专题11 方程的实际应用模型（4大模型+解题技巧）-2024年中考数学答题技巧（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
专题11 方程的实际应用模型
题型解读｜模型构建｜通关试练
本专题主要对初中阶段的方程应用题型进形总结分析，收集汇总各地市常考的方程应用题型，主要分为一元一次方程，二元一次方程组，分式方程，一元二次方程几大题型。考试中我们可以看出二元一次方程组和分式方程考试频率较高。一元一次方程相对基础较为简单，应用题型中出现较少，一元二次方程的应用综合性较高除了在应用题型中有所体现，在二次函数的应用中也经常出现。本专题根据考试题型分类归纳总结。
模型01 一元一次方程的应用
一元一次方程的应用题型
1.行程问题
路程=时间×速度，时间=路程÷速度，速度=路程÷时间；
（单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米/秒、米/分、千米/时间）
2.工程问题：
工作总量=工作时间×工作效率，工作总量=各部分工作量的和
3.利润问题：
利润=售价－进价，利润率=利润÷进价，售价=标价×折扣
4.等积变形问题
长方体的体积=长×宽×高；圆柱的体积=底面积×高；锻造前的体积=锻造后的体积
5.利息问题
利息和=本金+利息；利息=本金×利率×时间
模型02 二元一次方程组应用
二元一次方程组应用：
1.行程问题：速度×时间＝路程
顺水速度＝静水速度＋水流速度
逆水速度＝静水速度－水流速度
2.配套问题：实际数量比＝配套比
3.商品销售问题：利润＝售价－进价；售价＝标价×折扣；利润率＝利润÷进价×100%
4.工程问题：工作效率×工作时间＝工作总量；甲乙合作效率＝甲的效率＋乙的效率
模型03 分式方程应用
分式方程的应用解法步骤及题型：
列分式方程解应用题的一般步骤，与列整式方程解应用题的步骤一样，都是按照审、设、列、解、验、答六步进行．
（1）在利用分式方程解实际问题时，必须进行 “双检验”，既要检验去分母化成整式方程的解是否为分式方程的解，又要检验分式方程的解是否符合实际意义.
（2）分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型.
模型04 一元二次方程应用
一元二次方程的应用主要有以下几种题型：
1.数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
2.增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
3.形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
4.运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
5. 利润(销售)问题
利润(销售)问题中常用的等量关系：
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数
模型01 一元一次方程的应用
考｜向｜预｜测
一元一次方程的应用该题型近年主要以应用题形式出现，一般为应用题型的第一问，难度系数较小，在各类考试中基本为送分题型。解这类问题的关键是根据题意设未知量、列方程、解方程，其中列方程是解题的核心，一般需要我们很好的理解题意。
答｜题｜技｜巧
例1. （2023·上海）一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成，现由甲先做3天，乙再加入合做，还需几天完成这项工程？设还需天完成这项工程，由题意 列方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：由题意知，甲在这项工程中做了天，
则得方程：；
故选：D．
例2．（2023·吉林长春）列方程解应用题
劳动课上王老师带领七（1）班45名学生制作圆柱形小鼓，其中男生人数比女生人数少7人，并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面．
(1)男生有______人，女生有______人．
(2)①老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？
②若想每小时制作78个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你思考此问题，直接写出结果和新加入人员具体的分配方案．
【答案】(1)19，26
(2)①分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面；②新加入20人，其中12人制作鼓身，8人制作鼓面．
【详解】（1）解：设男生有x人，则女生有人，
根据题意，得，
解得，
∴，
故答案为：19，26；
（2）解：①设分配m名学生制作鼓身，则名学生剪鼓面，
由题意，得，
解得，
则，
答：应分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面；
②由①知分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面，则1小时可制作小鼓个，还需制作个小鼓，
所以应再加入制作鼓身人，制作鼓面人．
则新加入人，其中12人制作鼓身，8人制作鼓面．
模型02 二元一次方程组应用
考｜向｜预｜测
二元一次方程组应用该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，在各类考试中得分率较高。掌握二元一次方程组的解法是考试的重点，二元一次方程组的解法主要采用消元法，在应用题型中，根据题意列二元一次方程组相对简单，该题型设两个未知量，两个条件两个方程，相对直观，只要我们在解方程组的过程中不出现失误，一般不会失分。
答｜题｜技｜巧
例1．（2023·黑龙江哈尔滨）一种商品有大、小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶．大盒与小盒各装多少瓶？若设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，则可列方程组得（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：设大盒装x瓶，小盒装y瓶，根据题意可列方程组为：，
故选：C．
例2．（2023·安徽）某校准备租车运送450名学生去合肥市园博园，已知租1辆甲型客车和2辆乙型客车满载可坐学生165名，租2辆甲型客车和1辆乙型客车满载可坐学生150名，学校计划同时租甲型客车m辆，乙型客车n辆，一次性将学生运往市园博园，且恰好每辆客车都满载，两种型号客车都租用．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求1辆甲型客车和1辆乙型客车满载时分别可坐多少名学生？
(2)如果乙型客车数量多于甲型客车数量，请求出甲型客车、乙型客车各多少辆？
(3)已知甲型客车每辆租金200元，乙型客车每辆租金250元，如果租车总费用不超过2000元，请制定最省钱的租车方案．
【答案】(1)1辆甲型客车满载时可坐45名学生，1辆乙型客车满载时可坐60名学生
(2)甲型客车2辆、乙型客车6辆
(3)最省钱的租车方案为甲型客车6辆，乙型客车3辆．
【详解】（1）解：设1辆甲型客车满载时可坐x名学生，1辆乙型客车满载时可坐y名学生，
由题意得：，
解得：，
答：1辆甲型客车满载时可坐45名学生，1辆乙型客车满载时可坐60名学生；
（2）解：由题意可知，
整理，得：，
所以．
因为m，n都为正整数，且乙型客车数量多于甲型客车数量，即，
所以，，
答：甲型客车2辆、乙型客车6辆；
（3）解：结合（2）可知，；，；
当，时，；
当，时，．
又因为，
所以最省钱的租车方案为甲型客车6辆，乙型客车3辆．
模型03 分式方程的应用
考｜向｜预｜测
分式方程的应用该题型近年在方程的应用题型中考试较多，了解解分式方程的基本思路和解法，掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，让学生体会解分式方程过程中的化归思想是本节内容的重心。分式方程及其应用是中考的必考内容之一，一般着重考查解分式方程及列分式方程解应用题，并要求会用增根的意义解题，考题常以解答透折考纲题的形式出现,有时也会出现在选择题和填空题中。该题型主要难点在于设、列、解，属于应用题型的第一问，难度系数不是很大，属于容易得分项。
答｜题｜技｜巧
例1．（2023·山西）我县文化宫向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动． 甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是每分钟x米，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：设乙同学的速度是米/分，可得：
故选 D．
例2．（2023·河南）信阳毛尖是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．某茶叶专卖店经销A，B两种品牌的毛尖，进价和售价如下表所示：
(1)第一次进货时，该专卖店用4000元购进A品牌毛尖，用5280元购进B品牌毛尖，且两种品牌所购得的数量相同，求x的值．
(2)第二次进货时，A品牌毛尖每袋上涨5元，B品牌毛尖每袋上涨6元．该茶叶专卖店计划购进A，B两种品牌毛尖共180袋，且B品牌毛尖的数量不超过A品牌毛尖数量的2倍．销售时，A品牌毛尖售价不变，B品牌毛尖售价提高，则该茶叶专卖店怎样进货，能使第二次进货全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)x的值为50
(2)购进A品牌60袋，B品牌120袋能使第二次进货全部售完后获得的利润最大，最大利润是3600元
【详解】（1）解：由题意得，，
解得，
经检验是原方程的解，
∴x的值为50．
（2）解：设A为m袋，则B为袋，
由题知：，
解得，
设总利润为w元，，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，，
∴购进A品牌60袋，B品牌120袋能使第二次进货全部售完后获得的利润最大，最大利润是3600元．
模型04 一元二次方程应用
考｜向｜预｜测
一元二次方程应用该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况下出现在应用题型中或者与二次函数相结合的题型中，具有一定的综合性和难度。掌握一元二次方程的解法是解答本题的基础和关键。一元二次方程中根的判别式的应用也需要我们重点理解和熟练应用。一元二次方程的解法及根的判别式及其应用是中考的必考内容之一，一般着重考查解一元二次方程及列方程解应用题。
答｜题｜技｜巧
例1．（2023·安徽）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3亿元，预计2024年投入5亿元，设教育经费的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：根据题意，得，
故选：A．
例2．（2023·山东济南）某工厂为了提高产品的销售量，决定降价销售，计划用两个月的时间价格下降到原来的，则这两个月价格平均每个月降低的百分率为 .
【答案】
【详解】解：设初始价格为，平均每个月降低的百分率为，
则根据题意可得，，
即，
解得，，
为下降率，故，
，即．
故答案为：．
例3．（2023·四川成都）如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为12米．设的长为x米，矩形菜园的面积为S平方米，
(1)分别用含x的代数式表示与S；
(2)若，求x的值；
(3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？
【答案】(1)，
(2)9
(3)当时，S有最大值，最大值为．
【详解】（1）解：由题意，，
则矩形菜园的面积为；
（2）解：当时，由得，
解得，，
∵墙长为12米，
∴，则，
∴，
答：x值为9；
（3）解：由题意，，
∴，
∵墙长为12米，篱笆长为33米，
∴，
∴，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为．
1．（2023·山东）某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是120元，若按进价计，其中一件盈利，另一件亏本，则两件上衣的进价之和为（ ）
A．230元B．240元C．250元D．260元
【答案】C
【详解】解：设盈利的那件进价为元，亏本的那件进价为元，则
解得
故两件上衣进价之和为：（元）．
故选：C．
2．（2023·福建）甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【详解】解：设甲、乙二人的速度分别为，，
分两种情况：当同时出发后，两人相遇前相距时，
，
解得；
当同时出发后，两人相遇后相距时，
，
解得；
当甲的速度为时，由A地到B地需要时间为：，
当甲的速度为时，由A地到B地需要时间为：，
故选D．
3．（2023·四川）已知从甲站到乙站的高铁线路长 2200千米，自驾从甲站到乙站的路线长约1700千米，开车的平均行驶速度是该高铁设计时速的 ，且从甲站乘坐高铁到乙站比自驾用时少 6 小时．设该高铁的设计时速为x千米/时，则可列方程为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：由题意，得
．
故选A．
4．（2023·广东）某兴趣小组组织一次围棋比赛，参赛选手每两人之间都要比赛一场，按计划需要进行28场比赛，设比赛组织者应邀请x人参与比赛，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：设参赛的人数为x，
依题意，得：
故选：B．
5．（2023·山东）A，B两地相距80千米，一船从A出发顺水行驶4小时到达B，而从B出发逆水行驶5小时才能到达A，则船在静水中的航行速度是 千米/时．
【答案】18
【详解】解：设船在静水中的航行速度是x千米/时，水流速度为y千米/时，根据题意得： ，
解得：，
答：船在静水中的航行速度是18千米/时．
故答案为：18
6．（2023·河北）某地举办了一次足球热身赛，其计分规则及奖励方案（每人）如下表：
当比赛进行到每队各比赛12场时，A队共积20分，并且没有负一场．
(1)试判断A队胜、平各几场？
(2)若每比赛一场每名队员均得出场费500元，A队的某一名队员参加了全部比赛，那么他所得奖金与出场费的和是多少？
【答案】(1)A队胜4场，平8场
(2)出场费加奖金一共17600元
【详解】（1）解：设队胜利场，
一共打了12场，
平了场，
，
解得：；
，
队胜4场，平8场；
（2）解：每场比赛出场费500元，12场比赛出场费共6000元，
赢了4场，奖金为元，
平了8场，奖金为元，
奖金加出场费一共17600元；
答：一共赢了4场，出场费加奖金一共17600元．
7．（2023·广西）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元．(如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为600元，可减160元，需付款440元)
(1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由；
(2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价；
(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算﹖设一件这种健身器材的原价为a元，求出a的取值范围．
【答案】(1)活动一更合算
(2)这种健身器材的原价是400元；
(3)当或时，活动二更合算
【详解】（1）解：购买一件原价为450元的健身器材时，
活动一需付款：元，活动二需付款：元，
∴活动一更合算；
（2）解：设这种健身器材的原价是元，
则，
解得，
答：这种健身器材的原价是400元；
（3）解：这种健身器材的原价为a元，
则活动一所需付款为：元，
活动二当时，所需付款为：元，
当时，所需付款为：元，
当时，所需付款为：元，
①当时，，此时无论为何值，都是活动一更合算，不符合题意，
②当时，，解得，
即：当时，活动二更合算，
③当时，，解得，
即：当时，活动二更合算，
综上：当或时，活动二更合算．
8．（2023·云南）某地要把248吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
(1)求大、小两种货车各用乡少辆？
(2)如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式，并请你设计出使总运费最少的货车调配方案，求出最少总运费．
【答案】(1)大货车用8辆，小货车用12辆．
(2)（且为整数）．9辆小货车前往甲地；8辆大货车、3辆小货车前往乙地．最少运费为元．
【详解】（1）设大货车用x辆，则小货车用辆，根据题意得
，
解得，
∴．
答：大货车用8辆，小货车用12辆．
（2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为辆，前往甲地的小货车为辆，前往乙地的小货车为辆，
，
∴（且为整数）．
∵，，
∴w随a的增大而增大，
∵
∴当时，w最小，最小值为．
∴使总运费最少的调配方案是：9辆小货车前往甲地；8辆大货车、3辆小货车前往乙地．最少运费为元．
9．（2023·山东）在国道202公路改建工程中，某路段长，由甲、乙两个工程队拟在30天内（含30天）合作完成．已知两个工程队各有10名工人（设甲、乙两个工程队的工人全部参与改建，两工程队内每人每天的工作量相同）．甲工程队1天、乙工程队2天共修路；甲工程队2天、乙工程队3天共修路．
(1)试问甲、乙两个工程队每天分别修路多少米？
(2)已知甲工程队每天的施工费用为万元，乙工程队每天的施工费用为万元，要使该工程的施工费用最低，甲，乙两队需各做多少天？最低费用为多少？
【答案】(1)甲队每天修路，乙队每天修路
(2)甲队做30天，乙队做20天，最低费用为25万元
【详解】（1）解：设甲队每天修路x m，乙队每天修路y m，
解得
答：甲队每天修路，乙队每天修路.
（2）设甲工程队需做a天，乙工程队需做b天，
，
，
∵，
∴，
解得.
又∵，
∴.
设总费用为W万元，依题意，得
.
∵，
∴当时， (万元)，
∴ (天).
∴甲队做30天，乙队做20天，最低费用为25万元
10．（2023·贵州）运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲、乙、丙三种车型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如表所示．
解答下列问题：（假设每辆车均满载）
(1)若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车分别需要多少辆？
(2)若用甲、乙、丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，其中甲型车有2辆，则乙、丙型车分别需要多少辆？此时的总运费是多少？
【答案】(1)甲、乙型车分别需要8辆、10辆
(2)乙、丙型车分别需要5辆、7辆，此时的总运费为8800元
【详解】（1）设甲、乙型车分别需要a辆、b辆．
根据题意，得，
解得，
答：甲、乙型车分别需要8辆、10辆；
（2）设乙、丙型车分别需要x辆、y辆，
根据题意得，
解得，
此时总运费为（元）．
答：乙、丙型车分别需要5辆、7辆，此时的总运费为8800元．
11．（2023·重庆）某商店要购进A、B两种型号的文具，通过市场调研得知：A种型号文具的单价比B种文具的单价多100元，且用22500元购买A种型号文具的数量是用10000元购买B种文具的数量的1.5倍．
(1)求A、B两种型号文具的单价分别为多少？
(2)学校计划用不超过10000元的资金购买A、B两种文具共40套，为使购买的A种型号的文具尽可能多，请设计出购买方案．
【答案】(1)购买A种型号文具的单价为300元，购买B种型号文具的单价为200元
(2)购买A种型号玩具20套，购买B种型号玩具20套
【详解】（1）解：设购买B种型号文具的单价为x元，则购买A种型号文具的单价为元
解得，
经检验是原分式方程的解，且符合题意
∴（元）
答：购买A种型号文具的单价为300元，购买B种型号文具的单价为200元；
（2）解：设购买A种型号玩具m套，则购买B种型号玩具套，根据题意得：
解得，
∴m的最大值为20，此时（套）
答：购买A种型号玩具20套，购买B种型号玩具20套
12．（2023·四川）某商场用5万元购进一批衬衫，很快就销售一空，于是商场打算再购进一批相同的衬衫销售，由于该衬衫畅销，导致每件衬衫的进价涨了10元，所以商场6万元购买的衬衫与上次数量一样多．
(1)每件衬衫原来的进价是多少元？
(2)根据第二次的进价，当销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，为了尽可能让利给顾客，商场决定降价出售．要使每天的销售利润为3000元，那么销售单价应定为多少元？
【答案】(1)50；
(2)80．
【详解】（1）解：设原来衬衫每件进价为x元，则后一批衬衫每件进价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：原来衬衫每件进价为50元．
（2）解：设定价为a元，根据题意得
．
整理得，
解得，
为了尽可能让利给顾客，
，
答：定价为80元的时候可以每天的利润达到3000元同时让利于顾客．
1．（2023·河北）《九章算术》中记载：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙买东西，每人出8钱，会多3钱，每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人有x人，物价为y钱，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：依题意得：．
故选：A．
2．（2024·湖南常德·一模）如图，有一张长，宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒，要使制成纸盒的底面积是原来矩形纸板面积的，则x的值为 ．
【答案】5
【详解】解：由题意可知，无盖纸盒的长为，宽为，
∴，
整理得，
解得（不合题意，舍去），
故x的值为5．
故答案为：5
3．新冠肺炎传染性很强，曾有2人同时患上新冠肺炎，并且每人每天平均传染x人，若经过两天传染后就有128人患上了新冠肺炎，则x的值为 ___________．
【答案】7
【分析】根据“2人同时患上新冠肺炎，经过两天传染后128人患上新冠肺炎”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：依题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
故答案为：7．
4．如图，，．，点在线段上以1的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．设运动时间为（），则当点的运动速度为 时，与有可能全等．
【答案】1或1.5
【详解】解：设点的运动速度是，
则有，，，
∵，
∴与全等，有两种情况：
①，，
则，
解得，
则，
解得；
②，，
则，，
解得，．
故答案为：1或1.5．
5．（2024·重庆·一模）某地计划修建一条长1080米的健身步道，由甲、乙两个施工队合作完成．已知乙施工队每天修建的长度比甲施工队每天修建的长度多，若乙施工队单独修建这项工程，那么他比甲施工队单独修建这项工程提前3天完成．
(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米？
(2)若甲施工队每天的修建费用为13000元，乙施工队每天的修建费用为15000元，实际修建时，先由甲施工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙工作队恰好工作3天完成修建任务，求共需修建费用多少元？
【答案】(1)甲施工队每天修建90米，乙施工队每天修建120米
(2)共需修建费用149000元
【详解】（1）解：设甲施工队每天修建的长度为米，则乙施工队每天修建米
依题意，得
解得
经检验，是原分式方程的解
∴（米）
∴甲施工队每天修建90米，乙施工队每天修建120米；
（2）解：设甲施工队单独修建天，
依题意，得
解得
∴甲施工队单独修建5天
则（元）
∴共需修建费用149000元．
6．（2024·广东惠州·一模）广东百千万高质量发展工程预计到2025年将实现县域经济发展加快，乡村振兴取得新成效．某乡村龙眼上市，先后两次共摘龙眼21吨，第一次卖出龙眼的价格为万元/吨；因龙眼大量上市，价格下跌，第二次卖出龙眼的价格为万元/吨，两次龙眼共卖了9万元．
(1)求两次各摘龙眼多少吨？
(2)由于龙眼放置时间短，村民把龙眼加工成桂圆肉和龙眼干进行销售，预计还能摘20吨，若1吨龙眼可加工成桂圆肉吨或龙眼干吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于36万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？
【答案】(1)第一次卖出龙眼6吨，则第二次卖出龙眼15吨
(2)至少需要把12吨龙眼加工成桂圆肉
【详解】（1）解：设第一次卖出龙眼x吨，则第二次卖出龙眼吨，
由题意得：，
解得：，
∴（吨），
答：第一次卖出龙眼6吨，则第二次卖出龙眼15吨；
（2）解：设把y吨龙眼加工成桂圆肉，则把吨龙眼加工成龙眼干，
由题意得：
解得：，
答：至少需要把12吨龙眼加工成桂圆肉．
7．小明和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以米/分的速度到达图书馆，小明始终以同一速度骑行，两人行驶的路程（米）与时间（分）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题：
(1)___________分，___________分，___________米/分：
(2)若小明的速度是120米/分，小明在途中与爸爸第二次相遇的时间是___________分，此时距图书馆的距离是___________米：
(3)在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，与小明相距100米的时间是___________分．
【答案】(1)，，；
(2)，；
(3)或
【详解】（1）解：由题意可知，折线为爸爸行驶的路程与时间的关系图，线段为小明行驶的路程与时间的关系图，
分钟，
分钟，
米/分，
故答案为：，，；
（2）解：由图象可知，小明在途中与爸爸第二次相遇在段，
设段的关系式为，
将点和代入，得：
，解得：，
段的解析式为，
小明的速度是120米/分，
段的关系式为，
，即，
解得：，即小明在途中与爸爸第二次相遇的时间是分，
此时行驶的路程，
距图书馆的距离是米，
故答案为：，；
（3）解：①当爸爸和小明第二次相遇前相距米，
则，
解得：；
②当爸爸和小明第二次相遇后相距米，
则，
解得：，
即爸爸自第二次出发至到达图书馆前，与小明相距100米的时间是或分，
故答案为：或
8．（2024·湖南长沙·模拟预测）某中学为绿化美丽校园，营造温馨环境，计划购进甲、乙两种规格的花架放置新购进的绿植，调查发现，若购买甲种花架10个、乙种花架8个，共需资金1584元；若购买甲种花架5个，乙种花架12个，共需资金1656元．
(1)甲、乙两种花架每个的价格分别是多少元？
(2)若该校计划购进这两种规格的花架共28个，且乙种花架的数量不少于10个，设购买这批花架所需费用为w元，甲种花架购买a个，求w与a之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的购买方案，写出最少费用．
【答案】(1)甲种花架每个的价格为72元，乙种花架每个的价格为108元
(2)，当购买甲种花架18个，乙种花架10个时，所需费用最少，最少费用为2376元
【详解】（1）解：设甲种花架每个的价格为元，乙种花架每个的价格为元，根据题意得：，
解得：，
答：甲种花架每个的价格为72元，乙种花架每个的价格为108元；
（2）∵甲种花架购买个，
∴乙种花架购买个，
∵乙种花架的数量不少于10个，
∴，
解得：，
根据题意得：，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取最小值，最小值为，
∴当购买甲种花架18个，乙种花架10个时，所需费用最少，最少费用为2376元．
9．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．
(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格；
(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
【答案】(1)菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元
(2)本次购买最少花费2250元
【详解】（1）解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，则市场上每捆A种菜苗的价格为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元；
（2）解：设购买A种菜苗m捆，总花费为W元，则购买B种菜苗捆，
由题意得，，
∵A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，
∴，
∴，
∵，
∴W随m增大而减小，
∴当时，W最小，最小值为，
∴本次购买最少花费2250元．
10．（2024·山东济南·模拟预测）某水果店老板市场调研发现，口感无敌的无核沃柑和面甜多汁的罗曼西红柿，物美价廉，走红市场，每斤罗曼西红柿比无核沃柑进价多元，用元购进罗曼西红柿的数量是用元购进无核沃柑数量的倍．
(1)求罗曼西红柿、无核沃柑每斤进价分别为多少元？
(2)罗曼西红柿每斤售价为元，无核沃柑每斤售价为元，水果店老板决定，购进无核沃柑的数量比购进罗曼西红柿的数量的倍还多斤，两种水果全部售出后，可使总的获利不低于元，则最少购进罗曼西红柿多少斤？
【答案】(1)罗曼西红柿每斤进价元，无核沃柑每斤进价元
(2)至少购进罗曼西红柿斤
【详解】（1）设无核沃柑每斤进价元，则罗曼西红柿每斤进价元．
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解且符合题意，则，
答：罗曼西红柿每斤进价元，无核沃柑每斤进价元．
（2）设购进罗曼西红柿斤，则无核沃柑斤．
由题意得：，
解得，
答：至少购进罗曼西红柿斤．
11．某汽车销售公司4月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量之间有如下关系：若当月仅售出1辆汽车，则该部汽车的进价为万元，每多售出辆，所有售出的汽车进价每辆均降低万元，月底汽车生产厂家根据销售公司的销售量一次性返利给销售公司，销售量在辆以内含辆，每辆返利万元；若当月销售量在辆以上，每辆返利万元．
(1)若该公司当月售出辆汽车，则每辆汽车的进价为 万元；
(2)如果该公司把该品牌汽车的售价定为万元辆，并计划当月盈利万元，那么需要销售多少辆汽车？提示：盈利=销售利润+返利)
【答案】(1)
(2)辆
【详解】（1）解：根据题意得：
万元，
每辆汽车的进价为万元．
故答案为：；
（2）设需要销售辆汽车，则每辆的销售利润为万元．
当时，，
整理得：，
解得： (不符合题意，舍去)；
当时，，
整理得：，
解得： (不符合题意，舍去)， (不符合题意，舍去)．
答：需要销售辆汽车．
12．如图所示，中，．
(1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P和点Q间的距离是？
(2)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由；
(3)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？
【答案】(1)2.4秒
(2)不能，理由见解析
(3)经过秒或5秒或秒后，的面积为
【详解】（1）解：设经过x秒，点P和点Q间的距离是，依题意有
，
解得：，
经检验，符合题意．
故经过2.4秒点P和点Q间的距离是；
（2）解：设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，依题意有
的面积，
，
即，
∵，
∴此方程无实数根，
∴线段不能将分成面积相等的两部分；
（3）解：①设经过m秒，点P在线段上，点Q在线段上，
依题意有
，
即，
解得， ，
经检验， 不符合题意，舍去，
∴；
②设经过n秒，点P在线段上，点Q在射线上；依题意有
，
即，
解得，
经检验，符合题意．
③设经过k秒，点P在射线上，点Q在射线上，
依题意有
，
即，
解得， ，
经检验， 不符合题意，舍去，
∴；
综上所述，经过）秒或5秒或秒后，的面积为．
13. “你出地、我出苗，你种植、我培训”．在当地政府支持农业发展的政策带领下，李大伯家种植了车厘子和水蜜桃，今年开始收成并批发出售，水蜜桃的产量是300斤，车厘子的产量比水蜜桃产量的两倍多100斤，每斤车厘子批发价比水蜜桃多2元．
(1)李大伯把车厘子每斤批发价至少定为多少元，可使今年这两种水果的收入不低于23400元；
(2)某水果店从李大伯家用（1）中的最低批发价购进车厘子销售．第一天每斤售价为40元，卖出了100斤，为了增加销量，水果店决定第二天每斤售价降低215m元，销量则在第一天的基础上上涨了2m斤，后结算发现第二天比第一天多盈利320元，已知每天的售价均为整数．求m的值．
【答案】(1)李大伯把车厘子每斤批发价至少定为24元，可使今年这两种水果的收入不低于23400元
(2)30
【详解】（1）解：设李大伯把车厘子每斤批发价定为x元，则把水蜜桃每件批发价定为（x﹣2）元，依题意得：（300×2+100）x+300（x﹣2）≥23400，解得：x≥24．答：李大伯把车厘子每斤批发价至少定为24元，可使今年这两种水果的收入不低于23400元．
（2）依题意得：（40﹣215m﹣24）（100+2m）﹣（40﹣24）×100＝320，整理得：m2﹣70m+1200＝0，解得：m1＝30，m2＝40．又∵（40﹣215m）为整数，∴m＝30．答：m的值为30．
第一步：
审:弄清题意，分清已知量和未知量，明确各数量间的关系
第二步：
设:设未知数，并且用含未知数的代数式表示与所列方程有关的数量列:根据题目中的数量关系、相等关系、倍数关系以及若干倍多或少个数字列方程；
第三步：
解:解所列的方程，求出未知数的值以及题目中所要求的相关数量的值验:检验所求的解是否符合题意，是否符合实际意义。
第一步：
“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；
第二步：
“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
第三步：
“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；
第四步：
“解”就是解方程，求出未知数的值；
第五步：
“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
第一步：
根据题意设未知量，分式方程只设一个未知量，用一个量表示另一个量；
第二步：
解分式方程；
第三步：
检验分式方程的解，看是否为增根，注意不检验会扣分；
第四步：
答：即写出答案，注意答案完整.
品牌
A
B
进货（元/袋）
x
销售（元/袋）
70
90
第一步：
审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
第二步：
设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
第三步：
列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
第四步：
解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
第五步：
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
第六步：
答(写出答案，切忌答非所问).
胜一场
平一场
负一场
积分
3
1
0
奖金（元/人）
1500
700
0
运往地车型
甲地（元/辆）
乙地（元/辆）
大货车
620
700
小货车
400
550
车型
甲
乙
丙
运载量（吨/辆）
5
8
10
运费（元/辆）
450
600
700