（网络参考版）2024年普通高等学校招生全国统一考试数学（理） 试卷 全国甲卷（答案不全）(含答案)

这是一份（网络参考版）2024年普通高等学校招生全国统一考试数学（理） 试卷 全国甲卷（答案不全）(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若，则( )
A.B.C.10D.-2
2．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
3．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为( )
A.B.0C.D.
4．记等差数列的前n项和，若，，则( )
A.B.C.D.
5．已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为( )
A.4B.3C.2D.
6．设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A.B.C.D.
7．函数在区间的大致图像为( )
A.B.
C.D.
8．已知，则( )
A.B.C.D.
9．已知向量，，则( )
A.是的必要条件B.是的必要条件
C.是的充分条件D.是的充分条件
10．设，为两个平面，m，n为两条直线，且.下述四个命题：
①若，则或
②若，则或
③若且，则
④若n与，所成的角相等，则.
其中所有真命题的编号是( )
A.①③B.②④C.①②③D.①③④
11．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则( )
A.B.C.D.
12．已知b是a，c的等差中项，直线与圆交于A，B两点，则的最小值为( )
A.1B.2C.4D.
二、填空题
13．的展开式中，各项系数中的最大值为_________.
14．已知圆台甲、乙的上底面半径均为，下底面半径均为，圆台的母线长分别为，，则圆台甲与乙的体积之比为_________.
15．已知且，则_________.
16．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.设m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之差的绝对值不大于的概率为_________.
三、解答题
17．某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
（1）填写如下列联表：
能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率.设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（）
附：，
18．记为数列的前n项和，已知.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
19．如图，已知，，，，，，M为CD的中点.
（1）证明：平面BCF；
（2）求二面角的正弦值.
20．已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）当时，，求a的取值范围.
21．设椭圆的右焦点为F，点在C上，且轴.
（1）求C的方程；
（2）过点的直线交C于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q.证明：轴.
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）写出C的直角坐标方程；
（2）设直线l：（t为参数），若C与l相交于A，B两点，且，求a.
23．[选修4-5：不等式选讲]
已知实数a，b满足.
（1）证明：；
（2）证明：.
参考答案
1．答案：A
解析：因为，所以，故选A.
2．答案：D
解析：因为，，所以，故选D.
3．答案：D
解析：将约束条件两两联立可得3个交点：，和，经检验都符合约束条件.代入目标函数可得：，故选D.
4．答案：B
解析：因为，所以，，又因为，所以公差，，故选B.
5．答案：C
解析：，故选C.
6．答案：A
解析：因为，所以，，，故选A.
7．答案：B
解析：
8．答案：B
解析：因为，所以，，故选B.
9．答案：C
解析：，则，解得：或-3，故选C.
10．答案：A
解析：
11．答案：C
解析：因为，，所以.由余弦定理可得：，即：，，所以，，故选C.
12．答案：C
解析：因为a，b，c成等差数列，所以，直线恒过.当时，取得最小值，此时，，故选C.
13．答案：5
解析：展开式中系数最大的项一定在下面的5项：、、、、，计算可得：系数的最大值为.
14．答案：
解析：.
15．答案：64
解析：因为，所以，而，故，.
16．答案：
解析：记前三个球的号码分别为a、b、c，则共有种可能.令可得：，根据对称性：或6时，均有2种可能；或5时，均有10种可能；或4时，均有16种可能；故满足条件的共有56种可能，
.
17．答案：（1）没有的把握
（2）有优化提升
解析：（1），没有的把握；
（2），故有优化提升.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，所以，
两式相减可得：，即：，
又因为，所以，
故数列是首项为4，公比为-3的等比数列，；
（2）解法1：，
所以，.
两式相减可得：，.
解法2：，所以，
两边同时减去可得：，
故为常数列，即：，.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）由题意：，，
而平面，平面ADO，
所以平面BCF；
（2）取DM的中点O，连结OA，OE，
则，，，，而，
故.
以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
设平面AEM的法向量为，
由可得：，
令，则，
同理：取平面BEM的法向量为，
则，，
故二面角的正弦值为.
20．答案：（1）极小值为，无极大值
（2）
解析：（1）当时，，.
，当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
故的极小值为，无极大值；
（2），.
令，则.
因为当时，，且，，
所以，.
当时，，在上递增，，
故在上递增，恒成立，即a的取值范围为.
21．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）设椭圆C的左焦点为，则，.
因为轴，所以，，
解得：，，
故椭圆C的方程为：；
（2）解法1：设，，，
则，即.
又由可得，
结合上式可得.
，，，则，故轴.
解法2：设，，则，即：，
所以，
即：，.
，，，则，故轴.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，所以，
故C的直角坐标方程为：，即：；
（2）将代入可得：，
，解得：.
23．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）因为，所以；
（2）
.
优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
优级品
非优级品
甲车间
乙车间
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828