专题02 求最值中的几何模型（3大模型+解题技巧）-2024年中考数学答题技巧（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
专题02 求最值中的几何模型
题型解读｜模型构建｜通关试练
模型01 将军饮马模型
将军饮马模型在考试中主要考查转化与化归等的数学思想，该题型综合考查学生的理解和数形结合能力具有一定的难度，也是学生感觉有难度的题型.在解决几何最值问题主要依据是：①将军饮马作对称点；②两点之间，线段最短； = 3 \* GB3 ③垂线段最短，涉及的基本知识点还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等；希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识.
模型02 建桥选址模型
建桥选址模型，即沿一个方向平移的定长线段两端到两个定点距离和最小，解题时需要理清楚是否含有定长平移线段，且利用平移求出最短路径位置．求解长度时若有特殊角，通常采用构造直角三角形利用勾股定理求解的方法.该题型主要考查了在最短路径问题中的应用，涉及到的主要知识点有矩形的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键在于如何利用轴对称找到最短路径.
模型03 胡不归模型
胡不归PA+k·PB”型的最值问题：当k等于1时，即为“PA+PB”之和最短问题，可用我们常见的“将军饮马”问题模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理.当k不等于1时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路.此类问题的处理通常以动点P所在图象的不同来分类，一般分为两类研究.即点P在直线上运动和点P在圆上运动.其中点P在直线上运动的类型通常为“胡不归”问题.
模型01 将军饮马模型
考｜向｜预｜测
将军饮马模型问题该题型主要以选择、填空形式出现，综合性大题中的其中一问，难度系数较大，在各类考试中都以中高档题为主.本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段，属于中考选择或填空题中的压轴题.
答｜题｜技｜巧
（1）点A、B在直线m两侧
两点连线，线段最短
例1．（2023·四川）如图，等边三角形的边上的高为6，是边上的中线，M是线段上的-一个动点，E是中点，则的最小值为 ．
（2）点A、B在直线同侧
例2.（2022·安徽）如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AC于点D，点P，Q分别是BD，AB上的动点，则AP＋PQ的最小值为（ ）
A．6B．6C．3D．3
模型02 建桥选址模型
考｜向｜预｜测
建桥选址模型该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、三角形及平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段最短”等，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．
答｜题｜技｜巧
（1）两个点都在直线外侧：
辅助线：连接AB交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值为AB.
例1．（2022·湖北）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．求PD+PQ+QE的最小值为 ．
（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
辅助线：过点B作关于定直线n的对称点B’，连接AB’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值为AB’.
例2．（2023·山东）如图，在中，，，，直线是中边的垂直平分线，是直线上的一动点，则的周长的最小值为_________．
（3）如图3，两个点都在内侧：
辅助线：过点A、B作关于定直线m、n的对称点A’ 、B’ ，连接A’B’ 交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QA的最小值为A’B’.
模型03 胡不归模型
考｜向｜预｜测
胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握.本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握.在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短.
答｜题｜技｜巧
例1．（2023·江苏）如图，中，，，，P为边上一动点，则的最小值等于 ．
1．（2023·江苏扬州）如图所示，军官从军营C出发先到河边（河流用表示）饮马，再去同侧的D地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗?下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是（ ）
A． B．C．D．
2．（2023.浙江）如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF= .

3．（2022·安徽）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝30°，P（5，0），在OB上找一点M，在OA上找一点N，使△PMN周长最小，则此时△PMN的周长为 ．
4．（2023·广东）如图，在中，，，，，是的平分线，若点、分别是和上的动点，则的最小值是______．
5．（2023·江苏）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为 ．

6．（2023·浙江）已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermat pint）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=（ ）
A．B．C．6D．
7．（2023·浙江）如图，平行四边形中，，，，P为边CD上的一动点，则的最小值等于（ ）

A．B．C．D．
8．（2023·四川）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
9．（2023·湖南）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作A点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．
请利用上述模型解决下列问题：
(1)几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ；
(2)几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．
10．（2023·陕西）在学习对称的知识点时，我们认识了如下图所示的“将军饮马”模型求最短距离．
问题提出：
(1)如图1所示，已知A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，并连接与，使的值最小．

问题探究：
(2)如图2所示，正方形的边长为2，E为的中点，P是上一动点．连接和，则的最小值是___________；

问题解决：
(3)某地有一如图3所示的三角形空地，已知，P是内一点，连接后测得米，现当地政府欲在三角形空地中修一个三角形花坛，点分别是边上的任意一点（不与各边顶点重合），求周长的最小值．

1．（2023·山东）如图，已知点，，，，为直线上一动点，则的对角线的最小值是（ ）
A．B．4C．5D．
2．（2023·上虞市）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6 cm，则∠AOB的度数是（ ）
A．15B．30C．45D．60
3．（2023·山东）如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
4．（2023·四川）如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若AB＝2，∠A＝120°，则PM＋PC的最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
5．（2023·湖北）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为 ．
6．（2023·北京）如图，是内一定点，点，分别在边，上运动，若，，则的周长的最小值为 .

7．（2023·广东）如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为_____．
8．（2023·广东）如图，在中，，，.，分别是边，上的动点，且，则的最小值为 ．
9．（2023·内蒙古）如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则MA+MB+MD的最小值是________．
10．（2023·浙江）如图，河的两岸有，两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得，两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽3米，且，两点之间的水平距离为12米，则的最小值是 米．

11．（2023·广东）如图所示，已知O为坐标原点，矩形（点A与坐标原点重合）的顶点D、B分别在x轴、y轴上，且点C的坐标为，连接，将沿直线翻折至，交于点E．

(1)求点坐标．
(2)试在x轴上找点P，使的长度最短，请求出这个最短距离．
12．（2023·吉林）数学兴趣活动课上，小致将等腰的底边与直线重合．
（1）如图(1)，在中，，点在边所在的直线上移动，根据“直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”，小致发现的最小值是____________．
（2）为进一步运用该结论，在（1）的条件下，小致发现，当最短时，如图(2)，在中，作平分交于点点分别是边上的动点，连结小致尝试探索的最小值，小致在上截取使得连结易证，从而将转化为转化到（1）的情况，则的最小值为 ；
（3）解决问题：如图(3)，在中，，点是边上的动点，连结将线段绕点顺时针旋转，得到线段连结，求线段的最小值．

13．（2023·河南）唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题：
如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？
作法如下：如图1，从出发向河岸引垂线，垂足为，在的延长线上，取关于河岸的对称点，连接，与河岸线相交于，则点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到，饮马之后，再由沿直线走到，所走的路程就是最短的．

(1)观察发现
如图2，在等腰梯形中，，点、是底边与的中点，连接，在线段上找一点，使最短．
作点关于的对称点，恰好与点重合，连接交于一点，则这点就是所求的点，故的最小值为_______．
(2)实践运用
如图3，已知的直径，点A在圆上，且的度数为，点是弧的中点，点在直径上运动，求的最小值．
(3)拓展迁移
如图，已知抛物线的对称轴为，且抛物线经过两点，与轴交于另一点．
①求这条抛物线所对应的函数关系式；
②在抛物线的对称轴直线上找到一点，使周长最小，请求出此时点的坐标与周长最小值．
第一步：
观察所求为横向还是纵向的线段长度（定长），将线段按照长度方向平移
第二步：
同侧做对称点变异侧，异侧直接连线
第三步：
结合两点之间，线段最短；垂线段最短；三角形两边之和大于第三边等常考知识点
第四步：
利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型
第一步：
观察点或图形的变化规律，根据图形的变化规律求出已知关键点的坐标；
第二步：
分析变化规律得到一般的规律看是否具有周期性（如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等）
第三步：
周期性的求最小周期看余数，不是周期性的可以罗列求解几组以便发现规律，根据最后的变化次数或者运动时间登，确定要求的点与哪个点重合或在同一象限，或与哪个关键点的横纵坐标相等；
第四步：
利用有理数的运算解题
第一步：
构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型；
第二步：
借助三角函数，构造锐角α，将另一个系数也化为1；
第三步：
利用“垂线段最短”原理构造最短距离；
第四步：
数形结合解题