2024年北京卷高考真题数学试卷

这是一份2024年北京卷高考真题数学试卷，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2024年北京卷高考真题数学试卷
一、选择题
共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项．
1.已知集合
A. 待补
，
，则
C. 待补
（ ）．
D. 待补
B. 待补
2.已知
，则
（ ）．
B. 待补
A. 待补
C. 待补
D. 待补
D. 待补
D. 待补
3.求圆
的圆心到
B. 待补
的距离（ ）．
C. 待补
A. 待补
4.
的二项展开式中 的系数为（ ）．
B. 待补
A. 待补
C. 待补
5.已知向量
A. 待补
，
，则“
”是“
C. 待补
或
”的（ ）条件．
D. 待补
B. 待补
B. 待补
6.已知
，
，
，
，则
（ ）．
D. 待补
A. 待补
C. 待补
7.记水的质量为
（ ）．
，并且 越大、水质量越好．若 不变，且
，
，则
与
的关系为

A. 待补
B. 待补
C. 待补
D. 待补
8.已知以边长为 的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为 ， ，
，
，则该四棱锥的高为（ ）．
D. 待补
A. 待补
B. 待补
C. 待补
9.已知
A.
，
是
上的点，则下列正确的是（ ）．
C.
B.
B.
D.
10.若集合
）．
表示的图形中，两点间最大距离为 、面积为 ，则（
A.
，
，
C.
，
D.
，
二、填空题
共5小题，每小题5分，共25分．
11.已知抛物线
12.已知
，则焦点坐标为
．
，且 与 的终边关于原点对称，则
的最大值为
．
13.已知双曲线
，则过
且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为
．
14.已知三个圆柱的体积为公比为 的等比数列．第一个圆柱的直径为
，第二、三个圆柱的直径为
，第三个圆柱的高为
，求前两个圆柱的高度分别为
．
15.已知
，
， 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是
．
①
， 均为等差数列，则 中最多一个元素；

②
③
④
， 均为等比数列，则 中最多三个元素；
为等差数列， 为等比数列，则 中最多三个元素；
单调递增， 单调递减，则 中最多一个元素．
三、解答题
共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.在
中，
， 为钝角，
．
（ 1 ）求
．
（ 2 ）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求
；② ；③
注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．
的面积．
①
．
17.已知四棱锥
．
，
，
，
，
， 是
上一点，
（ 1 ）若 是
（ 2 ）若
中点，证明：
平面
与面
．
平面
，求面
夹角的余弦值．
18.已知某险种的保费为 万元，前 次出险每次赔付 万元，第 次赔付 万元．
赔偿次数
单数
在总体中抽样
单，以频率估计概率：

（ 1 ）求随机抽取一单，赔偿不少于 次的概率．
（ 2 ）①毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为 ，估计 的数学期望．
②若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降 ，已赔偿过的增加
数学期望．
．估计保单下一保险期毛利润的
19.已知椭圆方程
．焦点和短轴端点构成边长为 的正方形，过
交椭圆于 ．
的
直线 与椭圆交于 ， ，
（ 1 ）求椭圆方程和离心率．
，连接
（ 2 ）若直线
的斜率为 ，求 ．
20.已知
在
处切线为 ．
单调区间．
（ 1 ）若切线 的斜率
（ 2 ）证明：切线 不经过
，求
．
（ 3 ）已知
，
，
，其中
，切线 与 轴交于点 时．当
，
，符
合条件的 的个数为?
（参考数据：
，
）
21.设集合
有穷数列 共 项和序列 ：
，且
为偶数，对于给定
，
，
，
，定义变换 ：将数列 的第 ， ， ，
项加 ，得到数列
得到数列
；将数列
的第 ， ， ， 项加 ，得到数列 ；重复上述操作，
，记为
．
（ 1 ）待补
（ 2 ）待补
（ 3 ）若
为偶数，证明：“存在序列 ，使
”．
为常数列”的充要条件为“