2024年山东省淄博市高青实验中学中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年山东省淄博市高青实验中学中考数学一模试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式中，多项式x2−36的因式是( )
A. x−3B. x−4C. x−6D. x−9
2.如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其俯视图是( )
A. B. C. D.
3.如图，一个含有30°角的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1=20°，那么∠2的度数是( )
A. 50°
B. 40°
C. 30°
D. 20°
4.一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球3个，这些球除颜色不同其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则可以估算出m的值为( )
A. 10B. 15C. 20D. 25
5.我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？( )
A. 8尺B. 12尺C. 16尺D. 18尺
6.下列计算正确的是( )
A. a4+a4=a8B. a2⋅a3=a6C. (−a4)3=−a12D. a6÷a3=a2
7.小明从图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：
①c<0；②abc>0；③a−b+c>0；④2a−3b=0；⑤c−4b>0，你认为其中正确信息的个数有( )
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
8.上网搜索“淄博烧烤”，网页显示找到相关结果约31600000个.数据31600000用科学记数法表示为( )
A. 3.167B. 3.16×106C. 3.16×107D. 31.6×106
9.九年级某班学生参加抗旱活动，女生抬水，每2位女生用1个水桶和1根扁担，男生挑水，每位男生用2个水桶和1根扁担，已知全班同学共用了水桶59个，扁担36根，若设女生有x人，男生有y人，则可列方程组为( )
A. 2(y+x2)=59x2+y=36B. x2+2y=59x2+y=36
C. x2+2y=592x+y=36D. x+2y=592x+y=36
10.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA=OB=3 5，点C为平面内一动点，BC=32，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA=1：2.当线段OM取最大值时，点M的坐标是( )
A. (35,65)
B. (35 5,65 5)
C. D(65,125)
D. (65 5,125 5)
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.点P(−3,3)关于y轴对称的点P′的坐标是______．
12.已知a+b=4，a−b=2，则a2−b2的值为_____．
13.设有边长分别为a和b(a>b)的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张.如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片.若要拼一个长为3a+b，宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为______张.
14.如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是______cm．
15.已知一组数据2，a，4，5的众数是5，则这组数据的平均数为______．
16.(2024⋅浦东新区二模)如果关于x的方程x2−6x+m=0没有实数根，那么实数m的取值范围是______．
三、解答题：本题共8小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：1 3+ 2+|2− 3|+(12)−1+2713．
18.(本小题12分)
如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2．
(1)求证：△ABE≌△CBD；
(2)证明：∠1=∠3．
19.(本小题10分)
小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球.小明家到体育公园的路程是1200米，小刚家到体育公园的路程是300米，已知小刚的速度是小明速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度．
20.(本小题8分)
解方程：x2−14x+21=0．
21.(本小题8分)
如图，已知△ABC，AC>AB，∠C=40°，请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠APB=80°.(保留作图痕迹，不写作法)
22.(本小题12分)
长沙第一高楼位于芙蓉区五一商圈的国金中心，是旅游打卡圣地，小明想了解它的具体高度，通过下面方法进行测算.如图，小明站在楼前的平地B处，观测到国金大厦的最高点G仰角为15°，他朝正前方笔直行走900.8米来到C处，此时观测到国金大厦的最高点G仰角为30°，若小明的眼睛离地面1.6米．
(1)求长沙第一高楼国金大厦的高度DG；
(2)小明还要走多远(CD的距离)才能到达国金大厦？
23.(本小题12分)
一网络销售公司对旗下各网络平台去年的销售额情况进行了统计，并绘制成了如下的统计表和统计图．
请根据上面的信息，解答下列问题：
(1)求m的值以及网络平台销售额的中位数、众数；
(2)在年终总结会上，公司决定在销售额为4万元和8万元的平台中随机抽取2个平台的负责人总结发言，请用列表法或画树状图法求抽中的两个平台的销售额不同的概率．
24.(本小题14分)
已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(−1,0)，B(4,0)两点，经过点D(−2,−3)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若点M是x轴上位于点A与点B之间的一个动点(含点A与点B)，过点M作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于点E、点F.求线段EF的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】x2−36=(x+6)(x−6)，
∴多项式x2−36的因式是x+6或x−6，
故选：C．
将原多项式分解因式即可得解．
本题主要考查了运用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】
解：从上边看是一个长方形，长方形的中间是一个圆，
故选C．
3.【答案】B
【解析】解：在图中标上∠3，如图所示．
∵直尺的对边平行，
∴∠3=∠1=20°．
又∵∠2+∠3=90°−30°=60°，
∴∠2=60°−∠3=60°−20°=40°．
故选：B．
利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠3的度数，结合∠2+∠3=60°，即可求出∠2的度数．
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：由题意知，m的值约为3÷0.2=15，
故选：B．
用红球的个数除以红球频率的稳定值即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
5.【答案】A
【解析】解：设绳长是x尺，井深是y尺，
依题意得：13x−y=414x−y=1，
解得：x=36y=8，
即井深是8尺．
故选：A．
设绳长为x尺，井深为y尺，根据等量关系：①绳长的13−井深=4尺；②绳长的14−井深=1尺；列出方程组求解即可．
本题考查了二元一次方程的应用．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、a4+a4=2a4，故A不符合题意；
B、a2⋅a3=a5，故B不符合题意；
C、(−a4)3=−a12，故C符合题意；
D、a6÷a3=a3，故D不符合题意；
故选：C．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数的乘法，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
7.【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口方向向上，
∴a>0，
∵与y轴交点在x轴的下方，
∴c<0，
∵−b2a=13>0，
∵a>0，
∴b<0，
2a−3b>0，
∴abc>0，
∴①②是正确的，
④对称轴x=−b2a=13，
∴3b=−2a，
∴2a+3b=0，
∴④是错误的；
当x=−1，y=a−b+c，
而点(−1,a−b+c)在第二象限，
∴a−b+c>0是正确的；
当x=2时，y=4a+2b+c=2×(−3b)+2b+c=c−4b，
而点(2,c−4b)在第一象限，
∴c−4b>0．
故选：C．
观察图象易得a>0，−b2a=13>0，所以b<0，2a−3b>0，因此abc>0，由此可以判定①②是正确的，而④是错误的；
当x=−1，y=a−b+c，由点(−1,a−b+c)在第二象限可以判定a−b+c>0③是正确的；
当x=2时，y=4a+2b+c=2×(−3b)+2b+c=c−4b，由点(2,c−4b)在第一象限可以判定c−4b>0⑤是正确的．
本题考查同学们从函数图象中获取信息的能力，以及考查二次函数的图象和性质．
8.【答案】C
【解析】解：31600000=3.16×107．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9.【答案】B
【解析】解：依题意有x2+2y=59x2+y=36．
故选：B．
首先明确：抬水的同学是用1个水桶和1根扁担，担水的同学是用2个水桶和1根扁担，已知定量为扁担数和水桶数．等量关系为：①全班共用水桶59个；②全班共用扁担36根．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵点C为平面内一动点，BC=32，
∴点C在以点B为圆心，32为半径的OB上，
在x轴的负半轴上取点D(−3 52,0)，连接BD，分别过C、M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足为F、E，
∵OA=OB=3 5，
∴AD=OD+OA=9 52，
∴OAAD=23，
∵CM：MA=1：2，
∴OAAD=23=CMAC，
∵∠OAM=∠DAC，
∴△OAM∽△DAC，
∴OMCD=OAAD=23，
∴当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，
∵OA=OB=3 5，OD=3 52，
∴BD= OB2+OD2= (3 5)2+(3 52)2=152，
∴CD=BC+BD=9，
∵OMCD=23，
∴OM=6，
∵y轴⊥x轴，CF⊥OA，
∴∠DOB=∠DFC=90°，
∵∠BDO=∠CDF，
∴△BDO∽△CDF，
∴OBCF=BDCD即3 5CF=1529，
解得CF=18 55，
同理可得，△AEM∽△AFC，
∴MECF=AMAC=23即ME18 55=23，
解得ME=12 55，
∴OE= OM2−ME2= 62−(12 55)2=6 55，
∴当线段OM取最大值时，点M的坐标是(6 55,12 55)，
故选：D．
由题意可得点C在以点B为圆心，32为半径的OB上，在x轴的负半轴上取点D(−3 52,0)，连接BD，分别过C、M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足为F、E，先证△OAM∽△DAC，得OMCD=OAAD=23，从而当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，然后分别证△BDO∽△CDF，△AEM∽△AFC，利用相似三角形的性质即可求解．
本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
11.【答案】(3,3)
【解析】解：点P(−3,3)关于y轴对称的点P′的坐标是(3,3)．
故答案为：(3,3)．
根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可解答本题．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
12.【答案】8
【解析】解：当a+b=4，a−b=2时，
a2−b2=(a+b)(a−b)=4×2=8．
故答案为：8．
根据平方差公式即可求出答案．
本题考查平方差公式的应用，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
13.【答案】8
【解析】解：∵(a+b)2=a2+b2+2ab，即S大正方形=SA+SB+2SC，
∴要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．
∵(3a+b)(2a+2b)=6a2+2b2+8ab，即S矩形=6SA+2SB+8SC，
∴若要拼一个长为3a+b，宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为8张，
故答案为：8．
利用矩形的面积公式，计算矩形的面积并写成多项的形式，其中ab项的系数即为答案．
本题考查完全平方式等，将多项式乘多项式展开成为多项式的形式是解题的关键．
14.【答案】4 2
【解析】解：∵圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长=120⋅π⋅6180=4π，
∴圆锥的底面圆的周长为4π，
∴圆锥的底面圆的半径为2，
∴这个纸帽的高= 62−22=4 2(cm)．
故答案为4 2．
先利用弧长公式得到圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长=4π，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为2，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理．
15.【答案】4
【解析】解：∵这组数据2，a，4，5的众数是5，
∴a=5，
∴这组数据的平均数为：
(2+5+4+5)÷4
=16÷4
=4．
故答案为：4．
首先根据这组数据2，a，4，5的众数是5，可得a=5，然后用这组数据的和除以4，求出这组数据的平均数为多少即可．
(1)此题主要考查了算术平均数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
(2)此题还考查了众数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
16.【答案】m>9
【解析】解：根据题意得Δ=(−6)2−4m<0，
解得m>9，
即实数m的取值范围是m>9．
根据根的判别式的意义得到Δ=(−6)2−4m<0，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
17.【答案】解：1 3+ 2+|2− 3|+(12)−1+2713
= 3− 2( 3+ 2)( 3− 2)+2− 3+2+3
= 3− 2+2− 3+2+3
=7− 2．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】证明：(1)∵∠1=∠2．
∴∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
AB=CB∠ABE=∠CBDBE=BD，
∴△ABE≌△CBD(SAS)；
(2)∵△ABE≌△CBD，
∴∠A=∠C，
∵∠AFB=∠CFE，
∴∠1=∠3．
【解析】(1)根据等式的性质得∠ABE=∠CBD，再利用SAS即可证明结论成立；
(2)根据全等三角形的对应角相等得∠A=∠C，对顶角相等得∠AFB=∠CFE，利用三角形内角和定理可得结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】解：设小明的速度是x米/分钟，则小刚的速度是3x米/分钟，根据题意可得：
1200x−4=3003x，
解得：x=275，
经检验得：x=275是原方程的根，故3x=825，
答：小明的速度是275米/分钟，则小刚的速度是825米/分钟．
【解析】直接利用小刚的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，进而得出等式求出答案．
此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
20.【答案】解：由题知，
a=1，b=−14，c=21，
所以Δ=(−14)2−4×1×21=112>0，
所以x=−(−14)± 1122×1，
故x1=7+2 7,x2=7−2 7．
【解析】根据所给方程，用公式法对其进行求解即可．
本题考查解一元二次方程−公式法，熟知公式法是解题的关键．
21.【答案】解：如图，∠APB即为所求．

∵∠C=40°，∠PBC=40°，
∴∠APB=80°．
【解析】根据作一个角等于已知角的作图步骤作图即可．
本题考查作图−复杂作图，解答本题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的作图步骤．
22.【答案】解：(1)由题意得：AB=EC=FD=1.6米，AE=BC=900.8米，GF⊥AF，GD⊥BD，
∵∠GEF是△AEG的一个外角，∠GEF=30°，∠GAE=15°，
∴∠AGE=∠GEF−∠GAE=15°，
∴∠AGE=∠GAE=15°，
∴AE=EG=900.8米，
在Rt△GEF中，GF=12GE=450.4(米)，
∴DG=GF+DF=450.4+1.6=452(米)，
∴长沙第一高楼国金大厦的高度DG为452米；
(2)由题意得：EF=CD，
在Rt△GEF中，∠GEF=30°，GE=900.8米，
∴EF=GE⋅cs30°=900.8× 32=450.4 3(米)，
∴EF=CD=450.4 3米，
∴小明还要走450.4 3米才能到达国金大厦．
【解析】(1)根据题意可得：AB=EC=FD=1.6米，AE=BC=900.8米，GF⊥AF，GD⊥BD，先根据三角形的外角性质可得∠AGE=∠GAE=15°，从而可得AE=EG=900.8米，然后在Rt△GEF中，利用含30度角的直角三角形的性质求出GF的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答；
(2)根据题意可得：EF=CD，然后在Rt△GEF中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
23.【答案】解：(1)由题意可知，网络平台的总数为6÷30%=20(个)，
∴m=20−2−6−2−2=8(个)，
将20个平台的销售额从小到大排列后处在第10，11位的分别是5万元、6万元，
∴中位数是5+62=5.5(万元)．
∵平台的销售额出现次数最多的是5万元，
∴众数是5万元；
(2)销售额为4万元的2个平台分别用A1，A2表示，销售额为8万元的2个平台分别用B1，B2表示，
抽取的两个平台分别记为第1个、第2个，根据题意列表如下：
由表可知，共有12种等可能的结果，其中两个平台销售额不同的结果有8种，
∴P(抽中的两个平台的销售额不同)=812=23．
【解析】(1)先求出调查的网络平台的总数，将调查的网络平台的总数减去其他四个销售额的人数即可求出m的值，再根据中位数、众数的求解方法即可求解；
(2)用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽中的两个平台的销售额不同的结果，再利用概率公式求出即可．
本题考查统计表，扇形统计图，列表法和树状图法求等可能事件的概率，能从统计图表中获取有用信息，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(−1,0)，B(4,0)两点，
∴可设抛物线的函数解析式为y=a(x−4)(x+1)，
把D(−2,−3)代入y=a(x−4)(x+1)得，6a=−3，
解得a=−12，
∴抛物线的函数解析式为y=−12(x−4)(x+1)=−12x2+32x+2；
(2)当x=0时，y=2，
∴C(0,2)，
设直线BC的解析式为y=kx+2，
把B(4,0)代入，得4k+2=0，
解得k=−12，
∴直线BC的解析式为y=−12x+2，
设M(m,0)，−1≤m≤4，
则E(m,−12m2+32m+2)，F(m,−12m+2)，
∴EF=|−12m2+32m+2−(−12m+2)|=|−12m2+2m|=|−12(m−2)2+2|，
当0≤m≤4时，EF=−12(m−2)2+2，
∴当m−2时，EF有最大值2；
当−1≤m<0时，EF=12(m−2)2−2，
∴当x=−1时，EF有最大值52．
综上所述，EF的最大值为52．
【解析】(1)设出抛物线解析式的交点式，再把点D坐标代入解析式求出a即可；
(2)先根据(1)中解析式求出点C坐标，再用待定系数法求直线BC解析式，再设设M(m,0)，−1≤m≤4，则E(m,−12m2+32m+2)，F(m,−12m+2)，得出EF=|−12(m−2)2+2|，由m的取值范围和二次函数的性质求EF的最大值．
本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，函数的最值等知识，关键是求出函数解析式．销售额/万元
4
5
6
7
8
平台数量/个
2
m
6
2
2
A1
A2
B1
B2
A1
−
(A1,A2)
(A1,B1)
(A1,B2)
A2
(A2,A1)
−
(A2,B1)
(A2,B2)
B1
(B1,A1)
(B1,A2)
−
(B1,B2)
B2
(B2,A1)
(B2,A2)
(B2,B1)
−