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四川省内江市2024届高三第三次模拟考试数学文科试题
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这是一份四川省内江市2024届高三第三次模拟考试数学文科试题，共6页。
考试时间：分钟 满分：分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）(共12题；共60分)
1. 集合的子集个数是（ ）
2. 已知是虚数单位， ， 则（ ）
3. 已知向量 ， ， 若 ， 则的值为（ ）
4. 三个不互相重合的平面将空间分成n个部分，则n的最小值与最大值之和为（ ）
5. 如图所示的程序框图，若输入 ， 则输出k的值为（ ）
6. 在等比数列中，为其前n项和，若 ， ， 则的值为（ ）
7. 设是椭圆的两个焦点，点P在椭圆C上，若为直角三角形，则的面积为（ ）
8. 口袋中装有质地和大小相同的6个小球，小球上面分别标有数字1，1，2，2，3，3，从中任取两个小球，则两个小球上的数字之和大于4的概率为（ ）
9. 已知正方体的棱长为2，点M、N、P分别为棱AB、、的中点，则平面MNP截正方体所得截面的面积为（ ）
10. 若函数有两个零点，则实数m的取值范围为（ ）
11. 已知双曲线 ， 以双曲线C的右顶点A为圆心，b为半径作圆A ， 圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，若 ， 则双曲线的离线率为（ ）
12. 已知函数的定义域为 ， 对都有成立，若 ， 则（ ）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）(共4题；共20分)
13. 已知函数 ， 则函数在处的切线方程为____________________．
14. 已知实数x ， y满足则的最大值为____________________．
15. 若函数是奇函数，则____________________．
16. 在中，角A的平分线AD与BC边相交于点D ， 若 ， 则的最小值为____________________．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）(共5题；共60分)
17. 2024年2月10日至17日（正月初一至初八），“2024·内江市中区新春极光焰火草地狂欢节”在川南大草原举行，共举行了8场精彩的烟花秀节目．前5场的观众人数（单位：万人）与场次的统计数据如表所示：
参考公式及参考数据：回归方程中斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为 ， ， ， 其中 ．
（1） 已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的线性回归方程；
（2） 若该烟花秀节目分A、B、C三个等次的票价，某机构随机调查了该烟花秀节目现场200位观众的性别与购票情况，得到的部分数据如表所示，请将2×2列联表补充完整，并判断能否有90%的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关．
18. 已知等差数列的公差为4，且 ， ， 成等比数列，数列的前n项和为 ， 且 ．
（1） 求数列、的通项公式；
（2） 设 ， 求数列的前n项和 ．
19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且 ， ， ， 平面 ．
（1） 求证：；
（2） 若PD与平面PBC所成的角为 ， 求三棱锥的体积．
20. 已知函数 ， ．
（1） 若恒成立，求a的取值集合；
（2） 证明： ．
21. 已知抛物线E的准线方程为： ， 过焦点F的直线与抛物线E交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛物线E交于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点．
（1） 求抛物线E的标准方程；
（2） 证明：为定值．
四、请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔将所选题号涂黑．(共2题；共20分)
22. 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为加点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标系方程为 ．
（1） 求曲线和的普通方程，并指出曲线和所表示的曲线类型；
（2） 若曲线和交于点A、B ， 点P在曲线上，且的面积为 ， 求点P的直角坐标．
23. 已知函数 ．
（1） 求不等式的解集；
（2） 将函数的图象与直线围成的封闭图形的面积记为t ， 若正数a、b、c满足 ， 求证： ．
A . 5
B . 6
C . 7
D . 8
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A . 11
B . 12
C . 13
D . 14
A . 3
B . 7
C . 15
D . 31
A . 25
B . 30
C . 35
D . 40
A .
B . 1或
C .
D . 1或
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B . 0
C . 1
D . 2
场次编号x
1
2
3
4
5
观众人数y
1
k
购买A等票
购买非A等票
总计
男性观众
50
女性观众
60
总计
100
200
考试时间：分钟 满分：分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）(共12题；共60分)
1. 集合的子集个数是（ ）
2. 已知是虚数单位， ， 则（ ）
3. 已知向量 ， ， 若 ， 则的值为（ ）
4. 三个不互相重合的平面将空间分成n个部分，则n的最小值与最大值之和为（ ）
5. 如图所示的程序框图，若输入 ， 则输出k的值为（ ）
6. 在等比数列中，为其前n项和，若 ， ， 则的值为（ ）
7. 设是椭圆的两个焦点，点P在椭圆C上，若为直角三角形，则的面积为（ ）
8. 口袋中装有质地和大小相同的6个小球，小球上面分别标有数字1，1，2，2，3，3，从中任取两个小球，则两个小球上的数字之和大于4的概率为（ ）
9. 已知正方体的棱长为2，点M、N、P分别为棱AB、、的中点，则平面MNP截正方体所得截面的面积为（ ）
10. 若函数有两个零点，则实数m的取值范围为（ ）
11. 已知双曲线 ， 以双曲线C的右顶点A为圆心，b为半径作圆A ， 圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，若 ， 则双曲线的离线率为（ ）
12. 已知函数的定义域为 ， 对都有成立，若 ， 则（ ）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）(共4题；共20分)
13. 已知函数 ， 则函数在处的切线方程为____________________．
14. 已知实数x ， y满足则的最大值为____________________．
15. 若函数是奇函数，则____________________．
16. 在中，角A的平分线AD与BC边相交于点D ， 若 ， 则的最小值为____________________．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）(共5题；共60分)
17. 2024年2月10日至17日（正月初一至初八），“2024·内江市中区新春极光焰火草地狂欢节”在川南大草原举行，共举行了8场精彩的烟花秀节目．前5场的观众人数（单位：万人）与场次的统计数据如表所示：
参考公式及参考数据：回归方程中斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为 ， ， ， 其中 ．
（1） 已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的线性回归方程；
（2） 若该烟花秀节目分A、B、C三个等次的票价，某机构随机调查了该烟花秀节目现场200位观众的性别与购票情况，得到的部分数据如表所示，请将2×2列联表补充完整，并判断能否有90%的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关．
18. 已知等差数列的公差为4，且 ， ， 成等比数列，数列的前n项和为 ， 且 ．
（1） 求数列、的通项公式；
（2） 设 ， 求数列的前n项和 ．
19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且 ， ， ， 平面 ．
（1） 求证：；
（2） 若PD与平面PBC所成的角为 ， 求三棱锥的体积．
20. 已知函数 ， ．
（1） 若恒成立，求a的取值集合；
（2） 证明： ．
21. 已知抛物线E的准线方程为： ， 过焦点F的直线与抛物线E交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛物线E交于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点．
（1） 求抛物线E的标准方程；
（2） 证明：为定值．
四、请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔将所选题号涂黑．(共2题；共20分)
22. 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为加点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标系方程为 ．
（1） 求曲线和的普通方程，并指出曲线和所表示的曲线类型；
（2） 若曲线和交于点A、B ， 点P在曲线上，且的面积为 ， 求点P的直角坐标．
23. 已知函数 ．
（1） 求不等式的解集；
（2） 将函数的图象与直线围成的封闭图形的面积记为t ， 若正数a、b、c满足 ， 求证： ．
A . 5
B . 6
C . 7
D . 8
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A . 11
B . 12
C . 13
D . 14
A . 3
B . 7
C . 15
D . 31
A . 25
B . 30
C . 35
D . 40
A .
B . 1或
C .
D . 1或
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B . 0
C . 1
D . 2
场次编号x
1
2
3
4
5
观众人数y
1
k
购买A等票
购买非A等票
总计
男性观众
50
女性观众
60
总计
100
200
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