题．
根据向量平行的判定方法可判定A是否正确；根据向量垂直的判定方法可判定B是否正确；根据向量的坐标运算方法可判定C、D是否正确．
【解答】
解：由题意，2×2−(−3)×(−1)≠0 ，A错误；
a+b=(−1,1)，(a+b)⋅c=−1+1=0，所以B正确，C错误；
5a+3b=5(2,−1)+3(−3,2)=(1,1)=c，D正确．
故选：BD．
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查正弦定理、三角形的面积公式和判断三角形的形状，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
利用正弦定理、三角形的面积公式对选项逐个判断即可．
【解答】
解：对于A.由正弦定理得bsin B=csin C，因为sin B>sin C，所以b>c，则B>C，故正确；
对于B.因为a=2 6,b=4，A=π4，由正弦定理得asin A=bsin B，则sin B=bsin Aa=4× 222 6= 33，因为a>b，所以A>B，则B∈(0,π4)，所以三角形有一解，故错误；
对于C.因为bcs B−ccs C=0，所以sin Bcs B−sin Ccs C=0，即sin 2B=sin 2C，所以2B=2C或2B+2C=π，即B=C或B+C=π2，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故错误；
对于D.因为△ABC面积为S,S=14(a2+b2−c2),所以12absin C=14×2abcs C，即sin C=cs C，因为C∈(0,π)，所以C=π4.故正确．
故选：AD．
11.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查向量的运算，充分理解表达式的几何意义以及三角形的五心的特征，是解题的关键，属于较难题．
对于A：利用正弦定理化简已知条件，由此判断出P的轨迹经过重心，即可判断A是否正确；
对于B：利用表达式，转化推出O所在的位置，得出结果，即可判断B是否正确；
对于C：根据题意可得OA=OB=OC，且OA+OB=OM−OC，设AB的中点为D，则OD⊥AB，CM=2OD，推出CM⊥AB，则M是△ABC的垂心，即可判断C是否正确；
对于D：|OA+OB|是以OA，OB为邻边的平行四边形的一条对角线，|AB|是该平行四边形的另一条对角线，由AB⋅(OA+OB)=0得出这个平行四边形是菱形，于是O为△ABC的外心，即可判断D是否正确；
【解答】
解：对于A：由正弦定理可知：|AB|sinC=|AC|sinB=2R，R为三角形的外接圆的半径，
所以动点P满足OP=OA+λ(|AB|⋅ABsinC+|AC|⋅ACsinB)=OA+2λR(AB+AC)，
因为AB+AC是以AB，AC为邻边的平行四边形的对角线A为起点的向量，经过BC的中点，
所以P点的轨迹一定是通过三角形△ABC的重心，故A正确；
对于B：因为AO⋅AB|AB|=AO⋅AC|AC|，
所以AO⋅(AB|AB|−AC|AC|)=0，
所以点O在∠CAB的平分线上，
同理由CO⋅CA|CA|=CO⋅CB|CB|，得CO⋅(CA|CA|−CB|CB|)=0，
所以点O在∠ACB的平分线上，
所以点O是△ABC的内心，故B错误；
对于C：由O为△ABC的外心，可得OA=OB=OC，
因为OA+OB+OC=OM，
所以OA+OB=OM−OC，
设AB的中点为D，则OD⊥AB，CM=2OD，
所以CM⊥AB，
同理可得AM⊥BC，BM⊥AC，故M是△ABC的垂心，故C错误；
对于D：|OA+OB|是以OA，OB为邻边的平行四边形的一条对角线，
而|AB|是该平行四边形的另一条对角线，
所以AB⋅(OA+OB)=0表示这个平行四边形是菱形，即|OA|=|OB|，
同理可得|OB|=|OC|，于是O为△ABC的外心，故D正确．
故选：AD．
12.【答案】5
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算，复数的模的计算，是基础题．
化简(2−i)2，直接代入复数模的公式进行计算即可．
【解答】
解：2−i2=4−4i+i2=3−4i，
所以(2−i)2=3−4i= 32+−42=5．
故答案为5．
13.【答案】x|x<32且x≠−6
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积表示向量的夹角及向量共线的充要条件，属于一般题．
利用数量积公式知向量的夹角为钝角时数量积小于0且不是方向相反的向量，据数量积小于0求出x的范围，据共线向量的充要条件求出方向相反时x的范围，第一个范围去掉第二个范围即为所求．
【解答】
解：∵a,b的夹角为钝角，∴a→·b→<0，
即2x−3<0，解得x<32．
当a→,b→方向相反时，设a=λb且λ<0，
∴(x,3)=(2λ,−λ)，
∴x=2λ3=−λ,∴x=−6,
∴x的范围为x|x<32且x≠−6，
故答案为x|x<32且x≠−6．
14.【答案】(0,8]
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的图象性质，考查了不等式的解集，是中档题，
令t=sinx，将原问题转化为关于t的不等式−1≤at2+bt+c≤1(a>0)的解集为[0,1]，结合二次函数的性质，即可求出结果．
【解答】
解：令t=sinx，
若关于x的不等式|asin2x+bsinx+c|≤1(a>0)的解集为[2kπ,2kπ+π]，k∈Z，
等价于若关于t的不等式|at2+bt+c|≤1(a>0)的解集为[0,1]，
即关于t的不等式−1≤at2+bt+c≤1(a>0)的解集为[0,1]，
若a>0，可知函数y=at2+bt+c的对称轴为t=1+02=12，开口向上，
所以函数y=|at2+bt+c|图象如图所示：
当t−0时，c=1，当t=1时，a+b+c=1，即b=−a
最小值为t=12时，14a+12b+c≥−1，
所以14a−12a+1≥−1，解得0故答案为：(0,8]
15.【答案】解：(1)由a⊥b得，2x+3−x2=0，
即(x−3)(x+1)=0，
解得x=3或x=−1；
(2)由a //b，则2x2+3x+x=0，
即2x2+4x=0，得x=0或x=−2．
当x=0时，a=(1,0),b=(3,0)，
∴a−b=(−2,0)，
此时|a−b|=2；
当x=−2时，a=(1,−2),b=(−1,2)，
则a−b=(2,−4)．
故|a−b|= 22+(−4)2=2 5．
【解析】本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量共线，垂直的充要条件．
(1)利用两个向量互相垂直，可以求出x的值；
(2)由两个向量的互相平行先求出x的值，再求模长．
16.【答案】解：(Ⅰ)设z=a+bi(a,b∈R)，则z=a−bi，
2z+z=2(a+bi)+(a−bi)=3a+bi=3+2i，
所以3a=3,b=2,即a=1,b=2,所以z=1+2i，
(Ⅱ)将z=1+2i代入已知方程可得(1+2i)2+p(1+2i)+q=0，
整理可得(2p+4)i+(p+q−3) =0，
所以2p+4=0,p+q−3=0,解得p=−2,q=5,
所以zp+(q−4)i=1+2i−2+i=(1+2i)(−2−i)(−2+i)(−2−i)=−5i5=−i，
所以复数zp+(q−4)i的模为1．
【解析】本题考查共轭复数、复数的模、复数相等以及复数的除法运算，属于中档题
(Ⅰ)设z=a+bi(a,b∈R)，根据复数相等，建立a，b的方程组，求得a，b的值；
(Ⅱ)将z=1+2i代入已知方程可得(1+2i)2+p(1+2i)+q=0，根据复数相等，求出p，q的值，再通过复数的除法运算化简zp+(q−4)i，进而求出模．
17.【答案】解：(1)由题意，由题可得 AB⋅AD=AB⋅AD⋅cs120∘=1×2×(−12)=−1，
所以AC=AB+AD
AB•AC = AB•(AB+AD) = AB•AB+AB•AD =4−1=3 ；
(2) AB•AC =3 ，AC=AB+AD，
AC=AB+AD= (AB+AD)•(AB+AD) = 4−2+1 = 3 ，
设 AB,AC 的夹角为 θ ，
所以 csθ=AC•ABAC•AB=3 3×2= 32，即cs∠BAC= 32．
【解析】本题主要考查平面向量的运算，平面向量的数量积，求向量的模，求向量的夹角，属于中档题．
(1)利用向量的加法和数量积运算即可求解；
(2)先求出|AC|= 3，然后即可求解．
18.【答案】解：(1)利用正弦定理可得2sinBsin(C+π6)=sinA+sinC，
2sinB( 32sinC+12csC)=sinBcsC+csBsinC+sinC，
∵sinC≠0，
∴ 3sinB−csB=1，2sin(B−π6)=1，
∴sin(B−π6)=12，∵0解得B=π3或B=π(舍去)，∴B=π3；
(2)b=2，B=π3，由余弦定理可得b2=a2+c2−2accsB，
∴22=a2+c2−2accsπ3，
∵4=a2+c2−2accsπ3≥2ac−ac=ac，∴ac≤4，
∴△ABC的面积S△ABC=12acsinπ3≤12×4× 32= 3，
当且仅当a=c=2时，等号成立，
即△ABC为等边三角形时，其面积最大值为 3．
【解析】本题考查解三角形的基本知识，合理利用正余弦定理进行解决问题，结合不等式即可解决，属于中档题．
(1)利用正弦定理可得2sinBsin(C+π6)=sinA+sinC，化简为角度简单关系，利用两角和与差三角关系和辅助角解决；
(2)由余弦定理可得b2=a2+c2−2accsB，a2+c2≥2ac，即可解决本题．
19.【答案】解：(1)a⋅b=(cs3x2,sin3x2)⋅(csx2,−sinx2)
=cs3x2csx2−sin3x2sinx2
=cs(3x2+x2)=cs2x，
当m=0时，f(x)=a⋅b+1=cs2x+1，
则f(π6)=cs(2×π6)+1=12+1=32；
(2)∵x∈[−π3,π4]，
∴|a+b|= 2+2cs2x= 4cs2x=2csx，
则f(x)=a⋅b−m|a+b|+1
=cs2x−2mcsx+1=2cs2x−2mcsx，
令t=csx，则12≤t≤1，
则y=2t2−2mt，对称轴t=m2，
①当m2<12，即m<1时，
当t=12时，函数取得最小值，
此时最小值y=12−m=−1，得m=32(舍)，
②当12≤m2≤1，即1≤m≤2时，
当t=m2时，函数取得最小值，
此时最小值y=−m22=−1，得m= 2，
③当m2>1，即m>2时，
当t=1时，函数取得最小值，
此时最小值y=2−2m=−1，得m=32(舍)，
综上若f(x)的最小值为−1，则实数m= 2．
(3)令g(x)=2cs2x−2mcsx+2449m2=0，
得csx=3m7或4m7，
∴方程csx=3m7或4m7在x∈[−π3,π4]上有四个不同的实根，
则 22≤3m7<1 22≤4m7<13m7≠4m7，得7 26≤m<737 28≤m<74m≠0，则7 26≤m<74，
即实数m的取值范围是7 26≤m<74．
【解析】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，平面向量的数量积，平面向量的坐标运算，三角函数的性质，利用二次函数的性质求最值，复合函数的应用，数形结合思想，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．
(1)利用向量数量积的公式化简函数f(x)即可；
(2)求出函数f(x)的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可；
(3)由g(x)=0得到方程的根，利用三角函数的性质，以及数形结合的思想，进行求解即可．
1.下列复数中，满足方程x2+2=0的是 ( )
A. ±1B. ±iC. ± 2iD. ±2i
2.cs 295°sin 70°−sin 115°cs 110°的值为
( )
A. 22B. −22C. 32D. − 32
3.在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC的大小为( )
A. 2π3B. 5π6C. 3π4D. π3
4.已知e1､e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中不能作为基底的一组是( )
A. e1+e2和e1−2e2B. e1−2e2和2e1−4e2
C. e1−2e2和e1+2e2D. e1+e2和e1+2e2
5.在复平面内，复数11−i的对应的点位于 ( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
6.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°(CDE三点共线，所在直线垂直于地平面上的AE)，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD=50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cs θ等于( )
A. 32B. 22C. 3−1D. 2−1
7.化简2cs 10°−sin 20°cs 20°值为 ( )
A. 32B. 3C. 34D. 33
8.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”.“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，其比值为 5−12≈0.618，这一比值也可以表示为m=2sin18°，若2m2+n=8，则m n2cs227°−1=( )
A. 2B. 4C. 2 2D. 4 2
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=2,−1，b=(−3,2)，c=1,1，则
( )
A. a//bB. a+b⊥cC. a+b=cD. c=5a+3b
10.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则下列说法正确的是
．( )
A. 若sin B>sin C，则B>C
B. 若a=2 6,b=4，A=π4，则三角形有两解
C. 若bcs B−ccs C=0，则△ABC一定为等腰直角三角形
D. 若△ABC面积为S,S=14(a2+b2−c2),则C=π4.
11.已知O是△ABC所在平面内一点，以下说法正确的是( )
A. 若动点P满足OP=OA+λ(|AB|⋅ABsinC+|AC|⋅ACsinB)(λ∈R)，则P点的轨迹一定通过△ABC的重心
B. 若点O满足AO⋅AB|AB|=AO⋅AC|AC|,CO⋅CA|CA|=CO⋅CB|CB|，则点O是△ABC的垂心
C. 若O为△ABC的外心，且OA+OB+OC=OM，则M是△ABC的内心
D. 若(OA+OB)⋅AB=(OB+OC)⋅BC=0，则点O为△ABC的外心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知i为虚数单位，则复数(2−i)2的模为=_________。
13.设a=(x,3)，b=(2,−1)且a,b的夹角为钝角，实数x的取值范围是__________。
14.若关于x的不等式asin2x+bsinx+c≤1(a>0)的解集为2kπ,2kπ+π,k∈Z，则a的取值范围是_________。
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知平面向量a=(1,x)，b=(2x+3,-x)(x∈R)．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a //b，求a-b．
16.(本小题12分)
已知复数z和它的共轭复数z满足2z+z=3+2i．
(1)求z；
(2)若z是关于x的方程x2+px+q=0p,q∈R的一个根，求复数zp+q−4i的模．
17.(本小题12分)
平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠BAD=120∘，求：
(1)AB•AC的值；
(2)cs∠BAC
18.(本小题12分)
记▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsinC+π6=a+c．
(1)求B；
(2)若b=2，求▵ABC的面积的最大值．
19.(本小题12分)
已知向量a=(cs 3x2,sin 3x2)，b=(cs x2,−sin x2)，函数fx=a→⋅b→−ma→+b→+1，x∈−π3,π4，m∈R．
(1)当m=0时，求fπ6的值；
(2)若fx的最小值为−1，求实数m的值；
(3)是否存在实数m，使函数gx=fx+2449m2，x∈−π3,π4有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查复数的四则运算及复数相等的条件，设x=a+bi，a,b∈R，利用复数相等即可求出a、b的值，属基础题．
【解答】
解：设x=a+bi，a,b∈R，因为x2+2=0，
则a2−b2+2+2abi=0，即a2−b2+2=02ab=0，
解得a=0,b=± 2．
即x=± 2i．
故选C．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查诱导公式及两角差的余弦公式，属于基础题．
利用诱导公式以及两角差的余弦公式的逆应用即可求解．
【解答】
解：原式=−cs 115°cs 20°+sin 115°sin 20°
=cs 65°cs 20°+sin 65°sin 20°
=cs(65°−20°)=cs 45°= 22．
故选：A
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查余弦定理的应用．在三角形中求出余弦值找对应的角时切记莫忘角的范围．
先根据余弦定理求出角∠BAC的余弦值，再由角的范围确定大小即可．
【解答】
解：∵cs∠BAC=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=52+32−722×5×3=−12，
又∠BAC∈(0,π)，所以∠BAC=2π3．
故选：A．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查向量基底的概念，知道作为基底的向量不共线，以及共线向量基本定理，属于基础题．
如果两个向量共线便不能作为基底，从而找为共线向量的一组即可，可根据共线向量基本定理进行判断．
【解答】
解：不共线的向量可以作为基底，
∴不能作为基底的便是共线向量，
显然B，e1−2e2=12(2e1−4e2)，
∴e1−2e2和2e1−4e2共线，不能作为基底，
故选：B．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
由复数的化简，得到对应的点坐标，从而得到结果．
【解答】
解：∵11−i=1+i1−i1+i=12+12i，
∴对应的点坐标为12,12，位于第一象限．
故选A．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查正弦定理在实际问题中的应用，属基础题．
易求∠ACB=30∘，在△ABC中，由正弦定理可求BC，在△BCD中，由正弦定理可求sin∠BDC，再由∠BDC=θ+90∘可得答案．
【解答】解：∵∠CBD=45°，∠CAB=15°, ∴∠ACB=30°，
在△ABC中，由正弦定理，得BCsin∠CAB=ABsin∠ACB，
即BCsin15°=100sin30°，
解得BC=50( 6− 2)，
在△BCD中，由正弦定理，得BCsin∠BDC=CDsin∠CBD，
即50( 6− 2)sin∠BDC=50sin45°，
∴sin∠BDC= 3−1，即sin(θ+90°)= 3−1，
∴csθ= 3−1，
故选C.
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查两角差的余弦公式的应用，属于基础题．
利用两角差的余弦公式，化简所给的式子，可得结果．
【解答】
解：2cs10°−sin20°cs20°=2cs(30°−20°)−sin20°cs20°
=2cs30°·cs30°+sin30°·sin20°−sin20°cs20°
= 3cs20°+sin20°−sin20°cs20°
= 3．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查二倍角正弦公式、降幂公式、诱导公式——π2±α型、利用同角三角函数基本关系化简，属于容易题．
由题意结合同角三角函数基本关系求出n，利用二倍角正弦公式求出m n，进而利用降幂公式和诱导公式即可求得m n2cs227°−1的值．
【解答】
解：因为m=2sin18°，2m2+n=8，
所以n=8−8sin218°=8cs218°，
所以m n=2sin18°×2 2cs18°=2 2×2sin18°cs18°=2 2sin36°，
故m n2cs227°−1=2 2sin36°cs54°=2 2cs54°cs54°=2 2．
故选：C．
9.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查平面向量的坐标运算以及向量垂直和平行的判定，属于基础题．
根据向量平行的判定方法可判定A是否正确；根据向量垂直的判定方法可判定B是否正确；根据向量的坐标运算方法可判定C、D是否正确．
【解答】
解：由题意，2×2−(−3)×(−1)≠0 ，A错误；
a+b=(−1,1)，(a+b)⋅c=−1+1=0，所以B正确，C错误；
5a+3b=5(2,−1)+3(−3,2)=(1,1)=c，D正确．
故选：BD．
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查正弦定理、三角形的面积公式和判断三角形的形状，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
利用正弦定理、三角形的面积公式对选项逐个判断即可．
【解答】
解：对于A.由正弦定理得bsin B=csin C，因为sin B>sin C，所以b>c，则B>C，故正确；
对于B.因为a=2 6,b=4，A=π4，由正弦定理得asin A=bsin B，则sin B=bsin Aa=4× 222 6= 33，因为a>b，所以A>B，则B∈(0,π4)，所以三角形有一解，故错误；
对于C.因为bcs B−ccs C=0，所以sin Bcs B−sin Ccs C=0，即sin 2B=sin 2C，所以2B=2C或2B+2C=π，即B=C或B+C=π2，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故错误；
对于D.因为△ABC面积为S,S=14(a2+b2−c2),所以12absin C=14×2abcs C，即sin C=cs C，因为C∈(0,π)，所以C=π4.故正确．
故选：AD．
11.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查向量的运算，充分理解表达式的几何意义以及三角形的五心的特征，是解题的关键，属于较难题．
对于A：利用正弦定理化简已知条件，由此判断出P的轨迹经过重心，即可判断A是否正确；
对于B：利用表达式，转化推出O所在的位置，得出结果，即可判断B是否正确；
对于C：根据题意可得OA=OB=OC，且OA+OB=OM−OC，设AB的中点为D，则OD⊥AB，CM=2OD，推出CM⊥AB，则M是△ABC的垂心，即可判断C是否正确；
对于D：|OA+OB|是以OA，OB为邻边的平行四边形的一条对角线，|AB|是该平行四边形的另一条对角线，由AB⋅(OA+OB)=0得出这个平行四边形是菱形，于是O为△ABC的外心，即可判断D是否正确；
【解答】
解：对于A：由正弦定理可知：|AB|sinC=|AC|sinB=2R，R为三角形的外接圆的半径，
所以动点P满足OP=OA+λ(|AB|⋅ABsinC+|AC|⋅ACsinB)=OA+2λR(AB+AC)，
因为AB+AC是以AB，AC为邻边的平行四边形的对角线A为起点的向量，经过BC的中点，
所以P点的轨迹一定是通过三角形△ABC的重心，故A正确；
对于B：因为AO⋅AB|AB|=AO⋅AC|AC|，
所以AO⋅(AB|AB|−AC|AC|)=0，
所以点O在∠CAB的平分线上，
同理由CO⋅CA|CA|=CO⋅CB|CB|，得CO⋅(CA|CA|−CB|CB|)=0，
所以点O在∠ACB的平分线上，
所以点O是△ABC的内心，故B错误；
对于C：由O为△ABC的外心，可得OA=OB=OC，
因为OA+OB+OC=OM，
所以OA+OB=OM−OC，
设AB的中点为D，则OD⊥AB，CM=2OD，
所以CM⊥AB，
同理可得AM⊥BC，BM⊥AC，故M是△ABC的垂心，故C错误；
对于D：|OA+OB|是以OA，OB为邻边的平行四边形的一条对角线，
而|AB|是该平行四边形的另一条对角线，
所以AB⋅(OA+OB)=0表示这个平行四边形是菱形，即|OA|=|OB|，
同理可得|OB|=|OC|，于是O为△ABC的外心，故D正确．
故选：AD．
12.【答案】5
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算，复数的模的计算，是基础题．
化简(2−i)2，直接代入复数模的公式进行计算即可．
【解答】
解：2−i2=4−4i+i2=3−4i，
所以(2−i)2=3−4i= 32+−42=5．
故答案为5．
13.【答案】x|x<32且x≠−6
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积表示向量的夹角及向量共线的充要条件，属于一般题．
利用数量积公式知向量的夹角为钝角时数量积小于0且不是方向相反的向量，据数量积小于0求出x的范围，据共线向量的充要条件求出方向相反时x的范围，第一个范围去掉第二个范围即为所求．
【解答】
解：∵a,b的夹角为钝角，∴a→·b→<0，
即2x−3<0，解得x<32．
当a→,b→方向相反时，设a=λb且λ<0，
∴(x,3)=(2λ,−λ)，
∴x=2λ3=−λ,∴x=−6,
∴x的范围为x|x<32且x≠−6，
故答案为x|x<32且x≠−6．
14.【答案】(0,8]
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的图象性质，考查了不等式的解集，是中档题，
令t=sinx，将原问题转化为关于t的不等式−1≤at2+bt+c≤1(a>0)的解集为[0,1]，结合二次函数的性质，即可求出结果．
【解答】
解：令t=sinx，
若关于x的不等式|asin2x+bsinx+c|≤1(a>0)的解集为[2kπ,2kπ+π]，k∈Z，
等价于若关于t的不等式|at2+bt+c|≤1(a>0)的解集为[0,1]，
即关于t的不等式−1≤at2+bt+c≤1(a>0)的解集为[0,1]，
若a>0，可知函数y=at2+bt+c的对称轴为t=1+02=12，开口向上，
所以函数y=|at2+bt+c|图象如图所示：
当t−0时，c=1，当t=1时，a+b+c=1，即b=−a
最小值为t=12时，14a+12b+c≥−1，
所以14a−12a+1≥−1，解得0
15.【答案】解：(1)由a⊥b得，2x+3−x2=0，
即(x−3)(x+1)=0，
解得x=3或x=−1；
(2)由a //b，则2x2+3x+x=0，
即2x2+4x=0，得x=0或x=−2．
当x=0时，a=(1,0),b=(3,0)，
∴a−b=(−2,0)，
此时|a−b|=2；
当x=−2时，a=(1,−2),b=(−1,2)，
则a−b=(2,−4)．
故|a−b|= 22+(−4)2=2 5．
【解析】本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量共线，垂直的充要条件．
(1)利用两个向量互相垂直，可以求出x的值；
(2)由两个向量的互相平行先求出x的值，再求模长．
16.【答案】解：(Ⅰ)设z=a+bi(a,b∈R)，则z=a−bi，
2z+z=2(a+bi)+(a−bi)=3a+bi=3+2i，
所以3a=3,b=2,即a=1,b=2,所以z=1+2i，
(Ⅱ)将z=1+2i代入已知方程可得(1+2i)2+p(1+2i)+q=0，
整理可得(2p+4)i+(p+q−3) =0，
所以2p+4=0,p+q−3=0,解得p=−2,q=5,
所以zp+(q−4)i=1+2i−2+i=(1+2i)(−2−i)(−2+i)(−2−i)=−5i5=−i，
所以复数zp+(q−4)i的模为1．
【解析】本题考查共轭复数、复数的模、复数相等以及复数的除法运算，属于中档题
(Ⅰ)设z=a+bi(a,b∈R)，根据复数相等，建立a，b的方程组，求得a，b的值；
(Ⅱ)将z=1+2i代入已知方程可得(1+2i)2+p(1+2i)+q=0，根据复数相等，求出p，q的值，再通过复数的除法运算化简zp+(q−4)i，进而求出模．
17.【答案】解：(1)由题意，由题可得 AB⋅AD=AB⋅AD⋅cs120∘=1×2×(−12)=−1，
所以AC=AB+AD
AB•AC = AB•(AB+AD) = AB•AB+AB•AD =4−1=3 ；
(2) AB•AC =3 ，AC=AB+AD，
AC=AB+AD= (AB+AD)•(AB+AD) = 4−2+1 = 3 ，
设 AB,AC 的夹角为 θ ，
所以 csθ=AC•ABAC•AB=3 3×2= 32，即cs∠BAC= 32．
【解析】本题主要考查平面向量的运算，平面向量的数量积，求向量的模，求向量的夹角，属于中档题．
(1)利用向量的加法和数量积运算即可求解；
(2)先求出|AC|= 3，然后即可求解．
18.【答案】解：(1)利用正弦定理可得2sinBsin(C+π6)=sinA+sinC，
2sinB( 32sinC+12csC)=sinBcsC+csBsinC+sinC，
∵sinC≠0，
∴ 3sinB−csB=1，2sin(B−π6)=1，
∴sin(B−π6)=12，∵0
(2)b=2，B=π3，由余弦定理可得b2=a2+c2−2accsB，
∴22=a2+c2−2accsπ3，
∵4=a2+c2−2accsπ3≥2ac−ac=ac，∴ac≤4，
∴△ABC的面积S△ABC=12acsinπ3≤12×4× 32= 3，
当且仅当a=c=2时，等号成立，
即△ABC为等边三角形时，其面积最大值为 3．
【解析】本题考查解三角形的基本知识，合理利用正余弦定理进行解决问题，结合不等式即可解决，属于中档题．
(1)利用正弦定理可得2sinBsin(C+π6)=sinA+sinC，化简为角度简单关系，利用两角和与差三角关系和辅助角解决；
(2)由余弦定理可得b2=a2+c2−2accsB，a2+c2≥2ac，即可解决本题．
19.【答案】解：(1)a⋅b=(cs3x2,sin3x2)⋅(csx2,−sinx2)
=cs3x2csx2−sin3x2sinx2
=cs(3x2+x2)=cs2x，
当m=0时，f(x)=a⋅b+1=cs2x+1，
则f(π6)=cs(2×π6)+1=12+1=32；
(2)∵x∈[−π3,π4]，
∴|a+b|= 2+2cs2x= 4cs2x=2csx，
则f(x)=a⋅b−m|a+b|+1
=cs2x−2mcsx+1=2cs2x−2mcsx，
令t=csx，则12≤t≤1，
则y=2t2−2mt，对称轴t=m2，
①当m2<12，即m<1时，
当t=12时，函数取得最小值，
此时最小值y=12−m=−1，得m=32(舍)，
②当12≤m2≤1，即1≤m≤2时，
当t=m2时，函数取得最小值，
此时最小值y=−m22=−1，得m= 2，
③当m2>1，即m>2时，
当t=1时，函数取得最小值，
此时最小值y=2−2m=−1，得m=32(舍)，
综上若f(x)的最小值为−1，则实数m= 2．
(3)令g(x)=2cs2x−2mcsx+2449m2=0，
得csx=3m7或4m7，
∴方程csx=3m7或4m7在x∈[−π3,π4]上有四个不同的实根，
则 22≤3m7<1 22≤4m7<13m7≠4m7，得7 26≤m<737 28≤m<74m≠0，则7 26≤m<74，
即实数m的取值范围是7 26≤m<74．
【解析】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，平面向量的数量积，平面向量的坐标运算，三角函数的性质，利用二次函数的性质求最值，复合函数的应用，数形结合思想，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．
(1)利用向量数量积的公式化简函数f(x)即可；
(2)求出函数f(x)的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可；
(3)由g(x)=0得到方程的根，利用三角函数的性质，以及数形结合的思想，进行求解即可．
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