数学：湖南省湘西自治州2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版）

这是一份数学：湖南省湘西自治州2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.，不是最简二次根式，不符合题意；
B.，不是最简二次根式，不符合题意；
C.，不是最简二次根式，不符合题意；
D.是最简二次根式，符合题意．
故选：D．
2. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A.与不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B. ，故B正确；
C. ，故C错误；
D. 2与，不是同类二次根式，不能合并，故D错误．
故选：B．
3. 用下列长度的线段a，b，c首尾相连构成三角形，其中能构成直角三角形的个数是（ ）
①，，；②，，；
③④，，（为大于1的正整数）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】∵，，
∴，
∴以线段a， b， c首尾相连能构成直角三角形，故①符合题意；
∵，，
∴，
∴以线段a， b， c首尾相连能构成直角三角形，故②符合题意；
∵，
∴设
∴，，
∴，
∴以线段a，b， c首尾相连能构成直角三角形，故③符合题意；
∵，，
∴，
∴以线段a， b， c首尾相连能构成直角三角形，故④符合题意；
故选：D．
4. 在下列给出的条件中，可以判定四边形为平行四边形的条件是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】A.由AB∥CD，∠A=∠C，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项A不符合题意；
B.∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，故选项B符合题意；
C.由AB∥CD，AD=BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项C不符合题意；
D.由AB∥CD，∠A=∠B，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
5. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
C. 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么
D. 邻补角互补．
【答案】C
【解析】A.原命题的逆命题为：若，则，这是一个假命题，不符合题意；
B.原命题逆命题为：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，这是一个假命题，不符合题意；
C.原命题的逆命题为：如果一个三角形的三条边的长分别为a，b，c，若满足，那么这个三角形是直角三角形，这是一个真命题，符合题意；
D.原命题的逆命题为：互补的角是邻补角，这是一个假命题，不符合题意；
故选：C．
6. 二次根式中的x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】若有意义，
则且，
即：且，
解得，
故选：D．
7. 如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由勾股定理得：
楼梯的水平宽度==12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5=17（米）．
故选：A．
8. 已知一个菱形的两条对角线长分别是12，，则这个菱形的面积为（ ）
A. B. C. D. 36
【答案】B
【解析】∵一个菱形的两条对角线长分别是12，，
∴这个菱形的面积为．
故选：B．
9. 如图，对折矩形纸片，使得与重合，得到折痕；把纸片展平，再折一次纸片，使得折痕经过点B，得到折痕，同时使得点A的对称点N落在上，如果，则（ ）
A. 6B. C. 2D.
【答案】C
【解析】∵对折矩形纸片，使得与重合，得到折痕，
∴，
由折叠可得，，
在中，，
设，
由四边形的面积，
∴，
解得：，
∴，
故选：C．
10. 如图，四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第三个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第四个正方形，连接，得到；…．设的面积分别为依此下去，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理可求：，，，
，
∴
故选：C．
二、填空题
11. 比较大小：___________．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】＞
【解析】∵，
∴；
故答案为＞．
12. 计算的结果为_____________．
【答案】10
【解析】，
故答案为：10．
13. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，BE平分∠ABC，则DE=_____．
【答案】2
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=3，
∴DE=AD-AE=5-3=2．
故答案是：2．
14. 如图，菱形的周长为，对角线，相交于点，若点是的中点，则的长是___________．
【答案】
【解析】四边形是菱形，且周长为，
，，
点是的中点，
是斜边上的中线，
，
故答案为：．
15. 如图所示，如果正方形A的面积为625，正方形B的面积为400，则正方形C的边长为_________．
【答案】15
【解析】设A的边长为a，B的边长为b，C的边长为c，
根据题意，得，，，
．
解得．
故答案为：15．
16. 已知直角三角形两直角边的比是3︰4，斜边长为20cm，则斜边上的高是_______．
【答案】9.6cm
【解析】设直角边为3xcm，4xcm，则斜边为5xcm，
∴5x=20
∴x=4
直角三角形的三边长为12，16，20 cm
斜边上的高为：12×16÷20＝9.6 cm
故答案为9.6cm．
17. 古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶先后研究出利用三角形的三边长求面积的公式，后人合称为海伦-秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如果在中，，，所对的边分别记为a，b，c，若，，，则的面积为_______．
【答案】
【解析】，
，
故答案为：．
18. 如图所示，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为、和的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是______．
【答案】4
【解析】由题可知，盒子底面对角线长为，
盒子的对角线长：，
∵细木棒长，
故细木棒露在盒外面的最短长度是：，
故答案为：4．
三、解答题
19. 计算：．
解：
．
20. 已知，，求代数式的值．
解：∵，，
∴，
∴．
21. 学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．请你设法帮小明算出旗杆的高度．
解：设旗杆长为x米，则绳长为（x+1）米，则由勾股定理可得：
，
解得x=12，
答：旗杆的高度为12米.
22. 如图，等边三角形网格中，每一个小等边三角形边长均为1，A，B两点在三角形的顶点处，且，按照要求用无刻度直尺或圆规作图，不要求写画法，但是要保留作图痕迹．（画图过程用虚线表示，结果用实线表示）．
（1）以点A，B为顶点，在图1中作一个等边三角形．
（2）以线段AB为边，在图2中作一个最大的矩形．
（3）那么这个最大矩形的面积是_________．
解：（1）如图，就是所求作的三角形；
证明：观察图形可得，，，
∴是等边三角形；
（2）如图，矩形就是所求作的图形；
证明：从图中圈出一个等边三角形和由二个等边三角形组成的一个菱形，如图所示，
∵是等边三角形，
∴，
∵是菱形，
∴，
∴，
同理可得，，
∴四边形是矩形，
由于点和点已经是网格的边缘格点，
∴四边形是能作的最大的矩形；
（3）圈出格点直角三角形，如图所示，
观察图形可得，，，
∴，
∴矩形的面积是：，
故答案为：．
23. 如图，在中，按如下步骤尺规作图：
①以点A为圆心，长为半径画弧；
②以点B为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D；
③连接，与交于点E，连接，．
（1）图中吗？为什么？
（2）分析线段，的位置关系；
（3）当时，请探究四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（4）当，，现将四边形通过割补，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？
解：（1）根据作图可得，，
又∵
∴
∴；
（2）∵，
∴垂直平分
∴；
（3）∵，，
∴
∴四边形是菱形；
（4）∵，，，
∴四边形的面积
∴拼成的正方形的边长．
24. 如图所示，在中，点，在上，且．
（1）写出图中所有的全等三角形；
（2）连接，，请补全图形，四边形是平行四边形吗？为什么？
（3）延长交的延长线于，延长交的延长线于．请补全图形，并证明四边形是平行四边形．
解：（1），，；
（2）如图所示，四边形是平行四边形，理由如下：
中，，，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（3）补全图形如图所示，
由（2）知，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
25. 学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是超速．如图，某校门前一条直线公路建成通车，在该路段限速，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观点C测得一小车从点A到达点B行驶了．若测得，，．此车超速了吗？请说明理由．
解：过点C作于点H．
∵
∴
∴，
∴
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∴小车平均速度
而
∴此车没有超速．
26. 阅读材料：
小明的数学兴趣小组在深度学习过程中，对“完全平方数（式）”有了更深刻的全面了解．他们先回顾“有理数”，知道1，4，，0．25，…，等这样的数，可以写成，，，，…他们称它们为完全平方数；然后回顾“整式的乘法与因式分解”这个章节，掌握了，等这样的整式，可以写成，，，…，他们称它们为完全平方式，他们发现这些数式的变形有时能给问题解决提供方便．现在，小明团队学习了“二次根式”后，能熟练把任意一个非负数改写成一个非负数的平方形式，如，，，，…，等，小明他们类比称这些非负数（式）为二次根式中的完全平方数（式）．
下面，请跟随他们探究、解答下列问题：
（1）请分解因式：________________．
（2）．
反之，，．
（3）仿上例，化简：．
（4）继续进行以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），则有：
．
∴，．
这样就找到了一种把类似的式子化为完全平方式的方法．
方法迁移：当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：__________，__________；
利用上述探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，
使得：________，________，_________，_________；
（5）若，且a、m、n均为正整数，求a的值．
解：（1）∵,故答案为：．
（2）∵．
，
∴，,
故答案为：；．
（3）∵，
∴．
（4）∵，
∴，；故答案为：，；
答案不唯一，，，，
故答案为：13，4，1，2．
（5）∵，
∴，∴，
∵a、m、n均为正整数，∴或，
∴或，
故a的值为14或46．