2024年四川省泸州市纳溪区中考数学适应性试卷（含解析）

这是一份2024年四川省泸州市纳溪区中考数学适应性试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.3的倒数是( )
A. −3B. 13C. −13D. 3
2.“山河明月⋅醉酒城”被称为纳溪的“不夜城”，据初步统计2024年春节假期期间累计接待游客约1410000人次，请将1410000用科学记数法表示( )
A. 0.141×107B. 1.41×106C. 14.1×105D. 141×104
3.如图，l/​/AB，∠A=2∠B.若∠1=110°，则∠2的度数为( )
A. 35°
B. 45°
C. 70°
D. 50°
4.下列几何体中，主视图是三角形的为( )
A. B. C. D.
5.下列运算正确的是( )
A. (3b)2=6b2B. (a−2)2=a2−4
C. a7÷a4=a3D. 2a2+3a2=5a4
6.一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，则平均数是( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
7.如图，正五边形ABCDE的边长为2，以B为圆心，以BA为半径作弧AC，则阴影部分的面积为( )
A. 5π6
B. 4π3
C. 7π6
D. 6π5
8.如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F.AD=6，AB=3，∠A=120°则BF的长是( )
A. 2
B. 2 2
C. 3
D. 2
9.已知关于x的一元二次方程x2+2ax+a2−a=0有两个不相等的实数根，且x1+x2+x1x2=4，则实数a的值是( )
A. −3B. −4C. 4D. 5
10.如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是−1，点B是AC的中点，线段AB= 2，则点C表示的数是( )
A. 2B. 2 2−1C. 2−1D. 2− 2
11.如图，在矩形ABCD中(AB>AD)，对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′，连接AA′交BD于点E，连接CA′.OE为半径，⊙O与CD相切，则AA′CA′的值是( )
A. 3
B. 2 23
C. 32
D. 75
12.抛物线y=−x2+kx+k−54与x轴的一个交点为A(m,0)，若−2≤m≤1，则实数k的取值范围是( )
A. −214≤k≤1B. k≤−214或k≥1
C. −5≤k≤98D. k≤−5或k≥98
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.因式分解：x2−4= ．
14.请写出一个正整数a= ______的值，使得 3a是整数．
15.关于x的不等式组的x>m+35x−2<4x+1整数解仅有5个，则m的取值范围是______．
16.如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB=4，PB=3，则△ABC的面积为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：(−2024)0+ 12−2sin30°+|−5|．
18.(本小题6分)
如图，OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB.求证：AB=CD．
19.(本小题6分)
化简：(3+nm)÷9m2−n2m．
20.(本小题7分)
睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容.为了解学生午休情况，某中学从全校学生中随机抽取部分学生，对他们一周平均每天午休的时间t(单位：分钟)进行调查.将调查数据进行整理后分为五组，现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次调查的样本容量是______，请补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数是______；
(3)若该学校有1800名学生，请你估计该中学一周平均每天午休时间不超过45分钟的有多少人？
21.(本小题7分)
“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．
(1)求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？
(2)若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？
22.(本小题8分)
某商店窗前计划安装如图1所示的遮阳棚，其截面图如图2所示，在截面图中，墙面BC垂直于地面CE，遮阳棚与墙面连接处点B距地面高3m，即BC=3m，遮阳棚AB与窗户所在墙面BC垂直，即∠ABC=∠BCE=90°，假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为60°(若经过点A的光线恰好照射在地面点D处，则∠ADE=60°)，为使正午时窗前地面上能有1m宽的阴影区域，即CD=1m，求遮阳棚的宽度AB.(结果精确到0.1m，参考数据： 3≈1.73)
23.(本小题8分)
如图，已知反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过C、D两点，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D(3,2)在平行四边形的对角线OB上．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)已知平行四边形OABC的面积是152，求点B的坐标．
24.(本小题12分)
如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上异于B、C的点.⊙O外的点E在射线CB上，直线EA与CD垂直，垂足为D，且DA⋅AC=DC⋅AB.设△ABE的面积为S1，△ACD的面积为S2．
(1)判断直线EA与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若BC=BE，S2=mS1，求常数m的值．
25.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D.如图，当PDDB的值最大时，求点P的坐标及PDDB的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为3×13=1，
所以3的倒数是13．
故选：B．
根据乘积是1的两个数互为倒数计算即可得解．
本题考查了倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：将1410000用科学记数法表示为1.41×106，
故选：B．
根据科学记数法的方法进行解题即可．
此题考查了科学记数法的表示方法，运用科学记数法进行解答，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
3.【答案】A
【解析】解：∵l/​/AB，
∴∠A+∠3=180°，∠2=∠B，
∵∠A=2∠B，∠3=∠1=110°，
∴∠A=2∠2=70°，
∴∠2=35°；
故选：A．
根据两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，结合对顶角相等，进行求解即可．
本题考查平行线的性质，关键是平行线性质的应用．
4.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了由几何体判定三视图，根据已知得出三视图是解决问题的关键．根据主视图的观察角度，从物体的正面观察，即可得出答案．
【解答】
解：A、其主视图是三角形，故此选项正确；
B、其主视图是圆形，故此选项错误；
C、其主视图是正方形，故此选项错误；
D、其主视图是矩形，故此选项错误．
5.【答案】C
【解析】解：A、(3b)2=9b2≠6b2，故该选项是错误的；
B、(a−2)2=a2−4a+4≠a2−4，故该选项是错误的；
C、a7÷a4=a3，故该选项是正确的；
D、2a2+3a2=5a2≠5a4，故该选项是错误的；
故选：C．
根据完全平方公式、合并同类项的方法、幂的乘法与积的乘法法则、同底数幂的除法法则进行解题即可．
本题考查了积的乘方、同底数幂相除、合并同类项、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，
∴x=7，
∴平均数是(1+5+7+7)÷4=5，
故选：B．
根据中位数、众数、平均数的定义及公式进行计算即可求出答案．
本题考查平均数，众数，中位数，解题的关键是掌握平均数，众数，中位数的意义．
7.【答案】D
【解析】解：∵正五边形ABCDE的边长为2，
∴AB=BC=2，∠ABC=(5−2)×180°÷5=108°，
∴阴影部分的面积为108×π×22360=6π5，
故选：D．
由题意得出AB=BC=2，∠ABC=108°，再由扇形面积公式计算即可得出答案．
本题考查了多边形的内角和问题、求扇形面积，关键是扇形面积公式的应用．
8.【答案】C
【解析】证明：在▱ABCD中，AB/​/CD，
∴∠CDE=∠F，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠F=∠ADF，
∴AD=AF=6．
∵AB=3，
∴BF=AF−AB=3；
故选：C．
根据平行线的性质得到∠CDE=∠F，根据角平分线的定义得到∠ADE=∠CDE，求得∠F=∠ADF，根据等腰三角形的判定定理即可得到AD=AF；再进一步可得答案．
本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是掌握平行四边形的性质．
9.【答案】C
【解析】解：∵x2+2ax+a2−a=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(2a)2−4×1×(a2−a)=4a2−4a2+4a=4a>0，
即a>0，
∵x1+x2+x1x2=4，x1+x2=−2a1=−2a,x1x2=a2−a1=a2−a，
∴−2a+a2−a=4，
即a2−3a−4=(a−4)(a+1)=0，
解得a1=4，a2=−1(与a>0相矛盾，故舍去)，
故选：C．
先得出Δ=b2−4ac>0，解出a>0，结合x1+x2=−ba,x1x2=ca，即a2−3a−4=(a−4)(a+1)=0，解出实数a的值是4，即可作答．
本题考查了一元二次方程的判别式以及根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程，熟知以上知识是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵点B是AC的中点，线段AB= 2，
∴AC=2AB=2 2，
∵点A表示的数是−1，且点C在点A的右边，
∴2 2+(−1)=2 2−1，
即点C表示的数是2 2−1，
故选：B．
先根据点B是AC的中点，线段AB= 2，得出AC=2AB=2 2，结合点A表示的数是−1，以及数轴信息，得出2 2+(−1)=2 2−1，即可作答．
本题考查了实数与数轴，解答本题的关键是能准确理解并运用该知识．
11.【答案】A
【解析】解：∵点A关于BD的对称点为A′，
∴AE=A′E，AA′⊥BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，
∴OE//A′C，
∴AA′⊥CA′；
设⊙O与CD切于点F，连接OF，并延长FO交AB于点G，如图所示，
∴OF⊥CD，OF=OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD=12BD，AB/​/CD，AC=BD，OA=12AC，
∴OG⊥AB，∠FDO=∠GBO，OA=OB，
∴∠GAO=∠GBO，
在△DOF和△BOG中，
∠GAO=∠GBOOA=OB∠DOF=∠BOG，
∴△DOF≌△BOG(ASA)，
∴OG=OF，
∴OG=OE，
∵AA′⊥BD，
∴∠EAO=∠GAO，
∵∠EAB+∠GBO=90°，
∴∠EAO+∠GAO+∠GBO=90°，
∴3∠EAO=90°，
∴∠EAO=30°，
∵AA′⊥CA′，
∴tan∠EAO=CA′AA′，
∴tan30°=CA′AA′= 33，
∴AA′CA′= 3，
故选：A．
根据轴对称的性质可得AE=A′E，AA′⊥BD，根据四边形ABCD是矩形，得出OA=OC，从而OE//A′C，从而得出AA′⊥CA′，设⊙O与CD切于点F，连接OF，并延长交AB于点G，可证得OG=OF=OE，从而得出∠EAO=∠GAO=∠GBO，进而得出∠EAO=30°，即可求解．
本题考查了圆的切线性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识和正确添加辅助线．
12.【答案】B
【解析】解：∵抛物线y=−x2+kx+k−54与x轴有交点，
∴Δ≥0，即k2+4(k−54)≥0，
∴k2+4k−5≥0，
解得k≤−5或k≥1；
抛物线y=−x2+kx+k−54对称轴为直线x=k2 ，
①当k≤−5时，抛物线对称轴在直线x=−2左侧，此时抛物线y=−x2+kx+k−54与x轴的一个交点为A(m,0)，−2≤m≤1，如图：
∴−(−2) ​2−2k+k−54≥0，
解得：k≤−214，
∴k≤−214；
②当k≥1时，抛物线对称轴在直线x=12右侧，此时抛物线y=−x2+kx+k−54与x轴的一个交点为A(m,0)，−2≤m≤1，如图：
∴−(−2) ​2−2k+k−54≤0，
解得：k≥−214，
∴k≥1；
综上所述，k≤−214或k≥1；
故选：B．
由抛物线y=−x2+kx+k−54与x轴有交点，可得k2+4(k−54)≥0，故k≤−5或k≥1；抛物线y=−x2+kx+k−54对称轴为直线x=k2 ，分两种情况讨论，①当k≤−5时，抛物线对称轴在直线x=−2左侧，②当k≥1时，抛物线对称轴在直线x=12右侧，然后可得到答案．
本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是根据已知列出满足条件的不等式．
13.【答案】(x+2)(x−2)
【解析】解：x2−4=(x+2)(x−2)．
故答案为：(x+2)(x−2)．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
14.【答案】3(答案不唯一)
【解析】解：∵ 3a是整数，
∴a=3．
故答案为：3(答案不唯一)
根据算术平方根的含义结合 3a是整数可得被开方数是完全平方数，从而可得答案．
本题考查的是算术平方根的含义，掌握算术平方根的含义是关键．
15.【答案】−6≤m<−5
【解析】解：由5x−2<4x+1，可得x<3．
∵原不等式组的整数解仅有5个，
∴−3≤m+3<−2，
解得：−6≤m<−5，
故填：−6≤m<−5．
先根据原不等式组的解集中有五个整数解，求出x的取值范围，进而可得m+3的取值范围，得出答案．
本题考查的是由不等式组解集的情况，求参数的取值范围，属于基础题．
16.【答案】9625
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，
∴∠PBA的度数为90°，
∵AB=4，PB=3，
∴PA= AB2+PB2= 9+16=5，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵S△ABP=12×AP⋅BC=12AB⋅BP，
∴BC=125，
∴AC= AB2−BC2= 16−14425=165，
∴S△ABC=12×AC⋅BC=12×165×125=9625，
故答案为：9625．
由切线的性质可求∠PBA的度数，由勾股定理可求PA的长，由面积法可求BC的长，由勾股定理可求AC的长，即可求解．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，面积公式，熟练掌握知识点是解题的关键．
17.【答案】解：(−2024)0+ 12−2sin30°+|−5|
=1+2 3−2×12+5
=1+2 3−1+5
=5+2 3．
【解析】先计算零次幂，化简二次根式，代入锐角三角函数，化简绝对值，再合并即可．
本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键．
18.【答案】证明：∵∠AOD=∠COB，
∴∠AOD−∠BOD=∠COB−∠BOD，
即∠AOB=∠COD．
在△AOB和△COD中，
OA=OC∠AOB=∠CODOB=OD，
∴△AOB≌△COD(SAS)，
∴AB=CD．
【解析】根据角的和差求得∠AOB=∠COD，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
19.【答案】解：(3+nm)÷9m2−n2m
=3m+nm÷(3m+n)(3m−n)m
=3m+nm⋅m(3m+n)(3m−n)
=13m−n．
【解析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分，然后把除法变成乘法后约分即可得到答案．
本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20.【答案】50 36°
【解析】解：(1)13÷26%=50；
B组人数为50−5−13−20−2=10，补全条形图如图：
故答案为：50；
(2)360°×550=36°；
故答案为：36°；
(3)1800×5+10+1350=1008(人)．
答：估计该中学一周平均每天午休时间不超过45分钟的学生有1008人．
(1)C组的人数除以所占的比例求出样本容量，进而求出B组人数，补全条形图即可；
(2)360°×A组人数所占的比例进行求解即可；
(3)利用样本估计总体的思想进行求解即可．
本题考查条形图和扇形图，能根据题意从统计图中有效的获取信息是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设A型玩具的进价为x元/个，则B型玩具的进价是1.5x元/个．
由题意得：1200x−15001.5x=20，
解得：x=10，
经检验，x=10是原方程的解，
∴B型玩具的进价为10×1.5=15(元/个)，
答：A型玩具的进价是10元/个，B型玩具的进价是15元/个．
(2)设购买A型玩具m个，则购进B型玩具(75−m)个．
根据题意得，(12−10)m+(20−15)(75−m)≥300，
解得：m≤25，
答：最多可购进A型玩具25个．
【解析】(1)设A型玩具的单价为x元/件．根据用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，列方程即可得到结论；
(2)设购买A型玩具m个．根据张老板购进A，B型玩具共75个，总利润不低于300元，列不等式即可得到结论．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确地理解题意是解题的关键．
22.【答案】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，

∴∠DFB=∠DFA=90°，
∵∠ABC=∠BCE=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴BC=DF=3m，CD=BF=1m，AB//CE，
∴∠BAD=∠ADE=60°，
在Rt△ADF中，AF=DFtan60∘=3 3= 3(m)，
∴AB=AF+BF=1+ 3≈2.7(m)，
∴遮阳棚的宽度AB约为2.7m．
【解析】过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据垂直定义可得∠DFB=∠DFA=90°，从而可得四边形ABCD是矩形，然后利用矩形的性质可得BC=DF=3m，CD=BF=1m，AB//CE，从而可得∠BAD=∠ADE=60°，再在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点D(3,2)，
∴2=k3，
∴k=6，
∴反比例函数y=6x；
(2)∵OB经过点O(0,0)、D(3,2)，
∴可设OB的解析式为y=mx(m≠0)
将D点坐标代入，2=3m，
解得：m=23，
∴OB的解析式为y=23x，
∵反比例函数y=6x经过点C，
∴设C(a,6a)，且a>0，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC/​/OA，S平行四边形OABC=2S△OBC，
∴点B的纵坐标为6a，
∵OB的解析式为y=23x，
∴B(9a,6a)，
∴BC=9a−a，
∴S△OBC=12×6a×(9a−a)，
∴2×12×6a×(9a−a)=152，
解得：a=2，
∴B(92,3)．
【解析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)求出直线OB的解析式为y=23x，设C(a,6a)，且a>0，由平行四边形的性质可得BC/​/OA，S平行四边形OABC=2S△OBC，求出B(9a,6a)，得到BC=9a−a，结合S△OBC=12×6a×(9a−a)得出2×12×6a×(9a−a)=152，求出a的值即可．
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象与性质、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
24.【答案】解：(1)AE与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OA，
∵DA⋅AC=DC⋅AB，
∴DADC=ABCA，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°=∠ADC，
∴△ABC∽△DAC，
∴∠ACB=∠ACD，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACB=∠ACD，
∴OA/​/CD，
∴∠OAE=∠CDE=90°，
∴OA⊥DE，
又∵OA为半径，
∴AE与⊙O相切；
(2)如图，∵OA/​/CD，
∴△AOE∽△DCE，
∴AOCD=OEEC，
设BO=OC=OA=a，则BC=2a，
∵BC=BE=2a，
∴S△ABE=S△ABC，EO=3a，EC=4a，
∴aCD=3a4a，
∴CD=43a，
∵△ABC∽△DAC，
∴BCAC=ACCD，
∴AC2=BC⋅CD=83a2，
∵△ABC∽△DAC，
∴S△ACDS△ABC=(ACBC)2=23，
∴S2=23S1，
∴m=23．
【解析】(1)通过证明△ABC∽△DAC，可得∠ACB=∠ACD，可证OA⊥DE，即可求解；
(2)设BO=OC=OA=a，则BC=2a，由相似三角形的性质可求CD的长，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25.【答案】解：(1)把A(−3,0)，B(1,0)，C(0,3)代入y=ax2+bx+c得：
9a−3b+c=0a+b+c=0c=3，
解得：a=−1b=−2c=3，
∴抛物线的解析式为y=−x2−2x+3．
(2)过点P作PQ/​/x轴，交AC于点Q，如图所示：

设直线AC的解析式为y=kx+b，
将A(−3,0)，C(0,3)代入得：
b=3−3k+b=0，
解得：k=1b=3，
∴直线AC的解析式为y=x+3，
设点P的坐标为(t,−t2−2t+3)，则点Q(−t2−2t,−t2−2t+3)，
∵点P在直线AC上方的抛物线上，
∴PQ=−t2−2t−t=−t2−3t，
∵PQ/​/x轴，
∴∠PQD=∠BAD，∠QPD=∠ABD，
∴△PQD∽△BAD，
∴PDBD=PQAB，即PDBD=−t2−3t4=−14(t2+3t)=−14(t+32)2+916，
∴当t=−32时，PDBD有最大值916，
此时点P的坐标为(−32,154)．
【解析】(1)把A(−3,0)，B(1,0)，C(0,3)，代入求出a，b，c的值，进而可得解析式；
(2)过点P作PQ/​/x轴，交AC于点Q，如图所示：待定系数法求直线AC的解析式为y=x+3，设点P的坐标为(t,−t2−2t+3)，则点Q(−t2−2t,−t2−2t+3)，PQ=−t2−2t−t=−t2−3t，证明△PQD∽△BAD，则PDBD=PQAB，即PDBD=−t2−3t4=−14(t2+3t)=−14(t+32)2+916，然后根据二次函数的图象与性质，求解作答即可．
本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数解析式，相似三角形的判定与性质．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数解析式，相似三角形的判定与性质是解题的关键．记各组午休时间为t分钟
A组：0B组：15C组：30D组：45E组：t>60