数学：河南省洛阳市涧西区2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版）

这是一份数学：河南省洛阳市涧西区2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A.被开方数含分母，故该选项错误；
B.是最简二次根式，故该选项正确；
C.不是最简二次根式，故该选项错误；
D.不是最简二次根式，故该选项错误；
故选：B．
2. 下列式子化简后能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A.，不能与合并，本选项不符合题意；
B.，能与合并，本选项符合题意；
C.，不能与合并，本选项不符合题意；
D.，不能与合并，本选项不符合题意；
故选：B．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．与不能合并，故选项A错误，不符合题意；
B．，故选项B错误，不符合题意；
C．，故选项C错误，不符合题意；
D．，故选项D正确，符合题意，
故选：D
4. 已知的三边分别为a，b，c，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A.∵，，，，则
∴，，，
∴不是直角三角形，故符合题意；
B.，,
∴，
∴是直角三角形，故不符合题意；
C.∵，即，
∴直角三角形，故不符合题意；
D.∵，
∴，
∴是直角三角形，故不符合题意；
故选：A．
5. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A. 两组对边分别平行B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直D. 两组对角分别相等
【答案】B
【解析】A.是菱形的性质，是矩形的性质，故本选项不符合题意；
B.是矩形的性质，不是菱形的性质，故本选项符合题意；
C.是菱形的性质，不是矩形的性质，故本选项不符合题意；
D、矩形、菱形的对角都相等，故本选项不符合题意；
故选：B．
6. 如图，四边形的对角线交于点，下列能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】A.由，，不能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B.由，，不能判定四边形平行四边形，故本选项不符合题意；
C.，
，，
，
，
四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
D.由，，不能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C
7. 如图，在菱形中，对角线交于点，是的中点，若，则菱形的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵四边形为菱形，
∴，，
∵是的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴菱形的周长为，
故选：．
8. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（ ）
A. 7B. 2C. D. 7
【答案】D
【解析】中，由勾股定理，得
，
由题意可得四边形 是正方形，中间是一个小正方形，
∴小正方形的边长，
∴，
故选：D．
9. 如图，在矩形中，点B的坐标是 ，则的长是（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】D
【解析】如图所示，连接，
∵点B的坐标是 ，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
故选：D．
10. 如图，在中，，，点H，G分别是边，上的动点，连接，，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】连接，过点A作于点I，
则，
∵点E为的中点，点F为的中点，
∴，
∴当与重合时，，取得最小值，最小，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故选：C．
二、填空题
11. 代数式有意义时，应满足的条件是______.
【答案】
【解析】由题意，得，
解得．故答案是：．
12. 如果一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是_____．
【答案】（答案不唯一）．
【解析】∵＝2，
∴无理数a与的积是一个有理数，a的值可以为：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
13. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，，时，的长为_______．
【答案】
【解析】，
，
，，，，
，
，
故答案为：．
14. 如图，在正方形中，点E，F分别为，上的点，且，与交于点G，连接，点H为的中点，连接，若，，则的长为_______．
【答案】5
【解析】∵四边形是正方形
∴，
∵
∴
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴
由勾股定理，得
∵点H为的中点
∴
故答案为：5．
15. 如图，在中， ，点E是边上一动点，将沿直线折叠，得到，设与交于点M，当与的一边垂直时，的长为_______．

【答案】2或6
【解析】如图1，当时，

∴，
∵将沿翻折，得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平行四边形，
∴；
如图2，当时，

∵将沿翻折，得到，
∴，
∴，此时与点重合，
∵，
∴，
∴．
综合以上可得的长为2或6．
故答案为：2或6．
三、解答题
16. 计算∶
（1）；
（2）．
（1）解：
；
（2）解：
．
17. 现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图①所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为和的正方形木板A，B．
（1）图①截出的正方形木板A的边长为_______，B的边长为_______；
（2）求图①中阴影部分的面积；
（3）乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板②上截出面积为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
（1）解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为，
∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，
故答案为：，；
（2）解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，
∴阴影部分宽为，
∴阴影部分面积为，
（3）解：不能截出；
理由：，，
∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为．
由（2）可得长方形木板的长为，宽为．
∵，但，
∴不能截出．
18. 如图，在四边形中，，对角线相交于点O，点O是的中点．请你添加一个条件(不另加辅助线)使四边形成为矩形．
（1）添加的条件是_______；
（2）请给出证明过程．
________________________________
（1）解：添加的条件是；
故答案为： (答案不唯一)
（2）证明∶ ∵，
∴，
∵O是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形．
19. 如图，是的对角线，平分，交于点M．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作的角平分线，交于点N（要求：保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：四边形为平行四边形．
（1）解：作图如下∶
即为所求；
（2）证明∶ ∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
又∵平分， 平分，
∴．
∴，
又∵四边形是平行四边形．
∴．
∴四边形为平行四边形．
20. 如图，正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B都在格点上，按下列要求作图，使得所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图1中画一个，使，
（2）在图②中画，使其面积为6．
解：（1）如图1中，即为所求（答案不唯一）；
（2）如图2中，平行四边形即为所求（答案不唯一）．
21. 消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到 （即），消防车车身高 （即点A到地面的距离为），救人时云梯伸长至最长，在完成从 （即）高的B处救人后，还要到点B的正上方（即）高的D处救人，这时消防车需要从A处向着火的楼房靠近的水平距离为多少米？（提示∶延长交于点O，则）．
解：，
四边形是矩形，
，，
在中，，，
，
在中，，，，
，
，
答：为．
22. 如图，在正方形中，对角线所在的直线上有两点M，N满足，连接．
（1）试判断四边形形状，并说明理由．
（2）若 ，求四边形的面积．
解：（1）四边形是菱形，
理由如下： 连接，交于O，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（2）在中， ，
∵，
∴，
∴
在中，，
∴，
23. 定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”
（1）下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_______ (填序号)；
①平行四边形②菱形③矩形④正方形
（2）如图2，在矩形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“优乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．
求证：四边形是“忧乐四边形”
（3）如图3，在四边形中，，，，，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．当是直角三角形时，请直接写出线段的长．
（1）解：①平行四边形，③矩形，沿着它的一条对角线对折后不能完全重合；②菱形，④正方形，沿着它的一条对角线对折后能完全重合．
②菱形，④正方形一定是忧乐四边形；
故答案为：②④；
（2）证明：如图2，连接，
四边形是矩形，
，
是的中点，
，
将沿折叠后得到，
，，，
，
，
，
四边形沿折叠完全重合，
四边形是“忧乐四边形”；
（3）解：．
若，连接，则四边形是矩形，
，
由（2）知，，
设，则，，
，
，
，
；
若，连接，过点作于点，，交的延长线于点，如图，
由（2）知，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
设，
，
（负值舍），．
综上所述，的长为或．